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Apresenta-se material de apoio para conhecimento e pesquisa pelos alunos do Curso de Ciências Atuariais da UFF. Trata-se de material de apoio que não substitui os materiais e ensinamentos repassados em sala de aula.

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Precificação de resseguro

  1. 1. Precificação de Resseguro 35 3 Precificação de resseguro Este capítulo traz primeiramente uma noção ampla das aplicações das metodologias de precificação de resseguro para melhor compreensão do mesmo. Da seção 3.1 até a 3.5 são expostos com as metodologias para precificá-los. Esta estrutura foi adotada depois da análise das demais possibilidades e mostrou-se a mais didática, já que nem todas as metodologias são aplicáveis a todos os tipos de resseguro, e, além disso, carregam particularidades que merecem atenção conforme proposto aqui. Ao final, a seção 3.6 complementa o capítulo com tópicos de suma importância que abrangem o tratamento adequado dos dados, que através dos ajustes de níveis possibilita a modelagem sem necessidade de aplicação de séries temporais; os diferentes princípios de prêmio que se aplicam a cada metodologia existente, sendo que eles são os mesmos princípios encontrados na tarifação geral de seguros, conforme Kass (2001); e o ajuste de distribuição com os testes de aderência e particularidades dos contratos de resseguro. A precificação de resseguro tem particularidades que a tornam especial e específica. A razão principal para tanto é que existem diversos tipos de resseguro, conforme abordado no capítulo anterior, com amplas possibilidades de contratação. Existem três métodos gerais para a precificação de resseguro: tarifação por experiência, tarifação por exposição e modelagem. No entanto, cada contrato de resseguro a ser precificado pode solicitar tratamento diferenciado, devido ao ramo de seguro, à qualidade da base de dados, ao tempo de experiência, a ponto de, em muitos casos, necessitar de implementações conjuntas dessas técnicas. Algumas dessas metodologias são utilizadas para tipos específicos de resseguros e não são aplicadas em outros. A divisão entre precificação de resseguros proporcionais e precificação de resseguros não- proporcionais surge deste fato. Uma visão geral das metodologias é importante para compreender o processo de precificação de resseguro. Com este objetivo, as Tabelas 15 e 16 foram elaboradas. A primeira destaca as metodologias de precificação que PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  2. 2. Precificação de Resseguro 36 podem ser usadas para cada tipo de resseguro, e a segunda apresenta as hipóteses necessárias para projeções. Tabela 15. Relação das metodologias com os tipos de resseguro Cota- Parte (Quota- share) Excedente de Responsabilidade (Surplus) Excesso de Danos (por Risco e por Catástrofe) (Excess of loss) Excesso de Danos Anual (Stop loss) Análise de despesas x x Experiência x Exposição x Modelagem x x Tabela 16. Base de cálculo de prêmio e sinistro por tipo de resseguro Cota- Parte (Quota- share) Excedente de Responsabilidade (Surplus) Excesso de Danos (por Risco e por Catástrofe) (Excess of loss) Excesso de Danos Anual (Stop loss) Prêmio de Resseguro % da projeção do prêmio total original % por apólice (IS para comparar com retenção) para aplicar no premio Não é função do premio original cobrado. Cálculo do prêmio será feito sobre experiência ou projeção de sinistro X acima do nível de retenção Não é função do premio original cobrado. Cálculo do prêmio será feito sobre experiência ou projeção de sinistro agregado no ano S acima do nível de retenção Sinistro de Resseguro % da projeção do sinistro total aplicar o % por apólice acima no valor individual de cada sinistro Todo ou qualquer sinistro X acima do nível de retenção Todo ou qualquer sinistro total anual S acima do nível de retenção X - valor individual do sinistro S - valor agregado Na prática atuarial são considerados outros fatores além do cálculo de prêmio obtido através destas metodologias. Os sinistros e o desenvolvimento dos contratos e dos riscos são essenciais na cotação de um plano de resseguro, no entanto, fatores externos à carteira específica precificada também influenciam o fechamento de um contrato de resseguro. Dentre os fatores externos, destaca-se: carteiras adicionais como pré- requisito de aceitação da carteira em questão; aquisição de prática em novo mercado; diferentes carregamentos de despesas; e, principalmente, oportunidade em negócios adicionais. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  3. 3. Precificação de Resseguro 37 3.1. Cota-parte O resseguro do tipo cota-parte é, por definição, proporcional. Propriamente, não há necessidade de metodologias para precificá-lo, pois nele todas as responsabilidades são proporcionais, desde prêmios até sinistros. Com isso, seja ( )∑= ∏ n j jX 1 o prêmio cobrado pela seguradora, então o prêmio de resseguro é definido por: ( )∑= ∏−= n j jXaêmio 1 )1(RePr No entanto, isso se torna apropriado na medida em que o princípio de prêmio adotado pelo ressegurador for o mesmo da seguradora, como segue: Seja X um risco com função de distribuição XF e a função de retenção aXXga =)( com )1,0(∈a , segue que, tem-se ainda nj ,...,2,1= , sendo n o número total de apólices subscritas. O preço do resseguro para a carteira que contém os riscos nXXX ,...,, 21 e retenção )1,0(∈a será: ∑= −= n j jXEaêmio 1 )()1(RePr . Se o prêmio da seguradora é definido por ( ) )( jj XEX =∏ , por substituição, conclui-se que: ( )∑= ∏−= n j jXaêmio 1 )1(RePr Contudo, destaca-se que as despesas e a margem de lucro da seguradora e do ressegurador podem ser diferente, e exatamente por esse motivo que uma análise das mesmas é necessária, conforme assinalado na Tabela 15. 3.1.1. Particularidades dos contratos proporcionais As diferenças dos custos operacionais entre a seguradora e o ressegurador podem exigir uma análise especial. Clark (1996) afirma que ressegurar uma seguradora que obtém lucros, não é garantia de lucros para o ressegurador, e por isso existem fatores ajustáveis. As particularidades destacadas por Clark (1996) são explicadas a seguir. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  4. 4. Precificação de Resseguro 38 3.1.1.1. Comissão nos lucros A comissão nos lucros é um percentual nos lucros do ressegurador, no contrato, que é retornado à seguradora como comissão adicional. Esse tipo de comissão também deve ser incluída no modelo, com distribuição do índice de sinistralidade. Porém, há ambigüidades quanto às provisões compensatórias. Exemplo: Suponha que o contrato tenha estabelecido a Comissão de Lucros de 50%. Para os resultados abaixo, a comissão de lucros equivale a: Tabela 17. Exemplo comissão nos lucros Sinistralidade 55% Comissão de Resseguro 25% Margem de Despesas 10% Lucro de Resseguro 10,00% % Comissão nos Lucros 50% Comissão de Lucro Final 5,00% 3.1.1.2. Faixas de sinistralidade A aplicação de faixas de sinistralidades, do inglês, loss corridors, prevê que a seguradora vai reassumir uma parcela da responsabilidade do ressegurador se o índice de sinistralidade exceder um determinado valor. Mais adequadamente modelado usando a distribuição agregada de sinistros. Exemplo: Suponha que o contrato tenha estabelecido 75% na faixa entre 80% e 90% de sinistralidade. Tem-se, então: Tabela 18. Exemplo faixas de sinistralidade Faixas de Faixas de Sinistralidade 75% Sinistralidade Sem Loss Corridors Com Loss Corridors 0% - 80% 80,00% 80,00% 80% - 90% 10,00% 2,50% >90% 10,00% 10,00% 100,00% 92,50% 3.1.1.3. Comissão escalonada A comissão escalonada é um percentual do prêmio pago pelo ressegurador à cedente, variável com o resultado observado, limitado a valores PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  5. 5. Precificação de Resseguro 39 mínimos e máximos. O índice técnico (sinistralidade observada + corretagem efetiva) varia menos se a comissão for assim contratada. E isso também pode ser abordado como um modelo agregado de distribuição de sinistros. Exemplo: Suponha que o contrato tenha estabelecido a Comissão de Provisão (Inicial) de 30%, Comissão Mínima de 25% com sinistralidade de 65%, após variando de 1:1 até 35% com sinistralidade de 55%, após variando de 0,5:1 até 45% com sinistralidade de 35%. Tem-se, então, o seguinte: Tabela 19. Exemplo de comissão escalonada Índice Técnico com Sinistralidade Comissão Índice Técnico com Comissão Fixa (30%) Observada Ajustada Comissão Escalonada < 65% < 35% 45,0% <80% 70% 40% 42,5% 82,5% 80% 50% 37,5% 87,5% 85% 55% 35,0% 90,0% 90% 60% 30,0% 90,0% 95% 65% 25,0% 90,0% Exemplo: Dada a função de distribuição de probabilidades da Tabela 20. Tabela 20. Exemplo comissão escalonada Faixas de Média Comissão Sinistralidade na Faixa Probabilidade Escalonada 0% - 35% 31,50% 0,025 45% 35% - 55% 46,90% 0,311 39% 55% - 65% 59,90% 0,222 30,1% >65% 82,20% 0,442 25% Caso exista contratação de comissão escalonada, esta deve ser incluída nos cálculos de precificação. O problema neste método é que se ignora o fato de que o contrato pode não ser renovado no próximo ano, sendo que necessita de tempo para convergir. 3.2. Excedente de responsabilidade O resseguro do tipo excedente de responsabilidade também é, por definição, proporcional. Da mesma forma, não há necessidade de metodologias para precificá-lo, as responsabilidades são proporcionais, desde prêmios até PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  6. 6. Precificação de Resseguro 40 sinistros. Com isso, seja ( )jX∏ o prêmio cobrado pela seguradora para a ésimaj − apólice, então o prêmio de resseguro total é definido por: ( )∑= ∏−= n j jj Xaêmio 1 )1(RePr Se o princípio de prêmio adotado pelo ressegurador for o mesmo da seguradora, isso se torna igualmente apropriado, como segue: Seja X um risco com função de distribuição XF , nj ,...,2,1= , sendo n o número total de apólices subscritas e ainda seja jv o valor segurado ou importância segurada da ésimaj − apólice, 0v > 0 é o valor de retenção. O preço do resseguro para a carteira que contém os riscos nXXX ,...,, 21 e retenção )1,0(∈ja será: ∑= −= n j jj XEaêmio 1 )()1(RePr . Logo, se o prêmio da seguradora é definido por ( ) )( jj XEX =∏ , por substituição, conclui-se que: ( )∑= ∏−= n j jj Xaêmio 1 )1(RePr . A ressalva anterior referente à análise de despesas e margens da seguradora e do ressegurador continua válida para esse tipo de contrato. 3.3. Excesso de dano por riscos Este resseguro, conforme exposto na seção 2.5.1, é classificado como não proporcional. Daí advém a necessidade de precificação com metodologia específica. Serão apresentadas as metodologias de precificação por experiência, por exposição, por modelagem geral e por modelagem sob Pareto. 3.3.1. Precificação por experiência ou burning cost A tarifação por experiência, do inglês experience rating, considera a sinistralidade dos últimos anos, ou seja, baseia-se em sinistros ocorridos no passado. Através de correções apropriadas os sinistros são adaptados de forma a ilustrarem bem a carga de sinistro que ocorrerá no futuro. A principal PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  7. 7. Precificação de Resseguro 41 característica é que a confiança na base de dados é altíssima. Acredita-se, nessa metodologia que o passado será replicado no futuro, ou seja, a idéia principal é que o histórico de sinistro, ajustado corretamente, é a melhor maneira de se prever as expectativas futuras. Conforme já foi apresentado, este tipo de resseguro prevê cobertura de sinistro de um risco a partir da retenção da seguradora. Clark (1996) denomina esta metodologia como burning cost, e pela necessidade de adequação da base de dados, sugere que as seguintes etapas devem ser seguidas: O primeiro passo é levantar o histórico maior possível e fazer avaliação entre credibilidade e responsabilidade da qualidade das informações. Cuidado especial deve ser tomado com sinistros próximos aos limites das faixas, pois ao terem seus valores atualizados pela inflação podem mudar de faixa (layer). O passo seguinte compõe-se dos ajustes nas bases de prêmio com fatores de taxa, preço e inflação; assim como ajuste dos valores dos sinistros históricos, conforme já mencionado. A metodologia deve seguir aplicando os fatores de evolução estudados para os sinistros, sendo possível estimar uma sinistralidade em cada faixa de valor de sinistro, onde discussões a respeito de deslocamentos na média são sempre fundamentais. Seja k o número de períodos de experiência ajustados por volume de prêmio, inflação e níveis de tarifa, seja kj ,...,2,1= um período de experiência em que ocorreram jn sinistros. Seja, respectivamente, ju e jh a prioridade e o limite de cobertura ajustados para o ano j . Seja jix , o ésimoi − sinistro ocorrido no ano j , com jni ,...,2,1= . Dessa forma, o preço de resseguro para um período, com a base de dados ajustada, pela metodologia de experiência ou burning cost será: ( )∑∑= = + −−= k j n i jjjji j uhuxmín k êmio 1 1 , ; 1 RePr . Nessa metodologia cada período de experiência recebe o mesmo peso, o que só é possível pelos ajustes de nível de prêmio e de nível de tarifa, no entanto, o conhecimento a priori, mesmo que subjetivo, pode ser adicionado nesta precificação na medida em que existam evidências de que os últimos períodos sejam mais significativos para representar o futuro. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  8. 8. Precificação de Resseguro 42 3.3.2. Precificação por exposição A tarifação por exposição, do inglês exposure rating, aplica-se quando a base de dados (material estatístico) não é suficiente, tenta-se encontrar uma carteira de seguros comparável e com a qual se tenha adquirido suficiente experiência de sinistro. Deve-se ponderar a diferença entre a carteira a ser tarifada e a análoga de tal forma que se possa determinar a futura carga de sinistros. Não são mais decisivos os sinistros realmente ocorridos, mas sim aqueles esperados, segundo as características da carteira Essa metodologia considera, segundo Mata (2005), a carga de sinistros esperada em função do tipo e da composição dos riscos cobertos. Para projetar os sinistros pode-se utilizar inclusive informações de outras fontes. Na precificação com base na exposição, o perfil do risco atual é modelado e não o que foi descrito, aceito e ocorrido nos anos anteriores. Para isso surge a curva de exposição que pode ser obtida dos próprios dados ou de uma carteira de riscos que possa representar os riscos assumidos pela seguradora, para o próximo período. A curva de exposição representa o montante do sinistro limitado a um determinado percentual p do valor segurado IS em relação ao valor total do sinistro. Sendo assim, seja ( )xf é a distribuição dos montantes dos sinistros individuais, a curva de exposição é calculada por [ ] )( )(1 )( 0 xE dxxF pP pIS ∫ − = . Após o cálculo e definição da curva de exposição, a precificação é composta por três etapas. A primeira etapa determinar faixas de valores das importâncias seguradas, com os respectivos valores médios de importâncias seguradas em cada faixa denotados por iISmédia . Calcula-se, então o percentual que é utilizado para determinar o valor do fator de exposição. Seja u a prioridade determinada para o contrato, então: u ISmédia faixa i i −=1% . Em seguida calcula-se o fator de exposição em cada faixa, denotado por iFatExp , que corresponde ao valor da curva de exposição, para o percentual encontrado no cálculo anterior, ou seja, ( )ii faixaPFatExp %= . PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  9. 9. Precificação de Resseguro 43 Para a carteira que está sendo precificada, sabe-se o valor total de prêmio cobrado pela seguradora para cada faixa, assim como se sabe o valor da sinistralidade esperada pela seguradora em cada faixa. Através da multiplicação desses valores em cada faixa, chega-se ao valor das indenizações de sinistro esperadas em cada faixa de IS, denotadas por ( )iSE . Seja n o número total de faixas de IS, o prêmio de resseguro, segundo o método de exposição, será dado por: ( )∑= = n i ii SEFatExpêmio 1 *RePr . 3.3.3. Modelagem geral A tarifação com modelagem utiliza a teoria do risco assumindo distribuições estatísticas para o número de sinistros e para o valor dos sinistros, geralmente separando-os em faixas, do inglês layers. Ou ainda, utiliza aproximações para a soma agregada dos sinistros também através de distribuições estatísticas conhecidas, conforme Mata (2000). Seja iX um risco com função de distribuição XF e seja tN o número de sinistros ocorridos no intervalo de tempo t com função de distribuição NP . O processo de modelagem necessita, igualmente, de ajustes do nível de prêmio, nível de tarifa e inflação na base de dados. Inicialmente, supõe-se que: (i) ( )tt PoiN λ~ , ou ainda, ( )qpnBinNt ,,~ , sendo que os parâmetros das distribuições são determinados a partir da base de dados. Por exemplo, ∑= = k j jt n k 1 1 λ , onde jn corresponde ao número total de sinistros ocorrido no período j . (ii) ( )kkiX σµ ,ln~ , ou ainda, iX assume outra distribuição estatística conhecida, tais como Normal, Normal Power, Gamma, Gamma Translada, Pareto, etc., mediante realização de teste de adequação à distribuição empírica. (iii) ( ) ∑= = N i iN XXS 1 é a variável aleatória sinistros agregados. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  10. 10. Precificação de Resseguro 44 O processo de ajuste de distribuição estatística aos dados que será descrito na seção 3.6.3 cabe neste ponto da precificação. O passo seguinte corresponde à simulação através do método Monte Carlo (MC), para isso, a referência com exemplos de aplicação em atuária é Scollnik (2000). Necessita- se da utilização deste método para a obtenção de toda a distribuição de probabilidade, para, então fazer inferências sobre a cauda da distribuição. São duas etapas que compõe este passo. Primeiro, deve-se simular o número de sinistros de cada período futuro e, após, deve-se gerar o valor de cada um dos sinistros simulados para cada período futuro. Aqui caberia uma discussão sobre geração de números aleatórios, ou sobre o gerador de números aleatórios, no entanto, considera-se que o modelador tenha conhecimento dos mesmos, já que esta é uma extensa área da matemática e da ciência da computação. Em geral, pacotes estatísticos contêm geradores de números aleatórios implementados e a biblioteca dos mesmos é suficiente para entendê-los e analisá-los. Além disso, se o modelador julgar necessário pode optar por fazer a geração de números aleatórios em um pacote estatístico, e transferir os resultados para o pacote que fará as simulações. Uma simulação deverá fornecer os seguintes resultados: (i) 1221 ;...;; kkk nnn , onde 1k corresponde ao primeiro mês se o período escolhido para tarifação for de 1 ano, e a base de dados estiver organizada mensalmente. (ii) 1111 ,,2,1 ;...;; knkk sss , assim como, 2222 ,,2,1 ;...;; knkk sss até 12121212 ,,2,1 ;...;; knkk sss . Com isso torna-se possível fazer o somatório de recuperações de sinistros que seriam geradas nesse cenário, a qual corresponde a: ( )∑∑= = + −= 12 1 1 1 1 1 Re k n i ki k uXcSim . Esta simulação deve ser repetida um número de vezes suficientemente grande para dar estabilidade e segurança ao prêmio de resseguro. Sugere-se 1.000 simulações iniciais, segundo Scollnick (2001). Existem alguns testes de convergência, contudo, de maneira simplificada verifica-se a convergência da modelagem através de novas 1.000 simulações e comparando-se os valores esperados obtido através de ambas, ou seja, substituindo-se por valores esperados com referência dos parâmetros. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  11. 11. Precificação de Resseguro 45 Por fim, tem-se que: ∑= = 1000 1 Re 1 RePr m mcSim m êmio , observe que nessa hipótese o número de simulações feitas corresponde a um total de 1.000. Pode-se necessitar de 100.000 simulações para alcançar a estabilidade, e cabe aplicação de conhecimentos de convergência computacional, conforme Scollnick (2000). 3.3.4. Modelagem sob Pareto Esta metodologia apóia-se em evidências de que sinistros grandes devem ser modelados separadamente dos pequenos, sendo que os pequenos podem ser modelados mais adequadamente através da distribuição agregada, ou seja, através da soma dos sinistros em um período. Para separar sinistros grandes e sinistros pequenos esta metodologia usa um limiar, que será denotado por kw , pois o valor do limiar deve ser ajustado por inflação ao período k . Na bibliografia também é denominado, do inglês, threshold. Seja kis , um sinistro ocorrido no período k . Define-se: (i) se kki ws >, então kis , deve ser usado para modelar sinistros grandes. (ii) se kki ws ≤, então kis , deve ser usado para modelar sinistros pequenos. Segundo Rytgaard (1990), a distribuição de Pareto é considerada a mais adequada para simular os sinistros grandes, isso ocorre porque ela apresenta cauda mais pesada que as demais distribuições estatísticas. A modelagem, segundo esta metodologia deve ser feita de forma parecida com a anterior no que se refere aos sinistros grandes. Seja iX um risco com função de distribuição XF e seja tN o processo de ocorrência de sinistros no tempo t com função de distribuição NP . O processo de modelagem necessita, igualmente, de ajustes do nível de prêmio, nível de tarifa e inflação na base de dados. Inicialmente, supõe-se que: PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  12. 12. Precificação de Resseguro 46 (i) ( )qpnBinNt ,,~ , sendo que os parâmetros da distribuição são determinados a partir da base de dados, pelo método de máxima verossimilhança. (ii) ( )α,~ cParetoXi , sendo que os parâmetros desta distribuição são determinados também a partir da base de dados, pelo método de máxima verossimilhança. Os sinistros pequenos são modelados pela distribuição agregada, logo: (i) ( )βα,~)( GammaXS tku , onde )( tku XS representa a soma total de recuperações de sinistros para a seguradora, de um sub- período t dentro do período k de igual tamanho ao período que está sendo precificado; os parâmetros desta distribuição são determinados também a partir da base de dados, pelo método de máxima verossimilhança. O processo de ajuste de distribuição estatística aos dados que será descrito na seção 3.6.3 cabe neste ponto da precificação. O passo seguinte corresponde à simulação e assemelha-se a simulação descrita na seção 3.3.3. no que se refere aos sinistros grandes. Os sinistros pequenos não necessitam de duas etapas, de tal forma que uma simulação deverá fornecer os seguintes resultados: 1211 ;...;; kkk SSS , onde 1kS corresponde a recuperação agregada de sinistros pequenos para o período 1, no exemplo, coloca-se o número de sub- períodos seja igual a 12 meses. Com isso torna-se possível fazer o somatório de recuperações de sinistros que seriam geradas nesse cenário, a qual corresponde a: ( )∑∑∑ = = + = −+= 12 1 1 12 1 1 1 1 Re k n i ki j k k J wXScSim . Esta simulação deve ser repetida um número de vezes suficientemente grande para dar estabilidade e segurança ao prêmio de resseguro. Sugere-se 1.000 simulações iniciais, conforme Scollnik (2000). Existem alguns testes de convergência, contudo, de maneira simplificada verifica-se a convergência da modelagem através de novas 1.000 simulações e comparando-se os valores esperados obtido através de ambas, ou seja, substituindo-se por valores esperados com referência dos parâmetros. Por fim, tem-se que: PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  13. 13. Precificação de Resseguro 47 ∑= = 1000 1 Re 1 RePr m mcSim m êmio , observe que nessa hipótese o número de simulações feitas corresponde a um total de 1.000. Pode-se necessitar de 100.000 simulações para alcançar a estabilidade, e cabe aplicação de conhecimentos de convergência computacional. 3.4. Excesso de dano por catástrofe Este resseguro, conforme exposto na seção 2.5.2 também é classificado como não proporcional. As metodologias de precificação que são utilizadas neste tipo são precificação por experiência e por modelagem. As diferenças na precificação deste tipo de resseguro estão na forma de definir os sinistros que devem ser somados, ou seja, agregam-se somente os que foram indenizados para a seguradora, em forma de recuperação de resseguro, devido a um evento considerado catástrofe. 3.4.1. Precificação por experiência Todos os ajustes de nível de prêmio, nível de tarifa e inflação, mencionados anteriormente, também se aplicam nesta precificação constituindo uma pré-etapa. Chama-se atenção para a necessidade de identificação, na base de dados, dos sinistros que se originaram de um mesmo evento. Os eventos que poderão originar catástrofe (vendaval, terremoto, etc.) já são definidos no contrato, tal como já são definidos os eventos excluídos. Seja k o número de períodos de experiência ajustados por volume de prêmio, inflação e níveis de tarifa, seja kj ,...,2,1= um período de experiência. Em um período j ocorreram jl eventos catastróficos. Seja, respectivamente, ju e jh a prioridade e o limite de cobertura de catástrofe ajustados para o ano j . Seja jlS , a soma da recuperação de resseguro do ésimol − evento catastrófico ocorrido no ano j , com jll ,...,2,1= . Dessa forma, o preço de resseguro para um período, com a base de dados ajustada, pela metodologia de experiência será: ( )∑∑= = + −−= k j l l jjjjl j uhuSmín k êmio 1 1 , ; 1 RePr . PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  14. 14. Precificação de Resseguro 48 Onde, ∑= = li i jlijl sS 1 ,,, , e jlis ,, corresponde ao ésimoi − sinistro ocorrido, causado pelo evento catastrófico l , no período j . A ressalva referente à ponderação dos períodos também se aplica nesta metodologia. 3.4.2. Modelagem A tarifação com modelagem exposta na seção 3.3.3. aplica-se a este tipo de resseguro com a diferença de composição da base de dados. A mesma deve conter somente sinistros referentes a eventos catastróficos. Seja iX um risco com função de distribuição XF e seja tN o número de sinistros ocorridos no intervalo de tempo t do evento catastrófico l com função de distribuição NP . O processo de modelagem necessita, igualmente, de ajustes do nível de prêmio, nível de tarifa e inflação na base de dados. Inicialmente, supõe-se que: (i) ( )ll PoiN λ~ , ou ainda, ( )qpnBinNl ,,~ , sendo que os parâmetros das distribuições são determinados a partir da base de dados. (ii) ( )lliX σµ ,ln~ , ou ainda, iX assume outra distribuição estatística conhecida, tais como Normal, Normal Power, Gamma, Gamma Translada, Pareto, etc., mediante realização de teste de adequação à distribuição empírica. O processo de ajuste de distribuição estatística aos dados abordado na seção 3.6.3 cabe neste ponto da precificação. O passo seguinte corresponde à simulação, a qual é realizada exatamente conforme descrito na seção 3.3.3. Uma simulação deverá fornecer os seguintes resultados: (i) ll nnn ;...;; 2 , onde ln corresponde ao número de sinistros ocorridos no evento catastrófico l . PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  15. 15. Precificação de Resseguro 49 (ii) 1,1,21,1 1 ;...;; nsss , assim como, 2,2,22,1 2 ;...;; nsss até lnll l sss ,,2,1 ;...;; , onde lnl s , corresponde ao ésimonl − sinistro ocorrido do evento catastrófico l . Com isso torna-se possível fazer o somatório de recuperações de sinistros que seriam geradas nesse cenário, a qual corresponde a: ∑ ∑= + =       −= l j l n i i uXcSim l 1 1 1Re . Esta simulação deve ser repetida um número de vezes suficientemente grande para dar estabilidade e segurança ao prêmio de resseguro. Por fim, tem- se que: ∑= = 1000 1 Re 1 RePr m mcSim m êmio . E aqui cabe aplicação de conhecimentos de convergência computacional. 3.5. Excesso de dano anual Este resseguro, conforme exposto na seção 2.6 é considerado não- proporcional. A metodologia de precificação utilizada é a modelagem. 3.5.1. Modelagem A tarifação com modelagem para este tipo de resseguro assemelha-se às modelagens dos demais tipos de resseguro. Dado o processo de simulação dos sinistros futuros que consta na seção 3.3.3, pode-se obter o prêmio de resseguro para excesso de danos anual por: ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )∑= ++ −=−== k j kkNNu uXS k uXSEXSEêmio 1 1 RePr . Além disso, alguns autores sugerem a utilização de aproximações, principalmente pelo Teorema Central do Limite, como possibilidade de determinação do prêmio de resseguro de excesso de danos anual. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  16. 16. Precificação de Resseguro 50 3.6. Conceitos adicionais Esses conceitos e considerações adicionais devem ser observados ao iniciar a precificação. Sem a devida atenção às particularidades que existem em uma operação de seguro e de resseguro de nada adianta a aplicação da melhor metodologia. As operações de seguro e de resseguro pedem mais que boas modelagens, exigem também conhecimento atuarial. 3.6.1. Tratamento de dados e sequência geral A etapa inicial abrange detalhes de ajuste e coleta de dados, bem como opções de comissões utilizadas na prática do mercado, este processo é descrito por Clark (1996), uma referência mundial em precificação. O primeiro passo consiste em compilar os dados relativos à experiência do contrato. Entre estes devem constar o histórico de prêmios emitidos e ganhos e o histórico de sinistros ocorridos, se possível, com cinco períodos ou mais. Deve-se tomar cuidado com riscos iniciados, ou seja, com as vigências, prêmios subscritos e sinistros cobertos. Ajusta-se a experiência a um nível máximo, ou seja, obtém-se a base mais recente possível, segundo Clark (1996). É importante ressaltar que a projeção de prêmios futuros deve considerar alterações nas taxas e no modelo do paralelogramo, amplamente conhecido dentro da ciência atuarial e ainda ajusta-se a inflação em todos os dados. Quando há contratos específicos para sinistros de catástrofe, os mesmos devem ser devidamente identificados. O passo principal diz respeito à sinistralidade3 e à previsão dos sinistros futuros. Exatamente neste ponto que as diversas metodologias se diferenciam. O passo seguinte consiste em estimar o índice combinado4 com comissões e despesas. Deve-se incluir a comissão de resseguro, os custos fixos e despesas gerais do ressegurador e a corretagem. Por fim, a avaliação deve levar em consideração o retorno potencial do investimento e o nível de risco das exposições, para determinar se eles atendem ou não ao objetivo de retorno do ressegurador. 3 Sinistralidade é a proporção de sinistros pagos em relação ao prêmio emitido. 4 O Índice Combinado, segundo Clark (1996) será igual a sinistralidade resultante somada às comissões de resseguro e despesas. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  17. 17. Precificação de Resseguro 51 3.6.2. Princípio de prêmios A maioria dos prêmios calculados nas metodologias de resseguro apresentadas anteriormente assumiu como base de cálculo o valor esperado, ou seja, o primeiro princípio de prêmio apresentado a seguir. No entanto, existem outros princípios de prêmio onde o valor dos mesmos é ajustado após o cálculo do valor esperado. Nem todos os princípios a seguir poderão ser aplicados em todas as metodologias, por exemplo, nos casos em que se necessita da variância e a mesma não pode ser calculada. Seja X um risco com função de distribuição XF , e seja ( )X∏ o prêmio cobrado para segurar ou ressegurar o risco X . Define-se, segundo Kass (2001) (i) Prêmio líquido: ( ) [ ]XEX =∏ . (ii) Prêmio aditivo da esperança: ( ) ( ) [ ]XEX θ+=∏ 1 , para 0>θ . (iii) Prêmio aditivo da variância: ( ) [ ] [ ]XVarXEX *θ+=∏ , para 0>θ (iv) Prêmio exponencial: ( ) ( ) ϑ ϑX eE X =∏ , para ( ) ∞<X eE ϑ . (v) Prêmio de esperança e valor em risco: ( ) [ ] [ ]XVaRaXaEX ξ*)1( −+=∏ , onde [ ]XVaRξ corresponde ao Value at Risk considerado uma medida de risco que será apresentada na seção 4.6 desta dissertação. (vi) Prêmio de valor em risco: ( ) [ ]XVaRX ξ=∏ , onde [ ]XVaRξ corresponde ao Value at Risk considerado uma medida de risco devidamente apresentada na seção 4.6 desta dissertação. (vii) Prêmio de risco ajustado: ( ) dxFX X∫ ∞ =∏ 0 1 α , onde 1>α , onde XF corresponde a função de distribuição acumulada do risco cedido. Chama-se atenção para o fato de que nas metodologias em que não é possível calcular a variância também não é possível aplicar os princípios de prêmio que a requerem. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  18. 18. Precificação de Resseguro 52 3.6.3. Ajuste de distribuição O ajuste da distribuição aos dados é que torna possível os processos de modelagens e é realizado através dos passos a seguir. O primeiro passo, segundo Scaillet (2005), consiste em determinar a distribuição empírica para a variável da seguinte forma: ( ) ( )∑= ≤= N k kX xX N xF 1 1ˆ . em que ( )xFX ˆ é a distribuição acumulada da variável x e N o número de resultados simulados para essa variável. Para possibilitar a análise e a comparação com outros resultados calcula-se a média µˆ e o desvio padrão σˆ empíricos das variáveis, como segue: ( ) ∑= = N k kX N x 1 1 ˆµ ( ) ( )∑= − − = N k kX N x 1 2 ˆ 1 1 ˆ µσ . O passo seguinte é o ajuste dos dados a uma distribuição teórica, por exemplo, as mencionadas anteriormente, sendo que os parâmetros das distribuições propostas são estimados pelo método da máxima verossimilhança. As estatísticas de teste, que serão apresentadas adiante, indicam se as distribuições ajustadas são adequadas para descrever os dados. Cabe ressaltar que os métodos utilizados para ajustar as distribuições às séries de dados somente são válidos para séries de dados independentes (o que não ocorre para uma série temporal), assim, caso se aplique, é preciso filtrar os dados, eliminando as dependências intertemporais; e identicamente distribuídos, e, portanto, estacionários, o que pode ser obtido com ajustes de inflação, nível de prêmio e nível de tarifa. Esta análise de estacionariedade pode ser investigada a partir do gráfico da série no tempo, da função de auto-correlação (FAC) e dos testes de raiz unitária, amplamente conhecidos no estudo de séries temporais. Para cada uma destas estatísticas, as distribuições são ordenadas de acordo com os valores encontrados para as estatísticas e o menor valor indicará a melhor distribuição. Todas estas possuem as seguintes hipóteses: 0H : a distribuição ajustada é a correta para os dados aH : caso contrário PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  19. 19. Precificação de Resseguro 53 Estas estatísticas apresentam características e enfoques diferentes. A escolha de qual destas usar depende das peculiaridades dos dados utilizados para análise, e que tipo de informação o modelador considera a mais importante. 3.6.3.1. Teste do Qui-quadrado A estatística qui-quadrado tem o objetivo de testar se uma amostra de dados veio de uma população com uma distribuição específica e pode ser usada para dados contínuos ou discretos. É preciso dividir os dados em grupos que podem ser determinados a partir de critérios definidos pelo modelador, ou por ajuste de grupos equiprováveis. O teste sob 0H tem o seguinte formato: ( ) ∑= − = k i i ii E EN X 1 2 2 em que k é o número de grupos, N é o número de observações em cada grupo e iE é a freqüência esperada para o grupo i , sob a hipótese de que a distribuição sob 0H é a correta. Este teste não é válido para pequenas amostras e é muito vulnerável à determinação dos grupos pois se pode encontrar diferentes resultados para os mesmos dados em função desta escolha. A estatística qui-quadrado segue, aproximadamente, uma distribuição qui- quadrado, 2 χ , com ( )1−− ck graus de liberdade, em que c representa o número de parâmetros estimados para a distribuição. Então, a hipótese de que a amostra veio da população com uma distribuição específica é rejeitada se, com o nível de significância α , observa-se: ( ) 2 1, 2 −−≥ ckX αχ . 3.6.3.2. Teste Kolmogorov-Smirinov A estatística, ou teste, Kolmogorov-Smirinov (K-S) é usada para dados contínuos e não requer a divisão dos dados em grupos, o que o torna menos arbitrário que o teste qui-quadrado. O teste K-S, segundo Scaillet (2005) é baseado na função de distribuição acumulada empírica, e tem a seguinte forma: ( ) ( )[ ]xFxFD nn ˆsup −= PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB
  20. 20. Precificação de Resseguro 54 em que n é o número total dos dados pontuais, ( )xFˆ é a função de distribuição acumulada ajustada, ( ) n N xF x n = e xN é o número de ix menores que x . A vantagem deste procedimento é que a distribuição da estatística não precisa da função de distribuição acumulada que está sendo testada. É um teste exato que depende de um tamanho de amostra adequado para que a aproximação seja válida. Porém, este teste somente se aplica em dados com distribuição contínua, e tende a ser mais sensível no centro da distribuição que nas caudas, ou seja, não detecta de forma adequada discrepâncias na cauda. A hipótese de que a amostra veio da população com uma distribuição específica é rejeitada se, com o nível de significância α , a estatística nD é maior que o valor crítico obtido de uma tabela. 3.6.3.3. Teste Anderson Darling A estatística, ou teste, Anderson Darling (A-D) pode ser usada para dados contínuos e também não requer a divisão dos dados em classes. Trata-se de uma modificação do teste K-S, que, ao contrário do teste K-S, enfatiza as caudas da distribuição. Esta estatística é uma medida da média do quadrado dos erros entre a distribuição empírica e da distribuição ajustada, e tem a seguinte forma: ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxfxxFxFnA nn ˆˆ 22 ∫ +∞ ∞− −= ψ em que n é o total de dados pontuais, ( ) ( )[ ]xFxF ˆ1ˆ 1 − =ψ , ( )xfˆ é a função de densidade ajustada, ( )xFˆ é a distribuição de probabilidade acumulada, ( ) n N xF x n = e xN é o número de ix menores que x . Este teste é unilateral e a hipótese de que a amostra veio da população com uma distribuição específica é rejeitada se, com o nível de significância α , a estatística 2 nA for maior que o valor crítico. É possível encontrar tabelas de valores críticos para as distribuições: Normal, Log-Normal, Exponencial, Weibull, valor extremo tipo 1 e distribuições logísticas. PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB

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