1. Aula 11
Fun»~es trigonom¶tricas e o
co e
primeiro limite fundamental"
Nesta aula estaremos fazendo uma pequena revis~o de fun»oes trigonom¶tricas e apre-
a c~ e
sentando um limite que lhes determina suas derivadas.
11.1 Pequena revis~o de trigonometria
a
11.1.1 Trigonometria geom¶trica
e
Consideremos os tri^ngulos ABC e A0 B 0 C 0 da ¯gura 11.1. Os dois tri^ngulos s~o
a a a
semelhantes, pois seus ^ngulos internos s~o iguais (congruentes). Assim, temos
a a
AB AB 0 BC B0C 0 BC B0C 0
= ; = ; =
AC AC 0 AC AC 0 AB AB 0
AB
Assim, sendo ABC um tri^ngulo ret^ngulo, como na ¯gura 11.1 as raz~es
a a o AC
,
BC BC ^
e AB dependem somente da abertura µ = A.
AC
C'
C
θ
A B B'
Figura 11.1.
Chamamos
93

2. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 94
AB cateto adjacente ao ^ngulo µ
a
cosseno de µ = cos µ = =
AC hipotenusa
BC cateto oposto ao ^ngulo µ
a
seno de µ = sen µ = =
AC hipotenusa
BC cateto oposto ao ^ngulo µ
a
tangente de µ = tg µ = =
AB cateto adjacente ao ^ngulo µ
a
sen µ
Deduz-se imediatamente que tg µ = .
cos µ
Da trigonometria do ensino m¶dio, s~o bem conhecidos os valores
e a
µ cos µ sen µ tg µ
0 1 0 0
p p
30± 3=2 1=2 1= 3
p p
45± 2=2 2=2 1
p p
60± 1=2 3=2 3
90± 0 1 n~o se de¯ne
a
_
Se P Q ¶ um arco de um c¶
e ³rculo de raio r, correspondente a um ^ngulo central de
a
_
abertura ®, o comprimento c de P Q ¶ dado por
e
c = r ¢ (medida de ® em radianos)
Q
c
O α
r
P
Figura 11.2. c = r ¢ ® (quando ® ¶ medido em radianos).
e
_
Assim, o comprimento c do arco P Q ¶ diretamente proporcional a r e a ®. Quando
e
±
® = 360 , temos
c = comprimento da circunfer^ncia = 2¼ ¢ r
e
Assim sendo,
360± = 360 graus = 2¼ radianos, ou seja 180± = ¼

3. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 95
_
Se r = 1 = uma unidade de comprimento, o comprimento c do arco P Q ¶
e
simplesmente a medida de ® em radianos.
A ¶rea do setor circular de ^ngulo central ® tamb¶m ¶ proporcional a ®. Quando
a a e e
® = 2¼, temos a ¶rea de um c¶
a ³rculo de raio r: A = ¼r2 . Assim, um setor circular de
® 2
abertura ®, tem ¶rea A® = ¢ r (® em radianos).
a
2
11.1.2 Trigonometria anal¶
³tica
Para de¯nir as fun»~es trigonom¶tricas de vari¶vel real, consideramos um sistema carte-
co e a
siano ortogonal de coordenadas no plano. Nele, consideramos a circunfer^ncia de
e
2 2
equa»~o x + y = 1 (de centro em (0; 0) e raio 1). Esta circunfer^ncia ¶ o que
ca e e
chamaremos de c¶ ³rculo trigonom¶trico.
e
Dado um n¶mero real ®, tomamos A = (1; 0) e demarcamos, no c¶
u ³rculo trigo-
nom¶trico, um ponto P® tal que a medida do percurso de A a P® , sobre o c¶
e ³rculo
trigonom¶trico, ¶ igual a j®j (¯gura 11.3). Teremos o percurso AP® passando uma ou
e e
v¶rias vezes pelo ponto A, quando j®j > 2¼.
a
_
A partir do ponto A, o percurso AP® ¶ feito no sentido anti-hor¶rio (contr¶rio ao
e a a
sentido do movimento dos ponteiros do rel¶gio) se ® > 0, e ¶ feito no sentido hor¶rio
o e a
(no mesmo sentido do movimento dos ponteiros do rel¶gio) se ® < 0. Tal percurso ¶
o e
um arco orientado. Dizemos que ® ¶ a medida alg¶brica do arco orientado AP® .
e e
Assim, por exemplo, P¼ = P¡¼ = (¡1; 0), P¼=2 = (0; 1), P¡¼=2 = (0; ¡1),
p p p
P¼=4 = ( 2=2; 2=2), P¼=3 = ( 3=2; 1=2), e P0 = (1; 0) = P2¼ = P2n¼ , para cada
inteiro n.
Sendo ® 2 R, consideremos P® = (x® ; y® ), de¯nido como acima. De¯nimos
x® = cos ® = cosseno de ®;
y® = sen ® = seno de ®
Para estendermos a de¯ni»~o de tangente de ® a arcos orientados ®, tomamos
ca
um eixo y 0 , paralelo ao eixo y, de origem O0 = A, orientado positivamente para cima,
no qual usaremos a mesma escala de medidas do eixo y. Sendo ® 2 R, consideramos
a reta OP® . Se ® 6¼ § n¼, para todo n 2 Z, esta reta intercepta o eixo y 0 em T® .
= 2
Sendo t® a abcissa de T® no eixo y 0 , de¯nimos
t® = tg ® = tangente de ®
sen ®
Assim sendo, tg ® = .
cos ®
Se 0 < ® < ¼=2, os valores cos ®, sen ®, e tg ® coincidem com aqueles das
de¯ni»~es geom¶tricas de cosseno, seno e tangente, dadas na se»~o 11.1.1.
co e ca
Tamb¶m de¯nem-se as fun»~es trigonom¶tricas
e co e

4. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 96
y
P = (x α ,y α )
α
α
x
O A=(1,0)
Figura 11.3.
y y'
P Tα
α
α
x
O O' = A
Figura 11.4. No sistema Oxy, T® = (1; t® ) = (1; tg ®).
cos ®
cotangente de ® = cotg ® = (® 6n¼; 8n 2 Z)
=
sen ®
1 ¼
secante de ® = sec ® = (® 6 + n¼; 8n 2 Z)
=
cos ® 2
1
cossecante de ® = cosec ® = (® 6n¼; 8n 2 Z)
=
sen ®
Na ¯gura 11.5, ilustramos geom¶tricamente as seis fun»~es trigonom¶tricas de um
e co e
arco ® no primeiro quadrante, isto ¶, satisfazendo 0 < ® < ¼=2.
e
Listamos abaixo algumas f¶rmulas uteis, envolvendo as fun»oes trigonom¶tricas.
o ¶ c~ e
2 2 2 2 2 2
Aqui e sempre, cos a = (cos a) , sen a = (sen a) , tg a = (tg a) , etc.
1. cos2 a + sen2 a = 1 (isto porque x2 + ya = 1)
a
2
2. 1 + tg2 a = sec2 a (dividindo-se ambos os membros da equa»~o 1 por cos2 a)
ca
1+cotg a = cosec a (dividindo-se ambos os membros da equa»~o 1 por sen2 a)
2 2
ca

5. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 97
y y'
cotg α
x'
P tg α
cosec α 1
α
sen α α
A x
O cos α
sec α
Figura 11.5. Geometria das seis fun»~es trigonom¶tricas, no primeiro quadrante.
co e
y
1 y = sen x
-π 3 π /2
0 π /2 π 2π x
-1
y
y = cos x
1
- π /2 3π /2
0 π /2 π 2π x
-1
y
y = tg x
1
- π /2 3π /2
0 π /4 π /2 π x
-1
Figura 11.6. Gr¶¯cos das fun»~es seno, cosseno e tangente.
a co
3. sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a
sen(a ¡ b) = sen a cos b ¡ sen b cos a

6. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 98
cos(a + b) = cos a cos b ¡ sen a sen b
cos(a ¡ b) = cos a cos b + sen a sen b
4. cos(¡a) = cos a, sen(¡a) = ¡ sen a
sen(¡a) ¡ sen a
tg(¡a) = = = ¡ tg a
cos(¡a) cos a
5. sen 2a = sen(a + a) = 2 sen a cos a
cos 2a = cos(a + a) = cos2 a ¡ sen2 a
¡ ¢ ¡ ¢
6. cos a = sen ¼ ¡ a , sen a = cos ¼ ¡ a
2 2
11.2 O primeiro limite fundamental
Vamos admitir que as seis fun»~es trigonom¶tricas s~o cont¶
co e a ³nuas nos pontos onde est~o
a
de¯nidas.
Na pr¶xima aula estaremos de¯nindo as fun»~es trigonom¶tricas inversas e cal-
o co e
culando as derivadas de todas as fun»~es trigonom¶tricas. Para calcular a derivada de
co e
sen x, e ent~o calcular as derivadas das demais fun»~es trigonom¶tricas, deduziremos
a co e
primeiramente o seguinte resultado, chamado na literatura do c¶lculo de primeiro limite
a
fundamental.
Proposi»~o 11.1 (Primeiro limite fundamental)
ca
sen x
lim =1
x!0 x
Demonstra»~o. Seja ® um n¶mero real, 0 < ® < ¼=2, e consideremos, no c¶
ca u ³rculo
_
trigonom¶trico, o arco AP de comprimento ®, sendo A = (1; 0) e P = P® .
e
Sejam P 0 a proje»~o ortogonal do ponto P no eixo x (P P 0 ? Ox), e T a interse»~o
ca ca
0
da reta OP com o eixo y das tangentes.
_
Temos ent~o P P 0 < AP , ou seja sen ® < ®.
a
Al¶m disso, a ¶rea do setor circular AOP ¶ dada por A® = ® r2 = ® .
e a e 2 2
tg ®
A ¶rea do tri^ngulo OAT ¶ dada por ¢ = 1 OA ¢ AT =
a a e 2 2
.
tg ®
Obviamente A® < ¢, da¶ ® <
³ 2 2
, e portanto ® < tg ®.
Sumarizando, sendo 0 < ® < ¼=2,
sen ® < ® < tg ®

7. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 99
y'
y T
P
1
α
x
O P' A
Figura 11.7.
® tg ® 1
Como sen ® > 0, temos ent~o 1 <
a < = . Comparando os inversos
sen ® sen ® cos ®
dos tr^s termos, obtemos
e
sen ®
cos ® < <1
®
Para ¡¼=2 < ® < 0 tamb¶m valem as desigualdades acima, j¶ que, se 0 < ® < ¼=2,
e a
sen(¡®) ¡ sen ® sen ®
cos(¡®) = cos ® e = = .
¡® ¡® ®
Agora faremos uso de um teorema sobre limites (que s¶ pode ser demonstrado a
o
partir de um tratamento formal da teoria de limites), o teorema do confronto ou teorema
do sandu¶ ³che:
Teorema 11.1 (Teorema do confronto, ou teorema do sandu¶ ³che) Sendo I ½
R um intervalo, sendo a 2 I, e f , g e h fun»oes de¯nidas para x 2 I, x 6a, se
c~ =
f (x) · g(x) · h(x) para todo x 2 I; x 6a, e se lim f(x) = lim h(x) = L, ent~o
= a
x!a x!a
lim g(x) = L. Vale o mesmo resultado para limites laterais (neste caso, a pode ser o
x!a
extremo inferior ou superior do intervalo I). Vale o mesmo resultado se a = +1 ou
¡1.
sen ®
No nosso caso, temos f (®) = cos ®, g(®) = e h(®) = 1, todas de¯nidas
®
para ¡¼=2 < ® < ¼=2, ® 60, satifazendo f(®) < g(®) < h(®).
=
Temos lim f(®) = lim cos ® = 1, e lim h(®) = lim 1 = 1.
®!0 ®!0 ®!0 ®!0
Portanto lim g(®) = 1, ou seja,
®!0
sen ®
lim =1
®!0 ®
sen x
Veremos adiante que o resultado lim = 1, primeiro limite fundamental, ¶
e
x!0 x
imprescind¶ para a dedu»~o das derivadas das fun»~es trigonom¶tricas. Note que as
³vel ca co e

8. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 100
desigualdades sen x < x < tg x, empregadas no c¶lculo desse limite, s¶ fazem sentido
a o
se x 2 R, quando ent~o jxj ¶ a medida de um arco orientado (em radianos), em um
a e
c¶
³rculo trigonom¶trico.
e
¡ ¢
1 n
O segundo limite fundamental ¶ aquele j¶ visto na aula 9, lim 1 + n = e.
e a
n!+1
11.3 Problemas
sen x
1. Calcule os seguintes limites, lembrando-se de que lim x
= 1.
x!0
sen(x=3) sen ax sen2 2t sen x
(a) lim (b) lim (c) lim (d) lim
x!0 x x!0 bx t!0 t2 x!¼ x ¡ ¼
sen2 t 1 ¡ cos ax sen 3x
(e) lim (f) lim x cotg x (g) lim (h) lim
t!0 1 ¡ cos t x!0 x!0 bx x!0 sen 5x
2 sen x
(i) lim x sen (j) lim (k) lim x ¢ cos(1=x)
x!+1 x x!+1 x x!0
sen(x=3) sen(x=3)
Respostas. (a) 1=3. Sugest~o. Fa»a lim
a c x = lim 3 ¢ x=3 (b) a=b (c) 4
x!0 x!0
(d) ¡1. Sugest~o. Fa»a primeiramente a mudan»a de vari¶vel x ¡ ¼ = y.
a c c a (e) 1.
sen2 t sen2 t(1+cos t)
Sugest~o. lim 1¡cos t = lim (1¡cos t)(1+cos t) (f) 1 (g) 0 (h) 3=5 (i) 2
a (j) 0.
t!0 t!0
1 sen x 1
Sugest~o. Se x > 0, ¡ x ·
a x · x (k) 0. Sugest~o. Mostre que lim jx cos(1=x)j =
a
x!0
0, considerando que jx cos(1=x)j · jxj, e use o teorema do confronto (teorema 11.1).