Notas de Aulas de Investigação Operacional

Notas de Aulas de Investigação Operacional/2022
Docente: Alberto Filimão Sitoe, Doutorando do Curso de Ciências e Tecnologia de Energia da UEM, Mestrado em
Educação/Ensino de Física pela UP e Licenciado em Oceanografia pela UEM
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UNICERSIDADE SAVE
FACULDADE DE CIENCIAS NATURAIS E EXACTAS
Licenciatura em Matemática; EAD.2022
NOTAS AULAS DE INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Caro estudante este texto de apoio foi feito para lhe auxiliar na resolução de
problemas propostos, não se pretende dizer com isto que deixe de usar outras fontes.
UNIDADE I
1. Origem e Natureza da Investigação Operacional
1.1. Definição
Para Shamblin e Stevens Jr (1979, p. 13), Pesquisa Operacional (PO) é “um método
científico de tomada de decisão”. Ela inicia-se descrevendo um sistema por
intermédio de um modelo e depois lida com este modelo para levantar o melhor modo
de operar o sistema. Ackoff e Sasieni (1974, p.8) afirmam que são várias as definições
de PO. E que dentre estas diferentes definições, três pontos são destacados:
1) “Aplicação do método científico”.
2) “Por equipes interdisciplinares”.
3) “A problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados (homem-
máquina)
com a finalidade de obter as soluções que melhor satisfaçam aos objectivos da
organização, como um todo”.
Estes mesmos três pontos levantados por Ackoff e Sasieni também são apoiados por
Montevechi (2006, p. 3) onde diz que “PO é a aplicação do método científico, por
equipes interdisciplinares, a problemas que dizem respeito ao controle de sistemas
organizados (homem-máquina) com a finalidade de obter as soluções que melhor
satisfazem aos objectivos da organização, como um todo”. Além, desta citação de

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Montevechi à Ackof e Sasieni, ele também nos traz outros conceitos, como: “A IO se
esforça ao máximo para compensar a incerteza, mas não a pode eliminar. (Pois é
importante assinalar que como estão implicados fatores humanos e máquinas, é
fornecida uma estimativa da incerteza no resultado previsto e nos valores, nas
eficiências e nos custos da ação proposta)”.
“A PO firmou-se como uma atividade que pode colocar a serviço da gerência – e
realmente o faz – novas atitudes, novos conceitos e novas técnicas; ajudando –a a
resolver problemas complexos e tomar decisões importantes”.
Lachtermacher (2004, orelha), diz que até a década de 1990, os problemas
matemáticos de programação na resolução de questões gerenciais eram muito difíceis
de se implementar. Que somente com o advento das planilhas eletrônicas e sua
crescente utilização, proporcionaram um aumento significativo na aplicabilidade da
Pesquisa Operacional.
Ainda segundo Lachtermacer (2004, p.1), a PO pode ser utilizada para ajudar nos
processos de decisão. Como por exemplo:
• Problemas de Otimização de Recursos;
• Problemas de Localização;
• Problemas de Roteirização;
• Problemas de Carteiras de Investimento;
• Problemas de Alocação de Pessoas; e
• Problemas de Previsão e Planejamento.
Há uma observação feita por Shamblin e Stevens Jr (1979, p.13) que deve ser levado
em consideração, que é: “É essencial em qualquer estudo de PO que o problema em
consideração seja claramente definido. É quase impossível obter uma resposta ‘certa’
a partir de um problema ‘errado’”.
1.2. Origem
A utilização de métodos científicos na preparação das decisões, remonta a datas
muito longínquas. Por exemplo, no séc. III A. C., HIERÃO (tirano de Siracusa) pediu

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a ARQUÍMEDES que indicasse a forma mais eficiente de utilizar as armas da época,
a fim de romper o cerco da frota romana.
No entanto, o início da actividade chamada IO é atribuída, normalmente, aos
serviços militares durante II Guerra Mundial, quando os Aliados se viram
confrontados com problemas (de natureza logística e de táctica e estratégia militar)
de grande dimensão e complexidade. Para apoiar os comandos operacionais na
resolução desses problemas, foram então criados grupos multidisciplinares de
cientistas em que se incluíam matemáticos, físicos e engenheiros, a par de outros
oriundos das ciências sociais. Esses cientistas mais não fizeram do que aplicar o
método científico, que tão bem conheciam, aos problemas que lhes foram sendo
colocados. Desenvolveram então a ideia de criar modelos matemáticos, apoiados em
dados e factos, que lhes permitissem perceber os problemas em estudo e ensaiar e
avaliar o resultado hipotético de estratégias ou decisões alternativas. Dos trabalhos
realizados durante este período, destacam-se os seguintes :
• em 1939, em Inglaterra, um pequeno grupo de técnicos dedicados à IO começou
a trabalhar nos métodos de emprego dos primeiros radares,
• nas horas cruciais de 1940, o Estado Maior inglês recorreu a uma equipa de
investigação (o grupo BLACKETT) para conseguir o aproveitamento óptimo do
sistema defensivo britânico,
• dois anos depois do início da guerra, os 3 ramos das forças armadas britânicas
estavam dotados com grupos de IO, cujo efectivo não parou de aumentar até
ao final da guerra,
• nos EUA, desde a sua entrada na guerra, grupos de IO foram incumbidos pelo
exército, marinha e força aérea de estudarem cientificamente os problemas de
cada armada;
a partir dos quais se destacam os seguintes resultados :
• melhoria na eficiência dos ataques aéreos aos submarinos,
• nova disposição dos comboios marítimos, de forma a minimizar as perdas,
• organização dos bombardeamentos aéreos sobre a Alemanha.
No fim da guerra, incentivados com o aparente sucesso da IO a nível militar, os
industriais começaram gradualmente a interessar-se por este novo campo. Por outro

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lado, os grupos de IO gozavam de merecido prestígio, uma vez que tinha ficado
demonstrado, durante a guerra, que as equipas de IO eram capazes de resolver
problemas complexos, envolvendo muitas variáveis, e os métodos que tinham
permitido obter maior eficiência das armas e valiosa economia em vidas humanas e
material, eram susceptíveis de ser transferidas do sector militar para o sector civil os
problemas eram basicamente os mesmos que foram tratados pelos militares, mas em
diferentes contextos. Assim, embora a IO militar não tenha parado de se desenvolver,
assistiu-se no período pós-guerra ao rápido crescimento da IO civil (na indústria, nos
negócios e no sector público), no sentido de criarem métodos de gestão mais
racionais, quer no sector público quer no privado. Podem identificar-se, pelo menos
dois factores, que tiveram um papel essencial no rápido crescimento da IO durante
este período :
• Substancial progresso das técnicas matemáticas disponíveis na IO. Depois da
guerra, vários cientistas sentiam-se motivados em procurar relevantes
investigações no campo, resultando daqui avanços importantes na área. O
primeiro caso é o método de Simplex para resolver problemas de programação
linear, desenvolvido por George Dantzig em 1947.
• Evolução/revolução dos computadores. Normalmente é exigido uma grande
quantidade de cálculos para tratar, mais eficientemente, os problemas
complexos considerados típicos pela IO. No entanto, o desenvolvimento dos
computadores, com as suas capacidades para realizar cálculos aritméticos de
milhares ou mesmo milhões de vezes mais rápido do que o Homem e trabalhar
enormes volumes de dados sobre as actividades das empresas, foi uma tremenda
vantagem para a IO. Hoje, todo o tipo de computadores são essenciais para
resolver problemas de IO do mundo.
As áreas de aplicação são, entre outras, no Sector de Produção (Gestão de stocks,
Planeamento de Produção, etc.), no Sector dos Serviços (Sistemas de Distribuição e
Transporte), no Sector de Controlo de Qualidade.
1.3. Natureza da Investigação Operacional
Perante um fenómeno, não é geralmente fácil prever qual das disciplinas científicas
será mais adequada para o seu estudo. Mais ainda, é geralmente duvidoso que o

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estudo eficiente de um fenómeno se possa realizar no quadro restrito de uma só
disciplina. Como consequência, esboça-se actualmente a tendência para se encararem
os fenómenos na multiplicidade dos seus aspectos. Esta atitude não significa que se
abandone a especialização, absolutamente indispensável para o progresso em
profundidade do conhecimento, mas sim que a investigação dos fenómenos reais
tende progressivamente a assumir carácter multidisciplinar, sendo realizada por
equipas de cientistas com diferentes especializações. O carácter multidisciplinar
permite encarar os problemas sob a multiplicidade dos seus aspectos.
As equipas de IO apresentam uma particularidade notável : agregam especialistas de
diversas disciplinas, como sejam a matemática, a estatística e a teoria das
probabilidades, a economia, a gestão, as ciências da computação, a engenharia e as
ciências físicas, as ciências do comportamento e as técnicas especiais de IO, que
actuam tendo sempre em vista o estudo unificado das operações.
É evidente que não se espera que uma única pessoa seja especialista em todas as áreas
em que a IO trabalha, ou em todos os problemas aí considerados; isto exige um grupo
de indivíduos com diversos conhecimentos (“background”) e competência. No
entanto, normalmente quando se aceita um estudo de um novo problema, é necessário
utilizar uma abordagem em equipa. A equipa também precisa de ter experiência
necessária e competência variada para dar considerações adequadas nas muitas
ramificações do problema, em toda a organização e executar eficazmente todas as
fases do estudo da IO. Portanto, face ao seu carácter multidisciplinar, a IO é uma
disciplina científica de características horizontais, estendendo-se os seus contributos
por praticamente todos os domínios da actividade humana, desde a engenharia à
medicina, passando pela economia e a gestão.
Uma outra característica é que a IO tenta encontrar a melhor solução (ou óptima) do
problema; isto é, o objectivo é identificar a melhor acção possível; procura da
optimalidade.
Estas aplicações que ocorrem nas diversas áreas do conhecimento, são caracterizadas
pela necessidade de distribuir recursos limitados. Nestas condições, podem ser obtidos

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conhecimentos consideráveis, a partir da análise científica, tal como as fornecidas
pela IO.
Resumindo, a IO está relacionada com a tomada de decisões óptimas em, e modelação
de, sistemas determinísticos e probabilísticos, que têm origem na vida real. Assim, a
IO contribuí para :
• estruturar situações da vida real em modelos matemáticos que abstraem os
elementos essenciais, de modo a que possa ser procurada uma solução relevante
para os objectivos do decisor; isto implica examinar o problema no contexto do
sistema total;
• explorar a estrutura destas soluções e desenvolver procedimentos sistemáticos
para as obter;
• desenvolver uma solução que produza o melhor valor para a medida de satisfação
do sistema (ou comparando acções alternativas através do cálculo da sua medida
de satisfação).
1.4. Impacto da IO
Nos últimos anos, a IO tem tido um grande impacto na gestão das
organizações. De facto, com excepção do aparecimento das ciências da
computação, a extensão deste impacto parece não ter rivais em relação a
qualquer outro desenvolvimento recente.
Depois do seu sucesso com a IO durante a II Guerra Mundial, os serviços
militares Britânicos e Americanos continuam a ter activos os grupos de IO.
Muitas indústrias, como de aviões e mísseis, automóveis, comunicações,
computadores, electrónica, alimentação, metalúrgica, papel, petróleo e
transportes, têm feito grande utilização da IO. Institutos financeiros,
agências governamentais e hospitais têm aumentado drasticamente a
utilização da IO.
1.5. Características fundamentais
Existe um conjunto de características comuns à maior parte dos problemas
de investigação operacional:

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• dizem respeito a planeamento e previsão
• são descritos e analisados em termos numéricos
• existem restrições, como seja a limitação de recursos
• têm objectivos a optimizar
• são problemas sem solução imediata.
1.6. Metodologia da investigação operacional
Fases
1. Formulação do problema
2. Construção de um modelo
3. Obtenção da solução
4. Validação do modelo e teste da solução
5. Implementação da solução
Observações:
- a sequência apresentada não é rígida;
- fases, depois de iniciadas, sobrepõem-se no tempo;
- há interacção contínua entre as várias fases;
-fases são mutuamente dependentes.
UNIDADE II
2. Programação Linear/Modelo de programação linear
2.1. O PAPEL DOS MODELOS NO GERAL
O conceito de modelo é fundamental na investigação operacional. Modelo é entendido
como um meio de representação que possua algumas das caracteríticas do projecto ou
sistema que se pretende entender e controlar, e é definido por uma função objectivo e
um conjunto de restrições, expressos em termos de variáveis (que determinam as
alternativas) do problema.
O processo de tomada de decisão na investigação operacional consiste em construir
um modelo de decisão e resolvê-lo de modo a determinar-se a decisão óptima. Para a

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solução de um modelo, apesar de exacta, ter significado real, esse modelo tem que
proporcionar uma representação adequada da realidade.
2.2. Origem da Programação Linear (PL)
A programação linear, nascida com os trabalhos de George B. Dantzing em1947,
constitui a primeira técnica explícita, e uma das mais desenvolvidas e utilizadas, da
investigação operacional e é uma classe da programação matemática.
A palavra programação, neste contexto, não se refere à programação de
computadores, mas é, essencialmente, um sinónimo de planeamento. A programação
linear envolve um modelo de planeamento de actividades para a obtenção de uma
solução óptima. A solução óptima é obtida maximizando ou minimizando uma função
linear que traduza o objectivo do problema, definida sobre um poliedro convexo
(conjunto de restrições ao problema).
Os cálculos efectuados na resolução de problemas, que envolvam modelos
matemáticos de programação linear, são tipicamente iterativos. Como tal, o processo
pode tornar-se tedioso, ou mesmo de impraticável aplicação a problemas complexos,
com grandes quantidades de dados.
Dado a generalização do uso do computador pessoal, e a existência de programas de
cálculo automático à venda no mercado, é difícil dissociar as técnicas da programação
linear da sua implementação em computadores. Desta forma, pode ser processada
grande quantidade de informação em curto espaço de tempo, o que permite a
resolução de problemas de grande complexidade, e reduzir a morosidade de cálculo
manual. Nesta perspectiva, apresenta-se em anexo a estes apontamentos um programa
de cálculo automático onde estão implementados os algoritmos em estudo por forma a
auxiliar a compreensão das matérias.
A resolução de problemas reais por aplicação de modelos de programação linear não é
tarefa fácil, pois a formulação dos problemas desse modo é ainda incipiente. No
entanto, a importância da programação linear não depende só da sua aplicação directa
a problemas reais, mas também é motivada por proporcionar uma importante
fundação ao desenvolvimento de soluções para outras técnicas da programação

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matemática, como sejam a programação inteira, a programação não-linear e a
programação estocástica.
2.3. Aplicações da Programação Linear
A programação linear tem aplicação prática em inúmeros problemas, de que se
destacam tipicamente os seguintes:
2.3.1. Problema de Mistura
Foi um dos primeiros problemas a ser resolvido, através da programação linear, por
Dantzing. Este problema caracteriza-se por se pretender obter, com custo mínimo ou
lucro máximo, um ou vários produtos, que satisfaçam certos requisitos, através da
combinação de vários ingredientes possuidores dessas características a diferentes
níveis (exemplos: rações para animais, adubos, produtos alimentares, produtos
farmacêuticos, ligas metálicas, tintas, gasolinas, etc.).
2.3.2. Problema de Transporte
Este problema admite muitas variantes, sendo a sua forma mais simples a seguinte:
pretende-se efectuar o transporte de um determinado produto (matérias primas,
produtos fabricados, etc.), que se encontra em m origens diferentes (armazéns,
fábricas, portos, etc.), para n destinos distintos (fábricas, mercados, consumidores
finais, portos, etc.). Conhecido o custo de transporte de uma unidade de produto
associado a cada percurso origem/destino, procede-se à determinação do plano de
distribuição que minimize o custo total de transporte.
2.3.3.Problema da Produção
Trata-se de uma das aplicações mais frequentes em gestão de empresas, em que se
pretende determinar a produção de n produtos da empresa de acordo com os recursos
disponíveis, as condições tecnológicas existentes e a situação de mercado, com vista à
maximização do resultado da exploração.
2.3.4. Programação Sequencial da Produção
É um problema de planeamento de produção que pode ser considerado como um
problema tipo, consistindo no escalonamento da produção ao longo de vários períodos

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de tempo, conhecida a procura, capacidade de produção e custos de produção e
armazenagem ao longo do tempo.
Do ponto de vista da engenharia civil, muito poucos problemas de interesse prático
podem ser formulados como programas lineares sem que disso implique um elevado
grau de simplificação. No entanto é possível simplificar problemas não lineares de
optimização, usando técnicas de linearização.
Quase todos os problemas não lineares podem ser resolvidos como uma sequência
repetitiva de aproximações lineares que convergem para a solução exacta do problema
não linear. Este poderoso método de resolução denomina-se por programação linear
sequêncial.
A melhor forma de se iniciar o estudo da programação linear é através de
um exemplo simples de aplicação.
EXEMPLO 1
Um município algarvio disponibilizou no seu orçamento uma verba de 50000 contos
para infra-estruturas de saneamento básico ao longo de duas vias municipais. A via
"1" é uma estrada pavimentada com 3400 m e a via "2" é um caminho de terra batida
com 5000 m, registando-se a existência de 6 hab./100 m na primeira e 4 hab./100 m
na segunda. As obras em causa não podem durar mais de 150 dias para não interferir
com a época balnear.
Sabendo que os custos médios das obras são 12 contos/m na via "1" e 8.5 contos/m na
via "2", e que se executam 25 m/dia e 50 m/dia, respectivamente, em cada uma das
vias, diga como distribuiria as obras por cada via de modo a servir a máxima
população possível.
Resolução do Problema 1
Passo 1
Elabora-se a lista de todas as variáveis de decisão que entram no problema.
Neste caso:
x1 - comprimento da via "1" a infra-estruturar
x2 - comprimento da via "2" a infra-estruturar

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A cada variável está associada uma actividade.
actividade 1 - execução de infra-estruturas na via "1".
actividade 2 - execução de infra-estruturas na via "2".
A medida quantitativa de cada actividade designa-se por nível de actividade. 􀀀
Passo 2
Enumeração de todas as restrições ao problema.
Neste caso sabe-se que:
- cada metro de via "1" com infra-estruturas custa 12 contos, logo a totalidade de
metros executados custará 12x1.
- cada metro de via "2" com infra-estruturas custa 8.5 contos, logo a totalidade de
metros executados custará 8.5x2.
Como o custo total não pode ultrapassar a verba em orçamento, isso traduzse
algebricamente em: 12x1 + 8.5x2  50 000
Relativamente à duração da obra:
- cada metro de via "1" com infra-estruturas demora 1/25 = 0.04 dias, logo a
totalidade de metros executados durará 0.04x1.
- cada metro de via "2" com infra-estruturas demora 1/50 = 0.02 dias, logo a
totalidade de metros executados durará 0.02x2.
Como a duração da obra não pode ser superior a 150 dias, isso traduz-se
algebricamente em: 0.04x1 + 0.02x2  150
Para terem sentido prático, as variáveis x1 e x2 têm de assumir valores não negativos,
e por outro lado não podem exceder o comprimento das vias, o que se traduz por:
• x1  3400
• x1  0
• x2  5000
• x2  0

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􀀀 Passo 3
Definir a função que traduz o objectivo do problema.
Neste problema pretende-se servir o maior número de pessoas com infraestruturas, ou
seja maximizar o número de pessoas abrangidas pelas obras.
- cada metro de via "1" vai corresponder a 6/100 = 0.06 pessoas, logo a totalidade de
metros executados corresponderá a 0.06x1.
- cada metro de via "2" vai corresponder a 4/100 = 0.04 pessoas, logo a totalidade de
metros executados corresponderá a 0.04x2.
A função objectivo será: maximizar z = 0.06x1 + 0.04x2
2.4. Formulação matemática de problemas de programação
Os exemplos enunciados anteriormente podem ser formulados de acordo com um
modelo matemático bastante geral que consiste na determinação de valores não
negativos para as n variáveis x1, x2,...,xj,..., xn de modo a satisfazer um sistema de m
equações ou inequações lineares que maximizem ou minimizem uma função linear Z
(real) dessas variáveis.
maximizar (minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +...+ cjxj +...+ cnxn
sujeito a: (restrições)
a11x1 + a12x2 +...+ a1jxj +...+ a1nxn  (ou = ou ) b1
a21x1 + a22x2 +...+ a2jxj +...+ a2nxn  (ou = ou ) b2
...
ai1x1 + ai2x2 +...+ aijxj +...+ ainxn  (ou = ou ) bi
...
am1x1 + am2x2 +...+ amjxj +...+ amnxn  (ou = ou ) bm
x1 , x2 , ... , xj ,..., xn  0 (restrições de não negatividade)
Designando-se por:
Z - função objectivo (função critério)
xj - variáveis de decisão (variáveis principais)
aij - coeficientes técnicos
bi - termos independentes
cj - coeficientes da função objectivo
com i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n

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As soluções que satisfaçam as restrições designam-se por soluções admissíveis.
A solução admissível que optimiza a função objectivo designa-se por solução óptima
admissível.
i) mínimo Z = - máximo (-Z);
ii) ai1x1 + ai2x2 +...+ ainxn ³ bi Û -ai1x1 - ai2x2 -...- ainxn £ -bi
iii)




+
+
+
+

+
+
+
+

=
+
+
+
+
i
n
in
i
i
i
i
n
in
i
i
i
i
n
in
i
i
i
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
.....
.....
.....
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
iv) Se xj não tem restrição ao sinal, pode exprimir-se como a diferença
de duas variáveis não negativas: 2
1
j
j
j x
x
x −
= com 0
, 2
1

j
j x
x
atenção: 1 e 2 acima da variável x não são expoentes são índices.
Exemplo
Apresentação do problema do exemplo 1 formulado de acordo com o modelo
matemático enunciado.
z = 0.06x1 + 0.04x2
sugeito a restrições:
12x1 + 8.5x2  50 000
0.04x1 + 0.02x2  150
x1  3400
x2  5000
x1 , x2  0
2.4.1. Hipóteses do Modelo de Programação Linear
O modelo de programação linear não se aplica a todos os casos e situações. A sua
aplicação requer que se assumam como verdadeiras as seguintes hipóteses:
i. Coeficientes constantes
Nos modelos de programação linear os coeficientes aij, bi e cj são considerados
constantes.
ii. Proporcionalidade

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Assume-se que o valor de venda ou compra de uma unidade de produto j é
proporcional ao nível de produção xj, sendo cjxj o valor de venda ou compra dessa
produção. De igual modo assume-se que os coeficientes aij são independentes de xj ,
qualquer que seja xj não negativo.
iii. Aditividade
Sendo a hipótese da aditividade verdadeira, implica que o consumo ou produção total
de um dado produto seja igual à soma das várias quantidades de produto que são
consumidas ou produzidas quando se executa cada uma das actividades a um
determinado nível. Esta hipótese implica ainda que a função objectivo seja separável
em relação às variáveis. Se temos x1 , x2 , ... , xn e a função objectivo é Z(x1 , x2 , ... ,
xn) = Z(x), então Z(x) pode escrever-se como a soma de n funções lineares, cada uma
das quais envolvida apenas com uma variável do modelo, Z1(x1) + Z2(x2)+...+Zn(xn),
onde Zj(xj) é a contribuição da variável xj para o valor da função objectivo.
iv. Variação Contínua
Estamos a considerar que cada uma das variáveis do modelo pode assumir qualquer
valor real no seu intervalo de variação. Quando as variáveis só poderem tomar valores
inteiros passa-se a lidar com um modelo de programação inteira.
v. Não Negatividade
Supõe-se que o nível de uma actividade pode assumir qualquer valor não negativo de
um dado intervalo.
2.4.2. Formas de Apresentação de um Programa Linear
Tendo em vista a resolução de um problema de programação linear, este pode ser
escrito em várias formas típicas.
2.4.2.1. Forma Canónica
As características desta forma são as seguintes:
i) As variáveis são todas não negativas;
ii) As restrições são todas do tipo ;
iii) A função objectivo é do tipo maximizar.
max. Z = c1x1 + c2x2 +...+ cjxj +...+ cnxn
s. a
a11x1 + a12x2 +...+ a1jxj +...+ a1nxn  b1
a21x1 + a22x2 +...+ a2jxj +...+ a2nxn  b2

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...
ai1x1 + ai2x2 +...+ aijxj +...+ ainxn  bi
...
am1x1 + am2x2 +...+ amjxj +...+ amnxn  bm
x1 , x2 , ... , xj ,..., xn  0
2.4.2.2. Forma Padrão
As características desta forma são as seguintes:
i) Todas as restrições são equações com excepção das que respeitam à não
negatividade;
ii) Os termos independentes são todos não negativos;
iii) Todas as variáveis de decisão são não negativas;
iv) A função objectivo pode ser para maximizar ou minimizar.
max. (min.) Z = c1x1 + c2x2 +...+ cjxj +...+ cnxn
s. a
a11x1 + a12x2 +...+ a1jxj +...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +...+ a2jxj +...+ a2nxn =b2
...
ai1x1 + ai2x2 +...+ aijxj +...+ ainxn = bi
...
am1x1 + am2x2 +...+ amjxj +...+ amnxn =bm
x1 , x2 , ... , xj ,..., xn  0
A passagem de um programa linear cujas restrições sejam inequações, para a forma
padrão, pode ser efectuada através da criação de um conjunto de variáveis não
negativas, que se designam por variáveis de desvio, pois correspondem ao desvio do
valor da restrição ao seu limite. As variáveis de desvio podem-se dividir em dois
grupos distintos:
• variáveis de folga, quando a variável é adicionada a uma inequação do tipo  por
forma a se obter uma igualdade;
• variáveis de excesso, quando a variável é subtraida a uma inequação do tipo  por
forma a se obter uma igualdade.
Exercícios de Aplicação 1

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1. Formule os seguintes problemas de PL:
i. Uma pequena indústria produz artigos A1e A2 que são vendidos a 200 u.m.
(unidades monetárias) e 300 u.m., respectivamente. Na sua produção são
utilizados três tipos de matérias-primas, P1 , P2 e P3 , que são gastas da
seguinte forma:
2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1;
4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1;
1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2;
1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2 .
Por razões econômicas, as matérias-primas P1 , P2 e P3 estão disponíveis no
máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente. O dono da empresa deseja
saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que devem ser produzidas para que
a receita bruta seja a maior possível.
Hipóteses:
a) a quantidade do produto a ser vendida é igual à quantidade do produto a ser
fabricada, isto é, não há estoque;
b) a receita bruta é proporcional à quantidade vendida;
c) as matérias-primas gastas são proporcionais às quantidades produzidas;
d) quantidades negativas de produtos A1 e A2 não terão significado algum.
Resolução
1º Variáveis de decisão
x1 - quantidade do produto 1 A a ser produzido.
x2 - quantidade do produto 2 A a ser produzido.
2º Modelagem matemática do problema
A modelagem do problema é escrito da seguinte forma:
Função Objetivo: máx Z = 200 x1 + 300 x2
Sujeitos a:

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










+
de
negativida
nao
de
restr
x
x
x
x
x
x
.
0
;
10
32
4
20
2
2
1
2
1
2
1
ii. Uma firma possui três tipos de máquinas A, B e C que podem produzir quatro
produtos 1, 2, 3 e 4. Cada um dos produtos tem que passar por alguma operação em
cada um dos três tipos de máquinas (máquina de tornear, perfurar e laminar). A tabela
a seguir mostra os tempos necessários de cada máquina para fazer a operação em cada
produto, os lucros resultantes, bem como a disponibilidade semanal de tempo para
cada máquina. Modelar matematicamente o problema de forma que a produção
distribuída entre os quatro produtos apresente um lucro máximo.
Tipo de Máquina
Tipo de Produtos
Tempo Total por Semana
1 2 3 4
A 1.5 1 2.4 1 2000
B 1 5 1 3.5 7000
C 1.5 3 3.5 1 6000
Lucro Unitário 5.24 7.30 8.54 4.18
Resolução
1º Variáveis de decisão
x1: Número de unidades do produto 1 a ser produzido por semana;
x4: Número de unidades do produto 4 a ser produzido por semana.
2º Modelagem do problema
Função Objectivo: Max Z= 4
3
2
1 18
.
4
54
.
8
30
.
7
24
.
5 x
x
x
x +
+
+
Sujeito a









+
+
+

+
+
+

+
+
+
de
negativida
nao
de
restr
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
0
;
;
;
6000
5
.
3
3
5
.
1
7000
5
.
3
5
2000
4
.
2
5
.
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
iii. Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de
seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão,

18
1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro
de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por
300,00Mt e um vestido por 500,00Mt, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve
fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução óptima do
problema, e interprete sua resposta.
Resolução
Terno Vestido
Disponibilidade
Algodão 2 1 16
Seda 1 2 11
Lã 1 3 15
Lucro 300 500
Sujeito a









+

+

+
de
negativida
nao
de
restr
x
x
x
x
x
x
x
x
.
0
;
15
3
11
2
16
2
2
1
2
1
2
1
2
1
iv. Uma companhia de aluguerde camiões possuía dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos
de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3
metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou
transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos
de produto não refrigerado. Quantos camiões de cada tipo ela deve alugar, de
modoaminimizarocusto, se oaluguerdocaminhãoA era 0,30Mt porkm eo do B,
0,40Mt por km. Elabore o modelo de programação linear.
Resolução
Definição de variáveis de decisão
Seja x1 Camiões do tipo A
x2 Camiões do tipo B
Função Objetivo: min Z = 0,30 x1 + 0,40 x2

19







+

+
de
negativida
nao
de
restr
x
x
x
x
x
x
.
0
;
120
3
4
90
3
2
2
1
2
1
2
1
v. AindústriaAlumilândia iniciousuasoperações emjaneirode2001ejávem conquistando
espaço no mercado de laminados, tendo contratos fechados de
fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica:
espessuras fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em
duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro.
Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas
finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de Lâminas grossas. Devido à
qualidade dos produtos da Alumilândia, há uma demanda extra para cada
tipo de lâminas. Afábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de
100.000,00 u.m para cada capacidadeprodutiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1
tonelada de lâminas médias e 2 tonelada de Lâminas grossas por dia. O custo de
produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de 200.000,00 para cada
produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 tonelada
de lâminas grossas por dia. Quantos dias cada uma das fabricas deverá operarar para
atenderaospedidosaomenorcusto possível.Elaboreomodelo.
Resolução
São Paulo Rio de Janeiro Disponibilidade
Lâmina Fina 8 2 16
Lâmina Média 1 1 6
Lâmina Grossa 2 7 28
Custo 100000 200000
Definição de variáveis de decisão
x1: Laminados produzidos em SP
x1: Laminados produzidos no R.Janeiro.
Definição da função Ojectivo
Função Objetivo: Min Z = 100 x1 + 200 x2
Definição de Restrições

20
Sujeito a









+

+

+
de
negativida
nao
de
restr
x
x
x
x
x
x
x
x
.
0
;
28
7
2
6
16
2
8
2
1
2
1
2
1
2
1
vi. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A
com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama atenção de 30.000
telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de
propaganda, chama atençãode 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o
patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para a sua propaganda e que não
há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada
programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores.
Elaboreomodelo.
Resolução
A B
Disponibilidade
Música 20 10 80
Propaganda 1 1 5
Sujeito a







+

+
de
negativida
nao
de
restr
x
x
x
x
x
x
.
0
;
5
80
10
20
2
1
2
1
2
1
2.5. RESOLUÇÃO GRÁFICA
Os problemas com apenas duas variáveis podem resolver-se graficamente com grande
facilidade. A existência de um número superior de variáveis de decisão tornam os
problemas de difícil resolução gráfica, pelo que nestes casos este processo não tem
sentido. Dado um programa linear, uma solução admissível é um ponto cujas
coordenadas correspondem ao valor de cada uma das variáveis de decisão, de forma a
que cada restrição seja satisfeita para esses valores (incluindo as de não negatividade).
Uma solução óptima é uma solução admissível que maximiza ou minimiza a função
objectivo, no conjunto de todas as soluções admissíveis.

21
Na resolução gráfica de um programa linear, que envolva apenas duas variáveis de
decisão, constrói-se primeiramente um sistema de eixos cartesianos x1 , x2 .
O passo seguinte consiste em traçar rectas correspondentes ao limite de cada uma das
restrições, definindo-se o conjunto de soluções admissíveis.
A solução óptima é então identificada traçando-se uma recta da família de rectas
representas pela função objectivo, e movendo-se esta recta paralelamente a si mesma
de modo a encontrar o seu óptimo no domínio das soluções admissíveis do problema.
Resolução do exemplo 1
Se considerarmos o problema do exemplo 1
max. Z = 0.06x1 + 0.04x2
s.a
12x1 + 8.5x2  50 000
0.04x1 + 0.02x2  150
x1  3400
x2  5000
x1 , x2  0
Traçam-se inicialmente as rectas, correspondentes às restrições, e define-se o espaço
limitado pelas rectas (incluindo-as). O conjunto de soluções admissíveis do problema
fica sempre restringido ao primeiro quadrante atendendo às restrições de não
negatividade.
i. 12x1 + 8.5x2 = 50 000 passando por A (0; 5882.35) B (4166.67; 0)
ii. 0.04x1 + 0.02x2 = 150 passando por C (0; 7500) D (3750; 0)
iii. x1 = 3400 passando por E (3400; 0)
iv. x2 = 5000 passando por F (0; 5000)
Após o traçado da recta que define a família de rectas da
função objectivo, esta é deslocada até ao ponto onde obtemos
o limite das soluções admissíveis que maximiza a função. O

22
ponto "G" corresponde, neste caso, à solução óptima do problema.
G(2750;2000) → x1 = 2750 m e x2 = 2000 m, sendo Z = 245 habitantes.
Exemplo 2
Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores
Uma fábrica de computadores, produz dois modelos de computador: A e B. O
modelo A fornece um lucro de 200,00 Mt e B de 300,00Mt. O modelo A requer, na
sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer um
gabinete grande e duas unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do
gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual
deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro?
Resolução
1º Modelagem do problema
a) Definição de variáveis de decisão
X1 = quantidade de computador Modelo (A) a produzir;
X2 = quantidade de computador Modelo (B) a produzir.
b) Função objectivo
Lucro total: L = 200 X1 + 300 X2
Função objetivo: Max L = 200 X1 + 300 X2
c) Definição das restrições do problema
Disponibilidade de gabinete pequeno: X1 ≤ 60
Disponibilidade de gabinete grande: X2 ≤ 50
Disponibilidade de unidades de disco: X1 + 2 X2 ≤ 120
Restrição lógica: X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

23
Foi dito anteriormente que a resolução de problemas de programação pelo método
gráfico requer a definição da região de solução das restrições e que se avalie o
objectivo na região de soluções viáveis.
1ª Etapa: Construir a região de soluções das restrições
A construção da região de soluções das restrições possíveis obedece à seguinte
sequência:
• atribuem-se valores para X1 e X2 para definir-se o comportamento da
linha/reta de cada uma das restrições no gráfico.
Exemplo:
• Disponibilidade de unidades de disco: X1 + 2 X2 ≤ 120
Para X1 = 0, temos que X2 = 60;
Para X2 = 0, temos que X1 = 120.
Para visualizar o problema de forma gráfica, devem ser
representadas, inicialmente, as restrições do problema, conforme
apresentado na figura ao lado.
Gráfico da Região de Soluções Possíveis
2ª Etapa: Traçar o Vértice da Função Objetivo
Se a função é maximizar, o vértice é para cima. Se a função é minimizar, o vértice
é para baixo. Para traçar o vértice, pega-se os coeficientes da função objectivo (ou
múltiplos deles) e traça-se o vértice. No caso do exemplo é o 200 e 300 (pode-se
pegar então os pontos (20;30) e traçar o vértice. A recta de solução do problema é
aquela perpendicular ao vértice que toca o gráfico no ponto mais extremo da
maximização ou minimização.
3ª Etapa: Avaliar o objectivo na região de soluções
Para avaliarmos o comportamento da função objetivo no gráfico, sugerem-se os
seguintes procedimentos:

24
• escolher um ponto dentro ou próximo da região de solução viável. Por
exemplo, X1 = 20 e X2 = 20;
• calcular o valor obtido para a função objetivo neste
ponto. Basta substituirmos os valores para X1 e X2
na função objetivo. Neste caso, obtém-se um valor
de lucro de 10.000,00Mt;
• representar, no gráfico, o comportamento da função
objetivo quando o lucro for de 10.000,00. Para isto,
devemos adotar o mesmo procedimento anterior
para representar as restrições do problema.
Assim, temos: Max L = 200 X1 + 300 X2
Logo, 10.000 = 200 X1 + 300 X2
Portanto, se X2 = 0, então X1 = 50 e
se X1 =0, então X2 = 33,33.
Gráfico da Função Objetivo quando o Lucro for igual a 10.000,00Mt.
Observa-se que quanto mais a função objetivo caminhar para a direita, de forma
paralela, maior o valor de lucro. Portanto, este deverá ser o direcionamento da
maximização: a função objetivo deverá se deslocar, dentro da região viável, o máximo
possível para a direita, o que no caso resultará no vértice X1 = 60 e X2 = 30, com o
máximo lucro de 21.000,00Mt.
Veja que se X1 = 60 e X2 = 30, substituindo esses valores na função objetivo, temos:
Max L = 200 X1 + 300 X2.
Max L = 200 x 60 + 300 x 30
Max L = 21.000, 00Mt
Este vértice, x1 = 60 e x2 = 30, a solução do problema, é a intersecção das rectas
representativas das restrições de Gabinete Pequeno e Unidades de Disco. Isso
significa que tais restrições estão sendo esgotadas, ou que estão sendo efetivamente
atuantes.
Na verdade, substituindo-se o valor da solução ótima naquelas restrições, os limites
superiores serão alcançados. Já na restrição de Gabinete Grande, os limites superiores

25
correspondentes não serão atingidos, significando que tais restrições estão com folga.
Observa-se que para realizar o plano ótimo de produção serão necessárias 30 unidades
de Gabinetes Grandes, sendo que a disponibilidade é de 50 (folga de 20 unidades).
Concluindo-se: a fábrica de computadores deverá produzir 60 unidades do
computador Modelo A e 30 unidades de computador Modelo B, para obter um
máximo lucro de 21.000,00Mt.
TPC
Minimizar custo dos produtos P1 e P2 representados por x1 e x2 respectivamente
definido pela seguinte função e respectivas restrições:
Função Objetivo: min Z = 10 x1 + 2 x2
Sujeito a









+

+

+
)
.
(
.
0
;
54
6
5
10
20
2
1
2
1
2
1
2
1
dade
depositivi
res
de
negativida
nao
de
restr
x
x
x
x
x
x
x
x
Problemas Propostos
Formule e resolva graficamente os seguintes problemas de programação linear:
1. Uma empresa de betoneiras fabrica dois modelos numa fábrica que está dividida
em duas secções: secção 1 onde se efectua o trabalho de montagem, e secção 2 onde
se realizam as operações de acabamento. A secção 1 exige 5 horas de trabalho por
betoneira grande e 2 por betoneira pequena e a secção 2 exige 3 horas de trabalho para
qualquer betoneira. Em virtude das limitações de pessoal e máquinas, a secção 1 só
pode dispor de 180 horas de trabalho por semana e a secção 2 de 135 horas. Se a
empresa obtém um lucro de 90 u.m (unidades
monetárias) por betoneira grande e 60 u.m por
betoneira pequena. Quantas betoneiras de cada tipo
deve produzir por semana para maximizar o seu
lucro?

26
Resolução
x1 - nº de betoneiras grandes; x2 - nº de betoneiras pequenas
max. Z = 90x1 + 60x2
s.a
5x1 + 2x2  180
3x1 + 3x2  135
x1 , x2  0
Solução óptima: E (30 ; 15)
x1 = 30 un.; x2 = 15 un.; Z = 3600 contos , A (36 ; 0), B (0 ; 90), C (45 ; 0); D (0 ;
45)
2. Uma fábrica de produtos cerâmicos produz dois tipos de azulejos, A e B. Cada tipo
de azulejo, para ser produzido, passa por dois sectores. O sector 1 tem disponível, por
mês, uma capacidade de produção de 1160 horas, enquanto o sector 2 tem disponível
uma capacidade de produção de 1100 horas, para os dois produtos. O tempo
necessário à produção de cada azulejo (em horas) em cada sector, as quantidades de
azulejos máximas requeridas mensalmente e os respectivos preços de venda unitários
estão descriminados na tabela seguinte. O objectivo da empresa é maximizar o
montante das vendas. Determine os valores a produzir de cada azulejo.
Azulejo
Sector Procura
Máxima
Preços
Unitários
1 2
A 0.03 0.02 36.000 30
B 0.02 0.06 14.000 65
Resolução
x1 - nº de azulejos A; x2 - nº de azulejos B; max. Z = 30x1 + 65x2
s.a
0.03x1 + 0.02x2  1160
0.02x1 + 0.06x2  1100
x1  36000
x2  14000
x1 , x2  0
Solução óptima: x1 = 34000 un; x2 = 7000 un;
Z = 1475000 escudos
3. Um consórcio de empresas comprou um terreno de 20 ha destinado a urbanizar. A
elaboração do projecto do referido empreendimento foi posta a concurso, estando as
equipas de projectistas sujeitas às condições do plano director municipal que limita a

27
construção a 25 vivendas unifamiliares ou 90 apartamentos por ha. No programa de
concurso estava estipulado a necessidade de construção de 200 vivendas e 100
apartamentos, devidos à existência de encomendas já realizadas, além disso a
estimativa de custos médios estipulada pelo consórcio apontava para 18000
contos/vivenda e 11000 contos/apartamento. A disponibilidade orçamental estipulada
é de 12.24 milhões de contos, sendo o valor médio de venda de 25850 contos/vivenda
e 15000 contos/apartamento. Será adjudicada a elaboração do projecto à equipa de
projectistas que apresente a proposta de maior lucro para a empresa. Caso pertencesse
à equipa de projectistas envolvida no concurso, qual seria o número de vivendas e
apartamentos da sua proposta?
x1 - nº de vivendas
x2 - nº de apartamentos
max. Z = 7850x1 + 4000x2
s.a
3.6x1 + x2  1800
x1  200
x2  100
18x1 + 11x2  12240
x1 , x2  0
Solução óptima:
x1 = 350 un.
x2 = 540 un.
Z = 4907500 contos
4. Um refeitório de uma fábrica de pré-fabricados para construção fornece pequenas
refeições aos seus trabalhadores. Um dos pratos confeccionados é constituído à base
de dois produtos alimentares. Sabendo que 1 kg de produto 1 custa 300,00 Mt e
fornece 200 calorias e 23 unidades de gordura, e 1 kg de produto 2 custa 1000,00 Mt e
fornece 400 calorias e 6 unidades de gordura, preparar a dieta mais económica de
modo a conter pelo menos 240 calorias mas não mais do que 20 unidades de gordura.
x1 - peso de produto 1
x2 - peso de produto 2
min. Z = 300x1 + 1000x2
s.a
200x1 + 400x2  240
23x1 + 6x2  20
x1 , x2  0

28
Solução óptima:
x1 = 0.82 kg
x2 = 0.19 kg
Z = 436 escudos
5. Uma empresa de janelas e portas pré-fabricadas efectua a sua produção em três
sectores distintos. A caixilharia de alumínio e acessórios são produzidos na secção 1,
as carpintarias são elaboradas na secção 2, sendo a secção 3 o local de produção do
vidro e da montagem de todos os elementos. Para relançar a empresa foi decidido
iniciar a produção dois novos produtos: uma porta envidraçada de alumínio e um
janela de madeira. O departamento de "marketing" determinou que os produtos teriam
uma procura que cobria a capacidade produtiva da empresa. Contudo como os
produtos competem entre si na secção 3 face à capacidade produtiva, a direcção da
empresa solicitou um estudo que determinasse o número de cada tipo de artigos a
produzir. Os valores tabelados traduzem a disponibilidade percentual de cada secção
para produzir os artigos, as percentagens requeridas pelos artigos por cada unidade
produzida num minuto, e o lucro por cada artigo produzido.
Secção Portas Janelas Capacidade de Produção
1 1 0 3
2 0 1 5
3 4 3 24
Lucro
(Contos/Un.)
12 9
max. Z = 12x1 + 9x2
s.a
x1  3
x2  5
4x1 + 3x2  24
x1 , x2  0
Soluções óptimas:

29
x1 = 3 un. e x2 = 4 un. ou
x1 = 2.25 un. e x2 = 5 un. ou
combinações lineares das duas.
Z = 72 contos
6. Uma empresa de produtos químicos pretende comercializar aditivos para betão,
tendo capacidade para produzir 800 unidades. O aditivo pode ser produzido com duas
qualidades distintas: "Normal" e "Extra". Os lucros que se obtêm pela venda é de
1400,00 Mt por unidade de produto "Normal" e 1700, 00Mt por unidade de produto
"Extra". A fábrica tem capacidade máxima para produzir 960 unidades de produto
"Normal" e 640 de produto "Extra", ou combinações destes dois produtos que
garantam estas proporções. Um estudo de viabilidade da comercialização do produto
concluiu que no mínimo 240 unidades de aditivo têm de ser produzidas, e que pelo
menos um quinto da comercialização deve ser de produto "Extra", não devendo
exceder metade dos produtos vendidos. Determine as quantidades de produto
"Normal" e "Extra" que deverão ser produzidas de modo a ser obtido o maior lucro
possível.
x1 - aditivo "normal"
x2 - aditivo "extra"
max. Z = 1400x1 + 1700x2
s.a
x1 + x2  800
2x1 + 3x2  1920
x1 + x2  240
x1 − 4x2  0
x1 − x2  0
x1 , x2  0
Solução óptima:
x1 = 480 un.
x2 = 320 un.
Z = 1216000 escudos

30
7. Uma empresa de comercialização de materiais de construção, em larga escala,
pretende renovar a frota de camiões, desejando equipá-la com dois tipos de camiões:
modelo "A" de 20 toneladas de capacidade com um custo de 8000 contos e modelo
"B" de 40 toneladas de capacidade com um custo de 12000 contos. O capital
disponível para a compra é de 1 milhão de contos. A disponibilidade das garagens da
empresa é de 110 veículos no total. Verifica-se a necessidade imperativa de 35
camiões modelo "A" e 25 modelo "B". Atendendo à necessidade de escoamento dos
materiais, é necessário uma capacidade de transporte de 2000 toneladas. Por questões
de logística, pelo menos um quarto da frota deve consistir de modelos "B". Atendendo
a que o custo de transporte por tonelada de material, nos modelos "B" é 40% superior
ao custo dos modelos "A", determinar a composição da frota de camiões de modo a
minimizar o custo de transporte.
x1 - nº de camiões modelo "A"
x2 - nº de camiões modelo "B"
max. Z = x1 + 1.4x2
s.a
8x1 + 12x2  1000
x1 + x2  110
20x1 + 40x2  2000
x1 − 3x2  0
x1  35
x2  25
x1 , x2  0
Solução óptima:
x1 = 80 un.
x2 = 30 un.
Z = 122
8. Todo o aço fabricado por uma determinada siderurgia obedece às seguintes
propriedades químicas e físicas: 1.8 - 2.5% de silício; 0.9 - 1.2% de níquel; 3.2 - 3.5%
de carbono; tensão de rotura mínima de 310 MPa. A produção de aço é feita a partir
de duas ligas metálicas. Assume-se que a tensão de rotura da mistura das duas ligas é
igual à soma percentual da tensão de rotura de cada liga. Atendendo ao custo e
propriedades apresentadas no quadro seguinte, estabeleça o modo de minimizar o
custo de produção do aço.
Liga 1 Liga 2

31
Custo Por Quilo 38,00Mt 40,00Mt
Silício 2% 2,5%
Níquel 1% 1,5%
Carbono 3% 4%
Tensão de Rotura 290Mpa 345Mpa
9. Uma cidade produz 50 toneladas de lixo por dia. O lixo tem que ser incinerado nas
incineradoras 1 ou 2. Por razões técnicas, é necessário incinerar um mínimo de 30%
desse lixo na incineradora 2. O custo para incinerar o lixo nas incineradoras 1 e 2 é de
6500,00Mt/ton. e 11250,00Mt/ton., respectivamente. O custo de transporte de cada
tonelada de lixo é de 60,00Mt por cada quilómetro percorrido. A distância da cidade à
incineradora 1 é de 30 km e à incineradora 2 é de 20 km. Cada incineradora pode
receber um máximo de 40 toneladas de lixo por dia. Efectue o planeamento do
transporte de lixo de modo a minimizar o custo.
10. Um reservatório de água é abastecido através de dois furos, cujas estações
elevatórias estão a bombear em paralelo, sendo necessário um caudal mínimo de 75
m3
/h a um preço compreendido entre 35,00Mt/m3 e 38,00Mt/m3
. O furo 1 tem
possibilidade de fornecer um caudal máximo de exploração de 65 m3/h, enquanto o
furo 2 tem possibilidade de fornecer um caudal máximo de exploração de 45 m3/h. A
diferença de cotas entre o ponto mais baixo da conduta elevatória e o reservatório é de
61.938 m. O valor do caudal pode ser determinado pela seguinte expressão: Q=50.5
D2,68
i0,56
, em que Q vem expresso em m3/s, D em metros e i (perda de carga) em m/m.
O preço da água é de 30, 00 Mt/m3
, a que se acresce o custo de exploração de 4,00/m3
no furo 1 e 8,00/m3
no furo 2. Atendendo às características da rede que se apresenta
em esquema, determine o caudal que deve ser debitado de cada furo de modo a
minimizar o custo da água.
11. Uma empresa metalúrgica produz dois tipos de varões de aço para construção em
duas secções de laminação diferentes. A secção de laminação 1 tem 100 horas
disponíveis, enquanto a secção de laminação 2 tem 30 horas disponíveis. O preço de
venda (em contos) e o tempo necessário (em minutos), por secção, para a produção de

32
uma tonelada de varão, estão descritos na tabela seguinte. Como o número de
encomendas por mês é, no máximo, de 250 toneladas de varões tipo 1 e de 140
toneladas de varões tipo 2, determine a produção de varões de modo a maximizar a
facturação.
Varões Preço Secção 1 Secção 2
Tipo 1 71 20 -
Tipo 2 80 18 20
12. Uma empresa de construção civil encomendou um projecto de um edifício de
habitação e comércio. A área de construção, na zona de implantação da obra, está
limitada a 10000 m2
, sendo a área máxima destinada a comércio, de um terço da área
total do edifício. A empresa de construção exige que o edifício não tenha uma área
inferior a 8000 m2
, sendo a área mínima destinada a comércio, de um quinto da área
total do edifício. O preço de venda é de 150 contos/m2
para habitação e 250 contos/m2
para o comércio. Atendendo à procura, devem existir um mínimo de 6000 m2 de área
habitacional. Defina a distribuição das áreas de forma a maximizar o volume de
vendas.
2.6. Ferramenta Solver
Como Habilitar/Instalar a Ferramenta Solver?
1º Clique no canto superior esquerdo;
2º clique opções do Excel: observe que abriu uma janela, nesta janela chique em
suplementos, nos suplementos clique em ir , aqui aparecem todas as opções do
Microsoft que você deseja adicionar ao seu Excel, escolhe solver. E siga as instruções
de instalação. Às vezes aparece solucionador em vez de solver. Verifique no lado
direito depois de activar a barra de ferramentas a opção dados.
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Caso a opção Solver não esteja presente no menu Ferramentas, isto é porque a
ferramenta Solver não foi instalada. Para instalá-la, proceda da seguinte maneira:

33
✓ No menu Ferramentas, clique em Suplementos. Se o Solver não estiver listado na
caixa de diálogo Suplementos, clique em Procurar e localize a unidade de disco, a
pasta e o nome de arquivo para o suplemento Solver.xla (geralmente localizado na
pasta BibliotecaSolver) ou execute o programa de instalação se não conseguir
localizar o arquivo.
✓ Na caixa de diálogo Suplementos, marque a caixa de seleção Solver. Os
suplementos que você selecionar na caixa de diálogo Suplementos permanecerão
activos até que você os remova.
Exercícios
Usando a ferramenta solver resolva os seguintes problemas de PL:
Max z = 600x1 + 800x2
sugeito a restrições:
x1 + x2  100
3x1 + 2x2  240
x1  60
x2  80
x1 , x2  0
Para ser simples o controlo das expressões pode excrever nas células que se situam
no lado direito.
Vamos escrever nas células:
Em A escrever função objectivo;
Em B escrever coeficientes das variáveis;
Em baixo da expressão coeficientes das variáveis escrevemos as variáveis, no caso
deste problema temos x1 e x2 nas colunas B e C respectivamente. Na linha seguinte
em baixo destas variáveis colocar os valores que acompanham a função objectivo,
portanto em baixo da variável correspondente. No caso deste problema 600 e 800.
Na linha seguinte escrever em A, variável ideal, em frente desta expressão deixar
dois espaços em branco, para melhor controlo pode pintar a área, portanto os espaços

34
são reservados nas colunas seguintes, um espaço para cada variável, portanto em
baixo dos coeficientes da função objectivo. Nos espaços em causa vão aparecer as
soluções de cada variável .
Na linha 5 em A escrever Z=, na coluna seguinte portanto B, escrever a função
objectivo para o caso deste problema escrever =(600*x1)+(800*x2), para escrever
esta função clicamos nos coeficientes da função, portanto clique um coeficiente da
função e coloque o sinal de multiplicação e depois clicar no espaço reservado
correspondente, assim terá feito por exemplo 600*x1; terminada a colocação da
função z, dar um enter e vai aparecer resposta zero. Isto porque os valores das
variáveis ideais estão em branco.
Depois na linha 7 em A escrever restrições numerar as restrições. Na coluna
segunte/célula B, escrever a expressão coeficientes das restrições onde em baixo
desta expressão vamos escrever a matriz de coeficientes das restrições. Na célula
seguinte escrever LHC e na segunte desta escrever RHC isso na mesma linha das
variáveis em baixo de LHC escrever as expressões, ou seja, membro esquerdos das
restrições e em baixo da RHC escrever os correpondentes termos independentes.
Funcao Objectivo Coefiientes Variaveis
x1 x2
11 12
variavel Ideal 20 60
Z= 940
Restricoes Coeficientes das variavesi Constantes
Nr x1 x2 LHC RHC
1 1 4 260 10000
2 5 2 100 30000
3 1 0 20 20
4 0 1 60 60
De referir que os valores de LHC, varialvel ideal, portanto 20 e 60 e ainda 940
aparecem como resultado da operação automática do solver.

35
Depois de inserir todos os dados vamos ao canto superior direito e clicamos na
ferramenta Solver, recordar que esta ferramenta ve-se depois de activar o botão
interior dados, depois de clicarmos na ferramenta Solver sai um quadro de diálogo.
Na opção definir as células de destino colocar o cursor e clicar na expressão da
função Z, portanto define-se onde se quer que o resultado apareça. Onde aparece
células variáveis colocar o cursor e seleccionar a zona sombreada portanto o espaço
reservado das variável ideal, ou seja, x1 e x2, depois disto clicar em estimar.
Depois é preciso ir a zona de submissão de restrições onde se clica o espaço de cada
valor de LDC e no lado direito clicar os termos independentes correspondentes e no
meio selecionar o sinal correspondente ( de desigualdade, etc) e clicar em adicionar
até terminar com todas as restrições.
Depois de tudo clicar em Solucionar/Solver na mesma caixa de dialogo.
Se o problema estiver certo vai aparecer uma informação que confirma, depois desta é
clicar em ok e termina o problema. Em casos de ter falhado vai aparecer uma
informação de ter falhado, neste caso procure resolver o problema.
Bibliografia Básica
i. SILVA, E.M., VALTER, G.; MUROLO, A. C.: Pesquisa Operacional. Editora
Atlas S.A. 1998.
ii. ACKOFF, R.L. & SASIENI, M.W.: Pesquisa Operacional, Rio de Janeiro,
Livros Técnicos e Científicos, 1971
iii. BRONSON, R.: Pesquisa Operacional. McGraw Hill Schaum.
iv. RAMALHETE, M.: Programação Linear, vol I e II. McGraw Hill Schaum.
v. EHRLICH, P.J.: Engenharia Económica. Avaliação e Selecção de Projectos de
Investimento. III Edição.
vi. SILVA, Ermes Medeiros da. Pesquisa Operacional. 3ª edição. São Paulo,
Editora Atlas S.A, 1998.
vii. FOLGLIATTO, Flávio. Pesquisa Operacional.
Chongoene, 27 de Agosto de 2022

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