O documento descreve uma atividade realizada por alunas do 1o ano do ensino médio sobre funções polinomiais de 1o e 2o graus utilizando o software Winplot. As alunas exploraram diferentes funções polinomiais, formularam hipóteses, testaram conjecturas e apresentaram conclusões. Apesar de desafios como falta de recursos, a atividade permitiu que os alunos investigassem conceitos matemáticos de forma autônoma e criativa.

1. Investigações no Winplot
um outro olhar para as
funções polinomiais.

2. Seguindo a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, mas
aproveitando material de sua própria autoria, cuja utilização já vem de
anos anteriores, a professora de matemática, Eliane Matesco
Cristovão, organizou seus alunos em duplas ou grupos de até 4
integrantes, para que fizessem uma investigação sobre as Funções
Polinomiais de 1º e 2º Graus utilizando o software winplot. Os
resultados da investigação foram socializados por meio de relatórios
escritos (no caso das duplas) ou apresentações em PowerPoint
(para os grupos maiores), sendo esta opção a critério dos alunos.

3. A partir dos resultados, socializados nas 3 turmas do EM, foram
realizados ainda exercícios, resolução de problemas em grupo e
uma avaliação escrita. Para calcular a média do bimestre, a
professora utilizou a nota da avaliação, a nota de participação dos
alunos (atribuída de acordo com seu envolvimento com os
exercícios e problemas propostos), além da nota do trabalho,
baseada nos critérios apresentados no slide “Critérios de
avaliação da tarefa”.

4. Nos slides seguintes ao dos critérios, são apresentadas as orientações
entregues aos alunos. Este material, intitulado “Aulas Exploratório-
Investigativas - Rotinas e Roteiros”, teve por finalidade orientar os alunos
acerca do trabalho a ser desenvolvido e dos critérios de avaliação do mesmo.
As tarefas a serem desenvolvidas também foram entregues e são descritas
nos slides posteriores, elaborados por 4 alunas que apresentaram seu
trabalho em PowerPoint.
A apresentação elaborada por este grupo de alunas constitui uma pequena
amostra do trabalho desenvolvido com as 3 turmas, mas não pode ser
considerado um trabalho representativo do todo. Foi a apresentação que
mais se destacou, pelo nível de aprofundamento das explorações. Entretanto,
a opção por inserí-lo como amostra é devida a consciência que a professora
tem da possibilidade de todos os alunos terem atingido tal nível, caso
pudessem ter sido atendidos em todas as suas necessidades. As dificuldades
da professora em realizar um trabalho como o que gostaria são frutos de
problemas como a falta de xerox para todos, o número inadequado de
computadores e o tamanho da sala de informática, fato que inviabilizou, em
muitos momentos, as intervenções da professora, que precisava dividir-se
entre a sala de aula e a sala ambiente de informática (SAI).
Nossa SAI possui apenas 10 computadores funcionando e não conta com o
auxílio de um monitor ou estagiário!
Mesmo assim, o trabalho se concretizou, e os alunos gostaram muito de ter
conhecido o software e de ter explorado as funções dessa forma.

5. Após estes slides descritivos do processo e os
slides que apresentam a forma de avaliação, iniciam-
se os elaborados pelo grupo de alunas do 1º A.
Carolina, Mirella, Natália e Dáffiny

6. Critérios de avaliação da tarefa:
Exploração de funções polinomiais do 1º e 2º graus
com o software WINPLOT
• (0 a 1) Identificação do grupo, da escola, do trabalho:
• (0 a 1) Assunto/tarefa a ser trabalhada:
• (0 a 1) Utilização de funções extras para compreender/comprovar
as transformações observadas, entendidas como hipóteses
levantadas.
• (0 a 2) Observações sobre as transformações ocorridas em cada
tarefa:
• (0 a 2) Apresentação das conclusões das duas tarefas, (1º grau e 2º
grau), recuperando e analisando os diferentes aspectos observados
em toda a atividade.
• (0 a 1) Uma apreciação crítica da tarefa proposta (o que gostaram e
o que não gostaram, se foi importante ou não...) e uma apreciação
autocrítica da intervenção de cada integrante do grupo
• (0 a 2) Participação individual, durante os momentos de
socialização dos resultados.

7. Aulas Exploratório-Investigativas:
Rotinas e Roteiros – parte 1
Existem aulas que não podem ser enquadradas no que chamamos de “modelo
tradicional” (professor explica - aluno aprende e resolve exercícios - professor
corrige). Já desenvolvemos algumas atividades em sala de aula dentro de uma
abordagem exploratório-investigativa, que pode ser considerada uma aula “não
tradicional”, mas agora vamos entender melhor algumas definições e aproveitar para
ficar por dentro de algumas regras que envolvem este tipo de aula...
O que é Aula Exploratório-Investigativa?
São aulas nas quais as tarefas não são como os exercícios e problemas que resolvemos
normalmente. Estas “tarefas”, como são chamadas, não têm uma resposta única.
Aliás, o papel do aluno será justamente criar questões, levantar conjecturas
(hipóteses), inspirado pelo conteúdo da tarefa, além de testar e buscar comprovar as
conjecturas levantadas. Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não
significa necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do
conhecimento [como fazem os matemáticos]. Significa, tão-só, que formulamos
questões que nos interessam, para as quais não temos resposta pronta, e
procuramos essa resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso.
O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e
conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de
resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor.
(PONTE, 2003)

8. Aulas Exploratório-Investigativas:
Rotinas e Roteiros – parte 2
Como será a organização do trabalho nestas aulas?
Vocês trabalharão em grupos de 4 alunos, onde:
- Dois serão relatores, ou seja, irão expor o trabalho para a classe,
- Um será redator, responsável por redigir tudo que o grupo produzir e preparar o relatório que será
entregue,
- Um será o coordenador do grupo, cuja função será de controlar o tempo, verificar se o grupo está
produzindo, chamar o professor para esclarecer dúvidas, resolver possíveis conflitos e coordenar
a elaboração do material para a apresentação.
Durante todo o trabalho é importante que todos colaborem na formulação de questões, testes de
conjecturas, demonstração dos resultados e registro escrito de toda produção do grupo.
Os resultados obtidos pelo grupo serão apresentados para a classe e discutidos/validados por todos
os alunos e pelo professor.
Como este tipo de trabalho será avaliado?
Cada grupo de alunos deverá entregar um relatório e também fará uma apresentação oral. O relatório
é a base da avaliação, mas o envolvimento dos integrantes (relatores para falar, coordenador e
redator para prepararem o material) com a apresentação oral também será tomado como meio
para avaliar o desempenho do grupo.
Os seguintes aspectos serão considerados: Organização do trabalho, Descrição e justificação dos
procedimentos utilizados, Correção e clareza dos raciocínios, Correção dos conceitos
matemáticos envolvidos, Correção e clareza da linguagem utilizada e Criatividade. Os
resultados serão expressos por conceitos de 0 a 10, a partir destas três dimensões, que resumem
os aspectos anteriores: Conhecimentos matemáticos - Estratégias e processos de raciocínio
- Comunicação

9. Aulas Exploratório-Investigativas:
Rotinas e Roteiros – parte 3
Como este relatório deve ser produzido?
Embora a organização de um relatório possa ser uma tarefa em que vocês tenham inicialmente
algumas dificuldades, ele pode ajudá-los, além de outras coisas, a compreender melhor os vários
assuntos tratados nas aulas e a desenvolver a capacidade de comunicar por escrito o trabalho
que realizaram. O relatório a ser produzido pelo grupo deverá incluir uma descrição o mais
detalhada possível do trabalho que realizaram e deverá ser organizado levando em conta os
seguintes aspectos:
• Identificação do grupo
• Assunto/tarefa a ser trabalhada
• Descrição do processo de exploração/investigação (incluindo tabelas e/ou esquemas, esboços de
gráficos, organização dos dados recolhidos...), das tentativas realizadas e das dificuldades
encontradas.
• Todas as conjecturas que o grupo levantou, provadas ou não
• Conclusões
• Uma apreciação crítica da tarefa proposta (o que gostaram e o que não gostaram, se foi
importante ou não...)
• Uma apreciação autocrítica da intervenção de cada integrante do grupo
O que a professora espera de vocês?
Que explorem, investiguem, criem as próprias questões e construam o próprio conhecimento
matemático, indo além das descobertas que poderíamos ter previsto, para cada tarefa proposta.
Que percebam o quanto é importante, na relação que estabelecem com os saberes, vocês
perceberem-se como pessoas capazes de criar e não apenas de aprender o que outros ensinam!

10. Matemática no
Winplot
Temas: Função Polinomial do 1°grau
Função Quadrática
Grupo: Nº Profª: Eliane
Carolina 07
Dáffiny 09
Mirella 26
Natalia 28

11. Função Polinomial do 1° grau
Tarefa I:
Plote alguns gráficos de funções do tipo
f(x)=ax.Para esta tarefa atribua diferentes
valores positivos para a.
Compare os gráficos obtidos e registre
conclusões .
Valores escolhidos para A: 3,5,4,8,7

12. y = 3x y
y = 5x
y = 4x 
y = 8x
y = 7x



x
           





13. Chegamos a conclusão que devido o valor de B
ser zero,todos os gráficos passam pelo ponto
(0,0),a diferença entre eles é que conforme
foi mudando o valor de A ,foi aumentando ou
diminuindo sua inclinação devido a mudança da
taxa de variação, e pelo valor de A ser todos
positivo as retas são todas crescentes.

14. Tarefa II:
Faça agora um estudo semelhante
atribuindo valores negativos para
A.Compare novamente os gráficos e
registre suas conclusões.
Valores escolhidos para A: -3,-5,-4,-8,-7

15. y



x
        




16. O mesmo acontece com esse gráfico mas a
diferença é que pelos valores de A serem
negativos está decrescente,e também passa todos
pelos pontos (0,0) e sua inclinação muda conforme a
sua variação.

17. Tarefa III:
Plote os seguintes gráficos de funções do tipo f(x)=ax+b.
F(x)=x+1
F(x)=x-1
F(x)=x
F(x)=x+2
F(x)=x-2
De acordo com os gráficos traçados, qual o significado da
constante B?

18. y



x
        




19. O significado da constante B é que de acordo
com seu valor, é dado o deslocamento do
gráfico sendo ele positivo ou negativo(ou seja
para cima ou para baixo)obtendo linhas
paralelas.

20. Tarefa IV:
Plote gráficos de funções do tipo
f(x)=ax+2,atribuindo diferentes valores para
A.De acordo com os gráficos traçado, qual o
significado da constante A.

21. y



x
        




22. O significado da constante A é definir a inclinação
a partir de sua variação que é dada de um valor de Y
e X, a outro, e esses gráficos podem ser crescentes
ou decrescentes conforme se o valor de A for
positivo ou negativo

23. Tarefa V:
O ponto onde a função f(x)=ax+b corta o eixo x
é chamado de raiz da função. Qual o valor de Y
neste ponto?
Para uma equação qualquer do tipo Y= ax+b, qual
a raiz desta equação?

24. O valor de Y onde a função f(x)= a x + b
corta o eixo X , ou seja , a raiz da função
será sempre 0.
e
A raiz da equação y=ax+b é igual à: ax+b=0
ax=-b
x=-b/a

25. Tarefa VI:
De acordo com as tarefas realizadas
nos itens anteriores;qual o significado
gráfico das constantes A e B?

26. O nosso grupo concluiu que a constante A
define a posição do gráfico se é crescente
ou decrescente (para direita ou esquerda)
conforme se o A é positivo ou negativo e
dependendo seu valor é determinado a
inclinação do gráfico conforme sua taxa de
variação. E que a constante B mostra onde o
gráfico corta no eixo Y e mostra o seu
deslocamento sendo mais para cima ou para
baixo.

27. Função Quadrática
Tarefa 1:
Observem, identificando as semelhanças e as
diferenças que encontrarem, os gráficos das
funções abaixo.
F(x)=x² F(x)=0,6x²
F(x)=2x² F(x)=-3x²
F (x)=-1,4x² F (x)=-1/5x²
De que forma a variação do parâmetro A afeta os gráficos da
família de funções definidas por F(x)=ax²?

28. y = x^2 y

y = 2x^2
y = -3x^2
y = -1.4x^2 
y = 0.6x^2
y = -1/5x^2 

x
        





29. As semelhanças é que por todas ser x² são
parábolas e que todas as vértices são no zero pois C
é igual a zero, e as suas diferenças é que se o valor
de “a” for positivo a parábola é virada para cima e
se for negativo virada para baixo e dependendo os
valores mudam- se as concavidades, pois quanto
maior o valor de “a” a sua concavidade é menor e
quanto menor o valor de “a” maior será.

30. Tarefa 2:
Tracem os gráficos das funções f,g,h e j, e
compare-os com o gráfico da função definida por
F (x)=ax².
G(x)=x² H(x)=-3x²+1
I(x)=x²+3 J(x)=-3x²-2
De que forma a variação dos parâmetros A e C
afeta os gráficos da família de funções
definida por F (x)=ax²+c?

31. y




x
        





32. Comparando os gráficos vimos que f(x)=ax² por o
seu valor de C ser 0 todas as suas vértices serão 0,
já no f(x)=ax²+c as vértices se variam e por
coincidência serão os mesmos valores que C,pois as
vértices tão todas cortando o eixo Y por isso são
iguais ao valor de C.
Com a variação dos parâmetros A afetará no gráfico
a sua concavidade e se a parábola será virada para
cima ou para baixo dependendo de A ser negativo ou
positivo. Já com a variação do parâmetro C afeta-se
onde a parábola irá cortar no eixo Y.

33. Tarefa 3:
Tracem o gráfico de cada uma das funções definidas por:
F(x) =2x² F(x) =2(x-1)² F(x) =2(x+3)²
De que forma a variação do parâmetro K afeta os
gráficos da família das funções definidas por
F( x )=2(x+k)²?

34. y




x
        





35. O parâmetro do valor K afeta no deslocamento
da parábola sendo para direita ou para
esquerda, onde será definida sua vértice.

36. Tarefa 4:
Nas três tarefas anteriores vocês observaram
algumas transformações gráficas que permitiram,a
partir do gráfico de uma função, obter o gráfico
de outra. Identifiquem as transformações que são
possíveis de se fazer e descrevam-nas, recorrendo
se necessário a exemplos que as ilustrem.

37. Concluímos que as possíveis transformações podem
ser: que como todos são x² todos são parábolas,
quando “a” for positivo a parábola é virada para
cima e se for negativo virado para baixo e
dependendo os valores mudam-se as concavidades:
quanto maior o valor de “a” menor sua concavidade
(ela é mais fechada) e vice-versa. O valor da vértice
pode variar sendo negativo ou positivo e o valor de
C indica onde a parábola vai cortar o eixo Y, também
podendo ser positivo ou negativo, e quando obtermos
uma função que exista um valor K (f(x)=2(x+k)²) o
valor de K pode variar seu deslocamento para direita
ou para esquerda.

38. Tarefa 5:
De acordo com o estudo que realizaram,
indiquem quais as características dos
gráficos das funções a seguir.
a)F (x)=(x-2)²+3
b)F(x)=2x²-12x+18 ou f(x)=2(x-3)²
c)F(x)=-x²+10x-25 ou f(x)=-(x-5)²

39. a) Pelo que estudados essa função será uma
parábola pois tem x², será virada para cima
pois seu A é positivo e sua vértice será 2
positivo pois ela é desloca para o lado devido
ao seu valor de K que é 2 negativo e vimos lá
em cima que ela se desloca ao contrario, e o
valor de C que é 3 mostra onde ela esta
cortando o eixo Y.

40. b) essa função pelo que vimos ela será uma
parábola pois tem x² também será uma parábola
virada para cima pois seu valor de A é positivo ,
sua concavidade será menor do que a função do
item a porque vimos que quanto maior o valor de
“a” menor sua concavidade
e seu vértice vai ser em Y zero pois o valor de C
também é zero mas será deslocada para X = 3
positivo, devido ao valor de K.

41. c) essa função também será uma parábola pois
consta x2, mas será virada para baixo pois seu valor
de “a” é negativo e sua vértice também será no eixo
y = 0 pois o valor de C também é zero, mas
deslocada para x = +5 devido ao seu valor de K.

42. Conclusão Final
Nós desse grupo sentamos e conversamos a respeito do
trabalho e chegamos em uma conclusão final que foi muito
bom realizá-lo, pois aprendemos mais uma vez de uma
forma diversificada e legal, usando outro ambiente e
também a nossa tecnologia, por isso se torna mais
prazeroso e agradável em realizar. Tivemos algumas
dificuldades sim, mas não muitas. Conseguimos realizar as
tarefas muito bem e aprendemos muito sobre funções,
pois observando sua leis e seus gráficos percebemos as
suas diferenças e semelhanças e o que cada letra ou
numero vem a significar em um gráfico.
Bom todas nós adoramos e queríamos que esses trabalhos
continuassem, pois é uma forma mais prazerosa de se
aprender e muitas vezes entendemos e trabalhamos muito
mais.

43. Sistematizando o processo
Após a socialização e a realização das
atividades complementares já citadas, a
professora também apresentou slides
para formalizar os conceitos estudados.
É com estes slides que finalizamos
também a socialização desta experiência

44. Organizando idéias sobre
as funções quadráticas:
trabalhando com a forma
fatorada da lei de
formação
(Forma Canônica)

45. Forma Geral ou
Desenvolvida
f(x) = ax2 + bx + c
Forma Canônica:
f(x) = a (x – k) 2 + V

46. y = 2x^2
y = 3x^2
y = x^2
y = 0.5x^2
y = 0.3x^2
y = 0.1x^2
y = -0.1x^2
y = -0.3x^2
y = -0.5x^2
y = -x^2
y = -2x^2
y = -3x^2

47. y = x^2-4
y = x^2+3
y = -3x^2+1
y = -3x^2-2
Continua
y = 3x^2+3 centralizada
pois b=0
O valor somado “c”, provoca um deslocamento no eixo y! Pelo fato de b ser igual a
zero, “c” é o próprio valor desse deslocamento.

48. Na tarefa três vocês viram que de acordo com a
variação do K, varia também o xv. Devido ao
sinal negativo da fórmula do xv = -b/2a o vértice
se localizará na posição contrária!
y = 2 x ^ 2
y = 2 ( x - 1 ) ^ 2
y = 2 ( x + 3 ) ^ 2

49. Na tarefa I vocês falaram da concavidade, em relação ao
coeficiente A.
Na tarefa dois vocês perceberam que o valor de c deslocava a
função apenas verticalmente porque b=0 e o xv era sempre zero.
Na tarefa 3, perceberam que o valor de k deslocava a função
horizontalmente.
Então, o importante era juntar o que vocês descobriram nas 3
tarefas.
Ou seja: Concavidade de acordo com o a, deslocamento
horizontal do vértice de acordo com o K e vertical do vértice de
acordo com V. Intersecção com eixo y: c
E uma grande sacada era perceber que a
fatoração nos mostra o vértice!

50. Vejam:
F(x) = (x – 2)2 + 3
O gráfico desloca dois para direita e sobe três!
Como “a” é positivo, sua concavidade será para
cima.
Passando para a forma desenvolvida temos:
, o que nos permite saber que o
F(x) = x2 - 4x + 7
gráfico da função corta o eixo y no valor 7!
Vamos verificar?

51. y = (x-2)^2+3

52. Outra:
F(x) = 2x2 – 12 x + 18
Fatorando
2(x2 – 6x + 9)
reparem que x2 – 6x + 18 é um quadrado perfeito
(a metade de -6 (-3), elevada ao quadrado dá 9).
Forma fatorada
F(x) = 2(x-3)2
Então não desloca na vertical (V=0), mas apenas na
horizontal: se K=-3, desloca 3 para a direita.
E como “a” é positivo, novamente temos concavidade
para cima! Além disso, é possível saber que o valor
onde o gráfico “corta” o eixo y é 18!
Vamos verificar?

53. y = 2x^2-12x+18

54. Outro exemplo
f(x) = x2 - 10x + 19
Podemos proceder assim para encontrar a
forma fatorada:
f(x) – 19 = x2 – 10x
f(x) – 19 + 25 = x2 – 10x + 25
(x-5).(x-5)
f(x) + 6 = (x – 5)2
f(x) = (x – 5)2 – 6
Como será este gráfico?
Quais as coordenadas do vértice?
Como descobrimos onde ele corta o eixo y?
Como descobrimos onde ele corta o eixo x?

55. y = (x-5)^2-6

56. Isto servirá para termos uma
ótima noção do gráfico, serão
necessários apenas mais alguns
pontos, que já sabemos calcular,
para determiná-lo perfeitamente.
Mas desta forma já temos o
vértice e também informações
visuais sobre as raízes da
função.

57. Valeu o trabalho de vocês, Pessoal!!!!
Espero que esta investigação no winplot
tenha conseguido fazê-los olhar para as
funções lineares e quadráticas por outros
ângulos.
Numa próxima oportunidade, procurem ir
mais a fundo em suas descobertas, pois
vocês puderam perceber quanto
conhecimento sobre um assunto uma
investigação pode nos revelar!