Este documento apresenta quatro problemas de mecânica e modelação computacional relacionados com engenharia biomédica. O primeiro problema envolve o cálculo de tensões e deslocamentos numa barra sob carga. O segundo problema calcula tensões normais e de corte num tubo sob múltiplas forças. O terceiro problema determina tensões e deslocamentos numa viga sob carga distribuída. O quarto problema envolve a discretização de elementos finitos e cálculo de deformações numa estrutura viga-viga.

1. MECÂNICA E MODELAÇÃO COMPUTACIONAL
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Época Especial Ano Lectivo de 2017/2018 23/Junho/2018
‐ O Exame é sem consulta. O formulário está anexo a este exame.
‐ Não são permitidos computadores pessoais ou telemóveis.
‐ Todas as folhas do exame deverão ser identificadas.
‐ A duração do exame é de 2 horas e 30 minutos.
Problema I (5,0 val.)
Figura 1
A barra ABC da figura 1 é feita de material com E=100 GPa. O troço AB possui uma secção
transversal com área AAB= 210 mm2
enquanto o troço BC possui uma secção transversal com
área ABC= 160 mm2
. Antes da aplicação da força FB a secção C está a uma distância =2 mm da
parede da direita.
a) Qual o valor mínimo da força FB para que a secção C fique a tocar na parede da direita? (1,5
val.)
Nas alíneas b) e c) considere FB =80 KN.
b) Sem utilizar elementos finitos, determine as tensões nas barras AB e BC. (1,5 val.)
c) Utilizando elementos finitos barra, determine o deslocamento do ponto B. (2,0 val.)
A
B C
FB
1.2 m 0.8 m 
 = 2 mm

2. Problema II (5,0 val.)
Figura 2
Considere o tubo da figura 2 sujeito à acção da força de 800N na direcção x e às duas forças
de 500N na direcção y (forças de sentidos opostos). A secção circular do tubo possui um
diâmetro exterior de 32 mm, uma área A=600 mm2
, um momento de inércia I=48.2×103
mm4
e um momento polar de inércia J=96.4×103
mm4
.
a) Determine a tensão normal nos pontos E, F, G e H. Indique se as tensões são de tração ou
de compressão. (3,5 val).
b) Determine a tensão de corte (devido à torção) nos pontos E, F, G e H. (1,5 val)
x
G
800 N
500 N
500 N
Secção EFGH
y
z H
G
E
F

3. Problema III (5,0 val.)
Figura 3a Figura 3b
Considere o caso representado nas figuras 3. A viga possui módulo de elasticidade E=200 GPa,
e momento de inércia I = 10‐5
m4
. A secção da viga é rectangular com altura h=120 mm.
Considere a figura 3a
a) Esboçe o diagrama de momento flector e determine a maior tensão normal que ocorre na
viga. (1,0 val.)
b) Determine o deslocamento vertical do ponto A. (2,0 val)
Considere a figura 3b
c) Determine a reacção no apoio A. (2,0 val)
A C
1 m
2 m
B
24 KN/m
A
C
1 m
2 m
B
24 KN/m

4. Problema IV (5,0 val.)
Figura 4
Considere a estrutura constituída pelas vigas ABC e BD da figura 4. As vigas estão soldadas no
ponto B e encastradas nas extremidades. As vigas possuem uma secção transversal com área
A=10–3
m2
e momento de inércia I=2.5x10–6
m4
. O material das vigas tem modulo de Young
E=200GPa.
a) Pretende‐se a resolução do problema utilizando um modelo de elementos finitos.
Considere uma discretização apropriada e calcule a matriz de rigidez e vector de forças de
cada um dos elementos. (2,0 val.)
b) Determine o deslocamento vertical e a rotação do ponto B e esboce a deformada da
estrutura. (3,0 val.)
Sugestão: Calcule apenas os termos da matriz de rigidez global necessários para a resolução
do sistema de equações.
B
1 m 1 m
A C
D
30KN/m
1
m

5. FORMULÁRIO:
P
A
 
A 0
F
lim
A
 

 
 A 0
V
lim
A
 

 

xy yx
  
d
dx

  E
  
PL
AE
 
L
0
P
dx
AE
  
y
x z
x
E E E

 
      y
x z
y
E E E

 
      y
x z
z
E E E

 
     
xy xy
G
   yz yz
G
   xz xz
G
  
 
E
G
2 1

 
L

 
T
J

 
TL
JG
 
L
0
T
dx
JG
  
1 M
EI


x
My
I
   x
P My
A I
   y
z
x
z y
M z
P M y
A I I
   
z
y
I
tan tan
I
  
dV
w
dx
 
dM
V
dx

 
M x
1
EI


 
2
2
M x
d y
dx EI

1 1 e
x
h
   2 e
x
h
 
0
e
h
e
i i
F f dx

 
1 1
1 1
e e
e
ij e
E A
K
L

 
    
  
 
 
1
1
2
e e
e
i
f L
F
 
  
 
2 3
1 1 3 2
e e
x x
h h
   
  
   
   

2
2 1 e
x
x
h
 
  
 
 

2 3
3 3 2
e e
x x
h h
   
 
   
   

2
4 e e
x x
x
h h
 
 
  
 
 
 
 
 

2 2
3
2 2
6 3 6 3
3 2 3
2
6 3 6 3
3 3 2
e e
e e e e
e
ij
e e
e
e e e e
h h
h h h h
EI
K
h h
h
h h h h
  
 
 

 
  
   

 

 
 
6
6
12
e
e e
i
e
h
qh
F
h
 
 

 
  
 
 
 
2 2 2 2
3
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
c 6s ( 6)cs 3 s ( c 6s ) ( 6)cs 3 s
s 6c 3 c ( 6)cs ( s 6c ) 3 c
2 3 s 3 c
c 6s ( 6)cs 3 s
s 6c 3 c
2
, c cos( ), s sin( )
2
   
  
 

  
 
      
 
      
 
 

 
  
 
 

 
 
 
  
e EI
K h h
h
h h
h h h h
h
h
h
Ah
I

6.  
1
1
1 (1 )
4
  
    
2
1
1 (1 )
4
  
    
3
1
1 (1 )
4
  
    
4
1
1 (1 )
4
  
  
 
1 1
1 1
1 1
( , ) ,
M N
I J I J
I J
F d d F W W
     
 
 
 
   
1
1
1
( )
N
i i
i
F d F W
  


 

x x
y y
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
J | | det( )

J J
1
| |
y x
x y
y x
x y
 
 
 
 
   
   

   
   
   

   
   

   
   
 
 
J