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² Estimativa do Modelo 
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Conclus˜ao 
Este trabalho teve como objetivo a gera¸c˜ao de um modelo de previs˜ao para a arrecada¸c˜ao 
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  1. 1. Utiliza¸c˜ao de Modelos ARIMA para Previs˜ao da Arrecada¸c˜ao de ICMS do Estado do Par´a Jairo Jaques dos Passos Banco da Amazˆonia/UFPA jairojaques@hotmail.com Edson Marcos Leal Soares Ramos, Dr Departamento de Estat´ıstica - UFPA edson@ufpa.br Silvia dos Santos de Almeida, Dra Departamento de Estat´ıstica - UFPA salmeida@ufpa.br Resumo A arrecada¸c˜ao de ICMS no Estado do Par´a ´e apresentada como uma s´erie com dados mensais que segue um padr˜ao sazonal. Por conseguinte, a mesma foi submetida aos crit´erios de sele¸c˜ao de modelos sazonais. Neste trabalho utiliza-se a metodologia de Box-Jenkins que estima modelos de s´eries temporais por meio de modelos denominados auto-regressivos integrados m´edias m´oveis, ou simplesmente ARIMA. Portanto, o objetivo deste trabalho ´e elaborar um modelo de previs˜ao para a arrecada¸c˜ao de ICMS no Estado do Par´a, baseado no modelo ARIMA sazonal de ordem (p; d; q)(P;D;Q)s. E deste modo desenvolver uma alternativa para os m´etodos utilizados na ar-recada ¸c˜ao do ICMS no Estado do Par´a. Palavras-Chave: S´eries Temporais, Modelos ARIMA, Previs˜ao de ICMS. Abstract The ICMS collection in the State of Par´a is showed like a serie with monthly data that a seasonal pattern follows. Therefore, the same one was submitted to the selection criteria of seasonals models. In this work it is used Box-Jenkins methodology that esteem time series models through autore-gressive integrated moving average, or simply ARIMA. Therefore, the objective of this work is to elaborate a forecasting model for the ICMS collection in the State of Par´a, based on seasonal model ARIMA of order (p; d; q)(P;D;Q)s. And by this way to develop an alternative for the methods used in the ICMS collection in the State of Par´a. Key-words: Times Series, ARIMA Models, Forecast of TCMS. 1 Introdu¸c˜ao O Imposto sobre Circula¸c˜ao de Mercadorias e Servi¸cos (ICMS) apresenta-se no Brasil como um tributo compuls´orio relativo ao consumo, que os Estados arrecadam para o custeio de suas 1
  2. 2. atividades visando o bem comum: sa´ude p´ublica, higiene, seguran¸ca, ordem, entre outras. Criado na reforma constitucional de 1988, o ICMS incorpora os impostos ´unicos preexistentes e os tributos sobre servi¸cos. Sendo atribuido aos Estados, a competˆencia para fixar autonomamente as al´ıquotas do seu principal imposto, o ICMS, respons´avel praticamente por 90% da arrecada¸c˜ao estadual. A s´erie hist´orica de arrecada¸c˜ao de ICMS do Estado do Par´a apresenta-se como uma s´erie com dados mensais seguindo um padr˜ao de sazonalidade [Passos (2003)]. Neste trabalho busca-se a elabora¸c˜ao de um modelo que permita prever a arrecada¸c˜ao de ICMS do Estado do Par´a baseado em t´ecnicas estat´ısticas de previs˜ao. Os modelos aqui apresentados s˜ao os modelos auto-regressivos-integrados- m´edia m´oveis (ARIMA), de Box-Jenkins (1976), que foram criados para simular dados reais e fazer previs˜oes atrav´es de s´eries temporais. Dentro dessa metodologia, os modelos s˜ao caracterizados por suas fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao, portanto, s˜ao usados para s´erie temporais com observa¸c˜oes autocorrelacionadas. O estudo de previs˜ao atrav´es de um modelo adequado reflete em melhorias na elabora¸c˜ao or¸cament´aria e no planejamento da arrecada¸c˜ao estadual, expondo um ponto importante, o prov´avel ganho que o Estado ter´a em saber com antecedˆencia os resultados futuros da arrecada¸c˜ao de seus tributos. Al´em disso, a previs˜ao de arrecada¸c˜ao de tributos exerce uma grande influˆencia nas ativi-dades econˆomicas do Estado devendo ser portanto, uma ferramenta segura para o apoio de tomadas de decis˜oes futuras, de eficiˆencia comprovada, precis˜ao de seus resultados, simplicidade nos m´etodos empregados e sobretudo pela confiabilidade estat´ıstica do modelo empregado. 2 Abordagem de Box e Jenkins Uma s´erie temporal ´e um conjunto de observa¸c˜oes de uma vari´avel ordenada segundo o parˆametro tempo. Se o processo estoc´astico que gerou a s´erie ´e invariante com respeito ao seu parˆametro (tempo), diz-se que o processo ´e estacion´ario. Caso o contr´ario, se ocorrer altera¸c˜ao no decorrer do tempo, diz-se n˜ao-estacion´ario [Box e Jenkins (1976)]. Considerando essa evolu¸c˜ao temporal do processo, mede-se a magnitude do evento que ocorre em determinado instante do tempo. A an´alise no dominio do tempo ´e baseada em um modelo param´etrico, utilizando-se as fun¸c˜oes de autocovariˆancia e autocorrela¸c˜ao. A autocorrela¸c˜ao serve para medir a extens˜ao de um processo para o qual o valor tomado no tempo t, depende daquele tomado no tempo t-k. Define-se a autocorrela¸c˜ao de ordem k como ½k = °k °0 = Cov[Zt;Zt+k] p V ar(Zt)V ar(Zt=k) ; (2.1) onde V ar(Zt) = V ar(Zt=k) = °0 = variˆancia no processo; ½0 = 1 e ½k = ½¡k. A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao pode ser obtida considerando-se um modelo de regress˜ao para um processo estacion´ario com m´edia zero. O conceito de autocorrela¸c˜ao pode ser estendido, com a elimina¸c˜ao da dependˆencia dos termos intermedi´arios entre duas observa¸c˜oes seriais Zt e Zt+k¡1, 2
  3. 3. verifica-se a auto-correla¸c˜ao parcial, representada por Cor(Z ¡ T;Zt+kjZt+1; :::;Zt+k¡1): (2.2) O objetivo principal da metodologia de Box e Jenkins [Box e Jenkins (1976)] ´e encontrar um modelo estoc´astico linear da classe ARIMA que possa ter gerado Zt e que esse modelo possa ser utilizado para fornecer previs˜oes de valores futuros da s´erie. Caso a s´erie Zt apresente sazonali-dade, Zt pode ser representada por um modelo da classe SARIMA(p; d; q)(P;D;Q)s. Os modelos SARIMA contˆem uma parte n˜ao sazonal, com parˆametros (P;D;Q)s. O modelo mais geral ´e dado pela equa¸c˜ao (1 ¡ Á1L ¡ ::: ¡ ÁpLp)(1 ¡ ©1Ls ¡ ::: ¡ ©pLPs)(1 ¡ L)d (1 ¡ Ls)DZt = (1 ¡ µ1L ¡ ::: ¡ µqLq)(1 ¡ £1Ls ¡ ::: ¡ £QLQs)"t; (2.3) em que (1 ¡ Á1L ¡ ::: ¡ ÁpLp) ´e a parte auto-regressiva n˜ao- sazonal de ordem p; (1 ¡ ©1Ls ¡ ::: ¡ ©pLPs) ´e a parte auto-regressiva sazonal de ordem P e esta¸c˜ao sazonal s; (1 ¡ L)d ´e a parte de integra¸c˜ao n˜ao-sazonal de ordem d; (1 ¡ Ls)D ´e a parte de integra¸c˜ao sazonal de ordem D e esta¸c˜ao sazonal s; (1 ¡ µ1L ¡ ::: ¡ µqLq) ´e a parte n˜ao-sazonal de m´edias m´oveis de ordem q; (1 ¡ £1Ls ¡ ::: ¡ £QLQs) ´e a parte sazonal de m´edia m´oveis de ordem Q e esta¸c˜ao sazonal s, e "t pode ser, eventualmente, ru´ıdo branco. A fim de se obter melhores resultados na utiliza¸c˜ao da metodologia de Box-Jenkins (ARIMA), trˆes hip´otese precisam ser observadas. A primeira ´e relativa ao tamanho inicial da amostra, que deve ser de, no m´ınimo, 50 observa¸c˜oes [Box-Jenkins (1976)]. A segunda suposi¸c˜ao ´e de que a s´erie seja estacion´aria, isto ´e, que a s´erie varie em torno de uma m´edia constante e com uma variˆancia constante. A terceira hip´otese para os modelos ARIMA ´e de que a s´erie seja homoced´astica, isto ´e, tenha uma variˆancia constante ao longo do tempo. 3 Etapas da Metodologia de Box e Jenkins Morettin e Toloi (1987) mostram que a constru¸c˜ao dos modelos Box-Jenkin ´e baseada em um ciclo interativo, no qual a escolha do modelo ´e feita com base nos pr´oprios dados. Segundo Box e Jenkins (1976), s˜ao trˆes as etapas para a constru¸c˜ao do modelo ARIMA: 1. Identifica¸c˜ao: consiste em descobrir qual dentre as v´arias vers˜oes de modelos de Box e Jenkins, sejam sazonais ou n˜ao, que descreve o comportamento da s´erie. A identifica¸c˜ao do modelo a ser estimado se baseia no comportamento das fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜oes (FAC) e das fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜oes parciais (FACP) e atrav´es dos gr´aficos das respectivas fun¸c˜oes, chamados correlogramas. 2. Estima¸c˜ao: consiste em estimar os parˆametros de Á e © do componente auto-regressivo, os par˜ametros µ e £ do componente de m´edias m´oveis e a variˆancia de "t. 3
  4. 4. 3. Verifica¸c˜ao: consiste em avaliar se o modelo estimado ´e adequado para descrever o compor-tamento dos dados. Caso o modelo n˜ao seja adequado, o ciclo ´e repetido, voltando-se a etapa inicial de identifica¸c˜ao. Quando da obten¸c˜ao de um modelo satisfat´orio, passa-se a ´ultima etapa da metodologia, que constitui-se o seu objetivo principal: realizar previs˜oes. 4 Aplicabilidade Com o objetivo de gerar um modelo de previs˜oes para a s´erie estudada, inicialmente foram reunidos dados hist´oricos de janeiro de 1992 a dezembro de 2002 da arrecada¸c˜ao de ICMS do Estado do Par´a, obtidos no site do Banco Central do Brasil (www.bcb.gov.br) no menu s´eries temporais de finan¸cas p´ublicas. Os dados foram corrigidos pelo ´Indice Geral dos Pre¸cos - IGP-DI, trazendo os valores da ´epoca aos valores da moeda corrente. Figura 1: Gr´afico da S´erie ICMS do Estado do Par´a (1992-2002). 195000 175000 155000 135000 115000 95000 75000 55000 jan/92 jan/93 jan/94 jan/95 jan/96 jan/97 jan/98 jan/99 jan/00 jan/01 jan/02 ² Identifica¸c˜ao do Modelo Para a identifica¸c˜ao dos modelos apropriados, inicialmente deve-se analisar o gr´afico do tempo da s´erie em estudo. A an´alise desse gr´afico pode indicar a presen¸ca de tendˆencia ou altera¸c˜ao de variˆancia, revelando se a s´erie ´e ou n˜ao estacion´aria. A an´alise do gr´afico da s´erie ICMS na Figura 1, indica a presen¸ca de tendˆencia crescente. Uma aplica¸c˜ao do teste de sequˆencia de Wald-Wolfowitz para a verifica¸c˜ao de estacionariedade, mostra como resultado um p¡value = 0; 0003, valor este menor que ® = 0; 05 adotado, para um Z = 6; 82, que confirma a suposi¸c˜ao que a s´erie ´e n˜ao estacion´aria. O pr´oximo passo ´e analisar as fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜oes (FAC) e de autocorrela¸c˜oes parciais (FACP) da s´erie ICMS. O comportamento dessas fun¸c˜oes auxilia na verifica¸c˜ao da estaciona-riedade e na proposi¸c˜ao do modelo. 4
  5. 5. Figura 2: Correlogramas das FAC e FACP da S´erie ICMS. A Figura 2 mostra a FAC e a FACP da s´erie de arrecada¸c˜ao do ICMS no Estado do Par´a, revelando que as autocorrela¸c˜oes da FAC apresentam decaimento exponencial, t´ıpico do pro-cesso auto-regressivo, e o correlograma da FACP, apresenta as duas primeiras defasagens (lags) diferentes de zero significativamente. Assim, h´a uma indica¸c˜ao de que a ordem do modelo auto-regressivo ´e k = 2, no caso um modelo AR(2). Figura 3: Correlograma das FAC’S da 1a e 2a diferen¸cas da S´erie ICMS. A obten¸c˜ao do valor de ordem ”d“ ´e feita atrav´es da escolha do correlograma da FAC que apresentar menor flutua¸c˜ao em suas defasagens ap´os aplicadas as diferencia¸c˜oes. Conforme a an´alise do gr´afico da Figura 3, o valor de d = 1, isto porque o correlograma da 1a diferen¸ca apresentou menor flutua¸c˜ao que o da 2a diferen¸ca. Portanto, o diagn´ostico da an´alise inicial, indicou como modelo para representar a s´erie, o modelo ARIMA (2,1,0). 5
  6. 6. ² Estimativa do Modelo Uma vez indicados os valores de p,d,q, passa-se para a estimativa dos parˆametros do modelo proposto. As estimativas dos parˆametros do modelo foram Á1 = ¡0; 6392 e Á2 = ¡0; 3130. ² Verifica¸c˜ao do Modelo Essa etapa consiste em verificar se o modelo identificado ´e adequado. Em caso negativo, ser´a necess´ario identificar outro modelo e repetir as etapas de estimativa e verifica¸c˜ao. A forma de verifica¸c˜ao utilizada foram: – An´alise de res´ıduos: os res´ıduos devem apresentar comportamento de ”ru´ıdo branco“ se o modelo estiver adequadamente especificado, isto ´e, suas correla¸c˜oes devem ser n˜ao-significantes. Utiliza-se o teste de Ljung-Box para refor¸car essa afirmativa. Figura 4: Correlograma dos Res´ıduos do Modelo ARIMA (2,1,0). – Ordem do modelo: atrav´es do crit´erio de AIC (Akaike Information Criteria) que leva em conta a variˆancia do erro, o tamanho da amostra e os valores de p,q, P e Q. O modelo ARIMA (2,1,0) proposto pela an´alise da FAC e FACP n˜ao se mostrou adequado, devido ao comportamento dos res´ıduos, que n˜ao se comportam como ru´ıdo branco, conforme verifica-se na Figura 4, pois a FACP revela as defasagens 4,7,8,12 e 13 como significativas, o que indica a presen¸ca de sazonalidade. Resultado este confirmado pelo teste de Ljung-Box, com p ¡ value = 0; 007, ao n´ıvel de significˆancia de ® = 0; 05. Entretanto para um melhor diagn´ostico realizou-se uma an´alise aspectral da s´erie, demons-trada no periodograma (Figura 5), cujo resultado apresentou periodicidades, ou seja, picos de 12 meses e 60 meses. Uma vez que os res´ıduos do modelo proposto e a an´alise aspectral indicaram a presen¸ca de sazonalidade, foram analisadas as FAC e FACP da primeira diferen¸ca da s´erie ICMS em busca de outros modelos que levasse em considera¸c˜ao a influˆencia da sazonalidade. 6
  7. 7. Figura 5: Periodograma da S´erie ICMS. Foram analisados diversos modelos com sazonalidade, por´em foram escolhidos os mais repre-sentativos, a Tabela 1 apresenta alguns dos modelos analisados e seus crit´erios de compara¸c˜ao. Os demais modelos aqui n˜ao relacionados, ou apresentavam coeficientes n˜ao-significativos ou tinham variˆancia residual maior que os relacionados. Tabela 1: Crit´erios de compara¸c˜ao para verifica¸c˜ao do melhor modelo. Modelo p-value coeficientes Ljung-Box Variˆancia residual AIC SARIMA(2; 1; 0)(1; 1; 0)12 Á1 = 0; 000 0,000 144079775,6 2581 Á2 = 0; 000 ©1 = 0; 000 SARIMA(2; 1; 0)(0; 1; 1)12 Á1 = 0; 000 0,049 99600729,2 2559 Á2 = 0; 000 £1 = 0; 000 SARIMA(2; 1; 1)(1; 1; 1)12 Á1 = 0; 041 0,359 104264556,4 2561 Á2 = 0; 099 ©1 = 0; 710 µ1 = 0; 002 £1 = 0; 000 SARIMA(0; 1; 1)(0; 1; 1)12 µ1 = 0; 000 0,291 111027954,8 2560 £1 = 0; 000 Inicialmente, considerando o crit´erio AIC e a variˆancia residual, o melhor modelo seria o modelo SARIMA(2; 1; 0)(0; 1; 1)12, mas esta metodologia apresenta o resultado da estat´ıstica Ljung-Box significativa. Assim, o modelo SARIMA(0; 1; 1)(0; 1; 1)12, em termos te´oricos, ´e o mais adequado para efetuar previs˜oes para a arrecada¸c˜ao do ICMS do Estado do Par´a. 7
  8. 8. A estimativa dos parˆametros obtidos para este modelo foram µ1 = 0; 7243 e £1 = 0; 8570. Escrevendo o modelo pela Equa¸c˜ao 2.3, com p = 0; d = 1; q = 1; P = 0, D = 1 e Q = 1, e substituindo os valores dos coeficientes, tem-se (1 ¡ L)1(1 ¡ L12)1Zt = (1 ¡ µ1 L)(1 ¡ £1 L12)"t Zt = Zt¡1 + Zt¡12 ¡ Zt¡13 + "t ¡ ¡0; 7243"t¡1 ¡ 0; 857"t¡12 ¡ 0; 6207"t¡13: (4.1) ² Etapa de Previs˜ao Para o modelo SARIMA(0; 1; 1)(0; 1; 1)12 estimado, o valor (t+h) ´e dado por Zt+h = Zt+h¡1 + Zt+h¡12 ¡ Zt+h¡13 + "t+h ¡ ¡0; 7243"t+h¡1 ¡ 0; 857"t+h¡12 ¡ 0; 6207"t+h¡13: (4.2) Assim, o previsor h passos a frente para a arrecada¸c˜ao do ICMS do estado do Par´a, ´e dado pela Equa¸c˜ao 4.2. O valor de "t+h, que ainda n˜ao ocorreu, ´e estimado por sua m´edia, ou seja, o valor zero. Reescrevendo a equa¸c˜ao 4.2 acima temos Zt = Zt+h¡1 + Zt+h¡12 ¡ Zt+h¡13 ¡ ¡0; 7243"t+h¡1 ¡ 0; 857"t+h¡12 ¡ 0; 6207"t+h¡13: (4.3) A Tabela 2 apresenta as previs˜oes para arrecada¸c˜ao do ICMS do Estado do Par´a, de janeiro de 2003 a dezembro de 2003. Essas previs˜oes foram obtidas aplicando-se a Equa¸c˜ao 4.3 e tendo como base o per´ıodo de dezembro de 2002, que corresponde a t = 132. Tabela 2: Valores de previs˜ao SARIMA(0; 1; 1)(0; 1; 1)12 Observado Previs˜ao Lim.Inferior Lim.Superior Erro % 166510 185339 163505 207173 -11,31 183822 169575 147168 191983 7,75 151921 169807 146841 192774 -11,77 147878 167966 144453 191478 -13,58 171728 167452 143406 191498 2,49 167294 178311 153743 202879 -6,59 180103 180591 155512 205670 -0,27 184431 187849 162270 213429 -1,85 194357 184477 158406 210548 5,08 189247 180801 154248 207353 4,46 200815 189718 162691 216744 5,53 194785 181452 153960 208944 6,84 Total -1,10 8
  9. 9. Conclus˜ao Este trabalho teve como objetivo a gera¸c˜ao de um modelo de previs˜ao para a arrecada¸c˜ao do ICMS do Estado do Par´a, atrav´es da metodologia de Box-Jenkins. Para tanto, mostrou-se inicialmente um breve relato a respeito do ICMS. Uma abordagem sucinta de metodologia de Box-Jenkins e suas etapas de constru¸c˜ao foram apresentadas. Um estudo do caso foi abordado, onde a escolha do melhor modelo recaiu sobre o modelo SARIMA(0; 1; 1)(0; 1; 1)12, para previs˜oes. Finalmente um diagn´ostico importante, a tendˆencia de crescimento em sua arrecada¸c˜ao, fator importante para o desenvolvimento estadual, vindo cor-roborar com a atual situa¸c˜ao econˆomica do Estado do Par´a, que ao longo dos ´ultimos anos vem apresentando caracter´ısticas de uma economia est´avel. Referˆencias [1] BOX, G. E. P. e JENKINS, G. M. TIMES SERIES ANALYSIS: Forecasting and Con-trol. 1a Ed., S˜ao Francisco. Holden-Day, 1976. [2] MORETTIN, Pedro A. e TOLOI, Cl´elia M. S´eries Temporais, 2a ed. Editora Atual, 1987. [3] PASSOS, Jairo J., Um Modelo de Previs˜ao para Arrecada¸c˜ao do ICMS no Estado do Par´a. 2003. Tese (Trabalho de Conclus˜ao de Curso) - Departamento de Estat´ıstica, UFPA, Bel´em. 9

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