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Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues
O programa da disciplina de F´ısica Geral e Experimental I, do...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues ii
Parˆametros Curriculares Nacionais
Como o Prof. conseguir´a v...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues iii
Em algumas se¸c˜oes utilizaremos o c´alculo diferencial e in...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 1
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica
I. INTRODUC¸ ˜AO `A MEDIDAS DE GRAND...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 2
uma luneta por Galileu Galilei (1564-1642), em 1610, luneta es...
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para sistemas com massas constantes.
Al´em do SI, surgiram tam...
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A. Grandeza F´ısica Escalar
Na matem´atica, um escalar ´e apen...
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Soma Geom´etrica de Vetores
A soma de dois ou mais vetores se ...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 6
Agora considere a soma de 4 vetores, A, Leste,
B, Nordeste, C,...
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em um triˆangulo retˆangulo, o seno ´e definido pelo quociente ...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 9
Obs: O m´odulo do vetor unidimensional ´e igual ao m´odulo de ...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 10
(vii) Para o produto escalar entre dois vetores buscou-se a p...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 11
⇒ b = b2
x + b2
y = 32 +
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⇒ b =
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(ii) No CGS, ...
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A distˆancia que ela caminhou obtemos da seguinte forma:
d =|...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 13
a) Dois vetores paralelos na horiznontal e sentidos contr´ari...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 14
em seus trabalhos, que deram in´ıcio a era da pesquisa cient´...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 15
vm =
xf − xi
tf − ti
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vf − vi
tf − ti
(9)
onde x, v e t...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 16
C. Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado
De acordo com o...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 17
Por´em, ainda falta explicarmos o fator 1
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na Eq. (12). Este...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 18
A equa¸c˜ao (11) nos permite calcular a velocidade de um corp...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 19
Distinguir a ordem das medidas na experiˆencia; ti =tempo do ...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 20
a) Escolhamos o sentido positivo como sendo o da velociade, e...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 21
y = y0 + v0yt −
g
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Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 22
MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL - Velocidade e acelera¸c˜ao instantˆ...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 23
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dt
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Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 24
A acelera¸c˜ao instantˆanea ´e a taxa de varia¸c˜ao da veloci...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 25
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Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 26
5) Quanto tempo leva uma part´ıcula para percorrer 110m, se p...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 27
7) Um supercarro de corrida pode desacelerar a cerca de 1g (I...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 28
⇒ a(1s) = (24 − 4)
m
s2
= 20
m
s2
.
9) Uma bola cai de uma al...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 29
b) A velocidade final ´e dada por:
vx = v0x + axt = (15, 57 + ...
Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 30
ax =
dvx
dt
= 6(1 − t),
onde em t = 1s ⇒ a = 0m/s2
; t = 2s ⇒...
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A nossa meta principal será introduzir os conceitos de mecânica clássica (Newtoniana), abordando a teoria,
experiências simples, resolvendo vários exercícios que tem sido propostos em livros de ensino
médio e universitários. Apesar desses exercícios em sua maioria estarem descontextualizados,
procuramos aqueles que facilitarão o processo de ensino-aprendizagem da Física Clássica.

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  1. 1. i Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues O programa da disciplina de F´ısica Geral e Experimental I, do Centro de Educa¸c˜ao e Sa´ude, ofertada para os estudantes dos cursos de Licenciaturas em Qu´ımica e Matem´atica, cont´em parte do conte´udo program´atico das disiciplinas de F´ısica I e F´ısica experimental I do curso de Licienciatura em F´ısica. Recentemente, o autor deste livro ministrou aulas de F´ısica cl´assica e moderna no Curso de capacita¸c˜ao de F´ısica, ofertado para os Professores de F´ısica do Ensino M´edio da Rede Estadual, realizado com o apoio do MEC, no per´ıodo de 23 a 27 de Abril de 2007, no Centro de Treinamento de Professores de Alagoa Grande. A teoria e a pr´atica da Mecˆanica ´e investigada fazendo parte de um todo. Esta disciplina pertence aos cursos de Qu´ımica e Matem´atica da Unidade de Educa¸c˜ao da UFCG, cujo conte´udo program´atico poder´a ser utilizado tamb´em nos cursos de Engenharias, Licenciatura e Bacharelado em F´ısica. A nossa meta principal ser´a introduzir os conceitos de mecˆanica, abordando a teoria, experiˆencias simples, resolvendo v´arios exerc´ıcios que tem sido propostos em livros de ensino m´edio e universit´arios. Apesar desses exerc´ıcios em sua maioria estarem descontextualizados, procuramos aqueles que facilitar˜ao o processo de ensino-aprendizagem da F´ısica Cl´assica. No final de cada cap´ıtulo o aluno-professor (estudante de um curso de licen- ciatura plena) dever´a saber reformular os problemas e propor novos desafios e questionamentos a cerca dos conte´udos visto em sala de aula. O estudante-professor deve acessar os seguintes sites de olimp´ıadas de conhecimentos: wwww.sbfisica.org.br (olimp´ıada brasileira de F´ısica), www.oba.org.br (olimp´ıada brasileira de astronomia e astrona´utica) SUM´ARIO CAP´ITULO I 1. Introdu¸c˜ao `a medidas de grandezas F´ısicas → Galileu e suas principais descobertas 2. Grandezas F´ısicas Escalares e Vetoriais 2.1 Grandeza F´ısica Escalar 2.2 Grandeza Vetorial em F´ısica 2.3 Componentes Cartesianas de um Vetor 2.4 Opera¸c˜oes com vetores: Propriedades 3. Cinem´atica escalar 3.1 Trajet´oria 3.2 Movimento Retil´ıneo Uniforme 3.3 Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado → Aplica¸c˜ao experimental de Cinem´atica → Movimento Unidimensional - Velocidade Instantˆanea Esta primeira parte do conte´udo program´atico corresponde ao assunto da primeira avalia¸c˜ao.
  2. 2. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues ii Parˆametros Curriculares Nacionais Como o Prof. conseguir´a vencer os obst´aculos do processo ensino- aprendizagem? Resposta. O professor antes de executar as suas atividades deve se preparar para as seguintes metas: planejamento, organiza¸c˜ao e gerenciamento. Antes de abordarmos o conte´udo program´atico de F´ısica destacaremos cinco fatores de- terminantes dos Parˆametros Curriculares Nacionais (PCN) para o ensino m´edio. 1) Vamos iniciar com a famosa indaga¸c˜ao: A F´ısica do ensino m´edio ´e um bicho pap˜ao? A resposta ´e sim, para quem leciona sem a contextualiza¸c˜ao da disciplina com o cotidiano do aluno e a realidade regional, n˜ao permitindo, ainda, ao educando estabelecer rela¸c˜oes da F´ısica com outros saberes. O que temos visto ´e o professor impondo uma parafern´alia de equa¸c˜oes para o aluno ter que decorar e aplicar nas solu¸c˜oes de problemas descontextualiza- dos. N˜ao h´a quem diga que ´e bom, mas poucos s˜ao os professores interessados em mudan¸cas, dizendo que n˜ao tem tempo porque precisam exercer outras atividades para sobreviver. 2) Desde 2007, os vestibulares da UFCG trouxeram quest˜oes contextualizadas e, em 2007, incluiu pela primeira vez quest˜oes sobre F´ısica moderna, exigindo a aplica¸c˜ao do racioc´ınio l´ogico do aluno, beneficiando o aluno que n˜ao memoriza apenas as f´ormulas. A meta princiapl ´e selecionar alunos que saibam ler e interpretar enunciados, lidar com gr´aficos, raciocinar, argumentar e propor solu¸c˜oes dos problemas de forma clara e bem articulada, al´em de dominar adequadamente as principais formas de linguagem. 3) Atualmente se busca a vincula¸c˜ao da fun¸c˜ao da escola e da ciˆencia com a forma¸c˜ao do cidad˜ao. Na forma¸c˜ao de professor devemos destacar para o educando a importˆancia do papel da Forma¸c˜ao do Licenciado em F´ısica em si mesmo e para a sociedade. 4) De um modo geral poder´ıamos dizer que o planejamento ´e uma previs˜ao met´odica de projetos e seus objetivos. Ap´os escolhermos o tema objeto de estudo devemos responder as seguintes quest˜oes: o que fazer? Como fazer? O que vocˆe pretende fazer em parceria com os professores de outras disciplinas? A pergunta chave, como incentivar o aluno a estudar F´ısica com mais determina¸c˜ao? ´E necess´ario trabalhar sempre a conscientiza¸c˜ao do aluno, despertando-o a motiva¸c˜ao para estudar. O planejamento deve ter como objetivo principal metas para desenvolver o esp´ırito cr´ıtico dos educandos e educadores, o que refletir´a em indiv´ıduos pensantes. 5) O ato de criticar e dar opini˜oes deve ser profundamente adotado pelo educando durante sua forma¸c˜ao, pois a partir das d´uvidas se descobrem novos conhecimentos. Os objetivos gerais e espec´ıficos do seu planejamento devem estar de acordo com as Orienta¸c˜oes Curricu- lares para o Ensino M´edio, os Parˆametros Curriculares Nacionais do Ensino M´edio (PCNEM) e os PCN+, a Lei de Diretrizes e Bases para o Ensino Nacional, as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino M´edio. A meta principal da escola do ensino m´edio n˜ao ´e dizer o que fazer, ela deve tratar do como fazer. Neste primeiro cap´ıtulo, abordaremos os t´opicos de mecˆanica correspondentes ao conte´udo program´atico de F´ısica do primeiro ano do ensino m´edio da Para´ıba, dando ˆenfase ao estudo do movimento de corpos macrosc´opicos de pequena velocidade e com massas maiores do que a massa de um el´etron, os quais ser˜ao representados por um ponto. Iniciaremos abordando uma introdu¸c˜ao `a medidas de grandezas F´ısicas. A nota¸c˜ao de um n´umero dentro de dois colchetes, [N], designa coment´arios que aparecer˜ao no final de cada cap´ıtulo.
  3. 3. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues iii Em algumas se¸c˜oes utilizaremos o c´alculo diferencial e integral, mas sempre resolveremos os casos em que envolvem integrais e derivadas mais simples. Com essa metodologia os alunos ficar˜ao sabendo os conceitos e para que serve a ferramenta do c´alculo diferencial e integral, deixando de ser um bicho-pap˜ao, para quem vai estudar as disciplinas de F´ısica nos cursos universit´arios. O c´alculo diferencial e integral ser´a optativo para o ensino m´edio, entretanto, sendo essˆenciais para quem ingressar nos cursos universit´arios de engenharias, estat´ıstica, com- puta¸c˜ao, ciˆencias exatas e da natureza, etc. Objetivo Principal O objetivo principal ´e estruturar uma base s´olida da F´ısica cl´assica newtoniana, fazendo uma apresenta¸c˜ao das teorias pertinentes acompanhadas de uma an´alise de suas funda- menta¸c˜oes te´oricas juntamente com aplica¸c˜oes pr´aticas. No laborat´orio, buscaremos fazer a verifica¸c˜ao experimental para uma melhor compreens˜ao dos fenˆomenos f´ısicos visto em sala de aula, utilizando materiais de baixo custo. O estudante ter´a a oportunidade de num ´unico livro encontrar uma abordagem hist´orica da mecˆanica cl´assica, os v´arios aspec- tos matem´aticos primordiais e desenvolver sua iniciativa e criatividade realizando v´arias experiˆencias para uma melhor compreens˜ao das leis F´ısicas. Ser´a acrescentado um cap´ıtulo dando os conceitos preliminares de Matem´atica b´asica e do c´alculo diferencial e integral, o que resultar´a em um bom rendimento do aluno que ingressar nos cursos universit´arios de Ciˆencias e Tecnologias. Motiva¸c˜ao A teoria e a pr´atica far´a parte de um ´unico livro-texto. A motiva¸c˜ao principal ´e elaborar um livro-texto no n´ıvel intermedi´ario entre a escola de ensino m´edio e a universidade onde esse livro ficar´a exposto nas bibliotecas dos Campi da UFCG e em outros estabelecimentos de ensino m´edio e superior na Para´ıba. Neste cap´ıtulo I, simultaneamente, introduziremos algumas experiˆencias que poder˜ao ser aplicadas na 1a s´erie do Ensino M´edio. A meta ser´a trabalhar com a fundamenta¸c˜ao te´orica paralelamente com experiˆencias pr´aticas fazendo parte de um todo. Apresentaremos tamb´em alguns exerc´ıcios resolvidos e propostos em que nosso objetivo principal ´e passar para o aluno as poss´ıveis aplica¸c˜oes F´ısicas.
  4. 4. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 1 Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica I. INTRODUC¸ ˜AO `A MEDIDAS DE GRANDEZAS F´ISICAS No estudo das leis F´ısicas, em geral, ´e de suma importˆancia a comprova¸c˜ao na pr´atica do que ´e feito teoricamente para a perfeita compreens˜ao do assunto, o que faz necess´ario a realiza¸c˜ao de alguns experimentos. As vezes pode ocorrer o contr´ario a experiˆencia est´a na frente da Teoria, ou seja, h´a experiˆencia que ainda n˜ao tem um modelo matem´atico para descrevˆe-la. Desta forma, as medidas de determinadas grandezas s˜ao de fundamental importˆancia para o entendimento das respectivas leis F´ısicas representadas por equa¸c˜oes matem´aticas. A teoria de erros ´e um assunto bastante abrangente, no entanto, nesta introdu¸c˜ao faremos uma an´alise sucinta sobre os Algarismos Significativos. Destacaremos aqui uma abordagem em que a teoria e o experimento n˜ao deve ser tratado isoladamente. O objetivo geral ´e desenvolver a capacidade de racioc´ınio cient´ıfico dos alunos. Quando efetuamos a medida de uma grandeza F´ısica qualquer, n˜ao podemos afirmar que o resultado seja um n´umero exato associado a uma certa dimens˜ao. Por exemplo, olhando o marcador de combust´ıvel de um autom´ovel que tem um reservat´orio de gasolina com capaci- dade de sessenta litros, supondo que o respectivo marcador est´a indicando que resta somente um quarto de gasolina. Logo, vocˆe n˜ao diria que a quantidade de combust´ıvel contido no tanque do carro seria simplesmente 15 litros. Isto porque o medidor de combust´ıvel mede um intervalo. Vocˆe poder´a afirmar que tem da ordem de 15 litros, ou melhor em torno de 15 litros mais ou menos 3 litros, ou de outra forma (15 ± 3) litros. Ent˜ao, podemos dizer que toda medida de uma grandeza F´ısica ´e determinada em um intervalo. Isto nos informa que o n´umero de algarismos com que vamos escrever a quantidade de combust´ıvel do tanque ser˜ao 2 e o chamaremos de significativos. Ao se escrever o resultado da leitura de uma medida de uma grandeza F´ısica devemos ter sempre o cuidado de acrescentarmos os algarismos duvidosos. Portanto, na medida acima o resultado seria aproximadamente 15, 3 litros. Neste caso, os algarismos significativos s˜ao 1 e 5 e o algarismo duvidoso ´e 3. O desvio ou erro de uma medida de uma grandeza F´ısica ´e que indica o n´umero de algaris- mos significativos da medida. Aten¸c˜ao com o arredondamento de medidas. Ao trabalharmos com medidas, pode ocorrer a necessidade de arredond´a-las e, para tal, devemos utilizar o crit´erio da proximidade. A seguir listaremos alguns exemplos: (i) 2, 68 ≈ 2, 7 e 2, 26 ≈ 2, 3; (ii) 2, 64 ≈ 2, 6 e 2, 23 ≈ 2, 2; (iii) 2, 65 ≈ 2, 6 e 2, 35 ≈ 2, 4. Note que em (i), os algarismos que quer´ıamos abandonar s˜ao maiores que cinco; em (ii), os algarismos que quer´ıamos abandonar s˜ao menores que cinco e em (iii), os algarismos que quer´ıamos abandonar s˜ao iguais a cinco. Neste caso, se o algarismo anterior for par, simplesmente abandonamos o ´ultimo algarismo (24, 65 ≈ 24, 6). Ainda sobre o exemplo (iii), se o algarismo anterior for ´ımpar, abandonamos o ´ultimo algarismo e acrescentamos a unidade no n´umero anterior (83, 35 ≈ 83, 4). Galileu e suas Principais Descobertas As primeiras observa¸c˜es sobre a ciˆencia que estuda os astros, astronomia, foram feitas com
  5. 5. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 2 uma luneta por Galileu Galilei (1564-1642), em 1610, luneta esta que ele mesmo construiu atrav´es de uma not´ıcia de um instrumento similar na Holanda, tais observa¸c˜es tiveram grande repercuss˜ao em sua ´epoca. ˆEle observou com muita sutileza cada objeto desconhecido que se encontrava fora das estruturas da Terra. Por´em, as primeiras an´alises podem ter sido dos Chineses, elaborando um calend´ario e os 365 dias de um ano, a aproximadamente 3.000 anos antes de Cristo (a.C.) e, a quase 4.000 a.C. eles previram os eclipses do Sol e da Lua. Devemos dizer tamb´em que muitos povos da Antig¨uidade como os babilˆonicos e posteriormente os gregos, diferenciaram os planetas, dos demais objetos celestes pelo movimento que eles realizavam. Galileu al´em de suas in´umeras contribui¸c˜oes aos estudos dos movimentos, desenvolveu um m´etodo de investiga¸c˜ao que atribuiu importˆancia significativa `a experimenta¸c˜ao, id´eia que, posteriormente constituiu-se em momento essencial na metodologia de constru¸c˜ao do conhecimento cient´ıfico. Em sua ´epoca, uma das dificuldades experimentais no estudo do movimento dos corpos, era a medi¸c˜ao do tempo. Galileu utilizava um rel´ogio hidra´ulico que era um recipiente cheio d´agua, com um orif´ıcio em sua base atrav´es do qual a ´agua vazava e, para certo intervalo de tempo, era recolhida e pesada; para intervalos de tempos diferentes, quantidades proporcionais de ´agua eram recolhidas. Atualmente, a maioria das grandezas F´ısicas podem ser medidas com precis˜ao. Galileu Galilei Prof. de matem´atica na It´alia, construiu os primeiros passos para a formula¸c˜ao das leis da mecˆanica cl´assica, formulando as equa¸c˜oes da cinem´atica e o princ´ıpio da in´ercia, a partir da observa¸c˜ao de experiˆencias simples, utilizando pela primeira vez o m´etodo cient´ıfico. Ele foi o primeiro a utilizar o Telesc´opio para observar o C´eu e descobriu os quatro principais sat´elites de J´upiter. A diferen¸ca b´asica entre a lei da in´ercia de Newton e a lei da in´ercia de Galilleu ´e a seguinte: Newton dizia que um corpo est´a em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme, enquanto que Galileu afirmava que um corpo estava em repouso ou em movimento circular uniforme. Em ambos enunciados deve ser acrescentado a n˜ao existˆencia de for¸cas atuando sobre o corpo. A Astronomia foi n˜ao s´o uma das respons´aveis pelo deslanchar da revolu¸c˜ao intelectual dos ´ultimos trˆes s´eculos, mas suas descobertas continuam a suprir as surpresas curiosas aos cientistas deste in´ıcio do terceiro milˆenio. Tudo isto come¸cou com uma luneta na m˜ao e muita curiosidade frente ao mundo. II. GRANDEZAS F´ISICAS ESCALARES E VETORIAIS Nesta introdu¸c˜ao analisaremos as principais caracter´ısticas das Grandezas F´ısicas. Uma grandeza F´ısica ´e tudo aquilo que pode ser medido. ´E bem conhecido no dia a dia que medir qualquer coisa significa calcular quantas vezes ´e ela maior ou menor do que um certo padr˜ao de medida, o qual depende do sistema de unidades. O primeiro sistema de unidade criado foi o SI (Sistema Internacional de Unidades), esse sistema foi criado para facilitar as rela¸c˜oes entre os pa´ıses, pois, antes eles adotavam cada um o seu padr˜ao de medida, mas com o passar do tempo foram aperfei¸coados em um s´o. Na primeira s´erie do ensino m´edio, o SI ´e tamb´em conhecido como mks, a primeira e terceira letras s˜ao os s´ımbolos de metro e segundo, respectivamente. As quatro unidades de medidas fundamentais, no SI, s˜ao: a massa: kg → kilograma; o comprimento: m → metro; o tempo: s → segundo e a velocidade: m/s. Mais adiante, falaremos sobre a famosa equa¸c˜ao da 2a lei de Newton[1], a qual relaciona as seguintes grandezas F´ısicas: massa, acelera¸c˜ao e for¸ca,
  6. 6. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 3 para sistemas com massas constantes. Al´em do SI, surgiram tamb´em outros padr˜oes de medidas como o CGS que significa cent´ımetro, grama e segundo. As grandezas F´ısicas s˜ao classificadas em escalar e vetor. A rela¸c˜ao entre as unidades do SI e do CGS: i) Unidades no SI, distˆancia=m, tempo=s, velocidade=m s , acelera¸c˜ao=m s2 , for¸ca=N (New- ton), energia=J (Joule)=trabalho, m2 =´area, m3 =volume, etc. ii) Unidades no CGS, distˆancia=cm, tempo=s, velocidade=cm s , acelera¸c˜ao=cm s2 , for¸ca=dyn (dinas), energia=ergs=tabalho, cm2 =´area, cm3 =volume, etc. 1m = 102 cm ⇒ 1cm = 10−2 m ⇒ 10cm = 10x10−2 m = 10−1 m = 0, 1m 1km = 103 m ⇒ 1m = 10−3 km ⇒ 2m = 2x10−3 km = 0, 02km 1kg = 103 g ⇒ 1g = 10−3 kg. 1N = 105 dina = 0, 1020kgf, 1J = 107 ergs, 1kgf = 9, 80665N = 9, 087N = 980, 7dina. 1m2 = 104 cm2 , 1in2 = 6, 4516cm2 , onde in representa uma polegada. 1m3 = 106 cm3 , 1 = 103 cm3 = 10−3 m3 . Este procedimento de transforma¸c˜ao de um sistema de unidade para outro faz vocˆe ganhar tempo, portanto comece a revisar potˆencia de dez. Sempre que for efetuar uma conta em F´ısica se faz necess´ario escolher o sistema de unidades. Sugerimos trabalhar com o SI. Neste caso, transformamos todas as unidades das grandezas F´ısicas envolvidads em um determinado problema para o SI. Ap´os esta transforma¸c˜ao substituimos os n´umeros na equa¸c˜ao correspondente `a lei F´ısica pertinente ao problema, e ao terminar as contas colocamos o resultado com sua unidade apropriada no SI. Significado f´ısico de velocidade: 110km/h → significa que em uma hora o carro ir´a percorrer 110km, supondo que o carro mantenha esta velocidade durante todo o percurso. A velocidade ´e a distˆancia que vocˆe pretende alcan¸car em cada unidade de tempo. Gostar´ıamos de registrar que 110km/h ´e o valor m´aximo permitido para a velocidade de um autom´ovel segundo o novo c´odigo do Trˆansito Brasileiro. Note que 1 km h = 1000m 3600s = 1 3600s 1000m = 1 3, 6 m/s ⇒ 1 m s = 3, 6 km h , o que leva a vocˆe concluir que para transformar de km h para m s basta dividir por 3,6 e para transformar de m s para km h vocˆe deve multiplicar por 3,6. ´E assim que os atuais livros-texto fazem. Mas, vocˆe pode sobrecarregar a mem´oria com mais uma informa¸c˜ao e se atrapalhar sem saber se vai multiplicar ou dividir por 3,6. Este dilema ser´a resolvido se vocˆe trabalhar com as unidades fundamentais. Vejamos um exemplo. Quanto vale 36km h no SI? ⇒ 36 km h = 36x 1000m 3600s = 360 36 m s = 10 m s . Portanto, um carro a 36km h siginifica que ele vai percorrer, em m´edia, 36km em 1h, isto equivale a 10m em cada segundo. Portanto, basta trabalhar com as unidades fundamentais.
  7. 7. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 4 A. Grandeza F´ısica Escalar Na matem´atica, um escalar ´e apenas um n´umero real ou complexo. Uma Grandeza Escalar F´ısica ´e aquela que basta um n´umero real e uma unidade para ficar completamente determinada. Exemplos: massa, volume, densidade, tempo, temperatura, carga el´etrica, energia, etc. No caso da massa vocˆe poderia imaginar que estaria em uma feira livre pedindo para o comerciante 2kg de arroz integral, onde o escalar seria o n´umero dois e a unidade de massa seria kg. Esta solicita¸c˜ao seria imediatamente atendida desde que o comerciante tivesse uma balan¸ca para medir a massa. B. Grandeza Vetorial em F´ısica Primeiro vamos considerar a seguinte situa¸c˜ao pr´atica: Camila chegou 10 minutos antes da aula come¸car e encontrou Adriana querendo saber se ela tinha visto o Prof. Rafael. Ela respondeu dizendo simplesmete que o viu passar em frente `a sua casa no carro a aproximada- mente 40km/h. Adriana, notou que a informa¸c˜ao estava incompleta e, ent˜ao, perguntou qual a dire¸c˜ao em que o professor estava indo? Coment´ario: Uma informa¸c˜ao completa sobre a velocidade do carro deve conter o m´odulo, dire¸c˜ao e sentido. Todas as grandezas que se comportam como a velocidade s˜ao denominadas de vetores. A seguir vamos introduzir uma defini¸c˜ao de vetor em matem´atica. Um vetor em matem´atica ´e uma grandeza que possui: m´odulo, dire¸c˜ao e sentido, cuja soma de dois vetores e o produto de um escalar por um vetor resultam em outros vetores (e satisfazem a certas propriedades, que ser˜ao analisadas na subse¸c˜ao 2.4). O s´ımbolo de um vetor ´e uma letra com uma seta em cima, a saber, A (Lˆe-se vetor a). Veremos tamb´em que se for dado o m´odulo e a dire¸c˜ao de um vetor podemos calcular as suas componentes e, inclusive, identificaremos o sentido. H´a outras defini¸c˜oes de vetor, no entanto, n˜ao ser˜ao discutidas aqui. Se A e B s˜ao vetores =⇒ A + B e cA tamb´em s˜ao vetores, onde c ´e um escalar. A defini¸c˜ao de uma grandeza F´ısica vetorial ´e a mesma da matem´atica, por´em acrescida de uma unidade, como por exemplos: velocidade, acelera¸c˜ao, for¸ca , posi¸c˜ao, deslocamento, campo el´etrico, etc. Geometricamente, define-se o vetor como sendo um segmento de reta orientada, cujo comprimento representa o seu m´odulo. Neste caso, uma representa¸c˜ao geom´etrica de um certo vetor E seria a seguinte: 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 E
  8. 8. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 5 Soma Geom´etrica de Vetores A soma de dois ou mais vetores se processa da seguinte maneira: fixamos um vetor e em seguida transladamos um outro vetor colocando a extremidade do primeiro na origem do segundo e, assim, sucessivamente. Considere os trˆes vetores abaixo, 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 C B A Neste caso, o vetor soma (ou vetor resultante) R = A + B + C possui a seguinte repre- senta¸c˜ao geom´etrica: 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 R C B A Note que o vetor resultante ´e realmente outro vetor, cujo m´odulo ´e menor do que a soma do m´odulo de cada vetor, o que evidˆencia o fato de que somar vetores ´e diferente de somar n´umeros. A seguir veremos o m´etodo anal´ıtico de medir o m´odulo de um vetor, isto ´e, introduzire- mos a equa¸c˜ao do vetor em termos de suas componentes. A componente de um vetor nos fornece exatamente a medida de sua proje¸c˜ao perpendicular sobre um eixo. C. Componentes Cartesianas Lembre-se que as coordenadas cartesianas ou retangulares s˜ao representadas por x, y e z, as quais assumem valores sobre trˆes eixos perpendiculares com origens no ponto de interse¸c˜ao.
  9. 9. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 6 Agora considere a soma de 4 vetores, A, Leste, B, Nordeste, C, Norte e D, Oeste. O vetor soma (ou vetor resultante) ´e a soma vetorial dos 4 vetores R = A + B + C + D, cuja a representa¸c˜ao geom´etrica ´e mostrada nesta figura. As componentes cartesianas de um vetor s˜ao suas proje¸c˜oes sobre os eixos perpendiculares x, y e z. Vetor na reta, digamos, no eixo da abscissa x: ´e um vetor com uma ´unica componente (Chamado tamb´em de vetor unidimensional). Nota¸c˜ao: a (lˆe-se vetor a ); a =|a| ( m´odulo ou intensidade do vetor); ax ´e a componente de a na dire¸c˜ao x. Vetor Unit´ario: ´E um vetor cujo m´odulo ´e a unidade e est´a sempre apontando numa certa dire¸c˜ao. Seja i o vetor unit´ario na dire¸c˜ao x, ent˜ao a equa¸c˜ao do vetor unidimensional torna-se: a = axi . Vetor no plano cartesiano xy −→ vetor com duas componentes → vetor bidimensional. Representando o vetor b no plano cartesiano, temos: by: proje¸c˜ao ortogonal(perpendicular) de b sobre o eixo y (componente de b na dire¸c˜ao y). Partimos da extremidade de b paralelo a x e perpendicular a y. bx: proje¸c˜ao ortogonal (perpendicular) de b sobre o eixo x (componente de b na dire¸c˜ao x ). Partimos da extremidade de b paralelo a y e perpendicular a x. Sejam i e j os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes x e y, respectivamente, ent˜ao a equa¸c˜ao do vetor bidimensional ´e representada por b = bxi + byj, (1) onde i ⊥ j. (Os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes x e y s˜ao perpendiculares entre si.) Agora proporemos que seja adotado nos livros-texto de F´ısica do ensino m´edio a seguinte representa¸c˜ao para um vetor bidimensional: a = (ax, ay), a qual nos faz lembrar a bem conhecida nota¸c˜ao de par ordenado para um ponto do plano xy. Note que a = (ax, ay) = ax(1, 0) + ay(0, 1) = axi + ayj.
  10. 10. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 7 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 j i bx by b x y Agora analisaremos o triˆangulo composto pelos catetos adajacente e opostos ao ˆangulo θ, respectivamente, bx e by. Note que temos um triˆangulo retˆangulo, logo de acordo com o teorema de Pit´agoras obt´em-se: b2 x + b2 y = b 2 ⇒ b =| b |→ Hipotenusa (M´odulo do vetor ´e dado por): b = b2 x + b2 y. (2) Lembre-se que o triˆangulo retˆangulo possui um ˆangulo reto (ˆangulo de noventa graus ra- dianos). O teorema de Pit´agoras ´e v´alido somente no triˆangulo retˆangulo. A partir de agora sempre que for pedido para calcular o m´odulo de um vetor, vocˆe deve calcular a raiz quadrada da soma do quadrado das componentes. O pr´oximo passo ser´a a an´alise da seguinte quest˜ao: Como determinar a dire¸c˜ao de um vetor? No caso de um vetor bidimensional, basta calcular o ˆangulo θ via a tangente, ou seja, tan θ = by bx =⇒ θ = arctan by bx , (3) onde as componentes cartesianas do vetor nas dire¸c˜oes x e y s˜ao definidas, respectivamente, por by = | b | sen(θ) bx = | b | cos(θ). (4) Vemos que o sentido ´e se afastando da origem (veja a figura). Note que o cateto adjacente ao ˆangulo teta est´a relacionado com o cosseno e o cateto oposto est´a relacionado com o seno. Estas duas fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao definidas a partir do triˆangulo retˆangulo. Portanto,
  11. 11. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 8 em um triˆangulo retˆangulo, o seno ´e definido pelo quociente entre o cateto oposto e a hipotenusa, e o cosseno como sendo o quociente entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Note que |b|2 = b2 x + b2 y = (|b|cosθ)2 + (|b|senθ)2 = |b|2 (sen2 θ + cos2 θ). ⇒ sen2 θ + cos2 θ = 1. Esta ´e a identidade fundamental da trigonometria. A componente de um vetor pode ser positiva ou negativa, sendo sempre menor ou igual ao seu m´odulo. Exemplo de um vetor bidimensional com uma componente positiva e uma componente negativa. Digamos, ax < 0 e ay > 0. Neste caso, ao desenhar o vetor vemos que ele est´a no segundo quadrante e, por sua vez, na dire¸c˜ao noroeste. Note que se os sinais destas componentes forem invertidos, ou seja, ax > 0 e ay < 0, a dire¸c˜ao seria sudeste. Vetor no espa¸co tridimensional, agora veremos como representar um vetor em trˆes dimens˜oes[2], cuja dire¸c˜ao ´e completamente caracterizada por dois ˆangulos, Θ e φ. 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 c 0 O projeção de c no plano xy cz cy cx x y z Neste caso, as componentes cartesianas de c, tornam-se: cx = |c|senθcosφ; cy = |c|senθsenφ; cz = |c|cosθ, (5) onde |c|senθ ´e a hipotenusa no triˆangulo retˆangulo formado pelos catetos cx e cy. Logo, c2 x+c2 y+c2 z = (|c|senθcosφ)2 +(|c|senθsenφ)2 +(|c|cosθ)2 = |c|2 sen2 θ(cos2 φ+sen2 φ)+|c|2 cos2 θ. Usando a identidade fundamental da trigonometria, cos2 x + sen2 x = 1, obtemos: c = cxi + cyj + czk ⇒ c = |c| = c2 x + c2 y + c2 z. (6) Esta ´e a equa¸c˜ao do m´odulo. i, j e k, perpendiculares entre si (i ⊥ j ⊥ k), s˜ao os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes x, y e z, respectivamene. Eles s˜ao unit´arios porque seus m´odulos s˜ao iguais a unidade, isto ´e, | i |=| j |=| k |= 1. Vocˆe achou dif´ıcil? N˜ao se preocupe! Pois, consideraremos poucas aplica¸c˜oes para o caso tridimensional.
  12. 12. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 9 Obs: O m´odulo do vetor unidimensional ´e igual ao m´odulo de sua componente. De fato, se cy = cz = 0 =⇒ |c| = c2 x ≡ |cx| , pois se x ∈ R =⇒ √ x2 = |x| . Este fato, causa uma grande dificuldade na leitura do livro-texto de F´ısica, pois em muitas aplica¸c˜oes de movimento unidimensional o m´odulo ´e tratado como se fosse a componente. Note que de acordo com a nossa nota¸c˜ao, a equa¸c˜ao de um vetor tridimensional cont´em trˆes componentes dentro de um par de par´enteses, cujo vetor torna-se o seguinte tripleto: c = (cx, cy, cz). Neste caso, um vetor unidimensional possui trˆes maneiras diferentes de ser representado: a = (ax, 0, 0), b = (0, by, 0), c = (0, 0, cz), cuja soma desses trˆes vetores nos fornece um vetor em trˆes dimens˜oes. Logo, temos as seguintes representa¸c˜oes para os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes de x, y e z, respectivamente: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Note que estes vetores unit´arios s˜ao unidimensionais e est˜ao nas dire¸c˜oes x, y e z, respecti- vamente. Eles s˜ao unidimensionais porque possuem somente uma componente n˜ao nula. A seguir veremos como somar ou subtrair dois ou mais vetores. Quanto as propriedades de multiplica¸c˜ao, devemos dizer que, por enquanto, veremos apenas a multiplica¸c˜ao de um escalar por um vetor. Na se¸c˜ao seguinte ser´a definido o produto escalar entre dois vetores. D. Opera¸c˜oes com vetores: Propriedades (i) Igualdade: A = B, isto ocorre quando eles tˆem as mesmas componentes. (ii) Comutatividade da soma de dois vetores: A + B = B + A. (Significa que trocando a ordem da soma de dois vetores n˜ao altera o resultado.) (iii) Associatividade da soma de trˆes vetores: A + (B + C) = (A + B) + C. (Somando B com C e em seguida somando o vetor resultante com A ´e o mesmo que somar A com B e em seguida somando com C.) (iv) Negativo de um vetor: A + (−A) = 0. (Somando um vetor com o seu negativo d´a o vetor nulo.) (v) Subtra¸c˜ao de vetores: A − B = A + (−B). (A subtra¸c˜ao de um vetor de outro vetor ´e obtida atrav´es da soma de um com o negativo do outro.) (vi) A multiplica¸c˜ao de um vetor (A) por um escalar (C) resulta em outro vetor dado por CA, cujo sentido depende do sinal de C. Basta que uma destas propriedades n˜ao sejam satisfeitas para que o objeto em estudo n˜ao seja considerado um vetor. Para demonstrar as propriedades acima vocˆe pode usar a representa¸c˜ao anal´ıtica. Por exemplo, a comutatividade da soma: a + b = (ax + bx, ay + by) = (bx + ax, by + ay) = b + a ⇒ a + b = b + a. (7) Cqd. Note que | a + b |≤| a | + | b |. Esta ´e a desigualdade triangular, pelo fato dela surgir de um triˆangulo. A igualdade ´e v´alida somente quando ambos os vetores tiverem mesmas dire¸c˜oes e sentidos.
  13. 13. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 10 (vii) Para o produto escalar entre dois vetores buscou-se a principal motiva¸c˜ao desse estudo devido a grandeza F´ısica escalar denominada trabalho. O trabalho mecˆanico ´e obtido atrav´es do produto escalar entre uma for¸ca aplicada sobre uma part´ıcula e o seu deslocamento. Como vocˆe notou este conceito ´e muito diferente do conceito cotidiano de trabalho. Vamos deixar esta discuss˜ao para depois que aprendermos o conceito de for¸ca. Veremos agora que o produto escalar ´e mais f´acil do que somar dois ou mais vetores. Dado dois vetores a e b, com um ˆangulo Θ entre os dois, definimos o produto escalar ou produto interno como sendo, a.b =| a || b | cos(Θ) (8) (Lˆe-se a escalar b ou a interno b). Se a e b s˜ao vetores tridimensionais podemos escrever a seguinte representa¸c˜ao para o produto escalar, no sistema de coordenadas cartesianas, a.b = axbx + ayby + azbz. Algumas observa¸c˜oes sobre vetores i) Quando for pedido para calcular um vetor, vocˆe deve calcular o m´odulo, dire¸c˜ao e sentido. ii) A componente de um vetor ´e sempre menor ou igual ao seu m´odulo. iii) A componente de um vetor pode ser negativa, mas o seu m´odulo ser´a sempre positivo. iv) A componente de um vetor, representado por um segmento de reta orientado, ´e a proje¸c˜ao de sua extremidade sobre um eixo. v) Dados dois vetores bidimensionais (vetores com duas componentes) a = (ax, ay) (equa¸c˜ao do vetor a) e b = (bx, by) (equa¸c˜ao do vetor b), ent˜ao o vetor soma ou subtra¸c˜ao torna-se: a + b = (ax + bx, ay + by) ou a − b = (ax − bx, ay − by). Portanto, os m´odulos da soma ou da diferen¸ca de dois vetores s˜ao calculados atrav´es das seguintes equa¸c˜oes: | a + b |= (ax + bx)2 + (ay + by)2 ou | a − b |= (ax − bx)2 + (ay − by)2. Agora listaremos alguns valores das fun¸c˜oes trigonom´etricas Seno e Cosseno: cos π 4 = sen π 4 = √ 2 2 ; cos π 3 = sen π 6 = 1 2 ; cos π 6 = sen π 3 = √ 3 2 ; cos(00 ) = cos(2π) = 1 = sen π 2 = 1; sen(00 ) = cos π 2 = 0; cos(π) = sen 3π 2 = −1, onde π = 1800 (cento e oitenta graus radianos). Exemplo: Dados dois vetores de componentes cartesianas ax = −1cm, ay = 2cm e bx = 0, 03m, by = 0, 005m. (i) Calcule o m´odulo de cada um deles; (ii) Calcule o m´odulo do vetor soma. Respostas: Primeiro escolha o sistema de unidade e ao finalizar as contas coloque a resposta no sistema de unidade escolhido. (i) No CGS, obtemos: bx = 0, 03m = 3cm e by = 0, 005m = 1 2 cm ⇒ |a| = a2 x + a2 y = (−1)2 + 22 ⇒ |a| = √ 5cm.
  14. 14. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 11 ⇒ b = b2 x + b2 y = 32 + 1 2 2 ⇒ b = √ 37 2 cm. (ii) No CGS, obtemos: ⇒| a + b |= (ax + bx)2 + (ay + by)2 = (−1 + 3)2 + 2 + 1 2 2 = (2)2 + 5 2 2 ⇒| a + b |= √ 41 2 cm. Note que a desigualdade triangular est´a satisfeita, ou seja, | a + b |<| a | + | b |, o que nos assegura a exatid˜ao dos c´alculos. A transforma¸c˜ao de unidades do SI para o CGS tornou poss´ıvel se efetuar os c´alculos, a qual foi escolhida por comodidade. Note que este procedimento evitou as potˆencias de dez. No entanto vocˆe poderia ter feito a tranforma¸c˜ao do CGS para o SI, o importante ´e que antes de substituir os dados na equa¸c˜ao que soluciona o problema proposto vocˆe deve deixar todos eles no mesmo sistema de unidades. Agora, seguindo a nossa sugest˜ao na introdu¸c˜ao, um bom exerc´ıcio seria vocˆe fazer a transforma¸c˜ao de unidades do CGS para o SI e calcular o que se pede. Evidentemente a sua resposta ser´a dada em metros, mas ao transform´a-la de volta para o CGS vocˆe encontrar´a os mesmos resultados obtidos acima. Exerc´ıcios resolvidos sobre vetores E1- Uma mulher caminha 130m na dire¸c˜ao de 45o a nordeste e em seguida 155m diretamente para o leste. Compare o m´odulo do deslocamento com a distˆancia que ela caminhou. Solu¸c˜ao Encontramos primeiro o valor das componentes: Ax = A · cosθ = 130.cos45o = 130.0, 7 = 91m, Ay = A · senθ = 130.sen45o = 130.0, 7 = 91m, Bx = B · cosθ = 155.cos0o = 155.1 = 155m, By = B · senθ = 130.sen0o = 130.0 = 0m, sen0o = 0.. Agora, para o vetor resultante, obtemos: Rx = Ax + Bx = (91 + 155)m = 246m e Ry = Ay + By = (91 + 0)m = 91m, portanto, | R |= R2 x + R2 y = (246)2 + (91)2m = √ 60516 + 8281m = √ 68797m 262, 29m.
  15. 15. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 12 A distˆancia que ela caminhou obtemos da seguinte forma: d =| A | + | B |= 130 + 155 = 285m, logo, para a compara¸c˜ao dividimos d com | R |, d | R | = 285 262, 29 ⇒ d 1, 08 | R | . E2- A componente x de um certo vetor mede (-16) unidades e a componente y mede 32 unidades, determine: a) Qual o m´odulo deste vetor? b) Qual o ˆangulo entre este vetor e o eixo x? Solu¸c˜ao a) Dados: b = bxi + byj, bx = −16 e by = 32 ⇒| b |= b2 x + b2 y = √ 162 + 322 = √ 256 + 1024 = √ 1280 35, 77m. b) tgθ = by bx = − 32 16 = −2 ⇒ θ = 117o . Este ´e o ˆangulo formado pelo eixo 0x e o vetor. Portanto, o ˆangulo formado pelo eixo x negativo e o vetor ´e 63o . Neste caso, a tangente seria positiva. E3- Determine o vetor soma r dos deslocamentos vetoriais c e d, cujas componentes em metros ao longo das trˆes dire¸c˜oes respectivamente s˜ao: cx = 7, 5; cy = −8, 3; cz = −6, 5; dx = 4, 4; dy = −2, 0 e dz = 3, 3. Solu¸c˜ao Utilizando, c = 7, 5i − 8, 3j − 6, 5k, d = 4, 4i − 2j + 3, 3k para o vetor resultante temos: R = c + d = 11, 9i − 10, 3j − 3, 2k, e o m´odulo torna-se: | R |= (11, 9)2 + (−10, 3)2 + (−3, 2)2 = 141, 61 + 106, 09 + 10, 24 = 257, 94 ⇒| R |= 16, 06m. E4- Considere dois deslocamentos, um de m´odulo igual a 4m e um outro de m´odulo igual a 3m. Mostre como os vetores deslocamentos podem ser combinados de modo a fornecer um deslocamento resultante de m´odulo igual a: (a)1m, (b)7m e (c)5m. Solu¸c˜ao
  16. 16. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 13 a) Dois vetores paralelos na horiznontal e sentidos contr´arios. Rx = ax + bx = (−3 + 4)m = 1m. Com o ˆangulo θ = 180o . a) Dois vetores paralelos na horiznontal e mesmo sentido. Rx = ax + bx = (4 + 3)m = 7m. Com o ˆangulo θ = 0o . b) Dois vetores perpendiculares. R = r2 1 + r2 2 = √ 32 + 42 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5m. Com o ˆangulo θ = 90o . III. CINEM ´ATICA ESCALAR Um dos primeiros estudos do universo f´ısico restringe ao exame dos corpos em movi- mento. Esta parte da F´ısica ´e denominda de Mecˆanica, a qual ´e dividida em Cinem´atica, Dinˆamica e Est´atica. O estudo do movimento, cuja investiga¸c˜ao quantitativa, h´a mais de 400 anos, provocou o nascimento da F´ısica, ´e a cinem´atica. Nesta se¸c˜ao vamos estudar a cinem´atica escalar. ´E comum observarmos na natureza corpos em movimento. No s´eculo XVII, Galileu introduziu o m´etodo cient´ıfico ao tirar conclus˜oes de suas in- vestiga¸c˜oes sobre os fenˆomenos f´ısicos levando em conta a observa¸c˜ao e a experiˆencia. At´e o s´eculo XVII os gregos acreditavam que tudo poderia ser explicado atrav´es das discuss˜oes sem ser necess´ario se fazer experiˆencia. Hoje, como ´e bem conhecido, o m´etodo cient´ıfico ´e baseado no racioc´ınio e na observa¸c˜ao experimental. Dizemos que um movimento ´e retil´ıneo e uniforme (MRU) quando apresenta uma veloci- dade constante e acelera¸c˜ao nula. Desta maneira como a velocidade ´e a mesma em todos os casos, a velocidade vai ser igual a velocidade m´edia, assim teremos: v = vm. Podemos observar este tipo de movimento a partir de v´arios aspectos como: o movimento de duas esferas em linha reta, a traje´oria retil´ınea de um carro com velocidade constante, entre outros. Ao esbo¸carmos um gr´afico representando o Movimento Retil´ıneo Uniforme percebemos que em todo caso o gr´afico ser´a uma reta. Dentre todos, mencionamos um tipo especial de movimento, ´e o Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado (MRUV). ´E poss´ıvel provar a existˆencia do MRUV atrav´es de ob- serva¸c˜oes de experimentos simples realizados em laborat´orios ou presenciados na natureza. Como exemplos podemos citar: A queda das gotas d’´agua nas torneiras das residˆencias; o movimento acelerado de um ve´ıculo; a queda livre dos corpos sob `a a¸c˜ao da gravidade; lan¸camento de proj´eteis na horizontal, etc. Um corpo se encontra em movimento retil´ıneo uniformemente variado, quando este, ao percorrer uma trajet´oria retil´ınea, apresenta uma proporcionalidade entre a varia¸c˜ao de velocidade e os respectivos intervalos de tempo. A grandeza F´ısica que mede a varia¸c˜ao de velocidade ´e chamada de acelera¸c˜ao e, por sua vez, nesse tipo de movimento a acelera¸c˜ao ´e constante, isto ´e, n˜ao varia ao longo do tempo. O exemplo mais familiar de movimento retil´ıneo uniformemente variado ´e a queda livre de um corpo abandonado de uma certa altura, cuja velocidade inicial ´e nula. Este foi um dos problemas analisados por Galileu
  17. 17. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 14 em seus trabalhos, que deram in´ıcio a era da pesquisa cient´ıfica na ´area da F´ısica. As experiˆencias de Galileu e muitas outras posteriores, acabaram estabelecendo como fator experimental que o movimento de queda livre de um corpo solto ou lan¸cado verticalmente, na medida em que a resistˆencia do ar possa ser desprezada, ´e um movimento retil´ıneo uniformemente acelerado, em que a acelera¸c˜ao ´e a mesma para todos os corpos (embora sofra pequenas varia¸c˜oes de ponto a ponto da Terra). Esta acelera¸c˜ao da gravidade ´e indicada pela letra (g) e seu valor aproximado ´e: g = 9, 840m/s2 . A. Trajet´oria Quando uma part´ıcula se move em rela¸c˜ao a um certo referencial, sua posi¸c˜ao, em rela¸c˜ao ao mesmo referencial, varia com o tempo, isto ´e, ela ocupa pontos distintos enquanto o tempo passa. O lugar geom´etrico dos pontos ocupados, sucessivamente, pela part´ıcula ´e a sua trajet´oria ou caminho percorrido em rela¸c˜ao ao referencial adotado. Realmente o conceito de trajet´oria depende de um referencial. Assim, a trajet´oria descrita por uma part´ıcula, durante um certo intervalo de tempo, pode variar de um referencial para outro. Por exemplo, consideremos um avi˜ao em vˆoo retil´ıneo e horizontal e um ponto P, situado numa das extremidades da h´elice. A trajet´oria desse ponto P, em rela¸c˜ao ao avi˜ao ´e uma circunferˆencia (Fig. 1 desta se¸c˜ao). 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Fig. 2 Fig. 1 Movimento P P No entanto, em rela¸c˜ao a um referencial solid´ario `a Terra, a trajet´oria desse mesmo ponto P ser´a uma h´elice cil´ındrica (Fig. 2 desta se¸c˜ao). A h´elice cil´ındrica descrita ´e o resultado da composi¸c˜ao de dois movimentos: um movimento circular e um movimento retil´ıneo hor- izontal, perpendicular ao plano do primeiro. Com base nesses conceitos, deduzimos que a trajet´oria de uma part´ıcula se reduzir´a a um ponto se, e somente se, ela estiver em repouso em rela¸c˜ao ao referencial adotado, pois, neste caso, haver´a apenas uma posi¸c˜ao ocupada em todo decorrer do tempo. VELOCIDADE M´EDIA E ACELERAC¸ ˜AO M´EDIA Vamos considerar o movimento unidimensional de uma part´ıcula. Defini-se a velocidade m´edia e a acelera¸c˜ao m´edia, respectivamente, por
  18. 18. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 15 vm = xf − xi tf − ti , am = vf − vi tf − ti (9) onde x, v e t s˜ao a posi¸c˜ao, velocidade e acelera¸c˜ao, respectivamente. Os ´ındices inferiores significam i =inicial e f =final. Portanto, a velocidade m´edia ´e a distˆancia total dividida pelo tempo gasto pela part´ıcula durante o percurso. Note que, a acelera¸c˜ao ´e resultante de uma varia¸c˜ao da velocidade da part´ıcula e, por sua vez, quando dizemos que um carro est´a acelerado siginifica que ele est´a aumentando a velocidade. Unidades no SI: [v] = m s , [a] = m s2 . B. Movimento Retil´ıneo Uniforme Imagine-se dirigindo um carro numa estrada, de maneira a manter o ponteiro do ve- loc´ımetro sempre na mesma posi¸c˜ao, indicando por exemplo 60km/h. Isto significa que, se vocˆe prosseguir sempre com esse movimento, ir´a percorrer a cada hora uma distˆancia de 60km. Lembrando-se que a hora tem 60 minutos, vemos que vocˆe percorrer´a um quilˆometro em cada minuto. Na pr´atica, se houver oportunidade, vocˆe poder´a comprovar este fato uti- lizando um rel´ogio comum e registrando suas posi¸c˜oes atrav´es dos marcos quilom´etricos da estrada. O movimento do autom´ovel na situa¸c˜ao descrita acima ´e um movimento uniforme. Por- tanto, o movimento uniforme pode ser definido como aquele em que o m´ovel tem velocidade instantˆanea constante, coincidindo com a velocidade m´edia, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado. Pode-se dizer ainda que, em movimento uniforme, um m´ovel percorre distˆancias iguais em intervalos de tempo iguais e sucessivos. No movimento uniforme, a velocidade escalar instantˆanea ´e constante e coincide com a velocidade escalar m´edia qualquer que seja o intervalo de tempo. Portanto, de 9 vemos que vm = ∆x ∆t , resulta em v = ∆x ∆t . Fazendo xi = x0, xf = x, tf = t, ti = t0 ⇒ ∆x = x − x0 e ∆t = t − t0 = t, escolhendo t0 = 0, obtemos: vm = vx = x − x0 t ⇒ vxt = x − x0 ⇒ x(t) = x0 + vxt. (10) A fun¸c˜ao hor´aria do movimento uniforme ´e linear (do primeiro grau) em t. Nessa fun¸c˜ao x0 e vx s˜ao constantes com o tempo, vx ´e a velocidade escalar do movimento; vx > 0 quando o movimento ´e progressivo, neste caso, o gr´afico de x versus t ser´a uma reta crescente; vx < 0 quando o movimento ´e retr´ogrado, neste caso, o gr´afico de x versus t ser´a uma reta decrescente. Note que em ambos casos do MRUV, a reta, no gr´afico de x versus t inicia no eixo vertical em x(t = 0) = x0 (posi¸c˜ao inicial) e nunca passar´a para o segundo quadrante, pois como sabemos o tempo ´e sempre positivo. Neste caso, como o movimento ´e unidimensional o m´odulo ou intensidade da velocidade ser´a dada pelo m´odulo da componente da velocidade, ou seja, |v| = |vx|. Se vx > 0 n˜ao causa confus˜ao ao leitor se substituimos vx por simplesmente v. Pois, de acordo com a nossa nota¸c˜ao vetorial v = |v| > 0.
  19. 19. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 16 C. Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado De acordo com o que foi visto em sala de aula o movimento do tipo MRUV tem as seguintes caracter´ısticas: o movimento ocorre sobre uma trajet´oria (o caminho percorrido pelo corpo) retil´ınea possui uma velocidade vari´avel, mas a sua acelera¸c˜ao permanece a mesma em cada instante de tempo. Um bom exemplo ´e um corpo em queda livre (da resistˆencia do ar), a sua acelera¸c˜ao ´e exatamente a acelera¸c˜ao constante da gravidade, a qual vale aproximadamente 9, 8m s2 , sendo representada pela letra g. Portanto, para calcular a velocidade, vocˆe poderia utilizar a acelera¸c˜ao m´edia definida na Eq. 9 da cinem´atica com x = y, x0 = y0, t0 = 0 e v0 = v0y ay = vy − v0y t ⇒ vy = v0y + ayt. (11) Analogamente ao caso da equa¸c˜ao hor´aria do MRU, temos: a fun¸c˜ao hor´aria da velocidade no MRUV ´e linear (do primeiro grau) em t. Nessa fun¸c˜ao v0 e ax s˜ao constantes com o tempo, ax ´e a acelera¸c˜ao escalar do movimento; ax > 0 quando o movimento ´e acelerado, neste caso, o gr´afico de vx versus t ser´a uma reta crescente; ax < 0 quando o movimento ´e retardado, neste caso, o gr´afico de vx versus t ser´a uma reta decrescente. A fun¸c˜ao hor´aria no MRUV deve ser mais geral do que a do MRU, contendo um termo com a acelera¸c˜ao. Neste caso, de acordo com a an´alise dimensional[3] a equa¸c˜ao hor´aria do MRUV torna-se: y = y0 + v0yt + ay 2 t2 (12) onde y0 ´e a posi¸c˜ao inicial e v0y ´e a velocidade inicial. Se ay = 0 restauramos a equa¸c˜ao hor´aria do MRU. Os dois primeiros gr´aficos correspondem a fun¸c˜ao hor´aria do MRU, para ambos casos progressivo e retr´ogado, respectivamente, cujas retas n˜ao passam pelo segundo quadrante. O terceiro gr´afico corresponde a uma semi-par´abola da fun¸c˜ao hor´aria do MRUV com, v0y = 0, y0 = 0, ay < 0. Note que os dois primeiros gr´aficos correspondem tamb´em ao caso da velocidade vari´avel do MRUV. Lembre-se que a acelera¸c˜ao tem dimens˜ao de comprimento dividido pelo tempo ao quadrado e, por isso, de acordo com a an´alise dimensional correta multiplicamos a ay por t2 .
  20. 20. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 17 Por´em, ainda falta explicarmos o fator 1 2 na Eq. (12). Este fator pode ser deduzido se vocˆe calcular a varia¸c˜ao ∆y atrav´es da ´area abaixo da reta do gr´afico de y verus t. De acordo com o primeiro gr´afico, abaixo da reta, temos a ´area de um trap´ezio, a qual pode ser dividida em duas ´areas: um retˆangulo (A1=base x altura) e um triˆangulo (A2=base x altura/2). ∆y = y − y0 = A1 + A2 = v0yt + (vy − v0y) t 2 , onde A1 = v0yt, A2 = (vy − v0y)t 2 . Usando a Eq. (11), vy − v0y = ayt, obtemos a equa¸c˜ao hor´aria do MRUV: ∆y = y − y0 = v0yt + ay 2 t2 , como quer´ıamos verificar (cqv). Outra maneira para deduzirmos a equa¸c˜ao hor´aria do MRUV: quando a acelera¸c˜ao for constante podemos exspressar a velocidade m´edia por vm = 1 2 (v0y + vy). (13) Substituindo a Eq. (11) na Eq. (13), obtemos: vm = 1 2 (v0y + vy) = 1 2 (v0y + v0y + ayt). Como a velocidade m´edia ´e dada por vm = ∆y ∆t , logo, vm = ∆y ∆t = y − y0 t − t0 = 1 2 (v0y + vy) = 1 2 (v0y + v0y + ayt), o que ´e f´acil de obter a Eq. (12). De fato, escolhendo o tempo inicial no instante em que zeramos o rel´ogio, isto ´e, t0 = 0, simplificando esta equa¸c˜ao, obtemos y − y0 t = 1 2 (2v0y + ayt) ⇒ y(t) = y0 + 1 2 (2v0yt + ayt2 ) = y0 + v0yt + 1 2 ayt2 . Como quer´ıamos verificar (Cqv). Portanto, a equa¸c˜ao hor´aria do MRUV ´e uma fun¸c˜ao do segundo grau, o gr´afico de yxt ser´a uma par´abola. Para quem domina o c´aculo diferencial e integral poder´ıamos dizer que basta fazer a integral de dy = vydt = (v0y + ayt)dt. Ou vocˆe poderia considerar a opera¸c˜ao do inverso da derivada, isto ´e, sabendo o conceito de derivada vemos que vy = dy dt = v0y + ayt ⇒ y = y0 + v0yt + ay 2 t2 . Para quem ainda n˜ao entendeu, n˜ao se preocupe, pois o conceito de derivada vai surgir naturalmente quando estudarmos o conceito de velocidade instantˆanea. Note que no referencial representado pelo eixo y, cuja orienta¸c˜ao positiva ´e de baixo para cima, a componente da acelera¸c˜ao ser´a negativa, isto ´e, ay = −g, ↑ onde g ´e o m´odulo da acelera¸c˜ao da gravidade. Com a escolha do referencial representado pelo eixo y, cuja orienta¸c˜ao positiva ´e de cima para baixo, a componente da acelera¸c˜ao ser´a positiva, isto ´e, ay = g, ↓ Em ambos casos, verifica-se que no MRUV a velocidade sofre varia¸c˜oes iguais em tempos iguais.
  21. 21. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 18 A equa¸c˜ao (11) nos permite calcular a velocidade de um corpo em fun¸c˜ao do tempo transcorrido, enquanto a equa¸c˜ao (12) nos fornece a posi¸c˜ao ocupada por um corpo, tamb´em de acordo com o tempo. Eliminando o tempo entre as equa¸c˜oes (11) e (12), ou seja, substi- tuindo t = vy − v0y ay na Eq. (12) chegaremos na equa¸c˜ao de Torricelli, a qual nos permite calcular a velocidade em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida, ∆y, v2 y = v2 0y + 2ay∆y, (14) onde, ∆y = y − y0. Note que quando a acelera¸c˜ao for nula resgatamos todas as equa¸c˜oes do movimento retil´ıneo uniforme, a saber, v = v0 e y = y0 + vyt. Portanto, em um problema de cinem´atica com MRUV, em que n˜ao foi dado o tempo, n˜ao perca tempo, use a equa¸c˜ao de Torricelli. Torricelli e Viviani foram os disc´ıpulos mais amigos e fi´es de Galileu, acompanhando at´e a morte, em 8 de janeiro de 1642, quando ele j´a estava cego e doente. Como nesta se¸c˜ao a velocidade inicial ´e nula, comparando a equa¸c˜ao (12) e a equa¸c˜ao da acelera¸c˜ao experimental vemos que o valor desta ´e exatamente a metade do valor da acelera¸c˜ao real. Aplica¸c˜ao experimental de Cinem´atica Esta experiˆencia ´e acess´ıvel ao ensino m´edio e ao ´ultimo ano do ensino fundamental, no intuito de investigar o movimento de um corpo sujeito a uma acelera¸c˜ao constante. Estudamos esse tipo de movimento utilizando um trilho de zinco ou uma calha de pl´astico, e, com a ajuda de um bloco de madeira ou uma esfera de a¸co, impomos uma r´apida inclina¸c˜ao. A seguir, escolhemos um ponto de referˆencia (o ponto na eminˆencia do movimento da esfera) sobre o plano inclinado, e registramos, a partir desse, pontos de 18 em 18 cent´ımetros. Abandonamos a esfera met´alica na origem (posi¸c˜ao inicial, isto ´e, x0 = 0), acionamos o cronˆometro no instante em que a esfera come¸ca a rolar. Em seguida, calculamos o tempo de percurso para cada dezoito cent´ımetros, procedemos assim quatro vezes para ser poss´ıvel a obten¸c˜ao de uma m´edia aritm´etica. Anotamos todos os dados obtidos na tabela, contendo tamb´em os valores calculados para o quadrado da m´edia aritm´etica. xxtx1 = 18cm x2 = 36cm x3 = 54cm x4 = 72cm t1 t2 t3 t4 tm t2 m CONVENC¸ ˜OES
  22. 22. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 19 Distinguir a ordem das medidas na experiˆencia; ti =tempo do i-´esimo lan¸camento medido em segundos; tm=t1+t2+t3+t4 4 (m´edia aritm´etica). A partir dos resultados anotados na tabela, esbo¸camos os gr´aficos da posi¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo, posi¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo ao quadrado em papel milimetrado. Analisando as curvas obtidas chegamos a determinar a acelera¸c˜ao escalar e as velocidades ao fim de cada intervalo. Esbo¸camos tamb´em o gr´afico da velocidade em fun¸c˜ao do tempo. Vale salientar que, de acordo com a necessidade de arredondamento das medidas utilizadas, adotamos o crit´erio de proximidade para os algarismos significativos corretos. A acelera¸c˜ao ´e calculada experimentalmente atrav´es do coeficiente angular da reta no gr´afico da posi¸c˜ao versus o tempo ao quadrado. O primeiro passo ´e escolher uma inclina¸c˜ao constante arbitr´aria para realizarmos os lan¸camentos. A melhor precis˜ao do valor encontrado para a acelera¸c˜ao foi obtida quando se utilizou uma pequena inclina¸c˜ao do trilho, evitando grandes inclina¸c˜oes que acarretariam grandes velocidades e pequenos intervalos de tempo e, assim, dificultando as medidas para o instrumental utilizado. O coeficiente angular da reta, no gr´afico de x x t2 no (MRUV), tem dimens˜ao de comprimento dividido pela dimens˜ao de tempo ao quadrado, que corresponde exatamente `a dimens˜ao de acelera¸c˜ao. Logo, para calcul´a-la devemos es- colher dois pontos que estejam sobre a reta e condiserar seus respectivos valores nos eixos vertical e horizontal, encontrando, assim, as varia¸c˜oes ∆x e ∆t2 . Os valores escolhidos sobre a reta podem at´e coincidir com os valores dos pontos experimentais, pois alguns pontos ex- perimentais est˜ao fora da reta devido a erros de medidas. Assim, temos a seguinte equa¸c˜ao da ”acelera¸c˜ao experimental”: aexp = ∆x ∆t2 = x2 − x1 t2 2 − t2 1 . (15) Como estamos usando um papel com mesma escala em ambos eixos vertical e horizontal, o coeficiente angular ´e o mesmo para quaisquer dois pontos sobre a reta. Exerc´ıcios Resolvidos sobre Cinem´atica E1- Vocˆe dirige um autom´ovel por 8, 3km em uma rodovia reta com velocidade de 70km/h e ao final desse trecho p´ara por falta de gasolina. Vocˆe ent˜ao caminha 1, 9km durante 27min, at´e enontrar um posto. Qual sua velocidade m´edia desde o instante em que o carro come¸cou a se mover at´e chegar ao posto de gasolina? Solu¸c˜ao Dados: ∆x = (8, 3 + 1, 9)km = 10, 2km e ∆t = 8,3km 70km/h + 27min = 7, 1min + 27min = 34, 1min 0, 57h, ent˜ao, obtemos: vm = ∆x ∆t = 10, 2km 0, 57h = 17, 9km/h. E2- Vocˆe freia o seu carro, reduzindo sua velocidade de 85km/h para 45km/h numa distˆancia de 105m. (a) Qual ´e a acelera¸c˜ao, supondo que seja constante ao longo dessa distˆancia? (b) Que tempo decorre nesse percurso? Solu¸c˜ao
  23. 23. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 20 a) Escolhamos o sentido positivo como sendo o da velociade, e a origem de forma que x0 = 0 quando vocˆe come¸car a frear; ´e dada a velocidade inicial v0 = 85km/h para t0 = 0, e sabemos que a velocidade final ´e v = 45km/h no instante t (desconhecido), quando o deslocamento for 0, 105km. Necessitamos que inclua a acelera¸c˜ao desconhecida que procuramos, mas que n˜ao envolva o tempo (Equa¸c˜ao de Torricelli): v2 x = v2 0x + 2ax(x − x0) ⇒ ax = v2 x − v2 0x 2(x − x0) ⇒ ax = 452 − 852 2x(0, 105) km h2 = −2, 48x104 km h2 = −1, 91 m s2 . A acelera¸c˜ao ´e negativa, pois ´e oposta ao referencial escolhido como positivo (movimento retardado). b) Agora, utilizamos a mesma equa¸c˜ao mas, n˜ao incluindo a acelera¸c˜ao e nos permitindo determinar o tempo com os dados iniciais. t = vx − v0x ax = (vx − v0x)x 2(x − x0) v2 x − v2 0x ⇒ t = 2(x − x0) v0x + vx = 2(0, 105) 85 + 45 = 1, 62x10−3 h = 5, 8s, onde h ´e a unidade de hora. Outra maneira seria montar um sistema com duas equa¸c˜oes e duas inc´ognitas, ax e t : ax = vx − v0x t = − 40 t , x = 0, 105 = v0xt + ax 2 t2 = 45t + ax 2 t2 = 45t − 40 2 t = 25t Portanto, t = 1, 62x10−3 h. 0, 105 = 25t ⇒ t = 1, 62x10−3 h. E3- Uma bola ´e lan¸cada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade escalar de 25, 2m/s (a) Quanto tempo ela demora para alcan¸car o ponto mais alto? (b) Que altura ela alcan¸ca? Solu¸c˜ao a) No ponto mais alto a velocidade da bola ´e nula. Dados v0y = 25, 2m/s e vy(= 0), queremos determinar t, utilizando para isso a seguinte equa¸c˜ao: vy = v0y − gt ⇒ t = v0y − vy g = 25, 2 − 0 9, 8 s = 2, 57s. b) Uitilizando y0 = 0 na equa¸c˜ao abaixo encontraremos o valor procuarado para a altura: v2 y = v2 0y − 2g(y − y0) ⇒ y = v2 0y − v2 y 2g = (25, 2)2 − 0 2(9, 8) m = 32, 4m. Outra maneira seria substituir o valor do tempo calculado no item a) na equa¸c˜ao hor´aria,
  24. 24. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 21 y = y0 + v0yt − g 2 t2 = 32, 4m. E4- Num determinado instante, um caminh˜ao est´a 500m `a frente de um autom´ovel. Supondo que ambos se movam no mesmo sentido, com velocidades constantes respectivamente iguais a 20m/s e 30m/s, quanto tempo depois o autom´ovel estar´a 200m adiante do caminh˜ao? Solu¸c˜ao Para os espa¸cos percorridos, temos para o autom´ovel, XA = 0 + 30t e para o caminh˜ao, XC = 500 + 20t. A condi¸c˜ao ”autom´ovel 200m adiante do caminh˜ao” pode ser expressa matematicamente por: XA = XC + 200, de modo que, substituindo XA e XC por seus valores dados pelas fun¸c˜oes hor´arias, ficamos com: 30t = 500 + 20t + 200 ⇒ 30t − 20t = 500 + 200 ⇒ 10t = 700 ⇒ t = 700 10 = 70s. E5- Considere o gr´afico abaixo e calcule o deslocamento ∆x percorrido por um m´ovel durante o intervalo de tempo registrado, sabendo-se que o deslocamento ´e calculado utilizando-se a ´area abaixo da curva, neste caso a ´area de um trap´ezio que ´e dada por: (base maior + base menor)·altura 2 . 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 t(s) v(m/s) 302010 20 15 10 5 Solu¸c˜ao A figura geom´etrica deste gr´afico ´e um trap´ezio. Para os valores num´ericos do gr´afico, o deslocamento nos 30s iniciais ´e dado pela ´area de um trap´ezio. Portanto, ∆x = (base maior + base menor) · altura 2 ⇒ ∆x = (20 + 5)x30 2 = 750 2 ⇒ ∆x = 375m.
  25. 25. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 22 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL - Velocidade e acelera¸c˜ao instantˆaneas → Velocidade Instantˆanea Considere a posi¸c˜ao de um corpo em movimento retil´ıneo, descrito por uma curva em fun¸c˜ao do tempo, x(t)xt, para calcularmos a velocidade instantˆanea em um dado instante de tempo t1 passamos uma reta tangente em um ponto da curva correspondente a esse instante de tempo e calculamos o coeficiente angular ou inclina¸c˜ao da reta tangente `a curva. Neste caso, vinst(t) = ∆x ∆t = x2 − x1 t2 − t1 = tg(θ). 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Velocidade instantânea t3 t2 t1 x1 t1 x(t) t x Observamos na figura da velocidade instantˆanea o seguinte: quando o intervalo de tempo diminui chegando pr´oximo a zero a reta que une os dois pontos tende a uma tangente a curva, em um dado instante de tempo. N˜ao confundir com a velocidade m´edia, pois a velocidade instantˆanea resulta na velocidade em cada instante de tempo bem pr´oximo um do outro. No caso acima a velocidade instantˆanea ´e calculada atrav´es do ceoficiente angular da reta tangente a curva no instante de tempo t1. Este ´e o significado geom´etrico da derivada de x em rela¸c˜ao ao tempo. −→A velocidade instantˆanea ´e a derivada de uma fun¸c˜ao real. Quando for conhecido a forma expl´ıcita de x(t), matematicamente a velocidade in- stantˆanea ´e representada pelo seguinte processo de limite: vinst(t) = lim ∆t→0 ∆x ∆t = lim ∆t→0 x(t + ∆t) − x(t) ∆t ≡ d dt x(t). (16) Lˆe-se derivada de x em rela¸c˜ao a t. Esta ´e exatamente a defini¸c˜ao da derivada de uma fun¸c˜ao de uma ´unica vari´avel, que vocˆe vai ver com mais detalhes nas disciplinas de matem´atica. Aqui, a vari´avel dependente ´e a coordenada de posi¸c˜ao e a vari´avel independente ´e o tempo. N˜ao se preocupe com o processo de limite no c´alculo da derivada, pois utilizaremos as regras de deriva¸c˜ao e algumas propriedades, tais como: i) derivada da soma ´e a soma das derivadas:
  26. 26. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 23 d dt (x(t) + y(t)) = dx dt + dy dt . ii) derivada de uma constante C, vezes uma fun¸c˜ao ´e a constante vezes a derivada da fun¸c˜ao: d dt Cx(t) = C dx dt . iii) derivada de uma constante C ´e zero: d dt C = 0. Por exemplo, sendo a equa¸c˜ao hor´aria de uma part´ıcula dada por x(t) = m s2 t2 . Qual a velocidade instantˆanea em um certo instante de tempo t? Usando a defini¸c˜ao de limite, temos: vinst(t) = lim ∆t→0 ∆x ∆t = lim ∆t→0 x(t + ∆t) − x(t) ∆t . Num instante posterior t + ∆t, a posi¸c˜ao ´e x(t + ∆t), isto ´e: x(t + ∆t) = m/s2 (t + ∆t)2 = m/s2 [t2 + 2t∆t + (∆t)2 ] = m/s2 t2 + 2m/s2 t∆t + m/s2 (∆t)2 . Portanto, ∆x = x(t + ∆t) − x(t) = [m/s2 t2 + 2m/s2 t∆t + m/s2 (∆t)2 ] − m/s2 t2 = 2m/s2 t∆t + m/s2 (∆t)2 . A divis˜ao de ∆x por ∆t nos fornece a velocidade m´edia: vm = ∆x ∆t = 2m/s2 t∆t + m/s2 (∆t)2 ∆t = 2m/s2 t + m/s2 ∆t. Mas, como estamos considerando intervalos de tempo cada vez mais curtos, t, e m/s2 ∆t tendem a zero, enquando a primeira parcela 2m/s2 t, permanece intacta. A velocidade instantˆanea no instante t ´e ent˜ao: vinst(t) = d dt x(t) = lim ∆t→0 ∆x ∆t = 2t m s2 lim ∆t→0 1 + m s2 lim ∆t→0 ∆t = 2m/s2 t. Sobretudo, acabamos de provar a seguinte regra de deriva¸c˜ao: d dt t2 = 2t. Generaliza¸c˜ao: d dt tn = ntn−1 . H´a outras regras de deriva¸c˜ao que apresentaremos de acordo com a necessidade. → Acelera¸c˜ao Instantˆanea
  27. 27. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 24 A acelera¸c˜ao instantˆanea ´e a taxa de varia¸c˜ao da velocidade instantˆanea, isto ´e, a derivada de vx em rela¸c˜ao a t. ainst(t) = lim ∆t→0 ∆vx ∆t = lim ∆t→0 vx(t + ∆t) − vx(t) ∆t ≡ d dt vx(t) = d2 dt2 x(t). (17) Lˆe-se derivada segunda de x em rela¸c˜ao a t. Exerc´ıcios Resolvidos sobre Cinem´atica do Movimento Unidimensional 1) Considere o gr´afico abaixo de x(t)xt. Calcular a velocidade m´edia nos intervalos de tempo ∆t = t2 − 0, 52s, quando t2 for 1, 5s; 1, 25s e 1, 0s. Qual ´e a velocidade instantˆanea em t = 0, 52s? Fazer este exerc´ıcio para uma curva dada pela figura abaixo. 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 8 7 6 5 4 3 2 1 t(s) x(m) 21 Solu¸c˜ao Neste exerc´ıcio vamos considerar uma escala na vertical diferente da figura abaixo. Como t1 = 0, 52s. Quando t2 = 1, 75s e x2 = 6cm, x1 = 2, 2cm. ∆x = (6 − 2, 2)cm = 3, 8cm, ∆t = (1, 75 − 0, 52)s = 1, 23s ⇒ vm = ∆x ∆t = 3, 8 1, 23 cm s = 3, 08 cm s . Quando t2 = 1, 25s, x2 = 5, 7cm e x1 = 2, 2cm, obtemos: ∆x = (5, 7 − 2, 2)cm = 3, 5cm, ∆t = (1, 25 − 0, 52)s = 0, 78s ⇒ vm = ∆x ∆t = 3, 5 0, 78 cm s = 4, 79 cm s . Quando t2 = 1s, x2 = 4cm e x1 = 2, 2cm, obtemos: ∆x = (4 − 2, 2)cm = 1, 8cm, ∆t = (1 − 0, 52)s = 0, 48s ⇒ vm = ∆x ∆t = 1, 48 0, 48 cm s = 3, 75 cm s . A velocidade instantˆanea em t = 0, 52s, ´e obtida atrav´es do coeficiente angular da reta tangente a curva neste instante de tempo, ou seja,
  28. 28. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 25 vinst = ∆x ∆t = 2, 2 0, 52 cm s = 4, 23 cm s . Note que, x(0) = 0. 2) No v´acuo, a luz tem a velocidade c = 3x108 m/s. Qual o tempo que a luz leva para cobrir a distˆancia de 1, 5x1010 m, entre o sol e a terra? (b) Quanto tempo leva a luz para vir da lua a terra, cobrindo uma distˆancia de 3, 84x108 m? (c) Um ano luz ´e uma unidade de distˆancia percorrida pela luz durante um ano. Achar o equivalente da distˆancia de 1 ano-luz em quilˆometros. Solu¸c˜ao a) v = ∆x ∆t ⇒ ∆t = ∆x v = 1, 5x1010 3x108 s = 1, 5x1010 x10−8 3 s = 0, 5x102 s = 50s. b) v = ∆x ∆t ⇒ ∆t = ∆x v = 3, 84x108 3x108 s = 1, 28s. c) ∆x = v∆t = 3x105 x3, 1536x107 km = 9, 4608x1012 km = 9, 5x1012 km. 3) Um avi˜ao necessita alcan¸car uma velocidade de 260km/h na pista, para decolar. Supondo- se uma acelera¸c˜ao constante e uma pista de 1, 8km de comprimento, qual a acelera¸c˜ao m´ınima que ele deve desenvolver, a partir do repouso? Solu¸c˜ao Como o movimento ´e MRUV e n˜ao deu o tempo nem pede o tempo, n˜ao percamos tempo e utilisamos a equa¸c˜ao de Torricelli: v2 x = v2 0x + 2ax∆x ⇒ 2602 = 02 + 2axx1, 8 ⇒ 67600 = 3, 6a ⇒ ax = 67600 36 = 18777, 77km/h2 . 4) Um carro em movimento retil´ıneo, com acelera¸c˜ao constante, tem a velocidade de 20m/s quando est´a em 6m e 35m/s quando est´a em 10m. Qual a sua acelera¸c˜ao? Solu¸c˜ao Como o movimento ´e MRUV e n˜ao deu o tempo nem pede o tempo, n˜ao percamos tempo e utilisamos a equa¸c˜ao de Torricelli: v2 x = v2 0x + 2ax∆x ⇒ 352 = 202 + 2ax(10 − 6) ⇒ 1225 = 400 + 2ax4 ⇒ 1225 = 400 + 8ax ⇒ −8ax = −825 ⇒ ax = 825 8 = 103, 1m/s2 .
  29. 29. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 26 5) Quanto tempo leva uma part´ıcula para percorrer 110m, se parte do repouso e acelera a taxa de 10m/s2 ? Qual a velocidade m´edia neste intervalo de tempo? Solu¸c˜ao x = x0 + v0xt + axt2 2 ⇒ 110 = 0 + 0.t + 10t2 2 ⇒ 5t2 = 110 ⇒ t2 = 110 5 = 22 ⇒ t = √ 22 = 4, 7s vm = ∆x ∆t = 110 4, 7 = 23, 4m/s. 6) Uma bola ´e lan¸cada para cima com velocidade inicial de 40m/s. (a) Qual o tempo de permanˆencia no ar? (b) Qual ´e a maior altura atingida pela bola? (c) Em que instante a bola est´a a 1500cm do solo? Solu¸c˜ao a) Desprezando a resistˆencia do ar e usando o referencial com orienta¸c˜ao positiva para cima, o tempo de subida ´e obtido por vy = v0y − gt ⇒ 0 = 40 − 10ts ⇒ 10ts = 40 ⇒ ts = 40 10 s = 4s Como estamos desprezando a resistˆencia do ar, o tempo de permaneˆncia (tp) ´e igual ao tempo de subida mais o tempo de descida, portanto, tp = (4 + 4)s = 8s. b) A maior altura que a bola atinge ´e obtida da seguinte maneira: v2 y = v2 0y − 2gh ⇒ 0 = 402 − 2x10xh ⇒ 20h = 1600 ⇒ h = 1600 20 m = 80m. c) O instante em 1500cm = 15m, ´e dado por: h = h0 + v0yt − gt2 2 ⇒ 15 = 0 + 40t − 10t2 2 ⇒ 15 = 40t − 5t2 ⇒ t2 − 8t + 15 = 0, portanto, como ´e uma equa¸c˜ao do segundo grau fazemos, ∆ = (−8)2 − 4x1x3 = 64 − 12 = 52, assim, t = 8 ± √ ∆ 2 = 8 ± √ 52 2 = 8 ± 7, 2 2 , o que nos fornece, t = 8 + 7, 2 2 s = 15, 2 2 s = 7, 6s (na descida) e t = 8 − 7, 2 2 s = 0, 8 2 = 0, 4s (na subida)
  30. 30. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 27 7) Um supercarro de corrida pode desacelerar a cerca de 1g (Isto ´e, o m´odulo de acelera¸c˜ao ´e igual a acelera¸c˜ao da gravidade pr´oxima da superf´ıcie da Terra). (a) Quanto tempo leva o carro para parar depois de atingir uma velocidade de 600km h ? (b) Que distˆancia percorre at´e parar? Solu¸c˜ao a) Primeiro transformamos a velocidade para m/s, que fica com o valor de 166, 66m/s e utilizamos a seguinte equa¸c˜ao vx = v0x + axt ⇒ 0 = 166, 66 − 10t ⇒ 10t = 166, 66 ⇒ t = 166, 66 10 = 16, 66s. b) Pela equa¸c˜ao hor´aria do movimento, obtemos: x = x0 + v0xt + axt2 2 ⇒ x = 0 + 166, 66x16, 66 − 10(16, 66)2 2 ⇒ x = (2776, 5 − 5x277, 5)m = 1389m. 8) A posi¸c˜ao de um corpo est´a relacionada com o tempo pela equa¸c˜ao x = at3 −bt2 cos(2π s t)+c , onde a = 4m s3 , b = 2m s2 e c = 4m. Achar a posi¸c˜ao, a velocidade instantˆanea e a acelera¸c˜ao instantˆanea em t = 1s. Solu¸c˜ao Para a posi¸c˜ao, temos que: x = at3 − bt2 cos(2 π s t) + c ⇒ x = 4 m s3 t3 − 2 m s2 t2 · cos(2 π s t) + 4m, Usando, dtn dt = ntn−1 , d dt cos(g(t)) = − dg dt sen(g(t)), d dt sen(g(t)) = dg dt cos(g(t)) e a regra de derivada do produto de duas fun¸c˜oes do tempo, d dt gf = dg dt f(t) + df dt g(t), portanto, v(t) = dx dt = 12 m s3 t2 − 4 m s2 tcos(2 π s t) + 4 πm s3 t2 · sen(2 π s t). Como sen(2π) = 0, e cos(2π) = 1, temos: ⇒ v(1s) = [12(1)2 − 4x1] m s = 8m/s. J´a para a acelera¸c˜ao instantˆanea, temos: a(t) = dv dt = 24 m s3 t − 4 m s2 tcos(2 π s t) − 4 π2 m s4 t2 cos(2 π s t)
  31. 31. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 28 ⇒ a(1s) = (24 − 4) m s2 = 20 m s2 . 9) Uma bola cai de uma altura de 20m e quica no piso at´e uma altura de 400cm. (a) Qual a velocidade da bola ao colidir com o piso? (b) Qual a velocidade imediatamente depois de refletir-se no piso? (e) Se o contato entre a bola e o piso for de 0, 02s, qual a grandeza e a dire¸c˜ao da acelera¸c˜ao m´edia durante este contato? Solu¸c˜ao a) Escolhendo o referencial com orienta¸c˜ao positiva para cima, ↑ ao colidir, a bola adquire a seguinte velocidade, v2 y = v2 0y + 2ay∆y, ∆y = −h, ay = −g ⇒ v2 y = v2 0y + 2gh ⇓ v2 y = 0 + 2x10x20 = 400 ⇒ vy = ± √ 400m/s = ±20m/s. Como a velocidade ´e para baixo, logo: vy = −20m/s. b) A velocidade imediatamente depois de refletir-se no piso, mantendo o referencial com orienta¸c˜ao positiva para cima, ↑, temos: ∆y = h, ay = −g, ⇑ v2 y = v2 0y − 2gh ⇒ 0 = v2 0y − 2x10x4m2 /s2 = 80m2 /s2 ⇒ vy = √ 80m/s ∼ 9m/s. (para cima). Com esta velocidade inicial a bola retorna para o ar e atinge a altura de 4m. Na altura m´axima, 4m, a velocidade da bola ´e nula. c) Para o c´alculo da acelera¸c˜ao, obtemos: am = ∆v ∆t = v2 − v1 t = 9 − (−20) 0, 02 m/s2 = 29 0, 02 m/s2 = 1450m/s2 . (para cima) 10) Um autom´ovel viajando 56km/h, est´a a 35m de uma barreira quando o motorista aperta os freios. Quatro segundos mais tarde, o carro vai de encontro `a barreira. (a) Qual foi a desacelera¸c˜ao do autom´ovel antes do impacto? (b) Que velocidade desenvolvia o carro ao sofrer o impacto? Solu¸c˜ao a) Sabendo que 56km/h = 15, 57m/s e utilizando para o c´alculo da desacelera¸c˜ao a seguinte equa¸c˜ao: x = x0 + v0t + axt2 2 , temos que: 35 = 0 + (15, 57)4 + ax · 42 2 ⇒ ax = 70 − 124, 56 16 ⇒ ax = −3, 4m/s2 .
  32. 32. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 29 b) A velocidade final ´e dada por: vx = v0x + axt = (15, 57 + (−3, 4)x4)m/s = 2m/s. 11) A posi¸c˜ao de uma part´ıcula que se desloca ao longo do eixo dos x depende do tempo, de acordo com a equa¸c˜ao: x = at2 −bt3 , onde x, ´e dado em metros e t em segundos. (a) Quais as dimens˜oes e as unidades de a e b? Para as perguntas seguintes, considere os valores num´ericos de a e b iguais a 3, 0 e 1, 0, respectivamente. (b) Em que instante a part´ıcula alcan¸ca o ponto no qual o valor de x ´e m´aximo? (c) Qual a distˆancia total percorrida pela part´ıcula nos 4, 0s iniciais? (d) Qual o seu deslocamento nos 4, 0s iniciais? (e) Qual a velocidade da part´ıcula ao fim de cada um dos quatro primeiros segundos? (f) Qual a acelera¸c˜ao da part´ıcula ao fim de cada um dos quatro primeiros segundos? (g) Qual a velocidade m´edia para o intervalo de tempo entre t = 2, 0 e t = 4, 0 segundos? Solu¸c˜ao a) Como adotamos a distˆancia x em metros e o tempo t em segundos temos que: [x] = at2 [x] = bt3 , portanto, as dimens˜oes de [a] e [b] s˜ao dadas por: [a] = [x] t2 = m s2 , [b] = [x] t3 = m s3 . b) Usando a = 3m s2 e b = 1m s3 , temos x(t) = 3 m s2 t2 − m s3 t3 , com x em metros e t em segundos. Agora, a condi¸c˜ao para extremizar uma fun¸c˜ao unidi- mensional, dx dt = 0, obtemos: 6t − 3t2 = 0 ⇒ t = 0s; t = 2s. Como d2x dt2 < 0, em t = 2s nos d´a o valor m´aximo de x, ou seja, x(2s) = 4m s ´e o valor m´aximo da posi¸c˜ao. c) Para t = 0 e t = 2s, temos: x(2s) − x(0) = 4m. Para t = 2s e t = 3s, temos: x(3s) − x(2s) = 4m. Para t = 3s e t = 4s, temos: x(4s) − x(3s) = 16m. A distˆancia total ´e dada por: (4 + 4 + 16)m = 24m. d) Fazendo, x(4) = −16, obtemos: x(4s) − x(0) = −16m. e) A velocidade ´e dada por: vx = dx dt = 6t − 3t2 , onde em t = 1s ⇒ v = 3m/s; t = 2s ⇒ v = 0m/s; t = 3s ⇒ v = −9m/s; t = 4s ⇒ v = −24m/s. f) A acelera¸c˜ao ´e dada por:
  33. 33. Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues 30 ax = dvx dt = 6(1 − t), onde em t = 1s ⇒ a = 0m/s2 ; t = 2s ⇒ ax = −6m/s2 ; t = 3s ⇒ ax = −12m/s2 ; t = 4s ⇒ vx = −18m/s2 . g) A velocidade m´edia entre 2 e 4 segundos ´e dada por: v4,2 = x(4) − x(2) 4 − 2 = −10m/s. 12) Dois trens, inicialmente distantes 75km um do outro, aproximam-se em vias f´erreas paralelas, cada qual a 15km/h. Um passarinho, num vˆoo de vaiv´em, passa de um para outro a velocidade de 20km/h. Qual a distˆancia coberta pelo passarinho at´e os trens se cruzarem? Solu¸c˜ao Dados: ∆x = 75km; como os trens est˜ao se deslocando em sentido contr´ario, a velocidade relativa do trem ´e vt = (15+15)km/h = 30km/h; a velocidade do passarinho ´e vp = 20km/h. Calculando o tempo gasto at´e os trens se cruzarem, temos: vt = ∆x ∆t ⇒ ∆t = ∆x vt = 75 30 h = 2, 5h. Portanto, a distˆancia coberta pelo passarinho at´e os trens se cruzarem ´e dada por: ⇒ vp = x ∆t ⇒ x = vp∆t = 20x2, 5km = 50km. [1] Isaac Newton nasceu em 1642 e enunciou, em 1667, as lei do movimento que hoje leva o seu nome. Certa vez a Rainha da Inglaterra perguntou para Newton como ele conseguiu chegar a essas leis fant´asticas? Newton respondeu: sempre pensando nelas. [2] At´e hoje, os livros-texto adotados nas escolas brasileiras n˜ao tˆem considerado a representa¸c˜ao de uma grandeza vetorial em trˆes dimens˜oes, alegando que o aluno tem muita dificuldade de visualisar o desenho em perspectiva. [3] Uma equa¸c˜ao matem´atica para representar uma lei F´ısica deve ter uma an´alise dimensional correta, com cada parcela de ambos lados da equa¸c˜ao tendo a mesma dimens˜ao.

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