CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                           PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO                   ...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                              PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO       Uma discu...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                           PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO       A primeira c...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                         PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO      Enfim! Professo...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                            PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO   8    2   8   9 ...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                           PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO      15 8  que vai...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                              PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO        Que lást...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                               PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO          1º) C...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                             PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO      A boa notíc...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                         PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO                     ...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                         PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO                     ...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                            PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO       Assim, já n...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                              PROFESSOR SÉRGIO CARVALHOquestão da forma...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                          PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO      Como próximo p...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                              PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO       Percebam ...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                           PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO      Numa frase: a...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                            PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO      Seguindo ess...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                          PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO               49,5-...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                       PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO                       ...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                         PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO(AFRF-2002) Para a so...
CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR                       PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO                       ...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Estatistica regular 4

1.587 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.587
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
92
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Estatistica regular 4

  1. 1. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 04 Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Agora refeito da virose da semana passada (e quase pronto paraoutra!), vou tentar compensar o atraso com esta presente aula! Nosso estudo de hoje dará início à análise das chamadas Medidas de Posição. Porém, antes de as conhecermos, convém muitíssimo que nós saibamos quais são asformas pelas quais um conjunto pode ser apresentado numa prova. As mais comuns formas deapresentação de um conjunto são as três seguintes: 1ª) Rol: aqui os elementos do conjunto estarão dispostos numa ordem que pode sercrescente ou decrescente. São exemplos de rol: (1,2,3,4,5) (1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5) E assim por diante! Não é muito comum encontrarmos um rol numa questão de prova, mas também não éalgo impossível. Entre as últimas provas da Receita, pôde-se ver um rol na prova de 1998 e nade 2005. Entendido o que é um rol? Ótimo. 2ª) Dados Tabulados: Vamos trabalhar com esse segundo exemplo de rol, acima. Será possívelapresentarmos os elementos desse conjunto na forma de uma tabela? Claro que sim! Vamosver como é que fica: Xi fi 1 3 2 4 3 3 4 2 5 1 Vejam que a coluna do Xi apresenta os elementos (individualizados) do conjunto; e acoluna do fi (a nossa conhecidíssima freqüência absoluta simples) indica o número de vezesque o elemento aparece no conjunto! Assim, vemos que o elemento 1 (Xi=1) aparece trêsvezes naquele rol (fi=3); o elemento 2 (Xi=2) aparece quatro vezes (fi=4), e assim por diante. Se quisermos saber quantos elementos há neste conjunto, o que teremos que fazer?Ora, teremos que somar a coluna da freqüência absoluta simples – fi. Daí, já podemos guardar a seguinte informação: sempre que quisermos saber o n(número de elementos de um conjunto), e esse conjunto estiver apresentado na forma de umatabela, basta somarmos os valores da coluna da freqüência absoluta simples! Ok? Assim, teremos: Xi fi 1 3 2 4 3 3 4 2 5 1 n=13 www.pontodosconcursos.com.br 1
  2. 2. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Uma discussão existe acerca desta segunda forma de apresentação dos dados: háautores que dizem que se trata de um tipo de Distribuição de Freqüências; outros dizem quenão! Ora, para efeito de concurso, essa discussão não nos interessa em nada! O que interessa é que você precisará saber trabalhar a questão de todo jeito! Assim,para nós, aparecendo um conjunto na prova, e esse conjunto estando apresentado destaforma que acabamos de ver acima, diremos que estamos diante de Dados Tabulados! E só!Ok? 3ª) Distribuição de Freqüências: Essa já é nossa velha conhecida! Na Distribuição de Freqüências, diferentemente do queocorre no rol e nos dados tabulados, os elementos do conjunto estarão agrupados em classes,em vez de serem apresentados de forma individualizada! Exemplo: Xi fi 0 -- 10 3 10 -- 20 4 20 -- 30 3 30 -- 40 2 40 -- 50 1 n=13 Essencialmente, o que diferencia a Distribuição de Freqüências das outras duas formasde apresentação de um conjunto, vistas acima, é exatamente o fato de aqui, na Distribuição,os dados estarem agrupados em classes! Já usamos uma aula anterior para estudar com minúcia os elementos de umaDistribuição, não é verdade? Essencialmente, são essas as três formas mais usuais de apresentação de um conjunto:Rol, Dados Tabulados e Distribuição de Freqüências. Porém, não são as únicas. Vamos aproveitar o ensejo para apresentar um tipo degráfico, chamado de Histograma! O Histograma é o gráfico estatístico que existe para representar os dados de umaDistribuição de Freqüências. Relacione sempre: Histograma para Distribuição de Freqüências!Ok? É muito fácil construir um Histograma. No eixo horizontal, anotaremos os limites dasclasses; e no eixo vertical, as freqüências absolutas simples. Trabalhemos com a Distribuição de Freqüências do exemplo acima, e tentemosconstruir o Histograma. Teremos: fi 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 (Classes) www.pontodosconcursos.com.br 2
  3. 3. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO A primeira classe, que vai de zero a dez, tem fi igual a 3. Assim, o retângulo querepresentará essa classe no histograma será o seguinte: fi 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 (Classes) Viram? A base do retângulo é definida pelos limites da classe, enquanto sua altura édefinida pela freqüência absoluta simples daquela classe. Não é fácil? Facílimo! Para a segundaclasse, sabendo que o fi=4, teremos: fi 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 (Classes) A essa altura, todos já entenderam a feitura do Histograma, não é isso? Assim, voulogo completar o gráfico, com base nos dados daquela Distribuição de Freqüênciasapresentada acima. Teremos: fi 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 (Classes) www.pontodosconcursos.com.br 3
  4. 4. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Enfim! Professor, mas por que foi mesmo que você apresentou o Histogramaexatamente neste momento? Porque é possível, embora muito raro, que a sua provaapresente o conjunto a ser trabalhado por meio de um gráfico como esse! Ou seja, em vez de apresentar a Distribuição de Freqüências, a questão trará umHistograma! E aí? O que fazer? Ora, com a mesma facilidade que você construiu umHistograma partindo de uma Distribuição de Freqüências, você poderá fazer o caminho devolta, e construir a Distribuição, partindo de um Histograma! Concordam? Repito: é muito raro vir um Histograma na prova. Mas não é impossível. E jáaconteceu! Querem ver um exemplo? Caiu numa prova bem antiga de Técnico da Receita Federal,do tempo em que esse cargo se chamava TTN. O Histograma trazido pela prova foi o seguinte: fi 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 idades E aí? Você saberia transformar esse gráfico numa Distribuição de Freqüências? Claro.Ficaria o seguinte: Classes fi 2 --- 4 2 4 --- 6 6 6 --- 8 10 8 --- 10 12 10 --- 12 8 12 --- 14 6 14 --- 16 4 Pronto! Está feito! Ultimamente, isto é, em algumas provas muito recentes, a Esaf andou inovando, eapresentou um conjunto por meio de um gráfico até então pouquíssimo conhecido: oDiagrama de Ramos e Folhas. Daí, muita e muita gente ficou olhando para as tais dasfolhas, e não soube absolutamente o que fazer com elas! Não deixou de ser mais uma daquelas maldades de prova... (fico imaginando a cara deprazer do elaborador de uma questão assim! Será que tem mãe?). Pois bem! O tal Diagramade Ramos e Folhas é algo semelhante ao seguinte: www.pontodosconcursos.com.br 4
  5. 5. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 8 2 8 9 003 10 0011222344 10 577777 11 013 11 55679 12 00114 12 5557 13 004 13 5556 14 03 14 5 15 15 8 Vamos lá! O Diagrama acima será transformado num rol. Repetindo: o Diagrama deRamos e Folhas vai virar um Rol. Se bem observarmos, veremos uma coluna de valores no lado esquerdo. E outra nolado direito. Vejam melhor: 8 2 8 9 003 10 0011222344 10 577777 11 013 11 55679 12 00114 12 5557 13 004 13 5556 14 03 14 5 15 15 8 Esses valores da esquerda (em azul) permanecerão exatamente na esquerda! Serão asdezenas! E os valores que os acompanham à sua direita (em vermelho) permanecerão –adivinhem onde? – na direita! Serão as unidades! Assim, teremos: 8 2 que vai virar: 82 9 003 que vai virar: 90, 90, 93 10 0011222344 que vai virar: 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104 10 577777 que vai virar: 105, 107, 107, 107, 107, 107 11 013 que vai virar: 110, 111, 113 11 55679 que vai virar: 115, 115, 116, 117, 119 12 00114 que vai virar: 120, 120, 121, 121, 124 12 5557 que vai virar: 125, 125, 125, 127 13 004 que vai virar: 130, 130, 134 14 03 que vai virar: 140, 143 www.pontodosconcursos.com.br 5
  6. 6. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 15 8 que vai virar: 158 Assim, nosso Diagrama de Ramos e Folhas acima se transformou no seguinte rol: {82, 90, 90, 93, 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104, 105, 107, 107, 107, 107, 107, 110, 111, 113, 115, 115, 116, 117, 119, 120, 120, 121, 121, 124, 125, 125, 125, 127, 130, 130, 134, 140, 143, 158} Entendido? (Espero que sim, pois é o mais didático que consigo explicar...) Pois bem! O que fizemos nesta aula, até o momento, foi conhecer as maneiras pelasquais a Esaf, ou qualquer outra elaboradora, pode se utilizar para apresentar um conjunto deelementos numa prova de Estatística. Uma vez fornecido o conjunto – seja na forma de um rol, ou de dados tabulados, oude Distribuição de Freqüências, ou de um Histograma, ou de um Diagrama de Ramos eFolhas – já poderão ser solicitados, nas questões da prova, os cálculos de uma infinidade demedidas estatísticas! Ou seja, para um determinado conjunto, pode-se pedir o cálculo de: Medidas de Tendência Central (Média, Moda, Mediana); Medidas Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis, Centis); Medidas de Dispersão (Amplitude Total, Desvio Absoluto, Desvio Padrão, Variância,Coeficiente de Variação, Desvio Quartílico, Variância Relativa); Momentos Estatísticos; Medidas de Assimetria; Medidas de Curtose. O estudo do conjunto dessas medidas todas constitui o objeto do nosso Curso! Éexatamente o que figura no programa dos concursos que cobram a Estatística Básica. Considerando que o Histograma será transformado em uma Distribuição de Freqüênciase que o Diagrama de Ramos e Folhas será transformado num Rol, resta que as três formasbásicas de apresentação dos dados serão, realmente: o Rol, os Dados Tabulados e aDistribuição de Freqüências. Assim, para cada uma das medidas estatísticas que formos estudar, aprenderemoscomo ela será calculada para o caso de o conjunto estar na forma de um Rol, ou de DadosTabulados ou de Distribuição de Freqüências. Ok? Então vamos lá! Começaremos conhecendo as Medidas de Tendência Central – Média Aritmética,Moda e Mediana.# A Média Aritmética: X Quando falarmos simplesmente em Média, saiba que estaremos nos referindo à MédiaAritmética. Ok? Existem outras espécies de Média, além da Aritmética, que serão estudadasoportunamente. Comecemos pelo cálculo da Média de um Rol. Estou certo que esse é um cálculo que todos nós já realizamos. Suponhamos que vocêainda está na faculdade. O semestre começou, e você nem se deu conta disso. Eis que chegouo dia da primeira prova! A sua nota foi um desastre: nota 3 (três). www.pontodosconcursos.com.br 6
  7. 7. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Que lástima! Aí você disse: “Valha-me Deus, as aulas já começaram!” (Meio tardia essadescoberta...!) O fato é que você procurou se redimir da nota baixa que tirou, e dedicouesforços para a segunda prova. O resultado se fez perceber, e você conseguiu agora tirar um 8(oito). Ora, você sabia que para passar por média, teria que tirar um notaço na terceira eúltima prova, uma vez que a média naquela sua faculdade era 7 (sete). Assim, virou várias noites estudando e se dedicando àquela disciplina, de sorte queconseguiu, merecidamente, tirar um 10 (dez) na terceira prova. Tão logo recebeu esta última nota, você correu às contas, pois desejava saber se haviapassado por média, ou se necessitaria fazer a prova final. Suas contas foram as seguintes: (3 + 8 + 10) = 21 =7,0 3 3 Parabéns! Você acaba de provar que é um aluno cobra! (Aquele que passa searrastando)! Mas passou, não foi? Isso é o que importa! (Igual no concurso: se você passarem último lugar, vai ganhar o mesmo salário de quem passou em primeiro)! Vejamos novamente as notas das três provas dessa pessoa: (3, 8, 10). Isto é um rol? Sim! Então, esta conta que foi feita para o cálculo da média das notas foi, rigorosamente, omesmo cálculo que se faz para se descobrir a Média Aritmética de um conjunto apresentadona forma de um rol. Ou seja: somam-se as notas, e divide-se este resultado pelo número de provas. Falando-se de um modo genérico: somam-se os elementos do conjunto, e divide-seesse resultado pelo número de elementos do conjunto! Colocando-se essa definição em uma fórmula, usando-se da linguagem estatística,teremos que: X= ∑ Xi n Onde: X é a Média Aritmética; Σ é o sinal de somatório. O que vier após este símbolo deverá ser somado! Xi é cada elemento do conjunto; n é o número de elementos do conjunto. Só isso! Nada mais fácil que se calcular a Média de um rol. Pena que o Rol seja tão raro em provas...!# A TRANSIÇÃO: Esta palavra – Transição – está em destaque, porque nos acompanhará longamentedurante nosso Curso! Aprenderemos, meus queridos, que há uma maneira facílima de migrarmos de umafórmula de Rol para a fórmula de Dados Tabulados. Da mesma forma, há como migrarmosda fórmula dos Dados Tabulados para a fórmula da Distribuição de Freqüências! E essa maneira de fazer a migração de uma fórmula para outra é justamente a tal daTransição que vamos aprender agora! Vamos lá! www.pontodosconcursos.com.br 7
  8. 8. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 1º) Como passar da fórmula do Rol para a dos Dados Tabulados? Manda a primeira transição que façamos o seguinte: Repete-se a fórmula do rol; e Acrescenta-se no numerador da fórmula, sempre junto ao sinal de somatório (Σ),a freqüência absoluta simples fi. Só isso! Assim, se eu já aprendi que a fórmula usada para se calcular a Média Aritmética de umconjunto apresentado na forma de um rol é: X= ∑ Xi ... n ... então, querendo agora construir a fórmula da Média Aritmética para um conjuntoapresentado na forma de Dados Tabulados, eu só precisarei seguir o que manda a transição!E teremos: Para Dados Tabulados: X = ∑ ......Xi fi n Viram? Bastou repetir a fórmula do Rol (já conhecida!) e acrescentar o fi nonumerador, junto ao sinal de somatório! Usamos a primeira Transição! E agora, caso queiramos construir a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuiçãode Freqüências, como devemos proceder? Aí surge a segunda transição. Vejamos. 2º) Como passar da fórmula dos Dados Tabulados para a da Distribuição deFreqüências? Manda a segunda transição que façamos o seguinte: Repete-se a fórmula dos Dados Tabulados; e Troca-se o Xi (elemento individualizado do conjunto) por PM (Ponto Médio) daclasse! E é só isso! Mas qual seria o motivo de essa transição se fazer desta forma? Ora, por uma razãomuito simples. Basta comparar as duas primeiras formas de apresentação (Rol e DadosTabulados) com a Distribuição de Freqüências, e veremos que naquelas estamos sempretrabalhando com Xi (elementos individualizados do conjunto). Mas na Distribuição deFreqüências, nós deixamos de trabalhar com elementos individualizados, uma vez que agoranossa variável passará a ser agrupada em classes! Daí, na Distribuição, não há mais que se falar em elemento individualizado Xi. Terá eleque ser substituído por aquele elemento que melhor representa cada classe. E esse elemento éjustamente o Ponto Médio! Assim, conhecendo a fórmula da Média Aritmética para Dados Tabulados, e aplicando oque nos manda a segunda transição, teremos que a Média para uma Distribuição deFreqüências será dada por: X= ∑ fi. PM n www.pontodosconcursos.com.br 8
  9. 9. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO A boa notícia, meus amigos, é que essa mesmíssima transição, que acabamos deaprender, não se aplica somente a fórmulas de Média Aritmética. Não! Vai muito além disso!Vamos usá-la para a memorização de várias outras medidas estatísticas, a exemplo do DesvioAbsoluto, do Desvio Padrão, da Variância, entre outras. Primeiro, vejamos se ficou mesmo bem memorizada a nossa Transição! Teremos: Resumo da Transição: 1º) Você memoriza a fórmula do Rol; 2º) Repete a fórmula do Rol e acrescenta fi no numerador, sempre junto ao sinal desomatório, e aqui chegamos à fórmula dos Dados Tabulados; 3º) Repete a fórmula dos Dados Tabulados e troca-se Xi por PM (Ponto Médio), eaqui chegamos à fórmula da Distribuição de Freqüências! No final das contas, como eu costumo dizer em sala de aula, você paga um e leva três!Não é verdade? Claro! Imagine a mesma coisa ocorrendo para várias outras medidasestatísticas! Já pensou, quanta economia de decoreba? Basta lembrar da transição. Ainda nem é assunto de hoje, mas só para provar que a transição é boa mesmo, vejaabaixo a fórmula de uma medida de dispersão que será estudada numa aula futura: aVariância. Veja a fórmula da Variância para um Rol: ∑ (Xi − X ) 2 2 S = n Sabendo disso, você já é capaz de me dizer quais serão as fórmulas da Variância paraDados Tabulados e para Distribuição de Freqüências? Claro que sim! Seguem a mesma regra da Transição que já conhecemos! Assim,teremos: ∑ .....(Xi − X ) 2 2 fi Para Dados Tabulados: S = n ∑ fi.(...... − X ) 2 2 PM Para Distribuição de Freqüências: S = n Viram que foi só seguir a Transição? Maravilha, não é? É sim! Voltemos ao estudo da Média. Agora, já sabemos quais são as fórmulas da Média paraum Rol, para Dados Tabulados e para Distribuição de Freqüências. Considerando que emaproximadamente 99% dos casos o conjunto vem, na prova, expresso na forma de umaDistribuição de Freqüências, convém que nos dediquemos mais a esta forma de apresentação! Passemos a alguns exemplos:Exemplo 1) A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de crianças. Obtenha o pesomédio desse conjunto. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes fi (em Kg) 0 --- 10 2 10 --- 20 3 www.pontodosconcursos.com.br 9
  10. 10. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 20 --- 30 8 30 --- 40 6 40 --- 50 1 Antes de mais nada, viram a frase em destaque no enunciado? Foi pergunta de algumaspessoas no Fórum de aulas passadas. Vamos entendê-la. Quais são os extremos das classes?São os limites (inferior e superior). Se o enunciado diz que não existem observaçõescoincidentes com os extremos das classes, é porque não há nenhum elemento do conjuntocujo valor coincida exatamente com algum dos limites (inferiores ou superiores) de nenhumadas classes. No caso em tela, como tratamos de pesos de crianças, diremos que nenhuma dessascrianças tem peso coincidente com os limites das classes. Ou seja, nenhuma delas pesa 0, 10,20, 30, 40, nem 50 quilos. Em termos práticos, o que isso importará para nós? Importará que, sabendo disso, atabela pode trazer o símbolo que quiser para definir os intervalos de classe, e nós poderemossimplesmente considerá-lo como aquela simbologia clássica, de intervalo fechado à esquerda eaberto à direita, que não haverá problema algum! Só isso! Voltemos ao exemplo. A questão pede o peso médio, o que traduziremos como a médiados pesos! Se o conjunto representasse salários, a questão pediria o salário médio. Se o conjuntorepresentasse alturas, a questão pediria a altura média. Se o conjunto representasse idades, aquestão pediria a idade média. (E não é prova de História, hein!). E assim por diante! (Quem já foi meu aluno presencial deve, a esta hora, estar balançando a cabeça edizendo: puxa, até as mesmas piadas bestas que ele diz em sala...) Vamos repetir o conjunto, para podermos trabalhar com ele: Classes fi 0 --- 10 2 10 --- 20 3 20 --- 30 8 30 --- 40 6 40 --- 50 1 Se eu quero a média aritmética de uma Distribuição de Freqüências, começareicolocando a fórmula no papel. E será sempre assim! A fórmula é quem guiará os nossospassos de resolução! Teremos: X= ∑ fi.PM n Olhando para o numerador da fórmula, perguntaremos: já conhecemos a coluna do fi?Sim, já é nossa conhecida! E se não fosse? E se a coluna de freqüência fornecida na tabelafosse alguma daquelas outras cinco (fac, fad, Fi, Fac ou Fad)? Então, teríamos que fazer todoaquele trabalho preliminar, que aprendemos na primeira aula, a fim de construirmos a colunada fi (freqüência absoluta simples). Neste nosso exemplo, isso não se fez necessário! Próxima pergunta, ainda olhando para o numerador: já conhecemos a coluna dosPontos Médios (PM)? Ainda não! Assim, será nosso primeiro trabalho: construir a coluna dosPontos Médios! Já sabemos fazer isso! Teremos: Classes fi PM 0 --- 10 2 5 www.pontodosconcursos.com.br 10
  11. 11. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 10 --- 20 3 15 20 --- 30 8 25 30 --- 40 6 35 40 --- 50 1 45 Reparem que todas as classes têm a mesma amplitude, não é isso? Quanto? h=10.Assim, se vocês estiverem bem lembrados, basta calcular o valor do primeiro ponto médio, eos próximos serão obtidos apenas somando com a amplitude (h). Viram? Isso já foi falado! Ainda tratando do numerador da fórmula, perguntaremos agora: já conhecemos acoluna do produto fi.PM? Ainda não! Conhecemos essas colunas separadamente, mas não oseu produto! Daí, está definido o nosso próximo passo: construir a coluna do fi.PM. Teremos: Classes fi PM fi.PM 0 --- 10 2 5 10 10 --- 20 3 15 45 20 --- 30 8 25 200 30 --- 40 6 35 210 40 --- 50 1 45 45 O que nos pede mesmo o numerador da fórmula? Pede o somatório (a soma) doselementos desta coluna que acabamos de construir. E o denominador, o que nos pede? Pede-nos o valor de n (número de elementos doconjunto). Ora, sabemos que n é obtido somando-se a coluna da freqüência absoluta simples(fi). Fazendo esses dois somatórios, teremos: Classes fi PM fi.PM 0 --- 10 2 5 10 10 --- 20 3 15 45 20 --- 30 8 25 200 30 --- 40 6 35 210 40 --- 50 1 45 45 n=20 510 Finalmente, aplicando a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuição deFreqüências, teremos: X= ∑ fi.PM X= 510 X =25,5 Resposta! n 20 Fácil, não? Pode ficar mais fácil ainda! Antes de eu lhes apresentar um métodoalternativo para cálculo da média de uma distribuição de freqüências, convém que lhes faleacerca de algumas propriedades da Média.# Algumas Propriedades da Média Aritmética: Considere o seguinte conjunto original (um rol): {1, 2, 3, 4, 5} Qual é a média deste conjunto? Teremos: (1+2+3+4+5)/5=15/5 X =3 E se agora tomarmos cada elemento (Xi) daquele conjunto original, e resolvermosadicionar cada um deles à constante 10, por exemplo. O que teremos? Ora, teremos um novoconjunto: {11, 12, 13, 14, 15}. Concordam? www.pontodosconcursos.com.br 11
  12. 12. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Assim, já não mais estamos diante daquela variável original, e sim de uma variáveltransformada! Transformada por meio de quê? De uma operação de soma! E qual é a Média desse novo conjunto (dessa nova variável)? Façamos as contas:(11+12+13+14+15)/5=65/5 X =13. Ora, nem precisaríamos ter feito essa conta! Pois existe uma propriedade que diz:somando-se todos os elementos do conjunto com uma constante, a Média do novo conjuntoserá igual à Média do conjunto original também somada com aquela mesma constante! Foi verdade isso? Sim. A Média do conjunto original era X =3. Nós somamos cadaelemento do conjunto original com constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a médiaanterior (3) somada também à constante 10. Ou seja, a nova Média será 13. E se serve para soma, serve também para subtração! Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original será multiplicado pelaconstante 10. Ok? O que ocorrerá àquele conjunto? Será transformado em outro. Passaremosa ter: {10, 20, 30, 40, 50}. Não se trata mais da variável original e sim de uma variável transformada!Transformada por quem? Por uma operação de multiplicação! Calculando a média do novoconjunto, teremos: (10+20+30+40+50)/5=150/5 X =30. E nem precisaríamos ter feito este cálculo, pois existe uma propriedade da Média quediz: multiplicando-se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova Médiaserá igual à média anterior também multiplicada pela mesma constante! Senão, vejamos: a média do conjunto original era X =3. Nós multiplicamos cadaelemento do conjunto original pela constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a médiaanterior (3) multiplicada também pela constante 10. Ou seja, a nova Média será 30. E se serve para produto, serve também para divisão! Para melhorar a nossa vida e a nossa memorização, resumiremos essas propriedadestodas em uma única (e pequena) frase: A MÉDIA É INFLUENCIADA PELAS QUATRO OPERAÇÕES! Ok? É essa a frase que deve ficar guardada em nossa memória! Agora, sim, posso passar a explicar o método da Variável Transformada! Retomemos o nosso exemplo já trabalhado:Exemplo 1 – Solução Alternativa) A tabela abaixo representa os pesos de um grupo decrianças. Obtenha o peso médio desse conjunto. Não existem observações coincidentes com osextremos das classes. Classes fi (em Kg) 0 --- 10 2 10 --- 20 3 20 --- 30 8 30 --- 40 6 40 --- 50 1 Uma consideração inicial: este método alternativo para cálculo da Média Aritmética deuma Distribuição de Freqüências, chamado Método da Variável Transformada, só será aplicado,da forma como aprenderemos aqui, se todas as classes da Distribuição tiverem a mesmaamplitude! Assim, essa será a nossa preocupação inicial: verificar se todas as classes tem a mesmaamplitude. Se for o caso, prosseguiremos com o método alternativo. Senão, resolveremos a www.pontodosconcursos.com.br 12
  13. 13. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHOquestão da forma convencional, aplicando a fórmula da Média para uma distribuição defreqüências, como foi feito na primeira solução deste exemplo. No nosso caso, temos que todas as classes possuem a mesma amplitude (h=10).Assim, poderemos (e deveremos!) utilizar o Método da Variável Transformada. Façamos umpasso a passo.1º) Construiremos a coluna dos Pontos Médios! (A rigor, basta conhecermos o valor doprimeiro ponto médio). Teremos: Classes fi PM 0 --- 10 2 5 10 --- 20 3 . 20 --- 30 8 . 30 --- 40 6 . 40 --- 50 1 .2º) Construiremos uma coluna de transformação da variável. Convém que sigamos a seguintesugestão para construir esta coluna: (PM − 1 PM ) . 0 h Ou seja: Ponto Médio menos o primeiro Ponto Médio, e tudo isso dividido pelaamplitude da classe. Construindo essa coluna, teremos: Classes fi PM (PM − ....) =Yi 5 10 0 --- 10 2 5 10 --- 20 3 . 20 --- 30 8 . 30 --- 40 6 . 40 --- 50 1 . Se vocês seguirem esta minha sugestão para construir a coluna de transformação davariável [(PM-1ºPM)/amplitude da classe], então não será preciso perder um segundosequer para calcular os valores dessa coluna. Basta começar por zero e seguir adiante (0, 1, 2,3 etc), até onde houver classe! Teremos: Classes fi PM (PM − ....) =Yi 5 10 0 --- 10 2 5 0 10 --- 20 3 . 1 20 --- 30 8 . 2 30 --- 40 6 . 3 40 --- 50 1 . 4 Vai ser sempre assim, professor? Vai! Desde que, repito, você aceite aquela minhasugestão! Uma observação: vocês viram que eu chamei o resultado dessa coluna detransformação da variável de Yi. Viram? O que vem a ser este Yi? Ora, ele surgiu de onde? Elesurgiu de uma transformação que nós fizemos, partindo dos valores dos Pontos Médios davariável original. Assim, poderemos chamar esse Yi de Ponto Médio Transformado. Ok? Percebam que, assim como o PM representava a variável original (Xi), o Ponto MédioTransformado (Yi) representará a variável original (que podemos chamar pelo mesmo nome:Yi). Ok? Adiante! www.pontodosconcursos.com.br 13
  14. 14. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Como próximo passo, construiremos a coluna do fi.Yi, e faremos imediatamente o seusomatório. Teremos: Classes fi PM (PM − 5) =Yi fi.Yi 10 0 --- 10 2 5 0 0 10 --- 20 3 . 1 3 20 --- 30 8 . 2 16 30 --- 40 6 . 3 18 40 --- 50 1 . 4 4 Ora, se quiséssemos aplicar a fórmula da Média Aritmética para calcular o valor de X,faríamos: X = ∑ fi.PM . n E se quisermos aplicar esta fórmula para calcularmos a Média da variável transformadaYi? Como ficaria esta fórmula? Trocaríamos PM (Ponto Médio da variável original Xi) por Yi(Ponto Médio da variável transformada Yi). Teríamos: Y= ∑ fi.Yi n Portanto, é esse o nosso próximo passo: calcular a média da variável transformada Y. Reparem que o numerador desta fórmula é o somatório da coluna que acabamos deconstruir. E que o denominador é n (número de elementos do conjunto), que será descobertosomando-se a coluna da fi (freqüência absoluta simples). Teremos: Classes fi PM (PM − 5) =Yi fi.Yi 10 0 --- 10 2 5 0 0 10 --- 20 3 . 1 3 20 --- 30 8 . 2 16 30 --- 40 6 . 3 18 40 --- 50 1 . 4 4 n=20 41 41 Daí: Y = Y = 2,05 20 Pergunta: será que esse valor (2,05) é a resposta da nossa questão? Claro que não! 2,05 é o valor da média da variável transformada! E não é isso que aquestão pergunta! Estamos à procura da média da variável original ( X ). Assim, como próximo passo, faremos o desenho de transformação da variável. O que éisso? É um desenho que retrata a coluna de transformação da variável. Começamos assim: deum lado, temos a variável original Xi, e de outro, a variável transformada Yi. Xi Yi www.pontodosconcursos.com.br 14
  15. 15. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Percebam que esse desenho deverá ser um retrato fiel da coluna de transformação davariável. Nesta coluna, a variável original Xi está representada por PM, que é o Ponto Médiooriginal. E o que foi feito a esse Ponto Médio original? Foram feitas duas operaçõesmatemáticas: primeiro subtraímos todos eles por 5; e depois, dividimos tudo por 10. Estãovendo isso, lá na coluna de transformação da variável? Pois bem! Essas são, neste nossoexemplo, as duas operações que transformaram a variável Xi na variável Yi. Teremos: 1º)-5 2º)÷10 Xi Yi Compreendido como se desenhou este caminho de ida da transformação? Apenasrepetindo as operações que constavam lá na coluna de transformação da variável. Mas, e se agora quisermos desenhar o caminho de volta? Como se faria o retorno davariável transformada para a variável original? Basta invertermos as operações docaminho de ida. Assim, a operação inversa da subtração é a soma; e a operação inversa dadivisão é a multiplicação. Teremos: 1º)-5 2º)÷10 Xi Yi 2º)+5 1º)x10 Verifiquem que inverteu-se também a seqüência das operações: onde terminou lá emcima, começou aqui em baixo. Viram isso? Eu lhes digo que esse desenho não nos deixará errar a questão! E ele será empregado,além de no cálculo da Média, para trabalharmos várias outras medidas estatísticas, comoDesvio Padrão, Variância e Coeficiente de Variação. Por isso eu insisto em ensiná-lo! Foi difícil fazer o desenho de transformação da variável? Claro que não! O que nos resta saber é que, partindo de um lado do desenho com um valor de Média,chegaremos ao lado oposto também com uma Média. A título de adiantamento: se partirmos de um lado deste desenho com um valor deDesvio Padrão, chegaremos ao lado oposto também com Desvio Padrão; se partirmos de umlado deste desenho com Variância, chegaremos ao lado oposto também com Variância! Pois bem! Qual foi a Média que já calculamos nesta resolução? Foi a Média da variáveltransformada: Y . E a variável transformada está no lado direito do desenho. Assim, temos: 1º)-5 2º)÷10 Xi Yi Y = 2,05 2º)+5 1º)x10 Partindo desse lado direito com Média, chegaremos ao lado esquerdo com Média. Paratanto, precisaremos percorrer o caminho de volta (em vermelho), passando pelas operaçõesdesse caminho, e lembrando-nos das propriedades da Média. www.pontodosconcursos.com.br 15
  16. 16. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Numa frase: a Média é influenciada pelas quatro operações! Ou seja, qualquer operação que surgir neste caminho de volta (seja de soma,subtração, produto ou divisão) nós teremos que realizar. Assim, teremos: 2,05 x 10 = 20,5 E depois: 20,5 +5 = 25,5 Chegamos a: 1º)-5 2º)÷10 X =25,5 Xi Yi Y = 2,05 2º)+5 1º)x10 Chegamos à nossa resposta: X =25,5. Exatamente a mesma resposta a qual havíamos chegado na primeira solução! Amigos, eu nem preciso de bola de cristal para adivinhar o que está se passando pelacabeça de muitos de vocês: esse professor está é louco, se acha que eu vou aprender esse talde método da variável transformada! Eu vou é só aplicar a formulazinha convencional daMédia, e pronto! Acertei? Se você pensou assim, eu tenho uma má notícia a lhe dar: você não temescolha! O uso do método da variável transformada se tornou, por assim dizer, praticamenteuma obrigação! Mas por quê? Porque é o caminho do atalho! Aplicando este método, você,em sua prova, chegará à resposta da questão na metade do tempo do seu concorrente quepreferir usar o método convencional. Mas, professor, eu não achei o método convencional demorado! Claro que não! Masvocê viu os valores que eu usei para serem os limites das classes? Você viu os valores que euusei para serem as freqüências absolutas simples? Todos valores baixos e redondos! Na sua prova não vai vir assim! Na sua prova, será mais ou menos desse jeito: Classes fi 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 E aí? Vai encarar? Quer tentar o método convencional, aplicando a fórmula do X? Vamos tentar! 1º) Construir a coluna dos Pontos Médios; 2º) Construir a coluna do fi.PM. 3º) Aplicar a fórmula: X= ∑ fi.PM n www.pontodosconcursos.com.br 16
  17. 17. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Seguindo esses três passos, teremos o seguinte: Classes fi PM fi.PM 29,5-39,5 4 34,5 138 39,5-49,5 8 44,5 356 49,5-59,5 14 54,5 763 59,5-69,5 20 64,5 1290 69,5-79,5 26 74,5 1937 79,5-89,5 18 84,5 1521 89,5-99,5 10 94,5 945 n=100 6.950 E aí, colega? O que você achou dessas continhas? 6950 Daí: X= = 69,5 Resposta! 100 Ocorre que, quando você ainda estivesse na metade da resolução, eu aqui já teria feitoo seguinte: 1º) Descoberto o valor do primeiro ponto médio: Classes fi PM 29,5-39,5 4 34,5 39,5-49,5 8 . 49,5-59,5 14 . 59,5-69,5 20 . 69,5-79,5 26 . 79,5-89,5 18 . 89,5-99,5 10 . n=100 2º) Construído a coluna de transformação da variável: Classes fi PM (PM − 34,5) = Yi 10 29,5-39,5 4 34,5 0 39,5-49,5 8 . 1 49,5-59,5 14 . 2 59,5-69,5 20 . 3 69,5-79,5 26 . 4 79,5-89,5 18 . 5 89,5-99,5 10 . 6 n=100 3º) Construído a coluna fi.Yi: Classes fi PM (PM − 34,5) = Yi fi.Yi 10 29,5-39,5 4 34,5 0 0 39,5-49,5 8 . 1 8 www.pontodosconcursos.com.br 17
  18. 18. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 49,5-59,5 14 . 2 28 59,5-69,5 20 . 3 60 69,5-79,5 26 . 4 104 79,5-89,5 18 . 5 90 89,5-99,5 10 . 6 60 n=100 350 4º) Calculado a Média da Variável Transformada: Y 350 Y= = 3,5 100 5º) Desenhado como se deu a transformação da variável: 1º)-34,5 2º)÷10 Xi Yi 2º)+34,5 1º)x10 6º) Percorrido o caminho de volta, partindo do valor já calculado do Y , e chegado àresposta: 3,5 x 10 = 35 e 35 + 34,5 = 69,5 Resposta! Acreditem: seu concorrente ainda estará na metade daquelas contas escabrosas! E tanto mais rápido será a sua resolução pelo método da variável transformada, quantomais você treiná-lo em sua casa! Tenha a certeza de que, a cada vez que você repetir o uso deste método alternativo,sua resolução se tornará mais e mais acelerada! Chegará ao ponto de você ficar realmentesurpreso com sua própria velocidade! (Essa tabela acima foi extraída do AFRF 2002-2). Ok? Penso que por hoje já está de bom tamanho! Vou deixar um Dever de Casa bem caprichado para vocês, e na próxima aulatrabalharemos os conceitos de Moda e de Mediana. Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! Na seqüência, as questões do nosso... ... Dever de Casa10. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio-padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O salário médio passou a ser de: a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00 b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00 c) $ 95.000,00(TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir: www.pontodosconcursos.com.br 18
  19. 19. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Xi fi 2 |— 4 9 4 |— 6 12 6 |— 8 6 8 |— 10 2 10|— 12 111. A média da distribuição é igual a: a) 5,27 b) 5,24 c) 5,21 d) 5,19 e) 5,30(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 Classes de Freqüência Pontos Xi − 37 fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4 Idades s Médios = di (anos) (fi) (Xi) 5 19,5 |— 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162 24,5 |— 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144 29,5 |— 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23 34,5 |— 39,5 29 37 — — — — — 39,5 |— 44,5 18 42 1 18 18 18 18 44,5 |— 49,5 12 47 2 24 48 96 192 49,5 |— 54,5 7 52 3 21 63 189 567 Total 16 206 154 110612. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e)39,0 anosPara efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresacontinua o mesmo em 1º/1/96.13. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 37,4 anos d) 43,8 anos b) 39,0 anos e) 44,6 anos c) 43,4 anos(AFRF-2000) Para efeito da próxima questão faça uso da tabela de freqüênciasabaixo. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 6814. Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 d) 10,00 b) 15,00 e) 12,50 c) 13,50 www.pontodosconcursos.com.br 19
  20. 20. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue.Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foramexaminados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esseexercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representaintervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüênciarelativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos dasclasses. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 10015. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. a) 140,10 d) 140,00 b) 115,50 e) 138,00 c) 120,00(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duaspróximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações deY coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 – 39,5 2 39,5 – 49,5 6 49,5 – 59,5 13 59,5 – 69,5 23 69,5 – 79,5 36 79,5 – 89,5 45 89,5 – 99,5 5016. Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X. a) 70,0 d) 74,4 b) 69,5 e) 60,0 c) 68,0(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução da próximaquestão utilize o enunciado que segue.A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo saláriomensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classessalariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se aopercentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existemobservações coincidentes com os extremos das classes. www.pontodosconcursos.com.br 20
  21. 21. CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 10017. Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a partir de dados agrupados. a) 11,68 d) 16,00 b) 13,00 e) 14,00 c) 17,21A próxima questão diz respeito à distribuição de freqüências seguinte associadaao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes com osextremos das classes. Classe Freqüências s Simples 0-10 120 10-20 90 20-30 70 30-40 40 40-50 2018. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá, aproximadamente, a média amostral de Xa) 25,00 b) 17,48 c) 18,00 d) 17,65 e) 19,00 Bons estudos! www.pontodosconcursos.com.br 21

×