O documento discute álgebra de Boole e sistemas digitais. Apresenta operações booleanas como AND, OR e NOT e suas tabelas-verdade. Também cobre conceitos como funções lógicas, simplificação de expressões booleanas usando postulados e teoremas como os de Morgan.

1. MSc: Mário Sitoe
23/03/2023 1
UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO
LICENCIATURA EM ADMINISTRAÇÃODE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO E REDES
Álgebra de Boole
Sistemas Digitais

2. 1. Equações Booleanas e Circuitos lógicos
básicos
A álgebra booleana foi criada pelo matemático inglês George
Boole (1815-1864).
A álgebra booleana é uma forma de utilizar técnicas algébricas
para lidar com expressões cujas variáveis trabalham somente
com dois valores: falso (0) ou verdadeiro (1). Atualmente, todos
os sistemas digitais são baseados nela, relacionando os níveis
lógicos 0 (falso) e 1 (verdadeiro) com a passagem ou ausência de
corrente eléctrica.
Os seus elementos da álgebra de Boole, a princípio, não tem
significado numérico.
1.1. A álgebra de Boole e os Circuitos Digitais

3. Se x é uma variável boleana então:
Se x  0  x = 1
Se x  1  x = 0
Operações
Postulados
São definidas algumas operações elementares na álgebra boleana:
Operação “Não” (NOT)
Operação “E” (AND)
Operação “Ou” (OR)
Operação “Ou-Exclusivo” (Exclusive-Or ou XOR)
Operação “Não” (NOT)
• operador barra –
• 0 = 1
• 1 = 0

4.  Operação “E” (AND)
 operador ponto .
 0 . 0 = 0
 0 . 1 = 0
 1 . 0 = 0
 1 . 1 = 1
Operação “Ou” (OR)
 operador +
 0 + 0 = 0
 0 + 1 = 1
 1 + 0 = 1
 1 + 1 = 1
Operação “Ou-Exclusivo” (XOR)
 operador 
 0  0 = 0
 0  1 = 1
 1  0 = 1
 1  1 = 0

5. 1.2 Noção de Funções Lógicas Ou Booleanas
Os termos função e expressão são muitas vezes considerados
sinónimos, entretanto, matematicamente eles representam
entidades diferentes.
Uma expressão é uma combinação de números, operadores e
variáveis, compondo somente um objecto.
Uma função é uma generalização da noção comum de fórmula
matemática. Funções descrevem as relações matemáticas entre
dois objetos, x e y = f(x), onde o objeto x é chamado de
argumento da função f, o objeto y que depende de x é chamado
imagem de x por f e a função f é uma expressão contendo o
argumento x como variável.

6. Para a álgebra booleana estes conceitos também são válidos, e
portanto, podemos ter funções e expressões booleanas.
As funções e expressões booleanas são formadas somente pelos
números 0 e 1, pelos operadores lógicos descritos
anteriormente e por variáveis booleanas. Uma ou mais variáveis
e operadores podem ser combinados formando uma função
lógica.
A Tabela 1 mostra alguns exemplos de expressões e funções
booleanas.

7. 1.3 Tabela-Verdade
Os resultados de uma função lógica podem ser expressos numa
tabela relacionando todas as combinações possíveis dos valores
que suas variáveis podem assumir e seus resultados
correspondentes: a Tabela-Verdade.
A B Z = f (A,B)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Lista das
combinações
possíveis dos
estados das
variáveis de
entrada
Variáveis Função Lógica
Resultados da
função lógica para
cada combinação
dos estados de
entrada
Na Tabela-Verdade acima a função lógica Z possui duas variáveis
A e B, sendo Z = f(A, B) = A + B

8. 1.4 Funções Booleanas Básicas
As funções booleanas ou logicas básicas elementares são:
•Função Igualdade
•Função União
•Função Intersecção
•Função Negação
 Função Igualdade
A função igualdade é a mais elementar e intervém
somente uma variável. A expressão matemática é a
seguinte: S = a
A tabela de verdade, assim como a sua materialização
mediante contatos, apresenta-se a seguir:
a S
0 0
1 1
a=0
a=1
S=0
S=1

9.  Função União
A função união é conhecida também como função reunião,
função soma ou função OU (OR). A expressão matemática
para duas variáveis será: S = a + b
A tabela de verdade e o circuito de contatos representativo
apresenta-se a seguir:
a b S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

10.  Função Intersecção
A função intersecção é conhecida também como função
produto ou função E (AND). A expressão matemática
para duas variáveis é a seguinte: S = a . b
A tabela de verdade e o circuito de contatos representativo
apresenta-se a seguir:
a b S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

11. 1.5 Outras Funções Básicas Importantes
 Função Negação
A função negação é também conhecida como complemento
ou função NAO (NOT). A sua expressão matemática é: S =
a
A tabela de verdade apresenta-se na figura a seguir:
a S
0 1
1 0
Outras funções básicas importantes são:
•Função NAND: que é a função AND negada
•Função NOR: que e a função OR negada
•Função exclusive OR.

12. Denominação Tabela Função
NAND
S = a . b
NOR
S = a + b
Exclusive OR
S = a . b + a . B
S = a  b
a b S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
a b S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
a b S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

13. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES
 Circuitos lógicos correspondem a equações booleanas, que são
extraídas da tabela-‐verdade.
 Construção de circuitos lógicos através de
expressões booleanas é complexo.
 Pode ser simplificado, reduzindo o custo diminuindo
a quantidade de blocos lógicos.

14. Postulados
Postulado da Complementação
1º) Se A 0  A1
2º) Se A1 A 0
Identidade A  A
Se A 1, temos: A  0 e se A  0  A 1
Se A  0, temos: A 1 e se A 1 A  0

15. Postulado da Adição
1º) 0 + 0 = 0
2º) 0 + 1 = 1
3º) 1 + 0 = 1
4º) 1 + 1 = 1
Identidades:
A 0  A
A  0  0  0  0
A 11 0 1
A1 1
A  0  0 11
A 1111
A A  A
A  0  0  0  0
A 1111
A A 1
A  0  0 11
A 11 0 1
Postulados

16. Postulado da Multiplição
1º) 0 . 0 = 0
2º) 0 . 1 = 0
3º) 1 . 0 = 0
4º) 1 . 1 = 1
Identidades:
A0  0
A  0  00  0
A 110  0
A1 A
A  0  01 0
A 1111
A A  A
A  0  00  0
A 1111
A A  0
A  0  01 0
A 110  0
Postulados

17. Propriedade Comutativa
Adição  A B  B  A
Multiplicação  A B  B A
Propriedade Associativa
Adição  A B C A BC  A B C
Multiplicação  ABC ABC  ABC
Postulados

18. Propriedade Distributivva
ABC AB AC
A B C A(B+C) AB+AC
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
Postulados

19. Teoremas de
Morgan
 São empregados para simplificar as expressões algébricas
booleanas.
Teorema 1
O complemento do produto é igual à soma dos complementos:
A.B A B
A B A.B A B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0

20. Representação por blocos lógicos:
Teorema 1

21. Teorema 2
O complemento da soma é igual ao produto dos
complementos.
A B  A.B
Como este teorema é uma extensão do primeiro:
A aplicação deste teorema é demonstrada pela equivalência
entre blocos lógicos:

22. Identidades Auxiliares
A A B  A
Para prová-‐lautilizamos a propriedade distributiva, evidenciando A
A1 B A
Do postulado da soma temos: 1+B =1
A1 A

A A B  A

23. Identidades Auxiliares
A BAC A BC
Provando a identidade:
A BA C
 A A AC  A B  BC  Pr opriedade _ distributiva
 A AC  A B  BC  Pr opriedade _ A A  A
 A1 B  C BC  Pr opriedade _ distributiva
 A1 BC  Identidades : _1 X 1_ e _ A1 A
A BA C A BC

24. Identidades Auxiliares

25. Quadro
Resumo

26. 2. Introdução
No projeto de circuitos digitais e muito importante simplificar as
funções obtidas da tabela de verdade ou diretamente do enunciado
do problema. Quanto mais simples forem, menor será o numero de
componentes necessários para a sua concretização em forma de
circuitos lógicos.
2.1 Simplificação pelo método algébrico
Não existem regras rígidas para fazer simplificação por este método.
Consiste em reduzir uma função lógica recorrendo, na medida do
possível, aos postulados, propriedades e teoremas da álgebra de
Boole.

27. Exemplo:
f  a  b  a  c 
Aplicando primeiro o teorema de De Morgan ao termo
a  c  resulta f  a  b  a  c
através da propriedade distributiva f  a  b  a  b  c
Por aplicação da Lei da absorção que diz a  b  a  a
Obteremos como resultado final f  a  b  c

28. Exemplo

30. Exercicios: Simplifique as funções abaixo
1.
I1.

31. 2.2. Passagem de uma função a forma canônica
As formas canónicas facilitam o processo de simplificação
das expressões lógicas.
Mintermo – é um produto em que cada uma das variáveis aparece
apenas uma vez,na forma complementada ou não complementada.
A cada combinação de valores das variáveis de entrada está
associado um mintermo, identificado por mj, onde j é o valor decimal
equivalente ao valor binário da combinação para a qual o mintermo
tem o valor 1.

32. Símbolo X Y Z Mintermos
m0 0 0 0 X Y Z
m1 0 0 1 X Y Z
m2 0 1 0 X Y Z
m3 0 1 1 X Y Z
m4 1 0 0 X Y Z
m5 1 0 1 X Y Z
m6 1 1 0 X Y Z
m7 1 1 1 X Y Z
Forma canónica soma de produtos – quando a expressão é
constituída pela soma lógica dos mintermos para os quais a função
toma o valor 1.

33. Exemplo:
Dada a tabelade verdade da função F(X,Y
,Z)
Símbolo X Y Z Mintermos F F
m0 0 0 0 X Y  Z 1 0
m1 0 0 1 X Y  Z 0 1
m2 0 1 0 X Y  Z 1 0
m3 0 1 1 X Y  Z 0 1
m4 1 0 0 X Y  Z 0 1
m5 1 0 1 X Y  Z 1 0
m6 1 1 0 X Y  Z 0 1
m7 1 1 1 X Y  Z 1 0
A forma canónica soma de produtos ou Minterms de F(X,Y,Z) é dada
pela expressão.
FX,Y,Z X Y  Z  X Y  Z  X Y  Z  X Y  Z ou
FX,Y, Z m0  m2  m5  m7 ou
FX,Y, Z m0,2,5,7 …notação reduzida

34. O complemento da função contém os mintermos não incluídos na
função original.
Para o exemplo anterior,temos:
FX,Y, Z X Y  Z  X Y  Z  X Y  Z  X Y  Z ou
FX,Y, Z m1,3,4,6
Qualquer expressão lógica de uma função pode ser manipulada de
modo aexprimir-se na forma canónica soma de produtos.
Exemplo:
Exprime afunção aseguir na forma canónica soma de produtos.
FA,B,C A BC

35. FA, B,C AB BC CA ABC
Sabendo que
A A  B  B  C  C 1
F(A, B,C)  A BC  A BC  A B C  A B C  A BC  A BC
F A, B,C A BC  A BC  A B C  A B C  A BC
FA,B,C m3,4,5,6,7

36. Maxtermo – é uma soma em que cada uma das variáveis aparece
apenas uma vez,na forma complementada ou não complementada.
A cada combinação de valores das variáveis de entrada está associado
um maxtermo, identificado por Mj, onde j é o valor decimal
equivalente ao valor binário da combinação para a qual o maxtermo
tem o valor 0.
Símbolo X Y Z Maxtermos
M0 0 0 0 X Y  Z
M1 0 0 1 X Y  Z
M2 0 1 0 X Y  Z
M3 0 1 1 X Y  Z
M4 1 0 0 X Y  Z
M5 1 0 1 X Y  Z
M6 1 1 0 X Y  Z
M7 1 1 1 X Y  Z

37. Forma canónica produto de somas – quando aexpressão é
constituída pelo produto lógico dos maxtermos para os quais a
função toma o valor 0 (zero).
Exemplo:
Dada a tabelade verdade da função F(X,Y
,Z)
Símbolo X Y Z Maxtermos F F
M0 0 0 0 X Y  Z 1 0
M1 0 0 1 X Y  Z 0 1
M2 0 1 0 X Y  Z 1 0
M3 0 1 1 X Y  Z 0 1
M4 1 0 0 X Y  Z 0 1
M5 1 0 1 X Y  Z 1 0
M6 1 1 0 X Y  Z 0 1
M7 1 1 1 X Y  Z 1 0

38. FX,Y, Z X Y  ZX Y  ZX Y  ZX Y  Z
F X,Y, Z M1M3M4M6
FX,Y,Z M1,3,4,6…notação reduzida
O complemento da função contém os maxtermos não incluídos na
função original.Para o exemplo anterior,temos
F X,Y,Z X Y  ZX Y  ZX Y  ZX Y  Z
F X,Y,Z M 0,2,5,7
Qualquer expressão lógica de uma função pode ser manipulada de
modo aexprimir-se na forma canónica de produtos de somas.

39. Exemplo:
Expressar afunção a seguir n aforma canónica de produto de somas.
FA,B,C AB  C
AA  BB  CC  0 XX  X
Sabendo que e que
FA, B,C A  BB CCAA B C
 A  B CA B CA B CA  B CA B CA  B C
 A  B CA B CA B CA  B CA B C
FA,B,C M2,4,5,6,7

40. Conversão entre formas canónicas
• Conversão de FCSPpara FCPS
Considerar os Maxterms não incluídos nos Minterms
Exemplo
FA, B,C m0,2,5,7 M 1,3,4,6
• Conversão de FCPSpara FCSP
Considerar os Minterms não incluídos nos Maxterms
Exemplo
FA, B,C M 1,3 m0,2,4,5,6,7
M j  mj

41. M4  X Y  Z

X Y  Z( dupla negação)
Exemplo:
X Y  Z (teorema de De Morgan)
m4
Exercício
Demostre que a forma canónica complementada da função é
verdadeira
FA, B,C m0  m2  m5
F A,B,C M0  M2  M5

42. FA,B,C m0  m2  m5  m0 m2 m5  M0 M2  M5
FA,B,C M1  M3  M4  M6  M7 
 M1  M3  M4  M6  M7  m1  m3  m4  m6  m7
Tabelas de verdade
As tabelas de verdade constituem um dos processos de descrição das
funções lógicas.
Vantagens:
• Facilidade com que se obtém a partir da formulação verbal
da função a implementar.
• Facilidade na obtenção das expressões algébricas nas formas
canónicas.
• Constituem o ponto de partida para métodos gráficos etabulares
de simplificação de funções (mapas de Karnaugh).
Demonstração:

43. Construção da tabela de verdade a partir da formulação
verbal
Construir afunção F(X,Y,Z) que tenha o valor 1 sempre que o número
de 1’s nas variáveis de entradaX,Y e Z sejaum número ímpar.
X Y Z Z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

44. Formas canónicas a partir da tabela de verdade
Dada atabela de verdade da função lógica F(A,B,C)
X Y Z Z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
F(A,B,C) éumafunção lógicade 3 variáveisA,B e C, assumindoo valor
1 para as combinações 001,010 e 110 e o valor 0 para as combinações
000,011,100,101 e 111.

45. Recorrendo à definição de mintermo e maxtermo, facilmente se obtém
databela aexpressão lógicadafunção naforma canónica somade
produtos:
FA,B,C A  B C  A  BC  A BC  m1  m2  m6  m1,2,6
ou na forma canónica produto de somas:
FA, B,C A B  CA B  C A  B  CA  B  C A  B  C 
 M0 M3 M4 M5 M7  M0,3,4,5,7
Determinação da tabela de verdade a partir de uma
expressão lógica
1º Método –Avaliação da expressão recorrendo a cálculos
intermédios
FX,Y,Z X YZ

46. 2º M étodo – Interpretação/leitura da expressão lógica.
Quando as expressões lógicas estão na forma soma de produtos ou
produtos de somas, é possível efetuar-se uma interpretação da
expressão que permita a obtenção da tabela-verdade de uma forma
explicita.
Variáveis de entrada Cálculos
intermediários
F(X,Y,Z)
X Y Z Z YZ X YZ
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1

47. Exemplo: FX,Y,Z X YZ
A expressão encontra-se na forma soma de produtos,logo podemos
concluir que a função Ftoma o valor 1.
Quando X  1
 X 1; Y; Z
Ou
Nº de termos = 4;5;6;7
Quando YZ 1
 X; Y  1; Z 1
 X; Y 1; Z  0 Nº de termos =
2;6

48. FX,Y,Z X YZ  X YX  Z 
A expressão encontra-se na forma produto de somas,logo podemos
concluir que a função Ftoma o valor 0:
Quando X Y  0
 X  0; Y  0; Z Nº de termos =
0;1
Ou quando X  Z  0
X Y Z F(X,Y,Z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
 X  0; Y; Z  0
 X  0; Y; Z  1 Nº de termos = 1;3