Investigações no Winplot
   um outro olhar para as
    funções polinomiais.
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aproveitando material de sua própria autoria, cuja utiliza...
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Critérios de avaliação da tarefa:
  Exploração de funções polinomiais do 1º e 2º graus
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Aulas Exploratório-Investigativas:
      Rotinas e Roteiros – parte 1
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Aulas Exploratório-Investigativas:
      Rotinas e Roteiros – parte 2
Como será a organização do trabalho nestas aulas?
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Aulas Exploratório-Investigativas:
      Rotinas e Roteiros – parte 3
Como este relatório deve ser produzido?
Embora a org...
Matemática no
            Winplot
     Temas: Função Polinomial do 1°grau
            Função Quadrática

Grupo:           ...
Função Polinomial do 1° grau

Tarefa I:

   Plote alguns gráficos de funções do tipo
 f(x)=ax.Para esta tarefa atribua dif...
y = 3x                                      y
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ser zero,todos os gráficos passam pelo ponto
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Tarefa II:


      Faça agora um estudo semelhante
      atribuindo valores negativos para
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 negativos está decrescente,e também...
Tarefa III:

Plote os seguintes gráficos de funções do tipo f(x)=ax+b.

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  com seu valor, é dado o deslocamento do
gráfico sendo ele positivo ou negat...
Tarefa IV:



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 f(x)=ax+2,atribuindo diferentes valores para
 A.De acordo com os g...
y

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O significado da constante A é definir a inclinação
a partir de sua variação que é dada de um valor de Y
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Tarefa V:


O ponto onde a função f(x)=ax+b corta o eixo x
é chamado de raiz da função. Qual o valor de Y
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O valor de Y onde a função f(x)= a x + b
corta o eixo X , ou seja , a raiz da função
             será sempre 0.

        ...
Tarefa VI:



    De acordo com as tarefas realizadas
   nos itens anteriores;qual o significado
       gráfico das consta...
O nosso grupo concluiu que a constante A
 define a posição do gráfico se é crescente
  ou decrescente (para direita ou esq...
Função Quadrática
     Tarefa 1:
       Observem, identificando as semelhanças e as
       diferenças que encontrarem, os ...
y = x^2                           y
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Tarefa 2:
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Tarefa 3:

Tracem o gráfico de cada uma das funções definidas por:

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O parâmetro do valor K afeta no deslocamento
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Tarefa 4:


  Nas três tarefas anteriores vocês observaram
algumas transformações gráficas que permitiram,a
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Concluímos que as possíveis transformações podem
  ser: que como todos são x² todos são parábolas,
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Tarefa 5:

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          gráficos das ...
a) Pelo que estudados essa função será uma
parábola pois tem x², será virada para cima
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parábola pois tem x² também será uma parábola
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Conclusão Final
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Sistematizando o processo

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Forma Geral ou
   Desenvolvida
f(x) = ax2 + bx + c


Forma Canônica:
 f(x) = a (x – k) 2 + V
y = 2x^2
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y = -x^2

y = -2x^2

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y = x^2-4
 y = x^2+3

 y = -3x^2+1

 y = -3x^2-2
                                                        Continua
 y = 3x^...
Na tarefa três vocês viram que de acordo com a
variação do K, varia também o xv. Devido ao
sinal negativo da fórmula do xv...
Na tarefa I vocês falaram da concavidade, em relação ao
coeficiente A.
Na tarefa dois vocês perceberam que o valor de c de...
Vejam:
F(x) = (x – 2)2 + 3
O gráfico desloca dois para direita e sobe três!
Como “a” é positivo, sua concavidade será para...
y = (x-2)^2+3
Outra:
           F(x) = 2x2 – 12 x + 18
                     Fatorando
                    2(x2 – 6x + 9)
  reparem que x...
y = 2x^2-12x+18
Outro exemplo
         f(x) = x2 - 10x + 19

Podemos proceder assim para encontrar a
           forma fatorada:

         ...
y = (x-5)^2-6
Isto servirá para termos uma
 ótima noção do gráfico, serão
necessários apenas mais alguns
pontos, que já sabemos calcular...
Valeu o trabalho de vocês, Pessoal!!!!
Espero que esta investigação no winplot
 tenha conseguido fazê-los olhar para as
fu...
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Relato Winplot Eliane M Cristovão 2008

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Atividade desenvolvida pela Profa. Eliane Matesco Cristovão com o software Winplot

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Relato Winplot Eliane M Cristovão 2008

  1. 1. Investigações no Winplot um outro olhar para as funções polinomiais.
  2. 2. Seguindo a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, mas aproveitando material de sua própria autoria, cuja utilização já vem de anos anteriores, a professora de matemática, Eliane Matesco Cristovão, organizou seus alunos em duplas ou grupos de até 4 integrantes, para que fizessem uma investigação sobre as Funções Polinomiais de 1º e 2º Graus utilizando o software winplot. Os resultados da investigação foram socializados por meio de relatórios escritos (no caso das duplas) ou apresentações em PowerPoint (para os grupos maiores), sendo esta opção a critério dos alunos.
  3. 3. A partir dos resultados, socializados nas 3 turmas do EM, foram realizados ainda exercícios, resolução de problemas em grupo e uma avaliação escrita. Para calcular a média do bimestre, a professora utilizou a nota da avaliação, a nota de participação dos alunos (atribuída de acordo com seu envolvimento com os exercícios e problemas propostos), além da nota do trabalho, baseada nos critérios apresentados no slide “Critérios de avaliação da tarefa”.
  4. 4. Nos slides seguintes ao dos critérios, são apresentadas as orientações entregues aos alunos. Este material, intitulado “Aulas Exploratório- Investigativas - Rotinas e Roteiros”, teve por finalidade orientar os alunos acerca do trabalho a ser desenvolvido e dos critérios de avaliação do mesmo. As tarefas a serem desenvolvidas também foram entregues e são descritas nos slides posteriores, elaborados por 4 alunas que apresentaram seu trabalho em PowerPoint. A apresentação elaborada por este grupo de alunas constitui uma pequena amostra do trabalho desenvolvido com as 3 turmas, mas não pode ser considerado um trabalho representativo do todo. Foi a apresentação que mais se destacou, pelo nível de aprofundamento das explorações. Entretanto, a opção por inserí-lo como amostra é devida a consciência que a professora tem da possibilidade de todos os alunos terem atingido tal nível, caso pudessem ter sido atendidos em todas as suas necessidades. As dificuldades da professora em realizar um trabalho como o que gostaria são frutos de problemas como a falta de xerox para todos, o número inadequado de computadores e o tamanho da sala de informática, fato que inviabilizou, em muitos momentos, as intervenções da professora, que precisava dividir-se entre a sala de aula e a sala ambiente de informática (SAI). Nossa SAI possui apenas 10 computadores funcionando e não conta com o auxílio de um monitor ou estagiário! Mesmo assim, o trabalho se concretizou, e os alunos gostaram muito de ter conhecido o software e de ter explorado as funções dessa forma.
  5. 5. Após estes slides descritivos do processo e os slides que apresentam a forma de avaliação, iniciam- se os elaborados pelo grupo de alunas do 1º A. Carolina, Mirella, Natália e Dáffiny
  6. 6. Critérios de avaliação da tarefa: Exploração de funções polinomiais do 1º e 2º graus com o software WINPLOT • (0 a 1) Identificação do grupo, da escola, do trabalho: • (0 a 1) Assunto/tarefa a ser trabalhada: • (0 a 1) Utilização de funções extras para compreender/comprovar as transformações observadas, entendidas como hipóteses levantadas. • (0 a 2) Observações sobre as transformações ocorridas em cada tarefa: • (0 a 2) Apresentação das conclusões das duas tarefas, (1º grau e 2º grau), recuperando e analisando os diferentes aspectos observados em toda a atividade. • (0 a 1) Uma apreciação crítica da tarefa proposta (o que gostaram e o que não gostaram, se foi importante ou não...) e uma apreciação autocrítica da intervenção de cada integrante do grupo • (0 a 2) Participação individual, durante os momentos de socialização dos resultados.
  7. 7. Aulas Exploratório-Investigativas: Rotinas e Roteiros – parte 1 Existem aulas que não podem ser enquadradas no que chamamos de “modelo tradicional” (professor explica - aluno aprende e resolve exercícios - professor corrige). Já desenvolvemos algumas atividades em sala de aula dentro de uma abordagem exploratório-investigativa, que pode ser considerada uma aula “não tradicional”, mas agora vamos entender melhor algumas definições e aproveitar para ficar por dentro de algumas regras que envolvem este tipo de aula... O que é Aula Exploratório-Investigativa? São aulas nas quais as tarefas não são como os exercícios e problemas que resolvemos normalmente. Estas “tarefas”, como são chamadas, não têm uma resposta única. Aliás, o papel do aluno será justamente criar questões, levantar conjecturas (hipóteses), inspirado pelo conteúdo da tarefa, além de testar e buscar comprovar as conjecturas levantadas. Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não significa necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do conhecimento [como fazem os matemáticos]. Significa, tão-só, que formulamos questões que nos interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor. (PONTE, 2003)
  8. 8. Aulas Exploratório-Investigativas: Rotinas e Roteiros – parte 2 Como será a organização do trabalho nestas aulas? Vocês trabalharão em grupos de 4 alunos, onde: - Dois serão relatores, ou seja, irão expor o trabalho para a classe, - Um será redator, responsável por redigir tudo que o grupo produzir e preparar o relatório que será entregue, - Um será o coordenador do grupo, cuja função será de controlar o tempo, verificar se o grupo está produzindo, chamar o professor para esclarecer dúvidas, resolver possíveis conflitos e coordenar a elaboração do material para a apresentação. Durante todo o trabalho é importante que todos colaborem na formulação de questões, testes de conjecturas, demonstração dos resultados e registro escrito de toda produção do grupo. Os resultados obtidos pelo grupo serão apresentados para a classe e discutidos/validados por todos os alunos e pelo professor. Como este tipo de trabalho será avaliado? Cada grupo de alunos deverá entregar um relatório e também fará uma apresentação oral. O relatório é a base da avaliação, mas o envolvimento dos integrantes (relatores para falar, coordenador e redator para prepararem o material) com a apresentação oral também será tomado como meio para avaliar o desempenho do grupo. Os seguintes aspectos serão considerados: Organização do trabalho, Descrição e justificação dos procedimentos utilizados, Correção e clareza dos raciocínios, Correção dos conceitos matemáticos envolvidos, Correção e clareza da linguagem utilizada e Criatividade. Os resultados serão expressos por conceitos de 0 a 10, a partir destas três dimensões, que resumem os aspectos anteriores: Conhecimentos matemáticos - Estratégias e processos de raciocínio - Comunicação
  9. 9. Aulas Exploratório-Investigativas: Rotinas e Roteiros – parte 3 Como este relatório deve ser produzido? Embora a organização de um relatório possa ser uma tarefa em que vocês tenham inicialmente algumas dificuldades, ele pode ajudá-los, além de outras coisas, a compreender melhor os vários assuntos tratados nas aulas e a desenvolver a capacidade de comunicar por escrito o trabalho que realizaram. O relatório a ser produzido pelo grupo deverá incluir uma descrição o mais detalhada possível do trabalho que realizaram e deverá ser organizado levando em conta os seguintes aspectos: • Identificação do grupo • Assunto/tarefa a ser trabalhada • Descrição do processo de exploração/investigação (incluindo tabelas e/ou esquemas, esboços de gráficos, organização dos dados recolhidos...), das tentativas realizadas e das dificuldades encontradas. • Todas as conjecturas que o grupo levantou, provadas ou não • Conclusões • Uma apreciação crítica da tarefa proposta (o que gostaram e o que não gostaram, se foi importante ou não...) • Uma apreciação autocrítica da intervenção de cada integrante do grupo O que a professora espera de vocês? Que explorem, investiguem, criem as próprias questões e construam o próprio conhecimento matemático, indo além das descobertas que poderíamos ter previsto, para cada tarefa proposta. Que percebam o quanto é importante, na relação que estabelecem com os saberes, vocês perceberem-se como pessoas capazes de criar e não apenas de aprender o que outros ensinam!
  10. 10. Matemática no Winplot Temas: Função Polinomial do 1°grau Função Quadrática Grupo: Nº Profª: Eliane Carolina 07 Dáffiny 09 Mirella 26 Natalia 28
  11. 11. Função Polinomial do 1° grau Tarefa I: Plote alguns gráficos de funções do tipo f(x)=ax.Para esta tarefa atribua diferentes valores positivos para a. Compare os gráficos obtidos e registre conclusões . Valores escolhidos para A: 3,5,4,8,7
  12. 12. y = 3x y y = 5x y = 4x  y = 8x y = 7x    x                
  13. 13. Chegamos a conclusão que devido o valor de B ser zero,todos os gráficos passam pelo ponto (0,0),a diferença entre eles é que conforme foi mudando o valor de A ,foi aumentando ou diminuindo sua inclinação devido a mudança da taxa de variação, e pelo valor de A ser todos positivo as retas são todas crescentes.
  14. 14. Tarefa II: Faça agora um estudo semelhante atribuindo valores negativos para A.Compare novamente os gráficos e registre suas conclusões. Valores escolhidos para A: -3,-5,-4,-8,-7
  15. 15. y    x            
  16. 16. O mesmo acontece com esse gráfico mas a diferença é que pelos valores de A serem negativos está decrescente,e também passa todos pelos pontos (0,0) e sua inclinação muda conforme a sua variação.
  17. 17. Tarefa III: Plote os seguintes gráficos de funções do tipo f(x)=ax+b. F(x)=x+1 F(x)=x-1 F(x)=x F(x)=x+2 F(x)=x-2 De acordo com os gráficos traçados, qual o significado da constante B?
  18. 18. y    x            
  19. 19. O significado da constante B é que de acordo com seu valor, é dado o deslocamento do gráfico sendo ele positivo ou negativo(ou seja para cima ou para baixo)obtendo linhas paralelas.
  20. 20. Tarefa IV: Plote gráficos de funções do tipo f(x)=ax+2,atribuindo diferentes valores para A.De acordo com os gráficos traçado, qual o significado da constante A.
  21. 21. y    x            
  22. 22. O significado da constante A é definir a inclinação a partir de sua variação que é dada de um valor de Y e X, a outro, e esses gráficos podem ser crescentes ou decrescentes conforme se o valor de A for positivo ou negativo
  23. 23. Tarefa V: O ponto onde a função f(x)=ax+b corta o eixo x é chamado de raiz da função. Qual o valor de Y neste ponto? Para uma equação qualquer do tipo Y= ax+b, qual a raiz desta equação?
  24. 24. O valor de Y onde a função f(x)= a x + b corta o eixo X , ou seja , a raiz da função será sempre 0. e A raiz da equação y=ax+b é igual à: ax+b=0 ax=-b x=-b/a
  25. 25. Tarefa VI: De acordo com as tarefas realizadas nos itens anteriores;qual o significado gráfico das constantes A e B?
  26. 26. O nosso grupo concluiu que a constante A define a posição do gráfico se é crescente ou decrescente (para direita ou esquerda) conforme se o A é positivo ou negativo e dependendo seu valor é determinado a inclinação do gráfico conforme sua taxa de variação. E que a constante B mostra onde o gráfico corta no eixo Y e mostra o seu deslocamento sendo mais para cima ou para baixo.
  27. 27. Função Quadrática Tarefa 1: Observem, identificando as semelhanças e as diferenças que encontrarem, os gráficos das funções abaixo. F(x)=x² F(x)=0,6x² F(x)=2x² F(x)=-3x² F (x)=-1,4x² F (x)=-1/5x² De que forma a variação do parâmetro A afeta os gráficos da família de funções definidas por F(x)=ax²?
  28. 28. y = x^2 y  y = 2x^2 y = -3x^2 y = -1.4x^2  y = 0.6x^2 y = -1/5x^2   x             
  29. 29. As semelhanças é que por todas ser x² são parábolas e que todas as vértices são no zero pois C é igual a zero, e as suas diferenças é que se o valor de “a” for positivo a parábola é virada para cima e se for negativo virada para baixo e dependendo os valores mudam- se as concavidades, pois quanto maior o valor de “a” a sua concavidade é menor e quanto menor o valor de “a” maior será.
  30. 30. Tarefa 2: Tracem os gráficos das funções f,g,h e j, e compare-os com o gráfico da função definida por F (x)=ax². G(x)=x² H(x)=-3x²+1 I(x)=x²+3 J(x)=-3x²-2 De que forma a variação dos parâmetros A e C afeta os gráficos da família de funções definida por F (x)=ax²+c?
  31. 31. y     x             
  32. 32. Comparando os gráficos vimos que f(x)=ax² por o seu valor de C ser 0 todas as suas vértices serão 0, já no f(x)=ax²+c as vértices se variam e por coincidência serão os mesmos valores que C,pois as vértices tão todas cortando o eixo Y por isso são iguais ao valor de C. Com a variação dos parâmetros A afetará no gráfico a sua concavidade e se a parábola será virada para cima ou para baixo dependendo de A ser negativo ou positivo. Já com a variação do parâmetro C afeta-se onde a parábola irá cortar no eixo Y.
  33. 33. Tarefa 3: Tracem o gráfico de cada uma das funções definidas por: F(x) =2x² F(x) =2(x-1)² F(x) =2(x+3)² De que forma a variação do parâmetro K afeta os gráficos da família das funções definidas por F( x )=2(x+k)²?
  34. 34. y     x             
  35. 35. O parâmetro do valor K afeta no deslocamento da parábola sendo para direita ou para esquerda, onde será definida sua vértice.
  36. 36. Tarefa 4: Nas três tarefas anteriores vocês observaram algumas transformações gráficas que permitiram,a partir do gráfico de uma função, obter o gráfico de outra. Identifiquem as transformações que são possíveis de se fazer e descrevam-nas, recorrendo se necessário a exemplos que as ilustrem.
  37. 37. Concluímos que as possíveis transformações podem ser: que como todos são x² todos são parábolas, quando “a” for positivo a parábola é virada para cima e se for negativo virado para baixo e dependendo os valores mudam-se as concavidades: quanto maior o valor de “a” menor sua concavidade (ela é mais fechada) e vice-versa. O valor da vértice pode variar sendo negativo ou positivo e o valor de C indica onde a parábola vai cortar o eixo Y, também podendo ser positivo ou negativo, e quando obtermos uma função que exista um valor K (f(x)=2(x+k)²) o valor de K pode variar seu deslocamento para direita ou para esquerda.
  38. 38. Tarefa 5: De acordo com o estudo que realizaram, indiquem quais as características dos gráficos das funções a seguir. a)F (x)=(x-2)²+3 b)F(x)=2x²-12x+18 ou f(x)=2(x-3)² c)F(x)=-x²+10x-25 ou f(x)=-(x-5)²
  39. 39. a) Pelo que estudados essa função será uma parábola pois tem x², será virada para cima pois seu A é positivo e sua vértice será 2 positivo pois ela é desloca para o lado devido ao seu valor de K que é 2 negativo e vimos lá em cima que ela se desloca ao contrario, e o valor de C que é 3 mostra onde ela esta cortando o eixo Y.
  40. 40. b) essa função pelo que vimos ela será uma parábola pois tem x² também será uma parábola virada para cima pois seu valor de A é positivo , sua concavidade será menor do que a função do item a porque vimos que quanto maior o valor de “a” menor sua concavidade e seu vértice vai ser em Y zero pois o valor de C também é zero mas será deslocada para X = 3 positivo, devido ao valor de K.
  41. 41. c) essa função também será uma parábola pois consta x2, mas será virada para baixo pois seu valor de “a” é negativo e sua vértice também será no eixo y = 0 pois o valor de C também é zero, mas deslocada para x = +5 devido ao seu valor de K.
  42. 42. Conclusão Final Nós desse grupo sentamos e conversamos a respeito do trabalho e chegamos em uma conclusão final que foi muito bom realizá-lo, pois aprendemos mais uma vez de uma forma diversificada e legal, usando outro ambiente e também a nossa tecnologia, por isso se torna mais prazeroso e agradável em realizar. Tivemos algumas dificuldades sim, mas não muitas. Conseguimos realizar as tarefas muito bem e aprendemos muito sobre funções, pois observando sua leis e seus gráficos percebemos as suas diferenças e semelhanças e o que cada letra ou numero vem a significar em um gráfico. Bom todas nós adoramos e queríamos que esses trabalhos continuassem, pois é uma forma mais prazerosa de se aprender e muitas vezes entendemos e trabalhamos muito mais.
  43. 43. Sistematizando o processo Após a socialização e a realização das atividades complementares já citadas, a professora também apresentou slides para formalizar os conceitos estudados. É com estes slides que finalizamos também a socialização desta experiência
  44. 44. Organizando idéias sobre as funções quadráticas: trabalhando com a forma fatorada da lei de formação (Forma Canônica)
  45. 45. Forma Geral ou Desenvolvida f(x) = ax2 + bx + c Forma Canônica: f(x) = a (x – k) 2 + V
  46. 46. y = 2x^2 y = 3x^2 y = x^2 y = 0.5x^2 y = 0.3x^2 y = 0.1x^2 y = -0.1x^2 y = -0.3x^2 y = -0.5x^2 y = -x^2 y = -2x^2 y = -3x^2
  47. 47. y = x^2-4 y = x^2+3 y = -3x^2+1 y = -3x^2-2 Continua y = 3x^2+3 centralizada pois b=0 O valor somado “c”, provoca um deslocamento no eixo y! Pelo fato de b ser igual a zero, “c” é o próprio valor desse deslocamento.
  48. 48. Na tarefa três vocês viram que de acordo com a variação do K, varia também o xv. Devido ao sinal negativo da fórmula do xv = -b/2a o vértice se localizará na posição contrária! y = 2 x ^ 2 y = 2 ( x - 1 ) ^ 2 y = 2 ( x + 3 ) ^ 2
  49. 49. Na tarefa I vocês falaram da concavidade, em relação ao coeficiente A. Na tarefa dois vocês perceberam que o valor de c deslocava a função apenas verticalmente porque b=0 e o xv era sempre zero. Na tarefa 3, perceberam que o valor de k deslocava a função horizontalmente. Então, o importante era juntar o que vocês descobriram nas 3 tarefas. Ou seja: Concavidade de acordo com o a, deslocamento horizontal do vértice de acordo com o K e vertical do vértice de acordo com V. Intersecção com eixo y: c E uma grande sacada era perceber que a fatoração nos mostra o vértice!
  50. 50. Vejam: F(x) = (x – 2)2 + 3 O gráfico desloca dois para direita e sobe três! Como “a” é positivo, sua concavidade será para cima. Passando para a forma desenvolvida temos: , o que nos permite saber que o F(x) = x2 - 4x + 7 gráfico da função corta o eixo y no valor 7! Vamos verificar?
  51. 51. y = (x-2)^2+3
  52. 52. Outra: F(x) = 2x2 – 12 x + 18 Fatorando 2(x2 – 6x + 9) reparem que x2 – 6x + 18 é um quadrado perfeito (a metade de -6 (-3), elevada ao quadrado dá 9). Forma fatorada F(x) = 2(x-3)2 Então não desloca na vertical (V=0), mas apenas na horizontal: se K=-3, desloca 3 para a direita. E como “a” é positivo, novamente temos concavidade para cima! Além disso, é possível saber que o valor onde o gráfico “corta” o eixo y é 18! Vamos verificar?
  53. 53. y = 2x^2-12x+18
  54. 54. Outro exemplo f(x) = x2 - 10x + 19 Podemos proceder assim para encontrar a forma fatorada: f(x) – 19 = x2 – 10x f(x) – 19 + 25 = x2 – 10x + 25 (x-5).(x-5) f(x) + 6 = (x – 5)2 f(x) = (x – 5)2 – 6 Como será este gráfico? Quais as coordenadas do vértice? Como descobrimos onde ele corta o eixo y? Como descobrimos onde ele corta o eixo x?
  55. 55. y = (x-5)^2-6
  56. 56. Isto servirá para termos uma ótima noção do gráfico, serão necessários apenas mais alguns pontos, que já sabemos calcular, para determiná-lo perfeitamente. Mas desta forma já temos o vértice e também informações visuais sobre as raízes da função.
  57. 57. Valeu o trabalho de vocês, Pessoal!!!! Espero que esta investigação no winplot tenha conseguido fazê-los olhar para as funções lineares e quadráticas por outros ângulos. Numa próxima oportunidade, procurem ir mais a fundo em suas descobertas, pois vocês puderam perceber quanto conhecimento sobre um assunto uma investigação pode nos revelar!

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