A nossa meta principal será introduzir os conceitos de mecânica clássica (Newtoniana), abordando a teoria, experiências simples, resolvendo vários exercícios que tem sido propostos em livros de ensino médio e universitários. Apesar desses exercícios em sua maioria estarem descontextualizados, procuramos aqueles que facilitarão o processo de ensino-aprendizagem da Física Clássica.

1. i
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues
O programa da disciplina de F´ısica Geral e Experimental I, do Centro de Educa¸c˜ao e
Sa´ude, ofertada para os estudantes dos cursos de Licenciaturas em Qu´ımica e Matem´atica,
cont´em parte do conte´udo program´atico das disiciplinas de F´ısica I e F´ısica experimental I
do curso de Licienciatura em F´ısica.
Recentemente, o autor deste livro ministrou aulas de F´ısica cl´assica e moderna no Curso
de capacita¸c˜ao de F´ısica, ofertado para os Professores de F´ısica do Ensino M´edio da Rede
Estadual, realizado com o apoio do MEC, no per´ıodo de 23 a 27 de Abril de 2007, no Centro
de Treinamento de Professores de Alagoa Grande.
A teoria e a pr´atica da Mecˆanica ´e investigada fazendo parte de um todo. Esta disciplina
pertence aos cursos de Qu´ımica e Matem´atica da Unidade de Educa¸c˜ao da UFCG, cujo
conte´udo program´atico poder´a ser utilizado tamb´em nos cursos de Engenharias, Licenciatura
e Bacharelado em F´ısica.
A nossa meta principal ser´a introduzir os conceitos de mecˆanica, abordando a teoria,
experiˆencias simples, resolvendo v´arios exerc´ıcios que tem sido propostos em livros de ensino
m´edio e universit´arios. Apesar desses exerc´ıcios em sua maioria estarem descontextualizados,
procuramos aqueles que facilitar˜ao o processo de ensino-aprendizagem da F´ısica Cl´assica.
No final de cada cap´ıtulo o aluno-professor (estudante de um curso de licen-
ciatura plena) dever´a saber reformular os problemas e propor novos desafios e
questionamentos a cerca dos conte´udos visto em sala de aula.
O estudante-professor deve acessar os seguintes sites de olimp´ıadas de conhecimentos:
wwww.sbfisica.org.br (olimp´ıada brasileira de F´ısica), www.oba.org.br (olimp´ıada brasileira
de astronomia e astrona´utica)
SUM´ARIO
CAP´ITULO I
1. Introdu¸c˜ao `a medidas de grandezas F´ısicas
→ Galileu e suas principais descobertas
2. Grandezas F´ısicas Escalares e Vetoriais
2.1 Grandeza F´ısica Escalar
2.2 Grandeza Vetorial em F´ısica
2.3 Componentes Cartesianas de um Vetor
2.4 Opera¸c˜oes com vetores: Propriedades
3. Cinem´atica escalar
3.1 Trajet´oria
3.2 Movimento Retil´ıneo Uniforme
3.3 Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado
→ Aplica¸c˜ao experimental de Cinem´atica
→ Movimento Unidimensional - Velocidade Instantˆanea
Esta primeira parte do conte´udo program´atico corresponde ao assunto da primeira
avalia¸c˜ao.

2. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues ii
Parˆametros Curriculares Nacionais
Como o Prof. conseguir´a vencer os obst´aculos do processo ensino-
aprendizagem? Resposta. O professor antes de executar as suas atividades deve se
preparar para as seguintes metas: planejamento, organiza¸c˜ao e gerenciamento.
Antes de abordarmos o conte´udo program´atico de F´ısica destacaremos cinco fatores de-
terminantes dos Parˆametros Curriculares Nacionais (PCN) para o ensino m´edio.
1) Vamos iniciar com a famosa indaga¸c˜ao: A F´ısica do ensino m´edio ´e um bicho pap˜ao?
A resposta ´e sim, para quem leciona sem a contextualiza¸c˜ao da disciplina com o cotidiano
do aluno e a realidade regional, n˜ao permitindo, ainda, ao educando estabelecer rela¸c˜oes da
F´ısica com outros saberes. O que temos visto ´e o professor impondo uma parafern´alia de
equa¸c˜oes para o aluno ter que decorar e aplicar nas solu¸c˜oes de problemas descontextualiza-
dos. N˜ao h´a quem diga que ´e bom, mas poucos s˜ao os professores interessados em mudan¸cas,
dizendo que n˜ao tem tempo porque precisam exercer outras atividades para sobreviver.
2) Desde 2007, os vestibulares da UFCG trouxeram quest˜oes contextualizadas e, em 2007,
incluiu pela primeira vez quest˜oes sobre F´ısica moderna, exigindo a aplica¸c˜ao do racioc´ınio
l´ogico do aluno, beneficiando o aluno que n˜ao memoriza apenas as f´ormulas. A meta princiapl
´e selecionar alunos que saibam ler e interpretar enunciados, lidar com gr´aficos, raciocinar,
argumentar e propor solu¸c˜oes dos problemas de forma clara e bem articulada, al´em de
dominar adequadamente as principais formas de linguagem.
3) Atualmente se busca a vincula¸c˜ao da fun¸c˜ao da escola e da ciˆencia com a forma¸c˜ao
do cidad˜ao. Na forma¸c˜ao de professor devemos destacar para o educando a importˆancia do
papel da Forma¸c˜ao do Licenciado em F´ısica em si mesmo e para a sociedade.
4) De um modo geral poder´ıamos dizer que o planejamento ´e uma previs˜ao met´odica de
projetos e seus objetivos. Ap´os escolhermos o tema objeto de estudo devemos responder as
seguintes quest˜oes: o que fazer? Como fazer? O que vocˆe pretende fazer em parceria com
os professores de outras disciplinas? A pergunta chave, como incentivar o aluno a estudar
F´ısica com mais determina¸c˜ao? ´E necess´ario trabalhar sempre a conscientiza¸c˜ao do aluno,
despertando-o a motiva¸c˜ao para estudar. O planejamento deve ter como objetivo principal
metas para desenvolver o esp´ırito cr´ıtico dos educandos e educadores, o que refletir´a em
indiv´ıduos pensantes.
5) O ato de criticar e dar opini˜oes deve ser profundamente adotado pelo educando durante
sua forma¸c˜ao, pois a partir das d´uvidas se descobrem novos conhecimentos. Os objetivos
gerais e espec´ıficos do seu planejamento devem estar de acordo com as Orienta¸c˜oes Curricu-
lares para o Ensino M´edio, os Parˆametros Curriculares Nacionais do Ensino M´edio (PCNEM)
e os PCN+, a Lei de Diretrizes e Bases para o Ensino Nacional, as Diretrizes Curriculares
Nacionais para o Ensino M´edio.
A meta principal da escola do ensino m´edio n˜ao ´e dizer o que fazer, ela deve
tratar do como fazer.
Neste primeiro cap´ıtulo, abordaremos os t´opicos de mecˆanica correspondentes ao conte´udo
program´atico de F´ısica do primeiro ano do ensino m´edio da Para´ıba, dando ˆenfase ao estudo
do movimento de corpos macrosc´opicos de pequena velocidade e com massas maiores do que
a massa de um el´etron, os quais ser˜ao representados por um ponto.
Iniciaremos abordando uma introdu¸c˜ao `a medidas de grandezas F´ısicas. A nota¸c˜ao de
um n´umero dentro de dois colchetes, [N], designa coment´arios que aparecer˜ao no final de
cada cap´ıtulo.

3. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues iii
Em algumas se¸c˜oes utilizaremos o c´alculo diferencial e integral, mas sempre resolveremos
os casos em que envolvem integrais e derivadas mais simples. Com essa metodologia os
alunos ficar˜ao sabendo os conceitos e para que serve a ferramenta do c´alculo diferencial e
integral, deixando de ser um bicho-pap˜ao, para quem vai estudar as disciplinas de F´ısica nos
cursos universit´arios.
O c´alculo diferencial e integral ser´a optativo para o ensino m´edio, entretanto, sendo
essˆenciais para quem ingressar nos cursos universit´arios de engenharias, estat´ıstica, com-
puta¸c˜ao, ciˆencias exatas e da natureza, etc.
Objetivo Principal
O objetivo principal ´e estruturar uma base s´olida da F´ısica cl´assica newtoniana, fazendo
uma apresenta¸c˜ao das teorias pertinentes acompanhadas de uma an´alise de suas funda-
menta¸c˜oes te´oricas juntamente com aplica¸c˜oes pr´aticas. No laborat´orio, buscaremos fazer
a verifica¸c˜ao experimental para uma melhor compreens˜ao dos fenˆomenos f´ısicos visto em
sala de aula, utilizando materiais de baixo custo. O estudante ter´a a oportunidade de
num ´unico livro encontrar uma abordagem hist´orica da mecˆanica cl´assica, os v´arios aspec-
tos matem´aticos primordiais e desenvolver sua iniciativa e criatividade realizando v´arias
experiˆencias para uma melhor compreens˜ao das leis F´ısicas.
Ser´a acrescentado um cap´ıtulo dando os conceitos preliminares de Matem´atica b´asica e do
c´alculo diferencial e integral, o que resultar´a em um bom rendimento do aluno que ingressar
nos cursos universit´arios de Ciˆencias e Tecnologias.
Motiva¸c˜ao
A teoria e a pr´atica far´a parte de um ´unico livro-texto. A motiva¸c˜ao principal ´e elaborar
um livro-texto no n´ıvel intermedi´ario entre a escola de ensino m´edio e a universidade onde
esse livro ficar´a exposto nas bibliotecas dos Campi da UFCG e em outros estabelecimentos
de ensino m´edio e superior na Para´ıba. Neste cap´ıtulo I, simultaneamente, introduziremos
algumas experiˆencias que poder˜ao ser aplicadas na 1a
s´erie do Ensino M´edio.
A meta ser´a trabalhar com a fundamenta¸c˜ao te´orica paralelamente com experiˆencias
pr´aticas fazendo parte de um todo. Apresentaremos tamb´em alguns exerc´ıcios resolvidos
e propostos em que nosso objetivo principal ´e passar para o aluno as poss´ıveis aplica¸c˜oes
F´ısicas.

4. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 1
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica
I. INTRODUC¸ ˜AO `A MEDIDAS DE GRANDEZAS F´ISICAS
No estudo das leis F´ısicas, em geral, ´e de suma importˆancia a comprova¸c˜ao na pr´atica
do que ´e feito teoricamente para a perfeita compreens˜ao do assunto, o que faz necess´ario a
realiza¸c˜ao de alguns experimentos.
As vezes pode ocorrer o contr´ario a experiˆencia est´a na frente da Teoria, ou seja, h´a
experiˆencia que ainda n˜ao tem um modelo matem´atico para descrevˆe-la.
Desta forma, as medidas de determinadas grandezas s˜ao de fundamental importˆancia
para o entendimento das respectivas leis F´ısicas representadas por equa¸c˜oes matem´aticas.
A teoria de erros ´e um assunto bastante abrangente, no entanto, nesta introdu¸c˜ao faremos
uma an´alise sucinta sobre os Algarismos Significativos. Destacaremos aqui uma abordagem
em que a teoria e o experimento n˜ao deve ser tratado isoladamente. O objetivo geral ´e
desenvolver a capacidade de racioc´ınio cient´ıfico dos alunos.
Quando efetuamos a medida de uma grandeza F´ısica qualquer, n˜ao podemos afirmar que
o resultado seja um n´umero exato associado a uma certa dimens˜ao. Por exemplo, olhando o
marcador de combust´ıvel de um autom´ovel que tem um reservat´orio de gasolina com capaci-
dade de sessenta litros, supondo que o respectivo marcador est´a indicando que resta somente
um quarto de gasolina. Logo, vocˆe n˜ao diria que a quantidade de combust´ıvel contido no
tanque do carro seria simplesmente 15 litros. Isto porque o medidor de combust´ıvel mede
um intervalo. Vocˆe poder´a afirmar que tem da ordem de 15 litros, ou melhor em torno
de 15 litros mais ou menos 3 litros, ou de outra forma (15 ± 3) litros. Ent˜ao, podemos
dizer que toda medida de uma grandeza F´ısica ´e determinada em um intervalo. Isto nos
informa que o n´umero de algarismos com que vamos escrever a quantidade de combust´ıvel
do tanque ser˜ao 2 e o chamaremos de significativos. Ao se escrever o resultado da leitura
de uma medida de uma grandeza F´ısica devemos ter sempre o cuidado de acrescentarmos os
algarismos duvidosos. Portanto, na medida acima o resultado seria aproximadamente 15, 3
litros. Neste caso, os algarismos significativos s˜ao 1 e 5 e o algarismo duvidoso ´e 3.
O desvio ou erro de uma medida de uma grandeza F´ısica ´e que indica o n´umero de algaris-
mos significativos da medida. Aten¸c˜ao com o arredondamento de medidas. Ao trabalharmos
com medidas, pode ocorrer a necessidade de arredond´a-las e, para tal, devemos utilizar o
crit´erio da proximidade. A seguir listaremos alguns exemplos: (i) 2, 68 ≈ 2, 7 e 2, 26 ≈ 2, 3;
(ii) 2, 64 ≈ 2, 6 e 2, 23 ≈ 2, 2; (iii) 2, 65 ≈ 2, 6 e 2, 35 ≈ 2, 4.
Note que em (i), os algarismos que quer´ıamos abandonar s˜ao maiores que cinco; em (ii),
os algarismos que quer´ıamos abandonar s˜ao menores que cinco e em (iii), os algarismos
que quer´ıamos abandonar s˜ao iguais a cinco. Neste caso, se o algarismo anterior for par,
simplesmente abandonamos o ´ultimo algarismo (24, 65 ≈ 24, 6). Ainda sobre o exemplo
(iii), se o algarismo anterior for ´ımpar, abandonamos o ´ultimo algarismo e acrescentamos a
unidade no n´umero anterior (83, 35 ≈ 83, 4).
Galileu e suas Principais Descobertas
As primeiras observa¸c˜es sobre a ciˆencia que estuda os astros, astronomia, foram feitas com

5. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 2
uma luneta por Galileu Galilei (1564-1642), em 1610, luneta esta que ele mesmo construiu
atrav´es de uma not´ıcia de um instrumento similar na Holanda, tais observa¸c˜es tiveram
grande repercuss˜ao em sua ´epoca.
ˆEle observou com muita sutileza cada objeto desconhecido que se encontrava fora das
estruturas da Terra. Por´em, as primeiras an´alises podem ter sido dos Chineses, elaborando
um calend´ario e os 365 dias de um ano, a aproximadamente 3.000 anos antes de Cristo (a.C.)
e, a quase 4.000 a.C. eles previram os eclipses do Sol e da Lua. Devemos dizer tamb´em que
muitos povos da Antig¨uidade como os babilˆonicos e posteriormente os gregos, diferenciaram
os planetas, dos demais objetos celestes pelo movimento que eles realizavam.
Galileu al´em de suas in´umeras contribui¸c˜oes aos estudos dos movimentos, desenvolveu
um m´etodo de investiga¸c˜ao que atribuiu importˆancia significativa `a experimenta¸c˜ao, id´eia
que, posteriormente constituiu-se em momento essencial na metodologia de constru¸c˜ao do
conhecimento cient´ıfico. Em sua ´epoca, uma das dificuldades experimentais no estudo do
movimento dos corpos, era a medi¸c˜ao do tempo. Galileu utilizava um rel´ogio hidra´ulico que
era um recipiente cheio d´agua, com um orif´ıcio em sua base atrav´es do qual a ´agua vazava e,
para certo intervalo de tempo, era recolhida e pesada; para intervalos de tempos diferentes,
quantidades proporcionais de ´agua eram recolhidas. Atualmente, a maioria das grandezas
F´ısicas podem ser medidas com precis˜ao.
Galileu Galilei Prof. de matem´atica na It´alia, construiu os primeiros passos para a
formula¸c˜ao das leis da mecˆanica cl´assica, formulando as equa¸c˜oes da cinem´atica e o princ´ıpio
da in´ercia, a partir da observa¸c˜ao de experiˆencias simples, utilizando pela primeira vez o
m´etodo cient´ıfico. Ele foi o primeiro a utilizar o Telesc´opio para observar o C´eu e descobriu
os quatro principais sat´elites de J´upiter.
A diferen¸ca b´asica entre a lei da in´ercia de Newton e a lei da in´ercia de Galilleu ´e a
seguinte: Newton dizia que um corpo est´a em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme,
enquanto que Galileu afirmava que um corpo estava em repouso ou em movimento circular
uniforme. Em ambos enunciados deve ser acrescentado a n˜ao existˆencia de for¸cas atuando
sobre o corpo. A Astronomia foi n˜ao s´o uma das respons´aveis pelo deslanchar da revolu¸c˜ao
intelectual dos ´ultimos trˆes s´eculos, mas suas descobertas continuam a suprir as surpresas
curiosas aos cientistas deste in´ıcio do terceiro milˆenio. Tudo isto come¸cou com uma luneta
na m˜ao e muita curiosidade frente ao mundo.
II. GRANDEZAS F´ISICAS ESCALARES E VETORIAIS
Nesta introdu¸c˜ao analisaremos as principais caracter´ısticas das Grandezas F´ısicas. Uma
grandeza F´ısica ´e tudo aquilo que pode ser medido. ´E bem conhecido no dia a dia que medir
qualquer coisa significa calcular quantas vezes ´e ela maior ou menor do que um certo padr˜ao
de medida, o qual depende do sistema de unidades.
O primeiro sistema de unidade criado foi o SI (Sistema Internacional de Unidades), esse
sistema foi criado para facilitar as rela¸c˜oes entre os pa´ıses, pois, antes eles adotavam cada
um o seu padr˜ao de medida, mas com o passar do tempo foram aperfei¸coados em um s´o. Na
primeira s´erie do ensino m´edio, o SI ´e tamb´em conhecido como mks, a primeira e terceira
letras s˜ao os s´ımbolos de metro e segundo, respectivamente. As quatro unidades de medidas
fundamentais, no SI, s˜ao: a massa: kg → kilograma; o comprimento: m → metro; o tempo:
s → segundo e a velocidade: m/s. Mais adiante, falaremos sobre a famosa equa¸c˜ao da 2a
lei de Newton[1], a qual relaciona as seguintes grandezas F´ısicas: massa, acelera¸c˜ao e for¸ca,

6. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 3
para sistemas com massas constantes.
Al´em do SI, surgiram tamb´em outros padr˜oes de medidas como o CGS que significa
cent´ımetro, grama e segundo. As grandezas F´ısicas s˜ao classificadas em escalar e vetor.
A rela¸c˜ao entre as unidades do SI e do CGS:
i) Unidades no SI, distˆancia=m, tempo=s, velocidade=m
s
, acelera¸c˜ao=m
s2 , for¸ca=N (New-
ton), energia=J (Joule)=trabalho, m2
=´area, m3
=volume, etc.
ii) Unidades no CGS, distˆancia=cm, tempo=s, velocidade=cm
s
, acelera¸c˜ao=cm
s2 ,
for¸ca=dyn (dinas), energia=ergs=tabalho, cm2
=´area, cm3
=volume, etc.
1m = 102
cm ⇒ 1cm = 10−2
m ⇒ 10cm = 10x10−2
m = 10−1
m = 0, 1m
1km = 103
m ⇒ 1m = 10−3
km ⇒ 2m = 2x10−3
km = 0, 02km
1kg = 103
g ⇒ 1g = 10−3
kg.
1N = 105
dina = 0, 1020kgf, 1J = 107
ergs, 1kgf = 9, 80665N = 9, 087N = 980, 7dina.
1m2
= 104
cm2
, 1in2
= 6, 4516cm2
,
onde in representa uma polegada.
1m3
= 106
cm3
, 1 = 103
cm3
= 10−3
m3
.
Este procedimento de transforma¸c˜ao de um sistema de unidade para outro faz vocˆe ganhar
tempo, portanto comece a revisar potˆencia de dez. Sempre que for efetuar uma conta
em F´ısica se faz necess´ario escolher o sistema de unidades. Sugerimos trabalhar com o
SI. Neste caso, transformamos todas as unidades das grandezas F´ısicas envolvidads em
um determinado problema para o SI. Ap´os esta transforma¸c˜ao substituimos os n´umeros
na equa¸c˜ao correspondente `a lei F´ısica pertinente ao problema, e ao terminar as contas
colocamos o resultado com sua unidade apropriada no SI.
Significado f´ısico de velocidade: 110km/h → significa que em uma hora o carro ir´a
percorrer 110km, supondo que o carro mantenha esta velocidade durante todo o percurso. A
velocidade ´e a distˆancia que vocˆe pretende alcan¸car em cada unidade de tempo. Gostar´ıamos
de registrar que 110km/h ´e o valor m´aximo permitido para a velocidade de um autom´ovel
segundo o novo c´odigo do Trˆansito Brasileiro. Note que
1
km
h
=
1000m
3600s
=
1
3600s
1000m
=
1
3, 6
m/s ⇒ 1
m
s
= 3, 6
km
h
,
o que leva a vocˆe concluir que para transformar de km
h
para m
s
basta dividir por 3,6 e para
transformar de m
s
para km
h
vocˆe deve multiplicar por 3,6. ´E assim que os atuais livros-texto
fazem. Mas, vocˆe pode sobrecarregar a mem´oria com mais uma informa¸c˜ao e se atrapalhar
sem saber se vai multiplicar ou dividir por 3,6. Este dilema ser´a resolvido se vocˆe trabalhar
com as unidades fundamentais. Vejamos um exemplo. Quanto vale 36km
h
no SI?
⇒ 36
km
h
= 36x
1000m
3600s
=
360
36
m
s
= 10
m
s
.
Portanto, um carro a 36km
h
siginifica que ele vai percorrer, em m´edia, 36km em 1h, isto
equivale a 10m em cada segundo. Portanto, basta trabalhar com as unidades fundamentais.

7. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 4
A. Grandeza F´ısica Escalar
Na matem´atica, um escalar ´e apenas um n´umero real ou complexo. Uma Grandeza
Escalar F´ısica ´e aquela que basta um n´umero real e uma unidade para ficar completamente
determinada. Exemplos: massa, volume, densidade, tempo, temperatura, carga el´etrica,
energia, etc. No caso da massa vocˆe poderia imaginar que estaria em uma feira livre pedindo
para o comerciante 2kg de arroz integral, onde o escalar seria o n´umero dois e a unidade
de massa seria kg. Esta solicita¸c˜ao seria imediatamente atendida desde que o comerciante
tivesse uma balan¸ca para medir a massa.
B. Grandeza Vetorial em F´ısica
Primeiro vamos considerar a seguinte situa¸c˜ao pr´atica: Camila chegou 10 minutos antes
da aula come¸car e encontrou Adriana querendo saber se ela tinha visto o Prof. Rafael. Ela
respondeu dizendo simplesmete que o viu passar em frente `a sua casa no carro a aproximada-
mente 40km/h. Adriana, notou que a informa¸c˜ao estava incompleta e, ent˜ao, perguntou qual
a dire¸c˜ao em que o professor estava indo?
Coment´ario: Uma informa¸c˜ao completa sobre a velocidade do carro deve conter o m´odulo,
dire¸c˜ao e sentido. Todas as grandezas que se comportam como a velocidade s˜ao denominadas
de vetores. A seguir vamos introduzir uma defini¸c˜ao de vetor em matem´atica.
Um vetor em matem´atica ´e uma grandeza que possui: m´odulo, dire¸c˜ao e sentido, cuja
soma de dois vetores e o produto de um escalar por um vetor resultam em outros vetores (e
satisfazem a certas propriedades, que ser˜ao analisadas na subse¸c˜ao 2.4). O s´ımbolo de um
vetor ´e uma letra com uma seta em cima, a saber, A (Lˆe-se vetor a).
Veremos tamb´em que se for dado o m´odulo e a dire¸c˜ao de um vetor podemos calcular as
suas componentes e, inclusive, identificaremos o sentido. H´a outras defini¸c˜oes de vetor, no
entanto, n˜ao ser˜ao discutidas aqui.
Se A e B s˜ao vetores =⇒ A + B e cA tamb´em s˜ao vetores, onde c ´e um escalar. A
defini¸c˜ao de uma grandeza F´ısica vetorial ´e a mesma da matem´atica, por´em acrescida de
uma unidade, como por exemplos: velocidade, acelera¸c˜ao, for¸ca , posi¸c˜ao, deslocamento,
campo el´etrico, etc.
Geometricamente, define-se o vetor como sendo um segmento de reta orientada, cujo
comprimento representa o seu m´odulo. Neste caso, uma representa¸c˜ao geom´etrica de um
certo vetor E seria a seguinte:
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
E

8. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 5
Soma Geom´etrica de Vetores
A soma de dois ou mais vetores se processa da seguinte maneira: fixamos um vetor e em
seguida transladamos um outro vetor colocando a extremidade do primeiro na origem do
segundo e, assim, sucessivamente. Considere os trˆes vetores abaixo,
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
C
B
A
Neste caso, o vetor soma (ou vetor resultante) R = A + B + C possui a seguinte repre-
senta¸c˜ao geom´etrica:
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
R
C
B
A
Note que o vetor resultante ´e realmente outro vetor, cujo m´odulo ´e menor do que a soma
do m´odulo de cada vetor, o que evidˆencia o fato de que somar vetores ´e diferente de somar
n´umeros.
A seguir veremos o m´etodo anal´ıtico de medir o m´odulo de um vetor, isto ´e, introduzire-
mos a equa¸c˜ao do vetor em termos de suas componentes. A componente de um vetor nos
fornece exatamente a medida de sua proje¸c˜ao perpendicular sobre um eixo.
C. Componentes Cartesianas
Lembre-se que as coordenadas cartesianas ou retangulares s˜ao representadas por x, y
e z, as quais assumem valores sobre trˆes eixos perpendiculares com origens no ponto de
interse¸c˜ao.

9. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 6
Agora considere a soma de 4 vetores, A, Leste,
B, Nordeste, C, Norte e D, Oeste. O vetor soma (ou vetor resultante) ´e a soma vetorial dos 4
vetores R = A + B + C + D, cuja a representa¸c˜ao geom´etrica ´e mostrada nesta figura.
As componentes cartesianas de um vetor s˜ao suas proje¸c˜oes sobre os eixos perpendiculares
x, y e z.
Vetor na reta, digamos, no eixo da abscissa x: ´e um vetor com uma ´unica componente
(Chamado tamb´em de vetor unidimensional).
Nota¸c˜ao: a (lˆe-se vetor a ); a =|a| ( m´odulo ou intensidade do vetor); ax ´e a componente
de a na dire¸c˜ao x.
Vetor Unit´ario: ´E um vetor cujo m´odulo ´e a unidade e est´a sempre apontando numa
certa dire¸c˜ao. Seja i o vetor unit´ario na dire¸c˜ao x, ent˜ao a equa¸c˜ao do vetor unidimensional
torna-se: a = axi .
Vetor no plano cartesiano xy −→ vetor com duas componentes → vetor bidimensional.
Representando o vetor b no plano cartesiano, temos:
by: proje¸c˜ao ortogonal(perpendicular) de b sobre o eixo y (componente de b na dire¸c˜ao y).
Partimos da extremidade de b paralelo a x e perpendicular a y.
bx: proje¸c˜ao ortogonal (perpendicular) de b sobre o eixo x (componente de b na dire¸c˜ao x ).
Partimos da extremidade de b paralelo a y e perpendicular a x.
Sejam i e j os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes x e y, respectivamente, ent˜ao a equa¸c˜ao do
vetor bidimensional ´e representada por
b = bxi + byj, (1)
onde i ⊥ j. (Os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes x e y s˜ao perpendiculares entre si.)
Agora proporemos que seja adotado nos livros-texto de F´ısica do ensino m´edio a seguinte
representa¸c˜ao para um vetor bidimensional:
a = (ax, ay),
a qual nos faz lembrar a bem conhecida nota¸c˜ao de par ordenado para um ponto do plano
xy.
Note que a = (ax, ay) = ax(1, 0) + ay(0, 1) = axi + ayj.

10. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 7
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
j
i bx
by
b
x
y
Agora analisaremos o triˆangulo composto pelos catetos adajacente e opostos ao ˆangulo
θ, respectivamente, bx e by.
Note que temos um triˆangulo retˆangulo, logo de acordo com o teorema de Pit´agoras
obt´em-se: b2
x + b2
y = b
2
⇒ b =| b |→ Hipotenusa (M´odulo do vetor ´e dado por):
b = b2
x + b2
y. (2)
Lembre-se que o triˆangulo retˆangulo possui um ˆangulo reto (ˆangulo de noventa graus ra-
dianos). O teorema de Pit´agoras ´e v´alido somente no triˆangulo retˆangulo. A partir de
agora sempre que for pedido para calcular o m´odulo de um vetor, vocˆe deve calcular a raiz
quadrada da soma do quadrado das componentes.
O pr´oximo passo ser´a a an´alise da seguinte quest˜ao: Como determinar a dire¸c˜ao de um
vetor? No caso de um vetor bidimensional, basta calcular o ˆangulo θ via a tangente, ou seja,
tan θ =
by
bx
=⇒ θ = arctan
by
bx
, (3)
onde as componentes cartesianas do vetor nas dire¸c˜oes x e y s˜ao definidas, respectivamente,
por
by = | b | sen(θ)
bx = | b | cos(θ). (4)
Vemos que o sentido ´e se afastando da origem (veja a figura). Note que o cateto adjacente
ao ˆangulo teta est´a relacionado com o cosseno e o cateto oposto est´a relacionado com o seno.
Estas duas fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao definidas a partir do triˆangulo retˆangulo. Portanto,

11. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 8
em um triˆangulo retˆangulo, o seno ´e definido pelo quociente entre o cateto oposto e a
hipotenusa, e o cosseno como sendo o quociente entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Note que
|b|2
= b2
x + b2
y = (|b|cosθ)2
+ (|b|senθ)2
= |b|2
(sen2
θ + cos2
θ).
⇒ sen2
θ + cos2
θ = 1.
Esta ´e a identidade fundamental da trigonometria.
A componente de um vetor pode ser positiva ou negativa, sendo sempre menor ou igual
ao seu m´odulo. Exemplo de um vetor bidimensional com uma componente positiva e uma
componente negativa. Digamos, ax < 0 e ay > 0. Neste caso, ao desenhar o vetor vemos
que ele est´a no segundo quadrante e, por sua vez, na dire¸c˜ao noroeste. Note que se os sinais
destas componentes forem invertidos, ou seja, ax > 0 e ay < 0, a dire¸c˜ao seria sudeste.
Vetor no espa¸co tridimensional, agora veremos como representar um vetor em trˆes
dimens˜oes[2], cuja dire¸c˜ao ´e completamente caracterizada por dois ˆangulos, Θ e φ.
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
c
0
O
projeção de c
no plano xy
cz
cy
cx
x
y
z
Neste caso, as componentes cartesianas de c, tornam-se:
cx = |c|senθcosφ; cy = |c|senθsenφ; cz = |c|cosθ, (5)
onde |c|senθ ´e a hipotenusa no triˆangulo retˆangulo formado pelos catetos cx e cy. Logo,
c2
x+c2
y+c2
z = (|c|senθcosφ)2
+(|c|senθsenφ)2
+(|c|cosθ)2
= |c|2
sen2
θ(cos2
φ+sen2
φ)+|c|2
cos2
θ.
Usando a identidade fundamental da trigonometria, cos2
x + sen2
x = 1, obtemos:
c = cxi + cyj + czk ⇒ c = |c| = c2
x + c2
y + c2
z. (6)
Esta ´e a equa¸c˜ao do m´odulo. i, j e k, perpendiculares entre si (i ⊥ j ⊥ k), s˜ao os vetores
unit´arios nas dire¸c˜oes x, y e z, respectivamene. Eles s˜ao unit´arios porque seus m´odulos s˜ao
iguais a unidade, isto ´e, | i |=| j |=| k |= 1. Vocˆe achou dif´ıcil? N˜ao se preocupe! Pois,
consideraremos poucas aplica¸c˜oes para o caso tridimensional.

12. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 9
Obs: O m´odulo do vetor unidimensional ´e igual ao m´odulo de sua componente. De
fato, se cy = cz = 0 =⇒ |c| = c2
x ≡ |cx| , pois se x ∈ R =⇒
√
x2 = |x| . Este fato, causa
uma grande dificuldade na leitura do livro-texto de F´ısica, pois em muitas aplica¸c˜oes de
movimento unidimensional o m´odulo ´e tratado como se fosse a componente.
Note que de acordo com a nossa nota¸c˜ao, a equa¸c˜ao de um vetor tridimensional cont´em
trˆes componentes dentro de um par de par´enteses, cujo vetor torna-se o seguinte tripleto:
c = (cx, cy, cz).
Neste caso, um vetor unidimensional possui trˆes maneiras diferentes de ser representado:
a = (ax, 0, 0), b = (0, by, 0), c = (0, 0, cz),
cuja soma desses trˆes vetores nos fornece um vetor em trˆes dimens˜oes. Logo, temos as
seguintes representa¸c˜oes para os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes de x, y e z, respectivamente:
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Note que estes vetores unit´arios s˜ao unidimensionais e est˜ao nas dire¸c˜oes x, y e z, respecti-
vamente. Eles s˜ao unidimensionais porque possuem somente uma componente n˜ao nula.
A seguir veremos como somar ou subtrair dois ou mais vetores. Quanto as propriedades
de multiplica¸c˜ao, devemos dizer que, por enquanto, veremos apenas a multiplica¸c˜ao de um
escalar por um vetor. Na se¸c˜ao seguinte ser´a definido o produto escalar entre dois vetores.
D. Opera¸c˜oes com vetores: Propriedades
(i) Igualdade: A = B, isto ocorre quando eles tˆem as mesmas componentes.
(ii) Comutatividade da soma de dois vetores: A + B = B + A. (Significa que trocando a
ordem da soma de dois vetores n˜ao altera o resultado.)
(iii) Associatividade da soma de trˆes vetores: A + (B + C) = (A + B) + C. (Somando B
com C e em seguida somando o vetor resultante com A ´e o mesmo que somar A com B e
em seguida somando com C.)
(iv) Negativo de um vetor: A + (−A) = 0. (Somando um vetor com o seu negativo d´a o
vetor nulo.)
(v) Subtra¸c˜ao de vetores: A − B = A + (−B). (A subtra¸c˜ao de um vetor de outro vetor ´e
obtida atrav´es da soma de um com o negativo do outro.)
(vi) A multiplica¸c˜ao de um vetor (A) por um escalar (C) resulta em outro vetor dado por
CA, cujo sentido depende do sinal de C.
Basta que uma destas propriedades n˜ao sejam satisfeitas para que o objeto em estudo
n˜ao seja considerado um vetor.
Para demonstrar as propriedades acima vocˆe pode usar a representa¸c˜ao anal´ıtica. Por
exemplo, a comutatividade da soma:
a + b = (ax + bx, ay + by) = (bx + ax, by + ay) = b + a ⇒ a + b = b + a. (7)
Cqd. Note que | a + b |≤| a | + | b |. Esta ´e a desigualdade triangular, pelo fato dela surgir
de um triˆangulo. A igualdade ´e v´alida somente quando ambos os vetores tiverem mesmas
dire¸c˜oes e sentidos.

13. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 10
(vii) Para o produto escalar entre dois vetores buscou-se a principal motiva¸c˜ao desse estudo
devido a grandeza F´ısica escalar denominada trabalho. O trabalho mecˆanico ´e obtido atrav´es
do produto escalar entre uma for¸ca aplicada sobre uma part´ıcula e o seu deslocamento.
Como vocˆe notou este conceito ´e muito diferente do conceito cotidiano de trabalho. Vamos
deixar esta discuss˜ao para depois que aprendermos o conceito de for¸ca. Veremos agora que
o produto escalar ´e mais f´acil do que somar dois ou mais vetores.
Dado dois vetores a e b, com um ˆangulo Θ entre os dois, definimos o produto escalar ou
produto interno como sendo,
a.b =| a || b | cos(Θ) (8)
(Lˆe-se a escalar b ou a interno b). Se a e b s˜ao vetores tridimensionais podemos escrever
a seguinte representa¸c˜ao para o produto escalar, no sistema de coordenadas cartesianas,
a.b = axbx + ayby + azbz.
Algumas observa¸c˜oes sobre vetores
i) Quando for pedido para calcular um vetor, vocˆe deve calcular o m´odulo, dire¸c˜ao e sentido.
ii) A componente de um vetor ´e sempre menor ou igual ao seu m´odulo.
iii) A componente de um vetor pode ser negativa, mas o seu m´odulo ser´a sempre positivo.
iv) A componente de um vetor, representado por um segmento de reta orientado, ´e a proje¸c˜ao
de sua extremidade sobre um eixo.
v) Dados dois vetores bidimensionais (vetores com duas componentes) a = (ax, ay) (equa¸c˜ao
do vetor a) e b = (bx, by) (equa¸c˜ao do vetor b), ent˜ao o vetor soma ou subtra¸c˜ao torna-se:
a + b = (ax + bx, ay + by) ou a − b = (ax − bx, ay − by). Portanto, os m´odulos da soma ou da
diferen¸ca de dois vetores s˜ao calculados atrav´es das seguintes equa¸c˜oes:
| a + b |= (ax + bx)2 + (ay + by)2 ou | a − b |= (ax − bx)2 + (ay − by)2.
Agora listaremos alguns valores das fun¸c˜oes trigonom´etricas Seno e Cosseno: cos π
4
=
sen π
4
=
√
2
2
; cos π
3
= sen π
6
= 1
2
; cos π
6
= sen π
3
=
√
3
2
; cos(00
) = cos(2π) =
1 = sen π
2
= 1; sen(00
) = cos π
2
= 0; cos(π) = sen 3π
2
= −1, onde π = 1800
(cento
e oitenta graus radianos).
Exemplo: Dados dois vetores de componentes cartesianas ax = −1cm, ay = 2cm e bx =
0, 03m, by = 0, 005m. (i) Calcule o m´odulo de cada um deles; (ii) Calcule o m´odulo do vetor
soma.
Respostas: Primeiro escolha o sistema de unidade e ao finalizar as contas coloque a resposta
no sistema de unidade escolhido.
(i) No CGS, obtemos: bx = 0, 03m = 3cm e by = 0, 005m = 1
2
cm
⇒ |a| = a2
x + a2
y = (−1)2 + 22 ⇒ |a| =
√
5cm.

14. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 11
⇒ b = b2
x + b2
y = 32 +
1
2
2
⇒ b =
√
37
2
cm.
(ii) No CGS, obtemos:
⇒| a + b |= (ax + bx)2 + (ay + by)2 = (−1 + 3)2 + 2 +
1
2
2
= (2)2 +
5
2
2
⇒| a + b |=
√
41
2
cm.
Note que a desigualdade triangular est´a satisfeita, ou seja,
| a + b |<| a | + | b |,
o que nos assegura a exatid˜ao dos c´alculos.
A transforma¸c˜ao de unidades do SI para o CGS tornou poss´ıvel se efetuar os c´alculos, a
qual foi escolhida por comodidade. Note que este procedimento evitou as potˆencias de dez.
No entanto vocˆe poderia ter feito a tranforma¸c˜ao do CGS para o SI, o importante ´e que
antes de substituir os dados na equa¸c˜ao que soluciona o problema proposto vocˆe deve deixar
todos eles no mesmo sistema de unidades.
Agora, seguindo a nossa sugest˜ao na introdu¸c˜ao, um bom exerc´ıcio seria vocˆe fazer a
transforma¸c˜ao de unidades do CGS para o SI e calcular o que se pede. Evidentemente a sua
resposta ser´a dada em metros, mas ao transform´a-la de volta para o CGS vocˆe encontrar´a
os mesmos resultados obtidos acima.
Exerc´ıcios resolvidos sobre vetores
E1- Uma mulher caminha 130m na dire¸c˜ao de 45o
a nordeste e em seguida 155m diretamente
para o leste. Compare o m´odulo do deslocamento com a distˆancia que ela caminhou.
Solu¸c˜ao
Encontramos primeiro o valor das componentes:
Ax = A · cosθ = 130.cos45o
= 130.0, 7 = 91m,
Ay = A · senθ = 130.sen45o
= 130.0, 7 = 91m,
Bx = B · cosθ = 155.cos0o
= 155.1 = 155m,
By = B · senθ = 130.sen0o
= 130.0 = 0m, sen0o
= 0..
Agora, para o vetor resultante, obtemos:
Rx = Ax + Bx = (91 + 155)m = 246m e Ry = Ay + By = (91 + 0)m = 91m,
portanto,
| R |= R2
x + R2
y = (246)2 + (91)2m =
√
60516 + 8281m =
√
68797m 262, 29m.

15. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 12
A distˆancia que ela caminhou obtemos da seguinte forma:
d =| A | + | B |= 130 + 155 = 285m,
logo, para a compara¸c˜ao dividimos d com | R |,
d
| R |
=
285
262, 29
⇒ d 1, 08 | R | .
E2- A componente x de um certo vetor mede (-16) unidades e a componente y mede 32
unidades, determine: a) Qual o m´odulo deste vetor? b) Qual o ˆangulo entre este vetor e o
eixo x?
Solu¸c˜ao
a) Dados: b = bxi + byj, bx = −16 e by = 32
⇒| b |= b2
x + b2
y =
√
162 + 322 =
√
256 + 1024 =
√
1280 35, 77m.
b)
tgθ =
by
bx
= −
32
16
= −2 ⇒ θ = 117o
.
Este ´e o ˆangulo formado pelo eixo 0x e o vetor. Portanto, o ˆangulo formado pelo eixo x
negativo e o vetor ´e 63o
. Neste caso, a tangente seria positiva.
E3- Determine o vetor soma r dos deslocamentos vetoriais c e d, cujas componentes em
metros ao longo das trˆes dire¸c˜oes respectivamente s˜ao: cx = 7, 5; cy = −8, 3; cz = −6, 5; dx =
4, 4; dy = −2, 0 e dz = 3, 3.
Solu¸c˜ao
Utilizando,
c = 7, 5i − 8, 3j − 6, 5k, d = 4, 4i − 2j + 3, 3k
para o vetor resultante temos:
R = c + d = 11, 9i − 10, 3j − 3, 2k,
e o m´odulo torna-se:
| R |= (11, 9)2 + (−10, 3)2 + (−3, 2)2
= 141, 61 + 106, 09 + 10, 24 = 257, 94 ⇒| R |= 16, 06m.
E4- Considere dois deslocamentos, um de m´odulo igual a 4m e um outro de m´odulo igual a
3m. Mostre como os vetores deslocamentos podem ser combinados de modo a fornecer um
deslocamento resultante de m´odulo igual a: (a)1m, (b)7m e (c)5m.
Solu¸c˜ao

16. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 13
a) Dois vetores paralelos na horiznontal e sentidos contr´arios.
Rx = ax + bx = (−3 + 4)m = 1m.
Com o ˆangulo θ = 180o
.
a) Dois vetores paralelos na horiznontal e mesmo sentido.
Rx = ax + bx = (4 + 3)m = 7m.
Com o ˆangulo θ = 0o
.
b) Dois vetores perpendiculares.
R = r2
1 + r2
2 =
√
32 + 42 =
√
9 + 16 =
√
25 = 5m.
Com o ˆangulo θ = 90o
.
III. CINEM ´ATICA ESCALAR
Um dos primeiros estudos do universo f´ısico restringe ao exame dos corpos em movi-
mento. Esta parte da F´ısica ´e denominda de Mecˆanica, a qual ´e dividida em Cinem´atica,
Dinˆamica e Est´atica. O estudo do movimento, cuja investiga¸c˜ao quantitativa, h´a mais de
400 anos, provocou o nascimento da F´ısica, ´e a cinem´atica. Nesta se¸c˜ao vamos estudar a
cinem´atica escalar. ´E comum observarmos na natureza corpos em movimento.
No s´eculo XVII, Galileu introduziu o m´etodo cient´ıfico ao tirar conclus˜oes de suas in-
vestiga¸c˜oes sobre os fenˆomenos f´ısicos levando em conta a observa¸c˜ao e a experiˆencia. At´e
o s´eculo XVII os gregos acreditavam que tudo poderia ser explicado atrav´es das discuss˜oes
sem ser necess´ario se fazer experiˆencia. Hoje, como ´e bem conhecido, o m´etodo cient´ıfico ´e
baseado no racioc´ınio e na observa¸c˜ao experimental.
Dizemos que um movimento ´e retil´ıneo e uniforme (MRU) quando apresenta uma veloci-
dade constante e acelera¸c˜ao nula. Desta maneira como a velocidade ´e a mesma em todos os
casos, a velocidade vai ser igual a velocidade m´edia, assim teremos: v = vm.
Podemos observar este tipo de movimento a partir de v´arios aspectos como: o movimento
de duas esferas em linha reta, a traje´oria retil´ınea de um carro com velocidade constante,
entre outros. Ao esbo¸carmos um gr´afico representando o Movimento Retil´ıneo Uniforme
percebemos que em todo caso o gr´afico ser´a uma reta.
Dentre todos, mencionamos um tipo especial de movimento, ´e o Movimento Retil´ıneo
Uniformemente Variado (MRUV). ´E poss´ıvel provar a existˆencia do MRUV atrav´es de ob-
serva¸c˜oes de experimentos simples realizados em laborat´orios ou presenciados na natureza.
Como exemplos podemos citar: A queda das gotas d’´agua nas torneiras das residˆencias;
o movimento acelerado de um ve´ıculo; a queda livre dos corpos sob `a a¸c˜ao da gravidade;
lan¸camento de proj´eteis na horizontal, etc.
Um corpo se encontra em movimento retil´ıneo uniformemente variado, quando este, ao
percorrer uma trajet´oria retil´ınea, apresenta uma proporcionalidade entre a varia¸c˜ao de
velocidade e os respectivos intervalos de tempo. A grandeza F´ısica que mede a varia¸c˜ao de
velocidade ´e chamada de acelera¸c˜ao e, por sua vez, nesse tipo de movimento a acelera¸c˜ao
´e constante, isto ´e, n˜ao varia ao longo do tempo. O exemplo mais familiar de movimento
retil´ıneo uniformemente variado ´e a queda livre de um corpo abandonado de uma certa
altura, cuja velocidade inicial ´e nula. Este foi um dos problemas analisados por Galileu

17. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 14
em seus trabalhos, que deram in´ıcio a era da pesquisa cient´ıfica na ´area da F´ısica. As
experiˆencias de Galileu e muitas outras posteriores, acabaram estabelecendo como fator
experimental que o movimento de queda livre de um corpo solto ou lan¸cado verticalmente,
na medida em que a resistˆencia do ar possa ser desprezada, ´e um movimento retil´ıneo
uniformemente acelerado, em que a acelera¸c˜ao ´e a mesma para todos os corpos (embora sofra
pequenas varia¸c˜oes de ponto a ponto da Terra). Esta acelera¸c˜ao da gravidade ´e indicada
pela letra (g) e seu valor aproximado ´e: g = 9, 840m/s2
.
A. Trajet´oria
Quando uma part´ıcula se move em rela¸c˜ao a um certo referencial, sua posi¸c˜ao, em
rela¸c˜ao ao mesmo referencial, varia com o tempo, isto ´e, ela ocupa pontos distintos enquanto
o tempo passa.
O lugar geom´etrico dos pontos ocupados, sucessivamente, pela part´ıcula ´e a sua trajet´oria
ou caminho percorrido em rela¸c˜ao ao referencial adotado.
Realmente o conceito de trajet´oria depende de um referencial. Assim, a trajet´oria descrita
por uma part´ıcula, durante um certo intervalo de tempo, pode variar de um referencial para
outro. Por exemplo, consideremos um avi˜ao em vˆoo retil´ıneo e horizontal e um ponto P,
situado numa das extremidades da h´elice. A trajet´oria desse ponto P, em rela¸c˜ao ao avi˜ao
´e uma circunferˆencia (Fig. 1 desta se¸c˜ao).
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
Fig. 2
Fig. 1
Movimento
P
P
No entanto, em rela¸c˜ao a um referencial solid´ario `a Terra, a trajet´oria desse mesmo ponto
P ser´a uma h´elice cil´ındrica (Fig. 2 desta se¸c˜ao). A h´elice cil´ındrica descrita ´e o resultado
da composi¸c˜ao de dois movimentos: um movimento circular e um movimento retil´ıneo hor-
izontal, perpendicular ao plano do primeiro. Com base nesses conceitos, deduzimos que a
trajet´oria de uma part´ıcula se reduzir´a a um ponto se, e somente se, ela estiver em repouso
em rela¸c˜ao ao referencial adotado, pois, neste caso, haver´a apenas uma posi¸c˜ao ocupada em
todo decorrer do tempo.
VELOCIDADE M´EDIA E ACELERAC¸ ˜AO M´EDIA
Vamos considerar o movimento unidimensional de uma part´ıcula. Defini-se a velocidade
m´edia e a acelera¸c˜ao m´edia, respectivamente, por

18. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 15
vm =
xf − xi
tf − ti
, am =
vf − vi
tf − ti
(9)
onde x, v e t s˜ao a posi¸c˜ao, velocidade e acelera¸c˜ao, respectivamente. Os ´ındices inferiores
significam i =inicial e f =final. Portanto, a velocidade m´edia ´e a distˆancia total dividida
pelo tempo gasto pela part´ıcula durante o percurso.
Note que, a acelera¸c˜ao ´e resultante de uma varia¸c˜ao da velocidade da part´ıcula e, por
sua vez, quando dizemos que um carro est´a acelerado siginifica que ele est´a aumentando a
velocidade. Unidades no SI: [v] = m
s
, [a] = m
s2 .
B. Movimento Retil´ıneo Uniforme
Imagine-se dirigindo um carro numa estrada, de maneira a manter o ponteiro do ve-
loc´ımetro sempre na mesma posi¸c˜ao, indicando por exemplo 60km/h. Isto significa que, se
vocˆe prosseguir sempre com esse movimento, ir´a percorrer a cada hora uma distˆancia de
60km. Lembrando-se que a hora tem 60 minutos, vemos que vocˆe percorrer´a um quilˆometro
em cada minuto. Na pr´atica, se houver oportunidade, vocˆe poder´a comprovar este fato uti-
lizando um rel´ogio comum e registrando suas posi¸c˜oes atrav´es dos marcos quilom´etricos da
estrada.
O movimento do autom´ovel na situa¸c˜ao descrita acima ´e um movimento uniforme. Por-
tanto, o movimento uniforme pode ser definido como aquele em que o m´ovel tem velocidade
instantˆanea constante, coincidindo com a velocidade m´edia, qualquer que seja o intervalo de
tempo considerado. Pode-se dizer ainda que, em movimento uniforme, um m´ovel percorre
distˆancias iguais em intervalos de tempo iguais e sucessivos.
No movimento uniforme, a velocidade escalar instantˆanea ´e constante e coincide com a
velocidade escalar m´edia qualquer que seja o intervalo de tempo. Portanto, de 9 vemos que
vm = ∆x
∆t
, resulta em v = ∆x
∆t
.
Fazendo xi = x0, xf = x, tf = t, ti = t0 ⇒ ∆x = x − x0 e ∆t = t − t0 = t, escolhendo
t0 = 0, obtemos:
vm = vx =
x − x0
t
⇒ vxt = x − x0 ⇒ x(t) = x0 + vxt. (10)
A fun¸c˜ao hor´aria do movimento uniforme ´e linear (do primeiro grau) em t. Nessa fun¸c˜ao
x0 e vx s˜ao constantes com o tempo, vx ´e a velocidade escalar do movimento; vx > 0 quando
o movimento ´e progressivo, neste caso, o gr´afico de x versus t ser´a uma reta crescente;
vx < 0 quando o movimento ´e retr´ogrado, neste caso, o gr´afico de x versus t ser´a uma reta
decrescente.
Note que em ambos casos do MRUV, a reta, no gr´afico de x versus t inicia no
eixo vertical em x(t = 0) = x0 (posi¸c˜ao inicial) e nunca passar´a para o segundo
quadrante, pois como sabemos o tempo ´e sempre positivo.
Neste caso, como o movimento ´e unidimensional o m´odulo ou intensidade da velocidade
ser´a dada pelo m´odulo da componente da velocidade, ou seja, |v| = |vx|. Se vx > 0 n˜ao
causa confus˜ao ao leitor se substituimos vx por simplesmente v. Pois, de acordo com a nossa
nota¸c˜ao vetorial v = |v| > 0.

19. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 16
C. Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado
De acordo com o que foi visto em sala de aula o movimento do tipo MRUV tem as
seguintes caracter´ısticas: o movimento ocorre sobre uma trajet´oria (o caminho percorrido
pelo corpo) retil´ınea possui uma velocidade vari´avel, mas a sua acelera¸c˜ao permanece a
mesma em cada instante de tempo. Um bom exemplo ´e um corpo em queda livre (da
resistˆencia do ar), a sua acelera¸c˜ao ´e exatamente a acelera¸c˜ao constante da gravidade, a
qual vale aproximadamente 9, 8m
s2 , sendo representada pela letra g. Portanto, para calcular
a velocidade, vocˆe poderia utilizar a acelera¸c˜ao m´edia definida na Eq. 9 da cinem´atica com
x = y, x0 = y0, t0 = 0 e v0 = v0y
ay =
vy − v0y
t
⇒ vy = v0y + ayt. (11)
Analogamente ao caso da equa¸c˜ao hor´aria do MRU, temos: a fun¸c˜ao hor´aria da velocidade
no MRUV ´e linear (do primeiro grau) em t. Nessa fun¸c˜ao v0 e ax s˜ao constantes com o
tempo, ax ´e a acelera¸c˜ao escalar do movimento; ax > 0 quando o movimento ´e acelerado,
neste caso, o gr´afico de vx versus t ser´a uma reta crescente; ax < 0 quando o movimento ´e
retardado, neste caso, o gr´afico de vx versus t ser´a uma reta decrescente.
A fun¸c˜ao hor´aria no MRUV deve ser mais geral do que a do MRU, contendo um termo
com a acelera¸c˜ao. Neste caso, de acordo com a an´alise dimensional[3] a equa¸c˜ao hor´aria do
MRUV torna-se:
y = y0 + v0yt +
ay
2
t2
(12)
onde y0 ´e a posi¸c˜ao inicial e v0y ´e a velocidade inicial. Se ay = 0 restauramos a equa¸c˜ao
hor´aria do MRU.
Os dois primeiros gr´aficos correspondem a fun¸c˜ao
hor´aria do MRU, para ambos casos progressivo e retr´ogado, respectivamente, cujas retas n˜ao
passam pelo segundo quadrante. O terceiro gr´afico corresponde a uma semi-par´abola da fun¸c˜ao
hor´aria do MRUV com, v0y = 0, y0 = 0, ay < 0. Note que os dois primeiros gr´aficos correspondem
tamb´em ao caso da velocidade vari´avel do MRUV.
Lembre-se que a acelera¸c˜ao tem dimens˜ao de comprimento dividido pelo tempo ao
quadrado e, por isso, de acordo com a an´alise dimensional correta multiplicamos a ay por t2
.

20. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 17
Por´em, ainda falta explicarmos o fator 1
2
na Eq. (12). Este fator pode ser deduzido se vocˆe
calcular a varia¸c˜ao ∆y atrav´es da ´area abaixo da reta do gr´afico de y verus t. De acordo com
o primeiro gr´afico, abaixo da reta, temos a ´area de um trap´ezio, a qual pode ser dividida
em duas ´areas: um retˆangulo (A1=base x altura) e um triˆangulo (A2=base x altura/2).
∆y = y − y0 = A1 + A2 = v0yt + (vy − v0y)
t
2
,
onde A1 = v0yt, A2 = (vy − v0y)t
2
. Usando a Eq. (11), vy − v0y = ayt, obtemos a equa¸c˜ao
hor´aria do MRUV:
∆y = y − y0 = v0yt +
ay
2
t2
,
como quer´ıamos verificar (cqv).
Outra maneira para deduzirmos a equa¸c˜ao hor´aria do MRUV: quando a acelera¸c˜ao for
constante podemos exspressar a velocidade m´edia por
vm =
1
2
(v0y + vy). (13)
Substituindo a Eq. (11) na Eq. (13), obtemos:
vm =
1
2
(v0y + vy) =
1
2
(v0y + v0y + ayt).
Como a velocidade m´edia ´e dada por vm = ∆y
∆t
, logo,
vm =
∆y
∆t
=
y − y0
t − t0
=
1
2
(v0y + vy) =
1
2
(v0y + v0y + ayt),
o que ´e f´acil de obter a Eq. (12). De fato, escolhendo o tempo inicial no instante em que
zeramos o rel´ogio, isto ´e, t0 = 0, simplificando esta equa¸c˜ao, obtemos
y − y0
t
=
1
2
(2v0y + ayt) ⇒ y(t) = y0 +
1
2
(2v0yt + ayt2
) = y0 + v0yt +
1
2
ayt2
.
Como quer´ıamos verificar (Cqv). Portanto, a equa¸c˜ao hor´aria do MRUV ´e uma fun¸c˜ao do
segundo grau, o gr´afico de yxt ser´a uma par´abola.
Para quem domina o c´aculo diferencial e integral poder´ıamos dizer que basta fazer a
integral de dy = vydt = (v0y + ayt)dt. Ou vocˆe poderia considerar a opera¸c˜ao do inverso da
derivada, isto ´e, sabendo o conceito de derivada vemos que
vy =
dy
dt
= v0y + ayt ⇒ y = y0 + v0yt +
ay
2
t2
.
Para quem ainda n˜ao entendeu, n˜ao se preocupe, pois o conceito de derivada vai surgir
naturalmente quando estudarmos o conceito de velocidade instantˆanea.
Note que no referencial representado pelo eixo y, cuja orienta¸c˜ao positiva ´e de baixo para
cima, a componente da acelera¸c˜ao ser´a negativa, isto ´e, ay = −g, ↑ onde g ´e o m´odulo da
acelera¸c˜ao da gravidade.
Com a escolha do referencial representado pelo eixo y, cuja orienta¸c˜ao positiva ´e de cima
para baixo, a componente da acelera¸c˜ao ser´a positiva, isto ´e, ay = g, ↓
Em ambos casos, verifica-se que no MRUV a velocidade sofre varia¸c˜oes iguais
em tempos iguais.

21. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 18
A equa¸c˜ao (11) nos permite calcular a velocidade de um corpo em fun¸c˜ao do tempo
transcorrido, enquanto a equa¸c˜ao (12) nos fornece a posi¸c˜ao ocupada por um corpo, tamb´em
de acordo com o tempo. Eliminando o tempo entre as equa¸c˜oes (11) e (12), ou seja, substi-
tuindo
t =
vy − v0y
ay
na Eq. (12) chegaremos na equa¸c˜ao de Torricelli, a qual nos permite calcular a velocidade
em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida, ∆y,
v2
y = v2
0y + 2ay∆y, (14)
onde, ∆y = y − y0. Note que quando a acelera¸c˜ao for nula resgatamos todas as equa¸c˜oes do
movimento retil´ıneo uniforme, a saber, v = v0 e y = y0 + vyt.
Portanto, em um problema de cinem´atica com MRUV, em que n˜ao foi dado
o tempo, n˜ao perca tempo, use a equa¸c˜ao de Torricelli. Torricelli e Viviani foram
os disc´ıpulos mais amigos e fi´es de Galileu, acompanhando at´e a morte, em 8 de janeiro de
1642, quando ele j´a estava cego e doente.
Como nesta se¸c˜ao a velocidade inicial ´e nula, comparando a equa¸c˜ao (12) e a equa¸c˜ao
da acelera¸c˜ao experimental vemos que o valor desta ´e exatamente a metade do valor da
acelera¸c˜ao real.
Aplica¸c˜ao experimental de Cinem´atica
Esta experiˆencia ´e acess´ıvel ao ensino m´edio e ao ´ultimo ano do ensino fundamental,
no intuito de investigar o movimento de um corpo sujeito a uma acelera¸c˜ao constante.
Estudamos esse tipo de movimento utilizando um trilho de zinco ou uma calha de pl´astico, e,
com a ajuda de um bloco de madeira ou uma esfera de a¸co, impomos uma r´apida inclina¸c˜ao.
A seguir, escolhemos um ponto de referˆencia (o ponto na eminˆencia do movimento da esfera)
sobre o plano inclinado, e registramos, a partir desse, pontos de 18 em 18 cent´ımetros.
Abandonamos a esfera met´alica na origem (posi¸c˜ao inicial, isto ´e, x0 = 0), acionamos o
cronˆometro no instante em que a esfera come¸ca a rolar. Em seguida, calculamos o tempo de
percurso para cada dezoito cent´ımetros, procedemos assim quatro vezes para ser poss´ıvel a
obten¸c˜ao de uma m´edia aritm´etica. Anotamos todos os dados obtidos na tabela, contendo
tamb´em os valores calculados para o quadrado da m´edia aritm´etica.
xxtx1 = 18cm x2 = 36cm x3 = 54cm x4 = 72cm
t1
t2
t3
t4
tm
t2
m
CONVENC¸ ˜OES

22. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 19
Distinguir a ordem das medidas na experiˆencia; ti =tempo do i-´esimo lan¸camento medido
em segundos; tm=t1+t2+t3+t4
4
(m´edia aritm´etica).
A partir dos resultados anotados na tabela, esbo¸camos os gr´aficos da posi¸c˜ao em fun¸c˜ao
do tempo, posi¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo ao quadrado em papel milimetrado. Analisando as
curvas obtidas chegamos a determinar a acelera¸c˜ao escalar e as velocidades ao fim de cada
intervalo. Esbo¸camos tamb´em o gr´afico da velocidade em fun¸c˜ao do tempo. Vale salientar
que, de acordo com a necessidade de arredondamento das medidas utilizadas, adotamos o
crit´erio de proximidade para os algarismos significativos corretos. A acelera¸c˜ao ´e calculada
experimentalmente atrav´es do coeficiente angular da reta no gr´afico da posi¸c˜ao versus o
tempo ao quadrado. O primeiro passo ´e escolher uma inclina¸c˜ao constante arbitr´aria para
realizarmos os lan¸camentos. A melhor precis˜ao do valor encontrado para a acelera¸c˜ao foi
obtida quando se utilizou uma pequena inclina¸c˜ao do trilho, evitando grandes inclina¸c˜oes
que acarretariam grandes velocidades e pequenos intervalos de tempo e, assim, dificultando
as medidas para o instrumental utilizado. O coeficiente angular da reta, no gr´afico de x x t2
no (MRUV), tem dimens˜ao de comprimento dividido pela dimens˜ao de tempo ao quadrado,
que corresponde exatamente `a dimens˜ao de acelera¸c˜ao. Logo, para calcul´a-la devemos es-
colher dois pontos que estejam sobre a reta e condiserar seus respectivos valores nos eixos
vertical e horizontal, encontrando, assim, as varia¸c˜oes ∆x e ∆t2
. Os valores escolhidos sobre
a reta podem at´e coincidir com os valores dos pontos experimentais, pois alguns pontos ex-
perimentais est˜ao fora da reta devido a erros de medidas. Assim, temos a seguinte equa¸c˜ao
da ”acelera¸c˜ao experimental”:
aexp =
∆x
∆t2
=
x2 − x1
t2
2 − t2
1
. (15)
Como estamos usando um papel com mesma escala em ambos eixos vertical e horizontal, o
coeficiente angular ´e o mesmo para quaisquer dois pontos sobre a reta.
Exerc´ıcios Resolvidos sobre Cinem´atica
E1- Vocˆe dirige um autom´ovel por 8, 3km em uma rodovia reta com velocidade de 70km/h e
ao final desse trecho p´ara por falta de gasolina. Vocˆe ent˜ao caminha 1, 9km durante 27min,
at´e enontrar um posto. Qual sua velocidade m´edia desde o instante em que o carro come¸cou
a se mover at´e chegar ao posto de gasolina?
Solu¸c˜ao
Dados: ∆x = (8, 3 + 1, 9)km = 10, 2km e ∆t = 8,3km
70km/h
+ 27min = 7, 1min + 27min =
34, 1min 0, 57h, ent˜ao, obtemos:
vm =
∆x
∆t
=
10, 2km
0, 57h
= 17, 9km/h.
E2- Vocˆe freia o seu carro, reduzindo sua velocidade de 85km/h para 45km/h numa distˆancia
de 105m. (a) Qual ´e a acelera¸c˜ao, supondo que seja constante ao longo dessa distˆancia? (b)
Que tempo decorre nesse percurso?
Solu¸c˜ao

23. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 20
a) Escolhamos o sentido positivo como sendo o da velociade, e a origem de forma que x0 = 0
quando vocˆe come¸car a frear; ´e dada a velocidade inicial v0 = 85km/h para t0 = 0, e sabemos
que a velocidade final ´e v = 45km/h no instante t (desconhecido), quando o deslocamento
for 0, 105km. Necessitamos que inclua a acelera¸c˜ao desconhecida que procuramos, mas que
n˜ao envolva o tempo (Equa¸c˜ao de Torricelli):
v2
x = v2
0x + 2ax(x − x0) ⇒ ax =
v2
x − v2
0x
2(x − x0)
⇒ ax =
452
− 852
2x(0, 105)
km
h2
= −2, 48x104 km
h2
= −1, 91
m
s2
.
A acelera¸c˜ao ´e negativa, pois ´e oposta ao referencial escolhido como positivo (movimento
retardado).
b) Agora, utilizamos a mesma equa¸c˜ao mas, n˜ao incluindo a acelera¸c˜ao e nos permitindo
determinar o tempo com os dados iniciais.
t =
vx − v0x
ax
= (vx − v0x)x
2(x − x0)
v2
x − v2
0x
⇒ t =
2(x − x0)
v0x + vx
=
2(0, 105)
85 + 45
= 1, 62x10−3
h = 5, 8s,
onde h ´e a unidade de hora.
Outra maneira seria montar um sistema com duas equa¸c˜oes e duas inc´ognitas, ax e t :
ax =
vx − v0x
t
= −
40
t
, x = 0, 105 = v0xt +
ax
2
t2
= 45t +
ax
2
t2
= 45t −
40
2
t = 25t
Portanto, t = 1, 62x10−3
h.
0, 105 = 25t ⇒ t = 1, 62x10−3
h.
E3- Uma bola ´e lan¸cada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade escalar de
25, 2m/s (a) Quanto tempo ela demora para alcan¸car o ponto mais alto? (b) Que altura ela
alcan¸ca?
Solu¸c˜ao
a) No ponto mais alto a velocidade da bola ´e nula. Dados v0y = 25, 2m/s e vy(= 0), queremos
determinar t, utilizando para isso a seguinte equa¸c˜ao:
vy = v0y − gt ⇒ t =
v0y − vy
g
=
25, 2 − 0
9, 8
s = 2, 57s.
b) Uitilizando y0 = 0 na equa¸c˜ao abaixo encontraremos o valor procuarado para a altura:
v2
y = v2
0y − 2g(y − y0) ⇒ y =
v2
0y − v2
y
2g
=
(25, 2)2
− 0
2(9, 8)
m = 32, 4m.
Outra maneira seria substituir o valor do tempo calculado no item a) na equa¸c˜ao hor´aria,

24. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 21
y = y0 + v0yt −
g
2
t2
= 32, 4m.
E4- Num determinado instante, um caminh˜ao est´a 500m `a frente de um autom´ovel. Supondo
que ambos se movam no mesmo sentido, com velocidades constantes respectivamente iguais
a 20m/s e 30m/s, quanto tempo depois o autom´ovel estar´a 200m adiante do caminh˜ao?
Solu¸c˜ao
Para os espa¸cos percorridos, temos para o autom´ovel, XA = 0 + 30t e para o caminh˜ao,
XC = 500 + 20t.
A condi¸c˜ao ”autom´ovel 200m adiante do caminh˜ao” pode ser expressa matematicamente
por:
XA = XC + 200,
de modo que, substituindo XA e XC por seus valores dados pelas fun¸c˜oes hor´arias, ficamos
com:
30t = 500 + 20t + 200 ⇒ 30t − 20t = 500 + 200 ⇒ 10t = 700 ⇒ t =
700
10
= 70s.
E5- Considere o gr´afico abaixo e calcule o deslocamento ∆x percorrido por um m´ovel
durante o intervalo de tempo registrado, sabendo-se que o deslocamento ´e calculado
utilizando-se a ´area abaixo da curva, neste caso a ´area de um trap´ezio que ´e dada por:
(base maior + base menor)·altura
2
.
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
t(s)
v(m/s)
302010
20
15
10
5
Solu¸c˜ao
A figura geom´etrica deste gr´afico ´e um trap´ezio. Para os valores num´ericos do gr´afico, o
deslocamento nos 30s iniciais ´e dado pela ´area de um trap´ezio. Portanto,
∆x =
(base maior + base menor) · altura
2
⇒ ∆x =
(20 + 5)x30
2
=
750
2
⇒ ∆x = 375m.

25. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 22
MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL - Velocidade e acelera¸c˜ao instantˆaneas
→ Velocidade Instantˆanea
Considere a posi¸c˜ao de um corpo em movimento retil´ıneo, descrito por uma curva em
fun¸c˜ao do tempo, x(t)xt, para calcularmos a velocidade instantˆanea em um dado instante de
tempo t1 passamos uma reta tangente em um ponto da curva correspondente a esse instante
de tempo e calculamos o coeficiente angular ou inclina¸c˜ao da reta tangente `a curva. Neste
caso,
vinst(t) =
∆x
∆t
=
x2 − x1
t2 − t1
= tg(θ).
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
Velocidade instantânea
t3
t2
t1
x1
t1
x(t)
t
x
Observamos na figura da velocidade instantˆanea
o seguinte: quando o intervalo de tempo diminui chegando pr´oximo a zero a reta que une os dois
pontos tende a uma tangente a curva, em um dado instante de tempo. N˜ao confundir com a
velocidade m´edia, pois a velocidade instantˆanea resulta na velocidade em cada instante de tempo
bem pr´oximo um do outro. No caso acima a velocidade instantˆanea ´e calculada atrav´es do
ceoficiente angular da reta tangente a curva no instante de tempo t1. Este ´e o significado
geom´etrico da derivada de x em rela¸c˜ao ao tempo.
−→A velocidade instantˆanea ´e a derivada de uma fun¸c˜ao real.
Quando for conhecido a forma expl´ıcita de x(t), matematicamente a velocidade in-
stantˆanea ´e representada pelo seguinte processo de limite:
vinst(t) = lim
∆t→0
∆x
∆t
= lim
∆t→0
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
≡
d
dt
x(t). (16)
Lˆe-se derivada de x em rela¸c˜ao a t. Esta ´e exatamente a defini¸c˜ao da derivada de uma fun¸c˜ao
de uma ´unica vari´avel, que vocˆe vai ver com mais detalhes nas disciplinas de matem´atica.
Aqui, a vari´avel dependente ´e a coordenada de posi¸c˜ao e a vari´avel independente ´e o tempo.
N˜ao se preocupe com o processo de limite no c´alculo da derivada, pois utilizaremos as regras
de deriva¸c˜ao e algumas propriedades, tais como:
i) derivada da soma ´e a soma das derivadas:

26. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 23
d
dt
(x(t) + y(t)) =
dx
dt
+
dy
dt
.
ii) derivada de uma constante C, vezes uma fun¸c˜ao ´e a constante vezes a derivada da fun¸c˜ao:
d
dt
Cx(t) = C
dx
dt
.
iii) derivada de uma constante C ´e zero:
d
dt
C = 0.
Por exemplo, sendo a equa¸c˜ao hor´aria de uma part´ıcula dada por x(t) = m
s2 t2
. Qual a
velocidade instantˆanea em um certo instante de tempo t? Usando a defini¸c˜ao de limite,
temos:
vinst(t) = lim
∆t→0
∆x
∆t
= lim
∆t→0
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
.
Num instante posterior t + ∆t, a posi¸c˜ao ´e x(t + ∆t), isto ´e:
x(t + ∆t) = m/s2
(t + ∆t)2
= m/s2
[t2
+ 2t∆t + (∆t)2
]
= m/s2
t2
+ 2m/s2
t∆t + m/s2
(∆t)2
.
Portanto,
∆x = x(t + ∆t) − x(t) = [m/s2
t2
+ 2m/s2
t∆t + m/s2
(∆t)2
] − m/s2
t2
= 2m/s2
t∆t + m/s2
(∆t)2
.
A divis˜ao de ∆x por ∆t nos fornece a velocidade m´edia:
vm =
∆x
∆t
=
2m/s2
t∆t + m/s2
(∆t)2
∆t
= 2m/s2
t + m/s2
∆t.
Mas, como estamos considerando intervalos de tempo cada vez mais curtos, t, e m/s2
∆t
tendem a zero, enquando a primeira parcela 2m/s2
t, permanece intacta. A velocidade
instantˆanea no instante t ´e ent˜ao:
vinst(t) =
d
dt
x(t) = lim
∆t→0
∆x
∆t
= 2t
m
s2
lim
∆t→0
1 +
m
s2
lim
∆t→0
∆t = 2m/s2
t.
Sobretudo, acabamos de provar a seguinte regra de deriva¸c˜ao:
d
dt
t2
= 2t.
Generaliza¸c˜ao:
d
dt
tn
= ntn−1
.
H´a outras regras de deriva¸c˜ao que apresentaremos de acordo com a necessidade.
→ Acelera¸c˜ao Instantˆanea

27. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 24
A acelera¸c˜ao instantˆanea ´e a taxa de varia¸c˜ao da velocidade instantˆanea, isto ´e, a derivada
de vx em rela¸c˜ao a t.
ainst(t) = lim
∆t→0
∆vx
∆t
= lim
∆t→0
vx(t + ∆t) − vx(t)
∆t
≡
d
dt
vx(t) =
d2
dt2
x(t). (17)
Lˆe-se derivada segunda de x em rela¸c˜ao a t.
Exerc´ıcios Resolvidos sobre Cinem´atica do Movimento Unidimensional
1) Considere o gr´afico abaixo de x(t)xt. Calcular a velocidade m´edia nos intervalos de
tempo ∆t = t2 − 0, 52s, quando t2 for 1, 5s; 1, 25s e 1, 0s. Qual ´e a velocidade instantˆanea
em t = 0, 52s? Fazer este exerc´ıcio para uma curva dada pela figura abaixo.
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
8
7
6
5
4
3
2
1
t(s)
x(m)
21
Solu¸c˜ao
Neste exerc´ıcio vamos considerar uma escala na vertical diferente da figura abaixo. Como
t1 = 0, 52s. Quando t2 = 1, 75s e x2 = 6cm, x1 = 2, 2cm.
∆x = (6 − 2, 2)cm = 3, 8cm, ∆t = (1, 75 − 0, 52)s = 1, 23s
⇒ vm =
∆x
∆t
=
3, 8
1, 23
cm
s
= 3, 08
cm
s
.
Quando t2 = 1, 25s, x2 = 5, 7cm e x1 = 2, 2cm, obtemos:
∆x = (5, 7 − 2, 2)cm = 3, 5cm, ∆t = (1, 25 − 0, 52)s = 0, 78s
⇒ vm =
∆x
∆t
=
3, 5
0, 78
cm
s
= 4, 79
cm
s
.
Quando t2 = 1s, x2 = 4cm e x1 = 2, 2cm, obtemos:
∆x = (4 − 2, 2)cm = 1, 8cm, ∆t = (1 − 0, 52)s = 0, 48s
⇒ vm =
∆x
∆t
=
1, 48
0, 48
cm
s
= 3, 75
cm
s
.
A velocidade instantˆanea em t = 0, 52s, ´e obtida atrav´es do coeficiente angular da reta
tangente a curva neste instante de tempo, ou seja,

28. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 25
vinst =
∆x
∆t
=
2, 2
0, 52
cm
s
= 4, 23
cm
s
.
Note que, x(0) = 0.
2) No v´acuo, a luz tem a velocidade c = 3x108
m/s. Qual o tempo que a luz leva para
cobrir a distˆancia de 1, 5x1010
m, entre o sol e a terra? (b) Quanto tempo leva a luz para vir
da lua a terra, cobrindo uma distˆancia de 3, 84x108
m? (c) Um ano luz ´e uma unidade de
distˆancia percorrida pela luz durante um ano. Achar o equivalente da distˆancia de 1 ano-luz
em quilˆometros.
Solu¸c˜ao
a)
v =
∆x
∆t
⇒ ∆t =
∆x
v
=
1, 5x1010
3x108
s =
1, 5x1010
x10−8
3
s = 0, 5x102
s = 50s.
b)
v =
∆x
∆t
⇒ ∆t =
∆x
v
=
3, 84x108
3x108
s = 1, 28s.
c)
∆x = v∆t = 3x105
x3, 1536x107
km = 9, 4608x1012
km = 9, 5x1012
km.
3) Um avi˜ao necessita alcan¸car uma velocidade de 260km/h na pista, para decolar. Supondo-
se uma acelera¸c˜ao constante e uma pista de 1, 8km de comprimento, qual a acelera¸c˜ao
m´ınima que ele deve desenvolver, a partir do repouso?
Solu¸c˜ao
Como o movimento ´e MRUV e n˜ao deu o tempo nem pede o tempo, n˜ao percamos tempo
e utilisamos a equa¸c˜ao de Torricelli:
v2
x = v2
0x + 2ax∆x ⇒ 2602
= 02
+ 2axx1, 8 ⇒ 67600 = 3, 6a
⇒ ax =
67600
36
= 18777, 77km/h2
.
4) Um carro em movimento retil´ıneo, com acelera¸c˜ao constante, tem a velocidade de 20m/s
quando est´a em 6m e 35m/s quando est´a em 10m. Qual a sua acelera¸c˜ao?
Solu¸c˜ao
Como o movimento ´e MRUV e n˜ao deu o tempo nem pede o tempo, n˜ao percamos tempo
e utilisamos a equa¸c˜ao de Torricelli:
v2
x = v2
0x + 2ax∆x ⇒ 352
= 202
+ 2ax(10 − 6) ⇒ 1225 = 400 + 2ax4
⇒ 1225 = 400 + 8ax ⇒ −8ax = −825 ⇒ ax =
825
8
= 103, 1m/s2
.

29. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 26
5) Quanto tempo leva uma part´ıcula para percorrer 110m, se parte do repouso e acelera a
taxa de 10m/s2
? Qual a velocidade m´edia neste intervalo de tempo?
Solu¸c˜ao
x = x0 + v0xt +
axt2
2
⇒ 110 = 0 + 0.t +
10t2
2
⇒ 5t2
= 110
⇒ t2
=
110
5
= 22 ⇒ t =
√
22 = 4, 7s
vm =
∆x
∆t
=
110
4, 7
= 23, 4m/s.
6) Uma bola ´e lan¸cada para cima com velocidade inicial de 40m/s. (a) Qual o tempo de
permanˆencia no ar? (b) Qual ´e a maior altura atingida pela bola? (c) Em que instante a
bola est´a a 1500cm do solo?
Solu¸c˜ao
a) Desprezando a resistˆencia do ar e usando o referencial com orienta¸c˜ao positiva para cima,
o tempo de subida ´e obtido por
vy = v0y − gt ⇒ 0 = 40 − 10ts ⇒ 10ts = 40 ⇒ ts =
40
10
s = 4s
Como estamos desprezando a resistˆencia do ar, o tempo de permaneˆncia (tp) ´e igual ao
tempo de subida mais o tempo de descida, portanto, tp = (4 + 4)s = 8s.
b) A maior altura que a bola atinge ´e obtida da seguinte maneira:
v2
y = v2
0y − 2gh ⇒ 0 = 402
− 2x10xh ⇒ 20h = 1600 ⇒ h =
1600
20
m = 80m.
c) O instante em 1500cm = 15m, ´e dado por:
h = h0 + v0yt −
gt2
2
⇒ 15 = 0 + 40t −
10t2
2
⇒ 15 = 40t − 5t2
⇒ t2
− 8t + 15 = 0,
portanto, como ´e uma equa¸c˜ao do segundo grau fazemos,
∆ = (−8)2
− 4x1x3 = 64 − 12 = 52,
assim,
t =
8 ±
√
∆
2
=
8 ±
√
52
2
=
8 ± 7, 2
2
,
o que nos fornece,
t =
8 + 7, 2
2
s =
15, 2
2
s = 7, 6s (na descida)
e
t =
8 − 7, 2
2
s =
0, 8
2
= 0, 4s (na subida)

30. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 27
7) Um supercarro de corrida pode desacelerar a cerca de 1g (Isto ´e, o m´odulo de acelera¸c˜ao
´e igual a acelera¸c˜ao da gravidade pr´oxima da superf´ıcie da Terra). (a) Quanto tempo leva
o carro para parar depois de atingir uma velocidade de 600km
h
? (b) Que distˆancia percorre
at´e parar?
Solu¸c˜ao
a) Primeiro transformamos a velocidade para m/s, que fica com o valor de 166, 66m/s e
utilizamos a seguinte equa¸c˜ao
vx = v0x + axt ⇒ 0 = 166, 66 − 10t ⇒ 10t = 166, 66 ⇒ t =
166, 66
10
= 16, 66s.
b) Pela equa¸c˜ao hor´aria do movimento, obtemos:
x = x0 + v0xt +
axt2
2
⇒ x = 0 + 166, 66x16, 66 −
10(16, 66)2
2
⇒ x = (2776, 5 − 5x277, 5)m = 1389m.
8) A posi¸c˜ao de um corpo est´a relacionada com o tempo pela equa¸c˜ao x = at3
−bt2
cos(2π
s
t)+c
, onde a = 4m
s3 , b = 2m
s2 e c = 4m. Achar a posi¸c˜ao, a velocidade instantˆanea e a acelera¸c˜ao
instantˆanea em t = 1s.
Solu¸c˜ao
Para a posi¸c˜ao, temos que:
x = at3
− bt2
cos(2
π
s
t) + c ⇒ x = 4
m
s3
t3
− 2
m
s2
t2
· cos(2
π
s
t) + 4m,
Usando,
dtn
dt
= ntn−1
,
d
dt
cos(g(t)) = −
dg
dt
sen(g(t)),
d
dt
sen(g(t)) =
dg
dt
cos(g(t))
e a regra de derivada do produto de duas fun¸c˜oes do tempo,
d
dt
gf =
dg
dt
f(t) +
df
dt
g(t),
portanto,
v(t) =
dx
dt
= 12
m
s3
t2
− 4
m
s2
tcos(2
π
s
t) + 4
πm
s3
t2
· sen(2
π
s
t).
Como sen(2π) = 0, e cos(2π) = 1, temos:
⇒ v(1s) = [12(1)2
− 4x1]
m
s
= 8m/s.
J´a para a acelera¸c˜ao instantˆanea, temos:
a(t) =
dv
dt
= 24
m
s3
t − 4
m
s2
tcos(2
π
s
t) − 4
π2
m
s4
t2
cos(2
π
s
t)

31. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 28
⇒ a(1s) = (24 − 4)
m
s2
= 20
m
s2
.
9) Uma bola cai de uma altura de 20m e quica no piso at´e uma altura de 400cm. (a) Qual
a velocidade da bola ao colidir com o piso? (b) Qual a velocidade imediatamente depois de
refletir-se no piso? (e) Se o contato entre a bola e o piso for de 0, 02s, qual a grandeza e a
dire¸c˜ao da acelera¸c˜ao m´edia durante este contato?
Solu¸c˜ao
a) Escolhendo o referencial com orienta¸c˜ao positiva para cima, ↑ ao colidir, a bola adquire
a seguinte velocidade,
v2
y = v2
0y + 2ay∆y, ∆y = −h, ay = −g ⇒ v2
y = v2
0y + 2gh
⇓
v2
y = 0 + 2x10x20 = 400 ⇒ vy = ±
√
400m/s = ±20m/s.
Como a velocidade ´e para baixo, logo: vy = −20m/s.
b) A velocidade imediatamente depois de refletir-se no piso, mantendo o referencial com
orienta¸c˜ao positiva para cima, ↑, temos: ∆y = h, ay = −g,
⇑
v2
y = v2
0y − 2gh ⇒ 0 = v2
0y − 2x10x4m2
/s2
= 80m2
/s2
⇒ vy =
√
80m/s ∼ 9m/s.
(para cima). Com esta velocidade inicial a bola retorna para o ar e atinge a altura de 4m.
Na altura m´axima, 4m, a velocidade da bola ´e nula.
c) Para o c´alculo da acelera¸c˜ao, obtemos:
am =
∆v
∆t
=
v2 − v1
t
=
9 − (−20)
0, 02
m/s2
=
29
0, 02
m/s2
= 1450m/s2
.
(para cima)
10) Um autom´ovel viajando 56km/h, est´a a 35m de uma barreira quando o motorista aperta
os freios. Quatro segundos mais tarde, o carro vai de encontro `a barreira. (a) Qual foi a
desacelera¸c˜ao do autom´ovel antes do impacto? (b) Que velocidade desenvolvia o carro ao
sofrer o impacto?
Solu¸c˜ao
a) Sabendo que 56km/h = 15, 57m/s e utilizando para o c´alculo da desacelera¸c˜ao a seguinte
equa¸c˜ao:
x = x0 + v0t +
axt2
2
,
temos que:
35 = 0 + (15, 57)4 +
ax · 42
2
⇒ ax =
70 − 124, 56
16
⇒ ax = −3, 4m/s2
.

32. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 29
b) A velocidade final ´e dada por:
vx = v0x + axt = (15, 57 + (−3, 4)x4)m/s = 2m/s.
11) A posi¸c˜ao de uma part´ıcula que se desloca ao longo do eixo dos x depende do tempo, de
acordo com a equa¸c˜ao: x = at2
−bt3
, onde x, ´e dado em metros e t em segundos. (a) Quais as
dimens˜oes e as unidades de a e b? Para as perguntas seguintes, considere os valores num´ericos
de a e b iguais a 3, 0 e 1, 0, respectivamente. (b) Em que instante a part´ıcula alcan¸ca o ponto
no qual o valor de x ´e m´aximo? (c) Qual a distˆancia total percorrida pela part´ıcula nos 4, 0s
iniciais? (d) Qual o seu deslocamento nos 4, 0s iniciais? (e) Qual a velocidade da part´ıcula
ao fim de cada um dos quatro primeiros segundos? (f) Qual a acelera¸c˜ao da part´ıcula ao fim
de cada um dos quatro primeiros segundos? (g) Qual a velocidade m´edia para o intervalo
de tempo entre t = 2, 0 e t = 4, 0 segundos?
Solu¸c˜ao
a) Como adotamos a distˆancia x em metros e o tempo t em segundos temos que:
[x] = at2
[x] = bt3
,
portanto, as dimens˜oes de [a] e [b] s˜ao dadas por:
[a] =
[x]
t2
=
m
s2
, [b] =
[x]
t3
=
m
s3
.
b) Usando a = 3m
s2 e b = 1m
s3 , temos
x(t) = 3
m
s2
t2
−
m
s3
t3
,
com x em metros e t em segundos. Agora, a condi¸c˜ao para extremizar uma fun¸c˜ao unidi-
mensional, dx
dt
= 0, obtemos:
6t − 3t2
= 0 ⇒ t = 0s; t = 2s.
Como d2x
dt2 < 0, em t = 2s nos d´a o valor m´aximo de x, ou seja, x(2s) = 4m
s
´e o valor m´aximo
da posi¸c˜ao.
c)
Para t = 0 e t = 2s, temos: x(2s) − x(0) = 4m.
Para t = 2s e t = 3s, temos: x(3s) − x(2s) = 4m.
Para t = 3s e t = 4s, temos: x(4s) − x(3s) = 16m.
A distˆancia total ´e dada por: (4 + 4 + 16)m = 24m.
d) Fazendo, x(4) = −16, obtemos: x(4s) − x(0) = −16m.
e) A velocidade ´e dada por:
vx =
dx
dt
= 6t − 3t2
,
onde em t = 1s ⇒ v = 3m/s; t = 2s ⇒ v = 0m/s; t = 3s ⇒ v = −9m/s; t = 4s ⇒
v = −24m/s.
f) A acelera¸c˜ao ´e dada por:

33. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 30
ax =
dvx
dt
= 6(1 − t),
onde em t = 1s ⇒ a = 0m/s2
; t = 2s ⇒ ax = −6m/s2
; t = 3s ⇒ ax = −12m/s2
; t =
4s ⇒ vx = −18m/s2
.
g) A velocidade m´edia entre 2 e 4 segundos ´e dada por:
v4,2 =
x(4) − x(2)
4 − 2
= −10m/s.
12) Dois trens, inicialmente distantes 75km um do outro, aproximam-se em vias f´erreas
paralelas, cada qual a 15km/h. Um passarinho, num vˆoo de vaiv´em, passa de um para outro
a velocidade de 20km/h. Qual a distˆancia coberta pelo passarinho at´e os trens se cruzarem?
Solu¸c˜ao
Dados: ∆x = 75km; como os trens est˜ao se deslocando em sentido contr´ario, a velocidade
relativa do trem ´e vt = (15+15)km/h = 30km/h; a velocidade do passarinho ´e vp = 20km/h.
Calculando o tempo gasto at´e os trens se cruzarem, temos:
vt =
∆x
∆t
⇒ ∆t =
∆x
vt
=
75
30
h = 2, 5h.
Portanto, a distˆancia coberta pelo passarinho at´e os trens se cruzarem ´e dada por:
⇒ vp =
x
∆t
⇒ x = vp∆t = 20x2, 5km = 50km.
[1] Isaac Newton nasceu em 1642 e enunciou, em 1667, as lei do movimento que hoje leva o seu
nome. Certa vez a Rainha da Inglaterra perguntou para Newton como ele conseguiu chegar a
essas leis fant´asticas? Newton respondeu: sempre pensando nelas.
[2] At´e hoje, os livros-texto adotados nas escolas brasileiras n˜ao tˆem considerado a representa¸c˜ao
de uma grandeza vetorial em trˆes dimens˜oes, alegando que o aluno tem muita dificuldade de
visualisar o desenho em perspectiva.
[3] Uma equa¸c˜ao matem´atica para representar uma lei F´ısica deve ter uma an´alise dimensional
correta, com cada parcela de ambos lados da equa¸c˜ao tendo a mesma dimens˜ao.