O documento apresenta os principais tópicos da teoria dos números: divisibilidade, congruências lineares e o teorema chinês do resto. Aborda conceitos como primos, algoritmo de Euclides, fatoração única e infinitude dos primos. Explica como as congruências lineares podem ser usadas para resolver equações diofantinas.
4. Introdução
- É preciso um conhecimento profundo em Matemática
para se entender as formulações da Teoria dos
Números?
“Todo número par maior do que 2 pode ser escrito como a
soma de dois números ímpares?”
4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 12 = 5 + 7...
Euler disse: “Parece verdadeiro, mas eu não consigo
provar...”
6. Divisibilidade
Definição 1: Um inteiro a é divisível por um inteiro
b (não-nulo), se existe um inteiro k, tal a = kb.
Escreve-se: b|a
Leia-se: b divide a
7. Divisibilidade
Teorema 1: Para quaisquer a, b, c e d inteiros, tem-se:
a) a|b a|bc, c
b) a|b e c|d ac|bd
c) a|b e b|c a|c
d) a|b e a|c a|(bx+cy), x,y inteiros
e) a|b e b|a a=b
f) a|b com a,b > 0 a b
g) a|b ma|mb, m inteiro não-nulo
8. Divisibilidade
Teorema 2: Para quaisquer a, b inteiros, com b>0, existem
inteiros únicos q e r, tais que a = qb+r, 0 r < b. Se b não
divide a (b∤a), então, 0 < r < b.
Este Teorema é conhecido como o Algoritmo da Divisão.
Chamos q de quociente e r de resto.
Obs: Note que se a = -19 e b = 5, então, pelo Algoritmo da
Divisão deve-se ter q = -4 para que r = 1 (r 0).
9. Divisibilidade
Definição 2: Para quaisquer a, b inteiros, com pelo menos
um deles não-nulo, então, d = MDC(a,b) se:
a) d|a e d|b
b) Se c|a e c|b c d
10. Divisibilidade
Teorema 3: Se d = MDC(a,b), então, existem inteiros x e y
tais que d = ax + by.
Prova: No quadro durante a apresentação
Note que se a e b são relativamente primos, então,
podemos escrever:
ax + by = 1
Como encontrar
X e y?
11. Divisibilidade
Algoritmo de Euclides: Considere a aplicação repetida do
algoritmo da divisão da seguinte forma:
O MDC(a,b) é o último resto não-nulo
14. Divisibilidade
Uma pergunta interessante e que não pode passar
livremente é: “Por que o Algoritmo de Euclides funciona?”
O que o Algoritmo de Euclides diz, de fato, é que:
d = MDC(a,b) = MDC(a,b-qa)
Mas, isto é uma consequência da propriedade que afirma
MDC(a,b)=MDC(a,ax+b) onde x = -q.
15. Divisibilidade
Vamos provar então que se d = MDC(a,b), então,
d = MDC(a,ax+b)
Considere que t = MDC(a,ax+b). Logo, t|a e t|(ax+b).
Portanto, t|b. Logo, t|d (td). Suponha t < d.
d =qt + r r = d – qt (r < t). Portanto, t|r, pois t|d e t|qt.
Impossível, pois r<t. Logo, t = d.
16. Números Primos
Um número inteiro p>1 é dito ser primo se não houver
nenhum divisor d de p tal que 1<d<p. Caso contrário, o
número é dito ser composto.
Atualmente, o criptosistema RSA te sua segurança
baseada na dificuldade em se fatorar um número
composto n como o produto de dois primos distintos p e q.
19. Um inteiro da forma: 𝑀 𝑛 =
2 𝑛
− 1 é chamado um inteiro
de Mersenne. Quando este
número for primo, chamamos
os mesmos de “Primos de
Mersenne”.
Primos de Mersenne
20. Pode-se mostrar que se 𝑎 𝑛 − 1 (𝑎 > 0, 𝑛 ≥ 2) é primo,
então, a = 2 e n é primo.
Existe um especial interesse em corpos finitos do tipo
𝐺𝐹(2 𝑝
− 1) pois as operações de multiplicação são mais
simples.
Primos de Mersenne
21. Um inteiro da forma
𝐹𝑛 = 22 𝑛
+ 1 é dito ser um
número de Fermat. Se um
número de Fermat é primo,
então ele possui a forma
acima. O contrário pode não
ser verdade.
Primos de Fermat
22. A fatoração de qualquer número inteiro n (n>1) como
produto de fatores primos é única.
Note que em S = {2,4,6,8,...} a fatoração não é única neste
conjunto, pois 60 = 2x30 = 6x10.
Teorema da Fatoração Única
23. A série dos números primos é infinita.
Teorema de Euclides
24. Congruências Lineares
Introduzidas por Gauss em 1801 no seu livro
Disquisitiones Arithmeticae (Pesquisas Aritméticas).
Definição: Dados os inteiros a,b e n (n>0), diz-se
que a é congruente com b módulo n se n divide a-b.
𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)
26. Congruências Lineares
A equação
𝑎𝑥 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛),
com x a determinar, pode ser escrita como
𝑎𝑥 − 𝑐 = 𝑘𝑛
Portanto,
𝑎𝑥 − 𝑛𝑘 = 𝑐 x e k inteiros a determinar
27. Congruências Lineares
Teorema: A equação diofantina ax + by = c possui solução
se, e somente se, d=MDC(a,b)|c. Se (x0,y0) é uma solução
particular, então, todas as outras soluções são:
𝑥 = 𝑥0 +
𝑏
𝑑
𝑡
𝑦 = 𝑦0 −
𝑎
𝑑
𝑡
t inteiro
29. Teorema Chinês do Resto
Uma das primeiras aparições foi no livro “Manual
de Aritmética do Mestre Sun” (287 DC-473 DC).
Desenvolvido simultaneamente por gregos e
chineses para resolver problemas de astronomia.