Uma visão introdutória sobre os conceitos de alfabetos, palavras e linguagens formais

1. Linguagens Formais
Linguagens formais e autômatos
Alfabetos, Palavras e Linguagens
Wellington Della Mura
Universidade Estadual do Norte do Paraná
Sistemas de Informação
wellington@uenp.edu.br
2020
Wellington Della Mura Computação e Algoritmos

2. Linguagens Formais
1 Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
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3. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Introdução
Linguagem: “O uso da palavra articulada ou escrita como meio
de expressão e comunicação entre as pessoas” - Dicionário Aurélio.
Mas essa definição não é precisa o suficiente para permitir
o desenvolvimento matemático de uma teoria sobre
linguagens.
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4. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Simbolo: é uma entidade abstrata básica a qual não é
definida formalmente.
Exemplo: letras e dígitos.
Alfabeto (Representado por Σ): conjunto finito de
Símbolos.
Exemplo: {1, 2, 3} ou {a, b, c} ou {a, 1, 2, b, 3, 4, c}
Palavra w (Cadeia de Caracteres ou Sentença): é
uma sequência finita de símbolos do alfabeto justapostos
Exemplo: 1332 ou abbc ou a234bc1
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5. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Símbolo, Alfabeto e Palavra (cont.)
Para representar formalmente utiliza-se:
Palavra vazia (representada por ε) é uma palavra sem
símbolo.
Conjunto de todas as palavras possíveis sobre o alfabeto
Σ é denotado por Σ∗
.
Conjunto de todas as palavras possíveis sobre o alfabeto
excetuando-se a palavra vazia é denotado por Σ+
, ou
seja, Σ+
= Σ∗
− {ε}
O tamanho ou comprimento de uma palavra w,
representado por | w |, é o número de símbolos que
compõem a palavra.
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6. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Prefixo, sufixo e subpalavra
Prefixo: é qualquer sequência de símbolos inicial de uma
palavra.
Sufixo: é qualquer sequência de símbolos final de uma
palavra.
Subpalavra: é qualquer sequência de símbolos contígua de
uma palavra.
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7. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Símbolo, Alfabeto e Palavra - Exemplos
Palavra vazia: ε
Alfabeto: Σ = {a, b, c}
Palavra: abcb
Se Σ = {a, b}, então Σ+
= {a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, ...} e
Σ∗
= {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, ...}
| abcb |= 4 e | ε |= 0
ε, a, ab, abc, abcb são prefixos da palavra abcb e
ε, b, cb, bcb, abcb são seus respectivos sufixos.
Qualquer prefixo ou sufixo de uma palavra é uma
subpalavra.
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8. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Símbolo, Alfabeto e Palavra - Exercícios
Dados os alfabetos abaixo monte o conjunto Σ∗
e Σ+
,
demonstre um exemplo de palavra, seu tamanho e demonstre
seus prefixos e sufixos
1 Σ = {a, b, x}
2 Σ = {x, y}
3 Σ = {a, 1, c, 8}
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9. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Linguagem Formal
Linguagem Formal: é um conjunto de palavras sobre um
alfabeto
Suponha o alfabeto Σ = {a, b}
O conjunto vazio e o conjunto formado pela palavra vazia
são linguagens sobre Σ (obviamente {} = {ε})
O Conjunto de palíndromos sobre Σ é um exemplo de
linguagem infinita. Exemplos:
{ε, a, b, aa, bb, aaa, aba, bab, bbb, aaaa, ...}
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10. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Concatenação
Concatenação: associa a cada par de palavras uma palavra
formada pela justaposição da primeira com a segunda.
A operação de concatenação satisfaz às seguintes propriedades
(suponha v, w, t como palavras):
Associatividade: v(wt) = (vw)t
Elemento Neutro à Esquerda e à Direita: εw = w = wε
Importante
Uma operação de concatenação definida sobre a linguagem L
não é, necessariamente, fechada sobre L, ou seja, a
concatenação de duas palavras de L não é necessariamente
uma palavra de L.
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11. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Concatenação - Exemplo
A linguagem de palíndromos L sobre {a, b} e a
concatenação das palavras aba e bbb.
Resulta em ababbb que não é um palíndromo.
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12. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Concatenação Sucessiva
Concatenação Sucessiva: de uma palavra (com ela
mesma), é representada na forma de um expoente wn
onde w
é a palavra e n indica o número de concatenações sucessivas.
É definida indutivamente a partir da concatenação binária.
1 Caso 1: w = ε
w0
= ε
wn
= wn−1
w, para n > 0
2 Caso 2. w = ε
wn
= ε, para n > 0
wn
é indefinida para n = 0
Importante
Note-se que a concatenação sucessiva é indefinida para ε0
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13. Linguagens Formais
Símbolo, Alfabeto e Palavra
Linguagem Formal
Concatenação Sucessiva - Exemplo
w3
= www
w1
= w
a5
= aaaaa
an
= aaa...a (repetido n vezes)
a0
= ε
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