1) O documento descreve a história das equações polinomiais, desde as primeiras equações do 1o grau encontradas no Antigo Egito até as equações do 2o grau resolvidas por matemáticos como Diofanto e Al-Khwarizmi. 2) Os antigos babilônios já resolviam equações do 2o grau usando um método geométrico onde representavam os números procurados na forma x = p/2 + a e y = p/2 - a. 3) Diofanto popularizou o uso de notações alg

1. 1
´ ¸˜
UMA HISTORIA DAS EQUACOES POLINOMIAIS
1 ¸˜
EQUACOES DO PRIMEIRO GRAU
• N˜o tem uma hist´ria propriamente dita.
a o
• A simbologia moderna s´ come¸ou a surgir no s´culo 18.
o c e
Do ponto de vista elementar, equa¸˜es s˜o problemas do seguinte tipo:
co a
Determine certos valores desconhecidos, sabendo que quando esses valores s˜o a
manipulados algebricamente, de uma certa maneira, s˜o obtidos certos valores dados.
a
Primeiras equa¸˜es na forma escrita: 3000 anos a.C.
co
¸˜
EQUACOES DO 1o GRAU NO EGITO ANTIGO
A maior parte da matem´tica eg´
a ıpcia antiga, ou seja, do 3o milˆnio a.C., encon-
e
trada em alguns poucos papiros famosos, ´ um compˆndio de tabelas e algoritmos
e e
aritm´ticos, visando a resolu¸˜o de problemas uteis, tais como problemas de medi¸˜o
e ca ´ ca
de figuras geom´tricas.
e

2. 2
No Papiro Rhind, encontramos as primeiras equa¸˜es do primeiro grau, na forma
co
de problemas “aha”. Aha significava quantidade.
PROBLEMAS aha DO PAPIRO RHIND
• (Problema 24) Uma quantidade e seu s´timo, somadas juntas, d˜o 19. Qual ´ a
e a e
quantidade?
• (Problema 25) Uma quantidade e sua metade, somadas juntas, resultam 16. Qual
´ a quantidade?
e
• (Problema 26) Uma quantidade e 2/3 dela s˜o somadas. Subtraindo-se, desta
a
soma, 1/3 dela, restam 10. Qual ´ a quantidade?
e
Em linguagem moderna, temos
x
•x+ 7
= 19
• x + x = 16
2
• (x + 2 · x) − 1 (x
3 3
+ 2
3
· x) = 10

3. 3
O m´todo da falsa posi¸˜o
e ca
Para problemas desse tipo, os eg´
ıpcios empregavam o m´todo da falsa posi¸˜o,
e ca
exemplificado na resolu¸˜o do problema 1.
ca
Resolu¸˜o do problema 1 Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divis´
ca ıvel
por 7, digamos 7. Um s´timo de 7 ´ 1. Somando 7 a 1 de 7 obtemos 8. Agora
e e 7
empregamos uma regra de trˆs simples:
e
x
x + = 19
7
quantidade resultado
7 8
x 19
Portanto,
7 8
= ⇒ 8x = 7 · 19
x 19
133 5
⇒ 8x = 133 ⇒ x = ∴ x = 16
8 6

4. 4
2 ¸˜
EQUACOES DO SEGUNDO GRAU
ˆ ´
DA ANTIGA BABILONIA ATE DIOFANTO
Os antigos babilˆnios (ou babilˆnicos) (c. 1800 a.C.), habitantes do sul da antiga
o o
Mesopotˆmia (parte do atual Iraque), j´ resolviam o problema de encontrar dois
a a
n´meros x e y cuja soma ´ p e cujo produto ´ q. O m´todo empregado pelos
u e e e
babilˆnios, traduzido para nossas nota¸˜es modernas, ´ basicamente o seguinte:
o co e
A priori, x e y s˜o representados na forma
a
p p
x= +a e y = −a
2 2
dado que x + y = p.
Tem-se ent˜o
a
p p p2
xy = ( + a)( − a) = − a2 = q
2 2 4
do que se deduz
2 p2 p2 − 4q
a = −q =
4 4

5. 5
Daqui, se deduz
p2 − 4q
a=
4
(os n´meros negativos n˜o haviam sido inventados).
u a
Assim, x e y acabam sendo expressos como
p p2 − 4q p p2 − 4q
x= + e y= −
2 4 2 4
Cerca de dois milˆnios depois (em torno do ano 250 da era crist˜), este mesmo
e a
m´todo aparece no tratado Aritmetica do grego Diofanto, um conjunto de 13 livros
e
sobre solu¸˜es racionais de equa¸˜es alg´bricas.
co co e
Diofanto ´ considerado o pai da ´lgebra no sentido de ter sido o primeiro a empregar
e a
nota¸˜es simb´licas para express˜es alg´bricas. Suas nota¸˜es eram bem diferentes
co o o e co
das empregadas hoje. Os tratados de matem´tica dos precursores de Diofanto eram
a
escritos no estilo ret´rico, isto ´, sem nenhum emprego de s´
o e ımbolos.

6. 6
¸˜
EQUACOES DO SEGUNDO GRAU,
ˆ
DOS BABILONIOS A DIOFANTO
Como exemplos dos primeiros problemas de equa¸˜es do segundo grau, encontra-
co
dos nas t´buas de argila dos antigos babilˆnios, bem como no livro Aritmetica de
a o
Diofanto, resolvidos pelo m´todo acima descrito, temos os seguintes:
e
1. (Babilˆnios, 1800 a.C.) Encontre dois n´meros cuja soma ´ 14 e cujo produto ´
o u e e
45.
2. (Diofanto, em Aritmetica) Encontre dois n´meros cuja soma ´ 20 e cuja soma de
u e
seus quadrados ´ 208.
e
Resolu¸˜o do problema 1 S˜o procurados dois n´meros x e y satisfazendo
ca a u
x + y = 14 e x · y = 45
Segundo o m´todo acima descrito, fazemos
e
x=7−a e y =7+a
Teremos ent˜o que a equa¸˜o xy = 45 torna-se (7 − a)(7 + a) = 45, ou seja,
a ca
72 − a2 = 45, do que a2 = 4, e portanto a = ±2.

7. 7
Os babilˆnios, bem como Diofanto, consideravam apenas a solu¸˜o positiva a = 2.
o ca
Os n´meros negativos parecem ter surgido no s´culo 7, com o astrˆnomo hindu
u e o
Bramagupta.
Assim sendo, tomando a = 2, teremos x = 5 e y = 9. Se tomarmos a = −2,
teremos x = 9 e y = 5. Portanto os n´meros procurados s˜o 5 e 9.
u a
Resolu¸˜o do problema 2 S˜o procurados dois n´meros satisfazendo
ca a u
x + y = 20 e x2 + y 2 = 208
Novamente, assumimos, com base na soma dada dos n´meros procurados,
u
x = 10 − a e y = 10 + a
A equa¸˜o x2 + y 2 torna-se ent˜o
ca a
(10 − a)2 + (10 + a)2 = 208
ou seja
(100 − 20a + a2) + (100 + 20a + a2) = 208
e portanto
200 + 2a2 = 208 ⇒ 2a2 = 8 ⇒ a2 = 4 ∴ a = ±2

8. 8
Somente a solu¸˜o positiva a = 2 era admitida.
ca
Assim sendo, os n´meros procurados s˜o 10 − 2 = 8 e 10 + 2 = 12.
u a
AL-KHWARIZMI
O primeiro tratado a abordar equa¸˜es do 2o grau e suas solu¸˜es foi Os Elementos
co co
de Euclides (s´c. 3 a.C.).
e
Em Os Elementos, Euclides d´ solu¸˜es geom´tricas da equa¸˜o do segundo grau.
a co e ca
Os m´todos n˜o s˜o pr´ticos.
e a a a
No in´ do s´culo 9, o Califa Al Mamum, recebeu atrav´s de um sonho, no qual
ıcio e e
teria sido visitado por Arist´teles, a instru¸˜o de fundar um centro de pesquisa e
o ca
divulga¸˜o cient´
ca ıfica.
Assim foi fundada a Casa de Sabedoria, em Bagd´, hoje capital do Iraque, `s mar-
a a
gens do Rio Tigre. A convite do Califa, nela estabeleceu-se Al-Khwarizmi, juntamente
com outros fil´sofos e matem´ticos do mundo ´rabe.
o a a
Al-Khwarizmi escreveu um tratado popular sobre a ciˆncia das equa¸˜es, chamado
e co
Hisab al-jabr wa’l muqabalah, ou seja, o Livro da Restaura¸˜o e Balanceamento.
ca
Al-Khwarizmi introduziu simplificou a ´lgebra das equa¸˜es do 2o grau.
a co

9. 9
O m´todo de Al-Khwarizmi, de resolu¸˜o da equa¸˜o do 2o grau ´ inspirado na
e ca ca e
interpreta¸˜o de n´meros por segmentos, introduzida por Euclides.
ca u
Al-Khwarizmi tamb´m popularizou o sistema de representa¸˜o decimal posicional
e ca
dos n´meros inteiros, criado pelos hindus, hoje de uso corrente.
u
De Al-Khwarizmi derivam-se as palavras algarismo e algoritmo, ambas latiniza¸˜es
co
de Al-Khwarizmi.
Do termo al-jabr, que significa restaura¸˜o, deriva-se a palavra ´lgebra ! O termo
ca a
al-muqabalah, que significa oposi¸˜o ou balanceamento, ´ o que hoje entendemos
ca e
como cancelamento.
Por exemplo, dada a equa¸˜o
ca
x2 + 3x − 2 = 3x + 4
a al-jabr nos d´
a
x2 + 3x = 3x + 4 + 2
enquanto que a muqabalah cancela o termo 3x, nos dando
x2 = 6
Al-Khwarizmi apresenta dois m´todos geom´tricos de solu¸˜o da equa¸˜o do 2o
e e ca ca

10. 10
grau. Al-Khwarizmi n˜o fazia uso de nota¸˜es simb´licas em seu tratado.
a co o
Suas equa¸˜es s˜o escritas no estilo ret´rico, isto ´, sem o emprego de s´
co a o e ımbolos.

11. 11
Al-Khwarizmi e equa¸oes do 2o grau
c˜
1o m´todo de Al-Khwarizmi
e
x2 + 10x = 39
Primeiramente, a equa¸˜o ´ escrita na forma
ca e
2 5
x + 4 · · x = 39
2
O completamento do quadrado ´ realizado,
e
resultando na equa¸˜o equivalente
ca
2 2
2 5 5 5
x +4· x+4· = 39 + 4 ·
2 2 2

12. 12
Por´m, geometricamente,
e
(x + 5)2 = 39 + 25 = 64
da´ Al-Khwarizmi deduz que
ı,
√
x + 5 = 64 = 8
Chega-se ent˜o ` solu¸˜o x = 8 − 5 = 3. Para
a a ca
Al-Khwarizmi, quantidades negativas careciam de
sentido.
No seu m´todo, a solu¸˜o x = −8 − 5 = −13
e ca
n˜o vem ` tona.
a a
Podemos, no entanto, usar o m´todo geom´trico
e e
de Al-Khwarizmi como um guia no completa-
mento de quadrados e, ao final, “esquecˆ-lo”, de-
e
duzindo tamb´m eventuais solu¸˜es negativas da
e co
equa¸˜o.
ca

13. 13
2o m´todo de Al-Khwarizmi
e
Neste m´todo mais simples, a equa¸˜o ´
e ca e
escrita na forma
x2 + 5x + 5x = 39
Completando ent˜o essa soma de ´reas
a a
com a ´rea de um quadrado de lado 5,
a
portanto de ´rea 25, obt´m-se
a e
x2 + 5x + 5x + 52 = 39 + 52
logo
(x + 5)2 = 39 + 25 = 64
Daqui ent˜o x+5 = 8, ou seja, x = 3.
a

14. 14
3 ¸˜
EQUACOES DO TERCEIRO GRAU
ARQUIMEDES, NOVAMENTE
Num tratado sobre esferas e cilindros, Arquimedes estudou o seguinte problema,
que deu origem a uma das primeiras equa¸˜es do 3o grau da hist´ria:
co o
Cortar uma esfera por um plano de modo que uma das partes resultantes tenha o
dobro do volume da outra parte.
O volume do segmento esf´rico de altura h ´ dado
e e
por V = 1 πh2(3r − h).
3
Sendo h/r = y, se o segmento inferior da esfera
tem o dobro do volume do superior, ent˜o
a
y 3 − 3y 2 = −4/3, ou x3 − 3x − 2/3 = 0
(y = x + 1)

15. 15
´ ´
A BUSCA PELA FORMULA GERAL DA CUBICA
Por muitos s´culos, desde o per´
e ıodo ´ureo da Gr´cia antiga, matem´ticos tentaram
a e a
em v˜o deduzir um m´todo geral de solu¸˜o da equa¸˜o do 3o grau ou equa¸˜o c´bica
a e ca ca ca u
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Procurava-se uma f´rmula geral da solu¸˜o da c´bica, isto ´, uma f´rmula que
o ca u e o
desse suas solu¸˜es em termos de express˜es alg´bricas envolvendo os coeficientes
co o e
a, b, c e d.
A conhecida f´rmula de Bhaskara, creditada assim ao matem´tico hindu Bhaskara,
o a
do s´culo 12, nos d´ as soluc˜es da equa¸˜o quadr´tica ax2 + bx + c = 0, como
e a o ca a
express˜es alg´bricas dos coeficientes a, b e c, a saber
o e
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a

16. 16
DEL FERRO, TARTAGLIA E CARDANO. UMA TRAGICOMEDIA DE ´
DISPUTAS, CONQUISTAS E DECEPCOES ¸˜
O primeiro matem´tico a desenvolver um m´todo para resolver equa¸˜es c´bicas
a e co u
da forma
x3 + ax + b = 0
foi Scipione del Ferro, professor da Universidade de Bolonha, It´lia, na passagem do
a
s´culo 15 ao s´culo 16. Antes de morrer, revelou seu m´todo, que mantivera em
e e e
segredo, a Antonio Fiore.
Nicollo Tartaglia nasceu em Brescia, It´lia, em 1499. Conta-se que era t˜o pobre
a a
quando crian¸a que estudava matem´tica escrevendo nas l´pides de um cemit´rio.
c a a e
Em 1535 foi desafiado por Antonio Fiore a uma competi¸˜o matem´tica. Na
ca a
´poca, disputas acadˆmicas eram comuns, muitas vezes premiando o ganhador com
e e
o emprego do perdedor.
Tartaglia sabia resolver as equa¸˜es c´bicas de del Ferro, mas tinha descoberto
co u
tamb´m um m´todo para resolver c´bicas da forma
e e u
x3 + ax2 + b = 0
De posse deste conhecimento, foi o vencedor na competi¸˜o.
ca

17. 17
Os ultimos anos de Tartaglia foram amargurados por uma briga com Girolamo
´
Cardano (1501–1576), um matem´tico italiano que, al´m de m´dico famoso em
a e e
Mil˜o, foi tamb´m astrˆnomo.
a e o
Cardano ´ tido como o fundador da teoria das probabilidades, a qual estudou por
e
interesses pessoais (jogatina).
Em 1570, Cardano foi preso por heresia, por ter escrito um hor´scopo de Jesus
o
Cristo.
Em 1539, em sua casa em Mil˜o, Cardano persuadiu Tartaglia a contar-lhe seu
a
m´todo secreto de solu¸˜o das c´bicas, sob o juramento de jamais divulg´-lo.
e ca u a
Anos mais tarde, por´m, Cardano soube que parte do m´todo constava de uma
e e
publica¸˜o p´stuma de del Ferro.
ca o
Resolveu ent˜o publicar um estudo completo das equa¸˜es c´bicas em seu tratado
a co u
Ars Magna (1545), um trabalho que superou todos os livros de ´lgebra publicados
a
at´ ent˜o.
e a
Em Ars Magna, Cardano exp˜e um m´todo para resolver a equa¸˜o c´bica baseado
o e ca u
em argumentos geom´tricos.
e

18. 18
Em Ars Magna, Cardano tamb´m exp˜e a solu¸˜o geral da equa¸˜o qu´rtica ou
e o ca ca a
equa¸˜o do quarto grau
ca
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
descoberta por Ludovico Ferrari (1522–1565), discipulo de Cardano, que parece ter
superado o mestre na ´lgebra das equa¸˜es polinomiais.
a co
Em 1548, Tartaglia desafiou Cardano para uma competi¸˜o matem´tica, a ser
ca a
realizada em Mil˜o.
a
Cardano n˜o compareceu, tendo enviado Ferrari para represent´-lo.
a a
Parece que Ferrari venceu a disputa, o que causou a Tartaglia desemprego e morte
na pobreza nove anos mais tarde.
´ ¸˜ ´
A FORMULA DE CARDANO PARA A EQUACAO CUBICA
O m´todo de Cardano para resolver equa¸˜es c´bicas, ´ essencialmente o seguinte:
e co u e
Consideremos a equa¸˜o c´bica
ca u
z 3 + az 2 + bz + c = 0

19. 19
A substitui¸˜o
ca
a
z =x−
3
transforma a equa¸˜o dada em uma equa¸˜o c´bica na forma reduzida:
ca ca u
x3 + px + q = 0
Cardano ent˜o “tenta” obter uma soluc˜o na forma
a a
x= u+v
Ele nota que
(u + v)3 = u3 + 3u2v + 3uv 2 + v 3
ou seja,
(u + v)3 − 3uv(u + v) − (u3 + v 3) = 0
Cardano observa que para que x = u + v seja solu¸˜o da c´bica
ca u
x3 + px + q = 0
´ suficiente encontrar u e v satisfazendo
e
3uv = −p e u3 + v 3 = −q

20. 20
ou seja,
p3
3 3
u v =− e u3 + v 3 = −q
27
Ao estilo de Diofanto, fazendo ent˜o
a
3 q 3 q
u =− +α e v =− −α
2 2
teremos
3 3 q 2 2 q2 2 p3
u v = −α = −α =−
2 4 27
Logo,
2 q2 p3
α = +
4 27
q2 p3
Se 4
+ 27
≥ 0, deduzimos ent˜o
a
q2 p3 √
α=± + =± D
4 27
q2 p3
em que D = 4
+ 27
´ o assim chamado discriminante da c´bica reduzida x3 +
e u
px + q = 0.

21. 21
√
Finalmente, assumindo que D ≥ 0, teremos, para α = D,
3 q √ 3 q √
u =− + De v =− − D
2 2
e entao
3
q √ 3
q √
x=u+v = − + D+ − − D
2 2
ou seja
3 q q2 p3 3 q q2 p3
x= − + + + − − +
2 4 27 2 4 27
√
O mesmo resultado ´ obtido quando consideramos α = − D (verifique), assu-
e
mindo que a ra´ c´bicas calculadas s˜o as ra´ c´bicas reais de n´meros reais.
ızes u a ızes u u
´
BOMBELLI, CRIADOR DOS NUMEROS COMPLEXOS
O primeiro algebrista a formular regras elementares das opera¸˜es dos n´meros
co u
complexos foi o engenheiro hidr´ulico italiano Rafael Bombelli, em seu tratado
a
L’Algebra (1572), quase trinta anos depois da publica¸˜o de Ars Magna por Car-
ca
dano.

22. 22
Bombelli notou que a equa¸˜o x3 − 15x − 4 = 0 tem uma solu¸˜o real positiva,
ca ca
a saber x = 4.
√
Notou tamb´m que as demais solu¸˜es dessa equa¸˜o, −2 ± 3, s˜o tamb´m
e co ca a e
reais, sendo elas as ra´ do polinˆmio do 2o grau x2 + 4x + 1, obtido como
ızes o
quociente da divis˜o de x3 − 15x − 4 por x − 4.
a
No entanto, notou Bombelli, a f´rmula de Cardano n˜o se aplica ` c´bica em
o a a u
2 3
quest˜o, pois nesse caso D = q4 + p = −121 < 0. Um not´vel paradoxo surgiu
a 27
a
ent˜o: a c´bica x3 − 15x − 4 = 0 tem suas trˆs ra´ reais e, no entanto, a
a u e ızes
formula de Cardano, quando a ela aplicada, produzia uma express˜o num´rica que
a e
carecia de sentido:
3 √ 3 √
x = 2 + −121 + 2 − −121
Por conta disso, Bombelli pˆs-se a estudar essa nova esp´cie de n´meros, mais
o e u
tarde denominados n´meros complexos.
u

23. 23
A f´rmula de Cardano pode “esconder” ra´
o ızes racionais
Mesmo quando D > 0, a f´rmula de Cardano mostra-se pouco pr´tica, pois pode
o a
ocultar solu¸˜es racionais de uma c´bica sob a aparˆncia de express˜es que parecem
co u e o
irracionais.
Por exemplo, a c´bica x3 + 3x − 4 = 0 tem x = 1 como solu¸˜o. Dividindo-se
u ca
x3 + 3x − 4 por x − 1, obtemos x2 + x + 4, que tem como ra´ os n´meros
√ ızes u
complexos (−1 ± 15i)/2, as outras duas soluc˜es da c´bica dada.
o u
No entanto, a aplica¸˜o da f´rmula de Cardano a essa c´bica nos d´ a solu¸˜o real
ca o u a ca
3 √ 3 √
x= 2+ 5+ 2− 5
que ´, na verdade x = 1.
e

24. 24
` ´
FRANCOIS VIETE: UM METODO PARA O CASO INDESEJAVEL
¸ ´
´
DA FORMULA DE CARDANO
Fran¸ois Vi`te (1540–1603) foi um advogado francˆs, membro do parlamento, com
c e e
grande voca¸˜o matem´tica.
ca a
Em seu tratado In artem analyticem Isagoge, Vi`te aplica ´lgebra ao estudo de
e a
geometria, quando at´ ent˜o, a pr´tica tinha sido sempre a de aplicar geometria `
e a a a
a
´lgebra.
Durante uma guerra contra a Espanha, Vi`te serviu ao rei francˆs Henri IV, de-
e e
cifrando o c´digo usado pelos espanh´is em suas correspondˆncias militares.
o o e
Usando trigonometria, ´rea da matem´tica elementar onde descobriu muitas de
a a
suas conhecidas rela¸˜es, Vi`te desenvolveu um m´todo para calcular as trˆs ra´
co e e e ızes
reais da c´bica x3 + px + q = 0 no caso em que a f´rmula de Cardano “falha,”
u o
2 3
isto ´, no caso em que o discriminante D = q4 + p ´ negativo.
e 27
e

25. 25
O m´todo de Vi`te
e e
Consideremos a equa¸˜o c´bica
ca u
x3 + px + q = 0
onde suporemos que os coeficientes p e q s˜o n´meros reais n˜o nulos.
a u a
No seu m´todo, Vi`te tenta buscar uma solu¸˜o real para essa c´bica, escrevendo-a
e e ca u
na forma
x = k cos θ, com k > 0
Note que o caso k = 0 ocorre quando x = 0 ´ uma solu¸˜o da c´bica. Nesse caso,
e ca u
q = 0 e as outras duas ra´ s˜o as solu¸˜es complexas da equa¸˜o x2 = −p.
ızes a co ca
Usando a rela¸˜o trigonom´trica
ca e
cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ
temos entao
4 cos3 θ − 3 cos θ − cos 3θ = 0
A substitui¸˜o de x = k cos θ na c´bica
ca u
x3 + px + q = 0

26. 26
nos d´
a
k3 cos3 θ + pk cos θ + q = 0
express˜o que, multiplicada por 4/k3 em ambos os lados, passa a ser
a
3 4p 4q
4 cos θ + 2 cos θ + 3 = 0
k k
Comparando esta ultima equa¸˜o com a identidade trigonom´trica
´ ca e
4 cos3 θ − 3 cos θ − cos 3θ = 0
Vi`te ent˜o observa que x = k cos θ ser´ solu¸˜o da c´bica dada desde que se
e a a ca u
tenha
4p 4q
2
= −3 e − cos 3θ = 3
k k
ou, equivalentemente,
2 4p 4q
k =− e cos 3θ = − 3
3 k
Estas duas ultimas equa¸˜es (em k e θ) ter˜o solu¸˜o se, e somente se, tivermos
´ co a ca
4q
p<0 e 3
≤1
k

27. 27
ou, equivalentemente
16q 2
p<0 e ≤1
k6
q2 p3
Como k2 = − 4p ,
3
esta ultima condi¸˜o equivale a D =
´ ca + ≤ 0. (note
4 27
que, sendo q = 0, ent˜o D ≤ 0 ⇒ p < 0)
a
Sendo ent˜o D ≤ 0, o m´todo de Vi`te nos d´ trˆs solu¸˜es reais da c´bica:
a e e a e co u
Primeiramente calculamos k = − 4p e ent˜o procuramos os trˆs valores de θ,
3
a e
compreendidos entre 0 e 360◦ satisfazendo cos 3θ = − 4q . Sendo ˆles θ1, θ2 e
k3
e
θ3, teremos as trˆs solu¸˜es da c´bicas dadas por
e co u
x1 = k cos θ1, x2 = k cos θ2, x3 = k cos θ3
No c´lculo dos trˆs valores de θ, podemos tomar
a e
1 4q
θ1 = arc cos −
3 k3
e ent˜o
a
θ2 = θ1 + 120◦ e θ3 = θ1 + 240◦

28. 28
LUDOVICO FERRARI
¸˜
E AS EQUACOES DO 4o GRAU.
A equa¸˜o qu´rtica geral tem a forma
ca a
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
Ludovico Ferrari, disc´
ıpulo de Cardano, criou o seguinte m´todo para resolver a
e
qu´rtica geral.
a
Primeiramente, escrevemos
x4 + ax3 = −bx2 − cx − d.
Em seguida, completamos o quadrado do primeiro membro:
2
1 1
x2 + ax = x4 + ax3 + a2 x2.
2 4

29. 29
Teremos ent˜o a equa¸˜o equivalente ` qu´rtica dada:
a ca a a
2
2 1 2 1 2 2
x + ax = −bx − cx − d + a x
2 4
1 2
= −b + a x2 − cx − d
4
Na tentativa de obter quadrados perfeitos em ambos os membros, somamos um
parˆmetro t ` express˜o dentro dos parˆnteses do primeiro membro:
a a a e
2
2 1
x + ax + t
2
2
1 1
= x + ax + 2 x2 + ax t + t2
2
2 2
1 1
= −b + a2 x2 − cx − d + 2 x2 + ax t + t2
4 2
1 2
= −b + a + 2t x2 + (−c + at)x + (−d + t2)
4
A express˜o final, do segundo membro, ser´ ± um quadrado perfeito desde que
a a
tenhamos seu discriminante ∆ igual a zero.

30. 30
Esta condi¸˜o (∆ = 0) nos leva a uma equa¸˜o do 3◦ grau em t.
ca ca
Uma solu¸˜o real t0, dessa equa¸˜o, nos levar´ a uma igualdade de quadrados de
ca ca a
polinˆmios do segundo grau, como uma equa¸˜o equivalente ` qu´rtica original dada.
o ca a a
Para ilustrar o m´todo, tomaremos o seguinte exemplo.
e
A qu´rtica dada ´
a e
x4 + 2x3 − 13x2 + 2x + 1 = 0
Usando o truque de Ferrari, podemos mostrar que ela ´ equivalente ` equa¸˜o
e a ca
2 2
x +x+1 = 16x2
ou seja,
x2 + x + 1 = ± 4x
Cada uma das duas equa¸˜es do segundo grau nos provˆ duas ra´
co e ızes. As quatro
ra´ ser˜o ent˜o
ızes a a √ √
(3 ± 5)/2 e (−5 ± 21)/2

31. 31
¸˜
EQUACOES DO 5o GRAU E ALEM. ´
ALGUMAS POUCAS PALAVRAS.
A f´rmula de Ludovico Ferrari, publicada por Cardano em Ars Magna, exprime
o
algebricamente as solu¸˜es da equa¸˜o qu´rtica
co ca a
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
em termos dos coeficientes a, b, c e d, utilizando somente as quatro opera¸˜es
co
aritm´ticas elementares e extra¸˜o de ra´
e ca ızes. Uma solu¸˜o desse tipo ´ chamada
ca e
solu¸˜o por radicais.
ca
Nos 250 anos que se seguiram, todos os esfor¸os para resolver a equa¸˜o geral de
c ca
5o grau falharam.
Em 1786, E.S. Bring mostrou que a equa¸˜o geral do 5o grau pode ser reduzida,
ca
por transforma¸˜es alg´bricas, ` equa¸˜o x5 − x − A = 0.
co e a ca
Embora uma tal redu¸˜o parecesse um grande passo em dire¸˜o ` solu¸˜o geral
ca ca a ca
da equa¸˜o qu´
ca ıntica por radicais, Paolo Ruffini mostrou, em 1799, que uma solu¸˜o
ca
geral da equa¸˜o qu´
ca ıntica por radicais era imposs´
ıvel.

32. 32
A demonstra¸˜o desse fato, feita por Ruffini, foi considerada insatisfat´ria ` ´poca.
ca o ae
Entretanto, em 1826, Niels Abel publicou uma prova satisfat´ria desse fato, fato
o
repetido com a teoria mais geral ulteriormente desenvolvida por Evariste Galois, em
1831.
O Teorema Fundamental da Algebra ´
Os n´meros complexos foram criados para suprir solu¸˜es de equa¸˜es polinomiais.
u co co
Mas h´ alguma equa¸˜o polinomial de coeficientes reais ou complexos que n˜o possui
a ca a
nenhuma solu¸˜o complexa? A resposta nos ´ dada pelo Teorema Fundamental da
ca e
´
Algebra:
Toda equa¸˜o polinomial de grau ≥ 1, com coeficientes reais ou complexos, possui
ca
uma solu¸˜o complexa.
ca
Esse teorema foi enunciado, sem demonstra¸˜o, por Albert Girard em 1629. Os
ca
matem´ticos Jean D’Alembert, em 1746, e Carl Friedrich Gauss, em 1799, publicaram
a
demonstra¸˜es desse teorema.
co

33. 33
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o a
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u a
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