O documento apresenta uma proposta metodológica para ensinar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) por meio de atividades que envolvem o uso de softwares como Paint e Excel. A metodologia inclui 5 tarefas com problemas que devem ser resolvidos usando o PFC, além de uma lista de exercícios para os alunos praticarem. O documento detalha como conduzir as atividades em sala de aula para desenvolver a compreensão dos alunos sobre o PFC.

1. Informática Educativa I :: Tarefa da Semana 6 :: Execução do Projeto
Nome do Projeto: Utilizando o Microsoft Office Excel e o Paint do
Windows para resolver alguns problemas envolvendo o Princípio
Fundamental da Contagem.
Aluno: Carlos Eustáquio Pinto
Público alvo da atividade: O público alvo inicial são alunos do 4º
(conforme indicado no BNCC 3ª versão p. 246), 5º (conforme indicado
no BNCC 3ª versão p. 250) e 8º (conforme indicado no BNCC 3ª versão
p. 264 e p. 266) anos da Educação Básica. Acredito que a proposta pode
ser utilizada em outros anos escolares dependendo da análise do
professor regente.
Relato do projeto executado em sala de aula ou link de publicação na
web
0 INTRODUÇÃO
O presente trabalho é uma proposta metodológica para o ensino-
aprendizagem do Princípio Fundamental da Contagem (PFC) e indicada para
alunos do sexto ao nono anos. A escolha do tema se deve a grande dificuldade
de muitos alunos no aprendizado da Análise Combinatória no Ensino Médio, pois
provavelmente boa parte desses alunos não desenvolveu certas habilidades
para o aprendizado pleno desse conhecimento matemático. Outro motivo da
escolha seria o fato de tentar articular o uso de softwares educativos nas aulas
de Matemática, visto que não encontrei metodologia de ensino explorando tais
tecnologias com o PFC. Diante de tais constatações resolvi elaborar uma
sequência didática na tentativa de propiciar alguma ferramenta metodológica
que propicie nos alunos o desenvolvimento das habilidades em resolução de
problemas envolvendo o Princípio Fundamental da Contagem. A presente
proposta de ensino é composta de uma sequência de tarefas explorando
gradualmente o PFC a partir da obtenção de todas as possibilidades que são a
solução de um problema instigador apresentado. Algumas das tarefas devem
ser realizadas no software Paint (da Microsoft) e as outras, no software
Microsoft Office Excel, mas também há a possibilidade de utilizar essa
metodologia fazendo uso de impressos e lápis de cor, caso não haja computador
funcionando na escola.
1 OBJETIVOS
Os objetivos que se pretende atingir com a realização dessas tarefas
são:
- Objetivo geral: propiciar ao aluno o desenvolvimento da habilidade de
resolver problemas que exijam o domínio do Princípio Fundamental da
Contagem para solucioná-los.
- Objetivo específico 1: propiciar ao aluno o desenvolvimento da capacidade
de levantar, de forma organizada, os casos possíveis que são a solução de uma
determinada situação problema a partir de figuras ou diagramas.
- Objetivo específico 2: incitar no aluno a habilidade de perceber quando um

2. problema pode ser resolvido a partir do uso do Princípio Fundamental da
Contagem.
- Objetivo específico 3: proporcionar que o aluno desenvolva o pensamento
critico de discernir entre a necessidade de usar o princípio aditivo ou o princípio
multiplicativo em determinado problema.
2 METODOLOGIA E APRESENTAÇÃO DOS MATERIAIS
Para a atividade o professor precisará de computadores com os
softwares Paint (da Microsoft) e Microsoft Office Excel ou programas similares.
Outra opção é que o professor faça a impressão das atividades e peça que os
alunos tragam lápis de cor e de escrever para realizarem as tarefas. É
importante que as figuras relacionadas aos problemas já estejam previamente
construídas tanto no Paint quanto no Excel, e em quantidade mais que
suficiente para a solução de cada problema.
Primeiramente, o professor deverá iniciar a aula comentando e
convencendo os alunos que alguns problemas da vida cotidiana podem ser
resolvidos a partir de um conhecimento matemático, o Princípio Fundamental
da Contagem. É importante que o professor exemplifique algumas utilidades
desse princípio para que os alunos entendam a relevância de estudá-lo.
Sugestões: o famoso problema de colorir um mapa; quantos veículos podem
ser emplacados conforme o modelo de placa adotado; a aplicação nos jogos de
azar e situações do cotidiano (formas diferentes de se vestir, possibilidades de
uma fila, composições possíveis de um sorvete de duas bolas etc.).
Depois o professor deve solicitar que os alunos façam a primeira
atividade (Colorindo bandeiras) que é composta de duas partes: colorir o mapa
de duas faixas e colorir o mapa de três faixas (pode ser realizada no Paint ou
no Excel). É importante que o professor oriente os alunos a utilizarem a
quantidade de cores indicadas em cada item do problema e que cada faixa da
bandeira deve ser totalmente colorida com uma única cor. Após a realização da
tarefa o professor deve realizar uma solução a partir da coloração das bandeiras
de forma organizada e uma associação utilizando o Princípio Fundamental da
Contagem.
Após a realização da primeira tarefa o professor vai solicitar a realização
da segunda tarefa (Pintando vértices). Essa atividade também é composta de
duas partes: uma em formato triangular e outra em formato quadrangular. As
orientações do primeiro problema também devem ser seguidas nessa tarefa.
A tarefa 3 (Colorindo triângulos e quadrados) deve ser conduzida da

3. mesma maneira como as anteriores, ou seja, deixe os alunos realizarem e
depois faça a solução-associação.
A tarefa 4 (Pintando algarismos) será realizada no Paint ou no Excel,
onde os alunos vão pintar os numerais solicitados no problema a partir do
enunciado fornecido.
A tarefa 5 consiste na resolução de uma pequena lista de exercícios para
que os alunos exercitem o que aprenderam. É importante que o professor
realize a solução dessa lista em outra aula utilizando o PFC e associando com as
soluções dos alunos.
É importante mencionar que essa metodologia consiste na construção de
um pensamento combinatório a partir da solução dos problemas propostos. A
previsão de realização total da mesma é de quatro aulas de 50 minutos.
3 FICHA TÉCNICA DAS ATIVIDADES
3.1 Tarefa 1 – Colorindo bandeiras
Obtenha a quantidade máxima de bandeiras diferentes possíveis sendo que
a) tenham duas faixas horizontais retangulares, cada faixa será totalmente
colorida de uma cor, faixas vizinhas terão cores diferentes e serão
utilizadas quatro cores diferentes.
b) tenham três faixas horizontais retangulares, cada faixa deve ser
totalmente colorida de uma única cor, faixas vizinhas devem ter cores
diferentes e poderão ser utilizadas até três cores diferentes.
c) tenham três faixas horizontais retangulares e uma vertical também
retangular, cada faixa deve ser totalmente colorida de uma única cor,
faixas vizinhas devem ter cores diferentes e deverão ser utilizadas três
cores diferentes.

4. 3.2 Tarefa 2 – Pintando vértices (OBMEP, nível 1, fase 2 de 2009)
Determine a o total de figuras que podem ser obtidas seguindo as seguintes
regras
a) pinte totalmente cada círculo nas extremidades dos segmentos de uma
única cor, não pinte círculos que são ligados pelo mesmo segmento com
cores iguais e você poderá usar até 3 cores diferentes.
b) pinte totalmente cada círculo nas extremidades dos segmentos de uma
única cor, não pinte círculos que são ligados pelo mesmo segmento com
cores iguais e você poderá usar até 3 cores diferentes.
3.3 Tarefa 3 – Colorindo triângulos e quadrados
Calcule a quantidade máxima de figuras que podem ser determinadas seguindo
as orientações de cada item a seguir
a) pinte totalmente cada triângulo menor de uma única cor, não pinte
triângulos vizinhos (que possuem um lado em comum) com cores iguais

5. e você deverá usar 3 cores diferentes nessa atividade.
b) pinte totalmente cada triângulo e cada quadrado de uma única cor, não
pinte figuras vizinhas (que possuem um lado em comum) com cores
iguais e você deverá usar 3 cores diferentes nessa atividade.
3.4 Tarefa 4 – Pintando algarismos
Na atividade a seguir você vai pintar a parte interior do limite de cada
algarismo dos numerais indicados seguindo as orientações de cada item a
seguir
a) pinte totalmente o interior de cada algarismo do numeral 2015 com uma
única cor, algarismos vizinhos devem ter cores distintas, o algarismo 5
deve ser pintado de laranja (ou outra cor específica), o algarismo 2 deve
ser pintado de amarelo ou vermelho e você deverá utilizar quatro cores
diferentes (amarelo, laranja, preto e vermelho).

6. b) pinte totalmente o interior de cada algarismo do numeral 2017 com uma
única cor, algarismos vizinhos devem ter cores distintas, o algarismo 7
deve ser pintado de laranja ou preto (ou duas outras cores específicas),
o algarismo 2 deve ser pintado de amarelo ou vermelho (ou duas outras
cores específicas) e você deverá utilizar quatro cores diferentes
(amarelo, laranja, preto e vermelho).
3.5 Tarefa 5 – Lista de exercícios
3.5.1 Qual a quantidade máxima de bandeiras diferentes que podemos obter,
pintando totalmente cada triângulo da figura abaixo de uma única cor dar
quatro disponíveis, sendo que triângulos com lados em comum devem ser
pintados de cores diferentes?

7. 3.5.2 Calcule o total de maneiras diferentes que podemos pintar a figura a
seguir sendo que: o interior de cada triângulo deve ser pintado totalmente de
uma única cor das quatro disponíveis e triângulos vizinhos (com segmentos em
comum) devem ter cores diferentes.
3.5.3 De quantas formas diferentes uma garota pode se vestir usando uma das
cinco camisas preferidas de cores: azul; branca; preta; roxa e vermelha, e uma
das quatro calças preferidas de cores: azul; marrom; preta e rosa, sendo que
ela vai vestir camisa e calça de cores diferentes.
3.5.4 Obtenha a quantidade máxima de opções de sorvete possíveis sendo que
o sorvete deve ter uma bola de um dos cinco sabores disponíveis e um tipo de
cobertura das três disponíveis ou não ter cobertura.
3.5.5 Qual a quantidade máxima de maneira que podemos pintar a figura a
seguir, formada por três triângulos e um losango, pintando totalmente o interior
de cada figura de uma única coe das quatro disponíveis e duas figuras vizinhas
devem ter cores diferentes.
3.5.6 Obtenha o total de formas diferentes que podemos dispor as lâmpadas
de certa parte de um pisca-pisca de natal seguindo as regras: há lâmpadas de
quatro cores diferentes (em quantidade mais que suficiente) para serem

8. distribuídas em cinco boquilhas distintas e não devemos ter duas lâmpadas de
mesma cor entre três boquilhas em sequência. A figura a seguir ilustra a
situação.
3.5.7 Determine o total de maneiras diferentes que podemos pintar o numeral
2017 (representado abaixo) sendo que: o interior de cada algarismo deve ser
pintado totalmente de uma única cor, algarismos vizinhos devem ter cores
distintas, o algarismo 7 deve ser pintado de laranja ou preto, o algarismo 0 não
deve ser pintado de amarelo e você deverá utilizar quatro cores diferentes
(amarelo, laranja, preto e vermelho).
3.6 Detalhamento da condução e execução das tarefas
O professor deve iniciar a aula conversando com os alunos sobre um
conhecimento matemático que serve para solucionar vários problemas que
acontecem na vida real, o Princípio Fundamental da Contagem. É imprescindível
situar os alunos acerca de algumas utilidades importantes do PFC durante a
História, conforme exemplificado na metodologia.
Após a conversa inicial a primeira tarefa deverá ser iniciada utilizando o
software Paint ou as folhas de atividades com o problema Colorindo Bandeiras.
O professor deve deixar a interpretação dos enunciados por conta dos alunos,
pois esse passo é importante para o aprendizado. Após a coloração dos mapas
dos itens a) e b) é importante que o professor dê uma olhada na execução das
tarefas e se perceber que muitos alunos não conseguiram realizar a tarefa é
bom pedir que façam uma parada para realização de uma condução organizada
do procedimento, isso pode ser feito no quadro ou projetor. Depois de realizado
o item c) o far-se-á um retrospecto e solução dos três itens utilizando o PFC.
Figura 1 – solução dos itens a) e b) da tarefa 1 no Paint

9. Depois do retrospecto-solução da tarefa 1 dar-se-á o início da tarefa 2.
Proceda da mesma forma da tarefa 1, sabendo que o item b) é mais simples de
se determinar utilizando o processo de coloração do que o PFC diretamente.
Com o término da tarefa, realize a solução-retrospecto da tarefa 2 com a
associação do PFC.
A tarefa 3 deve ser conduzida da mesma maneira que a tarefa 2.
Na tarefa 4, se os alunos forem utilizar o PFC de forma direta para
resolver as questões, vão verificar um nível maior de exigência de raciocínio na
solução, então peça que eles façam a pintura e no final tentem utilizar o PFC
para obter a mesma resposta. Faça a solução usando o PFC e verifique se não
fizeram uma solução diferente, pois é importante analisar raciocínios diferentes.
Figura 2 – solução do item a) da tarefa 4 no Paint
O tempo para essa parte inicial é de aproximadamente duas aulas de 50
minutos, se sobrar tempo aplique a lista de exercícios (tarefa 5), caso contrário,
aplique a lista na próxima aula. Peça para que os alunos utilizem o PFC na
solução da lista de exercícios e na correção chame os alunos que apresentarem
soluções diferentes. Deve ser necessário um total de quatro aulas de 50
minutos para todo o procedimento, mas isso pode variar.
3.6 Resolução dos exercícios
Tarefa 1 a): 4 × 3 = 12, pois escolhida a cor da faixa 1 temos 3 cores
restantes.
Tarefa 1 b): 3 × 2 × 2 = 12.
Tarefa 1 c): 3 × 2 × 1 × 1 = 6, pois escolhida a cor da faixa vertical temos
duas cores para a próxima faixa (horizontal) e qualquer das outras só temos
uma possibilidade.
Tarefa 2 a): 3 × 2 × 1 = 6, escolhida a cor da círculo 1 temos duas cores
restantes para o próximo e a cor do último será diferente das cores dos outros
dois, então restou uma cor.

10. Tarefa 2 b): 3 × 2 × 1 × 1 + 3 × 2 × 1 × 2 = 6 + 12 = 18.
Tarefa 3 a): 3 × 2 × 2 × 2 = 24, escolhida a cor de um triângulo temos duas
possibilidades de cores para os demais.
Tarefa 3 b): 3 × 2 × 2 + 3 × 2 × 2 + 3 × 2 = 12 + 12 + 6 = 30.
Tarefa 4 a): 1 × 3 × 2 × 1 + 1 × 3 × 1 × 1 + 1 × 2 × 2 × 1 = 6 + 3 + 4 = 13.
Tarefa 4 b): 2 × 3 × 2 + 2 × 3 × 2 + 2 × 2 = 12 + 12 + 4 = 28.
3.7 Informações finais
Ressalto que não encontrei atividade semelhante a essa. Um dos
problemas (tarefa 2) foi extraído de uma das provas da Olimpíada Brasileira de
Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), outros são adaptações de
problemas da OBMEP e alguns são originais.
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COSTA, Rosa Maria. Avaliação da Qualidade de Software Educacional.
NTEM: 2017 Disponível em:
<http://ntem.lanteuff.org/mod/page/view.php?id=10796>. Acesso em: 18 de
agosto de 2017.
LIMA, E. L. et tal. (2010) Temas e Problemas. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática, 17.)
LIMA, E. L. et tal. (2013) Temas e Problemas Elementares. 5ª ed. Rio de
Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção PROFMAT, 05.)
LOAUFSCAR. Plataforma REMAR. Publicado em 12 de outubro de 2016.
Disponível em: < https://www.youtube.com/watch?v=VQTO3txJbM4>. Acesso
em: 18 de agosto de 2017.
MEC. Base Nacional Comum Curricular (BNCC): versão final. 2017.
Disponível em:
<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCCpublicacao.pdf>. Acesso
em 21 de agosto de 2017.
SITE CONSULTADO (EM 23/08/2017)
http://www.obmep.org.br/