Livro 7e r_extensivo_mega

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ExtensivoMEGA 4
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Curitiba2019
LivrodoPROFESSOR|Matemática
PG19LP424SDM0_MIOLO_PVE19_4_MAT_LP.indb 1 27/05/2019 16:45:42

Todos os direitos reservados.
SAE DIGITAL S/A.
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Produção
© 2019 – SAE DIGITAL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem
autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
FICHA CATALOGRÁFICA
S132
SAE, Extensivo Mega: matemática, pré-vestibular: livro 4 : livro do professor /
SAE DIGITAL S/A. - 1. ed. - Curitiba, PR : SAE DIGITAL S/A, 2019.
80 p. : il. ; 28 cm.
ISBN 978-85-535-0824-2
1. Matemática - Estudo e ensino (Ensino Médio). 2. Matemática (Ensino Médio)
- Problemas, questões, exercícios. 3. Universidades e faculdades - Vestibular. I. Título:
Matemática, Pré-vestibular: Livro 4 : Livro do Professor. III. Título
CDD: 372.7
CDU: 373.3.016:510
Gerência editorial Luiz Henrique Pereira Mainardes
Coordenação editorial Tassiane Aparecida Sauerbier
Edição Anna Paula Chiarello Marcon, Eliane Peixoto de Lima, Janayna da Costa Goulart, Janile Oliveira,
Rodrigo Zeni Stocco
Revisão Ana Paula Gurki Ferraz, Brunno Freire da Silva Neto, Camille Chiquetti, GabrieleVarão da Costa, Juliana
Basichetti Martins, Katieli Silva, MarcelaVidal Machado, MarileneWojslaw Pereira Dias, Pãmela Leal,
Priscila de Jesus Sousa,Thainara Gabardo,Victor Augusto de LimaTruccolo
Cotejo AndreiaVidal, Laura Akemi, Mariana Chaves, Mariana Passarin, Mellanie Novais, Polyana Fonseca,
Sthefanie Lhorente
Coordenação processos Erica Fujihara
Processos Cleyton Dall’Agnol, Janio Junior, Raul Jungles
Coordenação qualidade Vanessa Marques Cabral dos Santos
Qualidade Bruna Ferreira Rodrigues, Everson de Lara Caetano, Henrique Sossélla, MarileneWojslaw Pereira Dias
Coordenação produção visual Mauricio Ragadalli
Iconografia Antonio Sevilha
Cartografia Júlio Manoel França da Silva
Ilustrações Deny Machado, Kássio Luiz Dias Nery
Arte da capa Kássio Luiz Dias Nery
Projeto gráfico Evandro Pissaia, Rafael Chueire
Diagramação André Lima, Evandro Pissaia, Bruno M. H. Gogolla, Gustavo RibeiroVieira, Jéssica Suelen de Morais,
Jéssica Xavier, Juliana Hiromi Saito, Kássio Luiz Dias Nery, Luisa Piechnik Souza, Maísa Leepkaln,
Mariana Oliveira, Mikhael Gusso, Nadiny da Silva, Ralph Glauber, Silvia Santos,Tarliny da Silva,Thiago
FigueiredoVenâncio
Autores Carolina de Almeida Santos Pinotti, Ednei Leite de Araújo, Maria Fernanda Martini Campagnaro
Créditos da capa Vadym Pasichnyk/Valery Brozhinsky/Shutterstock |Turing Archive/W. Commons
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Livro 7
Revisão 4
Frente A
Frente B
Frente C
Frente A
Frente B
Frente C
Índice

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DIGITAIS
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DIGITAIS
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• No aplicativo, insira seu login e senha
(aluno e responsável, conforme cadas-
tro da escola).
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e faça o
SAE NOTIFICA.
No aplicativo, insira seu login e senha
(aluno e responsável, conforme cadas-
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T;
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SIMULADOR – TABELA PERIÓDICA

7
Extensivo
MEGA
Livro
Sumário
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Matemática
Frente A
Polinômios II 165
Equações algébricas 169
Equações algébricas: relações de Girard 173
Equações algébricas: transformações e
equações recíprocas 177
Frente B
Operações com arcos II 181
Equações e inequações trigonométricas 185
Juros simples 189
Juros compostos 194
Frente C
Distância entre ponto e
reta e área de um triângulo 199
Equações da circunferência 204
Circunferência: posições relativas 209
Cônicas 215

Frente A | Livro
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Frente A
165
PVE19_7_MAT_A_25
7
VERSÃO 3.3
Método da chave
Dados dois polinômios P(x) e D(x), de graus p e q respec-
tivamente, ao dividirmos P(x) por D(x) encontramos dois poli-
nômios Q(x) e R(x), denominados quociente e resto respecti-
vamente, que satisfazem à:
P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x)
Em que:
● o grau de R(x) deve ser menor que o grau de D(x);
● ou R(x) = 0.
Então,
● se gr(P) < gr(D), então Q(x) = 0 e R(x) = P(x).
● se gr(P) ≥ gr(D), a divisão pode ser efetuada pelo seguin-
te algoritmo denominado método da chave:
I. ordenam-se P(x) e D(x) segundo as potências decres-
centes de x, inclusive com os termos do dividendo que
possuem coeficiente 0;
II. divide-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro termo
de D(x), obtendo-se o primeiro termo do quociente;
III. multiplica-se D(x) pelo primeiro termo do quociente e
subtrai-se o resultado de P(x), obtendo-se o primeiro
resto parcial;
IV. com o primeiro resto parcial e o divisor D(x) repetem-se
as operações, obtendo-se o segundo termo do quocien-
te, e assim sucessivamente, até encontrar um resto de
grau menor que o divisor.
9 Exemplo:
Calcule a divisão de (x3
+ 2x -1) por (x2
+ x + 2)
Solução:
x3
+ 0x2
+ 2x − 1 x2
+ x + 2
−x3
− x2
− 2x x − 1
-x2
+ 0x − 1
x2
+ x + 2
x + 1
Dessa forma, Q(x) = x − 1 e R(x) = x + 1.
Observação
O grau do quociente é a diferença dos graus do dividendo e
do divisor.
gr(Q) = gr(P) - gr(D)
No exemplo acima o quociente tem grau 3 - 2 = 1.
Método de Descartes
A divisão de polinômios também pode ser efetuada pelo
método de Descartes, que é uma aplicação da identidade de
polinômios. Nesse método, parte-se da expressão
P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x), em que
gr(Q) = gr(P) - gr(D) e gr(R)MAX = gr(D) - 1.
O quociente e o resto são obtidos igualando-se os coefi-
cientes dos dois lados.
9 Exemplos:
1) Divida P(x) = x4
+ 2x3
+ 3x2
+ 4x + 5 por D(x) = x3
+ 1, a fim de
encontrar Q(x) e R(x).
Solução:
Supondo Q(x) = ax + b e R(x) = cx2
+ dx + e, temos:
P(x) = Q(x)·D(x) + R(x)
x4
+ 2x3
+ 3x2
+ 4x + 5 = (ax + b)·(x3
+ 1) + (cx2
+ dx + e) ⇒
⇒ x4
+ 2x3
+ 3x2
+ 4x + 5 = ax4
+ bx3
+ cx2
+ (a + d)x + (b + e)
a = 1
b = 2
c = 3
a + d = 4 ⇒ d = 3
b + e = 5 ⇒ e = 3
⇒ Q(x) = x + 2 e R(x) = 3x2
+ 3x + 3
2) Determine os valores de p e q de modo que x3
− 6x2
+ px − 1 seja
divisível por x2
+ 3x − q.
Solução:
Devemos fazer o resto R(x) = 0 e adotar um quociente
Q(x) = ax + b do primeiro grau. Assim,
x3
− 6x2
+ px − 1 = (x2
+ 3x − q) · (ax + b) ⇒
⇒ x3
− 6x2
+ px − 1 = ax3
+ (b + 3a)x2
+ (3b − aq)x −bq
Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos:
● a = 1
● b + 3a = - 6 ⇒ b + 3 · 1 = - 6
b + 3 = - 6 ⇒ b = - 6 - 3
b = - 9
● 3b - aq = p ⇒ 3 · (- 9) - 1 · q = p
- 27 - q = p ⇒ p + q = - 27
● - bq = - 1 - (- 9) q = - 1
9q = - 1 ⇒ q = -
1
9
● p + q = - 27
p = - 27 - −






1
9
= −
242
9
Logo, p = −
242
9
e q = −
1
9
Método da chave • Método de Descartes •
Dispositivo de Briot-Ruffini
Métodos da chave,
e Teorema de d’Alembert
Polinômios II

Matemática
166
PVE19_7_MAT_A_25
Um polinômio identicamente nulo é aquele que é nulo
para qualquer valor da variável e tem todos os seus coeficien-
tes iguais a zero.
Importante
Se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes, ele é
identicamente nulo.
Teorema do Resto (ou de d’Alembert)
O resto da divisão de um polinômio P(x) por ax + b,
a 0, i ua a P
−






b
a
.
Demonstração
Na divisão de P(x) por ax + b o resto deve ter grau zero.
Assim, podemos dizer que a divisão terá um quociente Q(x) e
resto R(x) (R = constante). Logo,
P(x) = (ax + b) ⋅ Q(x) + R(x) ⇔ P(x) = (ax + b) ⋅ Q(x) + R
Fazendo x = -
b
a
,
P
b
a
a
b
a
b Q
b
a
R R P
b
a
−





 = −





 +





 −





 + ⇔ = −






⋅
9 Exemplo:
Calcule o resto de P(x) = x3
+ x2
+ x + 1 por x + 1.
Solução:
Em x + 1 temos a = 1 e b = 1. Então −
b
a
= − = −
1
1
1.
O resto será P(−1) = (−1)3
+ (−1)2
+ (−1) + 1 = 0.
Logo, 0 é o resto de P(x).
Teorema: o polinômio P(x) é divisível por ax + b, com
a 0 se, e somente se, P
−






b
a
= 0.
9 Exemplo:
Determine m para que o polinômio P(x) = x3
+ 2x2
+ mx -10 seja
divisível por x - 2.
Solução:
Em x - 2 temos a = 1 e b = - 2. Então: − = −
−
( ) =
b
a
2
1
2
P(2) = 23
+ 2 ⋅ 22
+ m ⋅ 2 - 10 = 0 ⇒ m = -3
Podemos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir
um polinômio de grau maior ou igual a 1 por um binômio do
tipo x - a. Esse dispositivo consiste em realizar a divisão efe-
tuando cálculos com os coeficientes.
b er e di idir 2x3
- 5x2
+ 3 - 4 r - 2
por meio do dispositivo de Briot-Ruffini.
● Posicionamos a raiz do divisor e os coeficientes do divi-
dendo observando a ordem decrescente dos expoentes
de x do polinômio completo:
Raiz do
divisor
Coeficientes do dividendo
2
2
−5 3 −4
● O coeficiente do primeiro termo do quociente é igual ao
coeficiente do primeiro termo do dividendo:
2
=
2
2
−5 3 −4
● Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente que foi
repetido e adicionamos o produto encontrado ao se-
gundo coeficiente do dividendo:
2
x
+
2
2
−5
−1
2 · 2 + (−5)
3 −4
● Agora, multiplicamos a raiz do divisor pelo número es-
crito abaixo do segundo coeficiente e adicionamos o
resultado encontrado com o terceiro coeficiente, escre-
vendo o número encontrado abaixo e assim sucessiva-
mente:
2
2
x
+
2
−5
−1
2 · (−1) + 3
3
1
−4
● O último número encontrado é o resto da divisão:
2
2
+
2
−5
−1
2 · 1 + (−4)
3
1
−4
−2
x
Temos, então: Q(x) = 2x2
- x + 1 e R(x) = -2.
9 Exemplo:
Determine a e b para que o polinômio x3
− ax2
+ bx − 10 seja
divisível por (x + 2)(x − 1).
Solução:
Aqui, aplicaremos o dispositivo duas vezes:
1 −a b −10
−2 1 −2 −a 4 + 2a + b −18 − 4a − 2b = 0
1 1 −1 −a a + b + 3 = 0
4 2 18
3
4 2 18
3
6 3
a b
a b
a b
a b
a b
+ = −
+ = −



⇒
+ = −
= − −



⇒ = − =
e .

Frente A | Livro 167
7
PVE19_7_MAT_A_25
Resolvidos
1. (ESPM) O resto da divisão do polinômio x x
5 2
3 1
− + pelo polinômio
x2
1
− é
a) x - 1.
b) x + 2.
c) 2x - 1.
d) x + 1.
e) x - 2.
9 Solução: E
Dividindo x x
5 2
3 1
− + por x2
1
− , obtemos
x x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x
5 2 2
5 3 3
3 2
3
2
2
3 1 1
3
3 1
3 1
3 3
2
− + −
− + + −
− +
− +
− + +
−
−
Portanto, o resto é x − 2.
2. (UEG) A divisão do polinômio x x x
3 2
2 5 6
+ − − por x x
+
( )( )
1 2
−
é igual a
a) x - 3.
b) x + 3.
c) x - 6.
d) x + 6.
9 Solução: B
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini obtemos:
1 2 5 6
1 1 1 6 0
2 1 3 0
- -
- -
Logo, x x x x x x
3 2
2 5 6 1 2 3
+ − − = + − +
( )( )( ) e, portanto, a divisão do
polinômio x x x
3 2
2 5 6
+ − − por ( )( )
x x
+ −
1 2 é igual a x +3.
3. (Ibmec) Se o resto da divisão do polinômio P(x) = x3
+ ax + b
pelo polinômio Q(x) = x2
+ x + 2 é igual a 4, então podemos
afirmar que a + b vale
a) 2.
b) -2.
c) 3.
d) -3.
e) 4.
9 Solução: C
a – 1 = 0. Logo, a = 1.
b + 2 = 4. Logo, b = 2.
x x ax b x x
x x x x
x a x b
x x
a x b
3 2 2
3 2
2
2
0 2
2 1
0 2
2
1
+ + + + +
− − − −
− + − +
+ +
− + +
( )
( ) ( 2
2)
⇒





Portanto, a + b = 3.
Praticando
1. Responda aos itens a seguir.
a) Para que a divisão do polinômio p(x) = x5
- 2x4
- x + k por
q(x) = x - 1 deixe resto zero, o valor de k deve ser igual a quanto?
b) O resto da divisão do polinômio p(x) = x3
+ 2x2
- 3x + k por
x + 1 é igual a 3. Encontre o valor de k.
2. Responda aos itens a seguir.
I. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4
- 4x3
+ x - 1 por
Q(x) = 4x3
+1 é
a) x - 5.
b) x - 1.
c) x + 5.
d) 4x - 5.
e) 4x + 8.
II. (UFRGS) A divisão de P(x) por x2
+ 1 tem quociente x - 2 e resto
1. O polinômio P(x) é:
a) x2
+ x - 1.
b) x2
+ x + 1.
c) x2
+ x.
d) x3
- 2x2
+ x - 2.
e) x3
- 2x2
+ x - 1.
3. (UFSJ) Considere os polinômios:
p x x x x x r x x e q x
p x
r x
( )= + − − + ( )= + ( )=
( )
( )
4 3 2
3 2 2 12 2
, .
Sobre as raízes da equação q(x) = 0, é correto afirmar que
a) a soma de todas as raízes é igual a -1.
b) duas das raízes são inteiras.
c) duas das raízes são números complexos, um localizado no 1.º
quadrante e outro localizado no 3.º quadrante do plano de
Argand-Gauss.
d) a soma das raízes inteiras é 2.

Matemática
168
PVE19_7_MAT_A_25
Desenvolvendo Habilidades
1. C5:H21 (FMP-2016) Seja f:  →  a função polinomial definida
por f(x) = x4
- 3x3
+ 3x - 9. O fato de x = 3 ser um zero da função f é
equivalente ao fato de o polinômio x4
- 3x3
+ 3x - 9 ser divisível por
a) x2
- 9.
b) x + 3.
c) 3.
d) x - 3.
e) x.
2. C5:H21 (Unicamp-2017) Considere o polinômio p(x) = xn
+ xm
+1, em
que n > m ≥ 1. Se o resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual a 3, então
a) n é par e m é par.
b) n é ímpar e m é ímpar.
c) n é par e m é ímpar.
d) n é ímpar e m é par.
3. C5:H21(Unesp-2014)OpolinômioP(x)=a·x3
+2·x+bédivisívelpor
x - 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto -45. Nessas condições,
os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) -1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e -12.
4. C5:H21 (CEFET-MG-2016 - adap.) Se uma das raízes do polinômio
P(x) = x4
- 8x2
+ ax + b é 2 e P(1) = 9, então o valor de a5
- 4b é
a) -64.
b) -28.
c) 16.
d) 24.
e) -16.
5. C5:H21(UFRGS-2012)Se2éraizdupladopolinômiop(x) = 2x4
- 7x3
+
+ 3x2
+ 8x - 4, então a soma das outras raízes é
a) -1.
b) -0,5.
c) 0.
d) 0,5.
e) 1.
6. C5:H21 (Unicamp-2016 - adap.) Considere o polinômio cúbico
P(x) = x3
+ x2
- ax - 3, em que a é um número real. Sabendo que r e
−r são raízes reais de p(x), podemos afirmar que p(1) é igual a
a) 3.
b) 1.
c) -2.
d) -4.
e) 0.
7. C5:H21 (UECE-2017) O resto da divisão de (264
+ 1) por (232
+ 1) é
igual a
a) 1.
b) 0.
c) 4.
d) 2.
e) 3.
8. C5:H21 (UEG-2016) Na divisão do polinômio 6x4
- 2x3
- 8x2
+ 10x - 2
pelo divisor x2
+ 3x - 2, o resto multiplicado por 2 é
a) -222x2
+ 252.
b) 444x2
+ 252.
c) -444x + 252.
d) 222x + 252.
e) -444x2
- 252.
9. C5:H21 (UECE-2016) O resto da divisão de (x2
+ x + 1)2
por x2
- x +1 é
a) 4x.
b) 4(x - 1).
c) 4(x - 2).
d) 4(x - 3).
e) 4(x - 4).
10. C5:H21(FGV-2016)UmdosfatoresdopolinômioP(x)=x3
+2x2
-5x -6
é (x + 3). Outro fator desse polinômio é
a) (x + 8).
b) (x - 5).
c) (x + 4).
d) (x - 1).
e) (x + 1).
Complementares
1. (UERN-2013) O produto entre o maior e o menor dos coeficientes
do quociente da divisão de P(x) = 6x5
+ 3x4
+ 5x3
- 2x2
- 4x + 5 por
D x x x
( ) = −
3 2
3
é
a) 3. b) 4. c) -2. d) -5.
2. (UEPB-2013) Os valores de m e n para os quais a expressão
5 8
2
4 2
2
x x mx n
x
+ + +
+
seja um polinômio são, respectivamente:
a) 2 e -4.
b) 0 e -2.
c) 0 e -4.
d) 2 e 4.
e) 8 e -4.
3. (ESPM-2014) O trinômio x ax b
2
+ + é divisível por x + 2 e por x - 1.
O valor de a - b é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
4. (UERN-2012)Ovalordenparaqueadivisãodopolinômio p(x) = 2x3
+
+5x2
+x+17pord(x)=2x2
+nx+4tenharestoiguala5éumnúmero
a) menor que -6.
b) negativo e maior que -4.
c) positivo e menor que 5.
d) par e maior que 11.
5. (UEL) O polinômio p x x x ax a
( )= + − −
3 2
3 4 é divisível pelo polinô-
mio q x x x
( )= − −
2
4 . Qual o valor de a?
a) a = −2
b) a = −1
c) a = 0
d) a = 1
e) a = 2
6. (IFAL-2011) Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio
( )( )( )
x x x
− − −
2 4 5 obtém-se resto x + 3. Se os restos das divisões
de p(x) por x x
− −
2 4
, e x −5 são, respectivamente, os números
A, B e C, então ABC vale
a) 100.
b) 180.
c) 200.
d) 280.
e) 360.
7. (EsPCEx/AMAN-2015) O polinômio f x x x x
( ) ,
= − + +
5 3 2
1 quando
dividido por q x x x
( ) = − +
3
3 2, deixa resto r(x). Sabendo disso, o
valor numérico de r(-1) é
a) -10.
b) -4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
8. (EPCAr/AFA-2011) Sobre o polinômio A(x) expresso pelo determi-
nante da matriz
x
x
x x
1 1
1 2
1
−










, é incorreto afirmar que
a) não possui raízes comuns com B x x
( )= −
2
1.
b) não possui raízes imaginárias.
c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes.
d) é divisível por P x x
( )= +2.
9. (UEPG) Com base nas assertivas a seguir, assinale o que for correto.
(1) Se P(x) = (2p + q - 1)x3
+ (p + q)x é um polinômio identica-
mente nulo então p - q = 2.
(2) Os polinômios P(x) = (x + a)2
- (x + a)(x - b) e Q(x) = 2x - 3
são idênticos. Então a e b valem, respectivamente, −
3
2
7
2
e .
(3) Os polinômios P(x) = 4x3
+ ax2
- 3x; Q(x) = mx2
+ nx e R(x)
= 2x -1 são tais que P(x) = Q(x) · R(x). Então a + m + n = 9.
(4) Se f e g são polinômios de grau n então os graus de f + g e f·g
são, respectivamente, 2n e n2
.
(5) O polinômio Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - c)(x - d) é divisível por
R(x) = x2
- 7x + 12. Então c + d = 7.
Soma ( )
10. (Fuvest) Considere o polinômio não nulo
P(x) = a0 + a1x + a2x2
+... + anxn
emquea0,a1,a2,...,an estãoemprogressãogeométricaderazãoq≠0.
a) Calcule P
q
1





 .
b) Mostre que, para n par, o polinômio P(x) não tem raiz real.
GABARITO ONLINE
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Frente A
169
PVE19_7_MAT_A_26
7
Denominamos equação algébrica ou equação polino-
mial de grau n toda equação da forma:
anxn
+ an–1 xn–1
+ a 2x 2
+ ... + a1x + a0 = 0
em que a0, a1, ..., an são chamados coeficientes e podem ser
números reais ou complexos, com n e an 0.
O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equa-
ção algébrica, no conjunto universo U, é o subconjunto de U
que contém as raízes da equação.
Duas equações são ditas equivalentes em U quando
apresentam o mesmo conjunto solução nesse domínio.
Teorema fundamental
da Álgebra
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demonstrou satisfa-
toriamente pela primeira vez o teorema fundamental da
Álgebra, em 1798.
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O teorema afirma que:
T da e ua i ia de rau 1 ad ite a e
uma raiz complexa.
Segundo Gauss, são consequências desse resultado:
1) toda equação polinomial de grau n admite exatamente
n raízes complexas;
2) todo polinômio P(x) = anxn
+ a 1x 1
+ a 2x 2
+ ... +
+ a1x + a0 de grau n pode ser colocado na forma fatorada:
P(x) = an · (x - r1) · (x - r2) · ... · (x - rn),
em que r1, r2, ..., rn são as raízes de P(x);
3) se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes,
então ele é identicamente nulo.
9 Exemplo:
Verificar que 1 é raiz de P(x), em que P(x) = x3
- 3x2
+ 4x - 2,
obter as outras raízes e obter a forma fatorada de P(x).
Solução:
Podemos aplicar diretamente o dispositivo de Briot-Ruffini:
1 −3 4 −2
1 1 −2 2 0
Como o resto da divisão por x -1 é 0, então 1 é raiz de P(x).
O quociente é q(x) = x2
- 2x + 2, cujas raízes são 1 i.
Como as raízes são 1, 1+ i e 1 - i, tem-se que a forma fatorada
procurada é P(x) = (x - 1)⋅(x - 1 - i)⋅(x -1 + i).
Multiplicidade de uma raiz
Dizemos que r é raiz de multiplicidade m (m ≥ 1) da equa-
ção P(x) = 0 se, e somente se,
P(x) = (x - r)m
⋅ Q(x) e Q(r) 0,
ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0 quando o po-
linômio P é divisível por (x - r)m
e não é divisível por (x - r)m+1
.
Quando m = 1, dizemos que r é uma raiz simples; quando
m = 2, dupla; quando m = 3, tripla; e assim por diante.
9 Exemplos:
1) erificar qual a multiplicidade da raiz −3 na equa o
x4
+ 6x3
+ 11x2
+ 12x + 18 = 0.
Solução:
Para determinar a multiplicidade da raiz –3, dividimos o poli-
nômio x4
+ 6x3
+ 11x2
+ 12x + 18 = 0 sucessivas vezes por 3.
1 6 11 12 18
−3 1 3 2 6 0
−3 1 0 2 0
−3 1 −3 11
Observe que as divisões são exatas nas duas primeiras opera-
ções do dispositivo, isto é, a equação possui duas raízes reais
iguais a 3 e uma raiz diferente de 3.
Fazendo a decomposição de P(x):
P(x) = x4
+ 6x + 11x + 12x + 18
P(x) = (x + 3) · (x + 3x + 2x + 6)
P(x) = (x + 3) · (x + 3) · (x + 2)
P(x) = (x + 3) · (x + 2)
Portanto, –3 é a raiz de multiplicidade 2 ou a raiz dupla da
equação.
Teorema fundamental da Álgebra • Multiplicidade de uma raiz •
Pesquisa de raízes
Equações Polinômicas
ou Algébricas
Equações algébricas

Matemática
170
PVE19_7_MAT_A_26
2) Qual o grau de uma equa o polinomial P(x) = 0 cujas raízes
são 3, 2, -1 com multiplicidades , 6 e 10, respectivamente
Solução:
P(x) = k ⋅ (x - 3)7
⋅ (x - 2)6
⋅ (x + 1)10
, com k * ⇒ gr(P) = 23
(pois + 6 + 10 = 23).
Pesquisa de raízes
Raízes racionais de equações
com coeficientes inteiros
Se r =
p
q
, com p e q inteiros e primos entre si, é uma raiz
racional da equação de coeficientes inteiros dada por
anxn
+ a 1x 1
+ a 2x 2
+ ... + a1x + a0 = 0 com an 0,
então p é divisor de a0 e q é divisor de an.
9 Exemplo:
Verificar se a equação 2x3
+ x2
+ x − 1 = 0 admite raízes racionais.
Solução:
As possíveis raízes da equação são dadas por:
p
q
x = ⇒ p 1, −1 e q 1, −1, 2, −2
p
q
x = ⇒
p
q
1 1
1
2
1
2
, , ,
− −






p(x) = 2x3
+ x2
+ x − 1
p(1) = 3 p(−1) = −3 p
1
2





 = 0; p
1
2





 = −
3
2
Logo, a única raiz racional da equação é
1
2
.
Raízes complexas de equações
com coeficientes reais
Se um complexo z = a + bi, com a e b e b 0, é raiz
de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o con-
jugado z = a – bi também é raiz da equação.
Como consequências desse teorema:
1) toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ím-
par admite pelo menos uma raiz real;
2) Teorema do conjugado: se o complexo z é raiz de mul-
tiplicidade m de uma equação algébrica de coeficientes
reais, então o conjugado z também é raiz de multiplici-
dade m da equação.
9 Exemplo:
Resolver a equação x4
+ 4x3
– 17x2
+ 26x 14 = 0 sabendo que
1 – i é uma de suas raízes.
Solução:
Como se trata de uma equação de coeficientes reais, se 1 – i é raiz,
então 1 + i também é raiz.
Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:
1 4 −1 26 −14
1 − i 1 − i −13 − 6i 7 + 7i 0
1 + i 1 6 − 0
x2
+ 6x − = 0 ⇒ raízes: x = 1 ou x = −
= 1, − , 1+ i, 1− i .
Resolvidos
1. Sabendo que 3 é uma raiz do polinômio p(x) = x4
– 3x2
+ kx – 9,
determine o valor de k.
9 Solução:
Se 3 é uma raiz de p(x), tem-se que p(3) = 0. Logo,
34
– 3(3)2
+ 3k – 9 = 0
81 2 + 3 = 0
3k = 45
k = 15
2. (UFRGS-2014) Considere os polinômios p x x
( ) 3
e q x x x
( ) .
= +
2
O número de soluções da equação p x q x
( ) ( ), no conjunto dos
números reais, é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
9 Solução: D
p x q x
x x x
x x x
( ) ( )
( )
=
= +
⋅ − − =
3 2
2
1 0
Tem-se, então, duas equações:
x =0 (já resolvida) ou x x
2
1 0
− − = (com discriminante ∆ = 5, portan-
to, com duas raízes distintas).
Assim, o número de soluções da equação p x q x
( ) ( )
= é 3.
3. (UFPE) Determine o polinômio com coeficientes reais p x ax bx cx
( ) = + +
3 2
,
p x ax bx cx
( ) = + +
3 2
, tal que p x p x x
+
( ) − ( ) =
1 6 2
, e indique a b c
2 2 2
+ + .
9 Solução:
Temos:
p x a x b x c x
ax a b x a b c x a b
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ = + + + + +
= + + + + + + +
1 1 1 1
3 2 3 2
3 2
3 2
+
+c.
Logo,
p x p x x ax a b x a b c x
( ) ( ) ( ) .
+ − = ⇔ + + + + + =
1 6 3 3 2 6
2 2 2
Para que a identidade se verifique, devemos ter:
3 6
3 2 0
0
2
3
1
a
a b
a b c
a
b
c
=
+ =
+ + =





⇔
=
= −
=





Portanto, p(x) =2x3
- 3x2
+x e a2
+ b2
+ c2
= 22
+ (-3)2
+ 12
= 14.
Praticando
1. Determine quais são as raízes da equação algébrica:
x x x x
−





 +





 −
( ) −
( )=
1
2
2
7
2 21 0
5 3
0 2
e determine a multiplicidade de cada uma delas.

7
PVE19_7_MAT_A_26
2. Uma equação algébrica possui como raízes i2
, 7i, i + 14 e –6 – i. Qual
é o menor grau possível dessa equação algébrica?
3. (Unesp) Sabe-se que, na equação x x x
3 2
4 6 0
+ + − = , uma das
raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta
equação é
a) S = {–3, –2, –1}.
b) S = {–3, –2, +1}.
c) S = {+1, +2, +3}.
d) S = {–1, +2, +3}.
e) S = {–2, +1, +3}.
1. C5:H21 (UECE-2017–adap.) Sejam P(x) = x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ x +1 um
polinômio e M o conjunto dos números reais k tais que P(k) = 0. O
número de elementos de M é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
2. C5:H21 (UECE-2016) O polinômio de menor grau, com coeficientes
inteiros, divisível por 2x – 3, que admite x = 2i como uma das raízes
e P(0) = –12 é
(Dado: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1.)
a) P(x) = 2x3
– 3x2
– 8x – 12.
b) P(x) = 2x3
+ 3x2
– 8x – 12.
c) P(x) = –2x3
– 3x2
– 8x – 12.
d) P(x) = 2x3
– 3x2
+ 8x – 12.
3. C5:H21 (FGV-2013) A equação x−
=
4
16 tem
a) duas raízes reais e duas raízes imaginárias conjugadas.
b) pelo menos duas raízes iguais.
c) uma única raiz imaginária.
d) quatro raízes reais.
e) quatro raízes cujo produto é −
1
4
.
4. C5:H21 (UFRGS-2012) Considere o polinômio:
p(x) = x4
+ 2x3
– 7x2
– 8x + 12.
Se p(2) = 0 e p(–2) = 0, então as raízes do polinômio p(x) são
a) –2, 0, 1 e 2.
b) –2, –1, 2 e 3.
c) –2, –1, 1 e 2.
d) –2, –1, 0 e 2.
e) –3, –2, 1 e 2.
5. C5:H21 (IFCE-2016) Para certos valores reais de p e q, a equação
(x – 1) · (x2
+ p · x + q) = 0 possui apenas uma solução real. Nessas
condições, é verdade que
a) q < 0 < p.
b) p < 0 < q.
c) 0 < p < q.
d) p < q < 0.
e) 0 = q < p.
6. C5:H21 (PUC-Rio-2016) Considere o polinômio p(x) = x2
+ bx + 3 e
assinale a alternativa correta.
a) O polinômio tem pelo menos uma raiz real para todo b .
b) O polinômio tem exatamente uma raiz real para b = 12.
c) O polinômio tem infinitas raízes reais para b = 0.
d) O polinômio não admite raiz real para b = +
1
1
3
.
e) O polinômio tem exatamente três raízes reais para b = .
7. C5:H21 (UFSM-2015) Para avaliar as vendas em 2013, o setor de
planejamento de uma empresa utilizou a função polinomial
N(t) = t3
– 21t2
+ 126t + 304
em que N representa o número de tablets vendidos no mês t, com
t = 1 correspondendo a janeiro, t = 2 correspondendo a fevereiro
e assim por diante.
De acordo com os dados, o número de tablets vendidos foi igual a
480 nos meses de
a) fevereiro, julho e novembro.
b) fevereiro, agosto e novembro.
c) fevereiro, agosto e dezembro.
d) março, agosto e dezembro.
e) março, setembro e dezembro.
8. C5:H21 (Mackenzie-2015) Seja P(x) = 2x3
– 11x2
+ 17x – 6 um poli-
nômio de 3.º grau e 2x – 1 um de seus fatores. A média aritmética
das raízes de P(x) é
a)
7
2
b)
8
2
c)
9
2
d)
10
2
e)
11
6
9. C5:H21(EsPCEx/AMAN-2016)SendoRamaiordasraízesdaequação
11 6
4
2
x
x
x
+
−
= , então o valor de 2R – 2 é
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.

Matemática
172
PVE19_7_MAT_A_26
Complementares
1. (UEPB-2013) O produto entre as raízes da equação x4
+3x2
+2=0 é:
a) 2.
b) 1.
c) 2.
d) –1.
e) 2i.
2. (UECE-2015) Se os números 2 + i, 2 – i, 1 + 2i, 1 – 2i e 0,5 são as raízes
da equação 2x5
+ px4
+ 42x3
– 78x2
+ 80x + q = 0, então o valor de
p + q + pq é
a) 287.
b) 278.
c) 297.
d) 279.
3. (UECE-2009) Se os polinômios
P x
x n m
nx x
( ) 2
1 1 1
2
e Q(x) = x3
– 4x2
+ x + 4 são idênticos, então o valor de m
n
é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
4. (IME-2013)Ospolinômios P x x ax
( )= + +
3 2
18 e Q 12
3
x x bx
( )= + +
possuem duas raízes comuns. Sabendo que ae bsão números reais,
pode-se afirmar que satisfazem à equação
a) a = b.
b) 2a = b.
c) a = 2b.
d) 2a = 3b.
e) 3a = 2b.
5. (ACAFE-2014) Sobre equações algébricas, considere as seguintes
afirmações:
I. Na equação 2 9 10 3 0
3 2
x x x
− + − = , sabendo que a, b e c são
raízes reais, o valor de log1
9
1 1 1
ab bc ac
+ +





 é −
1
2
.
II. Um recipiente cônico tem 8 dm de altura. Seu espaço interior é
ocupado por uma esfera cujo raio tem a metade da medida do
raio do cone e por 60 dm3
de água. Então, os valores inteiros
da medida do raio do recipiente cônico e do raio da esfera (em
dm) são números múltiplos de 3.
III. A equação x x x
3 2
3 4 12 0
− − + = tem raízes reais a, b e c. Então,
o determinante da matriz
0 0
0
c
b b
a a c








vale –12.
Assinale a alternativa correta.
a) Todas as afirmações estão corretas.
b) As afirmações I e III estão corretas.
c) As afirmações I e II estão corretas.
d) Apenas a afirmação II está correta.
6. (Mackenzie-2012) As raízes da equação x 9x 23x 15
3 2
− + − = 0, co-
locadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de uma
progressão aritmética cuja soma dos 20 primeiros termos é
a) 500.
b) 480.
c) 260.
d) 400.
e) 350.
7. (Fuvest-2014) Os coeficientes a, b e c do polinômio:
p x x ax bx c
( ) = + + +
3 2
são reais. Sabendo que –1 e 1 + i, com ,
são raízes da equação p x
( ) 0 e que o resto da divisão de p(x) por
(x – 1) é 8, determine
a) o valor de ;
b) o quociente de p(x) por (x + 1).
i é a unidade imaginária, i2
= –1
8. (UFSC-2011) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
(1) Se 3 5
n
, então log .
5 225
2 2
=
+ n
n
(2) Os valores reais de x que satisfazem à equação 4 4 5 2
x x
+ = ⋅
pertencem ao intervalo (2,4].
(3) Suponha que “Chevalier de Mére”, um jogador francês do
século XVII, que ganhava a vida apostando seu dinheiro em
jogos de dados, decidiu apostar que vai sair um“3”no lança-
mento de um dado perfeito de seis faces numeradas de 1 a
6. Com relação a esse experimento, há dois resultados possí-
veis: ou sai “3” e Chevalier ganha, ou não sai “3” e ele perde.
Cada um destes resultados – “sai um 3” ou “não sai um 3” –
tem a mesma probabilidade de ocorrer.
(4) Para que a função P x x px
( )= +
2
seja divisível por 4x – 1 é
necessário que p seja igual a
1
4
.
(5) Sea,becsãoraízesreaisdaequação x x x
3 2
20 125 250 0
− + − = ,
então o valor de log
1 1 1
a b c
+ +





 é nulo.
( ) Se“A”é o número de arranjos de 6 elementos tomados 2 a 2;
“B”é o número de permutações de 5 elementos e “C”é o nú-
mero de combinações de 5 elementos tomados 3 a 3, então
A B C
+ − =140.
Soma ( )
GABARITO ONLINE
de leitura QR Code.

Frente A | Livro
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Frente A
173
PVE19_7_MAT_A_27
7
VERSÃO 3.3
Relações de Girard
As relações de Girard são úteis na resolução de equações
polinomiais, pois elas relacionam as raízes e os coeficientes
dessas equações. Por meio dessas relações é possível estabe-
lecer um sistema de equações que permite resolver a equa-
ção inicial, cuja resolução geralmente é mais simples.
Equações do segundo grau
Se a a e ua a bri a a b 0, a 0. A divi-
dirmos a equação por a, obtemos x
b
a
x
c
a
2
0
+ + = .
Por outro lado, sendo x1 e x2 as raízes ax² + bx + c = 0, pode-
mos escrever ax bx c a x x x x x x
2 2
1 2 1 2
0
+ + = − +
( ) + ⋅



 = .
Dessa forma, ao igualarmos as duas equações:
x
b
a
x
c
a
a x x x x x x
2 2
1 2 1 2
+ + = − +
( ) + ⋅



 = 0.
De onde obtemos, portanto,
x x
b
a
x x
c
a
1 2
1 2
+ = −
⋅ =
Equações do terceiro grau
Seja a e ua a bri a a b d 0, a 0.
Ao dividirmos a equação por a, obtemos x
b
a
x
c
a
x
d
a
3 2
0
+ + + = .
Por outro lado, sendo x1, x2 e x3 as raízes de ax³ + bx² + cx +
+ d = 0, podemos escrever:
ax bx cx d a x x x x x x x x x x x x x
3 2 3
1 2 3
2
1 2 1 3 2 3 1 2
+ + + = − + +
( ) + ⋅ + ⋅ + ⋅



 − ⋅ ⋅x
x3
0
=
x x x x x x x x x x x x
1 2 3
2
1 2 1 3 2 3 1 2
− + +
( ) + ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 − ⋅ ⋅x
x3
0
= .
Dessa forma, ao igualarmos as duas equações,
x
b
a
x
c
a
x
d
a
a x x x x x x x x x x x x x
3 2 3
1 2 3
2
1 2 1 3 2 3 1
+ + + = − + +
( ) + ⋅ + ⋅ + ⋅



 − ⋅ 2
2 3
⋅x
1 2 3
2
1 2 1 3 2 3 1
− + +
( ) + ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 − ⋅ 2
2 3
⋅x = 0.
De onde obtemos, portanto,
x x x
b
a
x x x x x x
c
a
x x x
d
a
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
+ + = −
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅ = −
Equações do quarto grau
Caso a equação seja de 4.º grau e x1, x2, x3 e x4 sejam as
raízes da equação algébrica ax4
+ bx³ + cx² + dx + e = 0, com
a 0, te :
x1 + x2 + x3 + x4 = -
b
a
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =
c
a
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = -
d
a
x1 · x2 · x3 · x4 =
e
a
9 Exemplo:
Se x1 , x2 , x3 e x4 são raízes da equação x4
- 2x3
+ 3x2
- x + = 0,
calcule o valor da expressão E =
1 1 1 1
1 2 3 4
x x x x
+ + + .
Solução:
E
x x x x
=
+ + +
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
Perceba que
a = 1, b = -2, c = 3, d = - e e = .
nt o, note que o numerador i ual a − = −
−
=
d
a
( )
5
1
5 e que o
denominador vale
e
a
7
1
7. Lo o, E
5
7
.
Teorema de Bolzano
Se um polinômio P(x) apresenta valores P(a) e P(b), com
a < b, tais que P(a) · P(b) < 0 (isto é, têm sinais contrários),
então a equação admite um número ímpar (pelo menos
uma) de raízes reais entre a e b.
y
P(a)
P(b)
0 a
b
x
raiz
9 Exemplo:
Seja P(x) = x3
− 3x2
− x + 3.
Solução:
onsiderando, por exemplo, a = 0 e b = 2, em que a b, temos:
P(0) = 3 e P(2) = 23
− 3 · 22
− 2 + 3 = −3.
Relações de Girard • Teorema de Bolzano •
m.d.c. e m.m.c. de polinômios
Relações de Girard e
Teorema de Bolzano
Equações algébricas:
relações de Girard

Matemática
174
PVE19_7_MAT_A_27
Pelo eorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz entre 0 e 2.
raiz
y
x
4
3
2
1
0
–1
–2
–2
0
2
m.d.c. e m.m.c. de polinômios
O máximo divisor comum (m.d.c.) entre polinômios é o
polinômio unitário (coeficiente dominante 1) formado pelos
fatores comuns aos polinômios elevados aos seus menores
expoentes. O m.d.c. é o polinômio de maior grau que divide
todos aqueles.
As raízes comuns aos polinômios também são raízes de
seu m.d.c., com a menor multiplicidade.
Se o m.d.c. de dois polinômios é 1, diz-se que eles são pri-
mos entre si.
Quando os polinômios não estão na forma fatorada, o
m.d.c. pode ser obtido pelo método das divisões sucessivas.
9 Exemplo:
Obten a o m.d.c. dos polin mios:
p(x) = x4
- 3x3
+ 3x2
- 3x + 2 e q(x) = x2
- 4x + 3.
Solução:
x2
+ x + 4
1
10
x -
3
10 quocientes
x4
- 3x3
+ 3x2
- 3x + 2 x2
- 4x + 3 10x - 10
10x - 10 0 restos
Lo o, m.d.c.(p, q) =
1
10
(10x - 10) = x - 1.
Vale notar que a divisão por 10 se faz necessária para que
o m.d.c. seja um polinômio unitário.
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre polinômios é
o polinômio unitário formado por todos os fatores que apare-
cem nos polinômios, comuns ou não, elevados ao seu maior
expoente. O m.m.c. é o polinômio de menor grau múltiplo de
todos aqueles.
Todas as raízes dos polinômios são raízes do seu m.m.c.
9 Exemplo:
ncontre o m.d.c. e o m.m.c. dos polin mios
P(x) = x(x - 1)2
(x - 2)3
e Q(x) = x3
(x - 1)(x - 3)2
.
Solução:
m.d.c. (P, Q) = x(x - 1)
m.m.c. (P, Q) = x3
(x - 1)2
(x - 2)3
(x - 3)2
Resolvidos
1. O polinômio p x x x x
( )= + − +
5 3 4 1
3 2
possui pelo menos uma raiz
no intervalo [–3, 3]?
9 Solução:
im. Observamos que p(3) = · (3) + 3 · (3) - 4 · 3 + 1 = 1 1 0
e que p(-3) = · (-3) + 3 · (-3) - 4 · (-3) + 1 = - . Lo o,
p(3) · p(-3) 0. Pelo eorema de Bolzano, concluímos que existe
raiz no intervalo -3,3 .
2. Sabendo que a, b e c são as raízes da equação x3
- x2
- 1 = 0, forme
uma nova equação cujas raízes sejam os números b + c, c + a e a + b.
9 Solução:
a + b + c = −
−
( )
1
1
= 1
⇒ b + c = 1 − a c + a = 1 − b a + b = 1 − c
⇒ = 1 − x ⇔ x = 1 −
(1 − )3
−(1 − )2
− 1 = 0 ⇒ y3
− 2 2
+ y + 1 = 0
y3
− 2 2
+ y + 1 = 0
3. (UERJ)Umciclistaeumcorredorcomeçam,juntos,umacompetição.
A curva a seguir, cuja equação é e = t3
+ at2
+ bt + c, representa a
posição em metros do ciclista, em função do tempo t, em segundos,
em que a, b, e c são números reais fixos.
3 t(s)
0
e(m)
No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia
um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no
mesmo sentido.
Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o
corredor voltam a se encontrar.
9 Solução:
Por meio da análise do ráfico e da equa o, verificamos que
existem tr s raízes reais: 0 raiz simples e 3 raiz dupla.
nt o, e = t · (t − 3)2
⇒ e = t3
− 6t2
+ 9t.
Para determinar os instantes dos encontros:
t3
− 6t2
+ 9t = 4t ⇔ t3
- 6t2
+ 5t = 0 ⇔ t · (t2
- 6t + ) = 0
⇒ t = 0s t = 1s e t = s.
Posi o dos encontros: 0 m 4 m e 20 m.
Posi o mais afastada = 20 m.
Praticando
1. Mostre que o polinômio p x x x x x
( )= − + + −
4 3 2
5 5 5 6 possui pelo
menos uma raiz entre os valores 0 e 4.
2. Uma das raízes do polinômio p x x x x
( )= + − −
3 2
4 4 é -2. Qual é o
produto entre as outras duas raízes?

7
PVE19_7_MAT_A_27
3. Calculeom.m.c.eom.d.c.entreospolinômios p x x x x x e q x x x
( )= − + + − ( )= + −
4 3 2 2
5 5 5 6 2 15
p x x x x x e q x x x
( )= − + + − ( )= + −
4 3 2 2
5 5 5 6 2 15 sabendo que 1 e -1 são raízes de p(x).
1. C5:H21 (UFU-2015) O polinômio de variável real y=p(x)=x3
-ax2
-
- 9x + ar2
é representado graficamente conforme ilustra a figura a
seguir, em que -r, r e a são constantes reais e encontram-se, nessa
ordem, em progressão aritmética (P.A.).
y
–r r a x
(Figura ilustrativa e sem escalas)
Nessas condições, o valor de a é um número
a) primo.
b) ímpar.
c) múltiplo de 5.
d) divisível por 7.
2. C5:H21 (UEG-2013) Se o coeficiente do termo de maior grau de um
polinômiodo4.ºgraué1esuasraízessãox1 =2i,x2 =-2i,x3 =3ex4 =4,
então o polinômio em questão é
a) x4
- 7x3
+ 16x2
- 28x + 48.
b) x4
- 2ix3
+ 2ix2
+ 3x + 4.
c) x4
+ 16x3
+ 4x2
- x + 18.
d) x4
- 28x3
+ 7x2
+ 48x - 28.
3. C5:H21(UDESC-2014)Sejafumpolinômiodegrauquatroquepossui
apenas raízes reais, com coeficiente do termo de maior expoente
igual à razão q da progressão geométrica formada pelas raízes de
f, cuja soma é igual a 15. Sabendo-se que a razão q é igual ao resto
da divisão de p(x) = x2
+ 1 por g(x) = x - 1, então:
a) f(x) = x4
- 15x3
+ 70x2
- 120x + 64.
b) f(x) = 2x4
+ 30x3
+ 140x2
+ 240x + 128.
c) f(x) = -2x4
+ 30x3
- 140x2
+ 240x - 128.
d) f(x) = x4
+ 15x3
+ 70x2
+ 120x + 64.
e) f(x) = 2x4
- 30x3
+ 140x2
- 240x + 128.
4. C5:H21 (UEG-2010) João gosta de brincar com números e fazer ope-
rações com eles. Em determinado momento, ele pensou em três nú-
meros naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte:
● a soma desses números é 7;
● o produto deles é 8;
● a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses núme-
ros tomados dois a dois é 14.
Assim, os três números pensados por João são raízes da equação
a) x3
- 7x2
+ 14x - 8 = 0.
b) x3
+ 7x2
- 14x + 8 = 0.
c) x3
- 7x2
- 14x - 8 = 0.
d) x3
+ 7x2
- 14x - 8 = 0.
5. C5:H21 (FMJ-2012) A montanha russa de um parque de diversões
tem um perfil que se encontra esboçado em linha cheia no plano
cartesiano da figura.
y
x
A função polinomial P(x), que possui pelo menos uma raiz complexa
não real, capaz de representar essa curva completa, é P(x) = Ax5
+
+Bx4
+ Cx3
+ Dx2
+ Ex + F, com
a) A > 0, F > 0, duas raízes complexas não reais e duas reais, sendo
uma de multiplicidade 1 e outra de multiplicidade 2.
b) A < 0, F > 0, duas raízes complexas não reais e duas reais, sendo
c) A > 0, F < 0, duas raízes complexas não reais e duas reais, sendo
d) A > 0, F > 0, apenas uma raiz complexa não real e duas reais,
sendo uma negativa e outra positiva.
e) A > 0, F > 0, apenas uma raiz complexa não real e duas reais,
sendo uma negativa e outra nula.
6. C5:H21 (IFAL-2017) Podemos dizer que o polinômio p(x) = x3
- 2x2
-
- 5x + 6
a) tem três raízes reais.
b) tem duas raízes reais e uma imaginária.
c) tem uma raiz real e duas imaginárias.
d) não tem raiz real.
e) tem duas raízes reais e duas imaginárias.
7. C5:H21 (FGV-2017) A equação algébrica x3
- 7x2
+ kx + 216 = 0, em
que k é um número real, possui três raízes reais. Sabendo que o
quadrado de uma das raízes dessa equação é igual ao produto das
outras duas, então o valor de k é igual a
a) -64.
b) -42.
c) -36.
d) 18.
e) 24.
8. C5:H21 (IFCE-2016) Se S é o conjunto dos números reais x para os
quais se verifica a igualdade 2 · (x3
+ 1) = 3 · (x2
+ x), então é verdade
que
a) {-1, 1, 2} S.
b) {-1, 1} S.
c) {1, 2} S.
d) {-1, 2} S.
e) S = .
9. C5:H21(UFJF-2016)Sabendoque1+iéumadasraízesdopolinômio
p(x) = x5
- 2x4
+ 2x3
- x2
+ 2x - 2, é correto afirmar que:
a) o polinômio não possui raízes reais.
b) o polinômio possui exatamente duas raízes racionais.
c) o polinômio possui exatamente duas raízes distintas.
d) o polinômio possui quatro raízes complexas não reais.
e) o polinômio possui exatamente quatro raízes distintas.

Matemática
176
PVE19_7_MAT_A_27
10. C5:H21 (UNEB-2013 - adap.) Ao desmontar um cubo de Rubik (cubo mágico), uma criança percebeu que ele era formado por vinte e sete
cubinhos menores e que dentre esses existiam oito cubinhos com três faces pintadas, doze com apenas duas faces pintadas, seis com apenas
uma das faces pintadas e apenas um cubinho não possuía nenhuma das faces pintadas.
A tabela a seguir mostra o número de cubinhos, de cada tipo, que podem ser obtidos ao dividir a aresta de um cubo de madeira pintado, em
partes iguais.
Número de
divisões de cada
aresta
Cubinhos com três
faces
pintadas
Cubinhos com
apenas duas faces
pintadas
Cubinhos com
apenas uma face
pintada
Cubinhos sem
nenhuma face
pintada
Total de cubinhos
3 8 12 6 1 27
4 8 24 24 8 64
5 8 36 54 27 125
6 8 48 96 64 216
7 8 60 150 125 343
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n 8 P1(n) P2(n) P3(n) n3
Nessas condições, pode-se afirmar que, em , a soma dos inversos das raízes do polinômio P(x) = P3(x) - P1(x) + P2(x) é igual a
a)
1
4
b)
1
2
c)
3
5
d)
2
3
e)
4
5
5. (FGV-2013) A equação 2x3
- 3x2
- 3x + 2 = 0 tem o seguinte conjunto
solução: {-1, a, b}. Podemos afirmar que o valor de a2
+ b2
é
a)
13
4
b)
7
2
c)
15
4
d) 4
e)
17
4
6. (UEPA-2014) Girolamo Cardano (1501-1576) apresentou no
livro Ars Magna, demonstrações sobre como resolver equações
cúbicas. Ele propôs para equações da forma x3
+ px + q = 0 a so-
lução x
q q p q q p
= − + + + − − +
2 4 27 2 4 27
2 3
3
2 3
3
. Sabe-se que Rafael
Bombelli (1526-1572) estendeu às ideias de Cardano e encontrou
uma das raízes da equação x3
- 15x - 4 = 0, o número 4. Nessas
condições, a soma dos inversos das outras raízes dessa equação é
a) 4.
b) 2.
c) 0.
d) -2.
e) -4.
7. (ITA) Seja P(x) um polinômio de grau 5, com coeficientes reais, admi-
tindo 2 e i como raízes. Se P(1) ⋅ P(-1) < 0, então o número de raízes
reais de P(x) pertencentes ao intervalo ]-1, 1[ é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
8. (Fuvest) Seja f x ax a x
( ) ( )
= + − +
2
1 1, em que a é um número real
diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes
daequação f x
( ) 0 sãoreaiseonúmerox=3pertenceaointervalo
fechado compreendido entre as raízes.
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1. (FMP) Seja o polinômio F(x) = x4
- x3
- 16x2
+ 4x + 48. A soma e o
produto de suas raízes são, respectivamente,
a) 1 e 48.
b) 1 e 16.
c) 1 e 4.
d) -1 e 48.
e) -1 e -16.
2. (UFG) Sabe-se que todo polinômio de grau ímpar com coeficien-
tes reais admite pelo menos uma raiz real. Dado o polinômio
p x m m x x kx
( ) [( )( )]
= − + + + +
1 1 1
2 5 2
, com m, k , as condições
sobre m e k, para que o polinômio p(x) não admita raiz real, são:
a) m = 0 e k < -2.
b) m = 1 e k < -2.
c) m = 0 e k > 2.
d) m = -1 e -2 < k < 2.
e) m = 1 e -2 < k < 2.
3. (UEFS) Se a média aritmética das raízes do polinômio
p(x) = 2x2
+ rx + 5 for 7 e a das raízes de q(x) = 3x2
+ sx - 2 for 2 (sendo
r e s constantes), então, a média aritmética das raízes do polinômio
p(x) + q(x) será
a) 4.
b) 4,5.
c) 5.
d) 8,5.
e) 9.
4. (IMBEC-2013) O gráfico a seguir representa a função f(x) = x3
+ 9x2
+
+23x + 15.
x
y
Se os pontos a, b e c são as raízes de f, então 2a
+ 2b
+ 2c
é igual a
a)
21
32
b)
32
43
c)
43
54
d)
54
65
e)
65
76
Complementares

Frente A | Livro
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Frente A
177
PVE19_7_MAT_A_28
7
VERSÃO 3.3
Transformações
Uma transformação de uma equação algébrica P1(x) = 0 é
umaoperaçãocomaqualseobtémumanovaequaçãoP2(y)=0,
cujas raízes estejam relacionadas com as raízes da equação
inicial por meio de uma relação conhecida: y = f(x).
P1(x) = 0 → equação primitiva
P2(y) = 0 → equação transformada
y = f(x) → relação de transformação
Veremos,apartirdeagora,algunstiposdetransformações.
Transformação multiplicativa
É a transformação em que y = k ⋅ x (k 0). Para obter a
equação transformada basta substituir na equação primitiva
x =
y
k
.
y = k ⋅ x ⇒ x =
y
k
9 Exemplo:
Obter a equação cujas raízes são o dobro das raízes da equação
x3
+ 5x2
- 7x + 11 = 0.
Solução:
Aqui, a relação de transformação é y = 2x. Logo, x =
y
2
e substi-
tuindo na equação primitiva:
y y y
y y y
2
5
2
7
2
11 0
1
8
5
4
7
2
11 0
3 2
3 2





 +





 −





+ = ⇒ + − + = .
Multiplicando por 8, temos y3
+10y2
- 28y + 88 = 0. Esta é a equa-
ção transformada.
Transformação aditiva
É a transformação em que y = x + a (a ). Para obter a
equação transformada basta substituir na equação primitiva
x = y - a.
y = x + a ⇒ a
9 Exemplo:
Obter a equação cujas raízes são 2 unidades menores que as raízes
de 2x3
- 5x - 2 = 0.
Solução:
Aqui, a relação de transformação é y = x - 2. Logo, x = y + 2.
Substituindo na equação primitiva: 2(y + 2)3
- 5(y + 2) - 2 = 0 ⇒
2y3
+ 12y2
+ 19y + 4 = 0. Esta é a equação transformada.
Transformada aditiva e
divisão de polinômios
Dada a equação primitiva P1(x) = anxn
+ an–1xn–1
+ an–2xn–2

... a1x + a0 = 0, tem-se que a transformada aditiva é dada por:
P2(x + a) = Rn ⋅ (x + a)n
+ Rn–1 ⋅ (x + a)n–1
+
+ ... + R1 ⋅ (x + a) + R0 = 0
em que R0, R1, ... , Rn são os restos das divisões sucessivas de
P1 por x + a, que podem ser facilmente obtidos com o auxílio
do algoritmo de Briot-Ruffini.
9 Exemplo:
Dada a equação x3
− 2x2
+ x + 1 = 0, obtenha a transformada pela
relação y = x + 2.
Solução:
Aplicando Briot-Ruffini:
1 – 2 1 1
– 2 1 – 4 9 – 17 R0
– 2 1 – 6 21 R1
– 2 1 – 8 R2
– 2 1 R3
⇒ (x + 2)3
– 8(x + 2)2
+ 21(x + 2) − 1 = 0 ⇒ y3
– 8y2
+ 21y – 17 = 0.
Esta é a equação transformada.
Transformação recíproca
É a transformação em que y =
1
x
, x 0. Para obter a equação
transformada basta substituir na equação primitiva x =
1
y
.
y =
1
x
x =
1
y
9 Exemplo:
Obter a equação cujas raízes são os inversos das raízes da equação
5x3
+ x2
- x + 1 = 0.
Solução:
A relação de transformação é y =
1
x
. Logo, x =
1
y
. Substituindo
na equação primitiva:
5
1 1 1
1 0
3 2
y y y





 +





 −





+ = .Multiplicandocadaladodaigualdade
por y3
, obtém-se
⇒ − + + =
y y y
3 2
5 0, que é a equação transformada.
Transformações • Equações recíprocas
Equações algébricas:
transformações e
equações recíprocas

Matemática
178
PVE19_7_MAT_A_28
Equações recíprocas
Uma equação polinomial P(x) = 0 é chamada recíproca se, e
somente se, é equivalente à transformada recíproca P
1
x
= 0.
Dada a equação recíproca P(x) = 0, se r é uma raiz de
multiplicidade m, então,
1
r
também é raiz com a mesma
multiplicidade.
Uma equação polinomial P(x) = 0 é recíproca se, e somente
se, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais 2 a
2 ou opostos 2 a 2.
Classificação
Equações recíprocas de 1.ª espécie
São aquelas em que os coeficientes equidistantes dos ex-
tremos são iguais.
Equações recíprocas de 2.ª espécie
Aquelas em que os coeficientes equidistantes dos extre-
mos são simétricos.
Forma normal
Diz-se que uma equação recíproca está na forma normal
se ela é de 1.ª espécie e grau par.
Observação
Se uma equação é recíproca de 2.ª espécie e grau par, então
ela não possui termo central.
Propriedades
● Toda equação P(x) = 0, recíproca de 2.ª espécie e grau
ímpar, admite a raiz 1. A divisão de P(x) por (x -1) con-
duz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par.
par, admite raízes 1 e -1. A divisão de P(x) por (x -1) e
(x +1) conduz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e
grau par.
ímpar, admite a raiz -1. A divisão de P(x) por (x +1)
conduz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e
grau par.
Resolução da equação
recíproca normal
Sendo a equação recíproca normal
P(x) = A0x2k
+ A1x2k–1
+...+ A1x + A0 = 0
Dividindo a equação por xk
, tem-se
A x
x
A x
x
A x
x
A
k
k
k
k k k
0 1
1
1 1
1 1 1
0
+





 +





 + + +





 + =
−
− −
...
Fazendo y = x +
1
x
e usando a identidade
x
x
y x
x
x
x
p
p
p
p
p
p
+
+
−
−
+ = ⋅ +





 − +






1
1
1
1
1 1 1
(em que p = 1, 2, 3, ...), temos:
x0
+
1
x0
= 2
x1
+
1
x1
= y
x2
+
1
x2
= y2
- 2
x3
+
1
x3
= y3
- 3y ...
Substituindo as expressões obtidas, tem-se uma equa-
ção em y de grau k. Resolvendo a equação em y, podem-
-se obter os valores de x.
9 Exemplo:
Resolva a equação x4
− 4x3
+ 5x2
− 4x + 1 = 0.
Solução:
Observando os coeficientes, verificamos que se trata de uma equa-
ção recíproca de 1.ª espécie e grau par, ou seja, na forma normal.
Dividindo a equação por x2
:
x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
2
4 5
4 1
0
1
4
1
5 0
− + − + = ⇒ +





− +





+ =
Fazendo y = x +
1
x
x2
+
1
x2
= y2
– 2
⇒ (y2
−2) − 4 + = 0 ⇒ y2
− 4 + 3 = 0
⇒ y = 1 ou y = 3
i) x
x
x x x
+ = ⇒ − + = ⇒ =
±
1
1 1 0
1 3
2
2
ii) x
x
x x x
+ = ⇒ − + = ⇒ =
±
1
3 3 1 0
3 5
2
2
Logo, S
i i
=
+ − + −










1 3
2
1 3
2
3 5
2
3 5
2
, , , .
Resolvidos
1. (ITA) É dada a equação polinomial
a c x b c x c a x a b
+ +
( ) + + +
( ) + −
( ) + + +
( )=
2 3 1 4 0
3 2
com a, b, c
reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de primeira espécie
e que 1 é uma raiz, então o produto abc é igual a
a) –2.
b) 4.
c) 6.
d) 9.
e) 12.
9 Solução: E
Sendo
= ≠
a0 0, se a x ax a x a
0
3
1
2
2 3 0
+ + + = é recíproca de primeira
espécie, tem-se a a
0 3
= e a a
1 2
= . Sabendo que 1 é raiz da equação:
a c a b
b c c a
a c a b b c c a
c b
a
+ + = + +
+ + = −
+ + + + + + + + + − =





⇒
− =
+
2 4
3 1
2 4 3 1 0
2
b
b c
a b c
+ = −
+ + = −





2 1
2 5 7

7
PVE19_7_MAT_A_28
⇒
+ + = −
− =
− − =
⇒
+ + = −
− =
− =










⇒
=
a b c
c b
b c
a b c
c b
c
a
2 5 7
2
3 6
2 5 7
2
4 4
4
b
b
c
= −
= −





3
1
Logo, o produto abc é 4 3 1 12
⋅ − ⋅ − =
( ) ( ) .
2. (ITA) Determine a e b para que a equação 6x4
- ax3
+ 62x2
- 35x+
+ b - a = 0 seja recíproca de primeira classe e resolva-a.
9 Solução:
● Recíproca de 1.ª classe ⇒
b – a = 6
–a = –35
⇒
a = 35
b = 41
Então:
6x4
− 3 x3
+ 62 x2
− 3 x + 6 = 0 ( x2
)
⇒ 6x2
– 35x + 62 –
35
x
+
6
x2
= 0
6 x2
+
1
x2
– 35 x2
+
1
x
+ 62 = 0
Fazendo y = x +
1
x
x2
+
1
x2
= y2
– 2
⇒ 6(y2
− 2) − 3 + 62 = 0 ⇒ 6y2
− 3 + 0 = 0
⇒ y =
10
3
ou y =
5
2
● Se y =
5
2
: x +
1
x
=
5
2
⇔ 2x2
− 5x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ou x =
1
2
● Se y =
10
3
: x +
1
x
=
10
3
⇔ 3x2
−10x + 3 = 0 ⇔ x = 3 ou x =
1
3
S =
1
3
,
1
2
, 2, 3
Portanto, a = 35, b = 41 e S =
1
3
,
1
2
, 2, 3
Praticando
1. Qual é a equação cujas raízes são k unidades ( k  ) menores que
as raízes da equação x³ = 4?
a) y³ – (k + 4) = 0
b) y³ – (k – 4) = 0
c) y k
− −
( )=
4 0
3
d) y k
− −
( )=
4 0
3
e) y³ + 3ky (y + k) + k³ – 4 = 0
2. (UFF) Resolva a equação 2x6
- 5x5
+ 2x4
- 2x2
+ 5x - 2 = 0.
1. C5:H21 (Unioeste-2013) Suponha que P(x) é um polinômio com
coeficientes reais de modo que P(x) tem exatamente 3 raízes e o
coeficiente do termo de maior grau é igual a 1. Considere que o
número real –1 e o número complexo a + bi são duas raízes de P(x).
Com relação ao polinômio P(x), pode-se afirmar que
a) se a ≥
1
2
, então todos os coeficientes são positivos.
b) se a = 0, então todos os coeficientes são positivos.
c) o coeficiente do termo quadrático é sempre nulo.
d) o termo independente é sempre um número negativo.
e) o coeficiente do termo linear é sempre menor que o termo
independente.
2. C5:H21(Fatec)Sabe-seque-1éraizdupladopolinômioP(x)=2x4
+x3
-
- 3x2
- x + 1. As outras raízes são números:
a) imaginários puros.
b) reais negativos.
c) irracionais.
d) racionais.
e) pares.
3. C5:H21 (ITA-2014) Considere o polinômio complexo p(z) = z4
+ az³ +
+5z² – iz – 6, em que a é uma constante complexa. Sabendo que 2i
é uma das raízes de p(z) = 0, as outras três raízes são
a) –3i, –1, 1.
b) –i, i, 1.
c) –i, i, –1.
d) –2i, –1, 1.
e) –2i, –i, i.

Matemática
180
PVE19_7_MAT_A_28
4. C5:H21 (ITA-2012) Considere um polinômio p(x), de grau 5, com
coeficientes reais. Sabe-se que –2i e i- 3 são duas de suas raízes.
Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) = x – 5
obtém-se resto zero e que p(1) = 20(5 + 2 3). Então, p(–1) é igual a
a) 5(5 – 2 3).
b) 15(5 – 2 3).
c) 30(5 – 2 3).
d) 45(5 – 2 3).
e) 50(5 – 2 3).
Complementares
1. (IFG-2012)RenéDescartes(1596-1650)éconsideradoopaidaFiloso-
fiaModernaetambémumdosfundadoresdaMatemáticaModerna.
Sua principal obra é Discurso do Método, publicado em 1637, que
continha três apêndices, a saber: “A Dióptrica”, “A Geometria” e “Os
Meteoros”.NaparteIIIde“AGeometria”,Descartesapresentadiversas
propriedades sobre polinômios. As afirmativas de I a IV são adapta-
ções das propriedades encontradas em“A Geometria”. Analise-as.
I. Para diminuir a maior potência de uma equação polinomial,
conhecendo-se uma de suas raízes, a, basta dividir a equação
pelo binômio x – a, em que x é a variável.
II. Para saber se o valor a é a raiz de uma equação, divida o poli-
nômio pelo binômio x – a. Se a divisão for exata, então o valor
a é uma raiz.
III. Para aumentar o valor das raízes de um polinômio p(x) em 2
unidades basta fazer a substituição da variável x por x – 2.
IV. Para multiplicar (ou dividir) as raízes de um polinômio
p x a x a x a
n
n
n-1
n-1
( ) = + + … + 0 por um número real k, basta
multiplicar (ou dividir) o an–1 por k, an–2 por k2
, e assim sucessi-
vamente.
É correto afirmar que:
a) apenas a afirmativa I é correta.
b) apenas as afirmativas I e II são corretas.
c) apenas as afirmativas I, II e III são corretas.
d) todas as afirmativas são corretas.
e) nenhuma afirmativa é correta.
2. (CEFET-MG-2014) A equação
x a
x x a x a a
8 8
6 4 2 2 4 6
5
−
− − −
= , para x ≠ a,
possui
I. duas raízes reais para a = 0.
II. somente raízes imaginárias se a ≠ 0.
III. duas raízes reais e distintas para todo a .
IV. duas raízes imaginárias para a = 5.
São corretas apenas as afirmativas
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) II e IV.
3. (ITA) Multiplicando por 2 as raízes da equação x3
–2x2
+2x–1= 0 vamos
obter raízes da seguinte equação:
a) 2y3
- 6y2
+ 6y - 4 = 0
b) y3
- 4y2
+ 8y - 8 = 0
c) 8y3
- 8y2
+ 4y - 1 = 0
d) y3
- 8y2
+ 8y + 8 = 0
e) 4y3
- 4y2
- 4y - 8 = 0
4. (ITA) Considere as afirmações:
I. A equação 3x4
- 10x3
+ 10x - 3 = 0 só admite raízes reais.
II. Toda equação recíproca admite um número par de raízes.
III. As raízes da equação x3
+ 4x2
- 4x - 16 = 0 são exatamente o
dobro das raízes de x3
+ 2x2
- x - 2 = 0.
Então:
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é falsa.
c) Apenas III é verdadeira.
d) Todas são verdadeiras.
e) n.d.a.
5. (ITA) Para que 2x4
+ bx3
- bx - 2 = 0 tenha quatro soluções reais
distintas, devemos ter
a) b um número real qualquer.
b) b = 0.
c) b > 0.
d) b < -1.
e) b > 4.
6. (UFF) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar combustível.
Os níveis de combustível, H1 e H2, em cada tanque, são dados pelas
expressões: H1(t) = 150 t3
- 190 t + 30 e H2(t) = 50 t3
+ 35 t + 30, sendo
t o tempo em hora.
Oníveldecombustíveldeumtanqueéigualaodooutronoinstante
inicial (t = 0) e, também, no instante
a) t = 0,5h.
b) t = 1,0h.
c) t = 1,5h.
d) t = 2,0h.
e) t = 2,5h.
7. (UERJ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas
pelas raízes do polinômio 3x3
-13x2
+ 7x -1. Em relação a esse pa-
ralelepípedo, determine:
a) a razão entre a sua área total e o seu volume.
b) suas dimensões.
8. (ITA) Sabendo-se que a equação de coeficientes reais
x6
- (a + b + c)x5
+ 6x4
+ (a - 2b)x3
- 3cx2
+ 6x - 1 = 0 é uma equação
recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais dessa
equação é
a) 0.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 6.
9. (ITA) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e
grau 6 é recíproca de 2.ª espécie e admite i como raiz. Se
p(2) = -
105
8
e p(-2) =
255
8
, então a soma de todas as raízes de p(x)
é igual a
a) 10.
b) 8.
c) 6.
d) 2.
e) 1.
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Frente B | Livro
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Frente B
181
PVE19_7_MAT_B_25
7
Arco metade • Transformação em produto
Arco duplo, Arco metade
e Transformação
em produto
Operações com arcos II
Arco metade
Vimos até agora que, conhecendo as relações trigono-
métricas de um arco de medida a, podemos obter algumas
relações para arcos de medidas 2a e 3a.
Encontraremos, agora, as relações trigonométricas para
os arcos de medida
a
2
.
●
a
2
cos
cos
a a
2
1
2
= ±
+
Demonstração
Sabemos que cos cos
cos cos
cos cos
cos
2 2 1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
x x
a
a
a
a
= −
=





 −





 = +
a
a a
a a
2
1
2
2
1
2





 =
+





 = ±
+
cos
cos
cos
. Fazendo uma mudança
de variáveis e chamando 2x = a, temos x =
a
2
. Assim,
cos cos
cos cos
cos cos
cos
2 2 1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
x x
a
a
a
a
= −
=





 −





 = +
a
a a
a a
2
1
2
2
1
2





 =
+





 = ±
+
cos
cos
cos
● e
a
2
sen
a a
2
1
2
= ±
− cos
Demonstração
Sabe ue 2 2 2
x – 1. Fazendo a mesma mu-
dança de variáveis propostas no caso anterior:
cos
cos
cos
2 1
1 2
2
2
2
1
2
2
2
2
x sen x
a sen
a
sen
a
a
sen
a
= −
= −











 = −
2
2
1
2
2
1
2





 =
−





 = ±
−
cos
cos
a
sen
a a
● t
a
2
tg
a
sen
a
a
a
a
2
2
2
1
1
= = ±
−
+
cos
cos
cos
9 Exemplo:
Dado cos 45° =
2
2
, calcule tg 22,5°.
Solução:
tg
tg
o
o
o
o
22 5
1 45
1 45
1
2
2
1
2
2
2 2
2
2 2
2
22 5
2 2
2 2
4
,
cos
cos
,
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
− +
−
= −
4 2 2
4 2
3 2 2
Transformação em produto
O objetivo é transformar uma soma algébrica de funções
trigonométricas de arcos em um produto de funções trigono-
métricas dos mesmos arcos.
Vimos que:
a b a ⋅ b e a ⋅ e b I
a b a ⋅ b e a ⋅ e b II
e a b e a ⋅ b e b ⋅ a III
e a b e a ⋅ b e b ⋅ a I
Observe algumas operações feitas com estas igualdades:
I II a b a b 2 a ⋅ b
I II a b a b 2 e a ⋅ e b
III I e a b e a b 2 e a ⋅ b
III I e a b e a b 2 e b ⋅ a
Chamando a + b = p e a – b = q, temos:
a
p q
e b
p q
=
+
=
−
2 2
Substituindo, obtemos:
cos cos cos cos
cos cos
p q
p q p q
p q sen
p q
+ =
+





⋅
−






− = −
+

2
2 2
2
2





 ⋅
−






+ =
+





 ⋅
−






sen
p q
senp senq sen
p q p q
2
2
2 2
cos
s
senp senq sen
p q p q
− =
−





 ⋅
+






2
2 2
cos

Matemática
182
PVE19_7_MAT_B_25
Resolvidos
1. (Mackenzie) Se y = 4cos 15° · cos 75°, então y2
vale:
a) 1
b)
1
4
c)
1
2
d)
3
4
e) 2
9 Solução: A
Temos
y = 4cos(45° – 30°) · cos(45° + 30°) =
=4(cos45°·cos30°+sen45°·sen30°)·(cos45°·cos30°–sen45°·sen30°).
Então,
y = ⋅ ⋅ + ⋅







⋅ ⋅ − ⋅







 =
−
( )⋅ +
( )=
4
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
1
2
6 2 6 2
4
36
6 4
4
6 2
4
1
−
=
−
=



⋅ ⋅ − ⋅







 =
−
( )⋅ +
( )=
2
2
3
2
2
2
1
2
6 2 6 2
4
36
6 4
4
6 2
4
1
−
=
−
=
Logo, y2
= 12
= 1.
2. Calcule cos 22° 30’.
9 Solução:
cos cos cos cos
cos
cos
cos
cos
2 2 2 1
1 2
2
1
2 2 2
2
α α α α α
α
α
α
= − ⇒ = −
=
+
⇒ = ±
+
sen
2
2
2
22 5 2 45
22 5
1
2
2
2
22 5
α
α α
Sendo tem se Logo
= ° = °
°= +
+
⇒
, , . ,
cos , cos ,
-
°
°=
+
2 2
2
3. Calcular y = sen2
24° – sen2
6° sabendo que sen18° =
5 1
4
-
.
9 Solução:
sen2
24° – sen2
6° = (sen 24° + sen 6°)(sen 24° – sen 6°) =
= 2
30
2
18
2
2
18°
2
30
2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
sen sen
°
cos
°
cos
°
=
= 2 · sen 15° · cos 9° · 2 · sen 9° · cos 15° =
= 2 · sen 15° · cos 15° · 2 · sen 9° · cos 9° =
= sen 30° · sen 18° =
1
2
5 1
4
5 1
8
⋅
−
=
−
Praticando
1. (UNITAU) Se sen(a–30°) = m, então cos(60° + a) é igual a:
a) 2m.
b) 1m.
c) –1m.
d) –2m.
e) 3m.
2. (UFV) Sabendo que sen 30° =
1
2
, o valor de sen 15° é
a)
3 2
2
−
( )
b)
1
4
c) 1
d)
2 3
2
−
( )
e)
1
2
3. (UFF) O valor de (sen 22,5° + cos 22,5°)2
é:
a) 1
2
2
-
b) 1
2
2
+
c) 2
2
2
+
d) 2
2
2
-
1. C5:H21 (Mackenzie-2013) A expressão
cos(a2
– b2
) · cos(b2
) – sen(a2
– 2b2
) · sen(b2
)
é igual a
a) cos a2
+ b2
b) sen b2
c) cos a2
d) sen a + b · a – b
e) cos a + b · a – b

Frente B | Livro 183
7
PVE19_7_MAT_B_25
2. C5:H21(IFSP-2011)Sabendoque cos θ θ
− =
sen
6
3
,entãoovalorde
sen(2 ) é:
a) –1
b) -
5
9
c)
1
6
d)
1
3
e) 5
6
3. C5:H21(Fatec-2010)Datrigonometriasabe-sequequaisquerquese-
jamosnúmerosreaispeq,senp senq sen
p q p q
+ = ⋅
+





⋅
−






2
2 2
cos .
Logo, a expressão cosx · sen9x é idêntica a
a) sen10x + sen8x
b) 2 · (sen6x + sen2x)
c) 2 · (sen10x + sen8x)
d)
1
2
6 2
⋅ +
( )
sen x sen x
e)
1
2
10 8
⋅ +
( )
sen x sen x
4. C5:H21 (FGV-2012) O valor de y no sistema de equações
=
=
sen y
sen
y
sen
10
1
50°
50 50
1
10°
-
°
° °
° -
+
cos
cos
x
se x
n
10
é
a)
4 3
3
b) 3
c) 3 3
d)
3
3
e)
3
4
5. C5:H21 (UFSM-2013) Para melhorar as condições de acessibilidade
a uma clínica médica, foi construída uma rampa conforme indicado
na figura.
16 m
15°
c
O comprimento horizontal c da rampa, em metros, pode ser ex-
presso por
a) 4 2 3
−
( )
b) 8 2 3
-
c) 8 3
d) 4 2 3
+
( )
e) 8 2 3
+
6. C5:H21 (FGV-2013) Se sen x sen y
+ =
15
3
e cosx + cosy = 1, então,
sec(x – y) é igual a
a)
1
3
b) 1
2
c) 2
d) 3
e) 4
7. C5:H21 (EsPCEx/AMAN-2012) O cosseno do menor ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio às 14 horas e 30 minutos vale
a) −
+
( )
3 1
2
b) −
+
( )
2 1
2
c)
1 2
4
+
( )
d) −
−
( )
6 2
4
e)
2 3
4
+
( )
8. C5:H21 (PUC-Rio-2015) Sendo x um arco satisfazendo
2
< <
x e
sen x
( ) =
24
25
, o valor de cos
x
2





 é:
a)
1
25
b) -
1
5
c)
1
5
d) -
3
5
e)
3
5
Complementares
1. (Ibmec) Considere que senx x a
− =
cos , com a > 0. Logo, sen2x é
igual a:
a) 1 – a.
b) a – 1.
c) a.
d) a + 1.
e) 2a.
2. (IME) O valor de y = sen70° cos50° + sen260° cos280° é
a) 3
b) 3
2
c) 3
3
d) 3
4
e) 3
5

Matemática
184
PVE19_7_MAT_B_25
3. (ITA) Num triângulo ABC o lado AB mede 2cm, a altura relativa ao
lado AB mede 1cm, o ângulo ABC mede 135° e M é o ponto médio
de AB. Então a medida de BAC BMC
+ , em radianos, é igual a
a) 1
5
b)
1
4
c)
1
3
d)
3
8
e)
2
5
4. (UFU) O valor de tg10° · (sec 5° + cossec 5°) · (cos 5° – sen 5°) é igual a
a) 2
b)
1
2
c) 1
d) 2
5. (IME) Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expres-
são [4cos2
(9°) – 3] [4cos2
(27°) –3].
a) sen(9°).
b) tg(9°).
c) cos(9°).
d) sec(9°).
e) cossec(9°).
6. (Unesp-2015) Sabendo-se que cos(2x) = cos2
x – sen2
x , para quais
valores de x a função f(x) = cosx + ·
1
2
cos(2x) assume seu valor mí-
nimo no intervalo 0 < x < 2 ?
7. (ITA-2010) Se os números reais e , com + =
4
3
0
, , ma-
ximizam a soma sen + sen , então é igual a
a)
3
3
b)
2
3
c)
3
5
d)
5
8
e)
7
12
8. (UERJ) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo
comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras a seguir
representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas nas retas
de maior declive de cada rampa.
C
A
E
D
B
15º 45º
h1
h2 h3
75º
F
a
a
a
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e
E são, respectivamente, h1, h2, e h3 conclui-se que h1 + h2 é igual a:
a) h3 3
b) h3 2
c) 2h3
d) h3
GABARITO ONLINE
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Frente B | Livro
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Frente B
185
PVE19_7_MAT_B_26
7
Equações trigonométricas •
Inequações trigonométricas
Função tangente,
equações e
inequações
trigonométricas
Relações
fundamentais,
relações auxiliares
e equações
trigonométricas
Função seno,
equações e
inequações
trigonométricas
Função cosseno,
equações e
inequações
trigonométricas
Equações e inequações
trigonométricas
Equações trigonométricas
Para resolvermos equações trigonométricas é fundamen-
tal que tenhamos em mente algumas relações:
● Quando a equação envolve a função seno:
–
sen sen
k
ou
k k
α β
β α π
β π α π
= ⇔
= +
= −
( )+ ∈





2
2 ,
● Quando a equação envolve a função cosseno:
cos cos
( ) ,
α β
β α π
β π α π
= ⇔
= +
= − + ∈





2
2 2
k
ou
k k
2 –
● Quando a equação envolve a função tangente:
+
t t ⇔ = + k , k
9 Exemplos:
1) sen x = sen 60º
x = 60º + 360º · k ou x = 120º + 360º · k; k
2) sen x = sen
5
3
π
⋅
x =
5
3
π
⋅+2k ou x = –
−
2
3
π
+ 2k ; k
3) sen x =
1
2
sen x = sen 30º
x = 30º + 360º · k ou x = 150º + 360º · k; k
4) cos x = cos 45º
x = 45º + 360º · k ou x = 315º + 360º · k; k
5) cos x = cos
−
2
3
π
x =
−
2
3
π
+ 2k ou x =
4
3
π
⋅+ 2k ; k
6) cos x = –1
cos x = cos 180º
x = 180º + 360º · k, k
) tg x = tg 30
x = 30º + 180º · k, k
8) tg x = 1
tg x = tg 13
x = 135º + 180º · k; k
) tg x = tg
π
2
⋅
omo tg
π
2
⋅n o existe, n o existe x que satisfa a igualdade.
Inequações trigonométricas
Nas inequações trigonométricas devemos achar o interva-
lo que satisfaz às necessidades impostas.
9 Exemplos:
Ac e as solu es das inequa es para x [0, 2 .
1) sen x ≥
1
2
⇒ sen x ≥
sen 30º
sen 150º
⇒ S = [30º, 150º]
Para qualquer valor de x a solu o dada por
S k x k k
= + ≤ ≤ + ∈






π
π
π
π
6
2
5
6
2 ,

Matemática
186
PVE19_7_MAT_B_26
150º 30º
2) cos x < –
1
2
⇒ cos x <
cos 120º
cos 240º
⇒ S = ]120º, 240º[
S k x k k
= + < < + ∈






2
3
2
4
3
2
π
π
π
π ,
120º
240º
3) tg x ≥ 1 ⇒ tg x ≥
tg 45º
tg 225º
⇒ S =





 ∪






π π π π
4 2
5
4
3
2
, ,
S k x k k
= + ≤ < + ∈






π
π
π
π
4 2
,
1
Resolvidos
1. O número de raízes da equação sen x + cos x = 0 no intervalo [0, 2 ] é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
9 Solução: C
Tem-se que sen x + cos x = 0 ⇒ sen x = –cos x. Dessa forma,
sen x
x
cos
= –1 ⇒ tg x = –1 ⇒ S =
3
4
7
4
,
Logo, haverá duas soluções.
Perceba que as soluções pertencem aos 1.º e 4.º quadrantes, em que
a tangente é negativa.
2. Determine o conjunto solução da inequação sen x ⋅ cos x > 0, para
x [0, 2 ].
9 Solução:
As soluções serão os quadrantes em que sen x e cos x possuam o
mesmo sinal, ou seja,
S = 0
2
3
2
, ,
3. Ache o conjunto solução da inequação 2sen2
x < senx.
9 Solução:
2sen2
x – sen x < 0 sen x (2sen x –1) < 0 0 < sen x <
1
2
5
6 6
1
2
Logo,
S x k x k
= < < +
/2
6
2 ou
5
6
2 2
+ < < +
k x k k
,
Praticando
1. (PUC-Rio) Os ângulos (em graus) entre 0° e 360° para os quais
sen = cos são:
a) 45° e 90°.
b) 45° e 225°.
c) 180° e 360°.
d) 45º, 90º e 180°.
e) 90º, 180º e 270°.
2. (Unicamp) Seja x real tal que cos x = tg x. O valor de sen x é
a)
3 1
2
-
b)
1 3
2
-
c)
5 1
2
-
d)
1 5
2
-

7
PVE19_7_MAT_B_26
3. Ache o conjunto solução da inequação cos2x + cosx –1.
1. C5:H21 (PUC-RS-2016) Se x , então a equação cos(x) = cos(–x)
apresenta o conjunto solução
a) 
b) [–1,1]
c) [0,+ )
d) (– ,0]
e) {–1, 0, 1}
2. C5:H20 (UESPI-2012) Quantas soluções a equação senx
x
=
10
admite
noconjuntodosnúmerosreais?Aseguir,estãoesboçadososgráficos
de senx e
x
10
.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
3. C5:H21 (PUC-Rio-2017) Sabendo que cos(3x) = –1, quais são os
possíveis valores para cos(x)?
a) 0 e
1
2
b)
3
2
1
2
e
c)
1
2
e 1
d) –1 e 5
e) 0 e
3
2
4. C5:H21 (FGV-2012) No intervalo [0, 4 , a equação:
sen3
x – 2sen2
x – 5senx + 6 = 0
tem raízes cuja soma é
a) 2
b) –2
c) 6
d)
2
e) 3
5. C5:H21 (UECE-2014 – adap.) Se p e q são duas soluções da equação
2sen2
x – 3senx + 1 = 0 tais que senp senq, então, o valor da ex-
pressão sen2
p – cos2
q é igual a
a) 0.
b) 0,25.
c) 0,50.
d) 1.
e) 1,5.
6. C5:H21 (UCPel-2011) Sendo x [0, 2 ] e 2sen x – 3cos x = 0, então x
vale
a)
3
b)
2
3
c)
2
5
d)
3
4
e)
5
6
7. C5:H21 (ENaval-2012) A soma dos quadrados das raízes da equação
|senx| = 1 –2sen2
x, quando 0 < x < 2 , vale
a)
49
36
2
b)
49
9
2
c)
7
3
2
d)
14
9
2
e)
49
6
2
8. C5:H21 (CEFET-MG-2014) A solução da inequação
0
2 2
1
1
2
<
+
+
<
sen x sen x
tg x
para x 0
2
, é o conjunto
a) 0
4
,
b) 0
4
,
c) 0
2
,
d) 0
2
,
e)
4 2
,

Matemática
188
PVE19_7_MAT_B_26
9. C5:H21 (CEFET-MG-2013 – adap.) O conjunto formado pelas raízes
dafunção f x
x x
( )=





⋅






cos cos
2
3
3
2
queestãocontidasnointervalo
[0, é
a)
3
,
b)
3
4
,
c)
3
4
4
3
,
d)
3
3
4
, ,
e)
π π
π
π
3
3
4
4
3
, , ,
{ }
10. C5:H21 (Unesp-2014) O conjunto solução (S) para a inequação
2cos2
x + cos(2x) > 2, em que 0 < x < , é dado por:
a) S x x ou x
= < < < <
0 0
6
5
6
, /
b) S x x
= < <
0
3
2
3
, /
c) S x x ou x
= < < < <
0 0
3
2
3
, /
d) S x x
= < <
0
6
5
6
, /
e) S x
= 0,
Complementares
1. (UFSJ-2012) Sendo x um arco tal que 0 x < 2 e 3 2
⋅( )=
tg x senx, é
correto afirmar que
a) a soma das soluções dessa equação é igual a .
b) as extremidades de todos os arcos x que são solução dessa
equação estão no terceiro quadrante.
c) nesse intervalo, a equação tem dois arcos distintos como so-
luções.
d) para qualquer solução dessa equação, tgx = senx.
2. (PUC-Rio) Assinale o valor de para o qual sen2 = tg .
a)
2
b)
3
c)
2
3
d)
4
3
e)
3
4
3. (UECE-2014–adap.)Usandoaexpressãoclássicadodesenvolvimen-
to da potência (a + b)n
, em que a e b são números reais e n é um
número natural, pode-se resolver facilmente a equação
sen4
x – 4sen3
x + 6sen2
x – 4sen x + 1 = 0.
Então, para os valores de x encontrados, teremos cos x igual a
a) 1
b)
3
2
c)
2
2
d) 0
4. (UFPE)Quantassoluçõesaequaçãotrigonométrica senx x
= −
1 cos
admite, no intervalo 0 80
, ?
5. (UCS) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média
diária,T,em°C,possaserexpressa,emfunçãodotempot,emdiasde-
corridos desde o início do ano, por T t sen
t
= +
-
14 12
2 105
364
.
Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima
nesse lugar ocorre no mês de
a) julho.
b) setembro.
c) junho.
d) dezembro.
e) março.
6. (Mackenzie-2014) Em , o domínio da função f, definida por
f x
sen x
senx
( )=
2
, é
a) x x k k
/ ,
b) x k x k k
< < +
/ ,
2 2
c) x k x k k
+ +
/ ,
2
2
3
2
2
d) x k x k k x k k
< + + < +
/ ,
2
2
2
3
2
2 2 2
e) x k x k k x k k
+ + < +
/ ,
2
2
2
3
2
2 2 2
7. (UDESC-2012) A soma de todos os valores de x 0 2
, que satisfa-
zem à equação cos2
(2x) – sen2
(x) = cos6
(x) é igual a
a) .
b) 2 .
c) 5 .
d) 3 .
e) 4 .
8. (UECE-2010) O número de soluções da equação
3 3 0
2 2
sen x senx x
− + =
| | cos
que estão no intervalo [0,2 ] é
a) 2.
b) 8.
c) 4.
d) 6.
9. (Fuvest) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB
= , e ABCD é um
quadrado. Sendo a medida do ângulo AOB, pode-se garantir que
área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
tg14° 0,2493, tg15° 0,2679
tg20° 0,3640, tg28° 0,5317
a) 14° < < 28°.
b) 15° < < 60°.
c) 20° < < 90°.
d) 25° < < 120°.
e) 30° < < 150°.
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Frente B
189
PVE19_7_MAT_B_27
7
Definições iniciais • Juros simples
Juros simples
Juros simples
Definições iniciais
Podemos definir os juros como o rendimento de uma apli-
cação financeira ou o valor referente ao atraso no pagamento
de uma dívida, por exemplo. Em outras palavras, os juros estão
diretamente ligados a valores financeiros. Dessa forma, antes
de falarmos sobre os juros propriamente ditos, vamos saber um
pouco mais sobre aumentos e descontos de mercadorias.
Aumentos e descontos
O preço inicial de um produto, cujo valor era Pi, foi aumen-
tado em x%. Esse produto tem o preço final (Pf) expresso por
Pf = Pi + Pi ⋅ x% = Pi ⋅ (1 + x%)
Sendo um preço inicial Pi que sofreu um desconto de x%,
o novo preço é:
Pf = Pi – Pi ⋅ x% = Pi ⋅ (1 – x%)
9 Exemplos:
1) Um produto custava R$80,00 e sofreu um aumento de 30%. Qual
o novo preço?
Solução:
80,00 ⋅ (1 + 0,3) = R$104,00.
2) Um produto que custava R$80,00 foi vendido com um desconto
de 30%. Qual o preço de venda?
Solução:
80,00 ⋅ (1 - 0,3) = R$56,00.
3) Um produto que custava R$80,00 passou a custar R$110,00. Qual
o percentual de aumento?
Solução:
80 ⋅ (1 + x) = 110 ⇒ x = 0,375 = 37,5%.
4) Um produto que custava R$80,00 foi vendido com desconto por
R$70,00. Qual o percentual do desconto?
Solução:
80 ⋅ (1 - x) = 70 ⇒ x = 0,125 = 12,5%.
5) Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 10%. Qual
o aumento resultante?
Solução:
Observe que, nesse caso, os acréscimos são sucessivos. Con-
siderando Pf o preço final, Pi o preço inicial e x1, x2, x3,..., xn as
taxas de acréscimos sucessivos em decimal, temos:
Pf = Pi (1 + x1) ⋅ (1 + x2) + ... + (1 + xn)
Pf = Pi ⋅ (1 + 0,1) ⋅ (1 + 0,1) = 1,21Pi
Aumento: Pf -Pi = 1,21Pi - Pi = 0,21Pi = 21%.
6) Uma mercadoria sofreu um aumento de 20% e posteriormente
um novo desconto de 20%. Qual o desconto final?
Solução:
Pf = Pi ⋅ (1 + 0,2) ⋅ (1 - 0,2) = 0,96Pi
Desconto: Pf - Pi = 0,96Pi - Pi = -0,04Pi = 4%.
Operações sobre mercadorias
São operações que envolvem a compra e venda de
mercadorias e o lucro ou prejuízo oriundos de tais operações.
Vendas com lucro: o preço de venda (V) é obtido pelo pre-
ço de custo (C) mais o lucro (L).
V = C + L
Vendas com prejuízo: o preço de venda é obtido pelo pre-
ço de custo menos o prejuízo.
V = C - P
O lucro ou o prejuízo são comumente calculados com base
no preço de custo, mas podem também ser calculados sobre
o preço de venda. Observe o quadro a seguir, sendo i a taxa
percentual.
Cálculo sobre o
preço de custo
Cálculo sobre o
preço de venda
Com lucro V = C + i ⋅ C V = C + i ⋅ V
Com prejuízo V = C - i ⋅ C V = C - i ⋅ V
9 Exemplos:
1) Uma mercadoria custou R$80,00. Por quanto deve ser vendida
para que haja um lucro de 10% sobre o preço de custo?
Solução:
V = C + i · C ⇒ V = C + 0,10 · C ⇒ V = 1,1 · C ⇒
V = 1,1 · 80 = R$88,00.
2) Uma mercadoria custou R$80,00. Por quanto deve ser vendida
para que haja um lucro de 10% sobre o preço de venda?
Solução:
V = C + i · V ⇒ V = C + 0,10 · V ⇒ V – 0,10 · V = C ⇒
0,9 V = 80 ⇒ V = R$88,89.
3) Uma mercadoria foi vendida por R$180,00 com um prejuízo de
10% sobre o preço de venda. Qual o preço de custo dessa mer-
cadoria?
Solução:
V = C – i · V ⇒ C = V + iV ⇒C = V(1 + i) ⇒ C = 180 · (1 + 0,10) ⇒
C = 180 · 1,10 ⇒ C = R$198,00.
4) Uma calça foi vendida por R$120,00 com um lucro de 20% sobre
o preço de custo. Qual o preço de custo da calça?
Solução:
V = C + i · c ⇒ V = C(1 + i) ⇒ 120 = C(1 + 0,20) ⇒
120 = 1,2 C ⇒ C = R$100,00.

Matemática
190
PVE19_7_MAT_B_27
Juros simples
O regime de capitalização simples é aquele em que os
juros gerados em cada período são iguais e sobre eles não
incidem novos juros, ou seja, os juros não são capitalizados.
Juros simples é a remuneração recebida pela aplicação
de um capital C a uma taxa de juros de i% durante certo tem-
po t, cuja remuneração é calculada somente sobre o capital
inicial C.
Temos:
J = C ⋅ i ⋅ t
Em que:
● C é o capital inicial aplicado (principal);
● i é a taxa percentual de juros;
● t é o tempo de aplicação;
● J são os juros recebidos.
É fundamental que, na fórmula acima, o tempo t seja ex-
presso na mesma unidade a que estiver referenciada a taxa
de juros i. Dessa forma, se a taxa de juros for ao ano, o tempo
deve ser expresso em anos; já se a taxa de juros for ao mês, o
tempo deverá estar em meses.
Chama-se montante (M) o valor resgatado ao final da
aplicação do capital C.
M = C + J ⇒ M = C (1 + i · t)
No regime de capitalização a juros simples os acréscimos
ao capital em cada período são iguais, ou seja, o montante
cresce segundo uma progressão aritmética, o que pode ser
confirmado pela característica da expressão acima, que é
uma função do 1.º grau em t.
Vale citar que, para o cálculo de juros, normalmente é usa-
do o ano comercial de 360 dias, no qual os meses são sempre
considerados com 30 dias.
9 Exemplos:
1) SeR$3.000,00foramaplicadospor5mesesàtaxadejurossimples
de 4% ao mês, determine os juros recebidos e o montante.
Solução:
= · i · t = 3 000 · 0,04 · = R 600,00
= + = 3 000 + 600 = R 3.600,00
2) Um capital de R$2.000,00 foi aplicado por 7 meses a uma taxa
anualdejurossimplesde24%.Qualomontantedessaaplicação?
Solução:
Como o tempo está em meses e a taxa de juros ao ano, vamos
determinar a taxa de juros mensal:
24
24
12
2
% . .
%
. . % . .
a a a m a m
= =
M = C ⋅ (1 + i ⋅ t)
M = 2 000 ⋅ (1 + 0,02 ⋅ 7) = 2 000 ⋅ 1,14 = R$2.280,00
3) Um capital de R$5.000,00 foi aplicado por 20 dias a juros simples
a 9% ao mês. Qual o montante da aplicação?
Solução:
20 dias =
20
30
mês =
2
3
mês
i = 9% a.m.
M = C · (1 + i · t)
M = ⋅ + ⋅





 = ⋅
5000 1 0 09
2
3
5000 1 06
, ,
M = R$5.300,00
4) O capital de R$500,00 aplicado durante um ano e meio a juros
simples rendeu R$180,00. Qual a taxa mensal?
Solução:
t = 1,5 ano = 18 meses
J C i t i
J
C t
i i
i a m
= ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅
=
⋅
⇒ =
=
180
500 18
0 02
2
,
% . .
5) A aplicação de R$3.000,00 a juros simples de 6% ao mês gerou
montante igual a R$3.420,00. Determine o prazo da aplicação.
Solução:
M = C + J ⇒ J = M - C
J = 3 420 - 3 000 = R$420,00
j C i t t
J
C i
t t t meses
t dias
= ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅
=
⋅
⇒ = ⇒ =
=
420
3 000 0 06
420
180
7
3
70
,
Resolvidos
1. Em relação ao regime de capitalização de juros simples, resolva:
a) UminvestidoraplicouR$50.000,00aumataxadejurosde6%ao
ano por 7 anos. Imagine que o regime de capitalização é simples
e determine o montante dessa aplicação.
b) Uma pessoa realizou um empréstimo de R$220,00 para pagar
após três meses, a taxa de 12% a.t. Determine quanto essa
pessoa pagou de juros, sabendo que o regime de capitalização
utilizado foi o simples.
9 Solução:
a) M = montante
Logo, M = 50000 · (1 + 0,06 · 7) = R$71.000,00
b)
t meses
i
C
J C i t R
=
=
=





⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
3
0 04
220
220 0 04 3 26 40
, , $ ,
2. (FGV)OSr.OliveiraaplicouR$20.000,00numacadernetadepoupan-
ça e R$30.000,00 num fundo de ações por 1 ano. Neste período, a
caderneta de poupança rendeu 8% e o fundo de ações apenas 2%.
a) Qual a taxa de rendimento global do Sr. Oliveira no período?
b) Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações (mantida a
aplicação de R$20.000,00 na caderneta de poupança) para que
sua taxa global fosse de 6% ao ano?
9 Solução:
a) Calculando os juros que a caderneta de poupança e o fundo de
ações renderam, temos:
• Caderneta de poupança: R$20.000,00 ⋅ 0,08 = R$1.600,00
• Fundo de ações: R$30.000,00 ⋅ 0,02 = R$600,00
A taxa de rendimento global será:
i =
+
+
= = =
1600 600
20000 30000
2200
50000
0 044 4 4
, , %

7
PVE19_7_MAT_B_27
b) 8 20000 2
20000
6
1600 0 02
20000
0 06
% % x
%
,
,
⋅ + ⋅
+
=
+
+
=
x
x
x
1200 + 0,06x = 1600 + 0,02x
0,04x = 400
x = 10 000
3. (FGV)Benedito,ummotoristadetáxiquepercorre5040kmpormês,
analisa a hipótese de adquirir um veículo equipado com tecnologia
flex fuel, bicombustível.
No folheto de propaganda a montadora explica que o veículo
bicombustível tanto pode usar álcool como gasolina, em qualquer
proporção, apresentando a seguinte tabela de consumo, de acordo
com as proporções de combustíveis utilizadas:
Combustível Consumo
(km por litro)
Álcool Gasolina
– 100% 18
40% 60% 16
60% 40% 15
70% 30% 14
100% – 10
a) Considerando que atualmente a gasolina custa R$2,00 por litro
e que o preço do litro de álcool é 45% do preço do litro de ga-
solina, que proporção de combustíveis Benedito deveria utilizar
no veículo equipado com tecnologia flex fuel, para que tivesse
o menor gasto mensal possível?
b) Para comprar o carro bicombustível, Benedito despenderá
R$3.000,00 a mais do que gastaria se adquirisse o mesmo
modelo com motor movido a gasolina, que faz 18 km por litro.
Nas duas hipóteses, o seu carro atual entrará como parte do
pagamento. O nosso motorista está em dúvida, pois se comprar
o carro a gasolina poderá aplicar os R$3.000,00 em um fundo
de investimento que garante um rendimento de 30% de juros
no período de 3 anos. Supondo que os preços dos combustíveis
mantenham-se nos níveis atuais nos próximos 3 anos, qual a
aquisição que proporcionará maior ganho a Benedito?
9 Solução:
a) Supondo que Benedito possa usar apenas as opções apresenta-
das na tabela do enunciado, podemos montar a tabela a seguir
para estimar o gasto em cada uma das situações.
Preço por
litro (R$)
Consumo
mensal (L)
Gasto
mensal (R$)
0 · 0,90 + 1 · 2,00 = 2,00 040 : 18 = 280 2,00 · 280 = 560,00
0,4 · 0,90 + 0,6 · 2,00 =1,56 040 : 16 = 31 1,56 · 315 = 491,40
0,6 · 0,90 + 0,4 · 2,00 =1,34 040 : 1 = 336 1,34 · 336 = 450,24
0,7 · 0,90 + 0,3 · 2,00 =1,23 040 : 14 = 360 1,23 · 360 = 442,80
1 · 0,90 + 0 · 2,00 = 0,90 040 : 10 = 04 0,90 · 504 = 453,60
A análise dos resultados mostra que seu gasto mensal será o me-
norpossívelcomaproporçãode70%deálcoole30%degasolina.
b) Nas condições apresentadas, se Benedito adquirir um veículo
com tecnologia flex fuel, ele poderá economizar, no máximo,
560,00–442,80=117,20reaispormêsnogastocomcombustível.
Isso corresponde a 117,20 ⋅ 36 = 4.219,20 reais em 3 anos.
Descontando R$3.000,00, que gastaria a mais na aquisição, ele
economizaria R$1.219,20. Nesse mesmo período, a aplicação de
R$3.000,00 renderia R$900,00 (30% de R$3.000,00). Logo, a me-
lhor aquisição é a do veículo flex fuel.
Praticando
1. UmcapitaldeR$540,00éaplicadoporumanoaumataxade5%a.m.
Imaginando o regime de capitalização simples, determine o valor
dos juros obtidos.
2. Determine o valor resultante de uma aplicação de R$180,00, por 8
meses, sendo a taxa de juros simples igual a 72% a.s.
3. (FGV – adap.) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$10.000,00
paraserpagoemduasparcelasanuais,aserempagasrespectivamente
nofinaldoprimeiroedosegundoano,sendocobradosjurossimplesà
taxa de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 1.ª parcela foi R$4.000,00,
podemos concluir que o valor da 2.ª foi de
a) R$8.800,00.
b) R$8.000,00.
c) R$9.600,00.
d) R$6.000,00.
e) R$10.000,00.

Matemática
192
PVE19_7_MAT_B_27
1. C5:H22 (FMP-2016) A seguir são apresentados termos gerais que
definem cinco sequências de números reais, para n .
an = 80 ∙ (24)n
bn = 80 ∙ (1,30)n
cn = 80 ∙ (0,3)n
dn = 80 + 24n
en = 80 + (2,4)n
Um dos termos gerais apresentados indica o valor devido n meses
após a tomada de um empréstimo de R$80,00, calculado após a
incidência de uma taxa mensal de juros simples de 30% sobre o
valor do empréstimo. Esse termo geral é
a) an
b) bn
c) cn
d) dn
e) en
2. C5:H21 (UERJ-2015 – adap.) Considere uma mercadoria que teve
seu preço elevado de x reais para y reais. Para saber o percentual
de aumento, um cliente dividiu y por x obtendo quociente igual a
2,08 e resto igual a zero.
Em relação ao valor de x, o aumento percentual é equivalente a
a) 10,8%.
b) 20,8%.
c) 108,0%.
d) 208,0%.
e) 280,0%.
3. C5:H21 (Enem-2013) O contribuinte que vende mais de
R$20mil de ações em Bolsa de Valores em um mês de-
verá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Re-
ceita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a
venda das ações.
(Disponível em: <www.folha.uol.com.br> Acesso em. 26 abr. 2010. Adaptado).
Um contribuinte que vende por R$34 mil um lote de ações que
custou R$26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita
Federal o valor de
a) R$ 900,00.
b) R$ 1.200,00.
c) R$ 2.100,00.
d) R$ 3.900,00.
e) R$ 5.100,00.
4. C5:H22 (Enem-2010) Uma empresa possui um sistema de
controle de qualidade que classifica o seu desempenho
financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os
conceitossão:insuficiente,quandoocrescimentoémenor
que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor
que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor
que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e
excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou
lucro de R$132.000,00 em 2008 e de R$145.000,00 em 2009.
De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempe-
nho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado
a) insuficiente.
b) regular.
c) bom.
d) ótimo.
e) excelente.
5. C5:H21 (IFSC-2017) Analise as seguintes situações:
1. Seu João fez um empréstimo de R$1.000,00 no Banco A, a uma
taxa de juros simples; após 4 meses, pagou um montante de
R$1.320,00 e quitou sua dívida.
2. Dona Maria fez um empréstimo de R$1.200,00 no Banco B, a
uma taxa de juros simples; após 5 meses, pagou um montante
de R$1.800,00 e quitou a dívida.
A taxa mensal de juros simples cobrada pelo Banco A e pelo Banco
B, respectivamente, é:
a) 8% a.m. e 10% a.m.
b) 18% a.m. e 13% a.m.
c) 6,4% a.m. e 12,5% a.m.
d) 13% a.m. e 18% a.m.
e) 10% a.m. e 8% a.m.
6. C5:H21 (UFSM-2015) A chegada da televisão no Brasil facilitou o
acesso à informação. Com o avanço da tecnologia, os aparelhos
estão cada dia mais modernos e consequentemente mais caros.
Um consumidor deseja adquirir uma televisão com tecnologia de
última geração. Enquanto aguarda o preço da televisão baixar, ele
aplica o capital disponível de R$3.000,00 a juros simples de 0,8% ao
mês em uma instituição financeira, por um período de 18 meses.
O montante, ao final desse período, é igual a
a) R$7.320,00.
b) R$5.400,00.
c) R$4.320,00.
d) R$3.432,00.
e) R$3.240,00.
7. C5:H21(UEPA-2015)Umagricultorfinancioujuntoaumacooperativa
os insumos utilizados na lavoura em 2014. Pagou 20% do valor dos
insumos no ato da compra, utilizando parte do lucro obtido no ano
anterior, e financiou o restante em 10 meses a uma taxa de 2% ao
mês a juros simples. Observou que havia gastado o montante de
R$208.800,00 com a parte financiada. Neste caso, o valor financiado
dos insumos pelo agricultor foi de
a) R$217.500,00.
b) R$174.000,00.
c) R$164.000,00.
d) R$144.500,00.
e) R$136.000,00.
8. C5:H21 (Enem-2011) Uma pessoa aplicou certa quantia
em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do
investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que
havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar
o montante de R$3.800,00 gerado pela aplicação.
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde
ao valor de
a) R$4.222,22.
b) R$4.523,80.
c) R$5.000,00.
d) R$13.300,00.
e) R$17.100,00.
9. C5:H21 (Enem-2015)Umfornecedorvendiacaixasdeleite
a um supermercado por R$1,50 a unidade. O supermerca-
docostumavacomprar3000caixasdeleitepormêsdesse
fornecedor.Umaforteseca,ocorridanaregiãoondeoleite
éproduzido,forçouofornecedoraencareceropreçodevendaem40%.
Osupermercadodecidiuentãocortarem20%acompramensaldessas
caixas de leite. Após essas mudanças, o fornecedor verificou que sua
receita nas vendas ao supermercado tinha aumentado. O aumento da
receita nas vendas do fornecedor, em reais, foi de
a) 540.
b) 600.
c) 900.
d) 1260.
e) 1500.
10. C6:H25 (Enem-2011) Um jovem investidor precisa esco-
lher qual investimento lhe trará maior retorno financei-
ro em uma aplicação de R$500,00. Para isso, pesquisa o
rendimento e o imposto a ser pago em dois investimen-
tos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As infor-
mações obtidas estão resumidas no quadro:
Rendimento
Mensal (%)
IR (Imposto de
Renda)
Poupança 0,560 Isento
CDB 0,876 4% (sobre o ganho)
Paraojoveminvestidor,aofinaldeummês,aaplicaçãomaisvantajosaé
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$500,87.

7
PVE19_7_MAT_B_27
Complementares
1. (CEFET-MG-2016) O pagamento de uma televisão foi feito, sem en-
trada, em 5 parcelas mensais iguais, corrigidas a juros simples pela
taxa de 0,7% ao mês. Dessa forma, no final do período, o valor total
pago, em percentual, será maior do que o inicial em
a) 2,1.
b) 3,5.
c) 4,2.
d) 7,3.
2. (CEFET-MG-2015)Umaclientefezumempréstimo,ajurossimples,de
R$600,00 em um banco, a uma taxa de 4% ao mês, por dois meses.
Quando ela foi pagar, o gerente do banco informou-lhe que poderia
sortear uma taxa i para ter um desconto sobre o valor de sua dívida.
Fez-se o sorteio e foi lhe concedido o desconto, resultando no pa-
gamento de R$602,64. Dessa forma, o valor da taxa i sorteada foi de
a) 5%.
b) 6%.
c) 7%.
d) 8%.
3. (UFSJ-2012) Para adquirir uma certa mercadoria, são oferecidos ao
consumidor três planos de pagamento possíveis:
I. Pagamento no ato da compra, com 15% de desconto à vista.
II. Três parcelas mensais fixas iguais, com pagamento da primeira
no ato da compra.
III. Seis parcelas mensais fixas iguais, com juros simples de 2% ao
mês, com pagamento da primeira 30 dias após a compra.
Se cada uma das parcelas do plano II é de x reais, é correto afirmar
que
a) no plano III, cada prestação é de 0,5x reais.
b) no plano I, o valor pago pela mercadoria é de 2,75x reais.
c) a diferença entre o valor pago pela mercadoria nos planos I e
III é de 0,81x reais.
d) a diferença entre o valor pago pela mercadoria nos planos II e
III foi de 0,3x reais.
4. (CEFET-MG) Se 20% de a equivale a 30% de b e 20% de c é 70% de
b, então, a porcentagem de a que equivale a 10% de (a + b + c) é
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 35.
e) 40.
5. (UEMG) De acordo com dados do Ministério da Agricultura, uma
roçadeira tem vida útil de 12 anos, sem valor residual estimado.
Suponha que, no dia 1.º de janeiro de um certo ano, um agricultor
tenha comprado uma roçadeira nova no valor de R$36.000,00.
Considerando-sequeadepreciaçãodovalordaroçadeirasejalinear,
no dia 1.º de setembro do mesmo ano em que ela foi comprada,
esse valor sofreu um decréscimo percentual de aproximadamente
a) 2%.
b) 3%.
c) 5%.
d) 7%.
6. (UERJ-2016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por
uma das seguintes formas de pagamento:
● à vista, no valor de R$860,00;
● em duas parcelas fixas de R$460,00, sendo a primeira paga no
ato da compra e a segunda 30 dias depois.
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da
compra é de
a) 10%.
b) 12%.
c) 15%.
d) 18%.
7. (FGV) Um fabricante vende determinado produto pelo preço p, para
pagamentonmesesapósacompra.Seopagamentoforfeitoàvista,
há um desconto igual a 5% de p. A taxa mensal de juros simples do
financiamento é:
a)
100
19n
%
b)
100
20n
%
c)
100
21n
%
d)
100
22n
%
e)
100
23n
%
8. (Unesp)OpreçodetabeladeumdeterminadoprodutoéR$1.000,00.
O produto tem um desconto de 10% para pagamento à vista e um
desconto de 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo que o
valor a ser desembolsado no pagamento à vista possa ser aplicado
pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com um rendimento
de 3%, determine:
a) Quanto o comprador teria ao final da aplicação.
b) Qual é a opção mais vantajosa para o comprador, pagar à vista
ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifique matemati-
camente sua resposta).
9. (FGV)UmcapitalCdeR$2.000,00éaplicadoajurossimplesàtaxade
2% ao mês. Quatro meses depois, um outro capital D de R$1.850,00
também é aplicado a juros simples, a taxa de 3% ao mês. Depois de
n meses, contados a partir da aplicação do capital C, os montantes
se igualam. Podemos afirmar que a soma dos algarismos de n é
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
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Matemática
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Frente B
194
PVE19_7_MAT_B_28
A maioria das operações financeiras não trabalha com
sistema de capitalização simples, mas sim com capitalização
composta.
No regime de capitalização composta, os juros gerados
em cada período são incorporados ao capital (capitalizados)
para o cálculo dos juros no período seguinte.
Chamamos juros compostos a remuneração que o ca-
pital C recebe após n períodos de aplicação, quando a cada
período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o
montante do capital no período anterior:
M = C ⋅ (1 + i)t
Na fórmula, M é o montante, ou seja, o valor resgatado ao
final do período.
É importante interpretar o significado da expressão an-
terior, a qual estabelece que uma quantia hoje igual a C0 se
transformará, depois de n períodos de tempo, em uma quan-
tia M = C0 ⋅ (1 + i)t
.
Assim, podemos concluir que:
● para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por
(1 + i)t
;
● para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 + i)t
.
O fator (1 + i)n
é chamado fator de capitalização.
Os juros J podem ser obtidos subtraindo do montante M
o capital inicial C.
J = M – C
No regime de capitalização a juros compostos o montante
cresce segundo uma progressão geométrica, o que pode ser
confirmado pela característica da expressão M = C ⋅ (1 +i)t
, que
é uma função exponencial em função de t.
9 Exemplos:
1) Qual o montante produzido por R$10.000,00 à taxa de juros com-
postos de 6% ao mês durante 5 meses?
Solução:
M = C ⋅ (1 + i)t
= 10 000 ⋅ (1 + 0,06)5
= 10 000 ⋅ 1,065
= R$13.382,25
2) Calcule o montante da aplicação de R$10.000,00 à taxa compos-
ta de 8% ao trimestre durante 1 ano.
Solução:
t = 1 ano = 4 trimestres
M = C ⋅ (1 + i)t
= 10 000 ⋅ (1 + 0,08)4
= 10 000 ⋅ 1,084
= R$13.604,88
3) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 por um ano e meio à taxa de juros
compostosde6%aobimestre.Qualomontantedessaaplicação?
Solução:
t = 1,5 anos = 18 meses = 9 bimestres
M = C ⋅ (1 + i)t
= 1 000 ⋅ (1 + 0,06)9
= 1 000 ⋅ 1,069
= R$1.689,48
4) Qual o capital que, aplicado a juros compostos de 2% ao mês,
gera um montante de R$225.232,40 após um semestre?
Solução:
t = 1 semestre = 6 meses
M = C(1 + i)t
22 232,40 = (1 + 0,02)6
22 232,40 = (1,02)6
⋅ C
C = R$200.000,00
5) Determine o capital que, aplicado à taxa composta de 9% ao
mês, rende juros de R$ 82.316,20 numa aplicação de 4 meses.
Solução:
M = C ⋅ (1 + i)t
J = M – C ⇒ J + C = M ⇒ J + C = C (1 + i)t
⇒
J = C(1 + i)t
– C ⇒ J = C[(1 + i)t
– 1]
82 316,20 = (1 + 0,0 )4
– 1]
82 316,20 = 0,411 81
C = R$200.000,00
Resolvidos
1. Um empréstimo de R$200,00 foi realizado a juros compostos para
ser pago após dois meses. Se o valor dos juros pagos foi de R$42,00,
qual a taxa mensal de juros?
9 Solução:
242 200 1 1
121
100
1
121
100
1
11
10
11 1
2 2
= ⋅ + ⇒ + = ⇒ + =
⇒ + = ⇒ = − ⇒
( ) ( )
,
i i i
i i i =
= ⇒
0 1 10
, % . .
a m
2. (UEG-2010)Umcapitaléemprestadoàtaxade8%aoano,noregime
de juros compostos. Determine o tempo necessário de aplicação,
de modo que o montante seja 80% superior ao capital emprestado
inicialmente. Para os cálculos, se necessário, utilize as aproximações:
log1,8 = 0,255 e log1,08 = 0,03.
9 Solução:
O montante composto M resultante do empréstimo do capital C
após n anos, a uma taxa de juros anual de i%, é dado por M = C(1+i)n
.
Queremos calcular n de modo que M = 1,8C.
Juros Compostos
Juros compostos

7
PVE19_7_MAT_B_28
M C C C
n
n
n
n
= ⇔ = +
( )
=
=
=
1 8 1 8 1 0 08
1 8 1 08
1 8
1 08
0 255
0 035
, , ,
, ,
log ,
log ,
,
,
≅
≅7 3
, anos
Isso corresponde a 7 anos, 3 meses e 18 dias. De fato,
7,3 = 7,0 + 0,3
0,3 · 12 = 3,6 = 3 + 0,6
0,6 · 30 = 18
3. (FGV) Se uma pessoa faz hoje uma aplicação financeira a juros
compostos, daqui a 10 anos o montante M será o dobro do capital
aplicado C. Utilize a tabela a seguir.
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4
2x
1 1,0718 1,1487 1,2311 1,3195
Qual é a taxa anual de juros?
a) 6,88%
b) 6,98%
c) 7,08%
d) 7,18%
e) 7,28%
9 Solução: D
Considerando t = 10 anos e M(10) = 2C, temos:
M C i C C
i i
i
t
= ⋅ +
( ) ⇒ = ⋅ +





 ⇒ = +





 ⇒
⇒ = +
1 2 1
100
2 1
100
2 1
10
10 10
10
0
0
2 1
100
2 1
100
1 0718 1
100
0 0718
100
7
1
10 0 1
⇒ = + ⇒ = + ⇒
⇒ = + ⇒ = ⇒ =
i i
i i
i
,
, , ,1
18%
Praticando
1. (FGV) Uma mercadoria é vendida com entrada de R$500,00 mais
2 parcelas fixas mensais de R$576,00. Sabendo-se que as parcelas
embutem uma taxa de juros compostos de 20% ao mês, o preço à
vista dessa mercadoria, em reais, é igual a
a) 1.380,00.
b) 1.390,00.
c) 1.420,00.
d) 1.440,00.
e) 1.460,00.
2. (UFPR)UmaquantiainicialdeR$1.000,00foiinvestidaemumaaplica-
çãofinanceiraquerendejurosde6%,compostosanualmente.Qualé,
aproximadamente,otemponecessárioparaqueessaquantiadobre?
(Use log2(1,06) ≈ 0,084)
3. Imagine que um investidor aplicou R$1.000,00 e após t meses res-
gatou R$3.000,00. Se a valorização mensal dessa aplicação é de 8%
e se o regime de capitalização for composto, qual deve ser o valor
de t, em meses?
1. C5:H21 (Enem-2013) O Conselho Monetário Nacional (CMN) deter-
minou novas regras sobre o pagamento mínimo da fatura do cartão
de crédito, a partir do mês de agosto de 2011. A partir de então, o
pagamento mensal não poderá ser inferior a 15% do valor total da
fatura. Em dezembro daquele ano, outra alteração foi efetuada: daí
em diante, o valor mínimo a ser pago seria de 20% da fatura.
(Disponível em: <http://g1.globo.com>. Acesso em: 29 fev. 2012.)
Um determinado consumidor possuía no dia do vencimento,
01/03/2012, uma dívida de R$1.000,00 na fatura de seu cartão de
crédito. Se não houver pagamento do valor total da fatura, são co-
brados juros de 10% sobre o saldo devedor para a próxima fatura.
Para quitar sua dívida, optou por pagar sempre o mínimo da fatura
a cada mês e não efetuar mais nenhuma compra.
A dívida desse consumidor em 01/05/2012 será de
a) R$ 600,00.
b) R$ 640,00.
c) R$ 722,50.
d) R$ 774,40.
e) R$ 874,22.

Matemática
196
PVE19_7_MAT_B_28
2. C5:H21 (Enem-2015) Um casal realiza um financiamento
imobiliário de R$180.000,00, a ser pago em 360 presta-
ções mensais com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A
primeira prestação é paga um mês após a liberação dos
recursos e o valor da prestação mensal é de R$500,00 mais juro de
1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento).
Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em
R$500,00 e considere que não há prestação em atraso. Efetuando o
pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na
décima prestação é de
a) 2.075,00.
b) 2.093,00.
c) 2.138,00.
d) 2.255,00.
e) 2.300,00.
3. C5:H21 (UEMA-2013) Considere a seguinte situação sobre taxas
de juros no mercado financeiro, em que o cálculo é efetuado
por uma composição de juros determinado pelo coeficiente
(1 + i)n
, sendo i a taxa de juros e n o período (tempo). Este coeficiente
é multiplicado ou dividido, de acordo com a natureza da operação,
do empréstimo ou da aplicação. O Sr. Borilo Penteado tomou um
empréstimo de R$800,00 a juros de 5% ao mês. Dois meses depois,
pagou R$400,00 e, um mês após o último pagamento, liquidou o
débito. O valor do último pagamento, em reais, é de
a) 1.282,00.
b) 926,10.
c) 882,00
d) 526,10.
e) 506,10.
4. C5:H21 (UPE-2014) Antônio foi ao banco conversar com seu gerente
sobreinvestimentos.EletemumcapitalinicialdeR$2.500,00edeseja
saber depois de quanto tempo de investimento esse capital, apli-
cado a juros compostos, dobrando todo ano, passa a ser maior que
R$40.000,00. Qual a resposta dada por seu gerente?
a) 1,5 anos.
b) 2 anos.
c) 3 anos.
d) 4 anos.
e) 5 anos.
5. C5:H21 (IFPE-2012) Nas aplicações financeiras feitas nos bancos
são utilizados os juros compostos. A expressão para o cálculo é
C C i
F O
T
= +
( )
1 em que CF é o montante, CO é o capital, i é a taxa e
T o tempo da aplicação. Como CF depende de T, conhecidos CO e i,
temos uma aplicação do estudo de função exponencial. Um profes-
sor, ao deixar de trabalhar em uma instituição de ensino, recebeu
uma indenização no valor de R$20.000,00. Ele fez uma aplicação
financeira a uma taxa mensal (i) de 8%. ApósT meses, esse professor
recebeu um montante de R$43.200,00. Qual foi o tempo T que o
dinheiro ficou aplicado?
Obs.: use log(1,08) = 0,03 e log(2,16) = 0,33
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
6. C6:H25 (Enem-2013) Um trabalhador possui um cartão de crédito
que, em determinado mês, apresenta o saldo devedor a pagar no
vencimentodocartão,masnãocontémparcelamentosaacrescentar
em futuras faturas. Nesse mesmo mês, o trabalhador é demitido.
Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar
o cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem
a atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão
taxas de juros e encargos por conta do não pagamento da dívida.
Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não
pagamentodasfaturas,otrabalhadorprocurarenegociarsuadívida.
O gráfico mostra a evolução do saldo devedor.
Combasenográfico,podemosconstatarqueosaldodevedorinicial,
a parcela mensal de juros e a taxa de juros são
a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês.
b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês.
c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês.
d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês.
e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês.
7. C5:H22 (Enem-2017) Um empréstimo foi feito a taxa mensal de i%
usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente
a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas
ainda a pagar. Após pagar a 5.ª parcela, resolve quitar a dívida no
ato de pagar a 6.ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do
empréstimo é
a) P
i i
1
1
1
100
1
1
100
2
+
+






+
+


















b) P
i i
1
1
1
100
1
1
2
100
+
+






+
+


















c) P
i i
1
1
1
100
1
1
100
2 2
+
+






+
+


















d) P
i i i
1
1
1
100
1
1
2
100
1
1
3
100
+
+






+
+






+
+


















e) P
i i i
1
1
1
100
1
1
100
1
1
100
2 3
+
+






+
+






+
+



















7
PVE19_7_MAT_B_28
8. C5:H21 (UFSM-2013) No Brasil, falar em reciclagem implica citar os
catadores de materiais e suas cooperativas. Visando a agilizar o tra-
balho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir
na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para
a compra, são depositados, no primeiro dia de cada mês, R$600,00
em uma aplicação financeira que rende juros compostos de 0,6%
ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao
final de n meses, é
a) 100600 1 006 1
,
( ) −




n
b) 100000 1 06 1
,
( ) −




n
c) 10060 1 006 1
,
( ) −




n
d) 100600 1 06 1
,
( ) −




n
e) 100000 1 006 1
,
( ) −




n
9. C6:H25 (Enem-2011) Considere que uma pessoa decida
investir uma determinada quantia e que lhe sejam
apresentadas três possibilidades de investimento, com
rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um
ano, conforme descritas:
Investimento A: 3% ao mês;
Investimento B: 36% ao ano;
Investimento C: 18% ao semestre.
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor
do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para
a análise das rentabilidades:
n 1,03n
3 1,093
6 1,194
9 1,305
12 1,426
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa
pessoa deverá
a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas
rentabilidades anuais são iguais a 36%.
b) escolherosinvestimentosAouC,poissuasrentabilidadesanuais
são iguais a 39%.
c) escolheroinvestimentoA,poisasuarentabilidade anualémaior
que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é
maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18%
do investimento C.
e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao
é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos
A e B.
10. C5:H21 (ULBRA-2012) Carlos aplicou R$500,00 num banco a uma
taxa de juros compostos de 20% ao ano. Sabendo que a fórmula de
cálculo do montante é M = C ⋅ (1 + i)n
, onde M é o montante, i a taxa
de juros, C o valor da aplicação e n o período da aplicação, qual o
tempo necessário aproximado para que o montante da aplicação
seja R$8.000,00?
(Dados: log2 = 0,301 e log12 = 1,079)
a) 20 meses e 14 dias.
b) 12 anos, 6 meses e 10 dias.
c) 15 anos, 2 meses e 27 dias.
d) 15 anos e 10 dias.
e) 12 anos.
Complementares
1. (ESPM-2016) Em todos os dias 10 dos meses de janeiro, fevereiro
e março de um certo ano, o Sr. João aplicou a mesma quantia de
R$1.000,00 à taxa de juros compostos de 10% ao mês. Podemos
concluir que o montante dessa aplicação no dia 10 de abril desse
mesmo ano foi de
a) R$4.203,00.
b) R$3.641,00.
c) R$4.015,00.
d) R$3.135,00.
e) R$3.968,00.
2. (FGV-2012) Aplicando 1 real a juros compostos durante 12 anos,
obtém-seummontantede64reais.Usandoatabelaaseguir,pode-se
dizer que a taxa anual de juros é
x 1 2 3 4 5 6
x 1 1,4142 1,7321 2 2,2361 2,4495
a) 41,42%.
b) 73,21%.
c) 100%.
d) 123,61%.
e) 144,95%.
3. (UERJ-2013) Observe o anúncio a seguir, que apresenta descontos
promocionais de uma loja.
mega
compra de dia dos pais
(Adaptado de <boaspromoções.com.br>.)
10%
de desconto
10%
de desconto de desconto
100
R$
+ +
Admita que essa promoção obedeça à seguinte sequência:
● primeiro desconto de 10% sobre o preço da mercadoria;
● segundo desconto de 10% sobre o valor após o primeiro des-
conto;
● desconto de R$100,00 sobre o valor após o segundo desconto.
Determine opreço inicialdeumamercadoriacujo valor, após os três
descontos, é igual a R$710,00.
4. (FGV-2010) Um capital de R$1.000,00 é aplicado a juro simples, à
taxa de 10% ao ano; os montantes, daqui a 1, 2, 3, ... n anos, formam
a sequência (a1, a2, a3,..., an).
OutrocapitaldeR$2.000,00éaplicadoajurocomposto,àtaxade10%
ao ano gerando a sequência de montantes (b1, b2, b3, ..., bn) daqui a 1,
2, 3, ... n anos. As sequências (a1, a2, a3,..., an) e (b1, b2, b3,..., bn) formam,
respectivamente,
a) uma progressão aritmética de razão 1,1 e uma progressão
geométrica de razão 10%.
b) uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão
geométrica de razão 0,1.
c) uma progressão aritmética de razão 10% e uma progressão
d) uma progressão aritmética de razão 1,10 e uma progressão
e) uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão

Matemática
198
PVE19_7_MAT_B_28
5. (FGV-2012) César aplicou R$10.000,00 num fundo de investimentos
que rende juros compostos a uma certa taxa de juro anual positiva i.
Após um ano, ele saca desse fundo R$7.000,00 e deixa o restante
aplicado por mais um ano, quando verifica que o saldo é R$6.000,00.
O valor de (4i – 1)² é
a) 0,01.
b) 0,02.
c) 0,03.
d) 0,04.
e) 0,05.
6. (FGV-2017)Certocapitalfoiaplicadoemregimedejuroscompostos.
Nos quatro primeiros meses, a taxa foi de 1% ao mês e, nos quatro
meses seguintes, a taxa foi de 2% ao mês. Sabendo-se que, após os
oito meses de aplicação, o montante resgatado foi de R$65.536,00,
então o capital aplicado, em reais, foi aproximadamente igual a
Dado: 65536 = 216
a) 3,668
b) 3,728
c) 3,788
d) 3,888
e) 3,968
7. (CEFET-MG-2011)OcapitaldeR$2.000,00,aplicadoataxade3%a.m.
por 60 dias, gerou um montante M1 e o de R$1.200,00, aplicado a
2%a.m.por30dias,resultouummontanteM2.Seasaplicaçõesforam
a juros compostos, então,
a) a soma dos montantes foi de R$3.308,48.
b) a soma dos montantes foi de R$3.361,92.
c) a diferença em módulo entre os montantes foi de R$897,80.
d) a diferença em módulo entre os montantes foi de R$935,86.
8. (UFRN-2013) Maria pretende comprar um computador cujo preço é
R$900,00. O vendedor da loja ofereceu dois planos de pagamento:
parcelarovaloremquatroparcelasiguaisdeR$225,00,sementrada,
ou pagar à vista, com 5% de desconto. Sabendo que o preço do
computador será o mesmo no decorrer dos próximos quatro meses,
e que dispõe de R$855,00, ela analisou as seguintes possibilidades
de compra:
Opção 1 Comprar à vista, com desconto.
Opção 2
Colocar o dinheiro em uma aplicação que ren-
de 1% de juros compostos ao mês e comprar,
no final dos quatro meses, por R$900,00.
Opção 3
Colocar o dinheiro em uma aplicação que
rende 1% de juros compostos ao mês e com-
prar a prazo, retirando, todo mês, o valor da
prestação.
Opção 4
Colocar o dinheiro em uma aplicação que
rende 2,0% de juros compostos ao mês e com-
prar, três meses depois, pelos R$900,00.
EntreasopçõesanalisadasporMaria,aqueoferecemaiorvantagem
financeira no momento é a
a) opção 2.
b) opção 1.
c) opção 4.
d) opção 3.
9. (USF-2016) Pensando em montar seu próprio consultório, Nathália
começou a economizar desde que entrou no curso de Medicina.
Ao passar no vestibular, ela ganhou R$5.000,00 de seus pais e os
aplicou a uma taxa de 0,5% ao mês a juros compostos. Além disso,
mensalmente, ela depositou R$100,00 à mesma taxa de juros com-
postos. Hoje, passados 5 anos, ou seja, 60 meses, qual o montante
do rendimento dos R$5.000,00 e qual o valor economizado por
Nathália com suas aplicações mensais? (Considere 1,00560
1,35)
a) R$6.750,00 e R$7.000,00.
b) R$6.500,00 e R$7.800,00.
c) R$6.500,00 e R$7.000,00.
d) R$6.750,00 e R$7.800,00.
e) R$7.800,00 e R$6.500,00.
GABARITO ONLINE
de leitura QR Code.

Frente C | Livro
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Frente C
199
PVE19_7_MAT_C_25
7
VERSÃO 3.3
Distância entre ponto e reta
Seja A um ponto no plano e r uma reta qualquer, com A r.
A
d1
A1
r
d2
A2
d3
A3
d4
A4
d5
A5
d6
A6
d7
A7
d8
A8
A medida de cada um dos segmentos di (para i = 1, 2, ..., 7, 8)
representa a distância de um ponto Ai (para i = 1, 2, ..., 7, 8) da
reta r ao ponto A.
Visivelmente é possível perceber que essas distâncias não
são iguais.
Note que, na figura anterior, o ângulo entre o segmento d6
e a reta r tem medida igual a 90°. Perceba também que, devi-
do a isso, os triângulos AA6Ai (para i = 1, 2,..., 7, 8, com i 6) são
retângulos. Para qualquer um desses triângulos, observamos
que o segmento d6 é cateto, enquanto os demais segmentos
di são as hipotenusas (pois são opostos ao ângulo reto). Dessa
forma, como a hipotenusa de um triângulo retângulo é sem-
pre maior do que qualquer um dos seus catetos, concluímos
que a menor distância do ponto A até a reta r é o valor numé-
rico representado pelo comprimento do segmento d6.
Definimos a distância de um ponto P a uma reta r como
sendo a menor das distâncias entre P e qualquer ponto de r.
A fórmula para esse cálculo é dada por:
d
ax by c
a b
=
+ +
+
0 0
2 2
Em que r: ax + by + c é a equação geral da reta e x0 e y0 são
as coordenadas do ponto P.
9 Exemplo:
Vamos calcular a distância da reta r : 3x + 5y = –1 ao ponto (1, –3).
Podemos reescrever r como 3x + 5y + 1 = 0. Dessa forma, temos
a = 3, b = e c = 1. Lo o, a dist ncia de r ao ponto (1, 3)
d =
⋅( )+ ⋅ −
( )+
+
=
− +
= =
3 1 5 3 1
3 5
3 15 1
34
11
34
11 34
34
2 2
Distância entre retas paralelas
Sejam r: ax + by + c = 0 e s: dx + ey + f = 0. Para que r e
s sejam paralelas e não coincidentes, precisamos ter a = d;
b e .
Além disso, é possível calcular a distância entre duas re-
tas paralelas e não coincidentes. Para r e s, definidas acima,
temos:
d r s
f c
a b
,
( ) =
−
+
2 2
9 Exemplo:
As retas r: 3x + 4y – 3 = 0 e s: 3x + 4y + 4 = 0 são paralelas e não
coincidentes, pois os coeficientes de x e s o i uais em r e s e -3 4.
Al m disso, observamos que a dist ncia entre r e s dada por:
d r s
a b
,
( )=
− −
( )
+
=
+
=
4 3 7
3 4
7
5
2 2 2 2
Área de um triângulo
Observe a seguir o triângulo de vértices (xA, yA), (xB, yB) e
(xC, yC) representado no plano cartesiano.
x
0
y
yA
yC
yB
xC xA xB
É possível afirmar que a área do triângulo é igual a
A
D
=
| |
2
E ue D
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
Distância entre ponto e reta •
Distância entre retas paralelas • Área de um triângulo
Distância entre
ponto e reta
Distância entre ponto e
reta e área de um triângulo

Matemática
200
PVE19_7_MAT_C_25
9 Exemplo:
Qual a área do tri n ulo de v rtices (2, 4), (3, ) e ( 1, 0)
Solução:
2 4 1
3 5 1
1 0 1
2 4
3 5
1 0
10 4 12 5 1
− −
= − − + = −
Lo o, A=
−
=
1
2
1
2
u.a..
Resolvidos
1. O triângulo ABC tem área igual 4 u.a. Seus vértices são A = (2, –1),
B = (x, 3) e C = (0, 1). Dessa forma, encontre o(s) possível(eis)
valor(es) de x.
9 Solução:
2 1 1
3 1
0 1 1
2 1
3
0 1
6 2 2 4
− −
= + + − = +
x x x x x
Logo,
A
D x x
x
x
x
= ⇔ =
+
⇔
+ =
− − =



⇔
=
= −



2
4
2 4
2
2 4 8
2 4 8
2
6
Portanto, x = 2 ou x = –6.
2. Resolva o que se pede.
a) Determine a distância entre o ponto P (1, 3) e a reta r de equação
x - y + 1 = 0
9 Solução:
D
ax by c
a b
u m
P r
, . .
=
+ +
+
=
⋅ − ⋅ +
+ −
( )
=
−
= =
0 0
2 2 2 2
1 1 1 3 1
1 1
1
2
1
2
2
2
b) Determine o valor de a, sabendo que os pontos A (-3, -4) e
B (3, a) são equidistantes da reta r de equação 3x + 4y -10 = 0
e que o ponto B pertence ao primeiro quadrante.
9 Solução:
D
ax by c
a b
u m
r
A, . .
=
+ +
+
=
⋅ −
( )+ ⋅ −
( )−
+
=
−
= =
0 0
2 2 2 2
3 3 4 4 10
3 4
35
25
35
5
7
D D
a a a
r A r
B, ,
= =
⋅ + ⋅ −
+
=
−
=
−
=
3 3 4 10
3 4
4 1
25
4 1
5
7
2 2
Então,
4 1
5
7
4 1
5
7
a
ou
a
−
=
−
= − .
Temos dois casos:
i a
a
a
ii a
a
)
)
4 1 35
4 36
9
4 1 35
4 34
− =
=
=
− = −
= −
a = −8 5
, (não convém, pois B pertence ao primeiro quadrante)
Portanto, a = 9.
3. Qual é a área de um triângulo cujos vértices são (a,0), (0, 0) e (0, –a)?
9 Solução:
D =
a
a
a
a
a A
a a
0 1
0 0 1
0 1
0
0 0
0
2 2
2
2 2
− −
= ⇒ = =
| |
Praticando
4. (UEPB) A distância entre o ponto P(3, 5) e a reta r, de equação
x + 2y – 8 = 0, é igual a
a) 5
b) 3
c) 2
d) 5
e) 3
5. Qual é a área de um triângulo cujos vértices são a origem (2, 3) e
(–1, 4)?
6. (FGV) A distância entre duas retas paralelas é o comprimento do
segmento de perpendicular às retas que têm uma extremidade em
uma reta e a outra extremidade na outra reta. No plano cartesiano, a
distância entre as retas de equações 3x + 4y = 0 e 3x + 4y + 10 = 0 é
a) 0,5.
b) 1.
c) 1,5.
d) 2.
e) 2,5.

Frente C | Livro 201
7
PVE19_7_MAT_C_25
1. C2:H8(PUCMinas-2013–adap.)Ográficomostraoresultadodeuma
experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de
certo vegetal como função do tempo e em condições diferentes de
luminosidade. No escuro, a função linear y = m1x se ajustou bem
aos dados obtidos nesse experimento e, no claro, a função y = m2x
foi a que melhor se aproximou dos resultados dessa experiência.
Nessas funções, y é a quantidade de potássio absorvida, medida
em micromoles por grama, e x é o tempo medido em horas, sendo
m1 e m2 as respectivas taxas de absorção.
0 2
4
12
(no claro)
(no escuro)
3 x
y
Com base nessas informações e considerando m1 como a taxa
de absorção no escuro e m2 como a taxa de absorção no claro, é
correto afirmar:
a) m1 = m2
b) m1 = 2m2
c) m2 = 2m1
d) m1 · m2 = –1
e) m2 = m2
1
2. C2:H8 (Insper-2014) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente
angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a
reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um ponto
de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um ponto de
abscissa 6, então
a) b = a.
b) b = a – 9.
c) b = a – 6.
d) b = a + 9.
e) b = a + 6.
3. C2:H8 (UEPB-2011) As bases de um trapézio têm como suporte
as retas de equações x – y – 1 = 0 e 3y – 3x + 5 = 0. A altura deste
trapézio em cm é:
a)
2
3
b)
2
3
c)
3
2
d)
2
3
e)
8
3 2
4. C2:H8(ACAFE-2016–adap.)Considereoretângulodafiguraaseguir,
comumladocontidonaretas:x–2=0,ooutronoeixodasabscissas
e um vértice P na reta R que passa pelos pontos A (10, 0) e B (2, 8).
B
y
0
C
s
P
A
r x
O valor da área máxima do retângulo hachurado, em unidades de
área, equivale a
a) quarta parte da área do triângulo ABC.
b) área de um retângulo cujo perímetro é 20 u.c.
c) área de um quadrado de lado 4 u.c.
d) área de um quadrado de lado 6 u.c.
e) área de um quadrado de lado 8 u.c.
5. C2:H8 (UNEB-2013 – adap.) Um mapa rodoviário foi desenhado, na
escalade1:1000000,sobreumsistemadecoordenadascartesianas,
graduadoemcentímetros.Nessemapa,arodoviaprincipalobedece
à equação 5x + 12y + 2 = 0 e duas cidades A e B são indicadas pelos
pontos(1,6)e(5,2),respectivamente.Nessascondições,sabendo-se
que uma cidade C está localizada nesse mapa, exatamente sobre o
pontomédiodosegmentoqueuneascidadesAeB,pode-seafirmar
que a distância da cidade C à rodovia principal, em km, é igual a
a) 5.
b) 15.
c) 20.
d) 35.
e) 50.
6. C2:H8 (FALBE-2016 – adap.) A figura a seguir ilustra as localizações
de um Posto de Saúde (P) e de um trecho retilíneo de uma rodovia
(AB) em um plano cartesiano ortogonal, na escala 1:200.
y
P
30
20
A
–20 0 20 x
B
–10
Pretende-se construir uma estrada ligando o Posto à rodovia, de
modo que a distância entre eles seja a menor possível. Se a unida-
de de medida real é o metro, a distância entre o Posto e a rodovia
deverá ser
a) 600 m.
b) 800 m.
c) 2 km.
d) 4 km.
e) 6 km.
7. C2:H8 (Unisa-2013) Na figura, ABCD é um quadrado.
D(–4, 0)
B(4, 2)
A
x
y
C(1,–3)
A distância do ponto A ao ponto (0, 0) é
a) 30
b) 46
c) 26
d) 22
e) 38

Matemática
202
PVE19_7_MAT_C_25
8. C2:H8(UECE-2013–adap.)SePeQsãopontos,representepord(P,Q)
a distância entre P e Q. Dizemos que o ponto X, no segmento de reta
PQ, divide-o em média e extrema razão quando se tem a igualdade
d P Q
d P X
d P X
d X Q
( , )
( , )
( , )
( , )
= . Se P e Q são pontos na reta numérica cujas coor-
denadas são respectivamente 1 e 8, a coordenada do ponto X que
divide o segmento PQ em média e extrema razão pode ser
a)
− +
5 7 5
2
b)
− +
5 7 5
3
c)
− +
5 2 5
2
d)
− +
5 3 5
3
e)
− +
5 2 5
3
9. C2:H8 (Insper-2014) No plano cartesiano da figura, feito fora de
escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos
A(8, 2) e B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação
45°, representa uma estrada que será construída.
y
d
d
B
A
r
x
C
45°
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada
sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intercepta a existente,
deverá ter coordenadas:
a)
1
2
0
,






b) (1,0)
c)
3
2
0
,






d) (2,0)
e)
5
2
0
,






Complementares
1. (ESPM) No plano cartesiano, a reta de equação
3 1
0 2 1
1
0
t
x y
= , com
t > 0, forma um ângulo de 45° com o eixo das abscissas. O valor do
parâmetro t é
a) 3.
b) 7.
c) 5.
d) 4.
e) 6.
2. (UFJF) Consideramos a reta y = 2x + 2. Se P0 = (x0, y0) é o ponto
dessa reta mais próximo da origem dos eixos coordenados, então
podemos afirmar que:
a) x0
2
5
=
b) y0
4
5
=
c) x y
0
2
0
2 2
5
+ =
d) x y
0
2
0
2 4
5
+ =
3. (Unifor) Analise a figura.
y
s
x
r
0 2
1 45°
s
X
45°
2
0
1
r
y
O coeficiente angular da reta r é
a) -
1
2
b) -
1
3
c) 1
d) 2
e) 3
4. (UEPB)Adistânciaentreasretasparalelasr:y =xes:y=x+7éiguala
a)
2
7
b) 7 2
c) 7
d)
7
2
e)
7
2
5. (Uniube) Sejam A e B pontos distintos da reta de equação x = –3 que
distam duas unidades da reta de equação x – 2y + 3 = 0. O produto
das ordenadas de A e B é
a) –5
b) - 5
c) 0
d) 5
e) 5
6. (UFPel) Engenheiros do Instituto Militar de Engenharia (IME) de-
senvolveram uma argila calcinada, material que poderá baratear a
construçãodeestradas.Essaargilanãoexisteemnenhumoutropaís.
A pesquisa começou em 1997, com um objetivo: encontrar um
material que pudesse ser utilizado na Amazônia. A região é carente
de rochas, e as dificuldades no transporte encarecem a brita, comer-
cializada por mais de R$100,00 o metro cúbico. Segundo o IME, o
custo da argila calcinada fica em torno de R$40,00.
Foram estudadas várias famílias de solos da Amazônia, chegando-se a
conclusõesanimadorasnosúltimosanos.Oagregadoartificialpoderá
serusadoempavimentaçãorodoviária,poisresisteadesgaste,compres-
sãoeabrasão,etambémemobrasdeconcreto.Segundoocoordenador
da pesquisa, o material pode ser utilizado em qualquer região do país.
(Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/folha/ciência/
ult306u13159.shtml>. Acesso em: 6 maio 2005.)
Também com o objetivo de baratear custos, na execução do projeto
de novas estradas, deve ser considerada sempre a menor distância
entre os pontos a serem alcançados.
As cidades A e B, localizadas no mapa, com coordenadas A(8, 5) e
B(12, 8), são ligadas por uma rodovia em linha reta. A construção de
um novo trecho de menor dimensão que ligue a rodovia existente
à cidade C(10, 5), medirá
A
B
C
1 : 60000000
1cm
1cm
a) 720 km.
b) 300 km.
c) 648 km.
d) 1200 km.
e) 126 km.

7
PVE19_7_MAT_C_25
GABARITO ONLINE
de leitura QR Code.
7. (UESC-2011)
A
B
C D x
y
Os pontos A, B, C e D representam, no sistema de coordenadas
cartesianas, a localização de quatro cidades, e a poligonal ABCD
representa a trajetória de um automóvel que vai de A até D, passan-
do por B e C. Sabe-se que B é o ponto médio do segmento AC, cuja
reta-suporte é r y x
: = − −
( )
3 1 , e que a reta-suporte do segmento
AD faz com o eixo das abscissas um ângulo = 135°.
Com base nessas informações, pode-se concluir que a distância de
A até D é dada por um número
a) divisível por 20.
b) divisível por 12.
c) divisor de 20.
d) divisor de 12.
e) irracional.
8. (UECE-2017) Em um plano, munido do referencial cartesiano usual,
seja A o ponto de interseção das retas 3x + y + 4 = 0 e 2x – 5y + 14 = 0.
Se os pontos B e C são respectivamente as interseções de cada uma
destas com o eixo x, então, a área do triângulo ABC, é igual a
a)
13
3
u.a.
b)
14
3
u.a.
c)
16
3
u.a.
d)
17
3
u.a.
9. (UFF) Determine as coordenadas dos pontos da reta de equação
y = 3x + 4 que distam quatro unidades da origem.
10. (ITA-2015) Dados o ponto A =






4
25
6
, e a reta r: 3x + 4y – 12 = 0,
considere o triângulo de vértices ABC, cuja base BC está contida
em r e a medida dos lados AB e AC é igual a
25
6
. Então, a área e o
perímetro desse triângulo são, respectivamente, iguais a
a)
22
3
e 40
3
.
b)
23
3
e
40
3
.
c)
25
3
e
31
3
.
d)
25
3
e
35
3
.
e)
25
3
e
40
3
.

Matemática
Kilroy79/Shutterstock
Frente C
204
PVE19_7_MAT_C_26
VERSÃO 3.3
(Disponível em: <www.ufo.com.br/noticias/misterio-circulos-ingleses-
voltam-a-aparecer-em-plantacoes>. Acesso em: 23 maio 2017.)
abramsdesign/Shutterstock
No texto anterior você leu que as imagens que apareciam
nas plantações eram “apenas circunferências formadas com
plantas amassadas, mas incrivelmente perfeitas”. No entanto,
o que é uma circunferência?
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um
plano que são equidistantes de um único ponto fixo (chama-
do centro da circunferência) do mesmo plano.
A distância de qualquer ponto da circunferência do centro
é o raio r. Observe a figura a seguir.
R
a
i
o
Centro
Equação da circunferência
Observe no plano cartesiano a seguir a circunferência de
centro C(a, b) e raio r:
P (x, y)
x
y
C (a, b)
a
b
x
y
Q
r
P
C Q
y – b
x – a
Afirmamos que P(x,y) pertence à circunferência se, e so-
mente se, d(P, C) = r.
Dessa forma, aplicando o Teorema de Pitágoras no PQC:
d P C r x a y b r x a y b r
( , ) = ⇒ −
( ) + −
( ) = ⇒ −
( ) + −
( ) =
2 2 2 2 2
r2
= (x – a)2
+ (y – b)2
A equação acima é denominada equação reduzida da cir-
cunferência, em que a e b são as coordenadas do centro C e
r é o raio da circunferência.
Caso o centro da circunferência coincida com a origem do
sistema cartesiano, temos:
x y r x y r
−
( ) + −
( ) = ⇒ + =
0 0
2 2 2 2 2 2
Mistério: círculos ingleses voltam a
aparecer em plantações
As imagens minuciosamente desenhadas nas planta-
ções inglesas, como de costume, voltam à tona no verão da
Inglaterra – de maio a setembro. Há mais de 20 anos o evento
tornou-se comum na região em época de colheitas, próximo
à maturação dos cereais. Inicialmente eram apenas circunfe-
rências formadas com plantas amassadas, mas incrivelmente
perfeitas, e foram aumentando numa proporção e complexi-
dade que deixam cientistas e pesquisadores impressionados.
Os círculos surgem em sua maioria em solo inglês – estiman-
do 98% –, porém já ocorreram em outros países da Europa,
nos Estados Unidos da América, no Canadá e na Austrália
– mas todos esses são insignificantes quando comparados às
formações na Inglaterra. As formações deixaram de ser apenas
círculos e se tornaram um emaranhado de objetos geométri-
cos de inúmeros formatos e tamanhos, dispostos de maneira
inexplicavelmente organizada. Algumas fazendas chegam a
receber de 10 a 15 círculos por ano, mas o mecanismo e seus
autores continuam desconhecidos.
Equação da circunferência •
Equação geral da circunferência
Equações da
circunferência
Equações da circunferência

7
PVE19_7_MAT_C_26
D
O
B
y
x
C A
OA raio r
=
Note que essa circunferência intersecta o eixo x nos pon-
tos A(r, 0) e C(–r, 0), e o eixo y em B(0, r) e D(0, –r).
9 Exemplo:
Qual é a equação reduzida da circunferência que passa pelo
ponto P(2, 3) e cujo centro o ponto ( 1, 1)
0
1
1 2 3
2
3
4
P
C
–1
–1
–2
–2
–3
y
x
Solução:
r x a y b r r
= −
( ) + −
( ) ⇒ = − −
( ) + −
( ) ⇒ =
2 2 2 2
2 1 3 1 13
( )
a equa o reduzida da circunfer ncia, temos:
x a y b r x y
x y
−
( ) + −
( ) = ⇒ +
( ) + −
( ) =( ) ⇒
⇒ +
( ) + −
( ) =
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 13
1 1 13
Equação geral da circunferência
Para obtermos a equação geral de uma circunferência,
basta desenvolver a equação reduzida. Dessa forma:
x a y b r x ax a y by b r
x y ax by a
−
( ) + −
( ) = ⇒ − + + − + − = ⇒
⇒ + − − +
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 0
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
0
2 2 0
+ − =
= + −
+ − − + =
b r
Considerando c a b r
x y ax by c
, temos:
A equação geral da circunferência é dada por
x2
+ y2
- 2ax - 2by + c = 0
9 Exemplo:
etermine a equa o eral e reduzida da circunfer ncia cujo centro
(3, 1) e cujo raio mede 2 cm.
Solução:
a equa o (x - a)2
+ ( b)2
= r2
, temos:
(x 3)2
+ ( + 1) = 22
⇒ (x - 3)2
+ ( + 1)2
= 4.
sta a equa o reduzida da circunfer ncia. Ao desenvolver essa
equa o, encontramos a equa o eral da circunfer ncia:
(x 3)2
+ ( + 1)2
= 4 ⇒ x2
-6x + + 2
+ 2 + 1 - 4 = 0 ⇒
⇒ x2
+ 2
- 6x + 2 + 6 = 0
Equação da circunferência:
condições para representação
Seja a circunferência de equação geral:
x2
+ y2
– 2mx – 2ny + (m2
+ n2
– r2
) = 0 (1)
Pr ure a di e ue a e ua era d 2. rau
com duas incógnitas dada por
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 (2)
deve satisfazer para que represente uma circunferência.
É necessário e suficiente que consigamos determinar os
valores de m, n e r, finitos e determinados, tais que as duas
equações, (1) e (2), tenham as mesmas soluções.
Confrontando os coeficientes dos termos semelhantes
nas equações citadas, levando–se em conta que B = 0 (porque
não existe o termo em xy na equação (1)) e que A 0, condição
obrigatória da álgebra, conclui-se que:
A C D
m
E
n
F
m n r
1 1 2 2 2 2 2
= =
−
=
−
=
+ −
Dessas proporções tiramos:
A = C 0
2Am = –D
2An = –E
A(m2
+ n2
– r2
) = F
As condições A = C e B = 0, não dependendo das incógnitas
m, n e r, verificam–se por si mesmas, então, são condições
necessárias. São também suficientes porque, desde que se-
jam verificadas, permitem determinar os valores de m, n e r.
Concluímos que, dada uma equação do 2.º grau com duas
variáveis, as condições necessárias e suficientes para que a
equação represente uma circunferência, no sistema cartesia-
no ortogonal, são A = C 0 e B = 0.
Respeitadas essas condições, pode-se aferir que:
1) − −






D
A
E
A
2 2
, é o centro da circunferência
2) F = Am2
+ An2
– Ar2
⇒ r
Am An F
A
=
+ −
2 2
Logo, r
A
D
A
A
E
A
F
A
ou r
D E AF
A
=
⋅ + ⋅ −
=
+ −
2
2 2 2 2
4 4 4
2
2
é o raio
da circunferência.
Então,
Se D2
+ E2
– 4AF > 0 ⇒ circunferência real de centro
(m, n) e de raio r.
Se D2
+ E2
– 4AF = 0 ⇒ circunferência de raio nulo, reduzindo-
-se ao ponto (m, n).
Se D2
+ E2
– 4AF < 0 ⇒ circunferência imaginária.

Matemática
206
PVE19_7_MAT_C_26
Resolvidos
1. Resolva:
a) Escreva a equação reduzida da circunferência com centro no
ponto C(–2, 5) e raio igual a 4.
b) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência
de equação x -3 2
+ y +2 2
= 20.
9 Solução:
a) x y x y
− −
( ) + −
( ) = ⇒ +
( ) + −
( ) =
( )
2 5 4 2 5 16
2 2 2 2 2
b) C e r
3 2 20 2 5
,−
( ) = =
2. (UFAL)NumplanocartesianoxOy,acircunferência(x+2)2
+(y+2)2
=2
a) está toda contida no primeiro quadrante.
b) está toda contida no segundo quadrante.
c) está toda contida no terceiro quadrante.
d) está toda contida no quarto quadrante.
9 Solução:
O centro da circunferência é o ponto (–2, –2) e o raio é 2, logo a
circunferência está toda contida no terceiro quadrante.
3. (UFPR)ConsiderandoacircunferênciaCdeequação(x–3)2
+(y–4)2
=5,
avalie as seguintes afirmativas:
1. O ponto P(4, 2) pertence a C.
2. O raio de C é 5.
3. A reta y x
=
4
3
passa pelo centro de C.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
9 Solução: E
Considerando a equação x -3 2
+ y -4 2
= 5, temos:
1. Correta. 4 3 2 4 1 2 1 4 5
2 2 2 2
−
( ) + −
( ) = + −
( ) = + =
2. Incorreta. x y x y
−
( ) + −
( ) = ⇒ −
( ) + −
( ) =( )
3 4 5 3 4 5
2 2 2 2 2
Então, r = 5
3. Correta. Se C 3 4
,
( ) é o centro da circunferência, então
r y x
: = ⇒ = ⋅ ⇒ =
4
3
4
4
3
3 4 4
Praticando
1. Escreva a equação geral da circunferência de centro no ponto C(1, 3)
e raio igual a 5 unidades.
2. Determine o centro e o raio da circunferência de equação geral
x2
+ y2
+2x - 6y -26 = 0.
3. A equação 4x2
+ 4y2
+12x -36y - 60 = 0 representa uma circunferên-
cia? Se sim, determine o raio e as coordenadas do centro.
1. C2:H8 (PUCRS-2012)Três dardos são jogados em um plano cartesia-
no e acertam uma circunferência de equação (x – 9)2
+ (y + 4)2
= 25.
Um quarto dardo é jogado e acerta o centro desta circunferência.
Então, as coordenadas do último dardo são:
a) (–3, 2)
b) (3, –2)
c) (9, –4)
d) (–9, 4)
e) (–5, 25)
2. C2:H8 (UNCISAL-2014) O objetivo da Geometria Analítica é tratar
algebricamente os entes matemáticos geométricos. Para isto se
estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos de um
plano cartesiano e os pares de números reais e, a partir daí, encon-
tram-se equações associadas a retas e a curvas. Por exemplo, a cir-
cunferência de centro (a, b) e raio r tem equação (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
e toda equação do tipo x2
+ y2
+ ax + by + c = 0 é a equação de uma
circunferência.
O centro e o raio da circunferência x2
+ y2
+ 4y – 5 = 0 são, respec-
tivamente,
a) (0, 2) e 3.
b) (0, 2) e 5.
c) (0, –2) e 3.
d) (0, –2) e 5.
e) (0, 2) e 9.

7
PVE19_7_MAT_C_26
3. C2:H8 (UFRGS-2012) Observe, a seguir, o círculo representado no
sistema de coordenadas cartesianas.
0 x
y
Uma das alternativas a seguir apresenta a equação desse círculo.
Essa alternativa é:
a) (x – 2)2
+ (y – 3)2
= 10
b) (x + 2)2
+ (y + 3)2
= 13
c) (x – 2)2
+ (y – 3)2
= 13
d) (x – 2)2
+ y2
= 10
e) x2
+ (y + 3)2
= 13
4. C2:H8 (Unicamp-2016 – adap.) Considere o círculo de equação
cartesiana x2
+ y2
= ax + by, em que a e b são números reais não
nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos
coordenados é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
5. C2:H8 (UECE-2016 – adap.) No plano cartesiano usual, a equação
da circunferência que contém os pontos (–4, 0), (4, 0) e (0,8) é
x2
+ y2
+ my + n = 0. O valor da soma m2
+ n é
a) 30
b) 10
c) 40
d) 20
e) 5
6. C2:H8 (UFU-2012 – adap.) Inúmeras pinturas e desenhos em tela
fazem uso de sobreposição de formas circulares, conforme ilustra
a figura a seguir.
(Disponível em: <www.google.com.br>.Pinturas Circulares.
Robert Delaunay. Acesso em: 1.º jul. 2012.)
Para a representação gráfica desses trabalhos artísticos, faz-se
necessária a determinação de elementos geométricos associados.
Suponha que, relativamente a um sistema de coordenadas cartesia-
nas xOy, duas circunferências, presentes no desenho, sejam dadas
pelas equações x2
+ y2
– 6y + 5 = 0 e x2
+ y2
– 6x – 2y = –6.
Assim sendo, a reta que passa pelos centros dessas circunferências
pode ser representada pela equação
a) 2x + 3y = 9
b) 2x + 3y = –9
c) x + 2y = 4
d) x + 2y = –4
e) x + 3y = 9
7. C2:H8 (UEFS-2012)
(FOLHA de São Paulo, São Paulo, 2005.)
Considere que, na tirinha, as circunferências que delimitam os
escudos de Hagar, do seu amigo Eddie Sortudo e do soldado com o
maiorescudo,emummesmoplanocartesiano,possamserdescritas,
nessa ordem, por x2
+ y2
+ 2x – 4y + 1 = 0, x2
+ y2
– 4x + 2y + 4 = 0 e
x2
+ y2
– 20x – 2y + 76 = 0.
Nessas condições, pode-se afirmar que o raio do maior escudo
corresponde a uma fração da soma dos raios dos escudos de Hagar
e de Eddie Sortudo, cuja expressão é
a)
7
3
b)
7
4
c)
7
5
d)
5
3
e)
5
4
8. C2:H8 (Fuvest-2015) A equação x2
+ 2x + y2
+ my = n, em que m e n
são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano.
Sabe-se que a reta y = –x + 1 contém o centro da circunferência e a
intersectanoponto(–3,4).Osvaloresdemensão,respectivamente,
a) –4 e 3.
b) 4 e 5.
c) –4 e 2.
d) –2 e 4.
e) 2 e 3.
9. C2:H8 (FGV-2012) No plano cartesiano, os pontos A(1, 2) e B(–2, –2)
são extremidades de um diâmetro de uma circunferência; essa
circunferência intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Um
deles é:
a) (4, 0)
b)
7
2
0
,






c) (3, 0)
d)
5
2
0
,






e) (2, 0)
10. C2:H8 (IFAL-2018) A equação da circunferência que tem um dos diâ-
metros com extremidades nos pontosA( , )
-1 3 eB( , )
3 5
- é dada por:
a) ( ) ( )
x y
− + + =
1 1 20
2 2
b) ( ) ( )
x y
+ + − =
1 1 20
2 2
c) ( ) ( )
x y
− + + =
2 4 80
2 2
d) ( ) ( )
x y
− + + =
1 1 80
2 2
e) ( ) ( )
x y
+ + − =
2 4 20
2 2

Matemática
208
PVE19_7_MAT_C_26
Complementares
1. (PUCRS-2011) Observe o logotipo da Biblioteca Central da PUCRS:
y
x
4
4
2
2
A circunferência inscrita no quadrado que circunscreve o logotipo
tem equação:
a) (x – 2)2
+ (y – 2)2
= 4
b) (x + 2)2
+ (y + 2)2
= 4
c) (x – 2)2
+ (y – 2)2
= 8
d) (x + 2)2
+ (y + 2)2
= 8
e) (x + 4)2
+ (y + 4)2
= 8
2. (UFTM) Sabe-se que M, ponto médio do segmento AB, é centro de
uma circunferência que passa pela origem (0,0). Sendo A(–1, 4) e
B(5, 2), conclui-se que o raio dessa circunferência é igual a:
a) 4 5
b) 3 5
c) 3 2
d) 17
e) 13
3. (UFRJ) Uma circunferência tem centro no ponto C(2; –1) e raio igual
a 2. Qual a equação desta circunferência?
a) (x – 2)2
+ (y + 1)2
= 2
b) (x – 2)2
+ (y + 1)2
= 2
c) (x + 1)2
+ (y – 2)2
= 2
d) (x + 2)2
+ (y – 1)2
= 2
e) (x – 2)2
+ (y – 1)2
= 2
4. (UNIVAG-2014) Sabendo que o centro de uma circunferência está
localizado no ponto P (–8, –6) do plano cartesiano e que a distância
de P à origem O (0, 0) é igual a 2 vezes o tamanho do seu diâmetro, é
corretoafirmarqueaáreadocírculodelimitadapelacircunferênciaé
a) 5 .
b) 6,25 .
c) 25 .
d) 2,5 .
e) 100 .
5. (PUCRS) O ponto P(–3; b) pertence à circunferência de centro C(0; 3)
e raio r = 5. Quais são os valores de b?
a) –14 e 20.
b) –20 e 14.
c) 8 e 2.
d) –7 e 1.
e) 7 e –1.
6. Determine a equação geral da circunferência de centro C(–3, 4) e
diâmetro igual a 20 .
7. (PUC–SP) Considere os pontos A(0, 0), B(2; 3) e C (4; 1). O segmento
BC é um diâmetro da circunferência de equação:
a) x2
+ y2
+ 6x + 4y + 11 = 0
b) x2
+ y2
– 6x – 4y + 11 = 0
c) x2
+ y2
– 4x + 9y + 11 = 0
d) x2
+ y2
– 6x – 4y + 9 = 0
e) x2
+ y2
– 4x – 9y + 9 = 0
8. (Unesp)Umaaeronavefazsuaaproximaçãofinaldodestino,quando
seu comandante é informado pelo controlador de voo que, devido
ao intenso tráfego aéreo, haverá um tempo de espera de 15 minutos
para que o pouso seja autorizado e que ele deve permanecer em
rota circular, em torno da torre de controle do aeroporto, a 1 500
metros de altitude, até que a autorização para o pouso seja dada.
O comandante, cônscio do tempo de espera a ser despendido e de
que, nessas condições, a aeronave que pilota voa a uma velocidade
constante deVc (km/h), decide realizar uma única volta em torno da
torre de controle durante o tempo de espera para aterrissar.
Sabendo que o aeroporto encontra-se numa planície e tomando
sua torre de controle como sendo o ponto de origem de um siste-
ma de coordenadas cartesianas, determine a equação da projeção
ortogonal,sobreosolo,dacircunferênciaqueaaeronavedescreverá
na altitude especificada.
y
x
Solo
Torre de
controle
Projeção
ortogonal
da trajetória
da aeronave
no solo
a) x2
+ y2
=
15
2
2
Vc
π






b) x2
+ y2
=
2
2
Vc
π






c) x2
+ y2
=
Vc
2
2
π






d) x2
+ y2
=
Vc
8
2
π






e) x2
+ y2
=
Vc
32
2
π






9. (UDESC) Considere a figura.
2 3
C
A
o
–1
B
y
x
t
Em relação à figura, é correto afirmar que:
a) acircunferênciaearetaseinterceptamnospontosdeordenadas
2 e - 2.
b) a equação da circunferência é x2
– 2x + y2
= 0.
c) a distância da origem do sistema de coordenadas cartesianas à
reta é de 2 unidades de comprimento.
d) a equação da reta t é y = x + 2.
e) a área da região sombreada é 2 unidades de área.
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Frente C | Livro
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Frente C
VERSÃO 3.3
209
PVE19_7_MAT_C_27
7
Posições relativas entre
ponto e circunferência
Considere uma circunferência de centro C(m,n) e raio r, e
seja P um ponto qualquer. Então, podemos admitir que:
1.º) o ponto P é interior à , ou seja, a distância do ponto P
até C é menor do que r.
P
C
d(P, C) < r
2.º) o ponto P é exterior à , ou seja, a distância do pon-
t P at C ai r d ue r.
P C
d(P, C) > r
3.º) o ponto P pertence à , u e a, a di t ia d t P
até C é igual a r.
P C
d(P, C) = r
Posições Relativas entre
reta e circunferência
Considere uma circunferência de e tr C , e rai r.
Existem três posições relativas entre a circunferência e uma
reta t. Sendo d a distância entre a reta e o centro da circunfe-
rência, podemos admitir que
1.º) a reta t é exterior à circunferência :
r
C
d > r
d
t
A distância entre o centro C e a reta t é maior que o raio.
Nessa situação, a circunferência e a reta não têm ponto em
comum.
2.º) a reta t é tangente à circunferência :
C
d = r
t
A distância entre o centro C e a reta t é igual ao raio. Nessa
situação, a circunferência e a reta têm um único ponto em co-
mum, denominado ponto de tangência.
3.º) a reta t é secante à circunferência :
M
B
r
A
C
d < r
d
t
A distância entre o centro C e a reta t é menor que o raio.
Nessa situação, a circunferência e a reta têm dois pontos em
comum.
Considere o sistema formado pela equação da circunfe-
rência e da reta t:
(x – m)2
+ (y – n)2
= r2
ax + by + c = 0
Posições relativas entre ponto e circunferência • Posições Relativas entre reta
e circunferência • Posições relativas entre duas circunferências
Posições relativas
da circunferência
Circunferência:
posições relativas

Matemática
210
PVE19_7_MAT_C_27
A resolução desse sistema pode apresentar três situações:
1) Não existe par ordenado que solucione o sistema – isso
ocorre quando t for exterior à ;
2) O sistema tem uma única solução – isso ocorre quando
t for tangente à . Nesse caso, a solução é representada
pelas coordenadas do ponto de tangência;
3) O sistema tem duas soluções – isso ocorre quando t for se-
cante à . Nesse caso, as soluções são representadas pelas
coordenadas dos dois pontos de interseção entre t e .
Posições relativas entre
duas circunferências
Considere uma circunferência 1, de raio r1 e centro C1, e
outra 2, de raio r2 e centro C2. Considere, também, a distân-
ia d entre os centros C1 e C2. Entre essas duas circunferências
1 e 2 são possíveis as seguintes posições relativas:
1) Externas
r1
C1
C2
r2
d
1
2
Nesse caso, não existe ponto de interseção entre as
circunferências.
2) A circunferência de raio menor é interna à de raio
maior.
1
2
r1
C1 C2
r2
d
Nesse caso, não existe ponto de interseção entre as
circunferências.
3) Tangentes externas
1
2
r1
C1
C2
r2
d
Nesse caso, as circunferências têm um único ponto em co-
4) Circunferências secantes
1
2
r1
C1 C2
r2
d
Nesse caso, existem dois pontos de interseção.
5) Tangentes internas
r1
C1 C2
r2
d
1
2
Nesse caso, as circunferências têm um único ponto em co-
A partir da análise dessas cinco situações é possível esta-
belecer as seguintes relações entre d, r1+ r2 e r r
1 2
- :
Posição relativa entre
as circunferências
Relação
Externas d (C1, C2) > r1 + r2
Uma circunferência é
interna à outra
d (C1, C2) < r r
1 2
-
Tangentes externas d (C1, C2) = r1 + r2
Secantes r r
1 2
- < d (C1, C2) < r1 + r2
Tangentes internas d (C1, C2) = r r
1 2
-
Quando uma circunferência é interna à outra e d(C1, C2) = 0,
elas são denominadas concêntricas, ou seja, têm os centros
coincidentes.
A determinação dos possíveis pontos em comum entre as
circunferências é realizada por meio da resolução do sistema
formado pelas equações das duas circunferências. A resolu-
ção desse sistema poderá apresentar as seguintes situações:
Número de soluções do
sistema de equações
Posição relativa entre as
circunferências
Nenhuma Externas ou internas
Uma
Tangentes externas ou
tangentes internas
Duas Secantes
Quando o objetivo for determinar a posição relativa en-
tre as circunferências, é mais conveniente a utilização das re-
lações expostas no primeiro quadro. No entanto, quando a
intenção for a determinação dos pontos em comum entre as
circunferências, é imprescindível a resolução do sistema for-
mado pelas equações das duas circunferências.

7
PVE19_7_MAT_C_27
Resolvidos
1. (UERJ) Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio
inextensível, gira no sentido anti-horário em torno de um ponto
O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação é x2
+ y2
= 25.
Observe a figura:
x
P
O
y
Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra
no ponto P(4, 3). A partir desse instante, o objeto segue na direção
da reta tangente a T no ponto P. Determine a equação dessa reta.
9 Solução:
x y
C R
2 2
25
0 0 5
+ =
( ) =
,
mC P
, =
−
−
=
3 0
4 0
3
4
Seja r a reta tangente a T, mr = −
4
3
y x
y x x y
− = − −
( )
− = − + ⇒ + =
3
4
3
4
3 9 4 16 4 3 25
A reta tem equação 4x + 3y = 25 ou y
x
= − +
4
3
25
3
.
2. (UFJF) Consideremos as circunferências C1 e C2 de equações
x2
+ y2
– 4x – 2y + 1 = 0 e x2
+ y2
– 4x – 2y – 4 = 0, respectivamente.
É correto afirmar que
a) C1 é tangente ao eixo das abscissas.
b) C1 e C2 se intersectam em um único ponto.
c) C1 e C2 se intersectam em dois pontos.
d) C1 e C2 não se intersectam.
9 Solução: D
x y x y C R
x y x y C R
2 2
2 2
4 2 1 0 2 1 2
4 2 4 0 2 1 3
+ − − + = =
+ − − − = =
; ( , );
; ( , );
As duas circunferências são concêntricas e possuem raios diferentes.
Logo, não possuem ponto de interseção.
3. (UEFS) Para que as circunferências dadas pelas equações x2
+ y2
–
– 2x – 6y + 6 = 0 e x2
+ y2
– 8x + 2y = k2
– 17, k > 0, sejam tangentes,
a constante k deve valer
a) 1.
b) 2 ou 5.
c) 3 ou 7.
d) 4 ou 8.
e) 6.
9 Solução: C
Em circunferências tangentes podem ocorrer duas situações: ou a
diferença entre os raios é igual à distância entre os centros ou a soma
dos raios é igual à distância entre os centros.
λ
γ
: ; ( , );
: ; ( , )
x y x y C R
x y x y k C
2 2
1 1
2 2 2
2
2 6 6 0 1 3 2
8 2 17 4 1
+ − − + = =
+ − + = − − ;;R k
2 0
= >
A distância entre os centros das circunferências é:
D = −
( ) + +
( ) =
1 4 3 1 5
2 2
Se elas forem tangentes interiores, então:
R R D
k
C C
1 2 1 2
2 5
− =
− =
,
2 5 3
− = ⇒ = −
k k (não serve, pois k > 0)
2 5 7
− = − ⇒ =
k k
Se elas forem tangentes exteriores, então:
R R D
k
k
C C
1 2 1 2
2 5
3
+ =
+ =
=
,
Praticando
1. SejaCumacircunferênciadecentroem(2,3)eraio2.Verifiqueaposi-
çãorelativadospontos(1,2),(2,5),(3,7)e(2,–1)aessacircunferência.
2. Sejam C1, C2, C3 e C4 circunferências, tais que:
Circunferência Centro Raio
C1 (1, 3) 2
C2 (2, 0) 3
C3 (–1, 1) 1
C4 (–1, 5) 3
Verifique a posição relativa entre:
a) C1 e C2
b) C3 e C4

Matemática
212
PVE19_7_MAT_C_27
3. (UEFS)Seascircunferênciasdescritaspelasequaçõesx2
+y2
–2x+4y=4
e x2
+ y2
+ mx + ny = 11 forem concêntricas, o raio da maior delas
será, em unidades de comprimento, igual a
a) 2
b) 6
c) 3
d) 11
e) 4
1. C2:H8 (UPE-2017) Em qual das alternativas a seguir, o ponto P per-
tence à circunferência ?
a) P x y
( , ); : ( ) ( )
5 6 3 6 4
2 2
β − + − =
b) P x y
( , ); : ( ) ( )
1 2 2 2 5
2 2
β − + − =
c) P x y x
( , ); :
1 5 8 6 0
2 2
β + − + =
d) P x y
( , ); : ( ) ( )
1 3 1 2 16
2 2
β + + − =
e) P x y x y
( , ); :
3 1 4 2 2 0
2 2
β + − + + =
2. C2:H8(UFSM-2010)Umterrenoretangular,quemede30mnafrente
e nos fundos e 40 m nas laterais, está sendo preparado para receber
uma feira de produtos orgânicos. Inicialmente o terreno foi cercado
por muros e a única entrada é um portão com 10 m de largura loca-
lizado numa das extremidades de sua frente.
A fim de viabilizar e organizar o tráfego de pessoas e mercadorias,
decidiu-se demarcar, no terreno, uma circunferência e duas retas
perpendiculares. A circunferência tem raio 7 m e seu centro está
situado a 15 m da frente do terreno e a 10 m da lateral imediata-
mente próxima ao portão de entrada. As duas retas passam pelo
centro da circunferência e uma delas se inicia no ponto médio do
vão do portão.
Considerando o terreno perfeitamente plano, desprezando as es-
pessuras dos muros e do portão e sabendo que cada unidade dos
eixos corresponde a 1m, identifique, no plano cartesiano, a figura
que melhor representa o terreno com a circunferência e as retas
nele demarcadas.
a)
40
15
30
10
5
b)
40
10
30
15
5
c)
40
15
30
20
10
d)
40
10
5
30
15
e)
40
15
30
10 25
3. C2:H8 (EEAr-2017 – adap.) As posições dos pontos A(1,7) e B(7,1)
em relação à circunferência de equação (x – 6)2
+ (y – 2)2
= 16 são,
respectivamente,
a) interna e interna.
b) interna e externa.
c) externa e interna.
d) externa e externa.
e) ambas pertencem à circunferência.
4. C2:H8 (UECE-2016) No plano, com o sistema de coordenadas carte-
sianas usual, se a circunferência x2
+ y2
+ 8x – 6y + 16 = 0 possui n
interseções com os eixos coordenados, então, o valor de n é
a) 2.
b) 1.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
5. C2:H8 (Unesp-2018) Os pontos P e Q(3,3) pertencem a uma circun-
ferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto
de intersecção da circunferência com o eixo y.
P
Q
y
y x
x
0 3
3
Considere o ponto R do gráfico de y = x que possui ordenada y
igual à do ponto P. A abscissa x de R é igual a
a) 9.
b) 16.
c) 15.
d) 12.
e) 18.
6. C2:H8(EFOMM-2016)Quantoàposiçãorelativa,podemosclassificar
as circunferências (x – 2)2
+ (y – 3)2
= 9 e x2
+ y2
– 8x + 15 = 0 em
a) secantes.
b) tangentes internas.
c) tangentes externas.
d) externas.
e) internas.

7
PVE19_7_MAT_C_27
7. C2:H8 (FGV-2013) No plano cartesiano, há duas retas paralelas à
reta de equação 3x + 4y + 60 = 0 e que tangenciam a circunferência
x2
+ y2
= 4. Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada
a) 2,9.
b) 2,8.
c) 2,7.
d) 2,6.
e) 2,5.
8. C2:H8 (UNIFACS-2012) Uma pessoa faz a caminhada diária no início
da manhã, quando os índices de radiação ultravioleta não oferecem
riscos à saúde, e a trajetória percorrida, representada no sistema de
coordenadas cartesianas, é tal que,
● do ponto de partida O = (0, 0), a pessoa segue em linha reta
até T = (x, y), ponto de tangência da reta 4y + 3x – 25 = 0 a uma
circunferência de centro C =






21
5
28
5
,
● do ponto T, a pessoa faz uma volta completa ao longo da cir-
cunferência e, em seguida, andando em linha reta, retorna ao
ponto de partida.
Nessas condições, pode-se afirmar que, nessa caminhada, a pessoa
percorre k unidades de comprimento, sendo k um valor real entre
a) 20 e 21.
b) 21 e 22.
c) 22 e 23.
d) 23 e 24.
e) 24 e 25.
9. C2:H8 (Fuvest-2011) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (–1, 0)
pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro
em −






1
2
4
, , é tangente a C no ponto (0, 3).
Então, o raio de C vale
a)
5
8
b)
5
4
c)
5
2
d)
3 5
4
e) 5
10. C2:H8 (EsPCEx/AMAN-2016) Considere a circunferência que passa
pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de coordenadas or-
togonais. Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta
quepassapelocentrodessacircunferência,umadasretastangentes
a essa circunferência, quepassa peloponto (3, –2), tem por equação:
a) 3x – 2y – 13 = 0
b) 2x – 3y – 12 = 0
c) 2x – y – 8 = 0
d) x – 5y – 13 = 0
e) 8x + 3y – 18 = 0
Complementares
1. (UFGD) Considere C1 a circunferência que é concêntrica (que tem o
mesmocentro)àcircunferência C x y y
2
2 2
4 0
: + − = equeétangente
à reta y = x. O raio de C1, é
a) 4
b) 2
c) 2
d) 3
e) 3
2. (UEPB) Duas circunferências têm equações x2
+ (y − 2)2
= 4 e
(x − 1)2
+ y2
= 1. Podemos afirmar que elas são
a) tangentes internas.
b) secantes.
c) tangentes externas.
d) interiores não concorrentes.
e) concêntricas.
3. (UFRGS)Considereascircunferênciasdefinidaspor(x – 3)² + (y – 2)² = 16
e (x –10)² + (y – 2)² = 9, representadas no mesmo plano cartesiano.
As coordenadas do ponto de interseção entre as circunferências são
a) (7, 2)
b) (2, 7)
c) (10, 3)
d) (16, 9)
e) (4, 3)
4. (UFPR-2017) Seja C1 o círculo de raio r = 2 e centro no ponto P = (3, 4)
a) Qual é a equação do círculo C1?
b) Considere o círculo C2 definido pela equação x2
+ y2
= 2
. Para
quais valores de o círculo C1 intersecta o círculo C2?
5. (FGV)No plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (7,1) pertence
àcircunferênciadeequaçãox2
+y2
–6x–8y=0.Aretatangenteàcir-
cunferência,passandoporP,interceptaoeixodasabscissasnoponto
a)
25
4
0
,






b) (6, 0)
c)
23
4
0
,






d)
22
4
0
,






e)
21
4
0
,






6. (Mackenzie) Vitória-régia é uma planta aquática típica da região
amazônica. Suas folhas são grandes e têm formato circular, com
uma capacidade notável de flutuação, graças aos compartimentos
de ar em sua face inferior.
Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de vitória-régia,
cuja borda obedece à equação x2
+ y2
+ 2x + y + 1 = 0, apreciando a
paisagem ao seu redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua
frente era maior e mais bonita, resolveu pular para essa folha, cuja
borda é descrita pela equação x2
+ y2
– 2x – 3y + 1 = 0.
A distância linear mínima que o sapo deve percorrer em um salto
para não cair na água é
a) 2 2 1
( )
-
b) 2
c) 2 2
d) 2 2
-
e) 5
7. (UEFS) Para que a reta y = ax + 3 seja tangente à circunferência
x2
– 8x + y2
= 9, seu coeficiente angular deve ser de
a)
3
5
b)
4
3
c)
8
5
d)
5
3
e)
9
4
8. (Fuvest) Uma circunferência de raio 2, localizada no 1.º quadrante,
tangencia o eixo Ox e a reta de equação 4x – 3y = 0. Então, a abscissa
do centro dessa circunferência é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

Matemática
214
PVE19_7_MAT_C_27
9. (Unicamp-2011 – adap.) Suponha um trecho retilíneo de estrada,
com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, também,
que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40 km do
posto rodoviário, em linha reta, e a 24 km de distância da estrada,
conforme a figura a seguir.
40 km
24 km
Estrada
Posto rodoviário
Guarda
florestal
km 0
a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura
da primeira antena, localizada na estação da guarda florestal,
corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da
segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar,
o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda
florestal.Expliciteasduasdesigualdadesquedefinemasregiões
circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões em
seu caderno, identificando a área coberta simultaneamente
pelas duas antenas.
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena,
mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo
que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação
da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro
da estrada essa antena deve ser instalada.
10. (UEPG) A circunferência C1 tem equação x² + y² – 4x – 6y + m = 0 e
a circunferência C2 tem centro em (–2, 6) e raio igual a 4. Sabendo
que C1 e C2 são tangentes exteriormente, assinale o que for correto.
(1) O ponto de tangência pertence ao 2.º quadrante.
(2) m > 10.
(3) A reta de equação 4x – 3y + 4 = 0 é perpendicular à reta que
passa pelos centros de C1 e C2.
(4) A circunferência C1 não intercepta os eixos coordenados.
(5) A distância entre os centros de C1 e C2 é 5.
Soma ( )
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Frente C | Livro
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Frente C
215
PVE19_7_MAT_C_28
7
VERSÃO 3.3
Elipse
Sejam F1 e F2 dois pontos distintos de um plano, tais que
d 1,F2 2 0. C a a de elipse u ar e tri d
t de e a , u a a da ua di t ia a d i
pontos F2 e F1 a ta te 2a 2 .
Elementos da elipse
P
A1
F1
B2
B1
A2
F2
b a
A
C
R
Q
N
M
2b
2c
a
e
a
e
2a
(d2) (d1)
y
x
c
I. Pontos principais
A2, A1, B2 e B1 rti e
F2 e F1
C Centro
II. Segmento
A A
2 1
Eixo maior A2A1 2a
B B
2 1
Eixo menor 2B1 2b
F F
2 1
Di t ia a 2F1 2
et re de ri e u d e e tre ida-
de e ua uer t P da e i e a ad rai
et re u ri e t e re i ua a 2a e
denotados por F2P e F1P .
Da de i i , de rre:
F2M + F1 2N + F1 2A + F1A 2P + F1P ... 2A1+
+ F1A1 2A1 + F2A2 2a
E utra a a ra , ri e t d rai et -
res é sempre igual a 2a.
III. Relações
● E e tri idade:
e
c
a
= < 1
● Par etr :
p
b
a
=
2
IV. Retas
As diretrizes da elipse são duas retas, d1 e d2, er-
e di u are a u rte d eixo maior, distando
a
e
do
e tr da ur a.
Equações
I. Equação reduzida: e a P , u t da e i -
e u 1 ,0 e 2 - ,0 . E t
d P,F1 d P,F2 2a:
x c y x c y a
x cx c y a x cx c y
x
+
( ) + + −
( ) + = ⇒
⇒ + + + = − − + + ⇒
⇒ +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
2c
cx c y a a x cx c y
x cx c y
a x cx c
+ + = − − − + +
( )+
+ − + + ⇒
⇒ − + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
4 4 2
2
2 y
y a cx
a x c x a y a a c
a c x a y a a c
2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
= − ⇒
⇒ − + = − ⇒
⇒ −
( ) + = −
( ))
− =
+ =
.
, .
ogo,
Por Pitágoras temos a c b
L b x a y a b
2 2
2 2 2 2 2 2
Di idi d a b e br r a2
b2
:
x
a
y
b
2
2
2
2
1
+ =
A diretri e ter , e e a , a e ua e :
x
a
e
= ±
● ua d a e i e te eu e tr t C , e A A
2 1
ara e a ei :
x m
a
y n
b
−
( ) +
−
( ) =
2
2
2
2
1
E i e i rb e
Par b a
Elipse Hipérbole Parábola
Cônicas

Matemática
216
PVE19_7_MAT_C_28
II. Equação geral: a e ua era btida e de e -
i e t da r a redu ida .
Considere a elipse
x m
E
y n
E
−
( ) +
−
( ) =
2
1
2
2
1, E1 E2, am-
b iti . A de e er e rde ar,
E2x2
+ E1
2
- 2E2mx - 2E1 E2m2
+ E1n2
- E1E2 0
Hipérbole
a da r riedade da i rb e a te e e ti a
e tri a. rai de u ue e a r i a de u a i rb -
e, e dire a u , e re ete ara ra da e a e
dire a utr .
Dad d i t i 1 e F2 de um plano, tais que
d 2, 1 2 0, a a hipérbole u ar e tri d
t de e a , u du da di ere a de ua di t -
ia a d i t 2 e F1 a ta te 2a 2 .
Elementos da hipérbole
(d2)
(a2) (a1)
y
x
a
e e
a
2b
2a
2c
B1
F1
A1
B2
F2 A2 C
Q
c
p
P
b
A
a
M
(d1)
A1 e A2 rti e
F2 e F1
C Centro
II. Segmentos
A A
2 1
Ei rea u tra er A A
2 1
2a
B B
2 1
Ei i a i ri u
não transverso) B B
2 1
2b
F F
2 1
Di t ia a F F
2 1
2
et re de ri e u d e e tre idade e
ua uer t da i rb e a ad rai et -
res e denotados por F2P e F1P .
Da de i i de i rb e, u ue:
|F2Q-F1 2P-F1P ... 2A2 -F2A1 2A1 -F1A1
2a ⇒ A2A1 2a
III. Relações
● E e tri idade:
e
c
a
= > 1
● Par etr :
p
b
a
=
2
IV. Retas
As diretrizes da hipérbole são duas retas, d1 e d2,
er e di u are ao suporte do eixo real, distando
a
e
d e tr da i rb e.
As assíntotas são duas retas, a1 e a2, que passam
e e tr da i rb e e e a i e -limite das
ta e te a e a, ua d t de tat e a a -
ta i de i ida e te.
Equações
Se a a i rb e de ei rea A A
2 1
e imaginário B B
2 1, re e-
rida u i te a , de ta d ue eu e tr e a C 0 e
A A
2 1
e te a tid ei x. C idere , ta b , P ,
u t e ri da ur a.
(a1)
(a2)
y
(d2) (d1)
B1
A1
B2
A2
C
c P
b v
F2 (c,0)
F2 (–c,0) x
u
i
a
o
i
I. Equação reduzida: análoga à da elipse
x c y x c y a
x c y a x c y
x cx c
+
( ) + − −
( ) + = ± ⇒
⇒ +
( ) + = ± + −
( ) + ⇒
⇒ + +
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
4 4 2
2
4 4 4 2
+ = ± − + + +
+ − + + ⇒
⇒ − = ± − +
y a a x cx c y
x cx c y
cx a a x cx c
c y
cx a a x cx c y
c x a cx a a x a cx a c
2 2
2 2 2 2
2 2 2 4 2 2 2 2
2
2 2
+ ⇒
⇒ − = ± − + + ⇒
⇒ − + = − + 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2
+ ⇒
⇒ − − = − ⇒
⇒ −
( ) − = −
( )⇒
a y
c x a x a y a c a
c a x a y a c a
b
b x a y a b
2 2 2 2 2 2
− =
Di idi d a b e br r a2
b2
, te :
x
a
y
b
2
2
2
2
1
− =

7
PVE19_7_MAT_C_28
Para 0, te : a, ab i a d rti e A1 e A2.
Para 0, te : bi, ue i i i a ue a ur a
i ter e tada e ei y.
A e ua e da diretri e d1 e d2
a
e
, pois são
reta ara e a a ei .
A e ua e da a t ta , reta ue a a e e -
tr e, e te a C 0, er d ti t · x ⇒
b
a
x.
● Se C 0 e A A
2 1 e t tid e , a e i e, a
e ua da i rb e a u ir a r a:
y
a
x
b
2
2
2
2
1
− =
As diretrizes são, agora, paralelas ao eixo x x e suas
e ua e a u e a r a
a
e
e a e ua e da
a t ta ,
a
e
x.
● Quando a i rb e te eu e tr t C , e
A A
2 1 // x x, a a i ar a tra a de ei - m
e - :
x m
a
y n
b
−
( ) −
−
( ) =
2
2
2
2
1
A e ua e da diretri e a u e a r a x m
a
e
= ±
e a e ua e da a t ta , y n
b
a
x m
= ± −
( ).
● Ca C 0, C , e A A
2 1
ara e a ei , te :
y n
a
x m
b
−
( ) −
−
( ) =
2
2
2
2
1
A e ua e da diretri e a u e a r a y n
a
e
= ± e
a da a t ta , y n
a
b
x m
= ± −
( ).
II. Equação geral: a e ua era btida e de e -
i e t da r a redu ida .
C idera a i rb e:
x m
E
y n
E
−
( ) +
−
( ) =
2
1
2
2
1
Tendo E1 e E2 i ai tr ri .
Se E1 0 e E2 0, abe ue E1 a2
e E2 -b2
,
e t , ei rea ri ta .
Se E1 0 e E2 0, E2 a2
e E1 -b2
. Portanto, o eixo
rea erti a .
Parábola
Par b a u ar e tri d t de u a ,
ituad a i ua di t ia de u a reta i a d e de um ponto
i erte e te a d, d a iderad .
d
N
S
R
Q
p
p
p
e
P
V
U T
V’
F
M
p
2
p
2
Elementos da parábola
F Foco
V Vértice
II. Segmentos
V’F = p - parâmetro Semicorda focal mínima
FV Raio vetor
III. Relação
VF
p
=
2
IV. Reta e eixo
O eixo e, ue a a e , er e di u ar reta
diretri , ue a reta i a d.
Equações
Se a a ar b a de e diretri d, re erida u i te a
, de ta d ue 0 e ei de i etria i ida
ei . Se a P , u t e ri da ar b a.
Equação espontânea ou natural
i te a -diretri , a e ua e t ea da ar -
b a P P u u .

Matemática
218
PVE19_7_MAT_C_28
p
2
p
2
(d)
M
y
v
P
u
y
P1
F
O
x
x
V
V’
i
j
I. Equação reduzida
Ca u a d u e :
u d x
p
y e v
p
x
F P
= = −





 + = +
,
2 2
2
2
C idera d u :
x
p
y
p
x
−
2 2
2
2





 + = +
x px
p
y
p
px x
2
2
2
2
2
4 4
− + + = + +
2
2
II. Equação geral: a e ua era btida de e e -
d a redu ida . de a er e e de e i e -
t e eu ader au i d r e r.
a e ua d 2. rau dua ari ei re re e -
ta u a ar b a ei ri ta u erti a e, e
e te e, r redut e r a :
a 2
b , a 0
ou
a 2
b , a 0
Da ri eira e ua , rti e da ar b a dad
por V
a
b
a
− −






∆
4 2
, e ar etr , p
a
=
1
2
. Da segunda,
V
b
a a
− −






2 4
,
∆
e p
a
=
1
2
.
Resolvidos
1. (Unesp) Identifique a cônica que representa o lugar geométrico dos
pontos (x, y) do plano que satisfaz à equação
det
2
0 1 2
2 0 1
69
2 2
x y x y
+










=
9 Solução:
2
0 1 2
2 0 1
69
2 4 2 69
2 4 2 2 2 1 1 69
2
2 2
2 2
2 2
x y x y
x y x y
x x y y
x
+
=
+ + − =
+ + − + − + − =
+1
1 1 72
1
36
1
72
1
1
6
1
6 2
1
2 2
2 2
2
2
2
2
( ) + −
( ) =
+
( )
+
−
( )
=
+
( )
+
−
( )
( )
=
y
x y
x y
Logo, a cônica que satisfaz à equação é uma elipse.
2. (Unifor) Considere que, num sistema de eixos cartesianos ortogo-
nais, as intersecções das curvas de equações x y x
2 2
3 19 0
+ − − = e
y x
2
4
= + são vértices de um polígono convexo cujos lados corres-
pondem ao perímetro de um terreno. Se para desenhar esse terreno
no sistema de eixos considerado foi usada uma escala de 1:6, a sua
área real, em metros quadrados, é
a) 288.
b) 540.
c) 960.
d) 1152.
e) 2304.
9 Solução: D
x2
+y2
-3x -19 = 0 (1) e y2
= x + 4 (2)
Substituindo 2 em 1:
x x x
x x
x e x
Para x
y ou y
Para x
2
2
1 2
4 3 19 0
2 15 0
5 3
5
3 3
3
+ + − − =
− − =
= = −
=
= = −
= −
y
y ou y
= = −
1 1
Os vértices do polígono são (5,3); (5,-3), (-3,1) e (-3,-1). O polígono é
um trapézio de bases 6 e 2 e altura 8.
Área do desenho:
A=
+
( )⋅
=
6 2 8
2
32
Logo, a área real é igual a 32 · 36 = 1152.
3. (USP) A parábola de equação y
x x
=
+ −
5 4
3
2
e a reta dada por
y x
= − +
11
3
interceptam-se em dois pontos distintos A e B, sendo
A = (a1, a2) e B = (b1, b2). O valor absoluto de b2 - a2 é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

7
PVE19_7_MAT_C_28
9 Solução: E
y
x x
y x
x x
x
x x x
x
=
+ −
= − +







+ −
= − + ⇒
+ −
=
− +
5 4
3
11
3
5 4
3
11
3
5 4
3
3 11
3
2
2 2
2
2
1
2
7 6 0
6 6
7
3
1 1
8
3
− + =
= ⇒ −






= ⇒






x
x A
x B
,
,
Logo, a b
2 2
8
3
7
3
5
− = + = .
Praticando
1. Escreva a equação da elipse de eixos 20 e 16, em que C = (0, 0) e o
eixo maior pertencente ao eixo x.
2. Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação da diretriz da
parábola y = x2
- 6x + 8.
3. Determine as coordenadas dos focos e dos vértices, as equações das
diretrizeseasequaçõesdasassíntotasdahipérbole9x2
-16y2
-144=0.
1. C2:H8(UEMA-2014)UmafamíliadacidadedeCajapió(MA)comprou
uma antena parabólica e o técnico a instalou acima do telhado. A
antena projetou uma sombra na parede do vizinho, que está repro-
duzida a seguir, coberta com uma folha quadriculada.
Diretriz
0 1 2
x
Ponto ‘F’
y
0
1
2
Note que a figura projetada na parede é uma cônica. Considerando
as medidas mostradas e o sistema cartesiano contido na folha qua-
driculada, a equação que representa a cônica será
a) y x
−
( ) = +
( )
2 7 2 1
2
b) y x
+
( ) = +
( )
2 7 2 1
2
c) y x
−
( ) = +
( )
3 12 1
2
d) y x
−
( ) = − −






2 7 2
1
7
2
e) y x
+
( ) = −
( )
3
12
7
1
2
2. C2:H8 (EsPCEx/AMAN-2012) Num estádio de futebol em forma de
elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme
mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas
indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela
equação
x y
2
2
2
2
36 60
1
+ = . Sabe-setambémqueosfocosdaelipseestão
situados em lados do retângulo MNPQ.
Q
M
P
N
x
y
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é
a) 48 m.
b) 68 m.
c) 84 m.
d) 92 m.
e) 96 m.
3. C2:H8 (FGV-2014) No plano cartesiano, há dois pontos R e S perten-
centes à parábola de equação y = x2
e que estão alinhados com os
pontos A(0,3) e B(4,0).
A soma das abscissas dos pontos R e S é
a) -0,45.
b) -0,55.
c) -0,65.
d) -0,75.
e) -0,85.
4. C2:H8 (UDESC-2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação
é
x
a
y
b
2
2
2
2
1
+ = é dada por A ab
= π. Então, a área da região situada
entre as elipses de equações16 25 400
2 2
x y
+ = e16 9 144
2 2
x y
+ = é
a) 12 u.a.
b) 20 u.a.
c) 8 u.a.
d) 256 u.a.
e) u.a.

Matemática
220
PVE19_7_MAT_C_28
5. C2:H8(UEPB-2012)Deseja-seconstruirumapraçaemformadeelipse
em um terreno retangular de dimensões x metros e y metros, com
x y, de perímetro 300 m e área 5000 m² conforme nos mostra a
figura.
y
0
F1
F2
x
x
2
y
2
x
2
x
2
Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma
em cada foco da elipse, F1 e F2, local de melhor distribuição e apro-
veitamento das mesmas, concluímos que a distância em metros
entre as torres é
a) 100 3
b) 25 3
c) 50 3
d) 40 3
e) 30 3
6. C2:H8 (UFPA) Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em
erupção expele para fora de sua cratera uma pedra incandescente
localizada100metrosabaixodasuperfície.Sabendoqueapedrade-
mora 10 segundos para atingir a altura máxima de 400 metros e que
suatrajetóriaéumaparábola,podemosafirmarqueapedrademora
a) 20segundos para retornar à superfície e sua altura hem função
do tempo t é dada pela expressão h t t t
( ) = − −
2
10 200.
b) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função
( ) = − + +
2 20 150
2
.
c) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície
e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão
h t t t
( ) = − + −
2
20 20.
d) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície
e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão
h t t t
( ) = − + −
5 100 100
2
.
e) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função
( ) = − +
2
20 51.
7. C2:H8 (UFTM-2012) Os pontos P e Q estão na parábola dada por
y = 4x2
+ 7x - 1, e a origem do sistema de coordenadas cartesianas
está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são pontos que
estão na reta
a) y
x
=
15
2
b) y x
= 7
c) y
x
=
13
2
d) y x
= 6
e) y
x
=
11
2
8. C2:H8 (EsPCEx/AMAN-2015) Uma reta t passa pelo ponto A(-3, 0)
e é tangente à parábola de equação x = 3y2
no ponto P. Assinale
a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com
essas informações.
a) t: x - 10y + 3 = 0 e P(27, 3)
b) t: 2x - 15y + 6 = 0 e P(12, 2)
c) t: 2x - 15y + 6 = 0 e P(12, -2)
d) t: y = 0 e P(0, 0)
e) t: x + 6y + 3 = 0 e P(3, -1)
9. C2:H8 (IME-2013) Considere uma haste AB de comprimento 10 m.
Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A.
A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positi-
vo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano.
A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y,
no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido
negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano
cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante,
traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é
a) 49 9 28 12 441
2 2
x y x y
+ − + − =
0 0 0
b) 49 4 6 49 441
2 2
x x y
− − + =
0 0
c) 9 49 441
2 2
x y
+ − = 0
d) 9 9 12 441
2 2
x y y
+ + − =
0 0
e) 9 49 441
2 2
x y
− − = 0
Complementares
1. (FGV) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação
analítica (x - 2)2
+ 4(y + 5)2
= 36, e n o maior valor real que y pode
assumir nessa mesma equação, então, m + n é igual a
a) 8.
b) 7.
c) 6.
d) 4.
e) 3.
2. (Ibmec) As equações y2
- x2
+ 1 = 0; 2y2
+ x2
- 1 = 0 e x2
- 2x + y2
= 0
representam no plano, respectivamente,
a) uma elipse, uma hipérbole e uma parábola.
b) uma hipérbole, uma elipse e uma circunferência.
c) uma parábola, uma elipse e uma circunferência.
d) uma reta, uma parábola e uma elipse.
e) uma hipérbole, uma parábola e uma elipse.
3. (UPE) Uma hipérbole cujo eixo real é horizontal, o eixo imaginário
mede6,oeixorealmede8eocentroéC(-2,1).Sobreessahipérbole,
é correto afirmar.
a) Os pontos A(2, 1) e B(6, 1) estão na hipérbole.
b) Possui excentricidade e =
5
4
.
c) Sua equação reduzida é
y x
−
( ) +
+
( ) =
1
16
2
9
1
2 2
.
d) Os focos são F 1 2 5
, − ±
( ).
e) A distância focal é 10.
4. (UFT)Considereoconjuntodosnúmerosreaiseb .Encontreos
valoresdeb,taisquenoplanocartesianoxy,aretay=x+bintercep-
ta a elipse
x
y
2
2
4
1
+ = em um único ponto. A soma dos valores de b é:
a) 0
b) 2
c) 2 5
d) 5
e) -2 5
5. (UFRN-2013)Umarquitetoprojetou,paraumsalãodedimensões22 m
por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior
medindo20meoeixomenor,16m,conformeilustraafiguraaseguir.
F1 F2
22 m
18 m

7
PVE19_7_MAT_C_28
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde
que o arquiteto informasse as posições dos focos.
Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na
direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais
próxima é de
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
6. Johannes Kepler (1571-1630), grande astrônomo alemão, formulou
as leis que regem os movimentos dos planetas. A Primeira Lei de
Kepler estabelece que “todo planeta descreve uma órbita elíptica
ao redor do Sol, estando este num dos focos da elipse”.
A excentricidade da órbita elíptica da Terra, baseada em medições
dos astrônomos, é igual a 0,02. Em um desenho esquemático da
órbita da Terra, em que o eixo maior mede 12 cm, determine qual
deve ser a medida da distância focal para que o desenho mantenha
a mesma excentricidade encontrada pelos astrônomos.
7. (EsPCEx/AMAN-2016) Considere as afirmações:
I. UmaelipsetemcomofocosospontosF1(-3,0),F2(3,0)eamedida
do eixo maior é 8. Sua equação é
x y
2 2
16 7
1
+ = .
II. Os focos de uma hipérbole são F1(-10,0), F2(10,0) e a sua excen-
tricidade é
5
3
. Sua equação é 16x2
- 9y2
= 576.
III. A parábola 8x = -y2
+ 6y - 9 tem como vértice o ponto V(3,0).
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta.
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Apenas as afirmações I e III são falsas.
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Apenas a afirmação III é verdadeira.
8. (Mackenzie-2014) Dadas as cônicas de equações (I) x2
+ y2
- 2x +
+ 8y + 8 = 0 e (II) 4x2
+ y2
- 8x + 8y + 16 = 0, assinale a alternativa
incorreta.
a) Os gráficos de (I) e (II) são, respectivamente, uma circunferência
e uma elipse.
b) As duas cônicas têm centro no mesmo ponto.
c) As duas cônicas se interceptam em dois pontos distintos.
d) O gráfico da equação (I) é uma circunferência de raio 3.
e) O gráfico da equação (II) é uma elipse com centro C = (1, -4).
9. (EPCAr/AFA-2013) Sobre a circunferência de menor raio possível
que circunscreve a elipse de equação x 9y 8x 54y 88
2 2
+ − − + = 0
é correto afirmar que
a) tem raio igual a 1.
b) tangencia o eixo das abscissas.
c) é secante ao eixo das ordenadas.
d) intercepta a reta de equação 4x y
− = 0.
10. (UEL) Numa prova de arremesso de peso (figura abaixo), considere
que a trajetória do objeto é parabólica.
Figura: Arremesso de peso
Dados:
Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2
Velocidade inicial: v0
Ângulo do arremesso: θ
Altura inicial do arremesso: h
Equação horária do movimento: s = s0 + v0t +
1
2
at2
Nestas condições, a equação da parábola é:
a) y h
sen
x
x
v
= + −
cos
cos
θ
θ θ
5 2
0
2 2
b) y h
sen
x
x
v
= + −
θ
θ θ
cos cos
5 2
0
2 2
c) y h
sen
x
x
v sen
= + −
θ
θ θ
cos
5 2
0
2 2
d) y h
sen
x
x
v
= + +
θ
θ θ
cos cos
5 2
0
2 2
e) y h sen x
x
v
= + −
( )
cos
θ
θ
5 2
0
2 2
GABARITO ONLINE
de leitura QR Code.

4
Extensivo
MEGA
Revisão
Sumário
Frente A 53
Frente B 58
Frente C 62
Matemática

Frente | Revisão
A 4 53
PVE19_R4_MAT_A
Divisão de polinômios
Método da chave
Sejam P(x) e D(x) polinômios de graus p e q, respectivamente. Dividir P(x) por D(x) é
encontrar dois polinômios Q(x) e R(x), tais que
P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x)
em que o grau de R(x) é menor que o grau de D(x) ou R(x) = 0.
Denominamos Q(x) como quociente e R(x) como resto.
● Se gr(P) < gr(D), então Q(x) = 0 e R(x) = P(x).
● Se r P r D , a di i de er e etuada e e ui te a rit de i ad
método da chave:
I. Ordenam-se P(x) e D(x) segundo as potências decrescentes de x;
II. Divide-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro termo de D(x), obtendo-se o
primeiro termo do quociente;
III. Multiplica-se D(x) pelo primeiro termo do quociente e subtrai-se o resultado de
P(x), obtendo-se o primeiro resto parcial;
IV. Com o primeiro resto parcial e o divisor D(x) repetem-se as operações, obten-
do-se o segundo termo do quociente e assim sucessivamente, até se encontrar
um resto de grau menor que o divisor.
9 Exemplo:
Calcular, pelo método da chave, o quociente e o resto da divisão de x3
+ 2x – 1 por x2
+ x + 2.
Solução:
x3
+ 0x2
+ 2x – 1 x2
+ x + 2
– x3
– x2
– 2x x – 1
– x2
+ 0x – 1
x2
+ x + 2
x + 1
Logo, o quociente é Q(x) = x – 1 e o resto, R(x) = x + 1.
Método de Descartes
utra a eira de e etuar a di i de i i e t d de De arte , ta -
b e id t d d e i ie te a deter i ar, ue u a a i a da
identidade de polinômios.
Nesse método, parte-se da expressão P(x) = D(x) · Q(x) + R(x), em que
● r r P r D
● r R A r D 1
u ie te e re t btid i ua a d - e e i ie te d d i ad .
Teorema de d’Alembert O resto da divisão de um polinômio P(x) por ax + b, com a 0, é igual a P
b
a
−





.
Divisão de polinômios •
Equações polinomiais ou algébricas
Exercícios Equações Polinomiais Divisão de Polinômios
Frente A

Matemática
54
PVE19_R4_MAT_A
Divisão de polinômios
Dispositivo de
Briot-Ruffini
Observe como dividir P(x) = 2x3
– 5x2
+ 3x – 4 por D(x) = x – 2 por meio do dispositivo
de ri t-Ru i i.
1.°) P i i a a rai d di i r e e i ie te d di ide d , b er a d a r-
dem decrescente dos expoentes de x do polinômio completo:
2 –5 3 –4
2
2.°) e i ie te d ri eir ter d u ie te i ua a e i ie te d ri eir
termo do dividendo:
2 –5 3 –4
2 2
3.°) u ti i a a rai d di i r e e i ie te ue i re etid e adi i a
r dut e trad a e u d e i ie te d di ide d , e re e d re u tad abai :
2 –5 3 –4
2 2 –1
2 · 2 + (–5)
4.°) Agora, multiplicamos a raiz do divisor pelo número escrito abaixo do segundo
e i ie te e adi i a re u tad e trad ter eir e i ie te, e re e d
o número encontrado abaixo e assim sucessivamente:
2 –5 3 –4
2 2 1
–1
2 · (–1) + 3
5.°) O último número encontrado é o resto da divisão:
2 –5 3 –4
2 2 1
–1 –2
2 · 1 + (–4)
Assim, Q(x) = 2x2
– x + 1 e R(x) = –2.
Definição
Uma equação polinomial ou algébrica de grau n t da e ua da r a
anxn
+ an–1xn–1
+ an–2xn–2
+ ... + a1x + a0 = 0
em que a0, a1, ..., an a ad e i ie te e de er er reai u e ,
com n e an 0.
Teorema fundamental
da Álgebra
Toda equação polinomial de grau n ≥ 1 admite ao menos uma raiz complexa.
Multiplicidade de uma raiz
Dizemos que r é raiz de multiplicidade m 1 da e ua P 0 e, e e te e,
P r m
· Q(x) e Q(r) 0
ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0 quando o polinômio P(x) é divisível por
r m
e di i e r r m+1
.
● Quando m = 1, dizemos que r é uma raiz simples;
● Quando m = 2, dupla;
● Quando m = 3, tripla; e assim por diante.
9 Exemplo:
O polinômio x4
+ 7x3
+ 15x2
+ 13x + 4 pode ser reescrito como (x + 1)3
· (x + 4). Dessa forma,
–1 é raiz de multiplicidade 3, enquanto – 4 é raiz simples.

Frente | Revisão
A 55
4
PVE19_R4_MAT_A
Relações de Girard
Equação do 2.º grau
As raízes x1 e x2 da equação algébrica ax2
+ bx + c = 0, com a 0, são tais que:
x x
b
a
1 2
+ = −
x x
c
a
1 2
⋅ =
Equação do 3.º grau
As raízes x1, x2 e x3 da equação algébrica ax3
+ bx2
d 0, a 0, tai ue:
x x x
b
a
1 2 3
+ + = −
x x x x x x
c
a
1 2 1 3 2 3
⋅ ⋅ ⋅
+ + =

x x x
d
a
1 2 3
⋅ ⋅ = −
Teorema de Bolzano
Se um polinômio P(x) apresenta valores P(a) e P(b), com a b, tais que P(a) · P(b) 0,
isto é, P(a) e P(b) têm sinais contrários, a equação admite um número ímpar (maior ou
igual a 1) de raízes reais entre a e b:
y
y
a
a
0
0
P(a)
P(a)
P(b)
P(b)
x
x
b
b
Transformações
Tra r a de u a e ua a bri a P1(x) = 0 é toda operação com a qual se ob-
tém uma nova equação P2(y) = 0 cujas raízes estão relacionadas com as raízes da equação
i i ia r ei de u a re a e ida .
● P1(x) = 0 → equação primitiva;
● P2(y) = 0 → e ua tra r ada
● → re a de tra r a .
Transformação multiplicativa: a tra r a e ue 0. Para
bter a e ua tra r ada ba ta ub tituir a e ua primitiva x
y
k
= .
Transformação aditiva: a tra r a e ue a, a 0. Para bter a
e ua tra r ada ba ta ub tituir a e ua ri iti a a.
Transformação recíproca: a tra r a e ue y
x
=
1
, com x 0. Para obter a
e ua tra r ada ba ta ub tituir a e ua ri iti a x
y
=
1
.
9 Exemplo:
Obtenha a equação cujas raízes são os valores inversos das raízes da equação 5x3
+ x2
− x + 1 = 0.
Solução:
y
x
x
y
= ⇒ =
1 1
(relação de transformação)
Então, a equação transformada é
5
1 1 1
1 0 5 0
3 2
3 2
y y y
y y y





 +





 −





 + = ⇒ − + + =

Matemática
56
PVE19_R4_MAT_A
Equações recíprocas
Uma equação polinomial P(x) = 0 é chamada recíproca se, e somente se, é equivalente
a ua tra r ada re r a P
x
1
0





 = .
Dada a equação recíproca P(x) = 0, se r é uma raiz de multiplicidade m, então
1
r
tam-
bém é raiz com a mesma multiplicidade.
Praticando
1. (UERN-2015)
● Divisor: x x
2
+ ;
● Resto:1 7
- x;
● Quociente: 8 8 12
2
x x
− + .
Logo, o dividendo dessa operação é
a) 8 4 5 1
4 2
x x x
+ + +
b) 6 4 4 3
4 2
x x x
+ + +
c) 8 4 4 1
4 2
x x x
+ + +
d) 6 8 5 1
4 2
x x x
+ + +
2. (FGV-2015) Considere o polinômio P(x) tal que P
x
x x
3
1
2





 = + + . A
soma de todas as raízes da equação P x
3 7
( )= é igual a
a) -
1
9
b) -
1
3
c) 0
d)
5
9
e)
5
3
3. (UFJF–2016) Sabendo-se que 1 + i é uma das raízes do polinômio
p x x x x x x
( )= − + − + −
5 4 3 2
2 2 2 2, é correto afirmar que
a) o polinômio não possui raízes reais.
b) o polinômio possui exatamente duas raízes racionais.
c) o polinômio possui exatamente duas raízes distintas.
d) o polinômio possui quatro raízes complexas não reais.
e) o polinômio possui exatamente quatro raízes distintas.
1. C5:H21 (Famerp-2018) Sabendo-se que uma das raízes da equação
algébrica 2x3
– 3x2
– 72x – 35 = 0 é -
1
2
, a soma das outras duas
raízes é igual a
a) –3.
b) 3.
c) –2.
d) 1.
e) 2.
2. C5:H21(UFSM–2012) A figura a seguir mostra aVênus de Milo, atual-
mente exposta no Museu do Louvre em Paris. Cópias dessa famosa
estátua são encontradas em diversos locais.
Museu
do
Louvre,
Paris
(PROENÇA, Graça. História da arte. São Paulo: Ática, 2009. p.39. Adaptado.)
Considere, então, que uma empresa produz cópias em gesso, em
diferentes tamanhos, da Vênus de Milo. O tempo t, em horas, que
cada cópia leva para secar depende da sua altura h, em centímetros.
Sabe-se que a razão entre t e h é igual à raiz positiva do polinômio
P x x x x
( )= − − −
3 2
3 29 33. Considerando a aproximação 5 2 25
, ,
uma cópia da Vênus de Milo, com altura de 100cm, leva para secar:
a) 25 horas.
b) 50 horas.
c) 750 horas.
d) 100 horas.
e) 225 horas.
3. C5:H21 (UFSM-2014) A função f t t t
t
( )= + −
−
1
4
17 20
4
3 2
representa
o lucro de uma empresa de produtos eletrônicos (em milhões de
reais), no tempo t (em anos).
Se t1, t2 e t3, com t1 t2 t3, correspondem aos anos em que o lucro
da empresa é zero, então t t t
3 2 1
- - é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 6.
e) 10.

Frente | Revisão
A 57
4
PVE19_R4_MAT_A
Complementares
1. (Mackenzie-2014) Se , e são as raízes da equação x3
+ x2
+ px +
+ q = 0, onde p e q são coeficientes reais e = 1 –2i é uma das raízes
dessa equação, então · · é igual a:
a) 15.
b) 9.
c) –15.
d) –12.
e) –9.
2. (EsPCEx/AMAN-2016) Considere os polinômios p(x) = x80
+ 3x79
–
– x2
– x – 1 e b(x) = x2
+ 2x – 3. Sendo r(x) o resto da divisão de p(x)
por b(x), o valor de r
1
2





 é igual a:
a) 0
b)
1
2
c) 1
d) 2
e)
5
2
3. (IME-2016) O polinômio x3
+ ax2
+ bx + c tem raízes reais , – e
1
.
Portanto o valor da soma b c ac
b
c
+ + +
2
2
é:
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
4. (ITA-2016) Seja p o polinômio dado por p x x x x
m n
( )= + −
8
2 , em que
os expoentes 8, m e n formam, nesta ordem, uma progressão geo-
métrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as seguintes
afirmações:
I. x = 0 é uma raiz dupla de p.
II. x = 1 é uma raiz dupla de p.
III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.
Destas, é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
5. (IME-2015) Qual o resto da divisão do polinômio x26
– x25
– 6x24
+
+ 5x4
– 16x3
+ 3x2
pelo polinômio x3
– 3x2
– x + 3?
a) x2
+ x – 2
b) 6x2
– 4x + 3
c) 3x – 9
d) 6x2
–17x – 3
e) 6x + 1
6. (ITA-2015)Considereopolinômiopdadoporp(z)=18z3
+ z2
– 7z –
em que é um número real.
a) Determine todos os valores de sabendo-se que p tem uma raiz
de módulo igual a 1 e parte imaginária não nula.
b) Para cada um dos valores de obtidos no item anterior, deter-
mine todas as raízes do polinômio p.
GABARITO ONLINE
de leitura QR Code.

Matemática
58
PVE19_R4_MAT_B
Operações com arcos e equações e inequações
trigonométricas • Juros
Matemática financeira I Matemática financeira II
Operações com arcos e equações e inequações trigonométricas
Operações
com arcos:
arco metade
Essas fórmulas permitem relacionar as funções trigonométricas de um arco
2
com as funções
trigonométricas do arco :
cos
cos
cos
cos
cos
α α
α α
α α
α
2
1
2
2
1
2
2
1
1
= ±
+
= ±
−
=
−
+
sen
tg
Equações
trigonométricas
–
sen sen
k
ou
k
k
α β
β α π
β π α π
= ⇔
= +
= −
( )+





∈
2
2
,
–
cos cos ,
α β
β α π
β π α π
= ⇔
= +
= −
( )+





∈
2
2 2
k
ou
k
k
+
tg tg k k
α β β α π
= ⇔ = + ∈
,
Frente B

Frente B | Revisão 4 59
PVE19_R4_MAT_B
Operações com arcos e equações e inequações trigonométricas
Inequações
trigonométricas
Em uma inequação trigonométrica, devemos encontrar o intervalo que satisfaz à(s) desigualda-
de(s) imposta(s).
9 Exemplo:
Ache as soluções da inequação s n
e x ≥
1
2
, para x ∈ 
 

0 2
, π .
9 Solução:
senx senx
sen
sen
S
≥ ⇒ ≥
°
°
⇒ = ° °

 






1
2
30
150
30 150
,
Para qualquer valor de x a solução é dada por:
π
π
π
π
6
2
5
6
2
+ ≤ ≤ + ∈
k x k k
,
150° 30°
Juros
Juros simples
Regime de capitalização simples: é aquele em que os juros gerados em cada período são
iguais e sobre eles não incidem novos juros.
Juros simples é a remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i%
durante certo tempo t, cuja remuneração é calculada somente sobre o capital inicial C:
J = C · i · t
É importante saber que o tempo t deve ser expresso na mesma unidade a que estiver referen-
ciada a taxa de juros i.
O montante (M) é o valor resgatado ao final da aplicação do capital C e é dado por
M = C + J = C + C · i · t = C(1 + i · t)
Juros
compostos
Regime de capitalização composta: é aquele onde os juros gerados em cada período são in-
corporados ao capital (capitalizados) para o cálculo dos juros no período seguinte.
Chamamos de juros compostos a remuneração que o capital C recebe após n períodos de apli-
cação, quando a cada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do
capital no período anterior. Os juros compostos são dados por
J = M – C
em que
M = C(1 + i)t
O capital inicial, C0, transformar-se-á, depois de t períodos de tempo, em uma quantia
M = C0 · (1 + i)t
. Assim,
● para obter o valor futuro basta multiplicar o atual por (1 + i)t
;
● para obter o valor atual basta dividir o futuro por (1 + i)t
.
O fator (1 + i)t
é chamado fator de capitalização.

Matemática
60
PVE19_R4_MAT_B
Praticando
1. (Unesp-2014) O conjunto solução (S) para a inequação
2 2 2
2
cos ( ) cos( )
x x
+ , em que 0
x π é dado por
a) S x x ou x
= ∈( )






0 0
6
5
6
, ;
π
π π
π
b) S x x
= ∈( )






0
3
2
3
, ;
π
π π
c) S x x ou x
= ∈( )






0 0
3
2
3
, ;
π
π π
π
d) S x x
= ∈( )






0
6
5
6
, ;
π
π π
e) S x
= ∈( )
{ }
0,π
2. (FGV-2011) Sandra fez uma aplicação financeira, comprando um
título público que lhe proporcionou, após um ano, um montante
de R$10.000,00. A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano.
Podemos concluir que o juro auferido na aplicação foi:
a) R$900,00.
b) R$909,09.
c) R$800,00.
d) R$1.000,00.
e) R$1.009,09.
3. (UEPA-2012) Diversas pesquisas apontam o endividamento de bra-
sileiros. O incentivo ao consumismo, mediado pelas diversas mídias,
associadoàsfacilidadesdecréditoconsignadoeaousodesenfreado
de cartões são alguns dos fatores responsáveis por essa perspectiva
de endividamento.
(Jornal O Globo, de 4 de setembro de 2011. Adaptado.)
Suponha que um cartão de crédito cobre juros de 12% ao mês sobre
o saldo devedor e que um usuário com dificuldades financeiras
suspende o pagamento do seu cartão com um saldo devedor de
R$660,00. Se a referida dívida não for paga, o tempo necessário
para que o valor do saldo devedor seja triplicado sobre regime de
juros compostos, será de:
Dados: log3 = 0,47; log 1,12 = 0,05.
a) nove meses e nove dias.
b) nove meses e dez dias.
c) nove meses e onze dias.
d) nove meses e doze dias.
e) nove meses e treze dias.
1. C5:H21 (Fuvest-2018) Maria quer comprar uma TV que está sendo
vendida por R$1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros
de R$500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é
suficienteparapagaràvista,masdescobriuqueobancoofereceuma
aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos,
Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia,
aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que
faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer.
Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?
a) 1.450,20.
b) 1.480,20.
c) 1.485,20.
d) 1.495,20.
e) 1.490,20.
2. C5:H21 (UNISC-2017) Seja s n( ) cos( )
e x x a
+ = e cos( )s n( )
x e x b
= . Po-
demos então afirmar que
a) a b
+ =1
b) a b
2
1
+ =
c) a b
+ =
2
1
d) a b
2
2 1
− =
e) a b
2
2 1
+ =
3. C5:H21(EPCAr/AFA-2012 – adap.) Sr. José tinha uma quantia x em
dinheiro e aplicou tudo a juros simples de 5% ao ano. Terminado o
primeiroano,reuniuocapitalaplicadoeosjurosegastou
1
3
nacom-
pra de material para construção de sua casa. O restante do dinheiro
ele investiuem duasaplicações:colocou
5
7
a juros simples de 6% ao
ano e o que sobrou a juros simples de 5% ao ano, recebendo, assim,
700 reais de juros relativos a esse segundo ano.
Pode-se afirmar, então, que a quantia x que o Sr. José tinha é um
número cuja soma dos algarismos é
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.

Frente B | Revisão 4 61
PVE19_R4_MAT_B
Complementares
1. (EEAr-2016) O valor de cos 735° é
a)
1
4
b)
3
4
c)
2 6
4
+
d)
2 6
8
+
2. (UERJ-2017) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de
10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$53.240,00.
Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.
3. (PUCRJ-2016) Sabendo que cos( )
3 1
x = − , quais são os possíveis
valores para cos( )
x ?
a)
1
2
e -1.
b)
3
2
e
1
2
.
c)
1
2
e 1.
d) -1 e 5.
e) 0 e
3
2
.
4. (UERJ-2016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por
uma das seguintes formas de pagamento:
● à vista, no valor de R$860,00;
● em duas parcelas fixas de R$460,00, sendo a primeira paga no
ato da compra e a segunda 30 dias depois.
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da
compra é de:
a) 10%.
b) 12%.
c) 15%.
d) 18%.
5. (Mackenzie-2012) Maria fez um empréstimo bancário a juros com-
postos de 5% ao mês. Alguns meses após ela quitou a sua dívida,
toda de uma só vez, pagando ao banco a quantia de R$10.584,00.
Se Maria tivesse pago a sua dívida dois meses antes, ela teria pago
ao banco a quantia de
a) R$10.200,00.
b) R$9.800,00.
c) R$9.600,00.
d) R$9.200,00.
e) R$9.000,00.
6. Se
cos
cos
s n
s n
x
y
e x
e y
+ = −1, calcule o valor de S
y y
x
y e y
e x
=
+
+
−
3cos 3sen
cos
cos
s n
s n
3 3
S
y y
x
y e y
e x
=
+
+
−
3cos 3sen
cos
cos
s n
s n
3 3
.
GABARITO ONLINE
de leitura QR Code.

Matemática
x
yA
yC
yB
0 xC xA
xB
y
y
y
B
B
y
y
y
y
y
y
y
x xA
A
A
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yB
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 x
x
x
x
x
x
xC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
x
x
x
x
x
x
xB
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
62
PVE19_R4_MAT_C
Distância entre ponto e reta
Observe a imagem a seguir.
r A
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
d8
d7
d6
d5
d4
d3
d2
d1
Observe que di (para i = 1, 2, 3, ..., 7, 8) representa as
distâncias entre os pontos A e Ai (para i = 1, 2, 3, ..., 7, 8).
Podemos observar também que:
● as distâncias são diferentes entre si;
● alguns triângulos são formados, como AA2A7 e
AA4A5.
Note que AA6Aj (para j = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8) é um triân-
gulo retângulo, em que d6 é um cateto e dj (para j = 1, 2,
3, 4, 5, 7, 8) é a hipotenusa, em que dj d6. Dessa forma,
a distância de um ponto à reta é definida como sendo a
menor de todas as distâncias. Portanto, na figura, a dis-
tância entre A = (x0, y0) e r: ax + by + c = 0 é d6 e pode ser
obtida por meio de:
d A r
ax by c
a b
,
( ) =
+ +
+
0 0
2 2
9 Exemplo:
Qual a distância do ponto (1, 2) à reta r: 2x – y = –3?
Solução:
A reta r deve ser escrita como r: 2x – y + 3 = 0. Dessa forma,
a = 2, b = –1 e c = 3. Logo,
d A r
,
( ) =
⋅( )+ −
( )⋅ +
+ −
( )
= =
2 1 1 2 3
2 1
3
5
3 5
5
2 2
Note que se d(A, r) = 0, então o ponto A pertence à
reta r.
Área de um triângulo
Observe a seguir o triângulo de vértices (xA, yA),
(xB, B), (xC, yC) representado no plano cartesiano.
y
x
yA
yC
yB
0 xC xA xB
Então, temos que a área do triângulo é igual a A
D
=
| |
2
,
em que D =
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
Equações da circunferência
x
y
P(x; y)
b
a
C(a; b)
Reduzida: a equação reduzida da circunferência é
dada por (x – a)2
+ (y – b)2
= r, em que r é o raio da circun-
ferência e C(a, b) o centro.
Geral: para obtermos a equação geral de uma circun-
ferência, basta desenvolver a equação reduzida. Dessa
forma, temos:
x y ax by c
2 2
2 2 0
+ − − + =
Distância entre ponto e reta • Área
de um triângulo • Equações da
circunferência • Posições relativas
entre ponto e circunferência •
Posições relativas entre reta e
circunferência • Posições relativas
entre circunferências • Cônicas
Elipse
Parábola Hipérbole Equações da
circunferência
Frente C

63
PVE19_R4_MAT_C
Frente C | Revisão 4
Posições relativas entre ponto e circunferência
Considere uma circunferência de centro C(m, n) e raio
r e seja P um ponto qualquer. Então, podemos admitir que:
1.º) O ponto P é interior à , ou seja, a distância do
ponto P até C é menor do que r.
C
P
d(P, C) r
2.º) O ponto P é exterior à , ou seja, a distância do
ponto P até C é maior do que r.
C
P
d(P, C) r
3.º) O ponto P pertence à , ou seja, a distância do
ponto P até C é igual a r.
C
P
d(P, C) = r
Posições relativas entre reta e circunferência
Considere uma circunferência de centro C(m, n) e
raio r. Existem três posições relativas entre a circunfe-
rência e uma reta t:
1.º) A reta t é exterior à circunferência .
r
C
d r
d
t
Nessa situação, a circunferência e a reta não têm
ponto em comum e a distância d entre o centro C e a reta
t é maior que o raio.
2.º) A reta t é tangente à circunferência .
C
d = r
t
A distância d entre o centro C e a reta t é igual ao raio.
Aqui, a circunferência e a reta têm um único ponto em
comum, denominado ponto de tangência.
3.º) A reta t é secante à circunferência .
M
B
r
A
C
d r
d
t
Nessa situação, a circunferência e a reta têm dois
pontos em comum e a distância d entre o centro C e a
reta t é menor que o raio.
Considere o sistema formado pela equação da cir-
cunferência e da reta t:
(x – m)2
+ (y – n)2
= r2
ax + by + c = 0
A resolução desse sistema pode apresentar três
situações:
1.º) Se não existir par ordenado que solucione o sistema,
t é exterior à .
2.º) Se o sistema tem uma única solução, tem-se que
t é tangente à e a solução é representada pelas
coordenadas do ponto de tangência;
3.º) Se o sistema tem duas soluções, então t é secan-
te à e as soluções são as coordenadas dos dois
pontos de interseção entre t e .
Posições relativas entre circunferências
Considere uma circunferência 1, de raio r1 e centro
C1, e outra 2, de raio r2 e centro C2. Considere, também,
a distância d entre os centros C1 e C2. Entre essas duas
circunferências 1 e 2 são possíveis as seguintes posi-
ções relativas:
1.º) Externas
1
2
r1
C1
C2
r2
d
2.º) A circunferência de raio menor é interna à de
raio maior.
1
2
r1
C1 C2
r2
d

Matemática
64
PVE19_R4_MAT_C
P
A
b a
c
C
R
Q
2c
2a
a
e
a
e
A1
F1
B2
B1
N
M
(d2)
2b A2
F2
(d1)
Pontos principais:
A1, B1, A2, B2 – Vértices
F1 e F2 – Focos
C – Centro
Segmentos:
A A
2 1 – eixo maior, com medida 2a.
B B
2 1
– eixo menor, com medida 2b.
F F
2 1 – distância focal, com medida 2c.
Excentricidade:
e
c
a
= 1
Retas diretrizes:
Na figura, as retas diretrizes d1 e d2 são perpendicu-
lares ao suporte do eixo maior da elipse e distam
a
e
do
centro da curva.
Equação reduzida:
x
a
y
b
2
2
2
2
1
+ =
● Hipérbole
Lugar geométrico dos pontos de um plano, cuja
soma das suas distâncias aos dois pontos F2 e F1 é a
constante 2a d(F1, F2) = 2c.
(d2)
B1
A1
A2
B2
2c
F2
Q
2a
F1
M
A
b
c
a
C
p
P
2b
(a2) (a1)
(d1)
a
e
a
e
Pontos principais:
A1 e A2 – Vértices
F1 e F2 – Focos
C – Centro
3.º) Tangentes externas
1
2
r1
C1
C2
r2
d
4.º) Circunferências secantes
r1
C1 C2
r2
d
1
2
5.º) Tangentes internas
r1
C1 C2
r2
d
1
2
Posição relativa
entre as
circunferências
Relação
Externas d (C1, C2) r1 + r2
Uma circunferência é
interna à outra
d (C1, C2) r1 – r2
Tangentes externas d (C1, C2) = r1 + r2
Secantes r1 – r2 d (C1, C2) r1 + r2
Tangentes internas d (C1, C2) = r1 – r2
Cônicas
● Elipse
Lugar geométrico dos pontos de um plano, cuja
soma das suas distâncias aos dois pontos F2 e F1 é
a constante 2a d(F1, F2) = 2c.

65
PVE19_R4_MAT_C
Segmentos:
A A
2 1
– eixo real ou transverso, com medida 2a.
B B
2 1
–eixoimaginárioounãotransverso,commedida2b.
F F
2 1
– distância focal, com medida 2c.
Excentricidade:
e
c
a
= 1
Retas diretrizes:
Na figura, as retas diretrizes d1 e d2 são perpendicu-
lares ao suporte do eixo real da elipse e distam
a
e
do
centro da curva.
Equação reduzida:
x
a
y
b
2
2
2
2
1
− =
● Parábola
Lugar geométrico dos pontos de um plano, situa-
dos a igual distância de uma reta d e um ponto fixo
F não pertencente a d.
(d)
N
S
M
p R
P p
Q
V
U
p
T
V’
p
2
p
2
F e
Pontos principais:
V – Vértice
F – Foco
Equação reduzida:
Sendo V(m, n) o vértice da parábola e F
p
2
0
,





 o foco,
(y – n)²
= 2p(x – m)
ou
(x – m)²
= 2p(y – n)
Equação geral:
Ao desenvolver as equações reduzidas obtém-se:
y = ax²
+ bx + c
ou
x = ay²
+ by + c
Praticando
1. (UNISC-2015) Observando o círculo a seguir, representado no sis-
tema de coordenadas cartesianas, identifique, entre as alternativas
apresentadas, a equação que o representa.
x
0
y
a) x y
2 2
2 10
+ =
+
( )
b) x y
+
( ) + =
3 10
2 2
c) x y
+
( ) + +
( ) =
3 2 13
2 2
d) x y
+
( ) + −
( ) =
3 2 13
2 2
e) x y
−
( ) + +
( ) =
3 2 13
2 2
2. (UFRGS-2013) Um círculo tangencia a reta r, como na figura a seguir.
y
x
r
O centro do círculo é o ponto (7, 2) e a reta r é definida pela equação
3 4 12 0
x x
− + = .
A equação do círculo é
a) x y
−
( ) −
( )
+ =
7 2 25
2 2
b) x y
+
( ) + +
( ) =
7 2 25
2 2
c) x y
−
( ) + +
( ) =
7 2 36
2 2
d) x y
−
( ) + −
( ) =
7 2 36
2 2
e) x y
+
( ) −
( )
+ =
7 2 36
2 2

Matemática
66
PVE19_R4_MAT_C
3. (UDESC-2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é
x
a
y
b
2
2
2
2
1
+ = é dada por A ab
= π. Então, a área da região situada en-
tre as elipses de equações 16 25 400
2 2
x y
+ = e 16 9 144
2 2
x y
+ = é:
a) 12 u.a.
b) 20 u.a.
c) 8 u.a.
d) 256 u.a.
e) u.a.
1. C2:H8 (Enem-2013) Durante uma aula de Matemática, o
professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema
de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa
a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V,
como se segue:
I. é a circunferência de equação x y
2 2
9
+ = ;
II. é a parábola de equação y x
= − −
2
1, com x variando de –1 a 1;
III. éoquadradoformadopelosvértices(–2,1),(–1,1),(–1,2)e(–2,2);
IV. é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
V. é o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos
sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados
com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo
a figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
a)
b)
c)
d)
e)
2. C2:H8 (UEMA-2015) Um fabricante de brinquedos utiliza material
reciclado: garrafas, latinhas e outros. Um dos brinquedos despertou
a atenção de um estudante de Geometria, por ser confeccionado
da seguinte forma: amarra-se um barbante em um bico de garrafa
pet cortada e, na extremidade, cola-se uma bola de plástico que,
ao girar em torno do bico, forma uma circunferência. O estudante
representou-a no sistema por coordenadas cartesianas, conforme
a figura a seguir:
Y
C (3, 4)
X
Considerando o tamanho do barbante igual a 6 unidades de com-
primento (u.c.) e o bico centrado no ponto (3, 4), a equação que
representa a circunferência é igual a
a) x y x y
2 2
6 8 11 0
+ − − − =
b) x y x y
2 2
6 8 11 0
+ + − =
+
c) x y x y
2 2
6 8 11 0
+ + + =
+
d) x y x y
2 2
6 8 11 0
+ − + =
−
e) x y x y
2 2
8 6 11 0
+ − − =
−
3. C2:H8 (PUCRS-2014) Resolver a questão com base na regra 2 da
FIFA, segundo a qual a bola oficial de futebol deve ter sua maior
circunferência medindo de 68cm a 70cm.
Considerando essa maior circunferência com 70cm e usando um
referencial cartesiano para representá-la, como no desenho abaixo,
poderíamos apresentar sua equação como
y
x

67
PVE19_R4_MAT_C
a) x y
2 2 35
+ =
π
b) x y
2 2
2
35
+ =






π
c) x y
2 2 70
+ =
π
d) x y
2 2
2
70
+ =






π
e) x y
2 2 2
70
+ =
Complementares
1. (Fuvest-2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a,b)
tangenciaasretasdeequaçõesy=xex=0.SePpertenceàparábola
de equação y = x2
e a 0, a ordenada b do ponto P é igual a
a) 2 2 2
+
b) 3 2 2
+
c) 4 2 2
+
d) 5 2 2
+
e) 6 2 2
+
2. (UFJF-2016) Dados os pontos A = (1,2), B = (3,5), C = (1,1) e D = (2,3),
considere as afirmações:
I. os pontos A, B e D são colineares.
II. uma reta perpendicular à reta determinada pelos pontos A e B
tem coeficiente angular m= −
2
3
.
III. a distância do ponto A à reta determinada pelos pontos B e C é
10 unidades de comprimento.
É correto afirmar que:
a) apenas a afirmação II é verdadeira.
b) apenas a afirmação III é verdadeira.
c) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
d) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
e) apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
3. (EPCAr/AFA-2018) No plano cartesiano, os pontos P(x, y) satisfazem
a equação
x y
−
( ) +
+
( ) =
1
25
2
9
1
2 2
da curva . Se F1 e F2 são os focos
de , tais que a abscissa de F1 é menor que a abscissa de F2, é incor-
reto afirmar que
a) A soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 10.
b) F2 coincide com o centro da curva x y x y
2 2
6 4 0
+ + − = .
c) F2 é exterior a x y
2 2
25
+ = .
d) O ponto de abscissa máxima de pertence à reta y x
= − 8.
4. (ENaval-2012) Considere a sequência (a, b, 2) uma progressão
aritmética e a sequência (b, a, 2) uma progressão geométrica não
constante, a b
, . A equação da reta que passa pelo ponto (a, b) e
pelo vértice da curva y2
– 2y + x +3 = 0 é
a) 6 4 0
y x
− − =
b) 2 4 1 0
x y
− − =
c) 2 4 1 0
x y
− + =
d) x y
+ =
2 0
e) x y
− =
2 0
5. (EPCAr/AFA-2016) Analise as proporções a seguir e escreva (V) para
a(s) verdadeira(s) e (F) para a(s) falsa(s).
I. ( ) Adistânciaentreovérticeeofocodaparábolay2
+4x – 4 = 0
é igual a 1 unidade de comprimento.
II. ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendicu-
lares entre si.
III. ( )A equação 2 4 4 4 0
2 2
x y x y
+ − + =
− representa uma elipse
que tem um dos focos no ponto P(1, 4).
A sequência correta é:
a) F, F, V.
b) V, F, V.
c) F, V, F.
d) V, V, F.
6. (Fuvest-2016)Noplanocartesiano,xOy,acircunferênciaCtemcentro
no ponto P = ( )
2 1
, , e a reta t é tangente a C no ponto Q = −
( )
1 5
, .
a) Determine o raio da circunferência C.
b) Encontre uma equação para a reta t.
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção
de t com o eixo Ox.
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Extensivo MEGA
68

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