Apostila estatística

Um guia passo a passo para quem não
quer reprovar em Estatística, aprendendo
como resolver as questões de prova
Apostila 1
Média, Moda, Mediana,
Desvio padrão, variância,
Coeficiente de Variação e
conceitos importantes.
Série: Como não reprovar
em Estatística.
Isaias Lira – Como não passar em Estatíscia
www.usaforbrazil.wix.com/consultoria

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”.
www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 1
INTRODUÇÃO
Sobre mim
Olá meu nome é Isaías Mechillemoth, sou Bacharel em Estatística pela UFPE,
trabalhei com iniciação científica durante 3 anos
desenvolvendo novas técnicas estatísticas para análise
de imagens digitais, trabalhei também analisando dados
socioeconômicos na Prefeitura do Recife e também
atuei analisando dados de acidentes de trânsito na
CTTU (Companhia de Trânsito e Transporte Urbano)
ocorridos nas vias desta cidade.
Além disto, tenho uma Consultoria em
estatística (www.estatistica.k6.com.br), aonde venho
realizando inúmeras consultorias de analise de dados
para dissertações de mestrado, teses de doutorado,
artigos e demais publicações, além de alguns trabalhos
encomendados pela prefeitura do Recife.
Paralelamente venho capacitando profissionais e professores universitários para
desenvolverem suas próprias análises estatísticas tão necessárias nos seus artigos.
O QUE TE OFEREÇO
Toda esta experiência trabalhando com Estatística me fez desenvolver um
método próprio que chamo de “Método de resolução passo a passo”, que é uma forma
simples de resolver os exercícios de estatística, que a meu ver, é o que um aluno
realmente precisa: saber resolver exercícios, pois a prova é baseada nos exercícios.
Algumas características deste método:
- Não precisa de nenhum conhecimento prévio. Vou te ensinar Estatística do
ZERO, mesmo que você já saiba alguma coisa.

- Não é usado por professores, porque numa sala de aula é humanamente
impossível que o professor esclareça todas as dúvidas de cada um dos alunos.
- Conteúdos separados por temas. Serão disponibilizadas várias apostilas com
temas separados para que sua mente consiga assimilar cada coisa em separado. Você
vai aprender uma coisa de cada vez.
- Não está em nenhum livro, pois os livros já acreditam que você já sabem de
alguma coisa. Além disto, os exercícios que são resolvidos no livro são os mais fáceis e
os exercícios mais complicados (que caem na prova) não estão resolvidos no livro e
neste caso como você vai conseguir resolver se você não sabe nem o básico?
Realmente é complicado.
- Não está disponível na internet, pois na internet é tudo muito solto, jogado e
você precisa de algo completamente organizado para que as coisas possam fazer
algum sentido.
- Linguagem direta. As apostilas de nossa série estão numa linguagem clara e
bastante acessível, excluindo os termos complicados que dificultam o aprendizado.
Você sentirá como se estivesse ao meu lado numa aula particular.
- Funciona de verdade, pois é fruto de várias experiências em aulas para alunos
de diferentes áreas do conhecimento. Este meu próprio método de ensino aprovado e
com 100% de resultado positivo que se traduz em pegar na sua mão e te mostrar tudo
passo a passo, na certeza de que você aprenderá o que está sendo dito.
Se você não dá valor ao seu tempo e se você vier a reprovar não fará diferença
para você, então toda esta série de conteúdos não é para você. Mas se você
não suporta a ideia de atrasar sua vida na faculdade reprovando esta disciplina
e por isso deseja fazer de tudo para ter no mínimo u bom para se dar bem nas
provas de Estatística, então seja bom desempenho e aproveitamento na
disciplina.

QUAIS SÃO OS SEUS PROBLEMAS EM ESTATÍSTICA?
Estou escrevendo este guia prático, pois provavelmente você está fazendo a
disciplina de Estatística ou talvez ainda irá iniciar, mas deve estar enfrentando os
seguintes problemas:
 Não consegue entender os livros de Estatística? Muito provavelmente você
gastou seu precioso
dinheiro comprando livros
de Estatística na esperança
de resolver seus
problemas. Além disto,
investiu seu valiosíssimo
tempo lendo estes livros e
começou lendo o primeiro
capítulo, mas talvez, já nas
primeiras páginas percebeu que já não estava entendendo mais nada e a cada
nova página surgiam novas dúvidas, ficando assim impossível de compreender
o que estava escrito e muito menos aplicar na vida real (que é o principal
objetivo que quero te passar, ou seja, como o conhecimento estatístico pode te
ajudar na sua vida e carreira).
Os livros são fortes fontes de conhecimento, porém com relação a Estatística os
autores não tem muito a preocupação de saber se você o está entendendo ou não, ou
seja, a linguagem dos livros são bastante teóricas e não estão “traduzidas” de uma
forma que qualquer pessoa possa entender, enfim, os livros de Estatística assumem
que você já sabe alguma coisa.
 Não consegue aprender com tudo o que tem na Internet? Muito
provavelmente você foi ao Google ou Youtube procurando algo sobre
Estatística e apesar do grande volume de informações encontradas, você

começa a perceber que a maioria daquilo não faz sentido, pois é muita
informação e você não consegue juntar as coisas.
Na internet você encontra
uma avalanche de informações
sobre Estatística, porém tudo
está fragmentado, não tem
uma ordem lógica e sistemática
e neste caso a sua mente não
consegue juntar uma coisa com
outra para que tudo faça
sentido. Além disto, como na
internet qualquer pessoa escreve o que quer, estas informações que você deve estar
consumindo podem ser falsas.
 Não consegue entender as aulas da disciplina de Estatística? Possivelmente
você deve ter passado pela
experiência de fazer uma
disciplina de Estatística e logo
percebeu, desde as primeiras
aulas, que aquilo era muito
complicado, totalmente
estranho e ainda por cima seu
professor(a) não te explicava
passo a passo as coisas, mas
sim continuava enchendo a
turma de mais e mais assuntos.
Por conta disto, provavelmente
você não consegue resolver as listas de exercícios e assim tem tido as piores
notas da sua vida ou até mesmo já está a caminho de ser reprovado, atrasando
ainda mais o seu curso e sua vida profissional.

Quase todos os cursos obrigam o aluno a fazer ao menos uma disciplina de
Estatística, seja você do curso de Engenharia ou de Psicologia. A razão para isto é que
em tudo precisamos de Estatística, em tudo! Você pode até não entender para que
serve saber Estatística, mas em algum momento da sua carreira você vai precisar
analisar dados e ai este conhecimento pode te trazer uma posição melhor no seu
trabalho ou na sua carreira.
 Não consegue bons Professores particulares? Talvez você tenha tentado ter
aulas particulares
com professores
de Estatística e
percebeu
imediatamente
que é muito caro
ter UMA hora
com eles e para o
que você precisa
aprender você
deveria investir no mínimo umas 10 horas. Você também deve ter percebido
que estes professores são bem raros e não tinham tempo disponível na hora
que você precisava (a noite, finais de semana, etc.), pois você não tem tempo e
gostaria ter aulas no seu tempo livre. Além disto, provavelmente o(a)
professor(a) particular também não conseguiu tirar todas as suas dúvidas sobre
os temas e ainda sim você percebeu insegurança nele(a).
Professor particular de Estatística é uma boa opção, mas não é fácil encontrá-los
assim como não é fácil pagar o valor exigido por eles. Além disto, eles estão sempre
muito ocupados, dificultando assim os encontros. Ainda por cima, nem todos possuem
o domínio do que você precisa saber.

O QUE REALMENTE VOCÊ DESEJA?
Sei que apesar de estar enfrentando
estes problemas, você:
 Provavelmente você deve
desejar entender a linguagem da
Estatística para assim poder ler os
livros e artigos e entender os
resultados apresentados.
 Provavelmente você deve ter um
forte interesse em saber como
juntar de uma forma lógica as
informações que você acha na
internet e saber julgá-las se são
verdadeiras ou falsas.
 Muito possivelmente você está interessado(a) em saber o que o professor está
falando nas aulas de Estatística, para assim poder argumentar, questionar e
trocar ideias com ele sobre o que você tem aprendido, aplicado e desenvolvido.
Quando não se sabe de nada, nem dúvidas se têm, já percebeu? Você deve
desejar resolver todas as listas de exercícios que tiver pela frente, bem como
ter as melhores notas para poder passar por média e se livrar de Estatística.

 Provavelmente você quer saber o necessário de Estatística para não precisar
gastar fortunas com professores particulares.
 Também acredito que muito provavelmente você tem uma grande vontade de
saber como aplicar a Estatística na sua carreira Profissional, ampliando sua área
de atuação e se destacando de todos os seus concorrentes até chegar um
momento em que tenha que escolher o salário que deseja receber e trabalhar
na empresa que desejar, por conta da disputa das empresas por você, pois você
terá o que eles precisam.
CASOS REAIS
Com o dia a dia de mais de 6 anos ajudando alunos e professores, posso citar
vários e vários casos, como o do Alisson, estudante de Psicologia da UFPE que
enfrentava o problema de não conseguir entender as aulas da disciplina de Estatística.
Ele até que tentou bastante ler livros, mas não entendia pois a linguagem era muito
pesada para ele. A cada página que lia se sentia cada vez mais incapaz por não saber
nada de nada. Para entender a pesada teoria dos livros recorria à busca por
informações na internet, que também não davam resultado, pois um falava que
deveria fazer uma coisa outro dizia que o correto era fazer uma outra coisa e assim ele
ficava cada vez mais perdido sem saber como juntar tanta informação e sem saber
julgar qual informação era a correta e qual era a falsa, ficando ainda mais com dúvidas.
Alisson também tentava até participar das aulas da disciplina, mas como o professor
não dava atenção às dúvidas de cada aluno, a aula corria e ele continuava acumulando
suas dúvidas que o deixavam ainda mais deprimido, por tanta coisa estava sendo dita
em sala e nada era captado. Ele tentou ainda buscar professores particulares e depois
de tanto procurar encontrou alguns que não tinha tempo para ele e nem dominavam
exatamente o que ele precisava aprender.
Foi então que ele nos procurou e com toda a paciência trabalhamos no conteúdo que
ele precisava e de uma forma muito simples, ensinamos a ele o nosso Método de

Resolução passo a passo, onde ele foi capaz de resolver os exercícios de todas as
provas da disciplina. O resultado foi a tão desejada aprovação.
Poderia ficar aqui contando os casos reais das pessoas que me procuram com
os mesmos problemas e que tenho ajudado a todos a superarem estes problemas e
ainda passarem a ter amor pela Estatística.
O MÉTODO DE RESOLUÇÃO PASSO A PASSO
Este tal método que falo é a minha maneira particular de organizar os
conteúdos e a forma que tento conduzir sua mente para um aprendizado sistemático
através da organização das etapas em alguns passos principais, como uma receita de
bolo, onde qualquer pessoa poderá seguir os passos e ter sucesso nas provas da
disciplina. Você não encontrará este método em nenhum livro de Estatística, pois é
algo que desenvolvi com vários anos de estudo e aplicações em minhas consultorias.
O QUE VOCÊ VAI APRENDER NESTA SÉRIE DE APOSTILAS
Nesta série, você vai aprender como resolver as questões mais fáceis até as
mais difíceis que são possíveis questões de provas nos principais assuntos que
possivelmente você irá estudar.
Hoje iniciaremos com uma introdução, onde abordaremos:
Capitulo 1 – Para que preciso aprender isto. Neste capítulo vou te explicar como a
Estatística pode te ajudar a resolver aqueles seus problemas.
Capítulo 2 – O que a Estatística faz. Neste capítulo falaremos uma forma diferente
para você aprender de vez o que é Variável Quantitativa, Qualitativa, População,
Parâmetro, Amostra, Estimador e Estimativa.
Capítulo 3 – Medidas de Centralidade. Neste capítulo te dou detalhes de como você
entender o que significa Média, Moda e Mediana.

Capítulo 4 – Medidas de Dispersão. Neste capítulo vou te ensinar passo a passo como
calcular e interpretar as medidas: amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de
variação.
Em resumo, nosso objetivo é tirar você do Ponto A (onde você tem o problema
de não saber nada de Estatística) ao Ponto B (satisfação em saber como responder
questões de provas)
No final quero te fazer UM PEDIDO pessoal!
Ponto A
Nossa Série
Ponto B

1. “PÃRÃ QUE PRECISO ÃPRENDER
ISTO?”
Motivo emergencial: Eu irei me dirigirei a você sabendo que primeiro de tudo você qer
ser aprovado em Estatística e para isto você não precisa saber detalhes da teoria, mas
sim saber como resolver as questões da prova.
Um pouco mais além: ao mesmo tempo, Estatística é uma ferramenta, ela serve para
resolver problemas. Porém, a solução que ela fornece nenhuma outra ciência pode
dar. Dominar nem que seja o mínimo é se destacar no mercado. Com toda a certeza, o
profissional ou qualquer pessoa de um modo geral que nos dias atuais souber analisar
dados de forma estatística terá um futuro brilhante pela frente, pois tudo hoje tende
ao Big Date, ou seja, as empresas investem bastante recurso para registrar uma
imensidão de dados de operações de vendas ou administrativas para entender o
comportamento dos clientes, por exemplo. Você não precisa se formar em Estatística
para poder fazer uso desta ferramenta a seu favor. Você pode ganhar bastante
dinheiro na sua área de atuação, apenas se estiver alfabetizado nas principais técnicas
estatísticas. Este treinamento tem o objetivo de fazer com que você inicie do zero na
análise estatística de dados, fazendo uso do SPSS.
O aluno ou profissional que sabe fazer análises estatísticas é muito mais
disputado pelas melhores empresas e é apresentado aos melhores salários. O
professor ou pesquisar que conhece as principais técnicas estatísticas é certamente
mais ágil e pioneiro nas suas publicações e artigos.
Olhe ao seu redor, a concorrência é gigantesca, todos querendo serem
melhores do que os outros, e você vai ser apagado? Se destacar é uma questão de
SOBREVIVÊNCIA no mercado! Se destaque com o que as empresas precisam mais, se
destaque aprendendo tudo o que vamos te ensinar gratuitamente a partir de agora.

2. O QUE Ã ESTÃTISTICÃ FÃZ?
Basicamente a estatística estuda a variabilidade das coisas. Se tudo permanecer
igual, nada temos de interessante para estudar, pois já se sabe como será o futuro.
Porém, quando ocorre uma variabilidade (que sempre ocorre) ai sim, a Estatística
entra.
Um primeiro passo é saber o seu objetivo.
Objetivo
Tudo se começa com um objetivo. Antes mesmo de pesquisar os dados você
deve se perguntar “para que eu vou iniciar este negócio? O que que eu quero
mostrar?”. Imagine que você tem um interesse, digamos: “quero saber quanto ganha
em média um morador de Recife”. Pronto. Este é o seu objetivo. Para poder atingir
este objetivo você precisa definir seu universo:
Universo
De quem você quer saber a renda média? Renda familiar ou renda do chefe do
domicílio? De todos, inclusive homens e mulheres? Jovens, adultos, idosos? De que
faixa etária? Enfim, você deve ir buscando o seu “público alvo” da pesquisa, ou seja,
aqueles indivíduos (ou objetos) de maior interesse.
Digamos que você esteja interessado em saber a renda média dos chefes de
família residentes em Recife com idade entre 18 e 49 anos e de ambos os sexos. Este
é o seu universo.

Amostra
Normalmente não se tem tempo disponível e nem recursos suficientes para
pesquisarmos todos os indivíduos (ou objetos) da população, ou seja, você teria tempo
e dinheiro suficiente para entrevistar todos os residentes em Recife com idade entre
18 e 49 anos e de ambos os sexos e perguntar sobre suas rendas? Provavelmente não.
Então o que é que se faz? Escolhe-se (através de um processo de amostragem) uma
amostra (subconjunto) desta população, onde seja possível fazer a coleta de dados.
Digamos que por um processo de amostragem, foram sorteados alguns 3
bairros do Recife e neles algumas ruas foram sorteadas e nelas vamos em todas as
residências.
Variáveis e tipos
A variável é a informação que você vai coletar dos indivíduos na sua amostra.
Digamos que nas residências selecionadas na amostra, devemos perguntar quanto é a
renda do chefe da família. Por falar em variáveis, existem diferentes tipos:
 Variáveis Qualitativas: são aquelas que expressão qualidades, atributos. Por
exemplo, Sexo é uma variável com dois atributos: masculino ou feminino.
Outro exemplo é a variável Estado Civil que possui atributos como “casado”,
“solteiro”, “divorciado”, e etc. As variáveis qualitativas se dividem em duas:
o Variáveis qualitativas nominais: aquelas onde seus atributos não
possuem ordem, pois são apenas classificações nominais, ou seja, Sexo
“masculino” ou “feminino”, Estado Civil “solteiro”, “casado” ou

“divorciado”. Perceba que os atributos destas duas variáveis não
possuem ordem.
o Variáveis qualitativas Ordinais: são aquelas onde seus atributos estão
em uma determinada ordem lógica, por exemplo, Grau de Instrução:
nível fundamental incompleto, Nível fundamental completo, Nível
médio incompleto, Nível médio completo, Nível superior e etc. Perceba
que estes atributos estão em ordem.
 Variáveis quantitativas: são aquelas que expressão quantidade numérica,
exemplo, idade (34, 35, 60 anos), peso, altura e etc.
Parâmetros
É aquela medida que se tem interesse numa população, ou seja, como nosso
interesse é estudar a renda média dos chefes de família residentes no Recife, então
este parâmetro é esta renda média. Como é a renda média da população então ela é
desconhecida, pois você não vai entrevistar todos os indivíduos da sua população.
Estimadores
Como você não conhece o parâmetro populacional (a média, por exemplo), você
tenta aproximar pela média amostral (ou seja, somando tudo e dividindo pela
quantidade).Este cálculo foi para se aproximar do verdadeiro valor do parâmetro
procurado. Em outras palavras, todo o cálculo feito na amostra, com o objetivo de
chegar a uma aproximação do verdadeiro valor do parâmetro desconhecido,
chamamos de parâmetro.

Estimativas
Ela é um particular valor do estimador. Por exemplo, se procuramos saber a
renda média, e tentamos achar uma aproximação para ela por meio da média amostral
(somar todos os salários da amostra e depois dividir pelo tamanho da amostra) e se
obtivemos, por exemplo, que esta média amostral foi de R$ 980,00 então esta é uma
estimativa para a verdadeira renda média populacional. Consegue compreender?

3. Medidas de Centralidade
Conversamos que você deve ter uma amostra e com base nela você tem vários valores
da sua variável de interesse. Ex: uma amostra de 200 indivíduos onde cada um informa
a sua renda mensal. A partir disto, podemos como os dados se concentram, ou seja, os
dados se concentram em torno de qual valor?
MÉDIA
A média é a medida mais procurada pelos pesquisadores. Não tem segredos, de posse
dos números 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛 , pode-se calcular facilmente a média comando todos e
dividindo pela quantidade deles, ou seja:
𝑥̅ =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑛
Questão de prova 1. Em um determinado mês, o relatório administrativo de uma
empresa mostrou que os funcionários do departamento financeiro apresentavam as
idades de 21, 24, 20 e 35 anos. Um novo funcionário de 45 anos de idade será
contratado no mês seguinte e será alocado para o mesmo departamento. De quanto
será o aumento percentual na idade média dos funcionários do departamento
financeiro da empresa?

Resolução:
Passo 1: primeiro calcule a média do grupo inicial (antes da admissão do outro
funcionário):
𝑥̅ 𝑖 𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑛
=
21 + 24 + 20 + 35
4
=
100
4
= 25
Passo 2: agora calcule a média do novo grupo, ou seja, com o acréscimo do outro
funcionário:
𝑥̅ 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑛
=
21 + 24 + 20 + 35 + 45
5
=
145
5
= 29
Passo 3: verifique que a média no inicio era 𝑥̅𝑖 𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 25 𝑎𝑛𝑜𝑠, passando a ser
𝑥̅ 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 29 𝑎𝑛𝑜𝑠 , ou seja, a entrada do outro funcionário provocou um aumento de 4
anos na média. Este aumento (4 anos) representa quando (%) em relação ao 25?
4
25
𝑥100 = 16%
Portanto, a entrada deste funcionário causou um aumento de 16% na média das
idades do grupo.
Questão de prova 2. Com o objetivo de analisar o nível de glicose no sangue de um
grupo de 90 pacientes hipertensos, um exame de glicose foi realizado tendo então os
resultados postos numa tabela (abaixo). Existe um protocolo no hospital de que caso o
grupo de pacientes apresente nível médio de glicose acima de 110 mg/dL cada um dos
indivíduos deste grupo é imediatamente submetido a um exame mais rigoroso. Com
base nas medidas mostradas na tabela a seguir, você diria que todos passarão por este
novo exame mais detalhado?
Nível de glicose (mg/dL) Frequência
132 12
130 11
120 1
111 23

180 40
156 3
Total 90
Resolução
Passo 1: Entender a tabela. Como você percebe, existem 12 (frequência) pessoas com
nível de glicose de 132 mg/dL, 11 pessoas com nível de glicose de 130 mg/dL, uma
pessoa (frequência) com nível de glicose de 120 mg/dL e assim por diante. Então, é
como se você tivesse os seguintes dados:
132 132 132 132 132 .... 132 (12 vezes)
130 130 130 130 130 130 ... 130 (11 vezes)
120
111 111 111 111 ... 111 (23 vezes) ...
etc
A tabela foi uma forma de resumir estes dados.
Passo 2: foi dito que de acordo com o protocolo existente no hospital “um grupo de
pacientes que apresente nível médio de glicose acima de 110 mg/dL o grupo passará
por um exame mais aprofundado. Ou seja, precisamos calcular a média deste grupo e
ver se é maior do que este valor.
𝑥̅ =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑛
=
(132 + 132 + ⋯ + 132) + (130 + 130 + ⋯ + 130) + ⋯ + (156 + ⋯ + 156)
90
=
(132 𝑥 12) + (130 𝑥 11) + 120 + (111 𝑥 23) + ⋯ + (156 𝑥 3)
90
=
13355
90
= 148,4

Então, em média, estes pacientes possuem um nível de glicose de 148,4 mg/dL e como
é superior a média permitida, este grupo será sim encaminhado a um novo exame
mais detalhado.
MODA
É também uma importante medida de tendência central, onde o objetivo é identificar
o número que mais aparece.
Questão de Prova 3. Com base na tabela abaixo (a mesma da questão anterior)
encontre a moda.
Nível de glicose (mg/dL) Frequência
132 12
130 11
120 1
111 23
180 40
156 3
Total 90
Resolução
Passo 1: Como foi dito, você deve encontrar o número que mais se repete, e como a
tabela acima significa que por exemplo o número 132 aparece 12 vezes, o número 120
uma única vez e 156 aparece 3 vezes, etc. Desta forma temos que a moda é o número
180, pois é o que aparece mais (40 vezes).
Questão de Prova 4. Com base nos dados a seguir calcule a moda.
a) 5 7 7 7 9 12 14
A moda é 7, pois é o que mais se repete.
b) 5 7 7 7 9 9 9 12 14

A modas são 7 e 9 pois sãos os valores que mais se repetem.
c) 5 7 9 12 14 18 23
Não percebemos nenhuma repetição, logo não temos moda.
MÉDIANA
Esta é uma importante medida e tem duas situações: i) quanto a quantidade de
números é ímpar e ii) quando a quantidade de números é par.
1) n ímpar
Questão de prova 5. Em uma vistoria de qualidade numa fábrica de garrafas, o gestor
coletou uma amostra de 7 peças produzidas. Em cada uma das garrafas foi registrado o
diâmetro como mostra a tabela abaixo:
Garrafa Diâmetro(cm)
1 12,3
2 12,9
3 13,1
4 12,1
5 11,9
6 11,8
7 12,7
Calcule a mediana e interprete o seu valor.
Resolução
Passo 1: ordenar os dados. (Para a mediana, você precisa primeiro ordenar os dados).
11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1
Passo 2: verificar a quantidade dos números e ver se é par ou ímpar. Como n=7 é
ímpar, devemos seguir o seguinte processo:

Calcule n+1  n+1 = 7 + 1 = 8
Divida por 2  8/2 = 4
A mediana será o 4
o
número, ou seja:
1
o
2
o
3
o
4
o
11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1
Por isso que você precisa ordenar primeiro. Perceba que quando n é ímpar a mediana
é exatamente a posição central.
A interpretação para este valor é que 50% das garrafas possuem diâmetro abaixo de
12,3 cm
2) n par
Questão de prova 6. Imagina que o mesmo gestor de qualidade decide vistoriar mais 3
peças além das 7 primeiras:
1 12,3
2 12,9
3 13,1
4 12,1
5 11,9
6 11,8
7 12,7
8 14,5
9 16,9
10 13,7
Calcule a mediana e interprete o seu valor.
Resolução
Passo 1: ordenar os dados. (Para a mediana, você precisa primeiro ordenar os dados).
11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9

Passo 2: verificar a quantidade dos números e ver se é par ou ímpar. Como n=10 é par,
devemos seguir o seguinte processo:
Calcule
𝑛
2
=
10
2
= 5
A mediana será a média entre o 5
o
número e o próximo (6
o
), ou seja:
1
o
2
o
3
o
4
o
5
o
6
o
7o
8o
9o
10 o
11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9
Md =
(𝟏𝟐.𝟕 + 𝟏𝟐.𝟗)
2
=
25.6
2
= 12.8 cm
Perceba que quando n é par a mediana é a média das duas posições centrais. Você
pode interpretar este valor da seguinte forma: 50% das garrafas possuem diâmetro
abaixo de 12,8 cm.

4. Medidas de Dispersao
Além das medidas de centralidade, podemos entender os dados a partir de forma
como eles estão dispostos. Em outras palavras, essas medidas de dispersão vão nos
dizer se os números estão muito próximos ou muito distantes um dos outros.
AMPLITUDE
A amplitude é o campo de variação dos dados, ou seja:
A = Máximo – Mínimo.
Questão de prova 7. Ache a amplitude dos dados da tabela abaixo:
1 12,3
2 12,9
3 13,1
4 12,1
5 11,9
6 11,8
7 12,7
8 14,5
9 16,9
10 13,7
Resolução:
Colocando em ordem estes dados temos:
11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9
Então:
Amplitude = Max – Min = 16.9 – 11.8= 5.1

Logo a amplitude (ou campo de variação) é de 5,1 cm.
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
A Variância amostral (s2
) está mais relacionada à variabilidade geral dos dados e pode
ser calculada usando a expressão a seguir:
𝑉(𝑋) = 𝑠2
=
∑ (𝑥𝑖 − 𝑥̅)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
OU seja:
𝑉(𝑋) = 𝑠2
=
∑ (𝑥𝑖 − 𝑥̅)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
=
(𝑥1 − 𝑥̅)2
+ (𝑥2 − 𝑥̅)2
+ ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2
𝑛 − 1
Que nada mais é do que você pegar o primeiro número e diminuir ele da média, ou
seja, 𝑥1 − 𝑥̅ , depois eleva o resultado ao quadrado, ou seja (𝑥1 − 𝑥̅)2
.
Agora devemos fazer o mesmo para o segundo número, ou seja, o segundo número
menos a média 𝑥2 − 𝑥̅ , esse resultado eleva ao quadrado  (𝑥2 − 𝑥̅)2
.
Fazer isto com todos os números. Depois soma todos esses resultados:
(𝑥1 − 𝑥̅)2
+ (𝑥2 − 𝑥̅)2
+ ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2
E depois divide toda esta soma por n-1:
(𝑥1 − 𝑥̅)2
+ (𝑥2 − 𝑥̅)2
+ ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2
𝑛 − 1
Este é o valor da variância.
𝑠2
=
(𝑥1 − 𝑥̅)2
+ (𝑥2 − 𝑥̅)2
+ ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2
𝑛 − 1
Obs: alguns professores chamam a variância de s2
, outros chamam de Var(x) e outros
chamam 𝜎2
(“sigma 2”).

O desvio-padrão (s) é a raiz quadrada da variância:
𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √
(𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2
𝑛 − 1
Sabe o que significa o desvio padrão?
Imagine que você quer estudar a renda média de dois bairros: Boa Viagem e Casa
Forte. O bairro de boa viagem tem a área da orla da praia onde os salários são muito
altos e também no mesmo bairro existe uma comunidade carente onde existem
muitos salários bastante baixos. Ou seja, se você pegar uma amostra de pessoas deste
bairro você vai ter pessoas dizendo que ganham R$ 12.000, R$ 7.600 (orla) e também
pessoas dizendo que ganham R$450,00 ou R$ 890, (comunidade carente), por
exemplo. Em outras palavras, dentro deste bairro os valores estão bastantes distantes
um dos outros, ou seja, existe um desequilíbrio de valores, os valores estão bastante
heterogêneos.
O outro bairro (Casa Forte) é um bairro nobre no Recife, onde as pessoas recebem
mais ou menos a mesma coisa, ou seja, os valores de renda estão bastantes próximos
um dos outros e neste caso dizemos que estão pouco dispersos, mais homogêneos.
Esta forma como os dados estão distribuídos é chamada de dispersão dos dados que é
calculada pelo desvio padrão. Quando este desvio padrão é alto dizemos que os
números estão bastante dispersos um dos outros (como é o caso do bairro de Boa
Viagem) e quando o desvio padrão é baixo dizemos que os dados estão mais
concentrados, menos dispersos, mais homogêneos, mais próximos um dos outros.
Mas, o que é o desvio padrão baixo ou alto?
 Quando o desvio padrão estiver próximo da média dizemos que ele é alto e
consequentemente está acontecendo alta variabilidade dos dados.
 Quando o desvio padrão estiver muito abaixo da média dizemos que ele é
baixo e consequentemente os dados estão mais concentrados.

Mas, o que quer dizer “próximo” ou “longe” da média? Veremos no coeficiente de
variação...
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O coeficiente de variação vai te dizer o quanto (em percentual %) o desvio padrão se
aproxima da média. Se o coeficiente de variação for próximo de zero dizemos que o
desvio padrão é baixo e neste caso está acontecendo baixa variabilidade. Mas se o
coeficiente de variação for próximo de 100% significa que o desvio padrão é alto e
neste caso está acontecendo alta variabilidade dos dados. Outras classificações
também são apropriadas:
 Se o coeficiente de variação estiver entre 0% e 15% então dizemos que ocorre
uma variabilidade muito baixa;
uma variabilidade baixa;
uma variabilidade moderada;
variabilidade alta;
 Se o coeficiente de variação estiver entre 80% e 100% então dizemos que
ocorre a variabilidade alta;
Você pode calcular o Coeficiente de Variação dividindo o desvio padrão pela média,
depois multiplica o resultado por 100. Ou seja:
𝐶𝑉 =
𝑠
𝑥̅
.100

Questão de prova 8. Uma empresa de construção civil fabrica tijolos de acordo com a
exigência estabelecida de que estes tijolos devem suportar no mínimo uma força de
compressão média de 15 kg/cm2
e que o desvio padrão não deve ser superior a 10% da
média. Em um ensaio realizado em um lote de tijolos pelo Engenheiro da Qualidade do
cliente, foram registrados os seguintes dados de uma amostra de 5 tijolos, para sua
resistência à compressão em kg/cm2
:
12 11 10 9 8,5 11,5
a) Nestas condições, o Engenheiro da Qualidade aprovará ou reprovará o lote de
tijolos?
Passo 1. A exigência diz que a média deve ser de no mínimo 15 kg/cm2
, então devemos
calcular a média destes números:
𝑥̅ =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑛
=
62
6
= 10,3
Como você pode ver, a média é menor do que 15, logo este lote de tijolos será
rejeitado.
b) O que você tem a dizer sobre a dispersão das resistências?
Como vimos, a dispersão dos valores são explicadas pelo desvio padrão e pelo
coeficiente de variação.
Passo 1. Calcular o desvio padrão:
𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √
(𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2
𝑛 − 1
= √
(12 − 10,3)2 + (11 − 10,3)2 + (10 − 10,3)2 + (9 − 10,3)2 + (8,5 − 10,3)2 + (11,5 − 10,3)2
6 − 1
= √
9,83
5
= √1,967 = 1,4

Como você pode perceber o desvio padrão (1,4) é bem abaixo da média (10,3),
sugerindo então que possivelmente ocorre pouca variabilidade nas resistências.
Passo 2. Calcular o Coeficiente de variação:
𝐶𝑉 =
𝑠
𝑥̅
.100 =
1,4
10,3
.100 = 0,1359223 𝑥 100 = 13,6%
Como o CV é 13,6% dizemos que realmente os tijolos estão sendo produzidos com
uma resistência de dispersão baixa, ou seja, os tijolos produzidos possuem resistências
próximas.
Questão de prova 9. João deseja verificar o seu próprio desempenho nas provas de
Inglês e Português. As notas das suas provas recentes estão a seguir:
Inglês
1ª prova 3,5
2ª prova 7,8
3ª prova 9,3
4ª prova 5,1
Português
1ª prova 8,8
2ª prova 9,3
3ª prova 8,5
4ª prova 2,2
a) Em qual matéria ele em média saiu melhor?

Resolução:
Inglês
Média = 𝑥̅ 𝑖 𝑛𝑔𝑙ê𝑠 =
𝑥1+𝑥2+⋯+ 𝑥 𝑛
𝑛
=
3,5 + 7,8 + 9,3 + 5,1
4
=
25,7
4
= 6,42
Português
Média = 𝑥̅ 𝑝 𝑜𝑟𝑡𝑢𝑔𝑢ê𝑠 =
𝑥1+𝑥2+⋯+ 𝑥 𝑛
𝑛
=
8,8 + 9,3 + 8,5 + 2,2
4
=
28,8
4
= 7,2
Como percebemos, em média, o João foi melhor em Português, pois foi onde ele
obteve a maior média.
b) Em qual matéria obteve menor dispersão?
A dispersão dos dados é determinada pelo desvio padrão e pelo coeficiente de
variação. Você precisa calcular estas medidas para cada matéria:
Inglês
- Desvio padrão = 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √
(3.5−6.4)2+(7.8−6.4)2+(9.3−6.4)2+(5.1−6.4)2
4−1
= √
20,4675
3
= √6,8225 = 2,61
- CVingles=
𝑠
𝑥̅
.100 =
2,61
6,4
.100 = 0,2527734 𝑥 100 = 𝟐𝟓, 𝟑%
Português
- Desvio padrão = 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √
(8,8−7,2)2+(9,3−7,2)2+(8,5−7,2)2+(2,2−7,2)2
4−1
= √
33,66
3
= √11,22 = 3,35

- CVportugues=
𝑠
𝑥̅
.100 =
3,35
7,2
.100 = 0,4652778 𝑥 100 = 𝟒𝟔, 𝟓%
Como o Coeficiente de variação das notas de inglês é menor do que o coeficiente de
variação das notas de Português, concluímos que as notas de inglês estão mais
homogêneas, mais próximas uma das outras.

Ãnexo
Bom pessoal, esperamos que você tenha gostado da nossa aula. Meu objetivo é
fazer com que você aprenda facilmente a Estatística, sem muitas teorias e muito mais
exercícios. Isto facilita na hora de sua prova. Os conceitos que vimos são muito
importantes, pois é comum que exercício como estes que vimos caiam na sua prova.
Algumas dificuldades podem surgir na tentativa de fazer com que você dê o
seu primeiro passo:
i) Medo. Você pode até ficar com medo de estar fazendo certo ou não. O
medo não pode te impedir de avançar para o novo, o desconhecido,
pois é no novo que estão nossas maiores descobertas.
ii) Dúvidas. Você pode no caminho ter dúvidas de como fazer, mas
lembre-se que as dúvidas são um sinal de que você estará avançando. E
à medida que você for consumindo minhas novas aulas você irá tirando
suas dúvidas e tendo dúvidas cada vez mais interessantes à medida que
avança em nível de conhecimento estatístico, tendo cada vez mais
facilidade de obter boas notas nas suas provas de Estatística.
Posso citar o caso do Astier, um aluno meu que estava fazendo um doutorado
nos Estados Unidos e como o nível exigido era muito alto, ele fez de tudo, gastou
dólares com livros e muito tempo pesquisando na internet, mas nada disto deu
resultado. Ele continuava sem conseguir fazer as atividades solicitadas pelos seus
tutores. Foi ai que ele me procurou e fiz um acompanhamento com ele durante 2
meses, onde apliquei meu método de ensino passo a passo com ele e logo o mesmo
começou a ficar cada vez mais interessado em aprender mais sobre a Estatística, foi

assim que fizemos um aprofundamento em teorias e aplicações mais recentes da
Estatística.
O Resultado foi que ele além de ter notas 9,8 em Estatística no doutorado
naquela universidade nos Estados Unidos, ele ainda passou a amar a Estatística. Ou
seja, uma pessoa normal fazendo um doutorado em Psicologia em uma conceituada
faculdade americana, saiu do zero em Estatística para um aprofundamento que eu
mesmo não havia ministrado para ninguém ainda. Tudo isto foi possível por ter
aprendido facilmente conosco a Estatística.
Então? Mãos à obra!.
Gostaria de agradecer a você, pois sem você nada disto teria sido feito. Nos
próximos dias novas aulas serão lançadas com o objetivo de resolver outros exercícios
de provas que você possa enfrentar, pois o que queremos é que você consiga realizar
as provas com muito mais facilidade.
UM PEDIDO
Se você acha que fiz bem em te passar esta informação gratuitamente e
acredita que ela será um bom começo para você então faz um favor para mim, preciso
saber se estou de fato ajudando as pessoas a entenderem a Estatística:
 Deixa um comentário aqui... Este material te serviu em alguma coisa?
http://usaforbrazil.wix.com/consultoria#!gratis/c11sg
Que tal avançar ainda mais? Neste link acima você também terá acesso aos nossas
próximas aulas. Vamos lá?
Contatos para dúvidas:
www.usaforbrazil.wix.com/consultoria
consultoria-estatistica@hotmail.com

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