aprenda tudo sobre função de maneira simples e fácil

1. FUNÇÃO?
O que é uma função?
R.: Função é uma relação entre uma entrada e uma saída.
f (x)
"f (x) = ... " é a forma clássica de escrever uma função.
Existe outras maneiras, como você vai ver!
Entrada, Relacionamento, Saída
Veremos muitas maneiras de pensar sobre as funções, mas há sempre três partes principais:
 A entrada
 O relacionamento
 A saída
Exemplo: "Multiplique por 3" é uma função muito simples.
Entrada Relacionamento Saída
0 3 × 0
1 3 × 3
7 3 × 21
10 3 × 30
... ... ...
Para uma entrada de 20, qual é a saída?
Alguns exemplos de funções
 x2
é uma função
 x2
+ 1 também é uma função
 x3
+ 1 também é uma função
 x + 1 também é uma função
 Seno, cosseno e tangente são funções usadas em trigonometria
 e existe muito mais!
Mas nós não vamos nos concentrar em funções específicas ... em vez disso, vamos olhar
para a idéia geral de uma função.

2. Nome da função
Primeiramente, é útil trabalhar com uma função que tenha nome .
O nome mais comum é "f ", mas podemos ter outros nomes como " g " ... ou se preferirmos
podemos chama - lá de "abacaxi".
Mas vamos usar "f":
Dizemos "f de x é igual ao quadrado x"
o que se passa com a função é colocado dentro de parênteses () após o nome da função:
Assim:
f (x) mostra-nos que a função é chamada "f" de "x" .
E o que uma função faz com a entrada:
f (x) = x2
nos mostra que a função "f " de "x" eleva o “x” ao quadrado.
Exemplo: com f (x) = x2
:
 uma entrada de 3
 torna-se uma saída de 9
Na verdade, podemos escrever f (3) = 9 .
O "x" é apenas um lugar-suporte!
Não fique muito preocupado com "x", ele está ali apenas para nos mostrar onde a entrada
vai e o que acontece com ela.

3. Poderia ser qualquer coisa!
Assim, esta função:
f (x) = 1 - x + x2
É a mesma função que:
 f (p) = 1 - p + p2
 g (a) = 1 - a + a2
 w (c) = 1 - c + c2
A variável (x, p, a, etc) está lá apenas para sabemos onde colocar os valores, então:
f ( 2 ) = 1 - 2 + 22
= 3
Às vezes, a função não tem nenhum nome
Às vezes, uma função não tem nome, e nós podemos encontrar algo como:
y = x2
Mas ainda há:
 uma entrada (x)
 uma relação (quadratura)
 e uma saída (y)
Relacionando
Numa função nada mais é do que a relação de uma entrada com uma saída.
Dizer "f (4) = 16" (lê-se: f de quatro é igual a dezesseis) é como dizer que 4 está de
alguma forma relacionado com 16.
Exemplo: Se uma árvore cresce 30 centímetros por ano, deste modo, dizemos que a altura
da árvore está relacionada com a sua idade, então podemos dar uma nome h para a
função e escreve - lá assim:
h (idade) = idade × 30
Assim, se a idade é de 5 anos, a altura é de:
h (5) = 5 x 30 = 150 centímetros

4. Aqui estão alguns exemplos de valores:
idade
h (idade) = idade ×
20
0 0
1 30
2,2 66
10 300
... ...
Quais tipos de coisas podem sair das funções?
"Numeros" parece uma resposta óbvia, mas ...
... quais números?
Por exemplo, a função de árvore com altura h (idade) = idade × 30 não
faz sentido para uma idade inferior a zero.
... Que também poderia ser letras ("A" → "B"), ou códigos de identificação
("A6309" → "senha") ou coisas estranhas.
Então, precisamos de algo mais poderoso , e é aí que entra os conjuntos:
Um conjunto é uma coleção de coisas.
Aqui estão alguns exemplos:
Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Conjunto de roupas: {"calça", "camisa", ...}
Conjunto de números primos: {2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
positivos múltiplos de 3, que são menos do que 10: {3, 6, 9}
Cada coisa do conjunto (como "4" ou "camisa") é chamado de um membro , ou elemento .
Assim, a função tem elementos de um conjunto , e dá de saída elementos de outro
conjunto .

5. Uma regra importante
Uma função tem regras especiais :
 Ela deve funcionar para cada valor de entrada possível
 E ter apenas uma relação para cada valor de entrada
Isso é uma regra importante da função e é a base da definição de função:
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Uma função relaciona cada elemento de um conjunto
com exatamente um elemento de outro conjunto.
As duas coisas importantes!
1. "... Cada elemento ..." significa que cada elemento do conjunto X está relacionado
com um elemento do conjunto Y .
(Mas alguns elementos de Y podem não estar relacionados, isso é permitido)
2. "... Exatamente um ..." significa que uma função tem um único valor. Não vai
existir 2 ou mais resultados para a mesma entrada.
Assim, "f (2) = 7 ou 9" não está certo!
Nota: "um-para-muitos" não é permitido, mas "muitos-para-um" é permitido:

6. (Um-para-muitos) (Muitos-para-um)
Este é NÃO É PERMITIDO em uma função Isso é permitido em uma função
Quando um relacionamento não segue essas duas regras, então não é uma função ...
ainda é um relacionamento , mas não é uma função.
Exemplo: A relação x → x2
Também poderia ser escrito como uma tabela:
X: x Y: x 2
3 9
1 1
0 0
4 16
-4 16
... ...
É uma função , porque:
 Cada elemento de X está relacionado com Y
 Nenhum elemento no X tem duas ou mais relações
Por isso, segue as regras.
(Note como 4 e -4 ambos relacionam com 16 , o que é permitido.)
Exemplo: Esta relação não é uma função:

7. É um relacionamento, mas não é uma função , por estas razões:
 Valor "3" em X não tem relação em Y
 Valor "4" em X não tem relação em Y
 Valor "5" está relacionado com mais de um valor em Y
(Mas o fato de que "6" em Y não tem nenhuma relação, não importa)
O Teste da Linha Vertical
Em um gráfico, a idéia de valor único significa que nenhuma linha vertical irá atravessar
mais de um valor.
Se a linha vertical cruzar mais do que uma vez a linha do gráfico, a relação não é uma
função .
Alguns tipos de funções têm regras mais rigorosas, mas isso quando estudarmos
função injetora, função sobrejetora e função bijetora
Infinitos
Os exemplos citados têm apenas alguns valores, mas a função funciona normalmente
quando trabalhamos com conjuntos com infinitos elementos.
Exemplo: y = x3

8.  O conjunto de entrada "X" é todos os números reais
 O conjunto de saída "Y" é também todos os números reais
Não podemos mostrar todos os valores, por isso aqui estão apenas alguns exemplos:
X: x Y: x3
-2 -8
-0,1 -0001
0 0
1,1 1,331
3 27
e assim por
diante ...
e assim por
diante ...
Domínio, Contradomínio e Imagem
Nos exemplos acima
 o conjunto de "X" é chamado de Domínio ,
 o conjunto de "Y" é chamado de contradomínio , e
 o conjunto de elementos que são apontados em Y (os valores reais produzidos pela
função) é chamada de Imagem .
Você deve estudar uma capítulo a parte sobre Domínio, Contradomínio e Imagem.
Muitos nomes!
Funções têm sido utilizados em matemática por muito longo, e diferentes nomes e formas de
escrever funções surgiram.
Aqui estão alguns termos comuns que você deve se familiarizar:

9. Exemplo: com z = 2u3
:
 "u" poderia ser chamado de "variável independente"
 "z" poderia ser chamado o "variável dependente" (que depende do valor de u)
Exemplo: com f (4) = 16:
 "4" poderia ser chamado de "argumento"
 "16" poderia ser chamado de "valor da função"
Pares ordenados
Esta é outra maneira de pensar sobre as funções:
Faça a entrada e saída de uma função com um "par ordenado", tal como (4,16).
Eles são chamados pares ordenados porque a entrada sempre vem em primeiro lugar, e a
saída em segundo:
(Entrada, saída)
Portanto, par ordenado nada mais é do que:
( x , f (x) )
Exemplo:
(4,16) significa que a função na entrada "4" dá resultado "16"
Conjunto de pares ordenados
A função pode ser definida como um conjunto de pares ordenados:
Exemplo: {(2,4), (3,5), (7,3)} é uma função que diz

10. "2 está relacionada com 4", "3 está relacionada com a 5" e "7 está relacionado 3".
Além disso, observe que:
 o domínio é {2,3,7} (os valores de entrada)
 e a imagem é {4,5,3} (os valores de saída)
Mas a função tem que ter um resultado único, por isso podemos dizer
"Se ela contém (a, b) e (a, c), então b é igual a c"
Que é apenas uma maneira de dizer que uma entrada de "a" não pode produzir dois
resultados diferentes.
Exemplo: {( 2 , 4 ), ( 2 , 5 ), (7,3)} não é uma função porque {2,4} e {2,5} significa que
2 pode estar relacionado com 4 ou 5.
Em outras palavras, não é uma função porque o resultado da função não é único.
O benefício dos pares ordenados
Podemos representar as funções ...
... Porque eles são também coordenadas do plano cartesiano!
Assim, um conjunto de coordenadas é também uma função (se
elas seguirem as regras de uma função)
A função pode ter várias partes
Podemos criar funções que se comportam de forma diferente, dependendo do valor de
entrada
Exemplo: A função com duas partes:
 quando x é menor que 0, dá -5,
 quando x é 0 ou mais dá x2

11. Aqui estão alguns exemplos de valores:
x y
-3 5
-1 5
0 0
2 4
4 16
... ...
Explícita vs Implícita
Um último tópico: os termos "explícito" e "implícito".
"Explícito" é quando a função nos mostra como ir diretamente de x para y, tais como:
y = x3
- 3
Quando sabemos x, podemos encontrar y
Esse é o clássico y = f (x) estilo.
" implícita "é quando ele é não dado diretamente, tais como:
x2
- 3xy + y3
= 0
Mesmo sabendo o valor de x, não é fácil encontrar o valor de y?
Pode ser difícil (ou impossível!) ir diretamente a y partir de x.
"Implícita" significa que a função é mostrada indiretamente.
RESUMO
- uma função refere-se a entradas e saídas
- uma função toma elementos de um conjunto (o domínio ) e relaciona-os
com elementos de outro conjunto (o contradomínio).
- o conjunto de todas as saídas (os valores relacionados), é chamado de
imagem.
- a função é um tipo especial de relação em que:
o todo elemento no domínio está incluído na relação, e
o qualquer entrada produz apenas uma saída. (não pode haver
dúvida, ou este ou aquele).

12. - uma entrada e sua saída de correspondência são, em conjunto, um par
ordenado, assim uma função também pode ser vista como um conjunto
de pares ordenados.