1) O documento explica como representar graficamente o estado de tensões em um ponto de um corpo usando o Círculo de Mohr; 2) O Círculo de Mohr permite determinar as tensões principais máximas e mínimas no corpo e seus respectivos planos de ocorrência; 3) Como exemplo, são calculadas as tensões principais para um estado de tensão específico e representado graficamente no Círculo de Mohr.

1. CÍRCULO DE
MOHR
PARA
TENSÕES
CÍRCULO DE
MOHR
PARA
TENSÕES
Resistência dos Materiais XI

2. x
y
z
σσσσx
σσσσx
σσσσy
σσσσy
ττττyx
τxy
Num certo ponto da superfície de um corpo carregado
são conhecidas as tensões em dois planos
perpendiculares
Estado Plano de Tensões

3. Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σσσσ
σσσσ
ττττ
Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais ττττ
Representação Gráfica das
Tensões no Plano de Mohr

4. σσσσ
ττττ
0
Marque as tensões normais de
tração à direita da origem
Marque as tensões normais de
compressão à esquerda da origem

5. σσσσ
ττττ
0
Marque para CIMA as
tensões tangenciais que giram
o elemento no sentido
HORÁRIO
Marque para BAIXO as
tensões tangenciais que giram
o elemento no sentido
ANTI-HORÁRIO

6. σσσσ
ττττ
Exemplo 1: σx = + 50MPa; σy = - 10MPa; τxy = τyx - 40MPa
50 50
-10
-10
-40
-40
50
40
-10
40
Plote no plano σσσσ x ττττ os valores das tensões apresentadas x
y

7. σσσσ
ττττ
50
40
-10
40
Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo
de Mohr σσσσC = ½ (σσσσx + σσσσy)
Observe o
triângulo
assinalado
Observe o
triângulo
assinalado
Trace o círculo
com centro em
C e passando
pelos dois
pontos
Trace o círculo
com centro em
C e passando
pelos dois
pontos
20
C

8. ττττ
50
40
-10
40
20
Os catetos do triângulo valem:
ττττxy = 40ττττxy = 40
½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30
σσσσC

9. ττττ
50
40
-10
40
A hipotenusa valerá:
ττττxy = 40ττττxy = 40
½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30
1 2 2
2
[ ( )]x y xyσ σ τ− +
2 2
30 40 50+ >
σσσσ

10. ττττ
50
40
-10
40
20
A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr
R = 50 σmáx= σc + R
= 70
σmáx= σc + R
= 70
σσσσ
τmáx = R = 50τmáx = R = 50
PORTANTO:
σmín= σc - R
= -30
σmín= σc - R
= -30

11. As tensões principais ficam assim determinadas:
τmáx = [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 50τmáx = [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 50
σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20+50=70σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20+50=70
σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20-50=-30σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20-50=-30

12. 40
Observe ainda na figura formada:
Ponto que
representa o
estado de tensão
no plano que tem
o eixo “x” como
perpendicular
Ponto que
representa o
estado de tensão
no plano que tem
o eixo “x” como
perpendicular
40
-10
ττττ
20 50 σσσσ
x
40
50
y
40
10
Ponto que
representa o
estado de tensão
no plano que tem
o eixo “y” como
perpendicular
Ponto que
representa o
estado de tensão
no plano que tem
o eixo “y” como
perpendicular

13. A interseção dessas direções é o chamado PÓLO
x
40
50
y
ττττ
σσσσ50
40
-10
40
20
40
10
A direção que une o pólo ao ponto do círculo
correspondente à tensão σ1 é a direção 1
1
70
A direção que une o pólo ao ponto do círculo
correspondente à tensão σ2 é a direção 2
2
-20

14. ττττ
σσσσ
x
40
50
y
50
40
-10
40
20
40
10
1
70
Observe que o ângulo inscrito, entre as
direções “1” e “x”, mostrado na figura :
θθθθ1
... é igual à metade do ângulo central
assinalado:
2θ2θ2θ2θ1111
Sendo: tg 2θθθθ1111 = τ= τ= τ= τxy / ½ (σσσσx – σσσσy)
ττττxy
½ (σσσσx – σσσσy)

15. ττττ
σσσσ
x
40
50
y
50
40
-10
40
20
40
10 No caso em estudo: τxy = - 40, σx = 50 e σx = -10
tg 2θθθθ1111==== −−−−1,331,331,331,33
θθθθ1
2θθθθ1111==== −−−−59,059,059,059,0ºθθθθ1111==== −−−−29,529,529,529,5º

16. Para o estado de tensão em análise teremos portanto
x
y
5050
-40
-40
-10
-10
θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0
70
70
-30
-30
θ =θ =θ =θ = −−−− 29,529,529,529,5ºθ =θ =θ =θ = −−−− 29,529,529,529,5ºθ =θ =θ =θ = −−−− 74,574,574,574,5ºθ =θ =θ =θ = −−−− 74,574,574,574,5º
20
20
50
50
20
20
ττττ
50
40
-10
40
70-20
σσσσ
P
20

17. Alguns exemplos de estados de tensão comuns
Tração
Pura
Compressão
Pura
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
Semi
hidrostático
σ
τ
σ
τ
Corte
Puro
Flexão
Simples
Vaso de
pressão
σ
τ
Tubo sob
pressão e
torção
Tarefa: em cada caso exemplificado
indique a posição ocupada pelo pólo.

18. Exercício proposto: para o estado de tensões esquematizado
na figura e utilizando o Círculo de Mohr, pede-se:
48 MPa
72 MPa
36 MPa
x
y
z
1) As tensões máximas de tração e
de compressão. Indicar os planos
onde ocorrem;
2) As tensões máximas de
cisalhamento. Indicar os planos
em que ocorrem;
3) As componentes normal e
tangencial da tensão ocorrente no
plano “P” assinalado na figura
P
30º

19. fim