O documento discute medidas de mortalidade utilizadas em demografia, como taxa bruta de mortalidade, taxa específica de mortalidade e esperança de vida. Explica como uma tabela de vida é construída a partir das taxas específicas de mortalidade e fornece expectativa de vida.

1. Mortalidade (cont.)
Prof. Victor Hugo Dias Diógenes
victordiogenes@gmail.com
Aula 10
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA - UFPB
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS - CCSA
DEPARTAMENTO DE FINANÇAS E CONTABILIDADE – DFC
CURSO DE CIÊNCIAS ATUARIAIS
DEMOGRAFIA APLICADA ATUÁRIA (CÓD. 1202319)

2. Nós vimos algumas medidas de mortalidade:
* Taxa Bruta de Mortalidade – TBM
Problema: é influenciada pela estrutura etária.
Ex: Alemanha e Uganda tem a mesma TBM.
* Taxa Específica de Mortalidade – TEM
Problema: Ideal para ilustrar diferenças no padrão da
mortalidade ao passar das idades. Mas devido ao elevado
número de TEMs, dificulta comparar níveis.
MEDIDAS DE MORTALIDADE
2

3. MEDIDAS DE MORTALIDADE
3
0.00001
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Litoral Norte Sul
TEM – Regiões do Litoral Norte e Sul do RG - 2010

4. Como saída, temos a ESPERANÇA OU
EXPECTATIVA DE VIDA:
• Trata-se de uma medida resumo e que
não sofre a influência da estrutura
etária. Por que?
• Quantifica e sintetiza a mortalidade de
uma população e pode ser usada para
comparações.
• Deve ser entendida como o número
médio de anos que um indivíduo viverá
a partir daquela idade. Ex:
EXPECTATIVA DE VIDA
650
xe
4

5. ESPERANÇA DE VIDA:
• Amplamente utilizada em diversos segmentos.
Ex: para o cálculo do IDH.
• Utilizada para inferir sobre o grau
desenvolvimento de um país.
EXPECTATIVA DE VIDA
Japão Brasil Zimbábue
82,73 72,24 46,59
EXPECTATIVA DE VIDA AO NASCER – 2005 a 2010
Fonte: CIA World Factbook
Mas Fem
69,7 77,3
EXPECTATIVA DE VIDA DO BRASIL - 2010
Fonte: IBGE
5

6. EXPECTATIVA DE VIDA
ESPERANÇA DE VIDA NO MUNDO
6
www.bit.ly/1BgeOMz

7. • A forma mais fiel de se obter a 𝑒 𝑥 seria tomar uma coorte
de nascimentos num determinado ano, acompanhá-la até
que ela se extinga, anotando-se o tempo vivido por cada
pessoa, e calcular a vida média dos indivíduos da coorte.
Porém, isso demanda grande dificuldades operacionais.
TABELA DE VIDA
7
0 35 60 110
anos

8. • A forma mais fiel de se obter a 𝑒 𝑥 seria tomar uma coorte
de nascimentos num determinado ano, acompanhá-la até
que ela se extinga, anotando-se o tempo vivido por cada
pessoa, e calcular a vida média dos indivíduos da coorte.
Porém, isso demanda grande dificuldades operacionais.
• Outra forma é de obtenção da expectativa de vida é baseada
em um processo de diversas etapas (funções) que compõem
a TABELA DE VIDA. Outras nomenclaturas: tábua de vida,
tabela de sobrevivência, tábua de sobrevivência ou tábua de
mortalidade.
TABELA DE VIDA
8

9. • A TV é de suma importância para a Ciência Atuarial pois
fornece as probabilidades de sobrevivência e de morte em
cada idade, necessárias para os cálculos de anuidades e de
seguros de vida, por exemplo.
TABELA DE VIDA




1
0

j
xj
j
x pva
Mat. Financeira
Prob. de
sobrevivência
(Tábua de Vida)
9

10. • Os dados de entrada de uma TV são as Taxas Específicas de
Mortalidade – TEM:
TEM – Input da TV
xn
xn
xn
P
O
TEM 
Faixa etária
TEM_BR_2012
Mas Fem Total
Menor que 1 0,014775 0,012298 0,013557
1 a 4 0,00061 0,000528 0,00057
5 a 9 0,000291 0,000228 0,00026
10 a 14 0,000406 0,000248 0,000328
15 a 19 0,001973 0,000487 0,001235
20 a 24 0,002649 0,000561 0,001606
25 a 29 0,002626 0,000677 0,001641
30 a 34 0,002968 0,000986 0,001958
35 a 39 0,003431 0,00135 0,002364
40 a 44 0,004244 0,001974 0,003077
45 a 49 0,005976 0,002975 0,004419
50 a 54 0,008576 0,004485 0,006436
55 a 59 0,012519 0,006737 0,009463
60 a 64 0,017762 0,010137 0,0137
65 a 69 0,025996 0,015639 0,020398
70 a 74 0,037515 0,023756 0,029888
75 a 79 0,058229 0,039511 0,047474
80 e mais 0,117389 0,098836 0,105997
TOTAL 0,007061 0,005151 0,006086
• É com essa experiência de
mortalidade que vou obter a
expectativa de vida.
• Quando utilizada na TV, por vezes,
é denominada de Taxa Central de
Mortalidade. 10

11. EXEMPLO DE TV
TV_BRASIL_2012_MASC
Idade n nmx nax nqx npx lx ndx nLx nTx ex
0 1 0,014775 0,1 0,014578 0,985422 100.000 1.458 98.665,6 7.070.716,5 70,70716
1 4 0,00061 1,6 0,002435 0,997565 98.542 240 393.595,4 6.972.050,8 70,7519
5 5 0,000291 2,5 0,001453 0,998547 98.302 143 491.154,5 6.578.455,4 66,92065
10 5 0,000406 2,5 0,002027 0,997973 98.159 199 490.299,9 6.087.300,9 62,01439
15 5 0,001973 2,5 0,009818 0,990182 97.960 962 487.397,9 5.597.000,9 57,13529
20 5 0,002649 2,5 0,013159 0,986841 96.999 1.276 481.802,3 5.109.603,0 52,67704
25 5 0,002626 2,5 0,013046 0,986954 95.722 1.249 475.489,2 4.627.800,7 48,34615
30 5 0,002968 2,5 0,014732 0,985268 94.473 1.392 468.887,8 4.152.311,6 43,95216
35 5 0,003431 2,5 0,017011 0,982989 93.082 1.583 461.449,8 3.683.423,8 39,57196
40 5 0,004244 2,5 0,020999 0,979001 91.498 1.921 452.687,9 3.221.974,0 35,21349
45 5 0,005976 2,5 0,029441 0,970559 89.577 2.637 441.291,3 2.769.286,1 30,91519
50 5 0,008576 2,5 0,04198 0,95802 86.940 3.650 425.573,9 2.327.994,9 26,77714
55 5 0,012519 2,5 0,060694 0,939306 83.290 5.055 403.811,8 1.902.420,9 22,84095
60 5 0,017762 2,5 0,085035 0,914965 78.235 6.653 374.542,2 1.498.609,2 19,15528
65 5 0,025996 2,5 0,122049 0,877951 71.582 8.737 336.069,2 1.124.067,0 15,70318
70 5 0,037515 2,5 0,171493 0,828507 62.846 10.778 287.283,9 787.997,8 12,53864
75 5 0,058229 2,5 0,254147 0,745853 52.068 13.233 227.257,6 500.713,8 9,616539
80 + - 0,117389 - 1 0 38.835 38.835 273.456,3 273.456,3 7,041482
11

12. • Para se obter esperança de vida deveríamos adotar uma
coorte de nascimentos num determinado ano, acompanhá-la
até que ela se extinga, anotando-se o tempo vivido por cada
pessoa, e calcular a vida média dos indivíduos dessa coorte.
• Na realidade, a maneira mais comum é submeter uma coorte
hipotética de recém-nascidos a experiência de mortalidade
(conjunto de TEMs) vivida por uma população real em um
determinado ano ou período, e segui-la até que o último
indivíduo morra.
METODOLOGIA DA TV
12

13. • Na TV para um determinado período, os padrões de
mortalidade para a coorte em estudo, correspondem na
realidade às distintas gerações no mesmo momento, como se
mostra no diagrama de Lexis para 1990.
METODOLOGIA DA TV
Nascim
Idade
13

14. • As TEM se manterão constantes ao longo do
tempo.
• Portanto, por definição, faz sentido afirmar
que podemos considerar a expectativa de vida
uma medida subdimensionada?
PRESSUPOSTOS DE UMA TV
14

15. FUNÇÕES DA TV
x – idade
n – tamanho do intervalo
nmx – taxa central de mortalidade na faixa etária x e x+n :
nax – tempo médio vivido pelos que morreram entre x e x+n:
nqx – probabilidade de morte entre as idades x e x+n
npx – probabilidade de entre as idades x e x+n
lx – nº de sobrevivente à idade exata x
ndx – nº de óbitos entre as idades x e x+n
nLx – tempo vivido pela geração entre as idades x e x+n
Tx – tempo a ser vivido pelos sobreviventes a idade x
ex – esperança de vida a idade x
15

16. nax - Tempo médio vivido (pessoas-ano vividos no intervalo
por aqueles que morreram nesse período)
Representa o tempo médio vivido por aqueles que
morreram entre a idade x e x+n.
Partindo do pressuposto que os indivíduos que morreram
viveram, em média, metade do intervalo, se consideramos
prob. de morrer uniforme dentro do intervalo etário:
nax = n/2

17. nax - Tempo médio vivido (pessoas-ano vividos no intervalo
por aqueles que morreram nesse período)
Segundo Ortega:
• 1a0 - em populações com baixa mortalidade, é estimado como
0,10. Em populações sub–desenvolvidas pode aumentar até 0,3;
• 4a1, em geral, é estimado como 0,4.
Porém, já vimos que o pressuposto de mortalidade constante
durante o intervalo etário não é razoável para as primeiras idades (0
a 4 anos). Desse modo, através de dados empíricos, foram
estimados valores para nax para os dois primeiros grupos etários:

18. nax - Tempo médio vivido (pessoas-ano vividos no intervalo
por aqueles que morreram nesse período)
Já para Preston et al:

19. x n nmx nax nqx npx lx ndx nLx Tx ex
Idade
Tamanho
intervalo
Taxa
central de
mortalidad
e
Tempo
medio
vivido
Probabilid
ade de
morte
Prob.
sobrevivên
cia
Sobrevive
ntes à
idade
Número
de
mortes
Tempo
vivido
pelos
sobrevivent
es
Tempo a
ser vivido
pelos
sobreviven
tes
Esperanç
a de vida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 0,0222 0,3 0,0218 0,9782 100000 2180 98256 6860786 68,61
1 4 0,0009 0,4 0,0038 0,9962 97820 370 389932 6762530 69,13
5 5 0,0005 2,5 0,0024 0,9976 97451 233 486671 6372597 65,39
10 5 0,0006 2,5 0,0028 0,9972 97218 275 485400 5885926 60,54
15 5 0,0013 2,5 0,0065 0,9935 96943 630 483137 5400526 55,71
19

20. nqx – Probabilidade de morte
Representa a probabilidade que
tem uma pessoa de idade exata x
de morrer antes de completar x+n
anos.
 
  xnxn
xn
xn
man
mn
q
.1
.


Escala
normal
Escala
logarítmica
20

21. nqx – Probabilidade de morte
21
• TAXA  PROBABILIDADE
• Taxa pode ser definida como a divisão do número de
eventos, que ocorreram em um determinado intervalo de
tempo, pelo número de indivíduos que estiveram expostos
ao risco do evento em questão, durante o mesmo período.
• A probabilidade é similar à taxa, com a diferença de que o
denominador é composto por todas as pessoas de uma
determinada população no começo do período de
observação.

22. nqx – Probabilidade de morte
22
• As TEM (ou taxas centrais de mortalidade) são calculadas a
partir do número de óbitos de determinada idade dividido
pela quantidade de pessoas-ano (estimada pela população
na metade ou no ponto médio do período analisando).
• Para conseguir uma tábua de mortalidade, temos de
transformar as TEM em probabilidades de morte (onde o
denominador não é a população no meio do período, mas a
população existente no começo do período, antes de
morrer nenhum).
• Com essas probabilidades podemos então simular uma
geração nascimento hipotética e acompanhá-la até que
todos morram.

23. nqx – Probabilidade de morte
23
xn
xn
xn
L
d
m 
• Relação entre taxa central de mortalidade e as probabilidade
de morte:
Sabemos que:
x
xn
xn
l
d
q 

24. nqx – Probabilidade de morte
24
xnxn
xn
xn
xnxnxnxn
xnxnxnxnxn
xnxnxnxnxnxnxn
xnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxn
xnxnxn
xn
xn
x
nxxnxxn
x
xn
nxxnxxn
xn
xn
xn
xn
man
nm
q
nmmanq
nmmamnq
nmmqamqnq
mqamamqnnmmaq
qana
q
m
l
lanla
l
d
lanla
d
L
d
m
)(1
))(1(
)1(
)1)((
)()(













Portanto:

25. nqx – Probabilidade de morte
25
xnxn pq 1
x
nx
xn
l
l
q 
1
x
xn
xn
l
d
q 
• Obtida a probabilidade de mortes, podemos utilizar todas
as relações que vocês viram ao longo do curso:

26. x n nmx nax nqx npx lx ndx nLx Tx ex
Idade
Tamanho
intervalo
Taxa
central de
mortalidad
e
Tempo
medio
vivido
Probabilid
ade de
morte
Prob.
sobrevivên
cia
Sobrevive
ntes à
idade
Número
de
mortes
Tempo
vivido
pelos
sobrevivent
es
Tempo a
ser vivido
pelos
sobreviven
tes
Esperanç
a de vida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 0,0222 0,2 0,0218 0,9782 100000 2180 98256 6860786 68,61
1 4 0,0009 0,4 0,0038 0,9962 97820 370 389932 6762530 69,13
5 5 0,0005 2,5 0,0024 0,9976 97451 233 486671 6372597 65,39
10 5 0,0006 2,5 0,0028 0,9972 97218 275 485400 5885926 60,54
15 5 0,0013 2,5 0,0065 0,9935 96943 630 483137 5400526 55,71
26
 
  xnxn
xn
xn
man
mn
q
.1
.



27. npx – Probabilidade de sobrevivência
Representa a probabilidade que
tem uma pessoa de idade exata x,
chegar com vida à idade x+n.
xnxn qp 1
27

28. x n nmx nax nqx npx lx ndx nLx Tx ex
Idade
Tamanho
intervalo
Taxa
central de
mortalidad
e
Tempo
medio
vivido
Probabilid
ade de
morte
Prob.
sobrevivên
cia
Sobrevive
ntes à
idade
Número
de
mortes
Tempo
vivido
pelos
sobrevivent
es
Tempo a
ser vivido
pelos
sobreviven
tes
Esperanç
a de vida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 0,0222 0,2 0,0218 0,9782 100000 2180 98256 6860786 68,61
1 4 0,0009 0,4 0,0038 0,9962 97820 370 389932 6762530 69,13
5 5 0,0005 2,5 0,0024 0,9976 97451 233 486671 6372597 65,39
10 5 0,0006 2,5 0,0028 0,9972 97218 275 485400 5885926 60,54
15 5 0,0013 2,5 0,0065 0,9935 96943 630 483137 5400526 55,71
xnx qp 1
28

29. lx – nº de sobreviventes
Representa o número de pessoas
que alcançam com vida a idade
exata x.
nxnnxx pll  .
O valor l0 representa o tamanho da coorte
inicial (nascimentos) e se conhece como “raiz
da tábua”.
)1(. nxnnxx qll   29

30. x n nmx nax nqx npx lx ndx nLx Tx ex
Idade
Tamanho
intervalo
Taxa
central de
mortalidad
e
Tempo
medio
vivido
Probabilid
ade de
morte
Prob.
sobrevivên
cia
Sobrevive
ntes à
idade
Número
de
mortes
Tempo
vivido
pelos
sobrevivent
es
Tempo a
ser vivido
pelos
sobreviven
tes
Esperanç
a de vida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 0,0222 0,2 0,0218 0,9782 100000 2180 98256 6860786 68,61
1 4 0,0009 0,4 0,0038 0,9962 97820 370 389932 6762530 69,13
5 5 0,0005 2,5 0,0024 0,9976 97451 233 486671 6372597 65,39
10 5 0,0006 2,5 0,0028 0,9972 97218 275 485400 5885926 60,54
15 5 0,0013 2,5 0,0065 0,9935 96943 630 483137 5400526 55,71
30
1415 pll 

31. ndx – nº de óbitos
Representa o número de mortes
ocorridas, entre as idades exatas
x e x+n.
nxxxn lld 
xnxxn qld .
31

32. x n nmx nax nqx npx lx ndx nLx Tx ex
Idade
Tamanho
intervalo
Taxa
central de
mortalidad
e
Tempo
medio
vivido
Probabilid
ade de
morte
Prob.
sobrevivên
cia
Sobrevive
ntes à
idade
Número
de
mortes
Tempo
vivido entre
as idades x
e x+n
Tempo
vivido a
partir da
idade x
Esperanç
a de vida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 0,0222 0,2 0,0218 0,9782 100000 2180 98256 6860786 68,61
1 4 0,0009 0,4 0,0038 0,9962 97820 370 389932 6762530 69,13
5 5 0,0005 2,5 0,0024 0,9976 97451 233 486671 6372597 65,39
10 5 0,0006 2,5 0,0028 0,9972 97218 275 485400 5885926 60,54
15 5 0,0013 2,5 0,0065 0,9935 96943 630 483137 5400526 55,71
32
1001 lld 

33. nLx – Tempo vivido no intervalo etário x a x+n (quantidade de
pessoas-ano entre as idade x e x+n)
Representa o tempo vivido pela
coorte entre as idades x e x+n.
xnxnnxxn dalnL ..  
Tempo vivido pelos que sobreviveram +
tempo vivido pelos que morreram, no
intervalo,
33
Perceba que o L é o próprio conceito de pessoas-ano que
utilizamos nos cálculos das taxas demográficas. Ou seja, é a
quantidade de exposição ao risco durante determinado período.

34. nLx – Tempo vivido no intervalo etário
Para grupos etários x>=5  distribuição uniforme das
mortes
)(
2
xnxxn ll
n
L  
34

35. nLx – Tempo vivido no intervalo etário
Para grupos etários abertos – não sabemos n
L70+ = (6.632 + 0.0000833 * l 70) * l70
L75+ = (5.505 + 0.0000722 *l 75) * l75
L80+ = (4.424 + 0.0000674 *l 80) * l80
L85+ = (3.584 + 0.0000688 * l 85) * l85
*Parâmetros empiricamente definidos e específicos para América Latina e sempre para
l0 = 100.000 35

36. x n nmx nax nqx npx lx ndx nLx Tx ex
Idade
Tamanho
intervalo
Taxa
central de
mortalidad
e
Tempo
medio
vivido
Probabilid
ade de
morte
Prob.
sobrevivên
cia
Sobrevive
ntes à
idade
Número
de
mortes
Tempo
vivido entre
as idades x
e x+n
Tempo a
ser vivido
a partir da
idade x
Esperanç
a de vida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 0,0222 0,2 0,0218 0,9782 100000 2180 98256 6860786 68,61
1 4 0,0009 0,4 0,0038 0,9962 97820 370 389932 6762530 69,13
5 5 0,0005 2,5 0,0024 0,9976 97451 233 486671 6372597 65,39
10 5 0,0006 2,5 0,0028 0,9972 97218 275 485400 5885926 60,54
15 5 0,0013 2,5 0,0065 0,9935 96943 630 483137 5400526 55,71
15515520155 ..5 dalL 
36

37. nLx – Tempo vivido no intervalo etário
Outra forma de escrevermos nLx :
37
. .
. . ( )
. . .
. ( )
n x x n n x n x
n x x n n x x x n
n x x n n x x n x x n
n x n x x x n n x
L n l a d
L n l a l l
L n l a l a l
L a l l n a

 
 

 
  
  
  

38. Tx – Tempo vivido a partir da idade x (quantidade de pessoas-
ano a partir da idade x)
Representa o tempo vivido pela
coorte até sua extinção




1
xa
ax LT
xnnxx LTT  
38

39. 

80
60
60
a
aLT
39

40. ex – Esperança de vida
Corresponde ao número médio de anos de vida que se
espera sobreviver um membro da coorte a partir da
idade x.
x
x
x
l
T
e 
40

41. ex – Esperança de vida
0
0
0
l
T
e 
x n nmx nax nqx npx lx ndx nLx Tx ex
Idade
Tamanho
intervalo
Taxa
central de
mortalidad
e
Tempo
medio
vivido
Probabilid
ade de
morte
Prob.
sobrevivên
cia
Sobrevive
ntes à
idade
Número
de
mortes
Tempo
vivido
pelos
sobrevivent
es
Tempo a
ser vivido
pelos
sobreviven
tes
Esperanç
a de vida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 0,0222 0,2 0,0218 0,9782 100000 2180 98256 6860786 68,61
1 4 0,0009 0,4 0,0038 0,9962 97820 370 389932 6762530 69,13
5 5 0,0005 2,5 0,0024 0,9976 97451 233 486671 6372597 65,39
10 5 0,0006 2,5 0,0028 0,9972 97218 275 485400 5885926 60,54
15 5 0,0013 2,5 0,0065 0,9935 96943 630 483137 5400526 55,71
41

42. NOMECLATURA DAS TV
42
• AT 2000 - Annuity Mortality Table
• CSO 58 - Commissioner's Standard Ordinary Table
• IBGE 2010
42

43. CURIOSIDADES
43
• As Notas Técnicas Atuariais muitas
vezes não usam tábuas brasileiras. Por
quê?
i. Pessoas que fazem previdência privada,
por exemplo, tem a mesma experiência de
mortalidade da população geral?
ii. Problemas nos dados: subregistro de óbitos
43