Neste documento, o professor Sérgio Carvalho apresenta a resolução de 6 questões de Matemática Financeira sobre Equivalência de Capitais. Ele explica os passos para resolver cada questão de forma detalhada, enfatizando a importância de identificar corretamente o tipo de questão e traçar o desenho para aplicar a fórmula correta.

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AULA 08 – RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
Olá, amigos!
Queridos, a notícia não é boa, mas estou realmente adoentado. Ao que parece, aquela
gripe de alguns dias atrás voltou. Só deu tempo ministrar umas aulas no Uni-Equipe, em São
Paulo, e já cheguei no Ceará quase afônico e com muita tosse. Precisei até cancelar a viagem
que faria a Belo Horizonte no próximo fim-de-semana. Em dez anos ensinando para concurso, é
a primeira vez que cancelo um compromisso de aulas.
Mesmo sem condições físicas, e para não atrasar mais nosso curso, vou ao menos
resolver as questões que ficaram pendentes da aula passada. Ok? Desculpem novamente. E
lembrem-se: ninguém adoece por querer.
Vamos em frente.
Dever de Casa
62. (TCDF-95) Um cidadão contraiu, hoje, duas dívidas junto ao Banco Azul. A
primeira terá o valor de $ 2.000,00 , no vencimento, daqui a seis meses; a
segunda terá o valor, no vencimento, daqui a dois anos, de $4.400,00.
Considerando a taxa de juros de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente, se
o cidadão optar por substituir as duas dívidas por apenas uma, a vencer daqui
a um ano e meio, ele deverá efetuar o pagamento de:
a) $ 6.420,00 d) $ 6.620,00
b) $ 6.547,00 e) $ 6.680,00
c) $ 6.600,00
Sol.: O primeiro passo é sempre identificar o assunto! Esse enunciado não oferece muita
resistência... Você percebe que a primeira parte do enunciado nos apresenta a forma original de
pagamento de uma dívida. Na realidade, essa dívida consiste em duas obrigações: um
pagamento em 6 meses (de R$2.000,00) e outro em 2 anos (de R$4.400,00).
Após isso, a questão revela que o devedor pretende substituir (repare bem neste
verbo!) aquela forma original de pagamento por uma nova!
Pronto! É o suficiente para termos certeza de que estamos diante da Equivalência de
Capitais. Resta sabermos se é simples ou se é composta. Mas isto vem também revelado pelo
enunciado, por meio da presença de uma taxa nominal (20%a.a., c/ capitalização trimestral).
Inclusive, já sabemos o que fazer com a taxa nominal: nós a transformaremos em taxa efetiva,
por meio do conceito de taxas proporcionais. Fazendo isso, teremos:
Æ 20%a.a., com capitalização trimestral = (20/4)= 5% ao trimestre.
Resta-nos, pois, seguir o passo a passo de resolução, o qual já conhecemos bem.
Teremos:
X
4400
2000
2t 6t 8t
(I) (II) (I)
DF

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O que fizemos acima? Desenhamos a questao; definimos quais são as parcelas de
primeira e de segunda obrigação; colocamos os tempos na mesma unidade da taxa
(trimestral); e adotamos como data focal aquela mais à direita do desenho.
Feito isso, passamos imediatamente à aplicação da equação de equivalência de capitais.
É a seguinte:
Æ Σ(I)df = Σ(II)df
Aplicando-a, teremos:
Æ 2000.(1+0,05)6
+ 4400 = X.(1+0,05)2
Uma equação e uma variável. Continuando, teremos:
Æ 2000x1,340096 + 4400 = 1,102500.X
Æ 2.680,19 + 4400 = 1,1025.X
Æ 1,1025X = 7.080,19
Æ X ≅ 6.420,00, Æ Resposta!
63. (ESAF) João tem um compromisso representado por duas promissórias: uma de $
200.000,00 e outra de $ 150.000,00 , vencíveis em quatro e seis meses,
respectivamente. Prevendo que não disporá desses valores nas datas
estipuladas, solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um
único a vencer em dez meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de
5% a.m., o valor da nova nota promissória é de:
a) $ 420.829, c) $ 445.723,
b) $ 430.750, d) $ 450.345,
Sol.: A palavra-chave deste enunciado é substituição. Vocês viram? Havia uma forma original
de pagamento, e que será substituída por outra, alternativa à primeira!
Esta situação é inequívoca: estamos diante de uma Equivalência de Capitais.
O enunciado usou expressamente as palavras juros compostos! Assim, essa questão é
de Equivalência Composta! Nosso passo a passo será o seguinte:
X
150.000
200.000
4m 6m 10m
(I) (I) (II)
DF
Repassando os passos acima realizados: Desenhamos a questao; definimos quais são as
parcelas de primeira e de segunda obrigação; colocamos os tempos na mesma unidade da taxa
(trimestral); e adotamos como data focal aquela mais à direita do desenho.
Aplicaremos a Equação de Equivalência. Teremos:
Æ Σ(I)df = Σ(II)df
Æ 200000.(1+0,05)6
+ 150000.(1+0,05)4
= X

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Uma equação e uma variável. Continuando, teremos:
Æ 200000x1,340096 + 150000x1,215506 = X
Æ 268.019,20 + 182.325,90 = X
Æ X = 450.345, Æ Resposta!
64. (Fiscal de Trib.-CE) Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, em
quanto outra no valor de R$ 30.000,00 vence em seis meses. A taxa de juros
compostos de 4% ao mês e considerando um desconto racional, obtenha o valor da
dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de três meses.
desprezando os centavos.
a) R$ 48.800,00 d) R$ 40.039,00
b) R$ 49.167,00 e) R$ 50.000,00
c) R$ 49.185.00
Sol.: A substituição da dívida original por uma nova forma de pagamento é evidente neste
enunciado! Como foi falado em juros compostos, estamos diante de uma questão de
Equivalência Composta!
Faremos:
X
30.000
20.000
0 3m 6m
(I) (II) (I)
DF
Vou repetir os passos da Equivalência Composta. Eu sei que vocês às vezes se cansam
por eu repetir muito a mesma coisa, mas se trata de uma técnica, que eu uso
propositadamente para garantir que vocês vão se lembrar disso tudo na hora da prova! Assim:
desenhamos a questao; definimos quais são as parcelas de primeira e de segunda obrigação;
colocamos os tempos na mesma unidade da taxa (mensal); e adotamos como data focal aquela
mais à direita do desenho.
Feito isso, passamos imediatamente à aplicação da equação de equivalência de capitais.
É a seguinte:
Æ Σ(I)df = Σ(II)df
Aplicando-a, teremos:
Æ 20000.(1+0,04)6
+ 30.000 = X.(1+0,04)3
Continuando, teremos:
Æ 20000x1,265319 + 30.000 = 1,124864.X
Æ 1,124864.X = 30.000 + 25.306,38
Æ 1,124864.X = 55.306,38
Æ X ≅ 49.167, Æ Resposta!

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65. (AFRF 2005 ESAF) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista
ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo
está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$
400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da
compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com
vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem
considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:
a) R$ 220.237,00 d) R$ 275.412,00
b) R$ 230.237,00 e) R$ 298.654,00
c) R$ 242.720,00
Sol.: Vou começar essa resolução com uma pergunta: qual foi a característica, presente nas
questões anteriores, que nos levou a concluir que eram questões de Equivalência de Capitais?
Ora, tal característica era a presença de duas formas de cumprir uma mesma obrigação.
Concordam? E é exatamente esta situação que aqui se vê novamente!
No caso deste enunciado, as duas formas de pagamento são as seguintes: forma à vista
e forma a prazo! Só isso! Ademais, o regime da questão foi revelado expressamente pelas
palavras juros compostos! Conclusão: estamos diante de uma questão de Equivalência
Composta! Nosso passo a passo é o seguinte:
400.000,
X X
0 1s 3s
(I) (II) (II)
DF
O que fizemos acima você já sabe: desenhamos a questao; definimos quais são as
parcelas de primeira e de segunda obrigação; colocamos os tempos na mesma unidade da taxa
(semestre); e adotamos como data focal aquela mais à direita do desenho.
Na seqüência, aplicamos a equação de equivalência de capitais. É a seguinte:
Æ Σ(I)df = Σ(II)df
Aplicando-a, teremos:
Æ 400000.(1+0,05)3
= X.(1+0,05)2
+ X
Continuando, teremos:
Æ 400000x1,157625 = 1,1025.X + X
Æ 463.050 = 2,1025.X
Æ X = 220.237, Æ Resposta!
Essa questão é a prova viva que nem todas as questões de Matemática Financeira do
AFRF-2005 foram assim terríveis! Próxima.

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66. (AFC/STN 2005 ESAF) Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros
compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$ 500,00
vencível no final do terceiro mês; outra de R$ 1.000,00 vencível no final do
oitavo mês e a última, de R$ 600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A
taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do sexto mês o
cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os
centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a:
a) R$ 2.535,00 d) R$ 1.957,00
b) R$ 2.100,00 e) R$ 1.933,00
c) R$ 2.153,00
Sol.: Vamos lá! Novamente um devedor vai substituir a forma original de pagamento de sua
dívida. E vai pagá-la de outro jeito! Façamos o desenho da questão. Teremos:
X
1000, 600,
500,
3m 6m 8m 12m
(I) (II) (I) (I)
DF
Espero que todos já tenham memorizado – definitivamente – os passos de
resolução da Equivalência Composta! Assim, aplicando a Equação de Equivalência,
teremos:
Æ Σ(I)df = Σ(II)df
Æ 500.(1+0,05)9
+ 1000.(1+0,05)4
+ 600= X.(1+0,05)6
Continuando, teremos:
Æ 500x1,551328 + 1000x1,215506 + 600 = 1,340096.X
Æ 1,340096.X = 2.591,17
Æ X = 1.933, Æ Resposta!
É isso, meus amigos.
Ficaremos por aqui, hoje.
Na próxima aula, aprenderemos os dois últimos assuntos da prova da Receita, e
nas duas aulas seguintes veremos o complemento da matéria para a prova do ISS-SP.
Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus.