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Distribuição normal em bioestatística
- 1. Introdução à Bioestatística Nutrição e Fisoterapia Primeiro Semestre/2013
- 2. Introdução • Apesar das distribuições Binomial e Poisson serem de extrema utilidade, elas não descrevem todos os casos; • A distribuição binomial tem a desvantagem de ser impraticável para grandes amostras; • A distribuição de Poisson, apesar de ser bem ajustada a um grande conjunto de dados, considera apenas números inteiros; • O que fazer quando temos uma variável aleatória contínua como altura e peso?
- 3. Distribuição de Probabilidade – Densidade de Probabilidade • A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta pode ser representada por um gráfico de barras; • Tomemos por exemplo uma distribuição binomial com probabilidade de sucesso igual a 0,5 e tamanho da amostra variando de 5 a 40 qual a tendência que podemos observar pelo desenvolvimento dos gráficos?
- 4. Distribuição de Probabilidade – Densidade de Probabilidade
- 5. Densidade de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas • A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, definida em um espaço amostral S, é dada por uma função que relaciona um intervalo contendo X com sua probabilidade. • O gráfico da função densidade de probabilidade (f.d.p) representa uma tradução da distribuição de probabilidades do caso discreto para o caso contínuo.
- 6. Distribuição Normal • A distribuição contínua mais comum é a distribuição normal ou Gaussiana; • Assim como a distribuição de Poisson a distribuição normal pode ser entendida como uma aproximação da distribuição binomial com probabilidade de sucesso constante e tamanho da amostra tendendo ao infinito; • Diferentemente da Poisson, no entanto, a distribuição normal pode representar qualquer intervalo pertencente ao conjunto dos números reais.
- 7. Distribuição Normal • Uma variável aleatória ܺ tem distribuição normal com parâmetros ߤ e ߪଶ se sua densidade de probabilidade é dada por: ݂ ݔ ൌ 1 2ߨߪ ݁ ି ௫ିఓ మ ଶఙమ • Em que െ∞ ൏ ݔ ൏ ∞;െ∞ ൏ ߤ ൏ ∞ e ߪଶ 0. • Observações: • ߨ representa uma constante, aproximadamente 3,1415; • ݁ representa uma outra constante, aproximadamente 2,7182; • ߤ representa a média da distribuição; • ߪଶ representa o desvio-padrão da distribuição; • Juntos, os parâmetros ߤ e ߪଶ definem uma função densidade de probabilidade normal.
- 8. Distribuição Normal • Diferentemente de uma variável aleatória discreta, a probabilidade de uma variável aleatória contínua ser igual a um determinado valor é sempre nula; • Não faz sentido pensar em valores únicos quando se considera uma variável aleatória contínua, mas sim em intervalos; • Assim como não se calcula a probabilidade de um único valor para ܺ , também não se utiliza, diretamente, a função densidade de probabilidade (f.d.p.) para calcular as probabilidades dos intervalos, deve-se considerar a curva definida pela f.d.p. e calcular a área sob a mesma.
- 9. Distribuição Normal • Muitas variáveis aleatórias de interesse na bioestatística seguem uma distribuição aproximadamente normal: • Pressão sanguínea; • Nível sérico de colesterol; • Altura; • Peso; • ...
- 10. Exemplo • Suponha que o comprimento de recém-nascidos do sexo feminino não portadores de anomalias congênitas seja uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 48,54cm e desvio-padrão 2,5cm. Intervalo de 2cm Intervalo de 1cm Intervalo de 0,5cm
- 11. Exemplo
- 12. Propriedades da Distribuição Normal • A distribuição normal é unimodal e simétrica em torno de sua média ߤ; • ܲ ܺ ൏ ߤ ൌ ܲሺܺ ߤሻ; • O desvio padrão ߪ é uma medida da dispersão dos dados ao redor da média ߤ: • ܲ ߤ െ ߪ ൏ ܺ ൏ ߤ ߪ ൌ 0,6826; • ܲ ߤ െ 2ߪ ൏ ܺ ൏ ߤ 2ߪ ൌ 0,9546; • ܲ ߤ െ 3ߪ ൏ ܺ ൏ ߤ 3ߪ ൌ 0,9974.
- 13. Como Calcular a Probabilidade de Pertencer a Determinado Intervalo• Basta calcular a área sob a curva normal relativa a f.d.p. da variável aleatória ܺ; • Para calcular a área sob um gráfico, é necessário resolver uma integral, nem sempre trivial; • Como fugir do cálculo de uma integral cada vez que quiser calcular uma probabilidade? • Como a construção de tabelas para todas as possíveis variáveis aleatórias pertencentes a uma distribuição normal é impossível (existem infinitas combinações de médias e desvios padrão), utiliza-se a tabela da distribuição normal padrão.
- 17. Como usar a tabela? • ܲ ܼ 2,65 ൌ 0,0040; • ܲ ܼ 0,5 ൌ 1 െ ܲ ܼ 0,5 ൌ 1 െ 0,3085 ൌ 0,6915; • ܲ ܼ െ1,85 ൌ ܲ ܼ 1,85 ൌ 0,0322; • ܲ ܼ െ2,46 ൌ 1 െ ܲ ܼ െ2,46 ൌ 1 െ ܲ ܺ 2,46 ൌ 0,9931; • ܲ 0,71 ܼ 1,93 ൌ 1 െ ܲ ܼ 1,93 െ ܲ ܼ 0,71 ൌ 1 െ ܲ ܼ 1,93 െ 1 െ ܲ ܼ 0,71 ൌ ܲ ܼ 0,71 െ ܲ ܼ 1,93 ൌ 0,2389 െ 0,0268;
- 18. Exemplo • Voltemos para o exemplo dado, em que se pretende estudar o comprimento de recém nascidos (ߤ ൌ 48,54cm e ߪ ൌ 2,5cm).
- 19. Exemplo • Se subtrairmos 48,54cm de todas as observações teremos uma distribuição normal com média 0cm e desvio padrão 2,5cm.
- 20. Exemplo • Se, após subtrairmos 48,54cm, dividirmos todas as observações por 2,5cm teremos uma distribuição normal com média 0cm e desvio padrão 1cm.
- 21. Distribuição Normal Padronizada • Uma variável aleatória ܺ que siga um distribuição normal com média ߤ ് 0 ou desvio padrão ߪ ് 1 pode ser padronizada pela seguinte expressão: • ܼ ൌ ିఓ ఙ • Conhecendo a relação entre uma variável aleatória ܺ seguindo uma distribuição normal diferente da padrão e a variável aleatória ܼ que segue uma distribuição normal padrão, é possível calcular as probabilidades relativas à variável ܺ utilizando a tabela de probabilidades de ܼ.
- 22. Exemplo • Tomando ܺ a variável aleatória relativa ao comprimento de recém nascidos (ߤ ൌ 48,54cm e ߪ ൌ 2,5cm). Tem-se: • P ܺ 48,54 ൌ? • ܺ ൌ 48,54 ⟹ ܼ ൌ ସ଼,ହସିସ଼,ହସ ଶ,ହ ൌ 0 ⟹ P ܺ 48,54 ൌ P ܼ 0 ൌ 0,5 • P ܺ 44,79 ൌ? • ܺ ൌ 44,79 ⟹ ܼ ൌ ସସ,ଽିସ଼,ହସ ଶ,ହ ൌ ିଷ,ହ ଶ,ହ ൌ െ1,5 ⟹ P ܺ 44,79 ൌ P ܼ െ1,5 ൌ P ܼ 1,5 ൌ 0,0668 • P 46,04 ܺ 51,04 ൌ? • ܺ ൌ 46,04 ⟹ ܼ ൌ ସ,ସିସ଼,ହସ ଶ,ହ ൌ ିଶ,ହ ଶ,ହ ൌ െ1; ܺ ൌ 51,04 ⟹ ܼ ൌ ହଵ,ସିସ଼,ହସ ଶ,ହ ൌ ଶ,ହ ଶ,ହ ൌ 1 ⟹ P 46,04 ܺ 51,04 ൌ P െ1 ܼ 1 ൌ P ܼ െ1 െ P ܼ 1 ൌ 0,8413 െ 0,1587 ൌ 0,6826.
- 23. Exercício • Para a população de homens de 18 a 74 anos, nos Estados Unidos, a pressão sanguínea sistólica tem distribuição aproximadamente normal com média de 129 milímetros de mercúrio (mm Hg) e desvio padrão de 19,8 mm Hg. • Tome ܺ como a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica. Encontre: • O valor de ݔ que limite os 2,5% superiores e inferiores da curva de pressão sanguínea sistólica; • Qual a proporção de homens na população que tem pressão sanguínea sistólica maiores do que 150mm Hg; • Qual a proporção de homens na população que tem pressão sanguínea sitólica entre 115 mm Hg e 145 mm Hg?