Professor Helanderson Sousa

PROFESSOR HELANDERSON SOUSA
LISTA 1 CINEMÁTICA (NIVEL BÁSICO)

1ª Dois carros partiram simultaneamente de um ponto A em direção a um ponto
B com velocidades diferentes, porém constantes. Ao alcançarem o ponto B
mudaram imediatamente o sentido do movimento para A. O primeiro carro no
caminho de volta a A encontrou o segundo a uma distância L do ponto B, e logo
depois de alcançar o ponto A e mudar o sentido do movimento para o ponto B,
encontra o segundo carro depois de percorrer a n-ésima parte da distância que
separa A e B. Determine a distância entre os pontos A e B.

Solução: Temos que achar a distância entre os pontos A e B.

Vamos chamas o carro mais rápido de c1 e o outro de c2.

Dúvidas e sugestões helandersomslavyero@hotmail.com Página 1

Até o primeiro encontro c1 percorre uma distância s + L, onde s é a distância inicial

que separa os pontos A e B e c2 percorre uma distância s – L.

Para o segundo encontro, c1 e c2 os carros percorrem 2s + 1ns e 2s - 1ns

respectivamente.

Para o primeiro encontro temos v1= s + Lt1 e v2= s- Lt1

Para o segundo encontro temos v1= 2s + 1nst2 e v2= 2s - 1ns t2

Assim v1t1= s + L (eq 1)

v2t1 = s- L (eq 2)


v1t2= 2s + 1ns (eq 3)

v2t2 = 2s - 1ns (eq 3) logo notamos que (eq 1)(eq 2) = (eq 3)(eq 3) ou

s + L s- L = 2s + 1ns2s - 1ns com um pouco de álgebra simples é fácil chegar a s =

2Ln.

2ª (Alonso) Um carro percorre a linha OX com movimento uniformemente

acelerado. Nos instantes t1 et2, Suas posições são x1 e x2, respectivamente.

Mostrar que a aceleração do carro é a 2(x2t1- x1t)/ t2 t1(t2- t1).

Solução: Inicialmente montemos as equações horárias para o carro.

x1= vt1 + 12at12 (eq 1) e em t2 temos: x2 = vt2 + 12at2 2 (eq 2)


(eq 2) – (eq 1) = x2 - x1 = v(t2 - t1) + 12a(t2 2- t12)

Logo v = (x2 - x1) - 12a(t2 2- t12) (t2 - t1) , substituindo esse valor em (eq 1)

temos:

x1 = (x2 - x1) - 12a(t2 2- t12) (t2 - t1) t1 + 12at12 Isolando a e simplificando a

expressão temos

2(x2t1- x1t)/ t2 t1(t2- t1) = a

3ª (BIT) Dois carros passam por um mesmo ponto com velocidade v1 e o outro

com velocidade v2, em movimento retilíneo e acelerações uniformes a1 e a2

respectivamente. Se eles alcançam o ponto final no mesmo instante, mostre que


a distância percorrida até esse ponto é dada por 2(v1- v2)( v1a2- v2a1)/(a1-

a2)2

Solução: Sendo S a distância percorrida por cada carro e t o tempo gasto, podemos
montar as funções horárias.

Para o primeiro S = v1t + 12a1t2 (eq 1)

E para o segundo carro S = v2t + 12a2t2 (eq 2)

Fazendo (eq 2) – (eq 1) chegamos a: (v1- v2)t +12(a1-a2)t2 = 0

t = 0 não nos interessa, assim temos a outra solução

t = 2(v1- v2)/(a1-a2)


Substituindo esse valor de t na função horária de qualquer carro e com um
pouquinho de álgebra simples chegamos a:

S = 2(v1- v2)( v1a2- v2a1)/(a1-a2)2

4ª Um carro, movimento retilíneo uniformemente acelerado, percorre uma

distância x1 metros em t1 segundos. Durante os t2 segundos seguintes, ele

percorre x2 metros. Calcule a velocidade do carro e a distância percorrida nos

t1+ t2 segundos seguintes.

Solução: veja as soluções das questões 2 e 3

5ª (Alonso) Um corpo, movimento retilíneo uniformemente acelerado, percorre
55 metros em 2 segundos. Durante os 2 segundos seguintes, ele percorre 77
metros. Calcular a velocidade inicial e a aceleração do corpo. Que distância ele
percorrida nos 4 segundos seguintes.

Solução: Veja a solução da questão 2.

Nessa questão x1= 55, x2 = 77 + 55 = 132, t1 = 2 e t2 = 2 + 2 = 4


6ª (IIT) Um carro inicialmente em repouso começa a se mover com aceleração a
constante, em seguida começa a parar com aceleração b, até chegar ao repouso.
Se t é o tempo gasto desde o inicio do movimento, até o fim, Determine a
distância percorrida pelo carro e a velocidade máxima alcançada por ele.

Solução: v = at ou t1 = v/a , usando a equação horária temos s = 12at12 =

12av2a2 logo s = v22a para a frenagem temos t2 = v/b logo r = (v + 0)t2/2 logo r

= v2/2b.

t = t1+ t2 = v(a +b)/ab portanto v é dado por abt/a+b.

7ª(Savchenko) Alguns esportistas correm com mesma velocidade constante v,
formando uma coluna de comprimento l, ao encontro da coluna corre o treinador

com velocidade u tal que u<v, cada esportista ao encontrar com o treinador

inverte o sentido do movimento imediatamente e continua correndo com mesma
velocidade v. Que comprimento terá a coluna depois que todos o esportistas
tiverem invertido suas velocidades?


Solução : Solução: Inicialmente a coluna tem comprimento L e podemos tratar
inicialmente separadamente o primeiro e o último esportista, assim a função

horária do ultimo soldado é : Su = vt e a do primeiro Sp = L + vt. Quando o primeiro

esportista encontra o comandante, muda o sentido da sua velocidade e percorre
nesse sentido o mesmo tempo que o treinador demora pra encontrar o último

soldado que é T = L/(u+v) alem do mais mudamos o sinal de v na sua função

horária, substituindo esse valor na função de cada um Su = vL(u+ v) e

Sp = L - vL(u+ v) a distância entre o dois esportistas das pontas é o que

determina o comprimento da fileira , assim o novo comprimento será dado por l =

vL(u+ v) – ( L - vL(u+ v)) = 2 vL(u+v) - L =

L(2 V(u+v) - 1) = L(v - vc) (u+v)


8ª (Renato Brito) Uma coluna de soldados de 600 m de comprimento marcha ao
longo de uma estrada com uma velocidade constante de 4,5 km/h. Na direção da
coluna, mas em sentido oposto, aproxima-se um oficial superior caminhando a
uma velocidade constante de 3,0 km/h. Quando ele passa ao lado de cada
soldado, ordena que estes se movam no sentido oposto. Cada soldado
instantaneamente (tão logo recebe sai ordem) inverte o sentido de sua marcha e
continua com a mesma velocidade, mas no sentido oposto. Após algum tempo,
toda a coluna está se movendo no sentido contrario. Determine o novo
comprimento da coluna de soldados.

Solução: É o mesmo problema da questão anterior, nesse caso é só substituir o

valores dados em: L(v - vc) (VC+v) , Onde L é o comprimento inicial da fileira, v a

velocidade inicial e vc a velocidade o do comandante.

Assim teremos l = 0,6(4,5-34,5+3)= 120 metros e o tempo para que toda a fileira

esteja se movendo no sentido contrario e dado por T = L/(vc+v) = 0,6/7,5 = 0,08

horas ou 4 minutos e 8 segundos


9ª Um balão que emite impulsos sonoros de duração T0 vai descendo

uniformemente e seu movimento é perpendicular a horizontal. A duração do
pulso refletido no solo é ouvido por T segundos pelos tripulantes do balão.
Determine a velocidade do balão considerando que a velocidade do som para
esta situação seja c.

Solução

Do enunciado T0 é o tempo que o pulso sonoro é emitido, ou seja, o intervalo de

tempo, em que a primeira onda sonora e a ultima passam pelo balão. T é o tempo
em que a primeira e a ultima onda sonora refletida passa pelo balão.

Logo l = (c - v) T0 = comprimento do pulso sonoro emitido, considerando o

movimento relativo entre a onda e o balão.

l = (c + v)T = comprimento do pulso sonoro emitido, considerando o movimento
relativo entre a onda e o balão.

Pois o pulso sonoro não diminui de “tamanho” logo:

(c - v) T0 = (c + v)T assim chegamos a v = c (T0 -T)/ (T0 + T)

10ª Uma lancha navegando rio a baixo, deixou para trás uma balsa em um ponto
A, passado um tempo t a lancha da a volta e encontra a balsa uma distância l do


ponto A. Determine a velocidade da corrente sabendo que o motor do barco
trabalhou igualmente durante todo o percurso.

Solução: Durante um tempo t a lancha navega rio abaixo com velocidade em
relação às margens dada por u + v, onde u e v são respectivamente a velocidade do
rio e da lancha, percorrendo uma distância (v + u)t. Na volta a lancha agora com
velocidade em relação as margens dada por u - v percorre uma distancia

(v – u)t'= (v + u)t – l assim t'=(v + u)t – l(v – u) .

t + t' é o tempo que a balsa leva pra percorrer a distância l com mesma velocidade

v do rio, ou seja t + (v + u)t – l(v – u) = lv isolando a velocidade do rio,

chegamos a v = l2t .

11ª Uma partícula se move com uma aceleração que obedece a seguinte lei a = bt

+ ct2, com c e b constantes. A posição e a velocidade da partícula em t = 0 são x0


e v0 respectivamente. Ache a expressão para a velocidade e para a posição d

partícula para um tempo qualquer t.

Solução:

a = dvdt = bt + ct2 → dv = bt + ct2 9 (eq 1)

Integrando ambos os lados de (eq 1)

Temos: dv = (bt + ct2)dt → v(t) = bt22 + ct33 + k, do enunciado da questão v(0) =

v0

Assim k = v0 e v(t) = bt22 + ct33 + v0

Para achar a posição em função do tempo fazemos x = dvdt = bt22 + ct33 + v0

assim


dv = (bt22 + ct33 + v0)dt e integrando novamente ambos os lados da equação

temos: dv = (bt22 + ct33 + v0)dt = x(t) → x(t) = bt36 + ct412 + v0t + n, do

enunciado x(0) = x0

assim n = x0 e finalmente chegamos ao resultado x(t) = bt36 + ct412 + v0t + x0

12ª Um homem imóvel sobre uma escada rolante leva t1 minuto para ir di

subsolo ai térreo de um shopping Center. Nos dias em que a escada rolante está
com defeito, o homem sobe essa escada rolante caminhando do subsolo ao

térreo em t2 minutos. Quanto tempo o homem gastaria para fazer o mesmo

percurso se ele caminhasse sobre a escada rolante funcionando normalmente?

Solução: sendo u o vetor velocidade da escada e v o vetor velocidade do homem.
Vamos tomar V e U como o módulo das velocidade dos vetores v e u
respectivamente.


assim podemos escrever para a subida do homem imóvel

sobre a escada Ucos@ = l/t1 (eq 1) onde l é o comprimento da escada, já para o

homem subindo com a escada parada temos Vcos@ = l/t2 (eq 2). Para o caso em

que o homem caminha com velocidade v sobre a escada que tem velocidade v

teríamos (U + V)cos@ = l/t3 (eq 3). Somando membro a membro (eq 1) e (eq 2)

temos Ucos@ + Vcos@ = l/t1 + l/t2

→ (U + V)cos@ = l(t1+ t2t1t2) logo lt3 = l(t1+ t2t1t2) → t3 = (t1t2) /(t1 + t2)

13ª) Um trem leva quatro minutos para ir se movimentar da estão A para a
estação B, distante 4 quilômetros uma da outra na primeira parte do trajeto


possui aceleração constate a1 e na parte final freia com aceleração a2. Mostre

que 1a1 + 1a2 = 2. a1 e a2 são dados em Km/minuto2

Solução:

O trem percorrerá com aceleração a1 uma distância s1 durante um tempo t1 e em

seguida percorrerá com aceleração a2 uma distância s2 durante um tempo t2.

Para a primeira parte do movimento, quando ele é acelerado teremos uma
velocidade máxima até o ponto onde o trem começará a freia, usando Torricelli,

essa velocidade máxima é dada por vmax = 2a1s1. Para o segundo trecho do


movimento, podemos tratar vmax como velocidade e a velocidade final será nula,

por Torricelli temos vmax = 2a2s2

Assim temos que a1s1 = a2s2 (eq 1). Sabemos que s1+ s2 = 4 → s2 = 4 - s1(eq 2)

substituindo (eq 2) em (eq 1) temos s1 = 4a2a1+a2 → s2 = 4a1a1+a2

Para o percurso de movimento acelerado e retardado temos respectivamente:

vmax = 0 + a1t1 e 0 = vmax - a2t2→a1t1 = a2t2 Sabendo que t1 + t2 = 4

facilmente chegamos a t1 = 4a2a1+a2 e t2 = 4a1a1+a2


Para a primeira parte do movimento temos s1 = 12a1 t12 → 4a2a1+a2 =

12a1(4a2a1+a2)2

1 = 12a14a2a1+a2 → 12 = a1a2 a1+a2 Finalmente chegamos a 1a1 + 1a2 = 2

14ª Duas barras se cruzam formando um ângulo a e se movem com velocidades v
e perpendicularmente a se mesmas. Determine a velocidade do ponto de
cruzamento das barras?

Solução:


Da figura vemos que a velocidade resultante do ponto de cruzamento é

u = vcos(90 –a/2) + vcos(90 –a/2) = 2vsen(a/2)

u = 2vsen(a/2)


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