Apresentação mostrando recurso utilizado pela professora Mara Limias para melhorar o desempenho dos alunos do Ensino Fundamental II e Médio na Escola Estadual Maria José entre os anos de 2015 e 2016 na compreensão de conceitos matemáticos bem como as competências leitora e escritora.

1. XIIForumdeEducaçãodaDiretoriadeEnsinoRegiãoCentroSul
EscolaEstadualMariaJosé
Componente curricular:Matemática
ProfessoraMaraLimias
ARGUMENTANDO
MATEMATICAMENTE

2. Este trabalho foi inspirado em um curso de atualização
realizado no IME – Instituto de Matemática e Estatística
da Universidade de São Paulo - Caem (Centro deAperfeiçoamento
do Ensino de Matemática) ministrado pelas professoras
Claudia Cueva Cândido eAline dos Reis Matheus,intitulado
“A matemática escolar e o desenvolvimento do raciocínio lógico”.

3. Propósito
Ajudar o aluno a desenvolver o raciocínio
lógico e a capacidade de argumentação
em matemática.

4. Por quê?
O exercício docente em sala de aula nos fez
observar a dificuldade que os alunos têm em
interpretar textos em resolução de problemas
matemáticos e transpor as informações ali
encontradas para a linguagem matemática.

5. A matemática é uma ciência que apresenta uma linguagem e uma
representação simbólica muito particular,mas essa linguagem pode
ser expressa de diferentes formas,seja através de um texto na língua
materna,através de um esquema conceitual,até de um simples desenho.

6. Representações
semióticas
Raymond Duval (educador matemático e filósofo
francês) tem desenvolvido muitas pesquisas
sobre aprendizagem da Matemática sob
o ponto de vista da cognição e das
representações semióticas envolvidas
nas representações matemáticas.
Raymond Duvall

7. Representações de um
mesmo objeto matemático
Objeto Matemático:Circunferência Centrada na Origem do
Plano Cartesiano e de Raio com Duas Unidades de Comprimento
Registro na forma
de EquaçãoAlgébrica:
x2 + y2 = 4
Registro na forma
deTabela de Dados:
x y
x = 0 y = 2
x = 2 y = 0
x = 1 y = √3
x = √3 y = 1
Registro na forma de
Gráfico Cartesiano:

8. O estudante precisa alcançar um estágio cognitivo em que ele transite
entre diferentes tipos de representação de um mesmo objeto matemático
com tranquilidade.Para tanto,ele deverá desenvolver o raciocínio lógico
de modo que possa argumentar matematicamente baseado em inferência.

9. Porsuavez,Inferiré:
“Tirar por conclusão;deduzir pelo raciocínio.”
“Inferir:Admissão da verdade de uma proposição,que não é conhecida
diretamente, em virtude da ligação dela com outras proposições já
admitidas como verdadeiras.” [Dicionário Informal,internet]

10. A capacidade de argumentar,inferir matematicamente
está intrinsicamente relacionada com a capacidade
de argumentação textual na linguagem materna.
abc

11. FundamentosArgumentação e conceito de prova
em matemática de Balacheff
Essa proposta tem como base para
as atividades os textos sobre argumentação
e conceito de prova em matemática
de Balacheff (1988),haja vista que
o raciocínio lógico está sempre ligado
a um processo argumentativo.
Nicolas Balacheff

12. Modelo de Van Hiele
do desenvolvimento do
pensamento geométrico
A estrutura cognitiva que descreve
as características do processo
de pensamento do aluno para
o entendimento de um determinado
conceitocompõe-seobrigatoriamente
de cinco níveis chamados de:
visualização,análise,dedução
informal,dedução formal e rigor.
Pierre van Hiele

13. Lógica no
cotidiano
Lógicaelinguagemcotidiana:
verdade,coerência,comunicação,
argumentação.
De Nilson José Machado
e Marisa Ortegoza da Cunha
ColeçãoTendênciasemEducaçãoMatemática
2ª edição
Ed.Autêntica,2008.

14. Prática
Conclui-se que...
A explicitação do pensamento,na resolução de problemas através de textos
podeajudaroalunoadesenvolverumalinhaderaciocícniocoerente,organizando
e estruturando suas ideias e conjecturas,até que ele atinja a capacidade de
inferir utilizando da linguagem simbólica própria da matemática.
abc

15. Resolução
de Problemas(com Justificativas!)
Banco de questões da OBMEP
(Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas)
Segunda fase
Livros paradidáticos
e problemas de lógica diversos

16. Perguntas norteadoras e motivadoras
É de fundamental importância que o professor faça perguntas
que ajudem o aluno a refletir e organizar suas ideias

17. Exercício aplicado aos alunos do 6º ano B em que se pedia que escrevessem
sobre como fariam para calcular a área da figura colorida,tendo em vista que
já sabiam calcular a área de algumas figuras planas.
Resposta da alunaAna Beatriz:
Pergunta:“Você realmente acha que as áreas preenchidas
pelas bordas da figura na malha correspondem a metade
do quadradinho?”
“Eu mediria toda as metades
primeiro divide elas em 2
e depois soma com os
quadradinhos inteiros”[SIC].

18. Problema proposto aos alunos do 7º ano em que eles deveriam descrever a
seguinte situação:“Como é possível retirar de um rio exatamente 6 litros de água,
dispondo apenas, para medir a água, de dois recipientes: um com capacidade para
quatro litros e outro com capacidade para nove litros?”
Resposta da alunaAntônia Fabíola (7º anoA):
Foi sugerido que descrevessem a resposta em etapas.
A resposta está correta mas pode melhorar o texto.
1º Ele enche o de 9 l.
2º Ele despeja no de 4 l,e fica 5 no
de 9,ai ele joga o de 4 l de volta no
rio,ai ele Pega o de 5 L e joga no de
4 L,e sobra um litro,ele enche o de
9 l de novo e joga mais 3 L no de 4
ai sobra 6 litros.”[SIC]

19. O problema a seguir foi proposto nas turmas do 7º ano e 8º ano.
Para os alunos da 7ª série foi proposto no início do estudo sobre
equações,como podemos representar problemas através de uma
linguagem simbólica.Eles poderiam responder através de esquemas
como setas indicando idas e vindas do barco e as letras iniciais dos
nomes para representar o cachorro, a galinha,o senhor e a couve.

20. Problema:Um senhor precisa passar de uma para a outra margem de
um rio: um cachorro, uma galinha e um maço de couves. Ele só conseguiu
encontrar uma embarcação que comportava ele próprio e um dos seus
pertences. O senhor logo percebeu que não podia deixar sozinhos, numa
das margens do rio, o cachorro e a galinha. Nem a galinha e o maço de
couves. Como poderia o velho atravessar pelo rio os seus pertences com
segurança?

21. Resposta dada através de esquemas pela alunaAntônia Fabíola 7º anoA:

22. No final do estudo sobre ângulos foi proposto o seguinte problema em
que os alunos deveriam apresentar a solução com justificativa a título de
avaliação diagnóstica:
Numa loja de materiais de construção, são vendidas lajotas com formatos dos polígonos
regulares a seguir. Eu vou escolher um único tipo para fazer o piso da minha sala. Quais
tipos eu posso escolher? Justifique. (OBMEP)

23. Atividade que serve de avaliação quanto a internalização dos conteúdos
já estudados além de os alunos poderem fazer conjecturas a respeito
dos ângulos externos dos polígonos e os casos em que podem ocorrer
sobreposição de peças nas pavimentações.
O texto apresentado na resposta deve conter elementos-chaves como:
os vértices do polígono escolhido, quando dispostos lado a lado, devem formar
um giro de 360º,o que denota a compreensão do conteúdo abordado e
requer do aluno uma capacidade de síntese mais elaborada.

24. Resposta da alunaAndressa 7º anoA:
Pergunta: Quais peças dão menos que 360º e quais peças
dão mais? Em qual caso pode ocorrer sobreposição?
“triangulo - não dá porque o angulo
central não da 360º Da 140º
hepitagono - não Dá porque
o angulo 128º central não Dá 360º
Penotagono - não da porque
o angulo não somam 300
Quadrado - e possivel porque
o redor do mesmo vertice 360º [SIC]”

25. Resposta do aluno Matheus 7º anoA:
Pergunta: Mas quantos triângulos serão necessários?
“R:O triangulo é posivel sim fazer
ao rebor do mesmo vertice somam
360º.”[SIC]

26. Resposta do aluno Emerson 7º anoA - Evolução
“Triângulosimporqueumtriânguloregulartemtodos
osângulosiguaiseasomadetodososângulosde um
triângulo regular é de 180º 3 é igual á 60º”[SIC]
1
2

27. Resposta do aluno Emerson 7º anoA - Nível Satisfatório
Cont.
“Triângulosimporqueserãonecessarios
6triângulosemvoltadomesmoverticeque
somarão360ºemvoltadomesmovertice.
Quadrado - sim porque serão necessários
4 quadrados que ao redor do mesmo vertice
somarão 360º.
Hexágono - sim porque serão necessários
3 hexagono que ao redor do mesmo vertice
somarão 360º
Pentágono - não é possivel porque os ângulos
ao redor do mesmo vertice não somam 360º
Heptágono - Não é possível porque os ângulos
ao redor do mesmo vértice não somam 360º.”[SIC]
3

28. Professora Mara Limias
EE Maria José
limias@professor.educacao.sp.gov.br
OBRIGADA!

29. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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EducationalStudiesinMathematics,no.18SpringerNetherlands:1987.
BALACHEFF,N.Uneétudedeprocessusdepreuveemmathématique
chezdeselèvesdeCollege. 1988. 2v. Tese (Doutorado em Didática
da Matemática). Université Joseph Fourier – Institut National
Polythechnique de Grenoble, Grenoble.
DUVAL, Raymond (1995) Semiosis et Pensée Humaine: Registres
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___ (2003) RegistrosdeRepresentaçõesSemióticaseFuncionamento
Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: Alcântara Machado,
Silvia D. (ed.) Aprendizagem em Matemática: Registros de Repre-
sentação Semiótica . São Paulo: Papirus, pp. 11-34.
FAINGUELERNT, E. K. (1999) Educação Matemática:
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SÃO PAULO (Estado).Secretaria de Educação.CadernodoProfessor.
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SILVA, LUCIANA.; CANDIDO C. CLÁUDIA (Orientadora)
Modelo de aprendizagem de geometria do casalVan Hiele. Projeto
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<http://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/outros/Luciana%20
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