Este documento discute geometria espacial e pirâmides. Ele fornece detalhes sobre os elementos de uma pirâmide, como vértice, arestas e faces. Também explica como calcular a área total e o volume de pirâmides regulares de diferentes formas.
3. Nos guichês
3
das companhias
aéreas dos aeroportos, há caixas
que auxiliam os passageiros a
identificarem se suas bagagens
de mão estão dentro dos
padrões estabelecidos pela
Agência Nacional de Aviação Civil
(ANAC). As figuras mostram as
dimensões da caixa.
4. Considerando que todo o conteúdo da bagagem de mão esteja
uniformemente distribuído, a densidade máxima da bagagem é,
aproximadamente,
A) 20.000 cm3.
B) 35.000 cm3.
C) 44.000 cm3.
D) 52.000 cm3.
E) 60.000 cm3.
4
5. SOLUÇÃO
h
5
VPRISMA ABASE
V Compriment o x largura x altura
V 40 20 55
V 44.000 cm3
6. Considerando que todo o conteúdo da bagagem de mão esteja
uniformemente distribuído, a densidade máxima da bagagem é,
aproximadamente,
A) 20.000 cm3.
B) 35.000 cm3.
C) 44.000 cm3.
D) 52.000 cm3.
E) 60.000 cm3.
6
7.
8. PIRÂMIDE
A pirâmide tem dois tipos de faces
A base
(polígono ABCDEF).
Faces laterais
(triângulos).
Superfície total da pirâmide é a união da base
com a superfície lateral.
V
8
A
B C
D
E
F
9. Elementos principais da pirâmide
A pirâmide tem dois tipos
de arestas
arestas da base
(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
arestas laterais
(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
V
9
A
B C
D
E
F
10.
h
A distância h do vértice ao plano da base é a
altura da pirâmide.
V
A
B C
D
E
F
Elementos principais da pirâmide
10
11. Classificação
• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono
que constitui sua base.
Polígono da base Pirâmide
triângulo Pirâmide triangular
quadrado Pirâmide quadrangular
pentágono Pirâmide pentagonal
hexágono Pirâmide hexagonal
11
13. Pirâmides regulares
A base da pirâmide é um
quadrado
Pirâmide quadrangular
regular
A base da pirâmide é um
hexágono regular
Pirâmide hexagonal regular
V
h
O
V
13
h
O
15. Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
B
M
O
a
h
m
r
A
p
b
15
VO = h, altura;
VA = a, aresta lateral;
AB = b, aresta da base;
16. Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
B
A
M
O
a
h
m
r
p
b
16
OM = m, apótema da base;
OA = r, raio da base;
VM = p, apótema pirâmide;
17. A pirâmide e o teorema de Pitágoras
p2 = h2 + m2
V
17
B
A
M
O
h
m
p
18. A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
h
a
O
r
A
a2 = h2 + r2
18
19. A pirâmide e o teorema de Pitágoras
a2 = p2 + (b/2)2
V
p
a
B
M
b/2
A
19
20. Volume da pirâmide
•Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a
mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do
prisma.
3
20
B
V
1
A h
21. Calcule o volume de uma pirâmide regular quadrangular
de altura 6 cm e aresta da base 4 cm.
4 cm
6 cm
Base
A 42
16 cm2
3
V
1
16 6
3
V
1
16 6
V 16 2
V 32 cm3
3
21
B
PIRÂMIDE
V
1
A h
22. (VUNESP) O prefeito de uma cidade
pretende colocar em frente à prefeitura um
mastro
apoiado
com
sobre
uma bandeira,
uma pirâmide
que será
de base
quadrada feita de concreto maciço, como
mostra a figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a
altura da pirâmide será de 4 m, determine o volume de
concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide.
22
23. 3 m
4 m
Base
A 32
9 m2
3
V
1
9 4 V 3 4
V 12 m3
3
23
V B
PIRÂMIDE
1
A h
24. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular
cujas arestas medem 2 cm.
24
25. 2 cm
2 cm
2 cm
TRIÂNGULO
EQUILÁTERO
l
l
l
OCTAEDRO 8 FACES
3
25
22
4
A
4
3
A
4
A 3 cm2
3 cm2
ATOTAL 8
26. 1 cm
2 cm
H
1 cm
H
Pitágoras
2
26
3
h
2
h 3 cm
3
3
2
H2
12
3 H2
1
H2
2
H 2 cm
27. 2 cm
2 cm
Base
A 22
4 cm2
2
3
V B
PIRÂMIDE
1
A h
3
V
1
4 2
3
2
x 2
VOCTAEDRO
4
3
27
2
cm3
V
4
OCTAEDRO
3
2
cm3
V
8
28. Calcule o volume de uma pirâmide regular de base
hexagonal sabendo que sua altura é de 12 cm e que cada
aresta da base mede 8 cm.
8 cm
28
8 cm
8 cm 8 cm
4
3
2
A
8
4
3
A
64 16 3 cm2
AHEXÁGONO
BASE
16 3 x 6
A 96 3 cm2
29. 12 cm
BASE
29
A 96 3 cm2
3
V B
PIRÂMIDE
1
A h
3
V
1
96 3 12
V 96 3 4
V 384 3 cm3
30. Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de
mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado
na figura ao lado, formado por uma pirâmide reta
sobreposta a um paralelepípedo retângulo.
30
31. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em
cada ano de trabalho é, em dm3, igual a:
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
31
