V@R Monte Carlo

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V@R Monte Carlo

  1. 1. VaR via Simulação Análise de Risco (5) R.Vicente 1
  2. 2. Resumo Monte Carlo para Avaliação Risco Carteiras com Derivativos Múltiplos Fatores de Risco Números Pseudo-aleatórios Cenários de Stress: Estudo de Caso Cenários Ad-hoc Cenários por Fator de Risco e Netting Bibliografia 2
  3. 3. Monte Carlo para Avaliação de Risco: Idéia GeralSeja uma carteira com função preço V ( S ) que dependa de umvetor de fatores de risco S = ( S , S ,..., S ) . 1 2 m Assumamos uma dinâmica estocástica para os fatores de risco: S (t + Δt ) = DΔt [ S (t ) ] Geremos N realizações da dinâmica e reprecifiquemos a carteira em cada um destas realizações: Vt +Δt = V ⎡⎢⎣ S ( n ) (t + Δt )⎤⎥⎦ n = 1,..., N (n) 3
  4. 4. Monte Carlo para Avaliação deRisco: Idéia GeralOs N cenários de P&L serão: ΔV ( n ) = Vt +Δt −Vt (n) n = 1,..., NO VaR da carteira com confiança de (1− α ) % será: ⎧ ⎪ ⎪ΔV ∈ {ΔV ( n ) } : 1 N ⎫ ⎪ ⎪ n=1 ∑ {ΔV <ΔV } NVaR = sup ⎨ ≤ Nα⎬ ⎪ ⎪ (n) ⎪ ⎩ n=1 ⎪ ⎭ 4
  5. 5. Exemplo: DEaR de PETR4A função preço de uma carteira contendo PETR4 é simplesmente: V ( S ) = qS q é a quantidade de ações e S é a cotação de PETR4. Escolhemos uma janela de tempo Δt = 1 dia e um Movimento Browninano Geométrico sem drift como dinâmica estocástica: St +1 = St (1 + σε) VOLATILIDADE ε ~ N (0,1) DE 1 DIA 5 (EWMA ou GARCH)
  6. 6. 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00 65,00 -0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 29/01/01 26/01/01 29/03/01 26/03/01 29/05/01 26/05/01 29/07/01 26/07/01 29/09/01 26/09/01 29/11/01 26/11/01 Cotações PETR4 29/01/02 26/01/02 Retornos e Volatilidade EWMA 29/03/02 26/03/02 29/05/02 26/05/02 Passo 1: Estimação de Vol 29/07/02 26/07/026
  7. 7. Passo 2: Gera N=5000 Cenários St +1 = St (1 + σε) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 3 4 6 8 9 1 2 4 6 7 9 1 2 4 6 7 9 ,6 ,1 ,6 ,1 ,6 ,2 ,7 ,2 ,7 ,2 ,7 ,3 ,8 ,3 ,8 ,3 ,8 35 36 36 37 37 38 38 39 39 40 40 41 41 42 42 43 43 S(t+1) LOG-NORMAL 7
  8. 8. (4 2. 7 100 120 140 160 180 0 20 40 60 80 (3 42) 7. 5 (3 77) 2. 4 (2 12) 7. 2 (2 47) 2. 0 dos Cenários ΔV (1 82) 6. 9 (n) (1 16) 1. 75 (6 1) .5 = q ⎢⎣ 86 (1 ) .4 21 3. ) 74 4 8. P&L 14 9 90 .0 7 19 5 .2 4 24 0 .4 0 ⎥⎦ ⎡ S ( n ) (t + 1) − S (t )⎤ 29 5 .5 Passo 3: Avalia P&L para cada um 7 34 0 .7 3 39 5 .9 008
  9. 9. (4 2. 7 100 120 140 160 180 0 20 40 60 80 (3 42) 7. 5 (3 77) 2. 4 (2 12) 7. 2 (2 47) 2. 0 (1 82) 6. 9 (1 16) VaR = 29.013 1. 75 (6 1) .5 86 (1 ) .4 21 3. ) 74 4 8. P&L 90 14 9 .0 7 19 5 .2 4 24 0 .4 0 29 5 .5 7 VaR parametrico = ασV = 28.372 34 0 .7 Passo 4:Avalia VaR (localiza quantil) 3 39 5 .9 009
  10. 10. Carteiras com DerivativosPara exemplificar o uso da simulação de Monte Carlo para carteirasaltamente não-lineares utilizamos um Short Straddle semelhanteàquele que provocou a quebra do Barings em 1995 −rT −rT( Delta*Ativo-Call-Put): V (S) = Xe N(d2 ) − Xe N(−d2 ) Gerando cenários como antes: St +1 = St (1 + σε) Apreçando a carteira e avaliando o P&L em cada cenário: ΔV ( n ) = V ( S ( n ) ) −V ( S (t )) 10
  11. 11. Carteiras com Derivativos S(t+1) call put V(t+1) P&L 37,86864 -2,180261 -2,360794 6,819538 -0,259042 40,05286 -3,471554 -1,467875 7,076427 -0,002153 40,25085 -3,603757 -1,402082 7,069417 -0,009163 38,50176 -2,521693 -2,069113 6,959721 -0,118859 41,35245 -4,380707 -1,077437 6,94759 -0,13099 41,35031 -4,379136 -1,078001 6,947956 -0,130624 39,8541 -3,341245 -1,53632 7,078665 8,51E-05 40,29917 -3,636374 -1,386384 7,066992 -0,011588 40,11299 -3,511456 -1,447642 7,074799 -0,003782 39,67229 -3,224187 -1,601075 7,076426 -0,002154 40,78518 -3,972077 -1,236076 7,027401 -0,051179 39,18249 -2,919277 -1,785969 7,0495 -0,02908 11
  12. 12. Carteiras com Derivativos 1400 VaR MC 0,63 1200 VaR Delta - 1000 800 VaR Delta-Gama 0,30 600 400 200 0 -1,24 -1,06 -0,88 -0,70 -0,52 -0,34 -0,16 0,02 0,20 0,38 0,56 0,74 0,92 1,10 1,28 P&L 12
  13. 13. Carteiras com MúltiplosFatores de RiscoQuando a função preço depende de mais de um fator de risco énecessário adequar a geração de cenários às correlações entre osfatores. Exemplificamos a seguir o caso de uma carteira quecontenha Dólar e PETR4: V (SPETR , SUSD ) = qPETRSPETR +qUSDSUSD Os cenários devem ser gerados levando-se em conta correlações entre os ativos: S k (t + 1) = Sk (t )(1 + σk εk ) ε ~ N (0, ρ ) A carteira é então avaliada nos cenários e os P&L’s obtidos : ΔV (n) = V (S (n) ) −V ( S (t )) 13
  14. 14. Gerando números aleatórios com CovariânciaDada: Decomposição de CholeskyÉ possível gerar ε ~ N (0, ρ ) a partir de variáveis aleatóriasindependentes ξ empregando a decomposição de Cholesky.Para isso basta observarmos que: ρ=A A T ε=Aξ εj εk = Ajl ξl Akmξm = Ajl Akm ξl ξm = Ajl Akmδlm = Ajm Akm = Ajl Alk = ρ T 14
  15. 15. Gerando números aleatórios com CovariânciaDada: Correlação EWMA Correlação PETR4-DÓLAR EWMA 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% -10% -20% 26/08/01 26/09/01 26/10/01 26/11/01 26/12/01 26/01/02 26/02/02 26/03/02 26/04/02 26/05/02 26/06/02 26/07/02 15
  16. 16. Carteiras com Múltiplos Fatores Decomposição de Cholesky 1,00 0,00 1,00 -0,13 1,00 -0,13 -0,13 0,99 0,00 0,99 -0,13 1,00 Matriz de Correlação 1 2 1 1,00 -0,13 2 -0,13 1,00 16
  17. 17. Carteiras com Múltiplos Fatoresq1 1000 S1 39,90 σ1 3,1%q2 50 S2 3.097,90 σ2 1,8% V 194.795,00Correlação 3,8% -9,0% ξ1 ξ2 ε1 ε2 S1 S2 V P&L-1,665584 -0,432565 -1,665584 -0,217017 37,86864346 3.085,92 192.164,55 (2.630,45) 0,125332 -1,665584 0,125332 -1,667988 40,05285602 3.005,81 190.343,26 (4.451,74) 0,287676 0,125332 0,287676 0,087691 40,25085186 3.102,74 195.387,93 592,93-1,146471 0,287676 -1,146471 0,431282 38,50175677 3.121,71 194.587,34 (207,66) 1,190915 -1,146471 1,190915 -1,288747 41,35244753 3.026,75 192.689,77 (2.105,23) 1,189164 1,190915 1,189164 1,029846 41,35031168 3.154,76 199.088,27 4.293,27-0,037633 1,189164 -0,037633 1,18428 39,85410223 3.163,29 198.018,39 3.223,39 0,327292 -0,037633 0,327292 -0,078991 40,2991677 3.093,54 194.976,11 181,11 0,174639 0,327292 0,174639 0,302398 40,11299093 3.114,60 195.842,78 1.047,78 17
  18. 18. (1 0. 36 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 (9 8) .1 4 (7 0) .9 1 (6 1) .6 8 (5 2) .4 5 (4 4) .2 2 (2 5) .9VaR 9 (1 7) .7 68 ) (5VaR Delta 39 ) 68 1. 9 91 8 Carteiras com Múltiplos Fatores 3. 14 7 4. 376.682,31 56.915,78 5. 60 4 6. 83 3 8. 06 1 9. 29 018
  19. 19. Geração de Números Pseudo-aleatóriosatravés do mapa logístico 19
  20. 20. Geração de Números Pseudo-aleatóriosatravés do mapa logístico Medida de Lebesgue =1 para μ=4 20
  21. 21. Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 1– ponto fixo Ponto fixo instável x=3/4 21
  22. 22. Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 2 – Medida invarianteA medida invariante representa a probabilidade de que a trajetória passepelo intervalo [x,x+dx]. No caso do mapa logístico essa medida é não-uniforme: A partir das trajetórias do mapa logístico é possível, no entanto, através de uma transformação de variáveis gerar um novo mapa com medida invariante uniforme: 22
  23. 23. Geração de Números Pseudo-aleatórios:Gerador Congruencial Linear I i+1 = aI i + b (mod m) a, b, m ∈ 23
  24. 24. Geração de Números Pseudo-aleatórios:Gerador Congruencial Linear m e b são primos entre si (MDC(m,b)=1); a=1(mod p) para todo fator primo p de m; a=1(mod 4) se m=0(mod 4).Ex: a=7, b=13 e m=18Fatores primos de m=2,3, assim a=1 (mod 2) e a=1(mod3).Boa escolha: a=75, b=0 e m=231-1 24
  25. 25. Cenários de Streess: Estudo de Caso Total Return Swap da SK Securities Co.Início : Janeiro 1997Vencimento: Janeiro de 1998Pricipal: N=US$ 53 milhõesPayoff: ⎡ ⎛B ⎞ ⎤ ⎜ 0 ⎟ + max ⎛0, 3R0 − R1 − R2 ⎞ + max ⎛0,1− Y0 ⎞ − 0,97⎥ N ⎢⎢5 ⎜ −1⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜B ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ R2 ⎠ ⎝ Y2 ⎠ ⎥⎦ Bk : cotação baht/usd no semestre k Rk : cotação rupia/usd no semestre k Yk : cotação yen/usd no semestre k 25
  26. 26. Estudo de Caso: Total ReturnSwap da SK Securities Co. ⎡ ⎛B ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎢5 ⎜ 0 −1⎟ + max ⎜0, 3R0 − R1 − R2 ⎟ + max ⎜0,1− Y0 ⎟ − 0,97⎥ N⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜B ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ R2 ⎠ ⎝ Y2 ⎠ ⎥⎦ CENÁRIO FAVORÁVEL: • Valorização ( B0>B2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen. Ex: Baht -10%, Rúpia -10% (1 sem) -20% (2 sem), Yen +10% Payoff= US$ 69 MM (Lucro) CENÁRIO DESFAVORÁVEL: • Desvalorização do Baht e da Rúpia, manutenção ou valorização do Yen. Ex: Baht +100%, Rúpia +48% (1 sem) +100% (2 sem), Yen 0% Payoff= - US$ 184 MM (perda) 26
  27. 27. Estudo de Caso: Total ReturnSwap da SK Securities Co. CENÁRIO FAVORÁVEL: • Valorização ( B0>B2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen. Razões para entrar no contrato: 1. Baht vinculado a uma cesta de moedas (80% USD, 12% JPY e 8% DEM); 2. Rúpia limitada artificialmente à desvalorizações de 5%/ano. 3. Iene com livre oscilação. 27
  28. 28. Frequency 0 10 20 30 40 (7.131) (6.083) (5.034) (3.986) VaR(1%)=5,8 MM (2.937) (1.889) (840) 208 Profit & Loss 1.257 2.305 3.354 4.402 5.451 Estudo de Caso: Simulação Histórica28
  29. 29. 1800016000140001200010000 Rúpia8000600040002000 0 60 55 50 45 40 Baht 35 30 25 20 250 230 210 190 170 Iene 150 130 110 90 70 50 29
  30. 30. Estudo de Caso: Perda Realizadaapós Crise Asiática Cotação em Jan/97 2.375,00 25,90 121,78 IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)96-97 2,15% 3,97% -0,24% -4,78% 2426,66 2471,11 25,84 116,10 (3.016)97-98 8% 166% 73% 3% 2572,81 12490,86 53,74 125,49 (187.138) Perda de US$ 187 MM (32 vezes maior !) 30
  31. 31. Cenários Ad-hoc Cotação em Jan/97 2.375,00 25,90 121,78 IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)Cenário1 5% 10% 10% 0% 2496,77 2624,78 28,62 121,78 (36.174)Cenário 2 10% 20% 20% 0% 2624,78 2900,83 31,63 121,78 (70.225)Cenário 3 20% 40% 40% 0% 2900,83 3543,08 38,64 121,78 (128.587)Cenário 4 40% 80% 80% 0% 3543,08 5285,66 57,64 121,78 (197.338)Cenário 5 50% 100% 100% 0% 3915,71 6455,92 70,40 121,78 (218.922) PRÓ CONTRA Facilidade de Dificuldade na cálculo determinação da plausibilidade dos cenários 31
  32. 32. Estudo de Caso II: Margens de Garantia BM&F Fatores de Risco Estrutura a Termo Mercados a vista Volatilidade Pré Cupom de USD IGPM Dólar Spot BOVESPA Bolsa Externa Brady BondsFuturo de DólarOpções de DólarTítulos CambiaisFuturo de DITítulos PréSwaps PréSwaps DólarAções InternasFuturo de AçãoOpções sobre AçõesBrady BondsOpção IDITítulos IGPMSwaps IGPMFRA de CupomAções Exterior 32
  33. 33. Exemplo de decomposição de Carteira emFatores de Risco Carteira • Ativo em R$ 10 MM em papel cambial para 34 dias • Ativo em R$ 6 MM em PU de Futuro de DI para 216 dias • Ativo em R$ 4 MM em Futuro de IBOVESPA para 49 dias 33
  34. 34. Decomposição: Título CambialTítulo Cambial VF P= S 1+ C ⎛ P′ ⎞ ⎜ ⎟ = ln ⎛ VF S ′ 1 + C 1 ⎞ ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜P⎠ ⎝ ⎟ ⎜1 + C ′ ⎝ VF S ⎠ ⎟ ⎛ S ′⎞ ⎛ PUUSD ⎞ ′ ⎟ ⎜ ⎟ + ln ⎜ = ln ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜S⎠ ⎜ PU ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ USD ⎟ DÓLAR SPOT CUPOM DE DÓLAR 34
  35. 35. Decomposição: PU de Futuro de DIFuturo de DI 100.000 P= 1+ i ⎛ P′ ⎞ ⎛ 1+ i ⎞ ⎛ PU ′ ⎞ ln ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜P⎠ ⎝ ⎜1 + i ′ ⎠ ⎝ ⎜ PU ⎠ ⎝ PRÉ 35
  36. 36. Decomposição: PU de Futuro de IBOVESPAFuturo de IBOVESPA F = IBV (1 + i ) ⎛ F ′⎞ ⎛ IBV ′ (1 + i ′)⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ln ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎟ ⎜F⎠ ⎟ ⎟ ⎝ ⎜ IBV (1 + i ) ⎠ ⎝ ⎟ ⎛ IBV ′⎞ ⎟ − ln ⎛ PU ′ ⎞ ⎟ ⎜ = ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ IBV ⎠ ⎝ ⎟ ⎜ ⎝ PU ⎠ ⎟ BOVESPA PRÉ (PASSIVO) 36
  37. 37. Decomposição em Fatores de Risco Posição Prazo Título Cambial 10.000.000 34 Futuro de DI 6.000.000 216 Futuro de IBOVESPA 4.000.000 49 Mercado Vértice Posição Dólar SPOT 10.000.000 IBOVESPA SPOT 4.000.000 Pré 30 (1.466.667) Pré 60 (2.533.333) Pré 90 - Pré 120 - Pré 180 3.600.000 Pré 270 2.400.000 Cupom de USD 30 8.666.667 Cupom de USD 60 1.333.333 Cupom de USD 90 - Cupom de USD 120 - Cupom de USD 180 - Cupom de USD 270 - 37
  38. 38. Decomposição em Fatores de Risco ⎛ ΔVSTRESS ⎞ ⎟ VaRSTRESS =V ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ V ⎝ ⎠ = V (Δ%1 + Δ%2 + ... + Δ% ) F F Fn 38
  39. 39. Pool de CenáriosCenário -5 Cenário -4 Cenário -3 Cenário -2 Cenário -1 Cenário 0 Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4 Cenário 5 -10% -8% -6% -4% -2% 0% 3% 6% 9% 12% 15% -30% -24% -18% -12% 6% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51% 0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02% 0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54% 0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06% 0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12% 1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70% 0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51% 0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02% 0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54% 0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06% 0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12% 1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70% (1.000.000) (800.000) (600.000) (400.000) (200.000) - 300.000 600.000 900.000 1.200.000 1.500.000 (1.200.000) (960.000) (720.000) (480.000) 240.000 - 160.000 320.000 480.000 640.000 800.000 51.373 41.067 30.413 20.360 10.053 - (40.133) (79.160) (117.627) (155.133) (243.480) 14.867 12.333 9.067 5.800 3.267 - (11.467) (23.800) (35.133) (46.467) (30.600) 39
  40. 40. Pior Caso e Cenários Macroeconomicamente Plausíveis PIOR CASO BULLISH BEARISHDólar (1.000.000) (1.000.000) 1.500.000IBOVESPA (1.200.000) 800.000 (1.200.000)Pré (243.480) 51.373 (243.480)Cupom de USD (46.467) 14.867 (30.600) (2.489.947) (133.760) 25.920 40
  41. 41. Bibliografia• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);• Jäckel, P., Monte Carlo Methots in Finance, Wiley Finance, 2002•Vieira Neto, C.A. , Urban, F., Um Modelo de Stress Menos Subjetivo e MaisAbrangente, Resenha BM&F 139• Guidelines on Market Risk Vol 5: Stress Testing, ONB (2001). Leituras ComplementaresGlasserman, Heidelberger e Shahabuddin, Efficient Monte Carlo Methods forValue-at-RiskJamshidian, F., Zhu, Y., Scenario Simulation: Theory and Methodology, Financeand Stochastics, 1,43-67 (1997) 41

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