1) O documento apresenta o cálculo do quociente e resto da divisão de um polinómio por dois polinómios diferentes. 2) Determina os valores de a e b para que um polinómio seja divisível por um polinómio e tenha um determinado resto quando dividido por outro polinómio. Mostra também que um número é raiz de multiplicidade 3 de um polinómio. 3) Decompõe algebraicamente uma função dada por um polinómio em fatores de primeiro grau e resolve uma inequação relacionada

1. Considera o polinómio ( ) = − + −4 3
6 2 6P x x x x .
Recorrendo à regra de Ruffini determina o quociente e o resto da divisão inteira de ( )P x
pelo polinómio:
1.1. + 2x
1.2. −2 2x
Considera os polinómios do tipo 3 2
3x ax x b , a , b− + − + ∈ ℝ .
2.1. Determina os valores de a e de b para que o polinómio dado seja divisível por + 1x
e dividido por − 2x dê resto 3 .
2.2.Considera = 3a e = 1b e mostra que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 .
Na figura está representada uma função f em que a expressão algébrica é o polinómio
− − +3 2
2 3 3 2x x x , ou seja, ( ) = − − +3 2
2 3 3 2f x x x x .
Sabe-se que o ponto ( )2 0, pertence ao gráfico de f .
3.1. Decompõe ( )f x em fatores de grau não superior ao primeiro.
3.2. Resolve a inequação ( ) < 0f x .
Aluno N.º Turma Data - -
1
2
3

2. 1.1. Divisor: + 2x
Designando por Q e R o quociente e o resto,
respetivamente, obtém-se:
( ) ( ) ( )= + +2P x x Q x R
( ) = − + −3 2
8 16 30Q x x x x e = 54R
1.2. Divisor: ( )− = −2 2 2 1x x .
Neste caso, ( ) ( ) ( )= − +2 1P x x Q x R
( ) ( ) ( )= − − − − −3 2
1 5 5 3 9P x x x x x
Então, ( ) = − − −3 2
2 5 5 3Q x x x x § ( ) = − − −3 21 5 5 3
2 2 2 2
Q x x x x ; = −9R
2.1.
( ) ( ) ( )− − + − − − + =

− + × − × + =
3 2
3 2
1 1 3 1 0
2 2 3 2 3
a b
a b
§
+ + + =

− + − + =
1 3 0
8 4 6 3
a b
a b
§
= − −

+ =
4
4 17
b a
a b
§
§
= − −

− − =
4
4 4 17
b a
a a
§
= − −

=
4
3 21
b a
a
§
= −

=
11
7
b
a
2.2. ( )− + − + = − −
33 2
3 3 1 1x x x x
Conclui-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 .
3.1. Sabe-se que ( ) =2 0f .
( ) ( ) ( )= − + −2
2 2 1f x x x x
cálculo auxiliar: + − =2
2 1 0x x § − ± +
=
1 1 8
4
x
§ = − ∨ =
1
1
2
x x
( ) ( ) ( )  
= − + − 
 
1
2 2 1
2
f x x x x , ou seja, ( ) ( ) ( ) ( )= − + −2 1 2 1f x x x x
3.2.
( ) < 0f x §
1
-1 2
2
x , ,
   
∈ −∞ ∪   
  
1 - 6 0 2 - 6
- 2 - 2 16 - 32 60
1 - 8 16 - 30 54
1 - 6 0 2 - 6
1 1 - 5 - 5 - 3
1 - 5 - 5 - 3 - 9
- 1 3 - 3 1
1 - 1 2 - 1
- 1 2 - 1 0
1 - 1 1
- 1 1 0
1 - 1
- 1 0
2 - 3 - 3 2
2 4 2 - 2
2 1 - 1 0
x - ? -1
1
2
2 + ?
− 2x - - - - - 0 +
+ 1x - 0 + + + + +
−2 1x - - - 0 + + +
( )f x - 0 + 0 - 0 +
1
2
3