1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
anderson@npd.ufes.br Última atualização: 29/09/2005 12:17 H
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
Capítulo 24 - Mecânica
Estatística
Problemas
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2. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos
25. (a) Calcule Erms utilizando a distribuição de energias dada pela equação
2N 1
n( E ) = E 1 / 2 e − E / kT
π (kT ) 3 / 2
(b) Por que temos Erms ≠ ½ mvrms2, onde
3RT
v rms =
M
(Pág. 216)
Solução.
(a) A energia média quadrática é dada por:
1 ∞
E rms = E 2 = ∫ E 2 n( E ) dE
2
N 0
1 ∞ 2N 1
E rms = ∫ E 2
2
E 1 / 2 e − E / kT dE
π (kT )
3/ 2
N 0
2 ∞
E rms = ∫ E 5 / 2 e − E / kT dE
2
(1)
π (kT ) 3/ 2 0
Nas equações acima, N é o número de moléculas, k é a constante de Boltzmann, T é a temperatura
absoluta, E é a energia, M é a massa molar, R é a constante universal dos gases, Erms é a energia
média quadrática e vrms é a velocidade média quadrática. A integral de (1) pode ser resolvida a partir
de uma mudança na variável de integração. Seja E = x2. Isso implica em E5/2 = x5 e dE = 2 x dx.
Chamando-se temporariamente 1/kT = a e substituindo-se essas relações em (1), tem-se:
2 ∞ 4 ∞
3 / 2 ∫0 3 / 2 ∫0
E rms = x 5 2 xe − ax dx = x 6 e − ax dx
2 2
2
(2)
π (kT ) π (kT )
A integral 16 apresentada na pag. A-274, equação (3), pode ser utilizada para resolver a integral de
(2).
∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 (2n − 1) π
∫ x 2 n e − ax dx =
2
(3)
0 2 n +1 a n a
Aplicando-se a integral de (3) em (2):
4 1⋅ 3 ⋅ 5 π 15 1 1
E rms =
2
= (4)
π (kT )
4 3
3/ 2
2 a a 4(kT ) a 3
3/ 2
a
Substituindo-se o valor de a = 1/kT em (4):
15 15
E rms =
2
3/ 2
(kT ) 3 ( kT )1 / 2 = ( kT ) 2
4(kT ) 4
15
E rms = kT
4
(b) O valor de ½ mvrms2 é dado por:
1 2 1 3RT 3 RT 3
mv rms = m = = kT
2 2 M 2 NA 2
onde foram utilizadas as identidades NA = M/m e k = R/NA, onde NA é o número de Avogadro e m é
a massa de cada molécula. Como se pode notar, o termo ½ mvrms2 corresponde à energia interna por
molécula, Eint = 3/2 kT, que corresponde à energia interna total dividida pelo número de moléculas.
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 24 – Mecânica Estatística

3. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Isto corresponde a uma média aritmética da energia. O termo Erms corresponde a uma média
quadrática da energia, que é sempre maior do que a correspondente média aritmética.
[Início]
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 24 – Mecânica Estatística