Árvore 2-3

ÁRVORE
2-3
Estrutura de Dados II
Equipe:
Augusto Teixeira
Carlos Littbarski
Jardel Rodrigues
Victor Apuena
Professor:
Alandson Meireles

Informações
- A ÁRVORE 2-3 FOI A PRIMEIRA ÁRVORE MULTICAMINHOS,
INVENTADA POR J. E. HOPCROFT EM 1970.
- 2-3 árvores são uma isometria de árvores AA, o que significa que são
estruturas de dados equivalentes. Em outras palavras, para cada 2-3
árvore, existe pelo menos uma árvore AA com elementos de dados na
mesma ordem. 2-3 árvores são equilibradas, o que significa que cada
direita, centro e sub-árvore esquerda contém o mesmo ou perto da
mesma quantidade de dados.
John E. Hopcroft

Características
- SÃO ÁRVORES FÁCEIS DE PROGRAMAR
- SÃO ÁRVORES MULTIVIAS
- NÃO É UMA ÁRVORE BINÁRIA
- ÁRVORES 2-3 SÃO SIMILARES ÀS ÁRVORES 2-3-4.
- 2-3 DIZEM A RESPEITO À QUANTIDADE DE FILHOS QUE A ÁRVORE PODE TER
(ASSIM COMO NA 2-3-4)
- PERFEITAMENTE BALANCEADA

Vantagens
- Árvore perfeitamente balanceada
- Busca rápida
- Fácil implementação
- Remoção demorada
Desvantagens

Propriedades
- Cada nó contém uma, ou duas chaves;
- Cada nó interno tem dois filhos se tem uma chave, ou três se tem duas chaves;
- Todas as folhas estão no mesmo nível.
- Todos os dados são ordenados
NÓ COM 1 FILHO
a a b
P Q NÓ COM 2 FILHOS
P Q R

Inserção: Árvore Vazia
Adicionar ‘B’

Inserção: Árvore Vazia
b
Se a Árvore estiver vazia:
Criar um nó e adicionar o valor ao nó
Regra #1

Inserção: Nó com 1 chave
b
Adicionar ‘A’
a

b
Caso contrário, localize o nó a qual o valor pertence.
Se o nó tiver apenas 1 valor, adicione o valor no nó.
a
Regra #2
Regra #3
Inserir chave no nó sempre de forma ordenada.

a b
c
Adicionar ‘C’

Inserção: Nó com 2 chaves
c
Se o nó da folha tiver mais de dois valores, divida o nó e
promova a mediana dos três valores para o pai.
a b
Regra #4
Número de chaves estouradas
Promover a mediana
Quebrar o nó e fazer a ligação

Inserção: Nó com 2 chaves
ca
b
Nºs > que BNºs < que B
Nós com 1 chave devem sempre ter 2 filhos

Inserção: Regras
c
Inserir “D”
a
b

Inserção: Regras
c
Inserir “E”
a
b
d
e

Inserção: Regras
ca
b
d e
Se o nó da folha tiver mais de dois valores, divida o nó e
promova a mediana dos três valores para o pai.Regra #4

Inserção: Regras
ca
b d
e
- Cada nó interno tem dois filhos se tem uma chave, ou três se tem duas chaves;

Inserção: Regras
ca
b d
e Nºs > que BNºs < que B
chaves > que B & < que D

#25 Promovido | Árvore Equilibrada
1 50
25

Limite estourado!
1 35
25
5040

1
4025
5035
Árvore equilibrada!

#Propriedade quebrada
1
4025
5035
- Nó com 2 chaves deve
ter 3 filhos

Nó (35,50) divido
1
4025
5035

Árvore equilibrada! Insira #15
1
4025
5035

1 35
25
50
40
Blz! Insira #10
15
10

1 35
25
50
40
Limite estourado!
1510

1 35
25
50
40
Limite estourado! DE NOVO!!!
15
10

25 40
Limite estourado! DE NOVO!!!
10
Se o pai tem então três
valores, continuar a
dividir e promover,
formando um novo nó
raiz, se necessário
Regra #5
1 35 5015

25
40
Coisa linda de mamãe!!!
10
1 35 5015

Árvore perfeitamente equilibrada.
1 35
25
50
40
15
10

1 35
25
50
40
Insira....
15
10

Chega né? Vamos ao próximo!
1 35
25
50
40
15
10

Árvore 2-3
▪ Nó Simples:
▪ Contém uma chave e dois links; um link esquerdo para uma
árvore 2-3 que tem chaves menores que a chave do nó; e um
link direto para uma árvore 2-3 que tem chaves maiores;

Árvore 2-3
▪ Nó Duplo:
▪ Contém duas chaves e três links: um link esquerdo para uma
árvore 2-3 que tem chaves menores; e um link do meio para
uma árvore 2-3 que tem chaves entre as duas chaves do nó; e
um link direto para uma árvore 2-3 que tem chaves maiores;

Pesquisa em uma árvore 2-3
- Inicia-se sempre pela raiz;
- Caso o item pesquisado não se encontra na raiz, identifica o nó
filho da raiz em que o mesmo possa estar e siga para este nó;
- Se o item tiver valor maior que a raiz, siga para direita da
árvore, se não vá para esquerda;
- O processo se repete até que o item seja encontrado;

Exemplo de pesquisa Árvore 2-3
3
30
29
5010 20
12 18 40 43 7060
Pesquisando o 18

3
30
29
5010 20
12 18 40 43 7060
Pesquisando o 65

3
30
29
5010 20
12 18 40 43 7060
Pesquisando o 43

3
30
29
5010 20
12 18 40 43 7060
Pesquisando o 3

Remoção de uma árvore 2-3
- A remoção um item de uma árvore 2-3 é aproximadamente o inverso do
processo de inserção;
- Para remover um item, devemos primeiro procurar por ele;
- Se o item a ser removido estiver em uma folha com dois itens;
- simplesmente o excluímos;
- o removemos trocando-o item da árvores;

Removendo 45
- procurar número 45
1 35
25
60
10
6545
40 50
15

Removendo número 45
1 35
25
60
10
6545
40 50
15

1 35
25
6015
10
6550
40 50

1 35
25
6015
10
6550
40 60

Após remover 45
1 35
25
15
10
6550
40 60

Removendo 40
1 35
25
15
10
6550
40 60

1 35
25
15
10
6550
40 60

1 35
25
15
10
6550
35 60

1
25
15
10
6550
35 60

Após remover 40
1
25
15
10
6535
60
50

Removendo 1
1
25
15
10
6535
60
50

Removendo número 1
1
25
15
10
6535
60
50

Removendo número 1
25
15
10
6535
60
50

Removendo número 1
25
10
6535
60
50
15

Após remover 1
25
10 6535
60
5015

Removendo 10
25
10 6535
60
5015

25
10 6535
60
5015

Após remover 10
25
6535
60
5015

Removendo 35
25
6535
60
5015

Após remover 35
25
65
60
5015

Removendo 60
25
65
60
5015

25
65
60
5015

25
65
65
5015

25 65
5015

Removendo 65
25
655015

25
655015

Após remover 65
25
5015

Removendo 50
25
5015

Removendo 25
2515

Removendo 15
15

REFERÊNCIAS
USP - “Instituto de Matemática e Estatística”. Disponível em:
https://www.ime.usp.br/~gold/cursos/2002/mac2301/aulas/b-arvore/
LAFORE - ESTRUTURA DE DADOS E ALGORÍTMOS EM JAVA - 2ª EDIÇÃO
WIKIPEDIA - https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rvore_2-3
Gross, R. Hernández, J. C. Lázaro, R. Dormido, S. Ros (2001). Estructura de Datos
y Algoritmos Prentice Hall
Ellio B. Koffman Paul A. T. Olfgang (2006) : Objetos, Abstração, Estruturas de
dados e projeto usando C++

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