1. Sequ^ncias e progressoes
Äe ~ 1
~
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SAO CARLOS
^
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
¶
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
¶ ¶ ¶
O ENSINO DA ALGEBRA ELEMENTAR ATRAVES DE SUA HISTORIA
Prof. Jo~o C.V. Sampaio. sampaio@dm.ufscar.br
a
Ä^ ~
SEQUENCIAS E PROGRESSOES.
¶ ¶
PITAGORAS E A ESCOLA PITAGORICA
Pit¶goras (570-500 a.C.) foi um matem¶tico grego (l¶
a a ³der religioso,
m¶³stico, s¶bio, prot¶tipo de cientista, ¯l¶sofo e pol¶
a o o ³tico), fundador da
Irmandade ou Ordem Pitag¶rica, uma academia ¶tico-pol¶
o e ³tico-¯los-
o
¶¯ca. A palavra Matem¶tica (aquilo que ¶ aprendido") ¶ cria»ao da
a e e c~
Ordem Pitag¶rica.
o
Pit¶goras nasceu em Samos, uma ilha grega na costa mar¶
a ³tima da
atual Turquia. Viajando a Mileto, uma cidade grega 50 quil^metros
o
a sudeste de Samos, aprendeu Matem¶tica com Tales (624-546 a.C.),
a
considerado o fundador da Matem¶tica grega. Segundo antigos histori-
a
adores, Pit¶goras estudou na Babil^nia, onde ¶ prov¶vel que tenha se
a o e a
encontrado com o profeta Daniel.
Em torno de 525 a.C., Pit¶goras mudou-se para Crotona, uma cidade
a
ao sul da It¶lia, onde fundou a irmandade dos Pitag¶ricos. L¶ casou-se
a o a
com Teano, provavelmente a primeira mulher matem¶tica da hist¶ria.
a o
Segundo lendas, os membros da Ordem Pitag¶rica tinham uma dieta
o
vegetariana, n~o vestiam roupas de l~, usavam uma roupa que os iden-
a a
ti¯cava, andavam descal»os, viviam uma vida simples e acreditavam na
c
reencarna»~o.
ca
Os Pitag¶ricos atribu¶
o ³am todas as suas descobertas matem¶ticas a
a
Pit¶goras. Assim, a demonstra»ao do assim chamado Teorema de Pi-
a c~
t¶goras (Num tri^ngulo ret^ngulo, a soma dos quadrados dos catetos ¶
a a a e
igual ao quadrado da hipotenusa"), pode ter sido descoberta por algum
disc¶³pulo de Pit¶goras e n~o pelo mestre. Sabe-se o Teorema de Pit¶goras
a a a
j¶ era conhecido antes do seu tempo. O m¶rito da Escola Pitag¶rica ¶ o
a e o e
de ter descoberto sua dedu»~o.
ca

2. 2 ~
Joao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
E prov¶vel tamb¶m que Pit¶goras tenha estudado na ¶
¶ a e a India. Sua
cren»a na reencarna»~o talvez tenha origem indiana. Um de seus con-
c ca
tempor^neos ¶ Buda, e ¶ prov¶vel que Pit¶goras e Buda tenham se
a e e a a
encontrado.
¶ ¶
TUDO E NUMERO"
Os Pitag¶ricos chegaram µ razo¶vel conclus~o, em seus estudos, de
o a a a
tudo s~o n¶meros." Essa a¯rma»~o parece ter sido fortemente in°uen-
a u ca
ciada por uma descoberta importante da Escola Pitag¶rica, a explica»ao
o c~
da harmonia musical atrav¶s de fra»oes de inteiros.
e c~
Os Pitag¶ricos notaram haver uma rela»~o matem¶tica entre as no-
o ca a
tas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma
corda de viol~o distendida, de determinado comprimento, daria uma no-
a
ta. Reduzida a 2/3 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta
acima. Reduzida µ metade de seu comprimento, daria uma nota uma
a
oitava acima. Assim os n¶ meros 12, 8 (2/3 de 12) e 6 (metade de 12),
u
segundo Pit¶goras, estariam em progress~o harm^nica," sendo 8 a m¶dia
a a o e
harm^nica de 12 e 6. A m¶dia harm^nica de dois n¶meros a e b ¶ o
o e o u e
n¶mero h dado pela f¶rmula 1=h = (1=a + 1=b)=2.
u o
Pit¶goras dava especial aten»ao ao n¶mero 10, ao qual ele chamava
a c~ u
de n¶mero divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez s~o
u a
os v¶rtices da estrela de Pit¶goras. A estrela de Pit¶goras ¶ a estrela
e a a e
de cinco pontas formada pelas diagonais de um pent¶gono regular. O
a
pent¶gono regular era de grande signi¯ca»~o m¶
a ca ³stica para os Pitag¶ricos
o
e j¶ era conhecido na antiga Babil^nia.
a o
As diagonais do pent¶gono regular cortam-se em pontos de divis~o
a a
¶urea. O ponto de divis~o aurea de um segmento AB ¶ o ponto C
a a ¶ e
desse segmento que o divide de modo que a raz~o entre a parte menor
a

3. Sequ^ncias e progressoes
Äe ~ 3
e a parte maior ¶ igual a raz~o entre a parte maior e o todo, ou seja,
e µ a
AC=CB = CB=AB. Para os antigos gregos, o ret^ngulo aureo, isto ¶,
a ¶ e
de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, ¶ o ret^ngulo de maior
e a
beleza.
A CRISE NA ESCOLA PITAGORICA ¶
Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitag¶rica foi a
o
de que dois segmentos nem sempre s~o comensur¶veis, ou seja, nem
a a
sempre a raz~o entre os comprimentos de dois segmentos ¶ uma fra»ao
a e c~
de n¶meros inteiros (n¶mero racional).
u u
Essa descoberta foi uma conseqÄ^ncia direta do teorema de Pit¶goras:
ue a
se um tri^ngulo ret^ngulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa
a a
ter¶ um comprimento x satisfazendo x2 = 2, e portanto a raz~o entre a
a a p
hipotenusa e um cateto n~o ser¶ uma fra»~o de dois inteiros, j¶ que 2
a a ca a
¶ um n¶mero irracional.
e u
Isso desgostou profundamente os Pitag¶ricos pois era um assunto in-
o
concili¶vel com a teoria pitag¶rica dos n¶meros. Somente no s¶culo IV
a o u e
a.C., Eudoxo, com sua teoria das propor»~es, rede¯niu um conceito
co
mais geral de raz~o entre dois segmentos, permitindo, em sua teoria,
a
de¯nir-se a raz~o entre dois segmentos comensur¶veis ou n~o.
a a a
Ä^ ¶
SEQUENCIAS DE NUMEROS FIGURATIVOS NA ESCO-
¶
LA PITAGORICA.
A primeira seqÄ^ncia num¶rica descoberta pelo homem ¶ provavel-
ue e e
mente a seqÄ^ncia de n¶meros naturais 1; 2; 3; 4; : : :
ue u
Os Pitag¶ricos tinham por h¶bito atribuir propriedades geom¶tricas
o a e
aos n¶meros naturais. Isto deu origem ao conceito de seqÄ^ncias de
u ue
n¶meros ¯gurativos, que s~o n¶meros naturais provenientes da contagem
u a u
de pontos em certos arranjos geom¶tricos.
e
N¶meros triangulares s~o n¶meros naturais provenientes da contagem
u a u
de pontos em arranjos triangulares, como na ¯gura abaixo.

4. 4 ~
Joao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Assim, os n¶ meros triangulares formam uma seqÄ^ncia
u ue
T1 ; T2; T3 ; : : : ; Tn ; : : :
onde
T1 = 1; T2 = 3; T3 = 6; T4 = 10; T5 = 15; : : :
Para visualizarmos como esta seqÄ^ncia se relaciona com progress~es
ue o
aritm¶ticas, consideraremos a seqÄ^ncia de arranjos verticais de n¶meros
e ue u
naturais:
Problemas para aquecimento I
1. Como s~o obtidos os arranjos de n¶meros triangulares a partir dos
a u
arranjos acima de n¶meros naturais?
u
2. A partir da observa»~o feita no exerc¶ anterior, veri¯que que:
ca ³cio
(a) O termo geral Tn da seqÄ^ncia de n¶meros triangulares (ou
ue u
seja, o n-¶simo" n¶mero triangular) ¶ soma dos n primeiros
e u e
n¶meros inteiros positivos.
u
(b) Veri¯que que sendo T1 ; T2 ; T3; : : : a seqÄ^ncia de n¶meros trian-
ue u
gulares, tem-se
n(n + 1)
Tn =
2
Fa»a isso de duas maneiras:
c
i. usando de uma esperteza geom¶trica, justapondo dois n¶-
e u
meros triangulares, como na ¯gura:
¶ a
Resposta: Na ¯gura vemos que 2 ¢ T4 = 4 ¢ 5. E f¶cil intuir
geometricamente que 2 ¢ Tn = n(n + 1).

5. Sequ^ncias e progressoes
Äe ~ 5
ii. usando a f¶rmula da soma dos n primeiros termos de uma
o
progress~o aritm¶tica,
a e
(a1 + an ) ¢ n
Sn =
2
A seqÄ^ncia
ue
O1 = 1 ¢ 2; O2 = 2 ¢ 3; O3 = 3 ¢ 4; O4 = 4 ¢ 5; : : :
¶ a seqÄ^ncia de n¶meros oblongos. Ela tem termo geral On = n(n +
e ue u
1). E f¶cil ver que On = 2 ¢ Tn .
¶ a
Uma outra seqÄ^ncia interessante de n¶meros ¯gurativos catalogada
ue u
por Pit¶goras e seus disc¶
a ³pulos ¶ a seqÄ^ncia Q1; Q2 ; Q3 ; : : : de n¶meros
e ue u
quadrados
Problemas para aquecimento II
1. Escreva os os primeiros termos da seqÄ^ncia de n¶meros quadrados
ue u
correspondentes as ¯guras acima.
µ
2. Veri¯que atrav¶s de exemplos, bem como tambem geometricamente,
e
que cada n¶mero quadrado ¶ a soma de dois n¶meros triangulares
u e u
consecutivos.
3. Mostre algebricamente que se Tn ¶ o n-¶simo n¶ mero triangular,
e e u
ent~o
a
Tn + Tn¡1 = n2
4. Observe as igualdades
12 = 1
22 = 1+2+1
32 = 1+2+3+2+1
42 = 1+2+3+4+3+2+1

6. 6 ~
Joao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
e deduza a f¶rmula
o
1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1) + n + (n ¡ 1) + ¢ ¢ ¢ + 3 + 2 + 1 = n2
de duas maneiras
(a) Atrav¶s do uso da f¶rmula da soma de uma progress~o ge-
e o a
om¶trica
e
(b) Geometricamente, justapondo convenientemente os arranjos ge-
om¶tricos de n¶meros naturais vistos acima.
e u
Os gnomons (nada a ver com gnomos) eram n¶meros catalogados
u
pelos Pitag¶ricos, com con¯gura»oes geom¶tricas como na ¯gura abaixo.
o c~ e
Eram representados geometricamente como o ponteiro e a sombra de um
antigo rel¶gio de sol (da¶ o nome dado a esses n¶meros):
o ³ u
Mais problemas para aquecimento III
1. Fa»a desenhos mostrando como a soma dos primeiros gnomons ¶
c e
sempre um quadrado.
2. Veri¯que que os gnomons G1 ; G2; G3 ; : : : formam uma progress~o a
aritm¶tica. Por que nome s~o conhecidos os n¶meros dessa pro-
e a u
gress~o? Resposta: S~o conhecidos como inteiros ¶
a a ³mpares positivos.
3. Qual ¶ a express~o do termo geral Gn dessa progress~o? Resposta:
e a a
Gn = 2n ¡ 1.
4. Jo~ozinho adora somar progress~es aritm¶ticas (acho que ele est¶
a o e a
biruta). Atrav¶s desse seu estranho passatempo, Jo~ozinho veri¯cou
e a
que
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32

7. Sequ^ncias e progressoes
Äe ~ 7
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
Jo~ozinho ¯cou descon¯ado de que a soma dos n primeiros n¶meros
a u
2
³mpares ¶ sempre n . Usando a f¶rmula da soma dos n primeiros
¶ e o
termos de uma progress~o aritm¶tica, veri¯que que Jo~ozinho est¶
a e a a
certo.
Os n¶meros pentagonais tamb¶m eram catalogados pelos Pitag¶ricos,
u e o
com con¯gura»~es geom¶tricas como na ¯gura abaixo.
co e
Alternativamente, eles podem ser mais facilmente desenhados pelas
con¯gura»~es apresentadas abaixo.
co
Mais problemas para aquecimento IV
1. De acordo com a segunda representa»~o geom¶trica dada aos n¶me-
ca e u
ros pentagonais, cada n¶mero pentagonal ¶ a soma de um n¶mero
u e u
quadrado com um n¶mero triangular. Com essa interpreta»~o, de-
u ca
termine a f¶rmula de Pn , o n-¶simo n¶mero pentagonal. Teste
o e u
sua f¶rmula para n = 1, 2, 3 e 4, para ver se est¶ ok. Resposta:
o a
3n2 ¡n
Pn = 2

8. 8 ~
Joao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
~
PROGRESSOES NO EGITO ANTIGO.
Os gregos acreditavam que a Matem¶tica havia se originado no antigo
a
Egito. J¶ os eg¶
a ³pcios acreditavam que a Matem¶tica foi dada a eles pelo
a
deus Thoth.
Dois papiros famosos s~o as principais fontes de informa»~o sobre a
a ca
Matem¶tica do Egito antigo. S~o eles o Papiro Rhind e o Papiro
a a
de Moscou. O Papiro de Moscou ¶ do ano 1850 a.C.. Em 1893 foi
e
comprado pelo russo V.S. Golenishev e levado para Moscou. O Papiro
Rhind foi escrito em torno de 1650 a.C. por Ahmes, um escriba (es-
critor de papiros) eg¶³pcio. Nessa ¶poca, Jos¶ governava o Egito. Este
e e
papiro foi adquirido em 1858, em Luxor, Egito, por Alexandre H. Rhind
e posteriormente, em 1865, comprado pelo Museu Brit^nico.
a
Parece que o Papiro Rhind ¶ baseado num papiro ainda mais antigo. E
e ¶
uma colet^nea de problemas resolvidos de matem¶tica elementar, muitos
a a
¶ curioso notar, no entanto, que
deles uteis ao cotidiano do antigo Egito. E
¶
muitos dos problemas do Papiro Rhind constituem puro entretenimento
matem¶tico.
a
Progress~es aritm¶ticas e geom¶tricas no Papiro Rhind
o e e
Dentre os problemas resolvidos no Papiro Rhind encontram-se os
seguintes problemas de progress~es aritm¶ticas. Discuta a utilidade dess-
o e
es problemas no dia a dia dos eg¶³pcios.
1. (Problema 40 do Papiro Rhind) Divida 100 p~es dentre 5 pessoas
a
de modo que as partes recebidas estejam em progress~o aritm¶tica
a e
1
e que 7 da soma das tr^s maiores partes seja igual a soma das duas
e µ
menores partes. [Sugest~o facilitadora: Represente as 5 partes por
a
x¡2r; x¡r; x; x+r; x+2r, onde x ¶ o termo central da progress~o e r
e a
a raz~o dela.] Resposta: As partes recebidas formam uma progress~o
a a
aritm¶tica de primeiro termo a1 = 5=3 e raz~o 55=6, sendo iguais
e a
portanto a 5=3; 65=6; 20; 175=6; 115=3.
2. (Problema 64, adaptado) 10 medidas de milho s~o distribu¶
a ³das a
10 pessoas, formando uma seqÄ^ncia de medidas de tal modo que
ue
cada pessoa, a partir da segunda, recebe 1=8 a menos que a pessoa
precedente. Determine essas medidas.
Resposta: Essas medidas formam uma progress~o aritm¶tica de 10
a e

9. Sequ^ncias e progressoes
Äe ~ 9
termos, de raz~o 1=8, cuja soma dos termos ¶ igual a 10 (medidas),
a e
sendo portanto uma progress~o de primeiro termo 7/16 e raz~o (da-
a a
da) 1/8.
O problema que segue ¶ provavelmente a mais antiga refer^ncia a
e e
uma progress~o geom¶trica de que se tem not¶
a e ³cia na Hist¶ria da
o
Matem¶tica.
a
3. (Problema 79 do Papiro Rhind, adaptado) Numa aldeia eg¶ ³pcia h¶
a
sete casas. Em cada casa, h¶ sete gatos. Para cada gato, h¶ sete
a a
ratos. Para cada rato, h¶ sete espigas de trigo. Em cada espiga, h¶
a a
sete gr~os.
a
(a) Quantos gr~os h¶ ao todo, nas sete casas?
a a
(b) Casas, gatos, ratos, espigas e gr~os, quantos objetos s~o ao
a a
todo?
AQUILES E A TARTARUGA
No s¶culo 5 a.C., no sul da It¶lia viveu o grego Zen~o de El¶ia. Zen~o
e a a e a
era um ¯l¶sofo que rejeitava a id¶ia de que existem in¯nitos n¶meros
o e u
naturais, de que numa linha reta h¶ in¯nitos pontos, e assim por diante.
a
Naquela ¶poca, para mostrar que o conceito de in¯nito n~o ¶ um
e a e
conceito v¶lido, Zen~o criou alguns argumentos, conhecidos hoje como
a a
paradoxos de Zen~o".
a
Alguns desses argumentos trazem a tona o conceito de soma de uma
µ
progress~o geom¶trica. Estas s~o talvez as primeiras progress~es geo-
a e a o
m¶tricas que aparecem na Hist¶ria da Matem¶tica ap¶s a progress~o
e o a o a
geom¶trica do Problema 79 do Papiro Rhind.
e
Os argumentos de Zen~o
a
Zen~o produziu alguns argumentos para mostrar que, se h¶ in¯nitos
a a
pontos numa linha, ent~o qualquer movimento ¶ imposs¶
a e ³vel! Um dos
seus argumentos ¶ explorado nos problemas abaixo.
e
1. Um ponto m¶vel se move em linha reta, com a ¯nalidade de per-
o
correr 2 unidades de comprimento. Num primeiro est¶gio de seu
a
movimento, o ponto percorre uma dist^ncia igual a 1 unidade de
a
comprimento. No segundo est¶gio, percorre uma dist^ncia igual a
a a

10. 10 ~
Joao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
1=2, totalizando 1 + 1=2. No terceiro est¶gio percorre mais 1=4,
a
depois mais 1=8, e assim por diante.
(a) Que dist^ncia ter¶ percorrido o ponto ap¶s 10 est¶gios do seu
a a o a
movimento? Resposta: Ter¶ percorrido uma dist^ncia de 1 +
a a
1 1 1 1¡(1=2)10 11
2 + 4 + : : : + 29 = 1¡(1=2) = 2 ¡ (1=2) unidades.
(b) Que dist^ncia ter¶ percorrido o ponto ap¶s n est¶gios do seu
a a o a
n+1
movimento? Resposta: 2 ¡ (1=2) unidades.
Recordemo-nos de que a soma dos n primeiros termos de
uma progress~o geom¶trica de raz~o q ¶ dada por
a e a e
a1 (1 ¡ q (n¶mero de termos) ) a1(1 ¡ q n )
u
Sn = =
1¡q 1¡q
onde a1 ¶ o primeiro termo.
e
Zen~o argumentava que ¶ imposs¶ ao ponto m¶vel atravessar
a e ³vel o
um n¶mero in¯nito de intervalos e, sendo assim, o ponto poder¶
u a
n+1
percorrer somente uma dist^ncia de comprimento 2 ¡ (1=2) ,
a
que ¶ menor que 2. Assim sendo, o ponto nunca percorrer¶ as
e a
duas unidades de comprimento.
No entanto, ao argumento de Zen~o podemos contrapor que,
a
embora o n¶mero de intervalos percorridos pelo ponto seja in-
u
¯nito, a soma das dist^ncias percorridas ¶ ¯nita.
a e
(c) Qual ¶ a soma total das dist^ncias percorridas pelo ponto? Re-
e a
sposta: 2
2. Aquiles e uma tartaruga est~o disputando uma corrida ao longo de
a
uma linha graduada. Aquiles come»a em 0 e a tartaruga come»a
c c
em 1. Aquiles desloca-se a uma velocidade constante, duas vezes
mais r¶pido que a tartaruga. Isto signi¯ca que, em cada intervalo
a
de tempo, a tartaruga percorre metade da dist^ncia percorrida por
a
Aquiles naquele intervalo. Quando Aquiles chega ao ponto 1, a
1
tartaruga encontra-se em 1 + 2 . Quando Aquiles chega ao ponto

11. Sequ^ncias e progressoes
Äe ~ 11
1 + 1 , a tartaruga encontra-se no ponto 1 +
2
1
2 + 1 , e assim por
4
diante.
A partir da observa»~o acima, Zen~o argumenta que Aquiles nunca
ca a
alcan»ar¶ a tartaruga, pois Aquiles ter¶ sempre in¯nitos pontos a
c a a
percorrer para alcan»ar a tartaruga.
c
A¯nal, Aquiles alcan»ar¶ ou n~o a tartaruga? Se voc^ acha que sim,
c a a e
a que dist^ncia do seu ponto de partida?
a
Resposta: A solu»~o ¶ dada usando conceitos de cinem¶tica elemen-
ca e a
tar. Como a velocidade v de Aquiles ¶ constante, o deslocamento
e
de Aquiles, medido a partir do ponto 0, ¶ dado por d1 = v ¢ t,
e
onde t ¶ o tempo decorrido desde o in¶ da corrida, enquanto que
e ³cio
o da tartaruga, tamb¶m medido a partir do marco 0, ¶ dado por
e e
v
d2 = 1 + ( 2 ) ¢ t. No instante em que Aquiles encontra a tartaruga,
temos d1 = d2, e ent~o t = 2 . Nesse instante, d1 = d2 = 2. Portanto,
a v
Aquiles encontra a tartaruga a 2 unidades de onde partiu.
~ ¶
PROGRESSOES NO FOLCLORE DA MATEMATICA
² Carl Friedrich Gauss, alem~o, ¶ universalmente considerado
a e
como o maior matem¶tico do s¶culo 19. Conta uma lenda que o
a e
professor de Gauss, na escola elementar, teria passado µ classe,
a
para mant^-la ocupada, a tarefa de somar todos os n¶meros
e u
inteiros de 1 a 100. Gauss, ent~o com 10 anos de idade, colo-
a
cou quase que imediatamente sua lousa sobre a escrivaninha do
irritado professor. Este surpreendeu-se ao ver que a resposta
estava correta: 5 050.
Carl havia calculado mentalmente a soma da progress~o ar-a
itm¶tica
e
1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + 98 + 99 + 100
observando que
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
e assim por diante. Como ao todo ser~o somados 50 pares de
a
n¶meros, a soma pedida ¶ igual a 50 ¢ 101 = 5 050
u e

12. 12 ~
Joao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
² Conta uma lenda que o jogo de xadrez foi inventado para diver-
tir um imperador, o qual ¯cou t~o encantado com o jogo que
a
pediu ao inventor que escolhesse sua recompensa. Este pediu
ao rei que lhe pagasse 1 gr~o de trigo na primeira casa do tab-
a
uleiro, 2 gr~os na segunda casa, 4 na terceira, 8 na quarta e
a
assim por diante, dobrando o n¶mero de gr~os para cada casa
u a
sucessiva do tabuleiro. O rei sorriu ao ouvir o pedido modesto.
Mas seu sorriso desapareceu na manh~ seguinte quando ouviu,
a
do seu secret¶rio de ¯nan»as, que ele, o rei, teria que pagar
a c
1 + 2 + 4 + 8 + ¢ ¢ ¢ + 263 = 264 ¡ 1
gr~os, ou seja, 18 446 744 073 709 551 615 gr~os de trigo.
a a
Havendo aproximadamente 100 gr~os num cent¶
a ³metro c¶bico, e
u
portanto 100 000 000 gr~os por metro c¶bico, seriam necess¶rios
a u a
184 467 440 737; 1 metros c¶bicos para comportar todo o trigo.
u
Talvez 2 000 000 de vag~es de trem pudessem transportar o car-
o
regamento, constituindo um trem dando mil voltas em torno da
Terra.
² Assumindo que cada gera»~o corresponde a 25 anos, isto ¶, que
ca e
pais geram seu primeiro ¯lho aos 25 anos, quantos ascendentes,
pais, av¶s, bisav¶s, triav¶s, etc., estar~o na ¶rvore geneal¶gica
o o o a a o
de um brasileiro, no anivers¶rio de 500 anos do descobrimento
a
do Brasil? E num per¶ ³odo de 650 anos?
Resposta: 500=25 = 20 gera»~es.co
2 pais + 4 av¶s + 8 bisav¶s + 16 triav¶s + : : : + 220 cabral-
o o o
av¶s"perfazem
o
20
2+4+8+¢ ¢ ¢+220 = 2(1¡2 ) = 2(220 ¡1) = 2 097 150 ascendentes.
1¡2
J¶ num per¶
a ³odo de 650 anos, ou seja de 26 gera»oes, o n¶mero
c~ u
de ascendentes de uma pessoa totaliza 134 217 726.
Refer^ncias utilizadas para a confec»ao do presente texto:
e c~
1. Anglin, W.S.
Mathematics: A Concise History and Philosophy
Springer, New York, 1994.

13. Sequ^ncias e progressoes
Äe ~ 13
2. Boyer, C.B.
Hist¶ria da Matem¶tica
o a
Editora Edgard BlÄcher, S~o Paulo, 1968.
u a
3. Bunt, L.N.H. et alii
The Historical Roots of Elementary Mathematics
Dover, New York, 1988.
4. Gullberg, J.
Mathematics From The Birth of Numbers
W.W. Norton and Co., New York, 1996.
5. Ronan, C.A.
Hist¶ria Ilustrada da Ci^ncia da Universidade de Cambridge, vol. 1
o e
C¶
³rculo do Livro, S~o Paulo, 1987.
a
6. Smith, D.E.
History of Mathematics, vol. II
Dover, New York, 1953.
7. Stillwell, J.
Mathematics and Its History
Springer-Verlag, New York, 1989.