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Prof. Adriano Teixeira de Souza
   São estruturas de dados adequadas para a
    representação de hierarquias.

   Uma árvore é composta por um conjunto de
    nós.

   Existe um nó r, denominado raiz, que contém
    zero ou mais subárvores, cujas raízes são
    ligadas diretamente a r.

   A raiz se liga a um ou mais elementos, e cada
    um destes forma uma nova subárvore. Esses
    elementos são seus galhos ou filhos.
   Fundamentos básicos

    ◦ GRAU – número de subárvores de um nó.

    ◦ FOLHA – um nó que possui grau zero, ou seja,
      não possui subárvores.

    ◦ FILHOS – são as raízes das subárvores de um
      nó.

    ◦ Nó não terminal é um nó que não é uma folha
      e é diferente da raiz.
   Fundamentos básicos

    ◦ A altura de uma árvore é o comprimento do
      caminho mais longo da raiz até uma das
      folhas.

    ◦ Uma árvore nula tem altura 0.

    ◦ Todos os nós são acessíveis a partir da raiz.

    ◦ Existe um único caminho entre a raiz e
      qualquer outro nó.
   Formas de representação gráfica
   Árvore Binária: Uma árvore binária é uma
    árvore que pode ser nula, ou então tem as
    seguintes características:

    ◦ Existe um nó especial denominado raiz;

    ◦ Nenhum nó tem grau superior a 2 (dois), isto
      é, nenhum nó tem mais de dois filhos;

    ◦ Existe um “senso de posição”, ou seja,
      distingue-se entre uma subárvore esquerda e
      uma subárvore direita.
   Atravessamento (ou caminhamento) de árvore
    é a passagem de forma sistemática por cada
    um de seus nós;

   Diferentes formas de percorrer os nós de uma
    árvore:

    ◦ Pré-ordem ou prefixa (busca em
      profundidade)
    ◦ Em ordem ou infixa (ordem central)
    ◦ Pós-ordem ou posfixa
    ◦ Em nível
   Pré-ordem (prefixa)
    ◦ visitar a raiz;
    ◦ caminhar na subárvore à esquerda, segundo
      este caminhamento;
    ◦ caminhar na subárvore à direita, segundo este
      caminhamento.
   Atravessamento em ordem (infixa)
    ◦ caminhar na subárvore à esquerda, segundo
      este caminhamento;
    ◦ visitar a raiz;
    ◦ caminhar na subárvore à direita, segundo este
      caminhamento.
   Atravessamento pós-ordem (posfixa)
    ◦ a) caminhar na subárvore à esquerda, segundo
      este caminhamento;
    ◦ b) caminhar na subárvore à direita, segundo
      este caminhamento;
    ◦ c) visitar a raiz.
   Atravessamento em nível
    ◦ Percorre-se a árvore de cima para baixo e da
      direita para a esquerda.
   Árvore Estritamente Binária:
    ◦ É uma árvore binária na qual todo nó tem 0 ou
      2 subárvores, ou seja, nenhum nó tem “filho
      único”.
   Árvore Binária Cheia
    ◦ Todos os nós, exceto os do último nível,
      possuem exatamente duas subárvores.
    ◦ Uma árvore binária cheia de altura h tem 2h –
      1 nós.
   Árvore Degenerada
    ◦ Cada nó possui exatamente um filho, e a
      árvore tem o mesmo número de níveis que de
      nós
   Uma árvore é denominada árvore binária de
    busca se:
    ◦ Todo elemento da subárvore esquerda é
      menor que o elemento raiz;

    ◦ Nenhum elemento da subárvore direita é
      menor que o elemento raiz;

    ◦ As subárvores direita e esquerda também são
      árvores de busca binária.
   Busca

    ◦ Se o valor for igual à raiz, o valor existe na
      árvore.

    ◦ Se o valor for menor do que a raiz, então deve
      buscar-se na subárvore da esquerda, e assim
      recursivamente, em todos os nós da
      subárvore.

    ◦ Se o valor for maior que a raiz, deve-se buscar
      na subárvore da direita, até alcançar-se o nó
      folha da árvore, encontrando ou não o valor
      requerido.
   Inserção

    ◦ Se a árvore estiver vazia, cria um novo no e
      insere as informações do novo nó.

    ◦ Compara a chave a ser inserida com a chave
      do nó analisado:

          Se menor, insere a chave na subárvore esquerda;

          Se maior, insere a chave na subárvore direita.
   Inserção

   Exemplo:
    ◦ Inserir os seguintes elementos: 7, 13, 20, 4, 1,
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   Remoção

   A remoção de um nó é um processo mais
    complexo. Para excluir um nó de uma árvore
    binária de busca, há de se considerar três
    casos distintos:

    ◦ Remoção na folha

    ◦ Remoção de um nó com um filho

    ◦ Remoção de um nó com dois filhos
   Remoção na folha

    ◦ A exclusão na folha é a mais simples, basta
      removê-lo da árvore.
   Remoção de um nó com um filho

    ◦ Excluindo-o, o filho sobe para a posição do
      pai.
   Remoção de um nó com dois filhos

    ◦ Neste caso, pode-se operar de duas maneiras
      diferentes:

      Substitui-se o valor do nó a ser retirado pelo
       valor sucessor (o nó mais à esquerda da
       subárvore direita);

      Substitui-se o valor do nó a ser retirado pelo
       valor antecessor (o nó mais à direita da
       subárvore esquerda)
   Remoção de um nó com dois filhos

    ◦ Exemplo de remoção substituindo o nó pelo
      seu antecessor.
   Remoção de um nó com dois filhos

    ◦ Exemplo de remoção substituindo o nó pelo
      seu sucessor.
   Árvore é representada pelo ponteiro para o nó raiz

struct noArv {
    int info;
    struct noArv* esq;
    struct noArv* dir;
};
typedef struct noArv NoArv;
   Árvore vazia representada por NULL:


NoArv* abb_cria (void)
{
    return NULL;
}
   Imprime os valores da árvore em ordem crescente,
    percorrendo os nós em ordem simétrica

    void abb_imprime (NoArv* a)
    {
       if (a != NULL) {
          abb_imprime(a->esq);
          printf("%dn",a->info);
          abb_imprime(a->dir);
       }
    }
 Explora a propriedade de ordenação da árvore
 Possui desempenho computacional proporcional à
  altura
 NoArv* abb_busca (NoArv* r, int v)
 {
       if (r == NULL)
           return NULL;
       else if (r->info > v)
           return abb_busca (r->esq, v);
       else if (r->info < v)
           return abb_busca (r->dir, v);
       else return r;
 }
   recebe um valor v a ser inserido
   retorna o eventual novo nó raiz da (sub-)árvore
   para adicionar v na posição correta, faça:
    ◦ se a (sub-)árvore for vazia
      crie uma árvore cuja raiz contém v
    ◦ se a (sub-)árvore não for vazia
      compare v com o valor na raiz
      insira v na sae ou na sad, conforme o resultado da
       comparação
NoArv* abb_insere (NoArv* a, int v)
{
    if (a==NULL) {
       a = (NoArv*)malloc(sizeof(NoArv));
       a->info = v;            é necessário atualizar os ponteiros para
       a->esq = a->dir = NULL; as sub-árvores à esquerda ou à direita
                               quando da chamada recursiva da função,
    }                          pois a função de inserção pode alterar
                               o valor do ponteiro para a raiz da (sub-)árvore.
    else if (v < a->info)
       a->esq = abb_insere(a->esq,v);
    else /* v >= a->info */
       a->dir = abb_insere(a->dir,v);
    return a;
}
Cria
insere   6
insere   8
insere   4
insere   5
insere   2
insere   3
insere   1
insere   9
insere   7
   recebe um valor v a ser inserido
   retorna a eventual nova raiz da árvore
   para remover v, faça:
    ◦ se a árvore for vazia
      nada tem que ser feito
    ◦ se a árvore não for vazia
      compare o valor armazenado no nó raiz com v
      se for maior que v, retire o elemento da sub-árvore à
       esquerda
      se for menor do que v, retire o elemento da sub-
       árvore à direita
      se for igual a v, retire a raiz da árvore
   para retirar a raiz da árvore, há 3 casos:
    ◦ caso 1: a raiz que é folha
    ◦ caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho
    ◦ caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos
   Caso 1: a raiz da sub-árvore é folha da árvore
    original
    ◦ libere a memória alocada pela raiz
    ◦ retorne a raiz atualizada, que passa a ser NULL
   Caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho
    ◦ libere a memória alocada pela raiz
    ◦ a raiz da árvore passa a ser o único filho da raiz
   Caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos
    ◦ encontre o nó N que precede a raiz na ordenação
    ◦ (o elemento mais à direita da sub-árvore à esquerda)
    ◦ troque o dado da raiz com o dado de N
    ◦ retire N da sub-árvore à esquerda
    ◦ (que agora contém o dado da raiz que se deseja retirar)
       retirar o nó N mais à direita é trivial, pois N é um nó folha ou
       N é um nó com um único filho (no caso, o filho da direita
        nunca existe)
NoArv* abb_retira (NoArv* r, int v)
{
    if (r == NULL)
       return NULL;
    else if (r->info > v)
       r->esq = abb_retira(r->esq, v);
    else if (r->info < v)
       r->dir = abb_retira(r->dir, v);
    else { /* achou o nó a remover */
         /* nó sem filhos */
       if (r->esq == NULL && r->dir == NULL) {
           free (r);
           r = NULL;
       }
       /* nó só tem filho à direita */
       else if (r->esq == NULL) {
             NoArv* t = r;
             r = r->dir;
             free (t);
       }
/* só tem filho à esquerda */
           else if (r->dir == NULL) {
                NoArv* t = r;
                r = r->esq;
                free (t);
           }
           /* nó tem os dois filhos */
           else {
                NoArv* f = r->esq;
                while (f->dir != NULL) {
                    f = f->dir;
                }
                r->info = f->info; /* troca as informações */
                f->info = v;
                r->esq = abb_retira(r->esq,v);
       }
    }
    return r;
}

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Estrutura de dados - Árvores Binárias

  • 2. São estruturas de dados adequadas para a representação de hierarquias.  Uma árvore é composta por um conjunto de nós.  Existe um nó r, denominado raiz, que contém zero ou mais subárvores, cujas raízes são ligadas diretamente a r.  A raiz se liga a um ou mais elementos, e cada um destes forma uma nova subárvore. Esses elementos são seus galhos ou filhos.
  • 3. Fundamentos básicos ◦ GRAU – número de subárvores de um nó. ◦ FOLHA – um nó que possui grau zero, ou seja, não possui subárvores. ◦ FILHOS – são as raízes das subárvores de um nó. ◦ Nó não terminal é um nó que não é uma folha e é diferente da raiz.
  • 4. Fundamentos básicos ◦ A altura de uma árvore é o comprimento do caminho mais longo da raiz até uma das folhas. ◦ Uma árvore nula tem altura 0. ◦ Todos os nós são acessíveis a partir da raiz. ◦ Existe um único caminho entre a raiz e qualquer outro nó.
  • 5. Formas de representação gráfica
  • 6. Árvore Binária: Uma árvore binária é uma árvore que pode ser nula, ou então tem as seguintes características: ◦ Existe um nó especial denominado raiz; ◦ Nenhum nó tem grau superior a 2 (dois), isto é, nenhum nó tem mais de dois filhos; ◦ Existe um “senso de posição”, ou seja, distingue-se entre uma subárvore esquerda e uma subárvore direita.
  • 7. Atravessamento (ou caminhamento) de árvore é a passagem de forma sistemática por cada um de seus nós;  Diferentes formas de percorrer os nós de uma árvore: ◦ Pré-ordem ou prefixa (busca em profundidade) ◦ Em ordem ou infixa (ordem central) ◦ Pós-ordem ou posfixa ◦ Em nível
  • 8. Pré-ordem (prefixa) ◦ visitar a raiz; ◦ caminhar na subárvore à esquerda, segundo este caminhamento; ◦ caminhar na subárvore à direita, segundo este caminhamento.
  • 9. Atravessamento em ordem (infixa) ◦ caminhar na subárvore à esquerda, segundo este caminhamento; ◦ visitar a raiz; ◦ caminhar na subárvore à direita, segundo este caminhamento.
  • 10. Atravessamento pós-ordem (posfixa) ◦ a) caminhar na subárvore à esquerda, segundo este caminhamento; ◦ b) caminhar na subárvore à direita, segundo este caminhamento; ◦ c) visitar a raiz.
  • 11. Atravessamento em nível ◦ Percorre-se a árvore de cima para baixo e da direita para a esquerda.
  • 12. Árvore Estritamente Binária: ◦ É uma árvore binária na qual todo nó tem 0 ou 2 subárvores, ou seja, nenhum nó tem “filho único”.
  • 13. Árvore Binária Cheia ◦ Todos os nós, exceto os do último nível, possuem exatamente duas subárvores. ◦ Uma árvore binária cheia de altura h tem 2h – 1 nós.
  • 14. Árvore Degenerada ◦ Cada nó possui exatamente um filho, e a árvore tem o mesmo número de níveis que de nós
  • 15. Uma árvore é denominada árvore binária de busca se: ◦ Todo elemento da subárvore esquerda é menor que o elemento raiz; ◦ Nenhum elemento da subárvore direita é menor que o elemento raiz; ◦ As subárvores direita e esquerda também são árvores de busca binária.
  • 16. Busca ◦ Se o valor for igual à raiz, o valor existe na árvore. ◦ Se o valor for menor do que a raiz, então deve buscar-se na subárvore da esquerda, e assim recursivamente, em todos os nós da subárvore. ◦ Se o valor for maior que a raiz, deve-se buscar na subárvore da direita, até alcançar-se o nó folha da árvore, encontrando ou não o valor requerido.
  • 17. Inserção ◦ Se a árvore estiver vazia, cria um novo no e insere as informações do novo nó. ◦ Compara a chave a ser inserida com a chave do nó analisado:  Se menor, insere a chave na subárvore esquerda;  Se maior, insere a chave na subárvore direita.
  • 18. Inserção  Exemplo: ◦ Inserir os seguintes elementos: 7, 13, 20, 4, 1, 18, 5, 11 .
  • 19. Remoção  A remoção de um nó é um processo mais complexo. Para excluir um nó de uma árvore binária de busca, há de se considerar três casos distintos: ◦ Remoção na folha ◦ Remoção de um nó com um filho ◦ Remoção de um nó com dois filhos
  • 20. Remoção na folha ◦ A exclusão na folha é a mais simples, basta removê-lo da árvore.
  • 21. Remoção de um nó com um filho ◦ Excluindo-o, o filho sobe para a posição do pai.
  • 22. Remoção de um nó com dois filhos ◦ Neste caso, pode-se operar de duas maneiras diferentes:  Substitui-se o valor do nó a ser retirado pelo valor sucessor (o nó mais à esquerda da subárvore direita);  Substitui-se o valor do nó a ser retirado pelo valor antecessor (o nó mais à direita da subárvore esquerda)
  • 23. Remoção de um nó com dois filhos ◦ Exemplo de remoção substituindo o nó pelo seu antecessor.
  • 24. Remoção de um nó com dois filhos ◦ Exemplo de remoção substituindo o nó pelo seu sucessor.
  • 25. Árvore é representada pelo ponteiro para o nó raiz struct noArv { int info; struct noArv* esq; struct noArv* dir; }; typedef struct noArv NoArv;
  • 26. Árvore vazia representada por NULL: NoArv* abb_cria (void) { return NULL; }
  • 27. Imprime os valores da árvore em ordem crescente, percorrendo os nós em ordem simétrica void abb_imprime (NoArv* a) { if (a != NULL) { abb_imprime(a->esq); printf("%dn",a->info); abb_imprime(a->dir); } }
  • 28.  Explora a propriedade de ordenação da árvore  Possui desempenho computacional proporcional à altura NoArv* abb_busca (NoArv* r, int v) { if (r == NULL) return NULL; else if (r->info > v) return abb_busca (r->esq, v); else if (r->info < v) return abb_busca (r->dir, v); else return r; }
  • 29. recebe um valor v a ser inserido  retorna o eventual novo nó raiz da (sub-)árvore  para adicionar v na posição correta, faça: ◦ se a (sub-)árvore for vazia  crie uma árvore cuja raiz contém v ◦ se a (sub-)árvore não for vazia  compare v com o valor na raiz  insira v na sae ou na sad, conforme o resultado da comparação
  • 30. NoArv* abb_insere (NoArv* a, int v) { if (a==NULL) { a = (NoArv*)malloc(sizeof(NoArv)); a->info = v; é necessário atualizar os ponteiros para a->esq = a->dir = NULL; as sub-árvores à esquerda ou à direita quando da chamada recursiva da função, } pois a função de inserção pode alterar o valor do ponteiro para a raiz da (sub-)árvore. else if (v < a->info) a->esq = abb_insere(a->esq,v); else /* v >= a->info */ a->dir = abb_insere(a->dir,v); return a; }
  • 31. Cria insere 6 insere 8 insere 4 insere 5 insere 2 insere 3 insere 1 insere 9 insere 7
  • 32. recebe um valor v a ser inserido  retorna a eventual nova raiz da árvore  para remover v, faça: ◦ se a árvore for vazia  nada tem que ser feito ◦ se a árvore não for vazia  compare o valor armazenado no nó raiz com v  se for maior que v, retire o elemento da sub-árvore à esquerda  se for menor do que v, retire o elemento da sub- árvore à direita  se for igual a v, retire a raiz da árvore
  • 33. para retirar a raiz da árvore, há 3 casos: ◦ caso 1: a raiz que é folha ◦ caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho ◦ caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos
  • 34. Caso 1: a raiz da sub-árvore é folha da árvore original ◦ libere a memória alocada pela raiz ◦ retorne a raiz atualizada, que passa a ser NULL
  • 35. Caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho ◦ libere a memória alocada pela raiz ◦ a raiz da árvore passa a ser o único filho da raiz
  • 36. Caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos ◦ encontre o nó N que precede a raiz na ordenação ◦ (o elemento mais à direita da sub-árvore à esquerda) ◦ troque o dado da raiz com o dado de N ◦ retire N da sub-árvore à esquerda ◦ (que agora contém o dado da raiz que se deseja retirar)  retirar o nó N mais à direita é trivial, pois N é um nó folha ou  N é um nó com um único filho (no caso, o filho da direita nunca existe)
  • 37. NoArv* abb_retira (NoArv* r, int v) { if (r == NULL) return NULL; else if (r->info > v) r->esq = abb_retira(r->esq, v); else if (r->info < v) r->dir = abb_retira(r->dir, v); else { /* achou o nó a remover */ /* nó sem filhos */ if (r->esq == NULL && r->dir == NULL) { free (r); r = NULL; } /* nó só tem filho à direita */ else if (r->esq == NULL) { NoArv* t = r; r = r->dir; free (t); }
  • 38. /* só tem filho à esquerda */ else if (r->dir == NULL) { NoArv* t = r; r = r->esq; free (t); } /* nó tem os dois filhos */ else { NoArv* f = r->esq; while (f->dir != NULL) { f = f->dir; } r->info = f->info; /* troca as informações */ f->info = v; r->esq = abb_retira(r->esq,v); } } return r; }