O documento apresenta uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas ordenadas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes permitem expressar situações envolvendo múltiplas variáveis de forma concisa. Em seguida, descreve operações básicas com matrizes e conceitos como matriz quadrada, identidade e nula.

1. PROF. GILBERTO SANTOS JR
MATRIZES
1 . INTRODUÇÃO
Muitas vezes, para designar com clareza
certas situações é necessário um grupo orde-
nado de números que se apresentam dispostos
em linhas e colunas, formando o que se chama
matriz.
Observe por exemplo a seguinte situa-
ção:
As vendas de uma editora em relação
aos livros de Matemática, Física e Química, no
primeiro trimestre de um ano, podem ser ex-
pressas pela tabela a seguir.
Janeiro Fevereiro Março
Matemática 20000 32000 45000
Física 15000 18000 25000
Química 16000 17000 23000
Se quisermos saber:
 Quantos livros de Matemática foram vendidos
em Fevereiro, basta olharmos o número que
está na primeira linha e na segunda co-
luna;
 Quantos livros de Física foram vendidos em
Janeiro, basta olharmos o número que está
na segunda linha e na primeira coluna;
 Quantos livros de Química foram vendidos
nos 3 meses, basta somarmos os números
da terceira linha. E assim por diante.
Uma tabela desse tipo, em que os nú-
meros estão dispostos em 3 linhas e 3 co-
lunas, denomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três
por três) e podemos representá-la por:








230001700016000
250001800015000
450003200020000
ou








230001700016000
250001800015000
450003200020000
2 . DEFINIÇÃO
Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n)
qualquer tabela retangular formada por m
linhas e n colunas, sendo m e n números
inteiro maior que zero.
Dizemos que a matriz é do tipo m × n
ou de ordem m × n.
Exemplo:
A2 × 3 = 





015
43 2
é uma matriz de ordem dois
por três.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Os estudantes de um colégio responderam
a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática
ou Português?” Cada estudante escolheu uma
única matéria. As respostas foram computadas
e alguns dados colocados no quadro:
a) Quantos estudantes escolheram a Mate-
mática? R: 235 alunos
b) Quantos estudantes do sexo feminino res-
ponderam à pergunta? R: 215 alunos
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam
à pergunta? R: 457 alunos
2) Observe a matriz seguinte e responda:












258114
212617
9731
51010
a) De que tipo ou ordem é a matriz dada?
R: 4 por 4
b) Quais são os números da 1ª linha?
R: 10, 0, 1 e 5
c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na
2ª coluna? R: 3
e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5
f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11
g) Qual o resultado da soma dos números da
2ª coluna? R: 20
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR
3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por
estudantes da Faculdade de Estatística mostra,
em horas por dia, como os jovens entre 12 e
18 anos gastam seu tempo, tanto durante a
semana (de segunda-feira a sexta-feira), como
no fim de semana (sábado e domingo). A
seguinte tabela ilustra os resultados da
pesquisa. R: (e)
Sexo
Matéria masculino Feminino
Matemática 137 98
Português 105 117

2. 2
De acordo com esta pesquisa, quantas horas
de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18
anos, na semana inteira (de segunda-feira a
domingo), nas atividades escolares? R: (e)
(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE
UMA MATRIZ
O elemento genérico de uma matriz A
será indicado por aij em que i representa a
linha e j a coluna na qual o elemento se en-
contra. Uma matriz A, do tipo m × n será es-
crita, genericamente, assim:
A =
















mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se:
matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n.
Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que
aij = i + j.
Resolução:
A matriz é do tipo 2 x 2 então, generi-
camente,






2221
1211
aa
aa
Resta descobrir quem são esses termos
a11, a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j.
Então, usando os cálculos auxiliares:
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 + 2 = 3
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 + 2 = 4
Logo a matriz 





2221
1211
aa
aa
é igual a






43
32
.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
4) Escreva as matrizes:
a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R = 




543
432
b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j. R =







 
12
01
10
c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j.
R = 




23
01
d) C = (cij)3 × 3 tal que





jipara1c
jipara0c
ij
ij
.
R =








011
101
110
e) D = (dij)2 × 4, com dij = j-i R = 




2101
3210
4 . MATRIZES ESPECIAIS
MATRIZ QUADRADA
É toda matriz cujo número de linhas é igual
ao número de colunas.
Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois
por dois ou simplesmente ordem 2.
A2 × 2 = 





15
32
ou simplesmente, A2 = 





15
32
Observação: Numa matriz quadrada A de or-
dem n, os elementos aij tais que i = j formam
a diagonal principal da matriz, e os elemen-
tos aij tais que i + j = n + 1 formam a diago-
nal secundária.












333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
diagonal principal
diagonal secundária
MATRIZ IDENTIDADE
É uma matriz quadrada de ordem n em
que todos os elemento da diagonal principal
são iguais a 1 e os outros elementos são iguais
a zero, seu símbolo é igual a In.
Exemplos: I2 = 





10
01
, I3 =










100
010
001
.
MATRIZ NULA
É qualquer matriz que possui todos os
elementos iguais a zero. Simboliza-se a matriz
nula de ordem m × n por 0m × n e a de ordem
n por 0n.
Exemplos: 03 × 2 =










00
00
00
, 02 = 





00
00
,
03 =










000
000
000
, 01 × 4 =  0000
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja A uma matriz de ordem m × n de-
nomina-se transposta de A a matriz de or-
dem n × m obtida, isto é, trocando-se orde-
nadamente as linhas pelas colunas.
Indica-se transposta de A por At
.
Exemplo: seja a matriz A =
2307
53
21











a sua
transposta é At
=
32052
731








3. 3
5 . IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B são iguais se, e somen-
te se, tem a mesma ordem e seus elementos
correspondentes (que estão na mesma linha
e na mesma coluna) são iguais.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
5) Calcule os termos desconhecidos:
a) 





dc
ba
= 





85
36
R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8
b) 





2y5
3x
= 





85
36
R: x = 6 e y = 4
c) 





qp
nm
= I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1
d) 





 1n0
0m
= 





50
03
R: m = 3 e n = 4
e) 





 yx0
0y
= I2 R: x = 0 e y = 1
f) 




 
b-ay
byx
= 





81
35
R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3
g) 




 
d-2a2b
3dba
= 





176
95
R: a = 2; b = 3 e d = 3
h)







 
1-y0
65x-xz 2
= I2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1
6) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de or-
dem 2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t
para que se tenha 







zty2x
ztyx
= A.
R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2 (Veja a resolução dessa questão )
6 . ADIÇÃO DE MATRIZES
Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m
× n denomina-se soma da matriz A com a
matriz B, que representamos por A + B, a
matriz C do tipo m × n na qual cada elemento
é obtido adicionando os elementos correspon-
dentes de A e B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
7) Dadas as matrizes A = 





10
42
, B = 





07
14
e
C = 





2-5
03
, calcule:
a) A + B = R: 




17
56
c) B + C = R: 




 212
17
b) A + C = R: 




 15
45 d) A + B + C =
R: 




 112
59
8) Determine x, y, z e t, sabendo que:
a)










z
y
x
+










5
1
3
=










5
4
1 0
R: x = 7; y = 10 e z = 0
b)










z
y
x
+










4
z
y
=










9
1 5
2 0
R: x = 10; y = 10 e z = 5
c) 





2z3
yx
+ 





zt
3x
= 





184
110
R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6
d) 





t3x
yx
+ 





2y-
zy
= 





014
76
R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6
7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Sendo A e B duas matrizes do tipo m × n,
denomina-se diferença entre A e B (repre-
sentada por A – B) a soma da matriz oposta
de B.
A – B = A + (-B)
EXERCÍCIOS BÁSICOS
9) Calcule:
a)




















3
6
3
-
2
7
8
= R:








 1
1
5
b) 





41
32
- 





51
20
= R: 




 10
12
c) 





1036
421
- 





156
210
= R: 




 920
211
10) Dadas as matrizes A =










3
6
2
, B =










2
6
1
e
C =










2-
4
0
, calcule:
a) A + B – C b) A - B + C c) A - B – C
R: a)








7
8
3
; b)








 1
4
1
e c)









3
4
1
11) Determine x, y e z sabendo que:
a)










z
y
x
-










8
5
3
=












6
4
1 0
R: x = 13; y = 1 e z = 2
b)




















0
z
y
-
z
y
x
=










8
2
1 5
R: x = 25; y = 10 e z = 8
c) 











z3-
4x-
-
2z1
6x
= 





14
y12
R: x = 6; y = 2 e z = 1
d)








2
2
zy
1x
- 





1-5-
3-2
= 





108
41-
R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou z = 3

4. 4
8 . MULTIPLICAÇÃO DE UM N° REAL
POR UMA MATRIZ
Se A é uma matriz m × n, de elementos aij,
e  é um número real, então A é uma ma-
triz m × n cujos elementos são aij.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
12) Sendo A = 





314
102
e B = 





605
21-0
,
determine:
a) 5A = R: 




15520
5010
b) -2B = R: 






12001
420
c) A
2
1
= R: 




2/32/12
2/101
d) 2A + B = R: 




12213
414
e) 5A – 02 x 3 = R: 




15520
5010
13) Se A = 





02
31
, B = 





2-1
31-
e C = 





34
21
,
calcule 3A + 2B - 4C. R: 




 168
73
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e
uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto
da matriz A pela matriz B é a matriz C =
(cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é
calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i, da matriz A, pelos ele-
mentos da coluna j, da matriz B, e somando-
se os produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C é o produto de A
por B, vamos indicá-la por AB.
Observe que só definimos o produto AB
de duas matrizes quando o número de colunas
de A for igual ao número de linhas de B; além
disso, notamos que o produto AB possui o nú-
mero de linhas de A e o número de colunas de
B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
14) Determine os produtos:
a) 











31
42
01
56
= R: 




42
3917
b) 











3-41-2
6150
23
15
= R:




1211134
279242
c) 















21-
53
34
12-
61
= R:










269
87
173
d) 











26-
47
12
4-5
= R: 




108
1259
e)




















23
42
05
204
152
631
= R:








426
2232
2429
f)  052
6
3
1










= R:








03012
0156
052
15) O quadro abaixo registra os resultados
obtidos por quatro times em um torneio em
que todos se enfrentam uma vez:
Vitórias Empates Derrotas
América 0 1 2
Botafogo 2 1 0
Nacional 0 2 1
Comercial 1 2 0
a) Represente a matriz A = (aij) correspon-
dente.
b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3
c) O que representa o elemento a23 da matriz
A? R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo
d) Qual o elemento da matriz A que indica a
vitória do Comercial? R: a41
e) Considerando que um time ganha três pon-
tos na vitória e um ponto no empate, calcule
quantos pontos fez cada time. R:










5
2
7
1
R: América: 1pt; Bota Fogo: 7 pts; Nacional: 2 pts; Comercial: 5 pts
f) Qual foi a classificação final do torneio?
R: Bota Fogo campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América
4º lugar.
16) Para a fabricação de caminhões, uma in-
dústria montadora precisa de eixos e rodas
para seus três modelos de caminhões, com a
seguinte especificação:
Componentes/modelos A B C
Eixos 2 3 4
Rodas 4 6 8
Para os primeiros meses do ano, a produção da
fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
Modelo/Meses Janeiro Fevereiro
A 30 20
B 25 18
C 20 15
Usando a multiplicação de matrizes, responda:
nessas condições, quantos eixos e quantas
rodas são necessários em cada um dos meses
para que a montadora atinja a produção pla-
nejada? R: 215 eixos e 430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308
rodas no mês de Fevereiro.
10 . MATRIZ INVERSA DE UMA
MATRIZ DADA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n,
se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In,
então X é denominada matriz inversa de A e
é indicada por A-1.

5. 5
Quando existe a matriz inversa de A,
dizemos que A é uma matriz inversível ou não-
singular.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Determine, se existir, a inversa de cada
uma das seguintes matrizes:
a) A = 





20
31
R: 



 
2/10
2/31
b) A = 





42
85
R: 






4/52/1
21
(Veja a resolução )
c) A = 





54
32
R: 




1-2
3/25/2-
d) A = 





31
21
R: 






11
23
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
18) Um técnico de basquetebol descreveu o
desempenho dos titulares de sua equipe em
sete jogos através da matriz:
















18172014121819
23221820202218
22141421201920
18212218181615
20182117181718
Cada elemento aij dessa matriz é um número
de pontos marcados pelo jogador de número i
no jogo j.
a) Quantos pontos marcou o jogador de nú-
mero 3 no jogo 5? R: 14
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4?
R: 90
c) Quantos pontos marcou o jogador de nú-
mero 2 em todos os jogos? R: 128
19) Obtenha x, x ∈ R, de modo que a matriz:
A =










86x-x0
065xx
2
2
Seja igual à matriz nula de ordem 2.
R: S = {2, 3, 4}
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz
quadrada de ordem 2 tal que
aij =






jipara1i
jipara2
2
ji
. Nessas condições: R: (c)
(a) A = 





58
42
(d) A = 





52
82
(b) A = 





65
82 (e) n.d.a.
(c) A = 





55
82
21)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e
B = (bij) estão assim definidas: R: (d)










jise0a
jise1a
ij
ij










4jise0b
4jise1b
ij
ij
em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
(a)










100
010
001
(c)










101
010
101
(e)










010
110
011
(b)










001
010
100
(d)










101
020
101
22)(ENEM-2012) Um aluno registrou as no-
tas bimestrais de algumas de suas disciplinas
numa tabela. Ele observou que as entradas
numéricas da tabela formavam uma matriz
4x4, e que poderia calcular as médias anuais
dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a
tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a ma-
triz obtida a partir da tabela por: R: (e)
(a)










2
1
2
1
2
1
2
1 (d)
































2
1
2
1
2
1
2
1
(b)










4
1
4
1
4
1
4
1 (e)
























4
1
4
1
4
1
4
1
(c)


















1
1
1
1
R: (e)
23)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas mé-
dias bimestrais de matemática, português,
ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma
matriz, como mostra a figura: R: (e)
1º b 2º b 3º b 4º b
matemática 5,0 4,5 6,2 5,9
português 8,4 6,5 7,1 6,6
ciências 9,0 7,8 6,8 8,6
est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,2

6. 6
Sabe-se que as notas de todos os bimestres
têm o mesmo peso, isto é, para calcular a mé-
dia anual do aluno em cada matéria basta fa-
zer a média aritmética de suas médias bimes-
trais. Para gerar uma nova matriz cujos ele-
mentos representem as médias anuais de
Cláudio, na mesma ordem acima apresentada,
bastará multiplicar essa matriz por:
(a)
2
1
(c)
























2
1
2
1
2
1
2
1
(e)
























4
1
4
1
4
1
4
1
(b) 





4
1
4
1
4
1
4
1
(d)
4
1
24) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o
custo das porções de arroz, carne e salada
usados num restaurante. A matriz P fornece o
número de porções de arroz, carne e salada
usados na composição dos pratos tipo P1, P2,
P3 desse restaurante.
C =
salada
carne
arroz
2
3
1










P =
3P
2P
1P
prato
prato
prato
022
121
112
saladacarnearroz










A matriz que fornece o custo de produção, em
reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a)
(a)










8
9
7
(c)










4
1 1
9
(e)










4
2
2
(b)










4
4
4
(d)










8
6
2
25)(UNAMA-2006/2) Nas matrizes













00,000.6$RZ
00,800.5$RY
00,600.5$RX
UnitárioeçoPrModelo
A e











402015Trimestreº2
503025Trimestreº1
ZYXModeloTrimestre
B estão
representados os preços unitário das motone-
tas em função do modelo e a quantidade ven-
dida no 1º e 2º trimestres de 2006 por uma
revendedora de motonetas, respectivamente.
Com base nesses dados, podemos afirmar que
a receita obtida por essa revendedora no 1º
trimestre de 2006 foi de: R: (b)
(a) R$ 720.000,00 (c) R$ 560.000,00
(b) R$ 614.000,00 (d) R$ 440.000,00
26)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a
transmissão nervosa, coagulação do sangue e
contração muscular; atua também na respira-
ção celular, além de garantir uma boa forma-
ção e manutenção de ossos e dentes. A tabela
1 abaixo mostra que a ingestão diária reco-
mendada de cálcio por pessoa varia com a ida-
de.
Foi por essa importância que o cálcio tem para
o corpo humano que a diretora de uma escola
resolveu calcular a quantidade de cálcio que
teria de usar nas refeições diárias dos seus
alunos para suprir a essa necessidade. A tabela
2 abaixo mostra a quantidade de alunos por
idade existente nessa escola.
A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria
que usar nas refeições desses alunos é: R: (e)
(a) 286.000 (c) 300.000 (e) 322.000
(b) 294.000 (d) 310.000
27)(PROSEL-2008) Uma campanha foi de-
flagrada para angariar alimentos não perecí-
veis com o objetivo de amenizar problemas
gerados em uma região assolada pelas secas.
Os alimentos doados foram: arroz; feijão e
açúcar, todos em sacos de 1kg, totalizando
1.436kg desses alimentos. Sabe-se que a ter-
ça parte do número de sacos de feijão, soma-
dos aos
11
2
do número de sacos de açúcar, dá
um total de 292kg e que há 144kg de açúcar
a mais que de feijão. Se X é a quantidade de
sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de
feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a
representação matricial do sistema formado,
tomando por base esses dados, é: R: (a)
(a)










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
9 6 3 6
1 4 3 6
(b)










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 6 0 6
1 4 3 6

7. 7
(c)










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
(d)










11-0
6110
11-1
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
(e)










1-10
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
28)(PROSEL-2006) Para a confecção de um
cartaz, uma gráfica dispõe das cores: preto,
amarelo, vermelho e azul, cujas doses tem
preços unitários, em reais, representado pela
matriz A abaixo. Atendendo à solicitação do
cliente, a gráfica apresentou um orçamento
com as possiveis combinações de cores, cujas
quantidades de doses utilizadas em cada cartaz
estão representadas pela matriz B abaixo.
Nessas condições, o cartaz de menor custo
terá preço de: R: (d)
Dados:
(a) R$ 13,00 (c) R$ 11,00 (e) R$ 9,00
(b) R$ 12,00 (d) R$ 10,00
29)(UFPA-2009) Pedro, João e Antônio co-
mercializam três tipos de fruta com períodos
de safra parecidos: manga, abacate e cupuaçu.
No período da safra os três vendem o quilo de
cada uma dessas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00
e R$ 3,00 e, na entressafra, por R$ 2,00, R$
3,00 e R$ 6,00. Sobre a comercialização des-
sas frutas, considere que R: (c)
A = 





642
321
, matriz que representa o preço
das frutas na safra e na entressafra;
B =










51510
102015
152520
, matriz que representa uma
quantidade (Kg) comercializada dessas frutas;
C =








zwy
vut
, matriz que representa o produ-
to A.B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas represen-
tam o valor arrecadado, respectivamente, por
Pedro, João e Antônio, com a venda dessa
quantidade de frutas.
Sobre o valor arrecadado na venda, é correto
afirmar que
(A) Na safra, com a venda de 20 kg de man-
ga, 25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pe-
dro arrecadou t = R$ 85,00.
(B) Na entressafra, com a venda de 10 kg de
manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu,
Antônio arrecadou z = R$ 110,00.
(C) Na safra, com a venda de 25 kg de man-
ga, 20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu,
João u = R$110,00.
(D) Na entressafra, com a venda de 20 kg de
manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu,
João arrecadou w = R$ 170,00
(E) Na entressafra, com a venda de 15 kg de
manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu,
Pedro arrecadando y = R$ 170,00.
30)(IFPA-2011) Considere três dias da se-
mana, D1, D2 e D3, e três medidas de tempe-
raturas feitas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A
matriz a seguir descreve a medida de tempera-
tura verificada nesses três dias da semana.
Cada elemento aij da matriz indica a quantida-
de de temperatura em graus Celsius Ti em ca-
da dia Dj , sendo i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2, 3}.
Analisando a matriz, não podemos afirmar que
(A) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C.
(B) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C.
(C) a média das temperaturas, no dia D3, é de
30°C.
(D) a soma das temperaturas Ti verificadas
nos dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente,
30,8°C.
(E) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia
D1, é 54°C. R: (d)
EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS
DE VESTIBULARES
31)(UFES) Os valores de x e y que satisfa-
zem a equação matricial:






2x4
2-x
+ 





y-1
73y
= 





15
54
são:
(a) x = - 1 e y = - 1 (c) x = 2 e y = - 1
(b) x = 1 e y = 1 (d) x = 2 e y = 2
32)(FGV-SP) Sendo A =








0
2
1
20
, obtenha a
matriz A2
+ A3
.

8. 8
33)(Unifor-CE) Os números reais x e y que
satisfazem o sistema matricial 





1-2
21-






y
x
=






 2
4
são tais que seu produto é igual a:
(a) – 2 (b) - 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2
34)(PUC-SP) São dadas as matrizes
A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2,
com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. se
C = A + B, então C2
é igual a:
(a) 





10
01
(c) 





10
01
(e) 





1-0
0-1
(b) 





01
10
(d) 





01-
-10
35)(PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2 × 2,
onde aij =





jisej-i
jiseji
. Se At
é a matriz trans-
posta de A, então a matriz B = A2
– At
é igual
a:
(a) 





147
10-4
(c) 




 
117
71
(e) 




 
162
82
(b) 







171
33
(d) 





121-
02
EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS
DE VESTIBULARES
36)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipu-
lação, para fazer dois tipos de medicamentos
(I e II), o farmacêutico precisa das substâncias
A, B e C, expressas na tabela abaixo, em gra-
mas:
A B C
I 10 30 60
II 20 50 30
As substâncias podem ser compradas em dois
fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das
substâncias em cada fornecedor, está expresso
em reais na tabela a seguir:
F1 F2
A 4 2
B 5 4
C 3 5
Após construir a matriz cujos elementos indi-
cam o preço de custo dos medicamentos pelo
fornecedor, calcule os valores das despesas se
a compra for toda feita no mesmo fornecedor.
Considerando que o pagamento é feito à vista,
determine como o farmacêutico pode combinar
a compra das três substâncias de modo a gas-
tar o mínimo possível.
37)(UF-MT) Os aeroportos 1, 2 e 3 estão
interligados por vôos diretos e/ou com escalas.
A = (aij), abaixo, descreve a forma de interli-
gação dos mesmos, sendo que:
 aij = 1 significa que há vôo direto (sem es-
cala) do aeroporto i para o aeroporto j;
 aij = 0 significa que não há vôo direto do
aeroporto i para o aeroporto j.
A diagonal principal de A é nula, significando
que não há vôo direto de um aeroporto para
ele mesmo.
A =










010
101
110
Seja A2
= A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que
há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com
uma escala. Com base nessas informações,
julgue os itens.
a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aero-
porto 3, mas não há vôo direto do aeroporto 3
para o 1.
b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3
com uma escala.
EXERCÍCIOS EXTRAS
38) Dois alunos A e B, apresentaram a se-
guinte pontuação em uma prova de português
e em outra de matemática:
Português Matemática
aluno A 4 6
aluno B 9 3
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da
prova de matemática é x, obtenha, através de
produto de matrizes, a matriz que fornece a
pontuação total dos alunos A e B.
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e
B apresentam mesma pontuação final?
39) Um fast-food de sanduíches naturais ven-
de dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os
ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas
seguintes quantidades (em gramas) por sandu-
íches:
Sanduíche A Sanduíche B
queijo 18g 10g
salada 26g 33g
rosbife 23g 12g
atum - 16g
Durante um almoço foram vendidos 6 sanduí-
ches do tipo A e 10 sanduíches do tipo B.
Qual foi a quantidade necessária de cada in-
grediente para a preparação desses 16 sanduí-
ches? Represente-a na forma de produto de
matrizes.
40) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de
roupa utilizando materiais diferentes. Consi-
dere a matriz A = (aij) abaixo,

9. 9
A =










124
310
205
, na qual aij representa quantas
unidades do material j serão empregadas para
fabricar uma roupa do tipo i.
a) Quantas unidades do material 3 serão em-
pregadas na confecção de uma roupa do tipo
2?
b) Calcule o total de unidades do material 1
que será empregado para fabricar cinco roupas
do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas rou-
pas do tipo 3.
Apostila atualizada em 31/7/2014
Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados
como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o
Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é
necessária uma matriz de 453.060 linhas e colunas.
Nunca deixe que lhe digam:
Que não vale a pena
Acreditar no sonho que se tem
Ou que seus planos
Nunca vão dar certo
Ou que você nunca
Vai ser alguém...
Renato Russo
Gostou da Apostila? Você a en-
contra, e muitas outras, no site:
http://gilssantos51.wix.com/inicio#!apost
ilas-de-matematica/cncg
Link! Dê uma olhada.