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Triângulo de Pascal _ Propriedades das Combinações _ Resumos.pdf
- 1. Triângulo de Pascal Dispondo, em forma de triângulo, para os vários valores de 𝑛, os números 𝑛 𝐶0, 𝑛 𝐶1, 𝑛 𝐶2, …, 𝑛 𝐶𝑛−1 e 𝑛 𝐶𝑛, que constituem a 𝑛-ésima linha, obtemos o chamado triângulo de Pascal: 𝑛 = 5 𝑛 = 4 𝑛 = 3 𝑛 = 2 𝑛 = 1 𝑛 = 0 … … … … … … … … 5𝐶0 5 𝐶1 5 𝐶2 5𝐶3 5 𝐶4 5 𝐶5 4𝐶0 4 𝐶1 4 𝐶2 4𝐶3 4𝐶4 3 𝐶0 3 𝐶1 3 𝐶2 3𝐶3 2 𝐶0 2𝐶1 2𝐶2 1 𝐶0 1 𝐶1 0𝐶0 Linha
- 2. Triângulo de Pascal O triângulo de Pascal pode ser continuado indefinidamente com recurso à propriedade 𝑛 𝐶𝑝 + 𝑛 𝐶𝑝+1 = 𝑛+1 𝐶𝑝+1 Assim, adicionando dois números consecutivos de uma linha obtém-se o número colocado entre eles na linha seguinte. Cada elemento que constitui o triângulo corresponde aos coeficientes binomiais, 𝒏𝑪𝒑. Calculando os respetivos valores dos coeficientes binomiais, obtém-se: … … … … … … … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 6 5 5 10 10
- 3. Triângulo de Pascal _ Propriedades_ a reter Notas: Cada linha do triângulo de Pascal começa e acaba em 𝟏 ( 𝒏 𝑪𝟎 = 𝒏 𝑪𝒏 ). Cada elemento, que não esteja num dos extremos de uma linha, é igual à soma dos dois elementos que estão por cima dele, na linha anterior, um à esquerda, e o outro, à direita ( 𝒏𝑪𝒑 + 𝒏𝑪𝒑+𝟏 = 𝒏+𝟏𝑪𝒑+𝟏 ). Em cada linha, elementos igualmente afastados dos extremos são iguais ( 𝒏 𝑪𝒑 = 𝒏 𝑪𝒏−𝒑 ). O segundo e o penúltimo elementos da linha de ordem 𝑛 são ambos iguais a 𝒏 ( 𝒏 𝑪𝟏 = 𝒏 𝑪𝒏−𝟏 ). A soma de todos os elementos da linha de ordem 𝑛 é 𝟐𝒏. A linha de ordem 𝒏 tem 𝒏 + 𝟏 elementos. Se 𝑛 é ímpar, a linha de ordem 𝑛 tem um número par de elementos, sendo os dois elementos centrais, os maiores. Se 𝒏 é par, a linha de ordem 𝒏 tem um número ímpar de elementos, sendo o maior deles o elemento central, que é 𝑛𝐶𝑛 2 . 𝒏𝑪𝒏−𝟏 𝟐 e 𝒏𝑪𝒏+𝟏 𝟐 ,