Aula 1: Revisão do secundário — Cálculo de           derivadas, Regras de derivação                                Diana A...
1    • (arcsin x)0 = √                     1 − x2                      u0    • (arcsin u)0 = √                     1 − u2 ...
1               3 4. f (x) = √ =⇒ f 0 (x) = − √            5                5              x 3           5 x8 5. f (x) = x...
• e+∞ = +∞  √        √  √• A + B 6= A + B  √      √ √• AB = A B  √     ³√ ´n• An =    A    r   √    A    A•     =√    B   ...
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Derivadas

  1. 1. Aula 1: Revisão do secundário — Cálculo de derivadas, Regras de derivação Diana Aldea Mendes ISCTE 3 de Fevereiro de 20091 Algumas regras de derivaçãoEm tudo que segue k representa um número real e u, v representam funçõesreais de uma variável real. • k0 = 0 • (ku)0 = ku0 • (u + v)0 = u0 + v0 ¡ ¢0 • xk = kxk−1 ¡ ¢0 • uk = kuk−1 u0 • (uv)0 = u0 v + uv 0 ³ u ´0 u0 v − uv 0 • = v v2 • (ex )0 = ex • (eu )0 = u0 eu 1 • (ln x)0 = x u0 • (ln u)0 = u • (ax )0 = ax ln a, a > 0 • (au )0 = u0 au ln a, a > 0 • (sin x)0 = cos x • (sin u)0 = u0 cos u 1
  2. 2. 1 • (arcsin x)0 = √ 1 − x2 u0 • (arcsin u)0 = √ 1 − u2 • (cos x)0 = − sin x • (cos u)0 = −u0 sin u 1 • (arccos x)0 = − √ 1 − x2 u0 • (arccos u)0 = − √ 1 − u2 1 • (tan x)0 = cos2 x u0 • (tan u)0 = cos2 u 1 • (arctan x)0 = 1 + x2 u0 • (arctan u)0 = 1 + u2 1 • (cot x)0 = − sin2 x u0 • (cot u)0 = − sin2 u 1 • (arccot x)0 = − 1 + x2 u0 • (arccot u)0 = − 1 + u22 ExemplosCalcule a derivada de cada uma das seguintes funções (utilizando as regrasde derivação conhecidas): 1. f (x) = 4x3 =⇒ f 0 (x) = 12x2 2. f (x) = (x − 1)2 =⇒ f 0 (x) = 2 (x − 1) 2 4 3. f (x) = =⇒ f 0 (x) = − 3 x2 x 2
  3. 3. 1 3 4. f (x) = √ =⇒ f 0 (x) = − √ 5 5 x 3 5 x8 5. f (x) = x sin x =⇒ f 0 (x) = sin x + x cos x 6. f (x) = x3 ex =⇒ f 0 (x) = x2 ex (3 + x) 7. f (x) = cos2 x =⇒ f 0 (x) = −2 sin x cos x (x − 1)2 2 (x − 1) (x + 2) − (x − 1)2 8. f (x) = =⇒ f 0 (x) = x+2 (x + 2)2 1 9. f (x) = tan x =⇒ f 0 (x) = cos2 x10. f (x) = (x − 1)3 ln (sin x) =⇒ f 0 (x) = 3 (x − 1)2 ln (sin x)+(x − 1)3 cot x 4 ln3 x11. f (x) = (ln x)4 =⇒ f 0 (x) = x ¡ ¢ 4 0 (x) = − 4(ln sin x3 + 3x3 cot x3 )12. f (x) = =⇒ f x ln (sin x3 ) (x ln (sin x3 ))2 Não esqueça que: • ln A + ln B = ln AB A • ln A − ln B = ln B • A ln B = ln B A • ln 1 = 0 • ln e = 1 • ln 0+ = −∞ • ln(+∞) = +∞ • eA eB = eA+B eA • = eA−B eB • e0 = 1 • e−∞ = 0 3
  4. 4. • e+∞ = +∞ √ √ √• A + B 6= A + B √ √ √• AB = A B √ ³√ ´n• An = A r √ A A• =√ B B ³√ ´3 √• A =A A √• m An = An/m A+B A B• = + C C C A A A• 6= + B+C B C• (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ¡ ¢• a2 − b2 = (a − b) (a + b) ¡ ¢ ¡ ¢• a3 − b3 = (a − b) a2 + ab + b2 ¡ ¢ ¡ ¢• a3 + b3 = (a + b) a2 − ab + b2 4

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