Curso Estatística online aborda aumento salarial médio

CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO

AULA 05
Olá, amigos!
Tudo bem com vocês? E tudo bem com os estudos? Espero que sim!
Demos início aos trabalhos, comentando as questões pendentes do nosso...
... Dever de Casa

10. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o
desvio-padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de
10%. O salário médio passou a ser de:
a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00
b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00
c) $ 95.000,00

Sol.: Eis aqui uma questão bastante simples, e que explora uma das propriedades da Média!
Senão, vejamos: é dito pelo enunciado que o salário médio era de $90.000,00.
Já sabemos que o salário médio corresponde à média dos salários!
Após, fala-se que todos os salários – leia-se: todos os elementos do conjunto –
receberam um aumento de 10%. Ora, nosso trabalho será um só: traduzir esta informação!
Teremos que traduzi-la, obviamente, para uma operação matemática!
Aumentar um valor em 10% significa uma operação de quê? Soma? Produto? Quem me
diz? Ora, se você na hora da prova ficar na dúvida, basta fazer um teste: trabalhe com salários
originais de cem, duzentos e trezentos reais, e veja no que resulta um aumento de dez por
cento:
R$100,00, com aumento de 10% vai para: R$110,00
Ora, qual é a mesma operação matemática que fará com que R$100 vire R$110; R$200
vire R$220; e R$300 vire R$330? Resposta: multiplicar por 1,10.
Assim, podemos convencionar: aumento de x% significa um produto por (1,x).
Outras conclusões:
Se o aumento fosse de 20%: produto por 1,20.
Por outro lado, se a informação adicional fosse:
Redução de 10%: produto por 0,90. (já que 1-0,10=0,90)
Redução de 20%: produto por 0,80. (já que 1-0,20=0,80)
Redução de 5%: produto por 0,95. (já que 1-0,05=0,95).
E assim por diante! Entendido?
Voltando à nossa questão: se todos os elementos do conjunto sofreram um aumento de
10%, ou seja, se todos eles foram multiplicados por 1,10, teremos que, de acordo com a
propriedade, a nova Média do conjunto será igual à Média anterior também multiplicada pela
mesma constante (1,10).
Daí:
Nova Média = 90.000 x 1,10 = 99.000,00 Resposta!

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(TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir:

Xi fi
2 |— 4 9
4 |— 6 12
6 |— 8 6
8 |— 10 2
10|— 12 1

11. A média da distribuição é igual a:
a) 5,27 b) 5,24 c) 5,21 d) 5,19 e) 5,30

Sol.: Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências! Vamos, por primeiro, investigar se é
fato que todas as classes têm a mesma amplitude. É fato? Sim!
Logo, concluímos: podemos usar o Método da Variável Transformada para calcular a
Média do conjunto!
Não vamos perder essa oportunidade de treinar o método! Vamos a ele:
1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio:
Xi fi PM
2 |— 4 9 3
4 |— 6 12 .
6 |— 8 6 .
8 |— 10 2 .
10|— 12 1 .

2º) Construir a coluna de transformação da variável:
Xi fi PM (PM − 3) = Yi
2
2 |— 4 9 3 0
4 |— 6 12 . 1
6 |— 8 6 . 2
8 |— 10 2 . 3
10|— 12 1 . 4

3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório:
Xi Fi PM (PM − 3) = Yi
fi.Yi
2
2 |— 4 9 3 0 0
4 |— 6 12 . 1 12
6 |— 8 6 . 2 12
8 |— 10 2 . 3 6
10|— 12 1 . 4 4
n=30 34

4º) Calcular a média da variável transformada: Y
34
Y= = 1,133
30

5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do
caminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos:



1º)-3 2º)÷2

Xi Yi Y = 1,133

2º)+3 1º)x2

1,133 x 2 = 2,266 e 2,266 + 3 = 5,266 ≅ 5,27 Resposta!

(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados:

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90
Classes de Freqüência Pontos Xi − 37 fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4
Idades s Médios = di
(anos) (fi) (Xi) 5
19,5 |— 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162
24,5 |— 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144
29,5 |— 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23
34,5 |— 39,5 29 37 — — — — —
39,5 |— 44,5 18 42 1 18 18 18 18
44,5 |— 49,5 12 47 2 24 48 96 192
49,5 |— 54,5 7 52 3 21 63 189 567
Total 16 206 154 1106

12. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em
1º/1/90.
a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e)39,0
anos

Sol.: Esta questão é muito interessante! Uma questão para se aprender bastante! E de
resolução quase imediata, conforme veremos.
Primeira coisa: as classes têm mesma amplitude? Sim! Logo, usaremos o método da
variável transformada para encontrar a Média.
Qual o primeiro passo deste método? Encontrar os Pontos Médios! A tabela fornecida na
prova já fez isso para nós? Sim. Este passo já está cumprido!
E depois, o que faríamos nós? Construiríamos uma coluna de transformação da
variável. A questão já fez isso para nós? Sim! A quarta coluna desta tabela é uma coluna de
transformação! O detalhe é que ele, elaborador, na hora de construir essa coluna de
transformação, não adotou aquela sugestão que nós demos na aula passada [(PM-1ºPM)/h].
Mas não tem problema! Se a questão já nos trouxe pronta uma transformação da
variável, nós simplesmente a aceitaremos! Não importa se essa transformação não segue a
sugestão que aprendemos anteriormente. Essa sugestão você poderá (e deverá) usar quando
for você a construir a coluna de transformação! Entendido?
Assim, a coluna de transformação já está pronta, e o Ponto Médio transformado foi
chamado de di pela prova.
Nosso próximo passo seria construir a coluna fi.Yi. No caso, como a prova chamou a
variável transformada de di, teríamos que construir a coluna fi.di e encontrar o seu somatório!
Mas a tabela também já fez esse trabalho para nós! Que maravilha! Já pegamos o
bonde andando, e a viagem já está quase toda completa! Vamos apenas complementar nosso
trabalho com os passos restantes do método!



Próximo passo: calcular a Média da Variável Transformada ( d ). Considerando que
n=100, valor esse obtido pela soma da coluna do fi, teremos:
16
di = = 0,16
100

Finalmente, faremos o desenho de transformação da variável e, percorrendo o caminho
de volta, descobriremos a resposta:
1º)-37 2º)÷5

Xi di d = 0,16

2º)+37 1º)x5

0,16 x 5 = 0,8 e 0,8 + 37 = 37,8 Resposta!

Observem que, acima da tabela, está escrito que essas idades correspondem à data de
1º/janeiro/1990. Ok? Isso precisará ser lembrado na resolução da próxima questão! Vamos a
ela.

Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa
continua o mesmo em 1º/1/96.

13. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em
1º/1/96.
a) 37,4 anos d) 43,8 anos
b) 39,0 anos e) 44,6 anos
c) 43,4 anos

Sol.: Essa é de graça! Ora, se a Média das idades no dia 1º/janeiro/1990 foi de 37,8 anos
(resposta da questão anterior), e se foi dito que as pessoas daquele conjunto anterior são
exatamente as mesmas, só que seis anos mais velhas, iremos concluir que os elementos do
nosso novo conjunto (as novas idades) foram todos adicionados à constante seis.
Concordam?
Assim, aplicando a propriedade da Média, teremos que:
Nova Média = Média Anterior + constante
Nova Média = 37,8 + 6 = 43,8 Resposta!

(AFRF-2000) Para efeito da próxima questão faça uso da tabela de freqüências
abaixo.

Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Classes de Salário Freqüências
Acumuladas
( 3 ; 6] 12
( 6 ; 9] 30
( 9 ; 12] 50
(12 ; 15] 60
(15 ; 18] 65
(18 ; 21] 68



14. Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa.
Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com
base na distribuição de freqüências.
a) 9,93 d) 10,00
b) 15,00 e) 12,50
c) 13,50

Sol.: Aqui temos mais uma questão a ser trabalhada com o Método da Variável Transformada!
Porém, antes, teremos que realizar o trabalho preliminar que aprendemos no início deste
Curso, com o intuito de descobrir os valores da coluna da fi (freqüência absoluta simples).
Vemos, facilmente, que não há nenhum sinal indicativo de freqüência relativa nesta
tabela (nem no enunciado). Assim, a freqüência fornecida é absoluta! E será acumulada
porque o enunciado está dizendo isso expressamente. Ora, para saber se é acumulada
crescente ou decrescente, basta verificarmos os valores da coluna, para enfim concluirmos que
estamos diante da freqüência absoluta acumulada crescente (fac).
O trabalho preliminar necessário para construirmos a coluna da fi já é nosso conhecido,
de sorte que, sem mais demoras, teremos:
Classes de Salário fac fi
( 3 ; 6] 12 12
( 6 ; 9] 30 18
( 9 ; 12] 50 20
(12 ; 15] 60 10
(15 ; 18] 65 5
(18 ; 21] 68 3

E agora, sim, aplicaremos o método da variável transformada. Teremos:
Classes de fac fi PM
Salário
( 3 ; 6] 12 12 4,5
( 6 ; 9] 30 18 .
( 9 ; 12] 50 20 .
(12 ; 15] 60 10 .
(15 ; 18] 65 5 .
(18 ; 21] 68 3 .

Classes de fac fi PM (PM − 4,5) = Yi
Salário
3
( 3 ; 6] 12 12 4,5 0
( 6 ; 9] 30 18 . 1
( 9 ; 12] 50 20 . 2
(12 ; 15] 60 10 . 3
(15 ; 18] 65 5 . 4
(18 ; 21] 68 3 . 5



Classes de fac fi PM (PM − 4,5) = Yi fi.Yi
Salário
3
( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 0
( 6 ; 9] 30 18 . 1 18
( 9 ; 12] 50 20 . 2 40
(12 ; 15] 60 10 . 3 30
(15 ; 18] 65 5 . 4 20
(18 ; 21] 68 3 . 5 15
n=68 123

34
Y= = 1,81
30

1º)-4,5 2º)÷3

Xi Yi Y = 1,81

2º)+4,5 1º)x3

1,81 x 3 = 5,43 e 5,43 + 4,5 = 9,93 Resposta!

(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue.

Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100

15. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.
a) 140,10 d) 140,00
b) 115,50 e) 138,00
c) 120,00

Sol.: Nova questão para aplicarmos o Método da Variável Transformada! Aqui, novamente, o
único diferencial é que precisaremos novamente cumprir o ritual do trabalho preliminar! Já
trabalhamos, inclusive, com esta tabela. Teremos:



Classes Fac Fi fi
70-90 5% 5% 10
90-110 15% 10% 20
110-130 40% 25% 50
130-150 70% 30% 60
150-170 85% 15% 30
170-190 95% 10% 20
190-210 100% 5% 10
100% n=200

(x2)

E somente agora estamos aptos a iniciar a aplicação do método da variável
transformada. Teremos:

Classes Fac Fi fi PM
70-90 5% 5% 10 80
90-110 15% 10% 20 .
110-130 40% 25% 50 .
130-150 70% 30% 60 .
150-170 85% 15% 30 .
170-190 95% 10% 20 .
190-210 100% 5% 10 .
100% n=200

Classes Fac Fi fi PM (PM − 80) = Yi
20

70-90 5% 5% 10 80 0
90-110 15% 10% 20 . 1
110-130 40% 25% 50 . 2
130-150 70% 30% 60 . 3
150-170 85% 15% 30 . 4
170-190 95% 10% 20 . 5
190-210 100% 5% 10 . 6
n=200

Classes Fac Fi fi PM (PM − 80) = Yi fi.Yi
20

70-90 5% 5% 10 80 0 0
90-110 15% 10% 20 . 1 20
110-130 40% 25% 50 . 2 100
130-150 70% 30% 60 . 3 180
150-170 85% 15% 30 . 4 120
170-190 95% 10% 20 . 5 100
190-210 100% 5% 10 . 6 60
n=200 580



580
Y= = 2,9
200

1º)-80 2º)÷20

Xi Yi Y = 2,9

2º)+80 1º)x20

2,9 x 20 = 58,0 e 58,0 + 80 = 138 Resposta!

(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duas
próximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$
1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de
Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F
29,5 – 39,5 2
39,5 – 49,5 6
49,5 – 59,5 13
59,5 – 69,5 23
69,5 – 79,5 36
79,5 – 89,5 45
89,5 – 99,5 50

16. Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o
departamento de fiscalização da Cia. X.
a) 70,0 d) 74,4
b) 69,5 e) 60,0
c) 68,0

Sol.: A coluna de freqüências apresentada nesta Distribuição foi, mais uma vez, a da
freqüência absoluta acumulada crescente – fac. Precisamos, assim, realizar o trabalho
preliminar, a fim de construir a coluna da fi – freqüência absoluta simples. Teremos:

Classes Fac fi
29,5 – 39,5 2 2
39,5 – 49,5 6 4
49,5 – 59,5 13 7
59,5 – 69,5 23 10
69,5 – 79,5 36 13
79,5 – 89,5 45 9
89,5 – 99,5 50 5

Agora, considerando que todas as classes têm mesma amplitude (h=10), aplicaremos o
método da Variável Transformada. Teremos:




Classes fac fi PM
29,5 – 39,5 2 2 34,5
39,5 – 49,5 6 4 .
49,5 – 59,5 13 7 .
59,5 – 69,5 23 10 .
69,5 – 79,5 36 13 .
79,5 – 89,5 45 9 .
89,5 – 99,5 50 5 .

Classes Fac fi PM (PM − 34,5) = Yi
10
29,5 – 39,5 2 2 34,5 0
39,5 – 49,5 6 4 . 1
49,5 – 59,5 13 7 . 2
59,5 – 69,5 23 10 . 3
69,5 – 79,5 36 13 . 4
79,5 – 89,5 45 9 . 5
89,5 – 99,5 50 5 . 6

Classes fac Fi PM (PM − 34,5) = Yi fi.Yi
10
29,5 – 39,5 2 2 34,5 0 0
39,5 – 49,5 6 4 . 1 4
49,5 – 59,5 13 7 . 2 14
59,5 – 69,5 23 10 . 3 30
69,5 – 79,5 36 13 . 4 52
79,5 – 89,5 45 9 . 5 45
89,5 – 99,5 50 5 . 6 30
N=50 175

175
Y= = 3,5
50

1º)-34,5 2º)÷10

Xi Yi Y = 3,5

2º)+34,5 1º)x10

3,5 x 10 = 35,0 e 35,0 + 34,5 = 69,5 Resposta!


(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução da próxima
questão utilize o enunciado que segue.

A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário
mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200
funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes
salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao
percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P
4 – 8 20
8 – 12 60
12 – 16 80
16 – 20 98
20 – 24 100

17. Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a
partir de dados agrupados.
a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00
Sol.: Vamos mais essa! O enunciado disse que a coluna de freqüências fornecida nesta tabela
é a Fac, freqüência relativa acumulada crescente. Descobrimos que é uma freqüência relativa
porque foi usada a palavra percentual. Sabemos que o tipo de freqüência que expressa valores
percentuais é a freqüência relativa. E concluímos que é acumulada por dois motivos: a Fac
termina sempre com 100%; e o enunciado ainda disse isso expressamente!
Assim, antes de aplicarmos o método da variável transformada para cálculo da Média,
teremos que fazer o trabalho preliminar, a fim de chegarmos à coluna da freqüência absoluta
simples – fi. Teremos:
Classes Fac Fi fi
4–8 20% 20% 40
8 – 12 60% 40% 80
12 – 16 80% 20% 40
16 – 20 98% 18% 36
20 – 24 100% 2% 4
100% n=200

Agora, sim, já podemos aplicar o método da variável transformada. Façamos isso!
Classes Fac Fi fi PM
4–8 20% 20% 40 6
8 – 12 60% 40% 80 .
12 – 16 80% 20% 40 .
16 – 20 98% 18% 36 .
20 – 24 100% 2% 4 .
100% n=200

Classes Fac Fi fi PM (PM − 6) = Yi
4
4–8 20% 20% 40 6
8 – 12 60% 40% 80 .
12 – 16 80% 20% 40 .
16 – 20 98% 18% 36 .
20 – 24 100% 2% 4 .
100% n=200



Classes Fac Fi fi PM (PM − 6) = Yi fi.Yi
4
4–8 20% 20% 40 6 0 0
8 – 12 60% 40% 80 . 1 80
12 – 16 80% 20% 40 . 2 80
16 – 20 98% 18% 36 . 3 108
20 – 24 100% 2% 4 . 4 16
100% n=200 284

284
Y= = 1,42
200

1º)-6 2º)÷4

Xi Yi Y = 1,42

2º)+6 1º)x4

1,42 x 4 = 5,68 e 5,68 + 6 = 11,68 Resposta!

A próxima questão diz respeito à distribuição de freqüências seguinte associada
ao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Classes Freqüências
Simples
0-10 120
10-20 90
20-30 70
30-40 40
40-50 20

18. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá, aproximadamente, a média
amostral de X
a) 25,00 b) 17,48 c) 18,00 d) 17,65 e) 19,00

Sol.: Essa tabela nos traz uma lição importante! Olhem para os valores da coluna de
freqüências que foi trazida na tabela. Os valores estão todos decrescentes, não é verdade? E
ainda assim, estamos diante de uma coluna de freqüência simples (fi).
Ou seja, não é pelo mero fato de as freqüências estarem sempre diminuindo, que
estaremos diante de uma freqüência acumulada decrescente; assim como não será acumulada
crescente pelo mero fato de as freqüências estarem aumentando!
Se não for dito que a freqüência é acumulada, resta que será freqüência simples!



Pois bem! Se já estamos diante da freqüência absoluta simples e se é fato que todas as
classes têm a mesma amplitude, estamos aptos a aplicar o método da variável transformada
para descobrir o valor da Média do conjunto. Fazendo isso, teremos:
Classes fi PM
0-10 120 5
10-20 90 .
20-30 70 .
30-40 40 .
40-50 20 .

Classes fi PM (PM − 5) = Yi
10
0-10 120 5 0
10-20 90 . 1
20-30 70 . 2
30-40 40 . 3
40-50 20 . 4

Classes fi PM (PM − 5) = Yi fi.Yi
10
0-10 120 5 0 0
10-20 90 . 1 90
20-30 70 . 2 140
30-40 40 . 3 120
40-50 20 . 4 80
n=340 430

430
Y= = 1,265
340

1º)-5 2º)÷10

Xi Yi Y = 1,265

2º)+5 1º)x10

1,265 x 10 = 12,65 e 12,65 + 5 = 17,65 Resposta!



Passemos agora a mais teoria! Ainda não terminamos o estudo das propriedades da
Média. Vamos fazer isso agora!
# Outras Propriedades da Média:
Vejamos logo duas propriedades irmãs:
A soma dos desvios dos elementos do conjunto em torno da Média é igual a
zero!
Como é isso? Vamos considerar o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}

Qual é a Média desse conjunto? Faremos (1+2+3+4+5)/5=15/5 X =3.
Pois bem! O que construiremos agora é o conjunto dos desvios! Desvio é sinônimo de
diferença. Daí, vamos construir o conjunto formado pela diferença entre cada elemento Xi do
conjunto original e a Média. Teremos:

(Xi- X ) = {(1-3), (2-3), (3-3), (4-3), (5-3)}

(Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2}
Fazendo o somatório dos desvios em torno da média, teremos:

∑(Xi- X ) = {(-2)+(-1)+(0)+(1)+(2)}=0
Enfim, esse é o resumo da propriedade: ∑(Xi- X ) = 0
De uma forma resumida, memorizaremos: A soma dos desvios é zero!
Só isso! Esta propriedade poderá ser objeto de uma questão teórica, como já foi, em
provas mais antigas.

A soma dos quadrados dos desvios dos elementos do conjunto em torno da
Média é um valor mínimo!
Essa é de compreensão menos imediata. Mas igualmente fácil.
Tomemos novamente o conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}. Já sabemos que a Média é 3.
Assim, tomando a média 3 como referência, e construindo o conjunto dos desvios em
torno da média, teremos:

(Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2}
Agora, se elevarmos cada um desses valores ao quadrado, teremos:

(Xi- X )2 = {-22, -12, 02, 12, 22} = {4, 1, 0, 1, 4}
Fazendo o somatório dos quadrados dos desvios, teremos:

∑(Xi- X ) 2
= {4+1+0+1+4}=10 Este é um valor mínimo!

Mínimo por quê? Porque encontraríamos um valor maior que 10, caso percorrêssemos
todo esse mesmo trajeto, tendo partido do conjunto dos desvios em torno de uma origem
qualquer diferente da Média.
Entenderam? Ainda não? Então, escolham um valor qualquer diferente da Média (3) do
conjunto. Qualquer valor serve! Pode ser o 2, então? Ok! Lembrem-se que 2 não é a Média do
conjunto! Comecemos. Vamos construir o conjunto dos desvios, em torno dessa origem 2.
Teremos:
(Xi-2) = {(1-2),(2-2), (3-2), (4-2), (5-2)} = {-1, 0, 1, 2, 3}
Construindo os quadrados desses desvios, teremos:



(Xi-2)2 = {-12, 02, 12, 22, 32} = {1, 0, 1, 4, 9}
Fazendo o somatório dos quadrados desses desvios, teremos:

∑(Xi-2) 2
= {1+0+1+4+9}=15 E 15 é maior que 10.

Por quê? Porque 10 é um valor mínimo!
Ficou compreendido?
Professor, como é que essas duas propriedades podem ser cobradas numa prova?
Basicamente, numa questão teórica. Nas provas mais antigas, nos idos dos anos noventa, era
muito comum a presença de questões mais conceituais. Hoje, são questões mais raras,
embora nada impeça de você se deparar com uma delas!
Então, resumindo essas duas propriedades irmãs, teremos:
A soma dos desvios é igual a zero!
A soma dos quadrados dos desvios é um valor mínimo!
É isso! Há ainda outra propriedade importante da Média que precisamos conhecer:

A Média das Médias:
Essa propriedade tratará de uma situação em que haverá alguns conjuntos menores.
Para cada um desses conjuntos menores, a questão fornecerá o valor do seu número de
elementos, e o valor da sua Média. Assim, supondo que estejamos trabalhando com apenas
dois conjuntos menores (A e B), teremos, como dados da questão, os seguintes:
conjunto A: número de elementos do conjunto A (nA)

Média dos elementos do conjunto A ( X A )

conjunto B: número de elementos do conjunto B (nB)

Média dos elementos do conjunto B ( X B )

O que nos irá perguntar a questão da prova? Irá nos perguntar o seguinte: se
juntarmos todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, e os
unirmos em um só conjunto maior, qual será a Média desse conjunto global?
Responderemos a esta pergunta usando a seguinte fórmula:

X GLOBAL =
[(n .X ) + (n .X )]
A A B B

(n A + nB )

Trata-se de uma das questões mais fáceis da prova, pois se resume a aplicar a fórmula
acima. Faz-se o copiar-colar e chega-se à resposta! Ok?
Virão duas questões que exploram o conhecimento desta propriedade no dever de casa
que deixarei nesta aula de hoje.
Existe ainda uma informação acerca da Média, e que às vezes, inclusive, é tratada como
uma propriedade, que diz o seguinte:
A Média é influenciada por valores extremos!
O que quer dizer isso? Vejamos o conjunto abaixo:
{1, 2, 3, 4, 5}
A média desse conjunto, já fizemos esse cálculo hoje, é igual a 3.


E se trocarmos o valor extremo 5 por, digamos, 500? Teremos:
{1, 2, 3, 4, 500}
A média desse novo conjunto será, feitos os cálculos, igual 102.
Houve um grande salto, não é verdade? Sim! E por quê? Porque a média é influenciada
pelos valores extremos!
Essa propriedade costumava ser mais exigida para efeitos comparativos com outras
medidas estatísticas, como Moda e Mediana. Assim, mais adiante, voltaremos a falar sobre ela.
Ok?
Pois bem! Acho que agora já podemos passar a falar na segunda medida de tendência
central: a Moda!

# MODA: Mo
Esse é um dos assuntos prediletos das alunas! Qualquer concurseira de respeito sabe
que Moda é aquilo que está em evidência. É isso mesmo? Assim na vida, assim na Estatística.
Moda, em sentido estatístico, será aquele elemento que mais aparece no conjunto!
Só isso! Nada mais fácil! Vamos aprender a reconhecer a moda de um rol, de dados
tabulados e de uma distribuição de freqüências. Vamos lá.
Moda do Rol:
Analise o conjunto abaixo, e me diga qual é o elemento que se sobressai aos demais:
{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 10}
Facilmente se vê que o elemento de maior freqüência, aquele que mais aparece no
conjunto, é o elemento Xi=3,0.
Está terminado! A Moda desse conjunto é 3. Diremos: Mo=3.
E não se fala mais nisso! Vocês acham, sinceramente, que a Esaf iria colocar uma
questão como essa em prova?
Quem pensou que não errou! Confira a questão abaixo, extraída do AFRF-1998:
(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma
amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A
unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.

a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 9

Sol.: Vejam que o conjunto foi apresentado na forma de um rol. E seus elementos
representam preços. Daí, a questão pede que se calcule o preço modal.
Se os elementos representassem salários, a questão pediria o salário modal.
Se os elementos representassem pesos, a questão pediria o peso modal.
Se representassem idades, a idade modal. E assim por diante!
Pois bem! Aqui, usaremos a técnica milenar do dedo. Basta colocar o dedo em cima dos
elementos do conjunto, e contar, para descobrir aquele que aparece mais vezes que os
demais!
Conclusão: o elemento Xi=8 é o que mais aparece. É aquele de maior freqüência. Logo,
é a Moda desse conjunto e a resposta da questão!
E acreditem: isso valeu um ponto numa prova de Auditor-Fiscal da Receita Federal.


Isso corrobora a minha tese de que nem só de questões difíceis se faz uma prova!
Também existem as fáceis, as muito fáceis, as facílimas, e as estupidamente bestas!
E essas nós não podemos errar, nem em pesadelo.
Pois bem. Mais algumas informações:
Se o conjunto apresenta uma só moda, será dito conjunto modal.
Mas, considere o rol abaixo:
{1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 10}
Quem é a moda desse conjunto? Não é apenas uma, mas são duas: o elemento 2 e o
elemento 7. Estamos, pois, diante de um conjunto dito bimodal.
E se houver três ou mais modas em um conjunto? Então estaremos diante de um
conjunto multimodal.
Atente agora para o seguinte conjunto:
{1, 2, 3, 4, 5}
Quem arrisca dizer qual é a Moda dele? Existe algum elemento que se destaca em
relação aos demais? Um elemento que aparece mais que os outros? Não! Nenhum elemento se
destaca. Daí, concluímos que não há moda neste rol, de sorte que estamos diante de um
conjunto amodal.
Conclusão: diferentemente da Média Aritmética, que sempre existe e é única, a Moda
pode existir, pode não existir e, no primeiro caso, pode haver uma, ou duas, ou várias Modas
em um mesmo conjunto!
Alguma dúvida para a Moda de um rol? Creio que não! Adiante.

Moda de Dados Tabulados:
Aqui estamos diante do que há de mais fácil neste Curso!
Ora, sabemos que a Moda é o elemento de maior freqüência. Assim, diante do conjunto
seguinte, tente dizer qual é o elemento modal:
Xi fi
1 2
2 3
3 7
4 5
5 1

Neste caso, de o conjunto estar apresentado na forma de Dados Tabulados, sequer
precisamos aplicar a técnica do dedo. Basta deslizar pela coluna da freqüência absoluta
simples (fi), procurando pela maior fi. Ao encontrarmos, saberemos que o elemento Xi a que
ela se refere será a Moda do conjunto!
Assim:
Xi fi
1 2
2 3
3 7
4 5
5 1
A Moda do conjunto é 3.
Só e somente só!
Viram como é fácil? Essa aí nunca caiu em prova, até agora!


Moda para Distribuição de Freqüências:
Aqui estamos diante de uma questão de prova em potencial.
Há dois métodos distintos para calcularmos a Moda de uma Distribuição: A Moda de
Czuber e a Moda de King.
Precisamos saber que a regra é trabalharmos com o método de Czuber.
Dito de outra forma: só calcularemos a Moda de uma distribuição de freqüências pelo
método de King se a questão expressamente o determinar! Ok?
Consideremos o seguinte conjunto, supondo que represente os pesos de um grupo de
crianças:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2

Comecemos aprendendo o cálculo da Moda de Czuber. São dois passos:

1º) Identificar a classe modal.
Ora, classe modal é aquela de maior freqüência absoluta simples (maior fi). Só isso!
Neste caso, a maior fi é 7, de sorte que a terceira classe será a classe modal. Teremos:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2

Até aqui, tudo tranqüilo? Tranqüilíssimo! Pois bem. O segundo passo consiste em:
2º) Aplicar a Equação da Moda de Czuber. É a seguinte:

⎡ ∆a ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h
⎣ ∆a + ∆p ⎦
Observem que os elementos desta fórmula serão extraídos daquela Classe Modal que
acabamos de identificar no primeiro passo. Ok? Assim, o limite inferior (linf) a que se refere a
equação é o limite inferior da classe modal; a amplitude (h) a que se refere a equação é a
amplitude da classe modal.
E esses deltas da fórmula, significam o quê? Delta significa diferença.
Quando falamos em ∆a estamos nos referindo à diferença anterior. E quando falamos
em ∆p estamos nos referindo à diferença posterior.
Tanto ∆a quanto ∆p serão calculados com base em um mesmo referencial: a freqüência
absoluta simples da classe modal. Assim:
∆a é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior; e
∆p é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior.
No caso do nosso exemplo teremos:



Classes fi
0-10 2
10-20 4 ∆a=3
20-30 7
30-40 5 ∆p=2
40-50 2

Finalmente, resta-nos aplicar a fórmula de Czuber. E teremos que:

⎡ ∆a ⎤ ⎡ 3 ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 20 + ⎢ .10 Mo=26 Resposta!
⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣3 + 2⎥
⎦

Pode haver questão mais fácil do que esta? Não pode! E cai na prova, exatamente
desse jeito! Um ponto garantido a mais para nós.
Aprendamos agora o cálculo da Moda de King. Em dois passos:
1º) Identificar a Classe Modal.
Já sabemos fazer isso: a classe modal é sempre aquela de maior freqüência absoluta
simples!
2º) Aplicar a equação de King, que é a seguinte:

⎡ fp ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h
⎣ fp + fa ⎦

Os dados da equação da Moda de King serão também extraídos da Classe Modal.
Assim: linf se referirá ao limite inferior da classe modal; h é a amplitude da classe
modal.
E estas fp e fa, o que são? São, respectivamente:
fp: freqüência absoluta simples da classe posterior à da classe modal; e
fa: freqüência absoluta simples da classe anterior à da classe modal.
Nesta fórmula não calcularemos deltas, ou seja, não faremos diferenças. Tomaremos as
próprias freqüências simples, a anterior e a posterior à fi da classe modal.
Assim, para o nosso exemplo, teremos que:
Classes fi
0-10 2
10-20 4 fa
20-30 7
30-40 5 fp
40-50 2

Daí:

⎡ fp ⎤ ⎡ 5 ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 20 + ⎢ .10 Mo=25,56 Resposta!
⎣ fp + fa ⎦ ⎣4 + 5⎥
⎦

Quero chamar atenção para um detalhe: na Moda de Czuber (que é a regra!), o
numerador do colchete é o ∆a, enquanto o numerador da Moda de King é a fp. Perceberam
isso? Não pode errar a fórmula, senão a questão está perdida!


Vou frisar novamente: só usaremos o cálculo da Moda de King se a questão mandar
expressamente. Se ela não o fizer, trabalharemos com a Moda de Czuber, que é a moda dos
deltas, que é a regra! Ok?
Vamos dar uma olhadinha no rol abaixo:
{1, 2, 2, 3}
Quem é a Moda deste rol? É 2. Concordam? E se tomarmos cada elemento deste
conjunto original e os somarmos à constante 10, por exemplo, o que ocorrerá? Passaremos a
ter um novo conjunto. O seguinte:
{11, 12, 12, 13}
Quem é a nova Moda? É 12. E nem precisávamos ter feito este cálculo, uma vez que
existe uma propriedade que afirma que: somando todos os elementos do conjunto a uma
mesma constante, a nova moda será a anterior também somada àquela constante!
E se serve para soma, serve também para subtração!
Tomemos novamente o conjunto original. E se multiplicarmos cada elemento daquele
conjunto pela constante 10, o que ocorreria? Chegaríamos ao seguinte conjunto:
{10, 20, 20, 30}
E a nova Moda é 20, como já poderíamos prever. Sim! Pois há uma propriedade,
segundo a qual: multiplicando todos os elementos de um conjunto original por uma mesma
constante, a nova moda será a anterior também multiplicada pela mesma constante!
E se serve para multiplicação, serve também para divisão!
Resumo da história: a Moda, a exemplo da Média Aritmética, também é influenciada
pelas quatro operações!
Agora voltemos ao nosso conjunto primeiro: {1, 2, 2, 3}
Se trocarmos o elemento 3 por 300, o que ocorrerá? Teremos um novo conjunto:
{1, 2, 2, 300}
A Moda deste conjunto mudou, em relação a que era antes? Não, permaneceu a
mesma (Mo=2). Conclusão: a Moda não é influenciada por valores extremos! E neste
particular, a Moda diferencia-se da Média, conforme já vimos anteriormente!
Já podemos passar ao estudo da terceira medida de tendência central: a Mediana!
Vamos a ela.

# Mediana: Md
Como o próprio nome pode sugerir, a Mediana é aquele elemento que está
rigorosamente no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais, ou seja, em duas
metades!
O cálculo da Mediana é quase sempre uma questão certa na prova! Uma questão que
não podemos e não iremos errar de jeito nenhum!
Mediana para o Rol:
Consideremos o seguinte conjunto:
{10, 20, 30, 40, 50}
Só olhando, seremos capazes de dizer qual é o elemento que está no meio deste
conjunto? Claro! É o elemento 30. Concordam? Ficaram dois elementos à sua direita, e dois à
sua esquerda. Ele está, portanto, no meio do conjunto. E sendo assim, é a Mediana!
{10, 20, 30, 40, 50}
Md=30



Vocês perceberam que o conjunto acima tem um número ímpar de elementos. Para ele,
temos que n=5.
Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto tiver um número ímpar de
elementos, significa que só haverá uma posição central.
E o elemento que ocupar esta posição central será a própria Mediana do conjunto!
Há um cálculo que podemos fazer para descobrir qual é a posição central, no caso de o
conjunto apresentar um número ímpar de elementos. Este cálculo é o seguinte:
Posição Central = (n+1)/2
Isto é para quando n for um número ímpar!
Reparem bem que o resultado desta conta não é a Mediana do conjunto, e sim a sua
posição central. O elemento que ocupar esta posição central será, este sim, a Mediana.
No nosso exemplo, tínhamos n=5. (Um número ímpar, o que indica a existência de
uma única posição central)! Assim, faremos: (n+1)/2=(5+1)/2=3ª Posição!
Esta é a posição central do conjunto! Daí, usando novamente a técnica milenar do
dedo, você vai contar as posições do conjunto, até chegar à terceira. O elemento que a ocupar
será a Mediana que estamos procurando! Teremos:
{10, 20, 30, 40, 50}
3ª Posição Md=30

E se o conjunto tiver um número par de elementos? Aí a história é outra. Vejamos. Se
nosso conjunto for o seguinte:
{10, 20, 30, 40, 50, 60}
Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois: n=6. Um número par de
elementos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de
elementos no conjunto, significa que haverá duas posições centrais!
Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma:
1ª Posição Central: (n/2)
2ª Posição Central: a vizinha posterior.
Neste caso, em que n=6, teremos:
1ª Posição Central: (n/2)=6/2= 3ª Posição!
2ª Posição Central: a vizinha posterior = 4ª Posição!
As duas posições centrais estão, portanto, identificadas. Resta descobrir quais são os
dois elementos que as ocupam. E vejam o que será feito para calcularmos a Mediana.
Teremos:
{10, 20, 30, 40, 50, 60}
4ª Posição 30
Md=(30+40)/2 Md=35,
3ª Posição 40

Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais são os dois elementos que
ocupam as duas posições centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultado
desta soma por dois. Assim, chegaremos à Mediana do conjunto!
Ficou evidenciado neste exemplo que a Mediana não necessariamente terá que ser um
dos elementos do conjunto! Viram? Esse valor 35 não é um dos elementos! E no entanto é a
Mediana!


A prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma questão para se determinar a
Mediana de um rol. Fazendo uma pequena e irrelevante adaptação, foi o seguinte:
(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores
internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15,
15, 15, 16, 16, 18, 23

Assinale a opção que corresponde à mediana:
a) 9,0 b) 9,5 c) 8,0 d) 8,5 e) 10

Sol.: Estamos diante de um rol de 50 elementos. Portanto, n=50, que é um número par! Se n
é um número par, teremos duas posições centrais, que serão, respectivamente:
1ª Posição Central: (n/2)=50/2= 25ª Posição
2ª Posição Central: a vizinha posterior = 26ª Posição
Sabendo disso, e usando a milenar técnica do dedo, contaremos os elementos, para
saber quais deles ocupam estas duas posições centrais. Vamos lá:
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15,
15, 15, 16, 16, 18, 23

Os dois elementos que ocupam as duas posições centrais são, ambos, iguais a 9. Nem
precisaremos perder tempo somando-os e dividindo o resultado por dois. Concordam?
Basta dizer que a Mediana é igual a 9 e pronto! Daí: Md=9 Resposta!

Acreditem-me: isto valeu um ponto numa prova de Fiscal da Receita!

Vou dar um pequeno salto, e ensinar logo o cálculo da Mediana para uma Distribuição
de Freqüências. Ok? Numa outra ocasião eu retorno e ensino a mediana para dados tabulados.
Pode ser? (Vamos ganhar um pouquinho de tempo!).

# Mediana para Distribuição de Freqüências:
Esta, sim, é questão quase certa na sua prova!
Consideremos o seguinte conjunto:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2

Se ele representa, suponhamos, os pesos de um grupo de crianças, então a questão lhe
pedirá que encontre o peso mediano; se fossem idades, a questão pediria a idade mediana; se
fossem salários, o salário mediano. E assim por diante!
O primeiro passo é identificar a Classe Mediana!
Para isso, trilharemos o seguinte caminho:
Calcular a fração da Mediana: (n/2).



No cálculo da mediana de uma distribuição de freqüências, não faz nenhuma diferença
se n é par ou é ímpar. Seja como for, o nosso cálculo será sempre esse mesmo: (n/2).
Construirmos a coluna da fac (freqüência absoluta acumulada crescente).
Compararemos os valores da fac com o resultado da fração da mediana (n/2),
fazendo a seguinte pergunta: Esta fac é maior ou igual a (n/2)?
Começaremos a fazer esta pergunta desde a fac da primeira classe (lá em cima) e a
repetiremos, descendo fac por fac, até que a resposta seja SIM.
Quando a resposta for sim, pararemos, procuraremos a classe correspondente, e esta
será a nossa Classe Mediana.
Vamos fazer isso? Teremos:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2
n=20
n/2 = 10
Agora, construindo a fac, teremos:
Classes fi fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13
30-40 5 18
40-50 2 20
n=20

Fazendo a pergunta, teremos:
Classes fi fac
0-10 2 2 2 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!)
10-20 4 6 6 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!)
20-30 7 13 13 é maior ou igual a 10? SIM! (PARAMOS AQUI!)
30-40 5 18
40-50 2 20
n=20

E a terceira classe é a nossa classe mediana!
Uma vez conhecedores da Classe Mediana, faremos com ela um desenho!
Vejamos novamente nosso conjunto:

Classes fi fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13 Classe Mediana!
30-40 5 18
40-50 2 20
n=20



Traremos essa classe mediana aqui para fora, e nosso desenho será construído da
seguinte maneira:
Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Teremos:

Limites da Classe: 20 30

Até aqui, tudo bem?
Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freqüências absolutas acumuladas
crescentes (fac) associadas a esses dois limites!
Como assim? Vejamos: se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o
limite inferior 20, o que você responderá? Veja o conjunto novamente:
Classes Fi Fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13
30-40 5 18
40-50 2 20
n=20

Teremos acumulado 6 elementos, concordam?
E se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o limite superior 30, o
que você dirá? Vejamos no conjunto:
Classes Fi Fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13
30-40 5 18
40-50 2 20

Teremos acumulado 13 elementos!
Conclusão: na hora de identificar as freqüências acumuladas associadas aos dois limites
da classe mediana, estas fac serão, sempre e respectivamente, a fac da classe anterior, e a
fac da própria classe mediana!
Assim, complementando nosso desenho, teremos:

fac associadas: 6 13

Faltando quase nada para terminarmos o desenho!
Agora perguntaremos: qual é a posição da Mediana? É o resultado da fração (n/2).
Quanto? 10. Pois bem! Esse 10 corresponde à posição, e posição corresponde à freqüência
acumulada. Assim, localizaremos a décima posição do conjunto na parte de baixo do desenho.
Teremos:


fac associadas: 6 10 13

Ora, a esta décima posição corresponde qual elemento dentro da classe? Corresponde à
Mediana. Assim, concluiremos o desenho, fazendo:

Limites da Classe: 20 Md 30

É preciso agora que você releia com calma os passos necessários à feitura deste
desenho acima. À primeira vista, parece ser complicado. Mas não é! Quando nos habituarmos
a trabalhar com ele, estejam certos de que se tornará facílimo!
Uma vez diante deste desenho, marcaremos o pedaço da classe que vai do limite
inferior até a Mediana, e procuraremos por quatro valores. Os seguintes:


Encontrando estes quatro valores, teremos:



10

X

4

7

Os quatro valores encontrados preencherão os quatro espaços de uma igualdade entre
duas frações. Uma dessas frações será composta pelos valores referentes à classe inteira. E a
segunda delas, pelos valores referentes à classe quebrada! Teremos:

10 x
7 4

Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x10)/7 X=5,71
Agora, resta-nos olhar para o desenho, e constataremos que para chegar à Mediana,
teremos que somar o limite inferior ao X que acabamos de calcular.

Teremos: Md=20+X Md=20+5,71 Md=25,71 Resposta!

Façamos mais um exemplo: uma questão recente de AFRF.
(AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10


Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X.
a) 71,04 d) 68,08
b) 65,02 e) 70,02
c) 75,03

Sol.: A questão pediu o cálculo da Mediana da Distribuição de Freqüências. Vamos fazer isso
apenas seguindo os passos que aprendemos acima, como se estivéssemos seguindo uma
receita de bolo. Não tem errada! Vamos:
1º) Encontrar o valor do n (somando a coluna da fi) e calcular a fração da Mediana
(n/2). Teremos:
Classes fi
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
n=100

(n/2)=50

2º) Construir a coluna da fac (freqüência absoluta acumulada crescente):

Classes fi fac
29,5-39,5 4 4
39,5-49,5 8 12
49,5-59,5 14 26
59,5-69,5 20 46
69,5-79,5 26 72
79,5-89,5 18 90
89,5-99,5 10 100
n=100

3º) Comparar os valores da fac com o valor da fração da Mediana (n/2), fazendo a
velha pergunta: esta fac é maior ou igual a (n/2)? até que a resposta seja sim!
Classes fi fac
29,5-39,5 4 4 4 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
69,5-79,5 26 72 72 é maior ou igual a 50? SIM! (PARAMOS AQUI!)
79,5-89,5 18 90
89,5-99,5 10 100
n=100

Com esses passos iniciais, conseguimos identificar qual é a Classe Mediana (69,5-79,5).
Resta-nos preparar o desenho, para cálculo da Mediana!
Comecemos com a parte de cima do desenho, onde colocaremos os limites da Classe
Mediana. Teremos:

Limites da Classe: 69,5 79,5


Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freqüências absolutas acumuladas
crescentes associadas àqueles dois limites. Já sabemos: serão sempre a fac da classe
anterior e a fac da própria classe mediana. Teremos:

Limites da Classe: 69,5 79,5
fac associadas: 46 72

Quase lá! Qual é a posição da Mediana neste conjunto? É o resultado da fração: 50.
Assim, associada à posição 50 teremos a Mediana. Nosso desenho completo é o seguinte:

Limites da Classe: 69,5 Md 79,5

Uma vez que o desenho já está completo, iremos à procura de quatro valores.
Faremos:

10

X

Limites da Classe: 69,5 Md 79,5
4

26

Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:

10 x
26 4
Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x10)/26 X=1,54
Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao
valor do X que acabamos de calcular. Teremos:
Md=69,5+1,54 Md=71,04 Resposta!



E aí? Fácil, não? Facílimo! E vai ficar ainda mais quando você praticar, resolvendo várias
questões de provas recentes!
Convém que você repita as resoluções até que esses passos fiquem todos
automatizados em sua mente. Na hora da prova, é só ligar o piloto automático e sair
resolvendo a questão sem dificuldade alguma!
Mais algumas informações. Considere o seguinte conjunto:
{1, 2, 3}
A Mediana, todos concordam, é Md=2.
Se somarmos os elementos deste conjunto com a constante 10, teremos:
{11, 12, 13}
E a nova mediana é 12. Ou seja, valeu aqui também para a Mediana a propriedade da
soma (e da subtração)!
Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto original por 10, teremos:
{10, 20, 30}
A nova mediana é 20. Vale também para a Mediana a propriedade do produto (e da
divisão)!
Em suma: a Mediana também é influenciada pelas quatro operações!
Se você trocar 3 por 300, nosso conjunto original agora será:
{1, 2, 300}
E a Mediana continuará a ser 2. Ou seja, a Mediana, assim como a Moda (e
diferentemente da Média), não é influenciada por valores extremos!
Certo?
Ótimo! Há ainda mais a se falar acerca das três medidas de tendência central. Mas eu
creio que por hoje já temos um considerável número de informações para assimilar.
Concordam?
Fiquem então com o nosso...

... Dever de Casa:

01. (AFPS-2002/ESAF) Assinale a opção que dá o valor de “a” para o qual a

∑i =1 ( xi − a) = 0
n
equação é sempre verdadeira.
a) A média dos valores x.
b) A mediana dos valores x.
c) A moda dos valores x.
d) O desvio padrão dos valores x.
e) O coeficiente de assimetria dos valores x.

02. (TCDF-95) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os
salários médios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino são de
R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então, nessa empresa:
a) o número de homens é o dobro do número de mulheres.
b) O número de homens é o triplo do número de mulheres.
c) O número de homens é o quádruplo do número de mulheres.
d) O número de mulheres é o triplo do número de homens.
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.


03. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra,
realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio
observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$
1.100,00. Assinale a opção correta.
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.

04. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa
bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15,
15, 15, 16, 16, 18, 23
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.

a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 9

05. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) Dados os conjuntos de valores:
A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10}
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10}

Em relação à moda, afirmamos que:
I – A é unimodal e a moda é 8
II – B é unimodal e a moda é 9
III – C é bimodal e as modas são 4 e 9

Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que:
a) Todas são verdadeiras
b) Todas são falsas
c) Somente I e II são verdadeiras
d) Somente I e III são verdadeiras
e) Somente II e III são verdadeiras

06. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Em uma fila, oito pessoas
esperaram, em minutos, os seguintes tempos para serem atendidas: 8, 11, 5,
14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, em minutos, é:
A) 11 B) 13 C) 15 D) 17

07. (ANAL. FIN. E CONT. GDF-94) Os valores (em 1000 URVs) de 15 imóveis
situados em uma determinada quadra são apresentados a seguir, em ordem
crescente: 30, 32, 35, 38, 50, 58, 64, 78, 80, 80, 90, 112, 180, 240 e 333.
Então, a mediana dos valores destes imóveis é:
a) 78 c) 80
b) 79 d) 100

08. (ESAF/TTN) Assinale a opção correta.
a) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas
partes de igual freqüência.
b) A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da
variável.
c) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da
distribuição.
d) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da
distribuição.
e) A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de
medida da variável a que se referem.


(AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguinte, utilize a série estatística
abaixo:
2 5 7 13
3 6 9 13
3 6 11 13
4 6 11 13
4 7 12 15

09. Os valores da mediana e da moda da série são, respectivamente:
a) 4 e 15 b) 7 e 12 c) 6 e 13 d) 7 e 13 e) 9 e 13

10. (TTN-94) Marque a alternativa correta:
a) O intervalo de classe que contém a moda é o de maior freqüência relativa
acumulada (crescentemente).
b) A freqüência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das
freqüências simples em ordem decrescente.
c) Em uma distribuição de freqüências existe uma freqüência relativa
acumulada unitária, ou no primeiro, ou no último intervalo de classe.
d) O intervalo de classe que contém a mediana é o de maior freqüência
absoluta simples.
e) Os intervalos de classe de uma distribuição de freqüência têm o ponto
médio eqüidistante dos limites inferior e superior de cada classe e sua
amplitude ou é constante ou guarda uma relação de multiplicidade com a
freqüência absoluta simples da mesma classe.

11. (ESAF/TTN) Dado o gráfico abaixo, onde fi é a freqüência simples ou
absoluta da i-ésima classe, então:

fi

12

10
8

6

4
2

2 4 6 8 10 12 14 16 idades

a) a moda se encontra na 4o classe e é igual a 9;
b) o número de observações é 42;
c) como a distribução é assimétrica, moda=média=mediana;
d) a freqüência acumulada crescente da 3ª classe é 20;
7
e) ∑ fi = 48 .
i =1

12. (FISCAL DO TRABALHO-94) O levantamento de dados sobre os salários de 100
funcionários de uma determinada empresa forneceu os seguintes resultados:

Quantidade de Quantidade de
salários mínimos funcionários
2 |— 4 25
4 |— 6 35
6 |— 8 20
8 |— 10 15
10|— 12 5
Total 100


É correto afirmar que:
a) 20% dos funcionários recebem acima de 6 salários mínimos
b) a mediana é 7 salários mínimos
c) 60% dos funcionários recebem menos que 6 salários mínimos
d) o salário médio é de 7 salários mínimos
e) 80% dos funcionários recebem de 6 a 8 salários mínimos

(TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir:
Xi fi
2 |— 4 9
4 |— 6 12
6 |— 8 6
8 |— 10 2
10|— 12 1

13. A mediana da distribuição é igual a:
a) 5,30kg
b) 5,00kg
c) um valor inferior a 5kg
d) 5,10kg
e) 5,20kg

14. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) As distâncias, em milhares de quilômetros,
percorridas em um ano pelos 20 táxis de uma empresa, estão representadas no
quadro seguinte:
Distâncias Número de Táxis
45 |— 55 3
55 |— 65 7
65 |— 75 4
75 |— 85 5
85 |— 95 1
Total

Nestas condições, é correto afirmar que a mediana dessa distribuição, em
milhares de quilômetros é:
a) 57 b) 61 c) 65 d) 69 e) 73

15. (AFTN/1994) Com relação à distribuição de freqüências abaixo, podemos
dizer que a mediana e a moda:

classes fi
2 |— 4 7
4 |— 6 9
6 |— 8 18
8 |—10 10
10 |— 12 6
Total

a) Têm valor superior ao da média aritmética
b) Têm valor inferior ao da média aritmética
c) Têm o mesmo valor
d) Diferem por um valor igual a 10% da média aritmética
e) Diferem por um valor superior a 10% da média aritmética.


(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados:

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90
Classes de Freqüência Pontos Xi − 37 fi.di fi.di2 Fi.di3 fi.di4
Idades s Médios = di
(anos) (fi) (Xi) 5
19,5 |— 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162
24,5 |— 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144
29,5 |— 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23
34,5 |— 39,5 29 37 — — — — —
39,5 |— 44,5 18 42 1 18 18 18 18
44,5 |— 49,5 12 47 2 24 48 96 192
49,5 |— 54,5 7 52 3 21 63 189 567
Total 16 206 154 1106

16. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em
1º/1/90.
a) 35,49 anos b)35,73 anos c) 35,91 anos d)37,26 anos e)38,01 anos

17. Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em
1º/1/90.
a) 35,97 anos d) 37,03 anos
b) 36,26 anos e) 37,31 anos
c) 36,76 anos

Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da
empresa continua o mesmo em 1º/1/96.

18. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em
1º/1/96.
a) 35,49 anos c) 41,49 anos e) 43,26 anos
b) 36,44 anos d) 41,91 anos

(AFRF-2000) Para efeito das duas próximas questões faça uso da tabela de
freqüências abaixo.

Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Acumuladas
( 3 ; 6] 12
( 6 ; 9] 30
( 9 ; 12] 50
(12 ; 15] 60
(15 ; 18] 65
(18 ; 21] 68

19. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que
corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição
de freqüências.
a) 12,50 d) 12,00
b) 9,60 e) 12,10
c) 9,00


(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue.
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100

20. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil (= Mediana)
da distribuição de X.
a) 138,00 d) 139,01
b) 140,00 e) 140,66
c) 136,67

(AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10

21. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do
atributo X.
d) 71,04 d) 68,08
e) 65,02 e) 70,02
f) 75,03

22. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito
de Czuber.
a) 69,50 b) 73,70 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10

(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duas
próximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$
1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de
Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F
29,5 - 39,5 2
39,5 - 49,5 6
49,5 - 59,5 13
59,5 - 69,5 23
69,5 - 79,5 36
79,5 - 89,5 45
89,5 - 99,5 50


23. Assinale a opção que corresponde ao salário modal anual estimado para o
departamento de fiscalização da Cia. X, no conceito de Czuber.
a) 94,5 d) 69,7
b) 74,5 e) 73,8
c) 71,0

24. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de
um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a
tabela de freqüências seguinte:

Classe de mi fi
Preços
[ 5 – 9) 7 3
[ 9 – 13) 11 5
[13 – 17) 15 7
[17 – 21) 19 6
[21 – 25) 23 3
[25 – 29) 27 1

Deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale
a opção que melhor aproxima este valor.
a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14,2

25. (Fiscal-Campinas-2002) Dada a distribuição de freqüência abaixo, indique o
valor da Moda e Mediana, respectivamente

Classes Fi
4|—6 12
6|—8 36
8|—10 18
10|—12 4
a) 7,14 7,28 d) 5,84 7,5
b) 6,54 5,78 e) 6,24 6,78
c) 7,24 6,38

26. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência
obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As
freqüências são acumuladas.

(5.000-6.500) 12
(6.500-8.000) 28
(8.000-9.500) 52
(9.500-11.000) 74
(11.000-12.500) 89
(12.500-14.000) 97
(14.000-15.500) 100

Assinale a opção que corresponde ao salário mediano
a) R$ 10.250, b)R$ 8.000, c) R$ 8.700, d)R$ 9.375, e) R$ 9.500,

(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução das três
próximas questões utilize o enunciado que segue.

A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário
mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200
funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes
salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao
percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.


Classes P
4 – 8 20
8 – 12 60
12 – 16 80
16 – 20 98
20 – 24 100

27. Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

28. Assinale a opção que corresponde ao salário mediano calculado a partir de
dados agrupados por interpolação da ogiva.
a) 12 d) 10
b) 9 e) 11
c) 8

As duas próximas questões dizem respeito à distribuição de freqüências seguinte
associada ao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes com
os extremos das classes.
Classes Freqüências
Simples
0-10 120
10-20 90
20-30 70
30-40 40
40-50 20

29. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá a moda no conceito de Czuber.
a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 15

30. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá o valor aproximado da mediana
amostral das observações de . X
a) 20,0 b) 5,0 c) 12,0 d) 15,8 e) 15,6

Bons estudos! Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!


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