8ª Conseguro - Thaís Fonseca

Modelo gravitacional Bayesiano para
previsão de mortalidade em séries curtas
Thaís C. O. Fonseca
IM/UFRJ e LabMA/UFRJ
ENA 2017
Equipe do Instituto de Matemática - LabMA/UFRJ
Prof. Mário de Oliveira (Coordenador) - UFRJ - PhD, University of Warwick, Inglaterra
Prof. Milton Ramirez - UFRJ - Doutor COPPE/UFRJ, Brasil
Prof. Bruno Costa - UFRJ - PhD, Indiana University, USA
Prof. Rafael Borges - UERJ - Doutor IM/UFRJ, Brasil
Prof. Thais C. O. Fonseca - UFRJ - PhD, University of Warwick, Inglaterra
Prof. Nelson Maculan Filho - UFRJ - Doutor COPPE/UFRJ, Brasil
Ricardo Cunha Pedroso - Atuário e Estatístico - UFRJ, Brasil
Estudantes Bolsistas
1
segunda-feira, 18 de setembro de 17

Motivação: aumento da expectativa de vida
(*) Fonte de dados: Human mortality database (HMD) e United Nations (UN).
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1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
5060708090
Expectativa de vida
ao nascer − homens
Anos
Expectativa
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Portugal
EUA
Japão
França
Brasil
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1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
141618202224
Expectativa de sobrevida
aos 60 anos − homens
Anos
Expectativa
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Portugal
EUA
Japão
França
Brasil
• O aumento da expectativa de vida nas últimas décadas é um grande avan¸co
para a sociedade.
• Esses avan¸cos se devem principalmente à melhoria do saneamento, des-
coberta de antibióticos e tratamento de doen¸cas.

Desafios para o mercado segurador
• Os avan¸cos na longevidade trazem desafios significativos para o mercado
segurador:
(i) Como considerar o aumento da longevidade futura para obter
equil´ıbrio técnico atuarial?
(ii) Qual o impacto das mudan¸cas na expectativa de vida no cálculo
de reservas para cumprir compromissos futuros?
• Manuten¸cão de benef´ıcios de longo prazo dependem da correta estimativa
da expectativa de vida em anos futuros.

Perguntas importantes
• Com que velocidade a mortalidade diminui no Brasil?
• A diminui¸cão da mortalidade ocorre na mesma velocidade em todas as
faixas etárias?
• Pode-se assumir hipóteses de não divergência para gêneros feminino e mas-
culino?
• Quais fatores poderiam ser usados para aumentar o poder preditivo dos
modelos que buscam explicar a mortalidade ao longo do tempo?

Objetivos gerais
• Medir mudan¸cas nas probabilidades de morte ao longo do tempo.
• Considerar modelo estoc´astico para taxa de mortalidade que estende o
modelo Lee-Carter (Lee-Carter, 1992).
• Prever mudan¸cas nestas taxas em tempos futuros.
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
0.0050.0100.0150.0200.0250.030
Taxa de mortalidade
aos 60 anos − Homens
Anos
q60
Portugal
EUA
França
Japão
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
0.010.020.030.040.050.060.07
Taxa de mortalidade
aos 70 anos − Homens
Anos
q70
Portugal
EUA
França
Japão

Modelos dinâmicos
6
O modelo dinâmico geral é
yt = At
xt + Ft
✓t + vt
✓t = G✓t 1 + wt,
com ✓t os parâmetros de estado, e vt e wt ru´ıdos brancos.
• Modelos para séries temporais extrapolam dados históricos para prever
observa¸cões futuras.
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1940 1960 1980 2000
−4.6−4.4−4.2−4.0−3.8
Log−mortalidade
aos 60 anos (Portugal)
Anos
Log−mortalidade

Modelo Lee-Carter básico (1992)
7
yt = At
xt + Ft
✓t + vt
✓t = G✓t 1 + wt,
O model Lee-Carter é obtido se
• At
= ↵ e xt = 1, Ft
= (0 ) e ✓t = (✓ t)t
;
• G =
✓
1 0
1 1
◆
e wt = (0 w1t)0
.
Parâmetro latente
representando mudanças que
ocorreram na economia, cura
de doenças etc.
Seja yxt a taxa de mortalidade na idade x e tempo t.
yxt = ↵x + xt + vxt,
onde o parâmetro t representa a dinâmica temporal tal que
t = ✓ + t 1 + !t,
vxt ⇠ N(0, 2
vIp), ✓ é a tendência e wt ⇠ N(0, 2
w).

Modelo Lee-Carter básico
Expectativa de vida - Portugal (dados 1950-2010)
Ultrapassando os 75
anos em 2005.
Previsão para 2060:
83.3 (80.7,85.2)
(*) Fonte de dados: Human mortality database (HMD) e LabMA, UFRJ.
Dados: 1950−2010
Ano
Idade
1960 1980 2000 2020 2040 2060
55606570758085
Expectativa de vida em torno
de 65 anos na década de
1970.

Modelo Lee-Carter básico
Expectativa de vida - Japão (dados 1950-2010)
Previsão para 2060:
88.7 (87.3, 90.0)
Dados: 1950−2010
Ano
Idade
1960 1980 2000 2020 2040 2060
60708090

O problema de dados limitados
• O método de Lee-Carter extrapola dados históricos.
• Uma quantidade de dados históricos consistente permite previsões mais
confiáveis em tempos futuros.
• Para os EUA e Europa as séries históricas tem mais de meio século de
dados.
• As séries de mortalidade em alguns pa´ıses ou subpopula¸cões são curtas
(ou muito curtas).

O problema de dados limitados
No contexto de seguradoras, a
série temporal é possivelmente
pequena, objeto de ruído e
mudanças de regime ao longo
do tempo.
(*) Fonte de dados: Human mortality database (HMD) e LabMA (UFRJ).
• Em particular, o mercado segurador brasileiro possui s´eries de apenas uma
d´ecada.
1960 1970 1980 1990 2000 2010
0.0000.0100.0200.030
Taxa de mortalidade aos 60 anos
Anos
q60
EUA
Portugal
Br

12
Exemplo ilustrativo: Portugal

Exemplo ilustrativo (Portugal)
• A seguir analisaremos os dados de mortalidade de Portugal.
• Portugal tem dados históricos desde 1950.
• Iremos cortar a série diminuindo esse histórico de modo a emular a série
do mercado segurador brasileiro.
• Visa-se ilustrar o efeito de usar o modelo simples de Lee-Carter para prever
no longo prazo usando séries curtas ou muito curtas.

Exemplo ilustrativo (Portugal)
Previsões obtidas com séries curtas
podem levar a tábuas futuras que
não são adequadas.
• Variabilidade explicada pelo modelo: 85% (dados completos), 82% (40
anos de dados), 81% (20 anos de dados) e 64% (10 anos de dados)
0 20 40 60 80 100
−10−50
Previsão 2011−2060
Dados 1950−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
−10−50
Dados 1970−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
−10−50
Dados 1990−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
−10−50
Dados 2000−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
−12−10−8−6−4−20
Dados − 1950−2010
Age
log(qx)

Ano
dados
completos
10 anos de
dados
2060
83.3
(80.7, 85.2)
86.5
(84.9, 87.8)
Efeito na previsão da expectativa de vida
(Portugal)
A
sobrestimação
impacta em aumento de
provisões e preços.
Porém as previsões são
basedas apenas no
comportamento dos
últimos 10.
Subestimação da
incerteza nesta série
muito curta!!
E sobrestimação da
expectativa!
Dados: 2000−2010
Anos
Expectativa
1960 1980 2000 2020 2040 2060
606570758085
Observado (1950−2010)
Previsto (2011−2060)
Dados: 1950−2010
Anos
Expectativa
1960 1980 2000 2020 2040 2060
606570758085

O modelo Lee-Carter básico
• Quatro aspectos devem ser estimados a partir dos dados:
(1) a taxa de mortalidade m´edia em cada idade (↵x);
(2) a velocidade da mudan¸ca relativa em cada idade ( x);
(3) a taxa de mudan¸ca global (t);
(4) as variˆancias dos erros.
Podemos estimar
todos esses parâmetros
quando as séries são
limitadas?
yxt = ↵x + xt + vxt

Estimação da taxa média (Portugal)
O nível médio é bem
estimado para todas as
séries.
Note a diminuição
da mortalidade média nas
últimas décadas.
Principalmente de 0-20
anos.
0 20 40 60 80 100
−10−8−6−4−20
Taxa média
Idade
αx
Dados: 1950−2010
Dados: 1970−2010
Dados: 1990−2010
Dados: 2000−2010

Estimação da mudança relativa (improvement)
Para a série muito
curta o improvement
estimado é bem diferente
do estimado com dados
completos!
0 20 40 60 80 100
0.000.020.040.060.080.10
Improvement
Idade
βx
Dados: 1950−2010
Dados: 1970−2010
Dados: 1990−2010
Dados: 2000−2010

Estimação da taxa de mudança global
Padrões similares!!
Dinâmica temporal
Anos
κt
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
−30−20−100102030
Dados: 1950−2010
Dados: 1970−2010
Dados: 1990−2010
Dados: 2000−2010

Tábua prevista e observada
(10 anos x histórico)
60 70 80 90 100
−8−6−4−20
Dados observados: 1979−1988
Previsão: 1990
Idade
Log−mortalidade
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Log−mortalidade observada
Intervalos de previsão
60 70 80 90 100
−8−6−4−20
Previsão: 1990
Idade
Log−mortalidade
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Note que previs˜ao 2 anos `a frente, baseada em 10 anos de dados, tem grande
incerteza para idades mais avan¸cadas.

Tábua prevista e observada
(10 anos x histórico)
60 70 80 90 100
−8−6−4−20
Previsão: 2008
Idade
Log−mortalidade
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60 70 80 90 100
−8−6−4−20
Previsão: 2008
Idade
Log−mortalidade
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Note que previsão 20 anos à frente, baseada em 10 anos de dados, tem grande
viés além de ter grande incerteza.

Outras populações (Japão)
0 20 40 60 80 100
−12−10−8−6−4−20
Dados − 1950−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
−10−50
Dados 1950−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
−10−50
Dados 1970−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
−10−50
Dados 1990−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
−10−50
Dados 2000−2010
Age
log(qx)
0 20 40 60 80 100
0.000.020.040.060.080.10
Improvement
Idade
βx
Dados: 1950−2010
Dados: 1970−2010
Dados: 1990−2010
Dados: 2000−2010
• Variabilidade explicada pelo modelo: 96% (dados completos), 96% (40
anos de dados), 87% (20 anos de dados) e 67% (10 anos de dados)

Algumas conclusões
• A taxa média de mortalidade ↵x parece ser bem estimada, mesmo para
séries curtas.
• O parâmetro de mudan¸ca global t parece seguir um padrão similar nas
4 séries.
• Indicando que uma série similar poderia ser usada conjuntamente com a
série curta para “ajudar” na estima¸cão do parâmetro t.
• Por exemplo, dados auxiliares de um pa´ıs com histórico longo e consis-
tente poderiam ser usados juntamente com dados do mercado segurador
brasileiro.

A ideia do modelo conjunto
• Se os dados dispon´ıveis são limitados, abordagens usuais levariam a grandes
incertezas nas previsões.
• Solu¸cão: utilizar informa¸cão de caracter´ısticas comuns a várias séries
tais como influência de epidemias, cura de doen¸cas, e grandes mudan¸cas
econômicas.
• A ideia é explorar as similaridades entre popula¸cões relacionadas ao fazer
proje¸cões futuras para popula¸cões com dados limitados.
• Essa abordagem leva a previsões mais realistas para séries muito limitadas,
do que aquelas previsões obtidas com os modelos usuais.

Improvement - janelas de tempo
0 20 40 60 80 100
0.000.050.10
Improvement − Portugal
Idade
βx
Janela 1951−1970
Janela 1971−1990
Janela 1991−2010
0 20 40 60 80 100
0.000.050.10
Improvement − Japão
Idade
βx
Janela 1951−1970
Janela 1971−1990
Janela 1991−2010
• A popula¸cão longa a ser usada como auxiliar pode ser obtida após verificar
em que janela de tempo as popula¸cões se tornam mais semelhantes.
• Estudos indicam que históricos muito antigos podem não refletir o com-
portamento do improvement atual.
• Por exemplo, usualmente sugere-se usar dados históricos após 1970, devido
à grandes mudan¸cas estruturais ocorridas neste per´ıodo.

Modelo Lee-Carter extendido para 2 populações
26
yt = At
xt + Ft
✓t + vt
✓t = G✓t 1 + wt,
O modelo bivariado é obtido se
• At
= (↵(1)
, ↵(2)
)t
, xt = 1, Ft
=
✓
0 (1)
0 0
0 0 0 (2)
◆
;
• ✓t = (✓(1)

(1)
t ✓(2)

(2)
t )0
;
• G =
0
B
B
@
1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0 1 (1 )
1
C
C
A
• wt = (0 w
(1)
t 0 w
(2)
t )0
.
Para cada popula¸cão
y
(i)
xt = ↵(i)
x + (i)
x 
(i)
t + v
(i)
xt , i = 1, 2.
Seja v
(i)
t ⇠ N(0,
2(i)
v Ia). Agora permite-se dependência entre as popula¸cões.

(1)
t = ✓(1)
+ 
(1)
t 1 + !
(1)
t

(2)
t = ✓(2)
+ 
(1)
t 1 + (1 )
(2)
t 1 + !
(2)
t .

Escolha da população similar
• Lopes (2010) considera variáveis socio-econômicas de 21 pa´ıses para buscar
a popula¸cão mais similar ao Brasil em termos de mortalidade.
- fertilidade
- PIB per capita
- crescimento anual do PIB
- saúde
- desemprego
- analfabetismo
- escolaridade

• De fato, variáveis como escolaridade tem grande impacto nas taxas de
mortalidade ao longo do tempo (Hummer and Hernandez, 2013).
• Dados dos EUA mostram que grupos com escolaridade (superior) morrem
12 vezes menos que grupos com pouca escolaridade. E essa diferen¸ca vem
aumentando ao longo do tempo.
• Ruhm(1996) consideram efeitos na saúde em fun¸cão de recessões econômicas.
• Altera¸cões nos pre¸cos afetam cuidados com saúde no tempo atual e também
em tempos futuros (persitência temporal).

• Lopes (2010) escolhe Portugal após aplicar técnicas de pareamento entre
as diversas popula¸cões e Brasil.
• Neves et al (2016) escolhem Portugal e Estados Unidos contemporâneos e
defasados de 5 anos para similaridade com Brasil.

Comparando várias populações
0 20 40 60 80 100
−10−8−6−4−20
Taxa média
Idade
αx
EUA
França
Portugal
Japão
0 20 40 60 80 100
0.000.020.040.06
Improvement
Idade
βx
EUA
França
Portugal
Japão
Considere dados de mortalidade dos EUA, Fran¸ca, Portugal e Jap˜ao de 1970
`a 2010.

Dinâmica temporal
Anos
κt
1970 1980 1990 2000 2010
−20−1001020
EUA
França
Portugal
Japão

(Expectativa de vida - projeções)
Projeções para 2060 - Lee-Carter
Dados até 2010
Dados até 2010
Dados até 2010
País Projeção Intervalo
EUA 84.5 (83.6, 85.3)
França 86.7 (85.3, 87.7)
Portugal 84.7 (82.5; 86.6)
Japão 89.0 (87.6, 90.3)
EUA
1980 2000 2020 2040 2060
657075808590
França
1980 2000 2020 2040 2060
657075808590
Portugal
1980 2000 2020 2040 2060
657075808590
Japão
1980 2000 2020 2040 2060
657075808590

Análise de dados do mercado
segurador brasileiro
33

Dados do mercado segurador brasileiro
• Os dados dispon´ıveis do mercado segurador brasileiro englobam atual-
mente mais de 90% da popula¸cão segurada do Brasil.
• Porém, no Brasil apenas cerca de 20% da popula¸cão possui seguro.
• Enquanto em pa´ıses desenvolvidos a maior parte da popula¸cão é segurada.
• Iremos analisar dados de segurados (homens) que possuem produtos de
seguro de vida de 2004 à 2012.
2004 2007 2010 2013 2016
Mercado segurador brasileiro
Anos
%desegurados
0.000.050.100.150.20

Dados do mercado segurador brasileiro
• Dados de segurados que possuem produtos de seguro de vida de 2004 `a
2012.
2004 2006 2008 2010 2012
0.00600.00700.00800.0090
Mortalidade aos 60 anos
Anos
q60
Ajuste de mínimos quadrados
Taxas observadas − BR
2004 2006 2008 2010 2012
0.0100.0150.0200.0250.030
Mortalidade aos 70 anos
Anos
q70
Ajuste de mínimos quadrados
Taxas observadas − BR

Mortalidade média
Dados hist´oricos: 1974-2012 Dados recentes: 1994-2012
• Modelo ajustado: Lee-Carter Bayesiano (Pedroza, 2006).

Taxa de Improvement
Dados hist´oricos: 1974-2012 Dados recentes: 1994-2012
• Modelo ajustado: Lee-Carter Bayesiano (Pedroza, 2006).
• O improvement Br ´e muito similar ao improvement estimado usando dados
recentes dos EUA.

Taxa de improvement (incluindo incerteza)
Esse modelo é
adequado para
prever tábuas
futuras do mercado
segurador
brasileiro?

Estimação independente - algumas conclusões
• As popula¸cões de Portugal e EUA tem n´ıveis médios e improvements
baseado em dados recentes bastante simulares aos estimados para o Brasil.
• Porém, o modelo independente não é útil para previsão futura devido às
grandes incertezas envolvidas na estima¸cão de t.

Dinâmica temporal
(previsão do modelo independente)
• A seguir apresentaremos os resultados do modelo conjunto proposto.

41
Modelo conjunto

Modelo conjunto
Busca-se escolher a
população mais similar à
população curta em
estudo.
• Lembrando que no modelo conjunto a dinâmica temporal do modelo para
o mercado segurador brasileiro agora dependerá da popula¸cão auxiliar.
• O modelo de série temporal para 
(BR)
t é dado por

(BR)
t = ✓ + 
(AUX)
t 1 + (1 )
(BR)
t 1 + wt

Previsões usando modelo conjunto
• Modelo considerando pooling Brasil e EUA, para dados de 2004-2012.
Controle da incerteza e
da sobrestimação da
expectativa de vida.

Brasil e EUA
Efeito do pooling na dinâmica temporal

Próximos passos
• Uso do modelo gravitacional para dados do mercado segurador do Brasil
incluindo popula¸cão auxiliar longa.
• Teste para várias popula¸cões para valida¸cão do melhor modelo para pre-
visão futura (treinamento+valida¸cão).
• Modelo sob hipótese de não-divergência para dados de ambos os gêneros.
• Uso de covariáveis como mortalidade por causa para melhor prever mu-
dan¸cas futuras de grande porte na mortalidade.

Outras extensões: hipótese de não divergência
(Lee-Li, 2002)
46
The general dynamical model is
yt = At
xt + Ft
✓t + vt
✓t = G✓t 1 + wt,
with ✓t the state parameters and vt and wt white noises.
The model to avoid divergence in the long run of future mortalities is
y
(i)
t = ↵(i)
+ t + (i)

(i)
t + v
(i)
t , i = 1, 2.
Now we allow for interdependence between the populations by allowing the
observation equation to depend on common and t.

(1)
t = ✓(1)
+ ⌫(1)

(1)
t 1 + !
(1)
t

(2)
t = ✓(2)
+ ⌫(2)

(2)
t 1 + !
(2)
t
t = ⌫t 1 + !all
t .
The Bivariate model is obtained if
• At
= (↵(1)
, ↵(2)
)t
, xt = 1, Ft
=
✓ (1)
0 0
0 0 (2)
)
◆
;
• ✓t = (t ✓(1)

(1)
t ✓(2)

(2)
t )0
;
• G =
0
B
B
B
B
@
0 1 0 0 0
0 1 ⌫(1)
0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 ⌫(2)
⌫ 0 0 0 0
1
C
C
C
C
A
• wt = (0 w
(1)
t 0 w
(2)
t wall
t )0
.

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