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Estatistica regular 7

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  1. 1. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 07 – MEDIDAS DE DISPERSÃO – PARTE 1 Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Antes de começar, preciso dizer-lhes que houve um problema de comunicação entre mime o pessoal do Site, que põe a aula no ar. Um equívoco que partiu de mim, na realidade. Euescrevi esta aula 7 de Estatística oportunamente, na semana passada. Mas ao enviar para oSite, acabei anexando a aula 7 do outro Curso que estou escrevendo, o de MatemáticaFinanceira... Enfim, peço desculpas pela ausência desta aula 7 na semana passada. O fato é que o mundo ideal é platônico... Mas, vamos em frente! O importante é queestudemos e aprendemos o assunto! Vou me esforçar mais para que esse fato não se repita!Ok? Pois bem! Vamos dar início à nossa aula de hoje, resolvendo as questões pendentes do último... ... Dever de Casa(AFRF-2000) Para efeito das duas próximas questões faça uso da tabela defreqüências abaixo. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 6801. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências.a) 12,5 b) 9,6 c) 9,0 d) 12 e) 12,1Sol.: A questão está pedindo o salário mediano, ou seja, a Mediana do conjunto! Seguindo os passos nossos já conhecidos, teremos: (n/2)=68/2=34. Daí: Classes fac 3–6 12 Esta fac é ≥ 34? Não! Adiante! 6–9 30 Esta fac é ≥ 34? Não! Adiante! 9 – 12 50 Esta fac é ≥ 34? Sim! 12 – 15 60 15 – 18 65 18 – 21 68 Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 3
  2. 2. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 3 XLimites da Classe: 9 Md 12fac associadas: 30 34 50 4 20 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 3 x 20 4 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(3x4)/20 X=0,6 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=9+0,6 Md=9,6 Resposta!(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue.Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foramexaminados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esseexercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representaintervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativaacumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 10002. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil (= Mediana) da distribuição de X. a) 138,00 d) 139,01 b) 140,00 e) 140,66 www.pontodosconcursos.com.br 4
  3. 3. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO c) 136,67Sol.: Mais uma questão de Mediana! O enunciado falou em quinto decil. Por hora, basta quevocê saiba que quinto decil é sinônimo de Mediana. Ok? Vamos lá! Fazendo o trabalho preliminarpara preparar esta tabela, teremos: Classes Fac Fi fi fac 70-90 5% 5% 10 10 Esta fac é ≥ 100? Não! Adiante! 90-110 15% 10% 20 30 Esta fac é ≥ 100? Não! Adiante! 110-130 40% 25% 50 80 Esta fac é ≥ 100? Não! Adiante! 130-150 70% 30% 60 140 Esta fac é ≥ 100? Sim! 150-170 85% 15% 30 170 170-190 95% 10% 20 190 190-210 100% 5% 10 200 Total 100% n=200 Teremos: 20 XLimites da Classe: 130 Md 150fac associadas: 80 100 140 20 60 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 20 x 60 20 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(20x20)/60 X=6,67 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=130+6,67 Md=136,67 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 5
  4. 4. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO(AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado quesegue.O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüênciasseguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 1003. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 d) 68,08 b) 65,02 e) 70,02 c) 75,03Sol.: Vocês certamente já perceberam que a Mediana é muitíssimo requerida em provas deEstatística Básica! Aí estamos com mais uma dessas questões! Teremos: Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! 39,5-49,5 8 12 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! 49,5-59,5 14 26 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! 59,5-69,5 20 46 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! 69,5-79,5 26 72 Esta fac é ≥ 50? Sim! 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100 n=100 Daí: 10 XLimites da Classe: 69,5 Md 79,5fac associadas: 46 50 72 4 26 www.pontodosconcursos.com.br 6
  5. 5. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 26 4 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(10x4)/26 X=1,54 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=69,5+1,54 Md=71,04 Resposta!04. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,70 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10Sol.: Cálculo da Moda é sempre mais rápido! Teremos: Classes fi 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 Classe Modal (>fi) 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 n=100 Aplicando a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: ⎡ ∆a ⎤ ⎡ 6 ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 69,5 + ⎢ .10 Mo=73,78 Resposta! ⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣6 + 8⎥ ⎦(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duaspróximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a umaamostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00,do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Ycoincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 - 39,5 2 39,5 - 49,5 6 49,5 - 59,5 13 59,5 - 69,5 23 69,5 - 79,5 36 79,5 - 89,5 45 89,5 - 99,5 5005. Assinale a opção que corresponde ao salário modal anual estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X, no conceito de Czuber. a) 94,5 d) 69,7 b) 74,5 e) 73,8 c) 71,0Sol.: Mais uma questão de Moda! Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 7
  6. 6. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Classes fac fi 29,5-39,5 2 2 39,5-49,5 6 4 49,5-59,5 13 7 59,5-69,5 23 10 69,5-79,5 36 13 Classe Modal (>fi) 79,5-89,5 45 9 89,5-99,5 50 5 n=100 Aplicando a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: ⎡ ∆a ⎤ ⎡ 3 ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 69,5 + ⎢ .10 Mo=73,78 Resposta! ⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣3 + 4⎥ ⎦06. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências seguinte: Classe de mi fi Preços [ 5 – 9) 7 3 [ 9 – 13) 11 5 [13 – 17) 15 7 [17 – 21) 19 6 [21 – 25) 23 3 [25 – 29) 27 1Deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale aopção que melhor aproxima este valor.a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14,2Sol.: Outra questãozinha de Mediana! Teremos: Classes fi fac [ 5 – 9) 3 3 Esta fac é ≥ 12,5? Não! Adiante! [ 9 – 13) 5 8 Esta fac é ≥ 12,5? Não! Adiante! [13 – 17) 7 15 Esta fac é ≥ 12,5? Sim! [17 – 21) 6 21 [21 – 25) 3 24 [25 – 29) 1 25 n=25 Daí: www.pontodosconcursos.com.br 8
  7. 7. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 4 XLimites da Classe: 13 Md 17fac associadas: 8 12,5 15 4,5 7 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 4 x 7 4,5 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4,5x4)/7 X=2,57 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=13+2,57 Md=15,57 ≅ 16 Resposta!07. (Fiscal-Campinas-2002) Dada a distribuição de freqüência abaixo, indique o valor da Moda e Mediana, respectivamente Classes Fi 4|—6 12 6|—8 36 8|—10 18 10|—12 4 a) 7,14 7,28 d) 5,84 7,5 b) 6,54 5,78 e) 6,24 6,78 c) 7,24 6,38Sol.: Duas questões em uma: temos que calcular a Moda e a Mediana. Começando pela moda,teremos: Classes fi 4|—6 12 6|—8 36 Classe Modal (>fi) 8|—10 18 www.pontodosconcursos.com.br 9
  8. 8. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 10|—12 4 Aplicando a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: ⎡ ∆a ⎤ ⎡ 24 ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 6 + ⎢ .2 Mo=7,14 ⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣ 24 + 18 ⎥ ⎦ Atenção: Neste instante, você vai dar uma olhadela nas opções de resposta! Por quê? Eunem terminei ainda de resolver a questão! Ora, pode ser que somente este primeiro resultado jáseja suficiente para você chegar à resposta. É o caso? Sim! Só há uma opção em que a Moda é7,14. Assim: letra A Resposta!08. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. Classes de Salário Freqüências (5.000-6.500) 12 (6.500-8.000) 28 (8.000-9.500) 52 (9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500) 100Assinale a opção que corresponde ao salário mediano a) R$ 10.250, b)R$ 8.000, c) R$ 8.700, d)R$ 9.375, e) R$ 9.500,Sol.: Nova questão de Mediana! Teremos: Classes fac (5.000-6.500) 12 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! (6.500-8.000) 28 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante! (8.000-9.500) 52 Esta fac é ≥ 50? Sim! (9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500) 100 Daí: 1500 XLimites da Classe: 8000 Md 9500fac associadas: 28 50 52 22 www.pontodosconcursos.com.br 10
  9. 9. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 24 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 1500 x 24 22 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(1500x22)/24 X=1.375 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=8.000+1.375 Md=9.375 Resposta!(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução das três próximasquestões utilize o enunciado que segue.A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo saláriomensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classessalariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se aopercentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existemobservações coincidentes com os extremos das classes. Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 10009. Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber.a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16Sol.: Nova questão de Moda. Teremos: Classes Fac Fi fi 4–8 20% 20% 40 8 – 12 60% 40% 80 Classe Modal (>fi) 12 – 16 80% 20% 40 16 – 20 98% 18% 36 20 – 24 100% 2% 4 Total: 100% n=200 Aplicando a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: ⎡ ∆a ⎤ ⎡ 40 ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 8 + ⎢ .4 Mo=10,0 Resposta! ⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣ 40 + 40 ⎥ ⎦10. Assinale a opção que corresponde ao salário mediano calculado a partir de dados agrupados por interpolação da ogiva.a) 12 d) 10 www.pontodosconcursos.com.br 11
  10. 10. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHOb) 9 e) 11c) 8Sol.: Nova questão de Mediana! Teremos: Classes Fac Fi fi fac 4–8 20% 20% 40 40 Esta fac é ≥ 100? Não! Adiante! 8 – 12 60% 40% 80 120 Esta fac é ≥ 100? Sim! 12 – 16 80% 20% 40 160 16 – 20 98% 18% 36 196 20 – 24 100% 2% 4 200 Total: 100% N=200 Daí: 4 XLimites da Classe: 8 Md 12fac associadas: 40 100 120 60 80 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 4 x 80 60 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x60)/80 X=3 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=8+3 Md=11 Resposta!As duas próximas questões dizem respeito à distribuição de freqüências seguinteassociada ao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes comos extremos das classes. Classes Freqüências Simples 0-10 120 10-20 90 www.pontodosconcursos.com.br 12
  11. 11. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 20-30 70 30-40 40 40-50 2011. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá a moda no conceito de Czuber.a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 15Sol.: Nova questão de Moda. Teremos: Classes fi 0-10 120 Classe Modal (>fi) 10-20 90 20-30 70 30-40 40 40-50 20 Esta tabela traz uma situação curiosa e muito rara: a classe modal é a primeira classe daDistribuição! Assim, na hora de calcularmos o ∆a, não vai haver uma fi anterior, perceberam? Eo que se faz neste caso? Nada! É como se a fi anterior fosse zero! Aplicando a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: ⎡ ∆a ⎤ ⎡ 120 ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 0 + ⎢ .10 Mo=8,0 Resposta! ⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣120 + 30 ⎥ ⎦12. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá o valor aproximado da mediana amostral das observações de . Xa) 20,0 b) 5,0 c) 12,0 d) 15,8 e) 15,6Sol.: Última questão de Mediana desta lista! Teremos: Classes fi fac 0-10 120 120 Esta fac é ≥ 170? Não! Adiante! 10-20 90 210 Esta fac é ≥ 170? Sim! 20-30 70 280 30-40 40 320 40-50 20 340 n=340 Daí: 10 XLimites da Classe: 10 Md 20fac associadas: 120 170 210 50 www.pontodosconcursos.com.br 13
  12. 12. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 90 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 90 50 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(10x50)/90 X=5,55 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=10+5,55 Md=15,55 ≅ 15,6 Resposta! Pois bem! Vamos agora dar início ao estudo das Medidas de Dispersão! Eu lhes chamo a atenção para dizer que é um dos temas prediletos das mesaselaboradoras! Não há prova de Estatística Básica que não cobre ao menos uma questão desteassunto! Ok? Então vamos lá! Medidas de Dispersão A primeira coisa a saber é que Medida de Dispersão é a mesma coisa que Medida deVariabilidade. Sinônimos! O que vem a ser dispersão? Ora, dispersão é o mesmo que afastamento. Assim, aoestudarmos a dispersão de um conjunto, estaremos investigando se os seus elementos estãoafastados ou próximos de um referencial. No mais das vezes, este referencial é a MédiaAritmética! Em outras palavras: as Medidas de Dispersão irão nos dizer o quão próximos,ou quãodistantes, estão os elementos do conjunto em relação à Média! Ok? Esta explicação se aplica a TODAS as Medidas de Dispersão! Então não me venham perguntar depois “mas, professor, o que é mesmo esse desviopadrão?” A resposta é essa, e vale, repito, para todas as medidas de dispersão: é uma medidaque serve para dizer se os elementos do conjunto estão próximos da média. Ou distantes! Hoje estudaremos o Desvio Absoluto Médio (DAM), o Desvio Padrão (S), a Variância(S2), e o Coeficiente de Variação (CV). Serão muitas informações, de sorte que vocês terão queler essa aula com muita calma e, de preferência, mais de uma vez! Vamos lá!# Desvio Absoluto Médio: DAM A primeira coisa a saber é que o Desvio Absoluto Médio pode também ser chamado de:Desvio Médio Absoluto, ou só Desvio Absoluto, ou só ainda Desvio Médio. São todos sinônimos! Esta medida é muito pouco cobrada em prova. Pouquíssimo mesmo. Nas últimas dezprovas da Receita Federal, só foi cobrada uma única vez. Além do que, sobre ela precisaremosconhecer, basicamente, as suas fórmulas. Não se exige nem o estudo de propriedades do DAM. Assim sendo, vamos conhecer logo as fórmulas do Desvio Absoluto. São as seguintes: www.pontodosconcursos.com.br 14
  13. 13. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO DAM para ROL: DAM = ∑ Xi − X n Olha como é fácil! Basta você lembrar que o Desvio Absoluto é a única fórmula destenosso Curso em que aparece o módulo. Para quem está mais esquecido, módulo são esses doistracinhos verticais que você está vendo na fórmula. E o efeito do módulo é transformar valoresnegativos em positivos. Só isso. Vamos entender melhor por meio do exemplo seguinte.Exemplo: Considere o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}. Calcule o Desvio Absoluto Médio.Sol.: Nossa resolução começa por quem? Pela fórmula! É sempre assim! A fórmula será sempreo ponto de partida da resolução! É por meio dela que definiremos nossos passos. Olhando para afórmula, saberemos aquilo que já dispomos, e aquilo que ainda não temos e precisamosencontrar. Ok? Assim, olhando para a fórmula, vemos que ela pede o conhecimento da Média ( X ). Nósjá calculamos a Média? Ainda não! Então, começaremos por ela. Para encontrá-la, somaremosos elementos do conjunto, e dividiremos esse resultado pelo número de elementos. Lembrados?Teremos: 15 X= = 3,0 5 Agora vejam que o numerador da fórmula pede que você construa o conjunto (Xi- X ).Fazendo isso, teremos: (Xi- X )=[(1-3), (2-3), (3-3), (4-3), (5-3)]=(-2, -1, 0, 1, 2) Mas percebam que a fórmula não quer simplesmente o conjunto (Xi- X ). Ela quer omódulo deste conjunto! Assim, aplicando o efeito do módulo, teremos: Xi − X = (2, 1, 0, 1, 2) Viram? Quem era negativo virou positivo! Finalmente, o numerador da fórmula pede que somemos os elementos deste últimoconjunto construído. Teremos: Σ Xi − X = Σ (2, 1, 0, 1, 2) = 2+1+0+1+2 = 6,0 E quanto ao denominador? Ora, ele consiste no n, número de elementos do conjunto.Neste caso, n=5. Assim, chegamos ao seguinte resultado: DAM=(6/5)=1,2 Resposta! Só isso! Agora tenho uma notícia boa para vocês! Estão lembrados de quando estudamos asfórmulas da Média Aritmética, e eu lhes falei a respeito de uma tal de transição? A transição, para os mais esquecidos, era uma maneira de você passar de uma fórmulade rol, para outra de dados tabulados; e desta última para uma fórmula de distribuição defreqüências! Era, portanto, uma maneira de ajudar a nossa memorização! A boa notícia é que a transição que aprendemos para as fórmulas da Média valemtambém aqui para quase todas as medidas de dispersão, a começar pelo Desvio Absoluto Médio! Recordando as duas regras da transição: www.pontodosconcursos.com.br 15
  14. 14. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 1ª) Fórmula do rol para a dos Dados Tabulados: repete-se a fórmula do rol, e acrescenta-se, sempre junto ao sinal de somatório, a fi, freqüência absoluta simples. 2ª) Fórmula dos Dados Tabulados para a da Distribuição de Freqüências: repete-se afórmula dos Dados Tabulados, e troca-se Xi (elemento individualizado) por PM (Ponto Médio). E é somente isso! Você memoriza a fórmula do rol, e aplica as duas transições. E sabe oque acontece? Você paga uma, e leva três! Um grande negócio! Sabendo disso, vou repetir a fórmula do rol e, aplicando a transição, as fórmulas do DAMpara conjuntos apresentados nas formas de Dados Tabulados e de Distribuição de Freqüênciasserão as seguintes: DAM para ROL: DAM = ∑ Xi − X n 1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: DAM para Dados Tabulados: DAM = ∑ fi. Xi − X n 2ª transição: trocando Xi por PM: DAM para Distribuição de Freqüências: DAM = ∑ fi. PM − X n A questão que eu disse que caiu numa das provas passadas de AFRF pedia o cálculo doDAM para uma Distribuição. O ruim foi que, nesta prova, ainda não havia sido exigido o cálculoda Média, de sorte que o primeiro trabalho era exatamente esse: descobrir o valor da média.Para isso, você tinha que usar o método da variável transformada. Somente depois dessetrabalho, você teria condições de continuar aplicando a fórmula do DAM. Foi uma questão trabalhosa. Mas não foi difícil. Que fique bem claro isso. Só acho quedevia ter valido dois pontos, em vez de um só. Enfim. (Essa questão vai ficar para o Dever deCasa!). Já sabemos tudo sobre o Desvio Absoluto Médio. Adiante!# Desvio Padrão: S É sinônimo de Dispersão Absoluta! (Guarde isso!). Essa é, de longe, a medida de dispersão mais presente em prova! E por uma razão bemsimples: além da memorização das fórmulas (que são muitas!), teremos sobretudo queconhecer com segurança as suas propriedades. Ok? Comecemos pelas fórmulas! Aqui novamente a transição vai nos socorrer! Você só terá o trabalho de memorizar afórmula do Desvio Padrão para um rol. O restante das fórmulas (para Dados Tabulados e paraDistribuição de Freqüências) você leva de graça! (Pague uma e leve três!). Teremos: ∑ (Xi − X ) 2 Desvio Padrão para Rol: S = n E agora você vai lembrar: a fórmula do Desvio Padrão é a fórmula da raiz! Ok? E se aplicarmos aquela nossa conhecida transição? Como ficarão as outras duasfórmulas? Vou repetir a do rol, para ajudar. Teremos: ∑ (Xi − X ) 2 Desvio Padrão para Rol: S = n www.pontodosconcursos.com.br 16
  15. 15. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: ∑ fi.(Xi − X ) 2 Desvio Padrão para Dados Tabulados: S = n 2ª transição: trocando Xi por PM: ∑ fi.(PM − X ) 2 Desvio Padrão para Distribuição de Freqüências: S = n Até agora, o que temos? Temos três fórmulas. Mas atenção: o Desvio Padrão é a primeiramedida deste Curso em que haverá diferença na fórmula, caso estejamos trabalhando com umconjunto que represente toda a população, ou apenas uma amostra! Entendido? Fazdiferença na fórmula do Desvio Padrão se o conjunto é a população ou se é uma amostra! Essas três fórmulas que vimos acima servem para o cálculo do Desvio PadrãoPopulacional. Nós as aplicaremos se o conjunto for uma população! E quando saberemos que oconjunto da questão é a população? Quando não for dito que é uma amostra! Ou seja, a regra é a seguinte: o conjunto da questão da prova só será uma amostra seisso for dito pelo enunciado! Caso contrário, não será amostra: será população! Ok? Mas, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra ou, por outra, pedir o cálculodo Desvio Padrão Amostral? O que faremos? Ora, saberemos que amostral se refere a amostra,de sorte que todas as três fórmulas vistas acima, que servem para o cálculo populacional, terãoque sofrer uma pequena modificação, para se adequar ao cálculo amostral. Essa pequenamodificação consiste em acrescentarmos um menos 1 no denominador. Assim, teremos: ∑ (Xi − X ) 2 Desvio Padrão Amostral para Rol: S = n −1 1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: ∑ fi.(Xi − X ) 2 Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: S = n −1 2ª transição: trocando Xi por PM: ∑ fi.(PM − X ) 2 Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüências: S = n −1 Mas, professor, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra, e eu esquecer decolocar o menos 1 no denominador da fórmula? Bem, neste caso, você errará a questão.Simplesmente isso! Ou seja, o menos um no denominador do desvio padrão amostral éimprescindível! Se esquecer, erra! Aliás, só a título de informação, esse menos um é chamado de fator de correção deBessel. Esse nome não é importante. Pode ser esquecido sem problemas. O que não podemosesquecer de colocá-lo na fórmula. www.pontodosconcursos.com.br 17
  16. 16. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Pois bem, ainda não acabou o estudo das fórmulas! Se você reparar bem as equações que já dispomos, verá que em todas elas existe umproduto notável no numerador. Repararam? É o que está no parêntese! Esse produto notávelpode ser desenvolvido, de sorte que podemos realizar um desenvolvimento algébrico com essasfórmulas básica, até chegarmos a novas fórmulas, que nada mais serão que as primeiras,apresentadas de outro jeito. Entendido? Obviamente que irei poupar a todos do tal desenvolvimento algébrico. (E nempense que na prova você teria tempo para fazê-lo!). O que nos interessa é o resultado. Qual é afórmula desenvolvida do Desvio Padrão para um rol? É a seguinte: ⎛1⎞⎡ Fórmula Desenvolvida do S para Rol: S = ⎜ ⎟.⎢∑ Xi − 2 (∑ Xi )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ E aí? O que acharam? Ninguém se assuste, por favor! Tenho certeza que se você repetiresta fórmula umas dez vezes, na décima vez já estará parecendo fácil. Uma pergunta: vocês acham que se tomarmos os elementos de um mesmo conjunto, eaplicarmos a eles as duas fórmulas do Desvio Padrão, a básica e a desenvolvida, chegaremos aomesmo resultado? O que você diz? Claro que sim! Trata-se, na verdade, de uma mesma fórmula, apenas apresentada deduas maneiras diferentes! O resultado será necessariamente o mesmo! Então você dirá: se é assim, eu vou ficar apenas com a básica, que é menorzinha...” E eurespondo: péssimo negócio! Haverá questões que serão imediatamente resolvidas na prova, sevocê se lembrar da equação desenvolvida! Já veremos isso. Antes, porém, precisamos conhecertambém as fórmulas desenvolvidas do desvio padrão para Dados Tabulados, e para Distribuiçãode Freqüências! E como faremos isso? Aplicando a transição! Teremos: ⎛1⎞⎡ Fórmula Desenvolvida do S para Rol: S = ⎜ ⎟.⎢∑ Xi − 2 (∑ Xi )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ 1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: Fórmula Desenvolvida do S para Dados Tabulados: ⎛1⎞⎡ S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − 2 (∑ fi. Xi )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ 2ª transição: trocando Xi por PM: Fórmula Desenvolvida do S para Distribuição de Freqüências: ⎛1⎞⎡ S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − 2 (∑ fi.PM )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ Quase lá! Só resta lembrar que, essas três fórmulas desenvolvidas do desvio padrão quevimos acima servem apenas no caso de o conjunto trabalhado representar toda a população!Mas se a questão disser que o conjunto é uma amostra, ou exigir o cálculo do desvio padrão www.pontodosconcursos.com.br 18
  17. 17. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHOamostral, então precisaremos modificar também as fórmulas desenvolvidas, acrescentandoaquele mesmo menos um no denominador. Teremos: Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral de um Rol: ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ Xi )2 ⎤ S= ⎜ ⎟.⎢∑ Xi − ⎥ 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ 1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dados Tabulados: ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi. Xi )2 ⎤ S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥ 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ 2ª transição: trocando Xi por PM: Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dist. de Freqüências: ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤ S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥ 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ E com isso, concluímos a primeira etapa do estudo do Desvio Padrão: a memorização dasfórmulas. A rigor, se você prestar bem atenção, são doze fórmulas. Mas você pagou apenasduas, e levou todas as outras para casa! Como foi isso? Bastou você memorizar a fórmulabásica para o rol, e a fórmula desenvolvida para o rol. Daí, aplicava-se a transição, e pronto! Emais: se a questão disser que o conjunto é amostra, você vai e põe um menos 1 nodenominador! Só isso! Para estas fórmulas ficarem bem memorizadas, vou repeti-las todas na seqüência. Teremos:# Fórmulas do Desvio Padrão: S Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Rol: ∑ (Xi − X ) 2 S= n Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados: www.pontodosconcursos.com.br 19
  18. 18. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO ∑ fi.(Xi − X ) 2 S= n Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de Freqüências: ∑ fi.(PM − X ) 2 S= n Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Rol: ∑ (Xi − X ) 2 S= n −1 Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: ∑ fi.(Xi − X ) 2 S= n −1 Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüências: ∑ fi.(PM − X ) 2 S= n −1 Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Rol: ⎛1⎞⎡ S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − 2 (∑ fi. Xi )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados: ⎛1⎞⎡ S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − 2 (∑ fi. Xi )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Distribuição deFreqüências: ⎛1⎞⎡ S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − 2 (∑ fi.PM )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Rol: ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi. Xi )2 ⎤ S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥ 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: www.pontodosconcursos.com.br 20
  19. 19. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi. Xi )2 ⎤ S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥ 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüências: ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤ S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥ 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ Reparem nestas últimas três fórmulas, que o fator de correção (o menos 1) só entra nodenominador que fica dentro do parêntese! Ok? Temos doze fórmulas no papel. E você só precisou memorizar duas delas! As demaissaíram por transição! Neste momento, vou aproveitar a ótima oportunidade, e dizer a todos que a próximamedida de dispersão que iremos estudar será a chamada Variância. Precisamos saber, precisamente agora, que a Variância é, conceitualmente, o quadradodo Desvio Padrão! Ou seja: Variância = (Desvio Padrão)2 Ou seja de novo: Variância = S2 Ora, sabendo disso, e sabendo também que todas as fórmulas do desvio padrão têm raizquadrada, se as elevarmos ao quadrado, o que ocorrerá com todas elas? Perderão o sinal daraiz. Só isso! Em suma: se eu conheço as fórmulas do Desvio Padrão, então também conheço asfórmulas da Variância: basta tirar o sinal da raiz! Assim, teremos:# Fórmulas da Variância: Fórmula Básica da Variância Populacional para Rol: S 2 =∑ (Xi − X )2 n Fórmula Básica da Variância Populacional para Dados Tabulados: ∑ fi.(Xi − X ) 2 S 2 = n Fórmula Básica da Variância Populacional para Distribuição de Freqüências: ∑ fi.(PM − X ) 2 S 2 = n Fórmula Básica da Variância Amostral para Rol: ∑ (Xi − X ) 2 S 2 = n −1 Fórmula Básica da Variância Amostral para Dados Tabulados: www.pontodosconcursos.com.br 21
  20. 20. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO ∑ fi.(Xi − X ) 2 S 2 = n −1 Fórmula Básica da Variância Amostral para Distribuição de Freqüências: ∑ fi.(PM − X ) 2 S 2 = n −1 Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Rol: ⎛1⎞⎡ S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − 2 2 (∑ fi.Xi )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Dados Tabulados: ⎛1⎞⎡ S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − 2 2 (∑ fi.Xi )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Distribuição de Freqüências: ⎛1⎞⎡ S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − 2 2 (∑ fi.PM )2 ⎤ ⎥ ⎝n⎠⎢⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Rol: ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.Xi )2 ⎤ S =⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥ 2 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Dados Tabulados: ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.Xi )2 ⎤ S =⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥ 2 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Distribuição de Freqüências: ⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤ S =⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥ 2 2 ⎝ n −1⎠ ⎢ ⎣ n ⎥ ⎦ Vejam que negócio da China nós fizemos: memorizamos duas fórmulas (as duas do rol),e levamos vinte e quatro para casa! Pague duas, e leve vinte e quatro! Excelente, não acham? Basta você lembrar de fazer a transição, e lembrar de pôr o menos 1 no denominador, seo conjunto for uma amostra! Pois bem! Ainda não acabamos o estudo do Desvio Padrão. Eu apenas abri um parêntese,para aproveitar as suas fórmulas que estavam no papel, para mostrar que bastava tirar o sinalda raiz, e já estaremos com as fórmulas da Variância. Passemos agora ao estudo das Propriedades do Desvio Padrão.# Propriedades do Desvio Padrão: www.pontodosconcursos.com.br 22
  21. 21. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração. Assim, se uma questão de prova nos der o seguinte rol: (101, 102, 103, 104, 105), epedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer? Ora, as contas seriam muito grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensarassim: já que soma e subtração não alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos oselementos desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem,por exemplo. E chegaremos a um novo conjunto, que é o seguinte: (1, 2, 3, 4, 5). São valores mais baixos? Sim, consideravelmente! E se encontrarmos para este novoconjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo DesvioPadrão daquele outro conjunto original! O mesmo! O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto ou divisão:multiplicaremos ou dividiremos pela própria constante. Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original(por exemplo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados poruma constante (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujonovo desvio padrão será o S do conjunto original também multiplicado por 5. Entendido isso? Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esseconhecimento. São questões que nos falam em variável transformada! Passemos a um exemplo.Exemplo: Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Se o desvio padrão da variáveltransformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X?Sol.: Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, deimediato, fazer o desenho de transformação. Esse desenho é simples, é rápido de ser feito, enão deixará você errar a questão de jeito nenhum! Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformaçãoé a seguinte: Y=(X-2)/3. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos: 1º)-2 2º)÷3 Xi Yi Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos avariável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!):subtraímos todo mundo por 2, e depois dividimos todo mundo por 3. E se agora resolvermos desenhar o caminho de volta, ou seja, as operações que nosfarão voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho deida. Só isso! Nada mais fácil. Teremos: 1º)-2 2º)÷3 Xi Yi www.pontodosconcursos.com.br 23
  22. 22. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 2º)+2 1º)x3 Observem todos que inverteu-se também a seqüências das operações: onde terminou láem cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto!Não dá mais para errar essa questão! O dado fornecido pelo enunciado foi que o Desvio Padrão da variável transformada é iguala 4. Quem é a variável transformada? É o Y. Assim, do lado do Y, teremos que: 1º)-2 2º)÷3 Xi Yi Sy=4,0 2º)+2 1º)x3 Mas o Sy não me interessa! Interessa-me o Sx. Assim, partindo do Desvio Padrão de umlado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações docaminho adequado (de cima ou de baixo), lembrando-me das propriedades do Desvio Padrão! Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminhode volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio padrãosó não é alterado por soma e subtração!). Teremos: 4 x 3 = 12 Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? Oque vocês me dizem? Não! E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração)não alteram o desvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que: Sx=12,00 Entendido? Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabemtodas numa única frase. Ninguém lembra? A Média é influenciada pelas quatro operações! Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável quevimos acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a Y =8,0, e pedirque calculemos a média da variável original ( X )? Vejamos: 1º)-2 2º)÷3 Xi Yi Y =8,0 2º)+2 1º)x3 Ora, simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo),lembrando-nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando. www.pontodosconcursos.com.br 24
  23. 23. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecerneste caminho de volta nós teremos que realizar. Assim, teremos que: 8 x 3 = 24 e 24 +2 =26 Ou seja: X =26,0 Pois bem! Só falta misturar tudo agora com as propriedades da Variância. Vejamos quaissão elas:# Propriedades da Variância: A Variância não é influenciada por operações de soma ou subtração. Mesmo entendimento que tivemos para o desvio padrão! A Variância somente é influenciada por operações de produto ou divisão:multiplicaremos ou dividiremos pelo quadrado da constante. Ou seja, se a variância de um conjunto original é 2, e nós multiplicarmos todos os seuselementos por uma constante (3, por exemplo), qual será a nova variância? A nova variânciaserá igual à anterior, agora multiplicada pelo quadrado da constante, ou seja, multiplicada peloquadrado de 3, ou seja, multiplicada por 9. Vejamos o exemplo abaixo:Exemplo: Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Se a variância da variáveltransformada é igual a 5, qual será o desvio padrão da variável original X?Sol.: Também em questões de variância poderemos trabalhar com a tal da variáveltransformada. Todos viram que há uma transformação bem aí, no enunciado? Ótimo! Podemosfazer, de pronto, o desenho de transformação. Teremos: 1º)-2 2º)÷3 Xi Yi 2º)+2 1º)x3 Mas o que nos disse o enunciado? Que a variância do lado do Y é igual a 5. Assim,teremos: 1º)-2 2º)÷3 Xi Yi S2y=5,0 www.pontodosconcursos.com.br 25
  24. 24. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 2º)+2 1º)x3 E o que faremos agora? Percorreremos as operações do caminho de volta (em vermelho),lembrando-nos das propriedades da variância, já que agora é com ela que estamos trabalhando!Teremos: Logo de cara surgiu um produto! Você multiplica? Sim. Mas multiplica por 3 ou peloquadrado de 3? Pelo quadrado! Pois é exatamente o que reza a propriedade do produto (oudivisão)! Assim, teremos: 5 x (3)2 = 5 x 9 = 45 Na seqüência surge uma soma (+2). Você vai somar? Claro que não, uma vez que somanão altera a variância! OK? Para matarmos várias questões de provas recentes, resta-nos ainda conhecer a próximamedida de dispersão: o coeficiente de variação. Vamos lá!# Coeficiente de Variação: CV O CV é também conhecido por dispersão relativa! Conceitualmente, teremos que: S CV = X Estão lembrados que o desvio padrão também se chama dispersão absoluta? Pois bem! O CV é dito dispersão relativa, exatamente porque ele é igual à dispersãoabsoluta (o desvio padrão) em relação a alguém. E esse alguém é a Média Aritmética! Ok? Precisamos saber ainda que o CV é uma medida adimensional, ou seja, não depende daunidade da variável trabalhada! Essa informação já caiu muitas vezes, em questões teóricas de provas mais antigas!(Bons tempos aqueles!). Mas o que significa isso? Ora, considere que estamos com um conjunto que representa ospesos de um grupo de crianças. Ok? Assim, nossa variável é peso, e é medida na unidadequilos. Assim, se calcularmos a Média, será um valor em kg. Se calcularmos o desvio padrão,será um valor em Kg. Finalmente, colocando Desvio Padrão e Média na fórmula do CV, teremosque Kg corta com Kg. Conclusão: o CV é adimensional. (Isso não cai mais em prova há um bom tempo...) Finalmente, vejamos o seguinte exemplo:Exemplo: Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Sabendo que, para a variáveltransformada, a média é igual a 8,0 e o desvio padrão é igual a 4,0, calcule o coeficiente devariação da variável original X.Sol.: Esta é, talvez, a mais típica das questões de uma prova de estatística básica! Cai o tempotodo em prova! Ora, o enunciado apresentou uma transformação da variável? O que você diz?Sim! Daí, nosso primeiro passo será desenhar essa transformação. Teremos: 1º)-2 2º)÷3 www.pontodosconcursos.com.br 26
  25. 25. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Xi Yi S2y=5,0 2º)+2 1º)x3 O que foi mais que a questão nos disse? Disse-nos que a variável transformada Y possuidois valores já conhecidos: a média (igual a 8) e o desvio padrão (igual a 4). Teremos: 1º)-2 2º)÷3 Xi Yi Y =8,0 e Sy=4,0 2º)+2 1º)x3 E a questão pede o cálculo do CV do lado da variável X. Ora, sabemos que CV=desvio padrão/média. Mas não conhecemos nem o desvio padrão e nem a média, do lado do X. Mas osconhecemos a ambos do lado do Y. Assim, tomaremos as duas medidas, uma por vez, e astransportaremos para o lado do X. Como faremos isso? Percorrendo as operações do caminho de volta, e recordando aspropriedades da média e do desvio padrão. Já fizemos isso agora há pouco. Teremos: Média: 8x3=24 e 24+2=26 Desvio Padrão: 4x3=12 e só! Assim, teremos que: 1º)-2 2º)÷3 CVx=12/26=0,461 Xi Yi Y =8,0 e Sy=4,0 2º)+2 1º)x3 Entendido? Ótimo! Acho que por hoje já há o bastante! Seguem as questões do Dever de Casa de hoje, e na próxima aula encerraremos oestudo das medidas de dispersão! Ok? Forte abraço a todos! E fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 27
  26. 26. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Dever de Casa:54. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é:a) 2,1 d) 2,8b) 2,4 e) 3,1c) 2,655. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padrão do conjunto de dados A={2, 4, 6, 8, 10} é, aproximadamente:a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,656. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é:a) 3 c) 10b) 9 d) 3057. (Fiscal de Rendas RJ 2003 FJG) O desvio-padrão populacional dos valores 30, 40 e 50 é igual, aproximadamente, a: A) 8 B) 8,16 C) 10 D) 10,1658. (AFC-94) Uma empresa que possui 5 máquinas copiadoras registrou em cada uma delas no último mês (em 1000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias, respectivamente. O valor da variância desta população é:a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 2559. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Os valores de uma amostra de cinco elementos são: 4, 3, 3, 5 e 5. A variância dessa amostra é de:A) 4,00 b) 3,00 c) 2,33 d) 1,0060. (AFPS-2002/ESAF) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos.a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,061. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23Os valores seguintes foram calculados para a amostra: Σi Xi = 490 e Σi Xi2 – (Σi Xi )2/ 50 = 668Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral,respectivamente (com aproximação de uma casa decimal) a) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6) b) (9,5 14,0) e) (9,0 14,0) www.pontodosconcursos.com.br 28
  27. 27. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHOc) (8,0 15,0)62. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é:a) 1,1627x107 c) 1,1627x105 6b) 1,1627x10 d) 1,1627x10463. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:a) $ 10.000,00 d) $ 10.900,00b) $ 10.100,00 e) $ 11.000,00c) $ 10.500,0064. (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permanência no mesmo emprego de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes resultados para as médias X a e X b e desvios-padrão Sa e Sb. Grupo A: X a = 120 meses e Sa=24 meses Grupo B: X b = 60 meses e Sb=15 mesesÉ correto afirmar que:a) a dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo Bb) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo Ac) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo Bd) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo Be) a média entre os dois grupos é de 180 meses65. (TCU-93) O quadro abaixo apresenta a renda mensal per capita das localidades A e B: Localidade Média Desvio Padrão A 50 10 B 75 15Assinale a opção correta:a) O intervalo semi-interquartílico é dado por [10, 15]b) A renda da localidade A é mais homogênea que a renda na localidade Bc) O coeficiente de variação é 50/75d) A renda da localidade B é mais homogênea que a da localidade Ae) Os coeficientes de variação de renda nas localidades A e B são iguais66. (TCDF-1995) Uma pesquisa de preços de determinado produto, realizada em dois mercados, produziu os resultados mostrados na tabela abaixo: Mercado Preço Médio (R$/kg) Desvio Padrão (R$/kg) I 5,00 2,50 II 4,00 2,00 www.pontodosconcursos.com.br 29
  28. 28. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHOCom base nesses resultados, é correto afirmar quea) no mercado I, a dispersão absoluta dos preços é menor que no mercado II.b) o mercado I apresenta uma dispersão relativa (de preços) maior que a domercado II.c) no mercado I, a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta.d) no mercado I, a dispersão relativa dos preços é igual a do mercado II.e) considerando os mercados I e II como se fossem um único mercado, a dispersão absoluta da distribuição resultante é igual a 4,5.67. (AFRF-2002.2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: Grupo Média Desvio padrão A 20 4 B 10 3Assinale a opção correta.a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa.c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do GrupoA.d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente dadiferença de desvios padrão pela diferença de médias.e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativanos grupos.68. (AFC-94) Seja X uma variável aleatória com média aritmética x = 10 e desvio-padrão S = 3. Considere as variáveis: y = 2x +1 e z = 2x. A única afirmação errada é:a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética.b) o desvio padrão de y é 6.c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão.d) a média de y é 21.e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiente de variação.69. (FTE-PA-2002/ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W.a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2%70. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados.a) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,9071. (AFRF-2003/ESAF) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X.a) 12,9% d) 31,2%b) 50,1% e) 10,0%c) 7,7%72. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média www.pontodosconcursos.com.br 30
  29. 29. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0%73. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠ 0 e desvio padrão positivo b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.a) A média amostral de Z coincide com a de W.b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido.d) A média de Z é a/b.e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.74. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências seguinte: Classe de mi fi Preços [ 5 – 9) 7 3 [ 9 – 13) 11 5 [13 – 17) 15 7 [17 – 21) 19 6 [21 – 25) 23 3 [25 – 29) 27 1 As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de preços i. Sabendo-se que: Σi(fi mi2) – (Σi fi mi)2 / 25 ≈ 694 assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral. a) 0,5 (347/3)0.5 b) 6 c) 0,9 (345/3)0.5 d) 28,91 e) 875. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se∑ 7 f Z2 i =1 i i = 1680 , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio declasse transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X.a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 www.pontodosconcursos.com.br 31
  30. 30. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO76. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X.a) 16,0 d) 18,1b) 17,0 e) 13,0c) 16,6 Bons estudos a todos! Forte abraço! www.pontodosconcursos.com.br 32

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