Campo Elétrico de Distribuições Contínuas

12/04/2021
Equipe de Física: Max Trindade - Nelson Leite Cardoso
Ruy Guilherme - Péricles Júnior
1
1.2 – Campo Elétrico
1.2.1 – Campo Elétrico de Cargas Pontuais
1.2.2 – Linhas de Força
1.2.4 – Dipolo em um Campo Elétrico
1.2.5 – Fluxo do Campo Elétrico
1.2.6 – Lei de Gauss
1.2.3 – Campo Elétrico de Distribuições
Contínuas de Carga

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2
1.2 – Campo Elétrico
Campos
Escalares ou Vetoriais
Estáticos ou Variantes no Tempo
g =
F
m0
(1.8)
massa de prova
1.2.1 – Campo Elétrico de Cargas Pontuais
carga de prova
F =
1
4  
q.q0
r2
+
q q0
E
–
q q0
E
carga geradora
E =
F
q0
(1.9)
E =
1
4  
q
r2
F
q0
= (1.10)


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3
+
q1
–
q2
+
q3
P
1.2.1.1 – Princípio da Superposição E3
E2
E1
Ex1.2.1.1.: Obtenha uma expressão para o módulo do
campo elétrico a uma distância x do ponto médio do
segmento que une um dipolo elétrico.
O campo elétrico no Sistema Internacional (SI) é dado
em newton/coulomb (N/C).
Várias Cargas:
E =  Ei = E1 + E2 + E3 + ... + EN
soma vetorial
(1.11)

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Solução Ex1.2.1.1.:
E–
x
y
+
q
–
q
P
x
d
E = E+ + E–
E+
r

E


E = E+ cos  + E– cos  = 2 E+ cos 
De (I) em (II), vem:
E+ = E– =
1
4  0
q
r2
(I)
1
4  0
q
x2 + (d/2)2
=
(II)

d/2
 x2 + (d/2)2
E = 2 E+
E = 2
d/2
 x2 + (d/2)2
1
4  0
q
x2 + (d/2)2
E =
1
4  0
q d
[ x2 + (d/2)2 ]3/2

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5
E =
1
4  0
p
x3
Definindo-se o momento de dipolo elétrico p = q d, vem:
Solução Ex1.2.1.1 (cont.).:
Se x >> d, então [ x2 + (d/2)2 ]3/2  [ x2 ]3/2 = x3, logo:
E =
1
4  0
p
[ x2 + (d/2)2 ]3/2
 (para um dipolo elétrico)
E 
1
x3
Seguindo raciocínio semelhante para o quadrupolo, vem:
(para um quadrupolo elétrico)
E 
1
x4

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1.2.2 – Linhas de Força
Mostram a direção do campo E em qualquer ponto.
Fig. 1.7 – É convencionado que as linhas de força originam-se
em cargas positivas e terminam em cargas positivas.
E E

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Quando as linhas de força são curvas, a direção
tangente à linha de força fornece a direção do campo E.
O número de linhas de
força por unidade de área é
proporcional à intensidade
do campo elétrico.
Assim, de acordo com a
Fig. 1.8, tem-se E1 > E2.
Fig. 1.8 – Configuração das linhas
de força de um dipolo elétrico.
E1
E2
q q

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1.2.3 – Campo Elétrico de Distribuições
Contínuas de Carga.
Se dq for pontual:
q  dq
E  dE
  
E =  Ei  E =  dE 
dE =
1
4  
dq
r2
(1.13)
Densidade Linear de Carga:  = q/s  q = s  dq = ds
Densidade Superficial:  = q/A  q = A  dq = dA
Densidade Volumétrica:  = q/V  q = V  dq = dV
Ex =  dEx
Ey =  dEy
Ez =  dEz
(1.12)

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1.2.3.1 – Linha Infinita de Cargas.
As contribuições de campo na vertical (dEz) anulam-se
simetricamente com relação ao eixo y.
P
densidade linear
de carga 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
y
x
.
.
z
z
dz

r
r
dE
dE
y
Ey =  dEy =  cos  dE (I)
dq
r2
dE =
1
4  0
(II)
=
 dz
y 2 + z 2
1
4  0
tg  =
z
y
(III)
z = y tg 

dz = y sec2  d (IV)

= y sec2 
dz
d

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10
Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), vem:
 y sec2 
y 2 + y 2 tg2 
1
4  0
d
Ez =  cos 
/2
- /2
cos  sec2 
1 + tg2 
d

/2
- /2
 y
4  0 y 2
Ez = cos  d

4  0 y
Ez = 
/2
- /2

cos  d = sen (/2) – sen (–/2)

/2
- /2
= 2 sen (/2) = 2
sec2  = 1 + tg2 

2  0 y
Ez =
(linha infinita de cargas)
(1.17)

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Ex1.2.3.1.: Quatro linhas infinitas de cargas, paralelas
entre si, encontram-se postadas nas arestas laterais de
um prisma reto de base quadrada de lado L (vide figura).
Obtenha o módulo do campo resultante para pontos
eqüidistantes das quatro linhas de cargas.
+
+3
–
–
–2
L
–
+ +4
L
L
L
(vista superior)
– +4
+3 –2

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P
E1
E2
E4
E3

2  0 L 2/2
E1 = (I)
2 
2  0 L 2/2
E2 = = 2 E1 (II)
3 
2  0 L 2/2
E3 = = 3 E1 (III)
4 
2  0 L 2/2
E4 = = 4 E1
(IV)
3 = +3
1 = – 
2 = –2
L
+
–
–
+
4 = + 4
L L
L

2  0 r
E =
(vista superior)

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EP
EP =  (E4 – E3)2 + (E2 – E1)2
(V)
=  E1
2 + E1
2
EP =  (4E1 – 3E1)2 + (2E1 – E1)2
Subst. (II), (III) e (IV) em (V), vem:
Levando (I) em (VI), obtém-se o valor de Ep:
E4 – E3
. E2 – E1
P

2  0 L 2/2
EP = 2

 0 L
 EP =
(VI)
EP = 2 E1

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1.2.3.2 – Anel Uniformemente Carregado.
Substituindo (I), (III) e (IV) em (II), vem:
dq
r2
dE =
1
4  0
(I)
dEz = dE cos  (II)
cos  = z/z2 + R2 (IV)
r = z2 + R2 (III)
z dq
(z2 + R2)3/2
dEz =
1
4  0
(V)
R
P carga
q > 0
z
y
x
.
.
z

r
dE
dq
dEz = dE cos

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Somando todas as contribuições infinitesimais de
campo ao longo do anel de cargas, tem-se:
Ez =  dEz =
z.dq
(z2 + R2)3/2
1
4  0

z
(z2 + R2)3/2
1
4  0
=  dq
q
Se z >> R, o anel de cargas comporta-se como se fosse
uma carga pontual:
q
z2
1
4  0
Ez 
q z
(z2 + R2)3/2
1
4  0
Ez =
(anel carregado)
(1.14)

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Ex1.2.3.2.: Um elétron é forçado a realizar pequenas
oscilações ao longo do eixo que passa pelo centro de um
anel de raio R positivamente carregado com carga q. (a)
Mostre que a força que atua sobre o elétron é
restauradora (Fz = – kz). (b) Obtenha uma expressão literal
para o período de oscilação realizado pelo elétron.
pequenas oscilações  z << R, logo:
q z
(z2 + R2)3/2
1
4  0
Ez = (anel carregado)
q z
R3
1
4  0
Ez = (I)
a)
R
q > 0
z
–
z – e

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R
q > 0
z
–
z –
– e
Ez
Fz
Fz = – e Ez (II)
Subst. (I) em (II), vem:
e q
4  0 R3
Fz = – z  Fz = – k z (C.Q.D.)
16 3 R3 0 m
e q
 T =

m
k
T = 2 

b)
m
(e q)/(4  0 R3)
T = 2 


4  0 R3 m
e q
T = 2 



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1.2.3.3 – Disco Uniformemente Carregado.
O disco cargas pode ser considerado como uma soma
de anéis de infinitesimais.
densidade superficial
de carga 
R
P
z
y
x
.
.
z
dEz
dw w
dq =  dA =  2w dw (II)
Elemento de área:
dw
2w
A Eq. (1.14) permite escrever:
z dq
(z 2 + w 2) 3/2
1
4  0
dEz = (I)

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19
Substituindo (II) em (I), vem:
z  2  w dw
(z 2 + w 2) 3/2
1
4  0
dEz =
Somando todas as contribuições de cada anel, tem-se:
 (z 2 + w 2) –3/2 (2 w) dw
 z
4 0 0
R
 dEz =
0
R
Ez =

2 0
z
z 2 + R 2
1 –
Ez =
(disco carregado)
(1.15)
2
z 2 + R 2
2
z
–
Mostre!

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20
1.2.3.4 – Plano Infinito Uniformemente Carregado.
Aplicando R >> z em (1.15) obtém-se o campo E gerado
por um plano infinito com densidade  de cargas.
Fazendo-se R >> z, o disco de cargas torna-se um
plano infinito de cargas.

2 0
E =
(plano infinito carregado)
(1.16)
O campo gerado pelo plano de cargas independe da
distância z até o ponto de observação do campo.

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21
Ex1.2.3.4.: Uma esfera de massa m = 1,12 mg e carga q =
19,7 nC, encontra-se sob efeito da gravidade terrestre e
pendurada num fio de seda que forma um ângulo  = 27,4º
com uma grande placa isolante uniformemente carregada.
Calcule a densidade superficial de cargas da placa.
F
T

P
F
P
tg  =
q . E
m . g
= (I)

2 0
E = (II)
+
+
+
+
+
+

 fio de seda
+
q
m
P
F
T

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22
Solução Ex1.2.3.4. (cont.).:
Levando (II) em (I), obtém-se:
tg  =
m . g

2 0
q .
2 0 m g tg 
q
  =
q 
2 0 m g
 tg  =
Substituindo os valores numéricos do problema, vem:
2 x 8,85.10-12 x 1,12.10-6 x 9,81 x tg 27,4º
19,7 x 10-9
  =
  = 5,11 x 10-9 C/m2 ou  = 5,11 nC/m2

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23
1.2.5 – Fluxo do Campo Elétrico
O fluxo de campo elétrico expressa o número de linhas
de campo que atravessam uma determinada superfície.
A
A
.
Definição: o vetor área A possui direção normal à
superfície com sentido para fora da mesma e módulo igual
à respectiva área. A2
.
.
A1
.
A3

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24
(1.22)
E =  E . A
(1.23)
E = E . dA

Na situação de campo elétrico não uniforme, divide-se
a superfície em elementos infinitesimais de maneira a
tornar o campo uniforme sobre esses elementos.
Quando o campo elétrico é uniforme sobre a
superfície, o fluxo de campo elétrico é expresso por um
somatório de produtos escalares entre E e A.

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25
A
.
Ex1.2.5.: Um campo elétrico uniforme E = 1600 N/C
atravessa uma superfície quadrada de lado L = 4,2 cm. O
ângulo formado entre os vetores normal e campo vale
60°. Calcule o fluxo através da superfície.
E = E . A = E . A . cos 
E = 1600 . (0,042) 2 . cos 60°
E = 1,41 N.m2/C
Solução Ex1.2.5.:
E

Produto Escalar

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26
1.2.6 – Lei de Gauss
A lei de Gauss relaciona o fluxo total E que atravessa
uma superfície fechada (superfície gaussiana) que confina
uma carga total q.
Fig. 1.12 – Carl Friedrich Gauss (1777-1855),
matemático alemão que fez importantes descobertas
em teoria dos números, geometria e probabilidades.
(1.24)
0 . E = q
(superfícies poliédricas)
(1.25)
(quaisquer superfícies)
0 E . dA = q


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27
E (S1) > 0, pois q > 0
Ex1.2.6.: Avalie qualitativamente (negativo, positivo ou
nulo) o fluxo elétrico através dos elipsóides S1, S2, S3 e S4.
q q
S3
S4
S2
S1
E (S2) < 0, pois q < 0
E (S3) = 0, pois q = 0
E (S4) = 0, pois q = 0
Solução Ex1.2.6.:
E = q/0
carga total

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28
r
superfície gaussiana
(esfera)
1.2.6.1 – Aplicações da Lei de Gauss
0 E . dA = q

0 E dA cos 0° = q

0 E dA = q

0 E (4  r 2) = q
dA = área por onde passa o fluxo
de campo = área da esfera

dA
E
+
q
 Campo gerado por uma carga puntiforme.
0 E dA = q


E =
1
4  0
q
r 2
P

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(cilindro vertical)
r
h
dA
E
0 E . dA = q

0 E dA =  h

0 E (2  r h) =  h
dA = área por onde passa o fluxo de
campo = área lateral do cilindro

0 E dA =  h



0 E dA cos 0°

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 Campo gerado por uma linha infinita de cargas.

2  0 r
E =
=  h
P

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+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + +
+
+
+ + + + + + +
 Campo gerado por um plano infinito de cargas.
0 E . dA = q

0 E (A + A) =  A
dA = área por onde passa o fluxo de
campo = 2 x área da base do cilindro

0 E dA =  A



2 0
E =
(cilindro horizontal)
dA
E
r
P
dA
E 0 E dA =  A


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