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IntroduçãoOs sistemas lineares tratam-se de uma relação entre duas ou mais equações quepossuem a mesma solução ou mesmo um...
Discussão de um Sistema LinearA discussão de um sistema linearconsiste basicamente na análise das possíveissoluções atravé...
2) Se a – 2 = 0 (ou seja, a =2), temos, na segunda equação (a-2)y = -2, ou seja, 0.y=-2, oque é impossível. Logo, para a=2...
(Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível e Indeterminado) ou SI(Sistema Impossível). Mas segundo ele, algum...
Escalonando o sistema, teremos:Com a equação 1 obtemos duas possibilidades:1 - O valor de k satisfaz a equação (1), ou sej...
O autor trata também de um assunto especial que são os sistema lineares homogêneos,que tratam-se dos sistema lineares comp...
Exemplos1. Discuta, em função dos parâmetros a e b, o sistema:Resolução:Inicialmente, escalonamos o sistema efetuando as t...
Através desta resolução observa-se que para qualquer valor de k ≠ 0, teremos umsistema SPD (Sistema Possível e Determinado...
ConclusãoCom este trabalho conclui-se que a discussão de um sistema linear trata-se deum método eficiente e eficaz de extr...
ReferênciasYOUSSEF, A.; SOARES, E.; FERNANDEZ,V.Matemática: Ensino Médio, 1. ed. SãoPaulo: Ed. Scipione, 2011.OLIVEIRA, A....
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Discussão de um sistema linear

  1. 1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOSECRETARIADEEDUCAÇÃOPROFISSIONALETECNOLÓGICAINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO,CIÊNCIAETECNOLOGIADE RONDÔNIADAMYSSON HENRIQUEDANIEL OSAWAELITON TRINDADELUCAS FERNANDES3º A INFORMÁTICAMATUTINODISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEARJi-Paraná, 2012.
  2. 2. IntroduçãoOs sistemas lineares tratam-se de uma relação entre duas ou mais equações quepossuem a mesma solução ou mesmo um conjunto de soluções que permitem a essasequações receberem uma classificação. Porém vê-se a existências de algumas equaçõesque possuem coeficientes com parâmetros desconhecidos, indeterminados, que sópodem ser resolvidos através do método de discussão de um sistema linear. Estetrabalho tem por objetivo mostrar o que é e como se faz a discussão de um sistemalinear para que se consiga classificar os sistemas em SPD, SPI ou SI, mostrandodidáticas de diferentes autores sobre o assunto e apresentando alguns exemplos queauxiliarão no melhor entendimento de todoconteúdo abordado.
  3. 3. Discussão de um Sistema LinearA discussão de um sistema linearconsiste basicamente na análise das possíveissoluções através de um conjunto de valores que são atribuídos a alguns parâmetros deum sistema. Depois de escalonado é possível verificar quais são os valores dosparâmetros e utilizá-los para assim definir a classificação do sistema, ou seja, verificarpara quais valores ele é SPD (Sistema Possível e Determinado) onde apresenta apenasuma solução, SPI (Sistema Possível e Indeterminado) apresenta mais de uma solução ouSI (Sistema Impossível) onde não há solução(YOUSSEF; SOARES; FERNANDEZ,2011, p. 193).Podemos observar que a discussão do sistema linear é verificar oscoeficientes que constituem as equações,verificando quais os parâmetros que sãodesconhecidos, para assim utilizando o método de discussão do sistema linear, analisaros parâmetros e determinar para quais valores eles se adequarão a uma das trêsclassificações (SPD, SPI ou SI). Os autores trazem alguns exemplos que abrangem doisproblemas diferentes que podem ser resolvidos através da discussão de um sistemalinear com suas respectivas soluções, que nos auxiliam a entender na prática como se dáo método de discussão e quais soluções ele nos apresenta. Veja abaixo os problemas esuas respectivas soluções segundo (YOUSSEF; SOARES; FERNANDEZ, 2011, p.193).R10. Discuta, em função do parâmetro a, o sistemaResolução:Inicialmente escalonamos o sistema efetuando as transformações linearesindicadas:1) Se a-2 ≠ 0, então y= -2/(a-2) = 2 /(2-a) e substituindo na primeira equação,achamos x (também em função de a):x + y =4 x + 2 /(2-a) = 4 x = 4- 2/(2-a) (8-4ª-2) / (2-a)x= (6-4a) / (2-a)Então: Para cada a ≠ 2, o par ((6-4a)/(2-a) , 2/(2-a) ) é solução da equação. Note queessa solução depende de a, mas para cada a fixado ela é única. Portanto, para a ≠ 2 osistema é Possível e Determinado.X + y = 42x + ay = 6X + y = 42x + ay = 6X (-2)X + y = 4(a-2)y = -2
  4. 4. 2) Se a – 2 = 0 (ou seja, a =2), temos, na segunda equação (a-2)y = -2, ou seja, 0.y=-2, oque é impossível. Logo, para a=2, o sistema é Impossível (não existem valores de x e yque satisfaçam simultaneamente às duas equações).Resumindo, temos :1) a ≠ 2 – Sistema Possível e Determinado com soluções x= (6-4a) / (2-a) e y=2 /(2-a).2) a = 2 – Sistema Impossível.R12. Determine m E R de modo a se admitir apenas a solução trivial para o sistemahomogêneo:ResoluçãoPara que o sistema admita apenas uma solução trivial, ele deve ser Possível eDeterminado. Para isso:2m + 2 ≠ 0 m ≠ -1S = {m E R | m ≠ -1 }“A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros doscoeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes dasequações; e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas soluções.”(OLIVEIRA,A. Gabriel.Discussão e análise do sistema linear. Em:<http://www.brasilescola.com/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm>. Acessoem: 05 de julho de 2012.). Segundo o autor um sistema linear trata-se de uma relaçãoexistente entre duas ou mais equações que compartilham a mesma solução, ou seja,possuem uma solução ou mesmo um conjunto de soluções que satisfazem todas asequações simultaneamente, e através destas soluções classifica-se a equação em SPD3x – my = 06x + 2y = 03x – my = 06x + 2y = 0X (-2)3x – my = 0(2m + 2)y = 0
  5. 5. (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível e Indeterminado) ou SI(Sistema Impossível). Mas segundo ele, algumas equações possuem coeficientes comvalores desconhecidos, indeterminados, e utilizamos a discussão de um sistema linearpara determinar para quais valores o sistema pode ser classificado em SPD, SOI ou SI.A classificação do sistema linear é feita de acordo com seu determinante, ouseja, classifica-se um sistema de acordo com o determinante dos coeficientes dasequações que o compõem. O autor apresenta um exemplo que nos auxiliará no melhorentendimento.Uma matriz 2x2.Portanto, nossa análise será pautada no determinante da matriz dos coeficientes.D =De acordo com o determinante D, teremos as seguintes situações:Se D ≠ 0, então Sistema Possível e Determinado.Se D = 0, então Sistema Possível e Indeterminado.Os coeficientes podem estar em forma de incógnitas, e através dessas incógnitaspoderemos determinar parâmetros para o determinante. Veja no exemplo.1- Discuta o sistema, analisando quais são os valores m e k.Teremos que analisar o valor do determinante D e analisar os parâmetros.D = D ≠ 0 4m -24 ≠ 0 m ≠ 6 D = 0 m = 6Concluindo assim que para obtermos um Sistema Possível e Determinado é necessárioque m tenha um valor diferente de 6. Porém se m = 0, teremos D = 0, então devemosdeterminar a classificação desse sistema em SPI ou SI.Substituindo o m por 6, teremos o seguinte:ax + by = kcx + dy = w=a bc d.xy=kwa bc dmx + 4y = 26x + 4y = ka bc d6x + 4y = 26x + 4y = k
  6. 6. Escalonando o sistema, teremos:Com a equação 1 obtemos duas possibilidades:1 - O valor de k satisfaz a equação (1), ou seja: para k=2 teremos 0=0, e com isso osistema se reduz apenas à primeira equação, obtendo, assim, um Sistema PossívelIndeterminado (SPI).2 - Caso o valor de k seja diferente de 2, teremos uma equação falsa, que nunca serásatisfeita, como por exemplo (0 =1), caracterizando então um Sistema Impossível.Para concluir a discussão do autor, temos três possibilidades:Se m ≠ 6, Sistema Possível e Determinado (SPD).Se m = 6 e k = 2, Sistema Possível e Indeterminado (SPI).Se m = 6 e k ≠ 2, Sistema Impossível (SI).Discutir um sistema linear consiste basicamente em analisar as hipóteses paraque ele seja classificado em SPD (Sistema Possível e Determinado), SPI (SistemaPossível e Indeterminado) ou SI (Sistema Impossível). Utilizando a Regra de Cramerpode-se fazer a discussão somente de sistemas que sejam quadrados, de acordo com odeterminante da equação o sistema terá a sua classificação. Pois se o D ≠ 0 o sistema éSPD, se o D = 0 o sistema poderá ser SPI ou SI. (TOMIO, C. Júlio. Sistemas deEquações Lineares. Em: <http://www.joinville.ifsc.edu.br/~julio.tomio/Outros%20Materiais/Mat%20Ensino%20-%20Sistemas%20Lineares%202011-02-01.pdf>. Acesso em: 07 de julho de 2012.).O autornos apresenta outra forma de como se discutir um sistema linear, que trata-se dométodode escalonamento. Ele afirma que discutir um sistema linear consiste em analisara e avaliar as hipóteses para que este seja classificado em SPD, SPI ou SI. No caso deum sistema escalonado, tem-se geralmente na última equação apenas uma incógnita.Observe no exemplo a seguir, onde temos a incógnita “z”.Fazendo a análise da equação m.z=k temos:Se m ≠ 0 e kE R, então o sistema é SPD (Sistema Possível e Determinado).Exemplo: 2z = 8 z = 4.Se m = 0 e k= 0, então o sistema é SPI (Sistema Possível e Determinado).Exemplo: 0z = 0 z pode assumir qualquer valor real.Se m = 0 e k≠ 0, então o sistema é SI (Sistema Impossível).Exemplo: 0z = 7 não existe valor real paraz.
  7. 7. O autor trata também de um assunto especial que são os sistema lineares homogêneos,que tratam-se dos sistema lineares compostos por equações homogêneas cujos termosindependentes são nulos. Ele demonstra a forma de como se fazer a discussão de umsistema linear homogêneo através dos dois métodos mostrados anteriormente, o daRegra de Cramer e o do Escalonamento.Primeiramente veremos como se resolver através da Regra de Cramer:Discutir um sistema linear homogêneo consiste em avaliar as hipóteses para que ele sejaSPD, SPI ou SI. Pela Regra de Cramer as soluções são dadas da seguinte forma:D=DeterminanteSe D ≠ 0, o sistema possui somente a solução trivial, s={(0,0,0)}. Então o sistema éclassificado como SPD.Se D = 0, o sistema possui solução trivial, ainda infinitas soluções denominadas“próprias”. Portanto o sistema é classificado como SPI.Agora veremos como é feita através do Escalonamento:Para um sistema escalonado teremos geralmente uma incógnita, neste caso utilizaremoscomo exemplo a incógnita z. Analisaremos a equação do sistema escalonado m.z = 0.Se m ≠ 0 , o sistema é SPD, possui uma única solução.Exemplo: 3z = 0 z = 0.Se m = 0, o sistema é SPI, pode assumir infinitas soluções.Exemplo: 0z = 0 z pode assumir qualquer valor real.Uma informação importante é que um sistema linear homogêneo jamais terá aclassificação SI (Sistema Impossível), pois ele sempre terá uma solução trivial.
  8. 8. Exemplos1. Discuta, em função dos parâmetros a e b, o sistema:Resolução:Inicialmente, escalonamos o sistema efetuando as transformações lineares indicadas:Se (a-2) ≠ 0, o sistema é Possível e Determinado.Se (a-2) =0 e b – 4=0, a segunda equação reduz-se à identidade 0.y=0. O sistema éPossível e Indeterminado.Se (-a -2) =0 e b - 4 ≠ 0, o sistema é Impossível, pois a segunda equação reduz-se asentença falsa.Resumindo:a ≠ -2 sistema Possível e Determinadoa = -2 e b – 4 = 0 sistema Possível e Indeterminadoa = -2 e b – 4 ≠ 0 sistema Impossível2. Discuta o sistema avaliando os valores de k.:Vamos calcular o valor do determinante D.D = 2k – 8.Se D ≠ 0 2k – 8 ≠ 0Se D = 0 2k – 8 = 0D ≠ 0 2k – 8 ≠ 0 k ≠ 4.2x + 2y =64x + ky = 4X + ay = 4x-2y = bX (-1)x + ay = 4(-a-2)y = b - 4X + ay = 4x-2y = b
  9. 9. Através desta resolução observa-se que para qualquer valor de k ≠ 0, teremos umsistema SPD (Sistema Possível e Determinado).Já para descobrir os valores que geram SPI ou SI, deve-se substituir o resultado de k eatravés deste analisar o sistema.D = 0 2k – 8 = 0 k = 4.Substituindo o sistema tem-se:Divide-se a segunda equação por dois e faz-se a análise do sistema:Ao analisar a equação observa-se que as equações são iguais, porém os resultados sãodiferentes, ou seja, as equações não estão coerentes, não batem, sendo assim conclui-seque o sistema é SI (Sistema Impossível).A solução do sistema de acordo com o coeficiente k fica da seguinte forma:Se m ≠ 4, o sistema é SPD (Sistema Possível e Determinado).Se m = 4, o sistema é SI (Sistema Impossível).2x + 2y =64x + 4y = 42x + 2y =64x + 4y = 4 / (2)2x + 2y =62x + 2y = 2
  10. 10. ConclusãoCom este trabalho conclui-se que a discussão de um sistema linear trata-se deum método eficiente e eficaz de extrema importância para os sistemas lineares, poisauxilia na resolução de sistemas cujos coeficientes são desconhecidos, determinandoassim suas soluções. Observa-se também que cada autor utiliza uma didática diferenteda outra para a resolução dos exercícios, promovendo assim uma amplitude maior nasformas de se resolverem os problemas relacionados a este conteúdo, auxiliando napromoção de um maior entendimento por parte das pessoas, promovendo assim umaumento do número pessoas inseridas no assunto, aumentando as chances de se criaremnovas didáticas e maneiras de se resolverem ao atuais problemas da discussão de umsistema linear.
  11. 11. ReferênciasYOUSSEF, A.; SOARES, E.; FERNANDEZ,V.Matemática: Ensino Médio, 1. ed. SãoPaulo: Ed. Scipione, 2011.OLIVEIRA, A. Gabriel. Discussão e análise do sistema linear. Em:<http://www.brasilescola.com/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm>. Acessoem: 05 de julho de 2012 as 01:24:33.TOMIO, C. Júlio. Sistemas de Equações Lineares. Em: <http://www.joinville.ifsc.edu.br/~julio.tomio/Outros%20Materiais/Mat%20Ensino%20-%20Sistemas%20Lineares%202011-02-01.pdf>. Acesso em: 07 de julho de 2012 as11:30:52.OLIVEIRA, A. Gabriel. Discussão de um sistema linear. Em:<http://www.alunosonline.com.br/matematica/discussao-um-sistema-linear.html>. Acessoem: 05 de julho de 2012 as 01:20:12.Disponível em: <www.lo.unisal.br/sistemas/.../Sistemas%20Lineares%20Final.doc>.Acesso em: 09 de Julho de 2012 as 01: 55: 28.

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