9ano matematica - professor 1bim2015

educacionalMaterial do professor - 2ª Edição
Caderno
matemáticaMaterial de apoio - 1º bimestre

Marconi Ferreira Perillo Júnior
Governador do Estado de Goiás
Raquel Figueiredo Alessandri Teixeira
Secretária de Estado da Educação, Cultura e Esporte
Rui Rocha de Macedo
Superintendente Executivo
Marcos das Neves
Superintendente Executivo de Educação
Expediente
Gerência de Formação Central
Elaboradores
Abadia de Lourdes da Cunha
Alexsander Costa Sampaio
Aline Márcia dos Santos
Carlos Roberto Brandão
Deusite Pereira dos Santos
Inácio de Araújo Machado
Júnior Marques Carneiro
Lidiane Rodrigues da Mata
Márcio Dias de Lima
Marlene Aparecida Faria
Mônica Martins Pires
Regina Alves Costa Fernandes
Silma Pereira do Nascimento Vieira

Caro Professor:
Queremos, hoje, entregar a você a nova versão do Caderno Educacional.
Assim como a primeira edição desse material, esta foi pensada e formulada
pela Secretaria de Estado da Educação, com o objetivo principal de subsidiar
a sua prática pedagógica.
Nessesentido,asuaexperiênciaeconhecimentosão,defato,extremamente
importantes à medida que consideramos a produção do saber o resultado de
uma soma. E o orgulho da SEDUC centra-se nessa adição, afinal, a sua voz,
professor, emerge, dentre tantas outras, em cada proposta que aparece nesse
material de apoio.
A nossa intenção não é a de lhe entregar um material pronto e
acabado, e sim a de permitir que, com o acréscimo de suas contribuições, este
cadernosetornemaisumrecurso,auxiliando-o,diariamentenasublimetarefa
de ensinar.
Ao perceber que o professor é alguém que concebe este Caderno
como um eixo orientador de sua prática, o aluno aprende que o material em
suas mãos também funciona como um norte para conhecer o desconhecido.
A ordem do século XXI é encorajar o aluno a se inteirar da multiplicidade do
saber que compõe as várias áreas do conhecimento, como a Língua
Portuguesa,aMatemática,aFísica,aBiologia[...]e,assim,estabelecer,apartir
de cada esfera do conhecimento múltiplas relações com o contexto atual e
vindouro. Essa tarefa, professor, é sua e é nossa também! Por isso, o Governo
de Goiás traçou as diretrizes para a reforma educacional, a fim de promover
um grande salto de qualidade na Educação do nosso Estado. A produção do
Caderno Educacional é uma das ações que acreditamos impactar e estimular
a busca pelo saber.
O nosso muito obrigado pelo trabalho diário com os 600 mil alunos
da Rede Estadual de Educação!
Apresentação

Apresentação.............................................................................................................................................................5
Aula 01.........Conjunto dos números naturais (N) .........................................................................................11
Aula 02.........Conjunto dos números inteiros (Z) – Operações..................................................................14
Aula 03.........Conjunto dos números racionais (Q) – Frações ....................................................................17
Aula 04.........Conjunto dos números racionais (Q) – Números
Decimais: (Operações).................................................................................................................22
Aula 05.........Conjunto dos números racionais (Q) – Equivalência de frações.......................................26
Aula 06.........Conjunto dos números racionais (Q) – Conversão...............................................................30
Aula 07.........Conjunto dos números irracionais............................................................................................33
Aula 08.........Conjunto dos números reais (R).................................................................................................35
Aula 09.........Os números racionais na reta numérica..................................................................................38
Aula 10.........Potenciação: Definição.................................................................................................................40
Aula 11.........Potenciação: Propriedades.........................................................................................................43
Aula 12.........Potência com expoente negativo.............................................................................................46
Aula 13.........Potenciação: expressões numéricas.........................................................................................48
Aula 14.........Decomposição em fatores primos............................................................................................50
Aula 15.........Radiciação: Definição / Extração de raiz..................................................................................52
Aula 16.........Radiciação (propriedades)...........................................................................................................57
Aula 17.........Radiciação inexata.........................................................................................................................60
Aula 18.........Relacionando potências e radicais............................................................................................62
Aula 19.........Resolução de situações problema envolvendo números R...............................................64
Aula 20.........Exercícios – números reais...........................................................................................................66
Aula 21.........Rotação de polígonos – Propriedades.....................................................................................68
Aula 22.........Reflexão de polígonos – Propriedades....................................................................................72
Aula 23.........Translação de polígonos – Propriedades................................................................................77
Aula 24.........Plano cartesiano ortogonal.........................................................................................................81
Aula 25.........Construção de polígonos no plano cartesiano.....................................................................85
Aula 26.........Exercícios envolvendo polígonos..............................................................................................90
Aula 27.........Circunferência e círculo: Definição e diferenças....................................................................92
Aula 28.........Razão I...............................................................................................................................................96
Sumário

Aula 29.........Proporção ..........................................................................................................................102
Aula 30.........Proporção – Propriedade...............................................................................................108
Aula 31.........Exercícios envolvendo razão e proporção.................................................................114
Aula 32.........Perímetro de polígonos diversos.................................................................................115
Aula 33.........Área de polígonos: quadrados e retângulos............................................................120
Aula 34.........Área de polígonos: triângulos......................................................................................123
Aula 35.........Área de polígonos: paralelogramo.............................................................................128
Aula 36.........Área de polígonos: trapézio..........................................................................................132
Aula 37.........Área de superfícies do cubo, cilindro e paralelepípedo........................................135
Aula 38.........Exercícios: área de superfície de figuras não planas (cubo, cilindro
e paralelepípedo)..............................................................................................................139
Aula 39.........Leitura de gráficos e tabelas..........................................................................................142
Aula 40.........Construir gráficos de frequência de dados estatísticos: Coluna.........................148
Aula 41.........Construir gráficos de frequência de dados estatísticos: Barra.............................151
Aula 42.........Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos: Setores..............157
Aula 43.........Conclusões com base na leitura de gráficos.............................................................161
Aula 44.........Relacionar gráficos com tabelas...................................................................................164
Aula 45.........Relacionar tabelas com gráficos...................................................................................171
Aula 46.........Conclusões com base na leitura de tabelas..............................................................177

MATEMÁTICAMATEMÁTICA
7
AULA 01
Conjunto dos Números Naturais (N)
Objetivo geral
Relembrar as quatro operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão) do conjunto dos números naturais.
Conceito básico
Os números naturais surgiram da necessidade de fazer
pelos números que utilizamos para contar. Representa-se
o conjunto dos números naturais por N:
0,1,2,3,...N = " ,
A seguir faremos uma pequena revisão acerca das
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
trabalhadas no conjunto N.
Adição: É a operação matemática que permite juntar e/
ou acrescentar quantidades. Tais quantidades são chama-
das termos ou parcelas. A operação 2 936 + 4 652 = 7 588
indica uma adição.
Subtração: É a operação matemática que permite retirar certa quantidade de outra. Tais
uma subtração.
Multiplicação: É a operação matemática que permite adicionar quantidades iguais. O
. 46 = 552 indica uma
multiplicação.
Divisão: É a operação matemática que permite repartir um número em quantidades iguais. A
operação 1554 37 42=' indica uma divisão.
Propriedades importantes da adição e da multiplicação
Quando trabalhamos com a adição ou a multiplicação de números naturais existem algumas
propriedades comuns que devem ser relembradas. São elas:
Comutativa:
Adição: a b b a+ = +
Exemplo
O que devo aprender
nesta aula
Reconhecer a aplicação
dos números naturais e suas
diferentes formas de utilização
no cotidiano.
Reconhecer e aplicar as
propriedades das operações
com números naturais e
percebê-las como facilitadoras
na compreensão das técnicas
operatórias.
Analisar, interpretar, formular
e resolver situações problema
em diferentes contextos sociais
e culturais.
Expectativas de
Aprendizagem
u Reconhecer a aplicação os números
naturais e suas diferentes formas de
utilização no cotidiano.
u Reconhecer e aplicar as
propriedades das operações com
números naturais e percebê-las como
facilitadoras na compreensão das
técnicas operatórias.
u Analisar, interpretar, formular e
resolver situações problema em
diferentes contextos sociais e culturais.
Conjunto dos números naturais

8
Multiplicação: a . b = b . a
Exemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35.
Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.
Adição: (a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c)
Exemplo: (3 . 4) . . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2)
Observação: Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primei-
ramente as operações contidas em seu interior.
Expressão Numérica
Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operações que estão entre parênteses, em seguida as
Em relação as operações matemáticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicação e/
ou divisão e, em seguida, adição e/ou subtração. Por exemplo:
( I )
8 + 5 . 3 =
23
( II )
. :
25
Atividades
01 Efetue cada uma das operações a seguir:
a) 487 + 965
b) 1238 – 649
Efetue cada uma das operações a seguir:
a) 487 + 965
b) 1238 – 649
c) 35 · 126
d) 9114 ÷ 62
Solução:
a) 1452; b) 589; c) 4410; d) 147.
Atividades
( I ) 8 + 5 . 3 =
8 + 15 =
23
( II )15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] =
15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] =
15 + [(16) - (7) + 1]=
15 + [16 - 7 + 1] =
15 + [9 + 1] =
15 + 10 =
25
Observe que, como não apareceram sinais de associação é
necessário resolvermos o produto antes da adição.

MATEMÁTICA
3
Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:
a) 50 – {15 + [16 ÷ (10 – 2) + 5 · 2]} = b) 70 – [5 · (4 ÷ 4) + 9] =
c) 25 + {27 ÷ 9 + [9 · 5 – 3 · (8 – 5)]} = d) 25 – [27 – (4 – 1 + 6 – 4)] =
Solução:
a) 23 b) 56 c) 64 d) 3
Resolva os problemas a seguir:
a) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3 216 selos de diversos países. Supondo uma divisão
equilibrada, quantos selos caberão a cada filho?
(Desenvolva o algoritmo da divisão).
b) Antônio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 1 ano e meio?
c) Maria levou R$ 20,00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$9,00
com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?
d) Um funcionário precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas,
quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante?
3
Solução:
a) 1 072 selos b) R$ 630,00 c) R$ 6,00 d) 21 caixas.
DESAFIO
Sabendo queTiago tem uma coleção composta por 396 figurinhas, responda:
a) SeTiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantas
figurinhas terá cada um?
b) SeTiago triplicar sua coleção a nova quantidade corresponderá a que valor?
c) Caso o pai deTiago lhe dê mais 89 figurinhas qual será a nova quantidade obtida por ele?
d) SeTiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobrarão?
Solução:
a) 198; b) 1 188; c) 485; d) 267.

MATEMÁTICA
AulA 0
Objetivo Geral
Revisar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números inteiros.
Conceitos Básicos
O conjunto dos números inteiros (Z) encontra-se presente
em diversas situações do dia-a-dia, ele é formado pela união do
conjunto dos números naturais com os seus simétricos em
relação ao zero. Portanto, é formado por números positivos e
negativos:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos números inteiros (Z)
– Operações
Dois números são ditos simétricos quando a soma
dos mesmos for igual a zero. Portanto, dizemos que
os números negativos (-1, -2, -3, ...) são simétricos
dos númerosnaturais, uma vez que:
1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0
Operações com Números Inteiros
As operações que envolvem os números inteiros requerem a utilização de regras matemáticas. Observe:
Adição de números inteiros
É importante perceber que a expressão adição de números inteiros é utilizada quando há a sequenciação
de números positivos e negativos sem que haja as operações de multiplicação e/ou divisão. Para isso é
importante observar se as parcelas à serem operadas possuem sinais iguais ou diferentes. Assim:
• Se as parcelas possuírem sinais iguais o resultado final terá o mesmo sinal das parcelas e será obtido
a partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou negativas. Observe:
a) -20 - 25 =- 45
b) 32 + 17 = + 32 + 17 = + 49 = 49
• Se as parcelas possuírem sinais diferentes o resultado final terá o sinal da parcela que possuir o maior
valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe:
a) -25 + 45 = +(45 - 25) = + 20
b) 38 - 51 = - (51 - 38) = - 13
Expectativas de Aprendizagem
u Reconhecer a importância das operações que
envolvem números reais, inclusive potenciação e
radiciação, para a resolução de problemas dos
mais variados contextos sociais e culturais.
u Utilizar as propriedades das operações com
números reais como facilitadoras da resolução de
situações problema.
u Criar e resolver situações problema que
envolvem números reais ampliando e
consolidando os significados das operações
adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.

MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
Atenção: Os números positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuízo da empresa.
Analisando os dados do gráfico responda:
a) Em quais meses a microempresa teve lucro?
b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?
c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?
d) Qual foi o lucro médio nesses semestre?
e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a
empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?
Sugestão de solução:
a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro.
b) Nos meses de julho, setembro e novembro.
c) No mês de novembro.
d) Lucro. 12 milhões.
e) 2 milhões.
Analisando os dados do gráfico responda:
a) Em quais meses a microempresa teve lucro?
b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?
c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?
d) Qual foi o lucro médio nesse semestre?
e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a empresa terminou
com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?
Solução:
a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro. b) Nos meses de julho, setembro e novembro.
c) No mês de novembro. d) 2 milhões.
e) 12 milhões
Multiplicação e/ou divisão de números inteiros
Para operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição de números
inteiros inicialmente é necessário percebemos o sinal das parcelas à serem operadas. Assim:
• O produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal é um número positivo.
a) (- 6) · (- 18) = + 108 = 108 b) (5) · (9) = (+ 5) · (+ 9) = +45 = 45
c) (-90) ÷ (- 15) = + 6 = 6 d) (170) ÷ (17) = (+ 170) ÷ (+ 17) = + 10 = 10
• O produto ou quociente de dois números de sinais diferentes é um número negativo.
a) (- 8) · (+ 9) = - 72 b) (+ 7) · (- 13) = - 91
c) (- 45) ÷ (+ 5) = - 9 d) (+ 100) ÷ (- 10) = - 10
11
positivo.
a) ( 6) ( 18) 108 108- - =+ =$
b) 5) (9) ( 5) ( 9) 4 5( = + + =+ =$ $
c) ( 90) ( 15)- - =+ ='
d) (170) (17) ( 170) ( 17) 10 10= + + =+ =' '
a) ( 8) ( 9) 72- + =-$
b) ( 7) ( 13 1+ - =-$
c) ( 45) ( 5- + =-'
d) ( 100) ( 10 0+ - =-'
Atividades
01 Uma microempresa representou em um gráfico seus resultados do segundo semestre do ano.

MATEMÁTICA MATEMÁTICA
13
02 Observe o saldo bancário de Gabriel relativo aos meses de março a junho.
Mês Saldo
Março + R$ 800,00
Abril + R$ 250,00
Maio - R$ 150,00
Junho - R$ 950,00
Qual é o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses?
- 50 reais
03 Imagine uma sequência numérica onde o primeiro termo é o número (–8). Então:
a) Determine o segundo termo desta sequência sabendo que ele é o dobro do primeiro mais quatro.
b) Determine o terceiro termo desta sequência sabendo que ele é igual ao triplo do primeiro termo menos dez.
c) Determine o quarto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quádruplo do primeiro menos cinco.
d) Determine o sexto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quíntuplo do primeiro dividido por
menos quatro (-4).
a) -12; b) -34; c) -37; d) 10.
04 Em uma operação onde o resto é 0 e o dividendo é + 72 , o quociente é - 8. Qual é o divisor?
9
DESAFIO
Em um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critério de pontuação:
Vitória + 5 pontos
Empate + 3 pontos
Derrota - 2 pontos
Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitórias, 1
empate e 2 derrotas.
Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu
1 vitória, 2 empates e 3 derrota.
Solução:
Solução:
Solução:
-9

14
Responda:
a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcançaram, respectivamente, ao final da 2ª fase do campeo-
nato?
b) Quem foi o ganhador?
a) Paulo 44 pontos e Marcos 37 pontos.
b)Paulo.
AULA 03
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Frações
Objetivo Geral
Compreender a ideia de fração (parte-todo), razão e
divisão;
Efetuar cálculos e resolver situações problema que
envolvam as operações com números racionais na forma
fracionária.
Conceito básico
Os números racionais são os que podem ser escritos na
forma de fração
b
a , em que a e b são números inteiros e b
! zero.
O conjunto dos números racionais (representado por
Q
e; 0
b
a
a b bQ Z Z !! != $ .
números inteiros a e b, em que b
10
3
1
0 )
O que devo aprender
nesta aula
Compreender as frações
e utilizá-las em situações
diversas.
Formular e resolver situações
problema que envolva a
ideia de fração (parte-todo) e
também de razão e divisão.
u Compreender as frações e utilizá-las
em situações diversas.
u Formular e resolver situações
problema que envolva a ideia de fração
(parte-todo) e também de razão e
divisão.
Solução:

MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
15
5
4
1
3-
)
20
13 (lê-se: treze vinte avos)
5
8-
5
8-
)
Fração
Signiﬁcado
Numerador
Número colocado acima do traço que indica quantas partes da
unidade foram tomadas.
Denominador
Número colocado abaixo do traço que indica em quantas partes
iguais a unidade foi dividida.
Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaços iguais.
por
8
1 .
Como foram colocados em destaque dois pedaços, podemos
representá-los pela fração
8
2 .
Exemplo 2:
22 paginas.
Qual a fração que representa o número de páginas que João leu?
total de páginas do livro, ou seja, 34.
34
22 .
(lê-se: menos oito quintos)

MATEMÁTICA
Operações com frações
Adição e subtração
Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa, outras 3
partes, conforme figura abaixo.
MATEMÁTICA
16
Operações com frações
Adiçao e subtração
Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa,
Nesta condição podemos dizer que
6
2 do hexágono está pintado de vermelho e
6
3 está pintado
de rosa.
Logo podemos dizer que no total,
6
5 do hexágono está pintado.
Concluímos que:
6
2
6
3
6
5+ =
Na soma ou subtração de frações com denominadores iguais, basta conservar o denominador
e operar os numeradores (somar ou subtrair).
Exemplos:
a)
11
3
11
8
11
11
(ou seja, 1 inteiro)+ = b)
17
2
17
7
17
9+ =
c)
6
2
6
3
6
1- + = d)
9
5
9
3
9
2- =
e)
5
3
5
4
5
1- =-
Multiplicação e divisão

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
17
Assim, a parte pintada corresponde a
8
6 do retângulo. Logo, 3
8
2
8
6=$ .
Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de fração, assim 3
1
3= .
Logo,
1
3
8
2
8
6=$ , pois,
1 8
3 2
8
6=
$
$ .
Para dividir duas frações, temos que:
da segunda fração.
Exemplos:
2
3
4
5
2
3
5
4
10
12=&' '
5
2
3
1
5
2
1
3
5
6=&' '
Atividades
01 Observe as figuras abaixo
Que fração a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso.
Sugestão de soluçao:
´
── · ── = ── = ──
── · ── = ──
3 4 12 6
2 5 10 5
2 3 6
5 1 5
Solução:

18
02 A mãe de Fabrício fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dúzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Que
fração representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa fração? E o numerador?
Sugestão de solução
12 – 4 = 8
A fração que representa os ovos que sobraram é:
12
8 .
O denominador é 12, e o numerador é 8.
03 Calcule
a)
5
1
4
2
$ = b)
3
2
5
3
$ = c)
2
3
6
5
' =
a)
5
1
4
2
20
2
$ = b)
3
2
5
3
15
6
$ = c)
2
3
5
6
10
18
$ =
04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima é
5
2 de sua idade.
Quantos anos tem a prima de Amanda?
5
2 de 15 = 15 : 5 = 3, 2 partes equivale a 6.
A prima de Amanda tem 6 anos.
05 Maurício leu 15 páginas de uma revista. Desse modo, Maurício leu
5
3 da revista. Quantas páginas tem a revis-
ta de Maurício?
A revista tem 25 páginas.
06 Efetue a seguinte operação:
a)
3
2
2
1
7
6
7
2
7
3
' $ - + =` j8 B$ .
3
2
2
1
7
6
7
5
' $ - =8 B$ .
3
2
2
1
7
1
' $ =$ .
3
2
14
1
3
2
1
14
3
28
' $= =
Solução:
Solução:
Solução:
Solução:
Solução:

MATEMÁTICA
DESAFIO
Marina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou ─ comprando
chocolates. Do que sobrou, ela gastou ─com pirulitos.
Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?
1
2
3
10
2
5
Solução: ─
MATEMÁTICA
19
DESAFIO
Marina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou
5
2 comprando chocola-
tes. Do que sobrou, ela gastou
2
1 com pirulitos.
Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?
10
3
AULA 04
Conjunto dos números racionais (Q)
Números Decimais – Operações
Objetivo Geral
Operar com números decimais e resolver situações
problema do cotidiano envolvendo as operações com
números decimais.
Conceito básico
vírgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 .
Para ler o número escrito na forma decimal
primeiramente faz-se a leitura do número como se
quarenta e dois.
isso basta seguir as seguintes orientações:
Se houver apenas um número após a vírgula será
usada a expressão décimos.
Se houverem dois números após a vírgula será
usada a expressão centésimos.
O que devo aprender
nesta aula
Reconhecer a importância
das operações que envolvem
números reais, inclusive
potenciação e radiciação, para
a resolução de problemas dos
mais variados contextos sociais
e culturais.
Utilizar as propriedades das
operações com números reais
como facilitadoras da resolução
de situações problema.
Criar e resolver situações
problema que envolvem
números reais ampliando e
consolidando os significados
das operações adição,
subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e
radiciação.
u Reconhecer a importância das
operações que envolvem números reais,
inclusive potenciação e radiciação, para a
resolução de problemas dos mais variados
contextos sociais e culturais.
u Utilizar as propriedades das operações
com números reais como facilitadoras da
resolução de situações problema.
consolidando os significados das
operações adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação.
Conjunto dos números racionais (Q)
- Números Decimais: (Operações)

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
20
Se houverem três números após a vírgula será usada a expressão milésimos.
É válido salientar que todo número escrito na forma de fração pode ser escrito como decimal.
Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos:
10
3
0,3=
9
11
1,22222.......- =-
5
4
0,8=
100
71
0,71=
20
13
0,65=
5
8
1,6=
Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escreve-se uma fração cujo
tantos zeros quanto forem as casas decimais do número decimal dado.
Exemplos:
1,22
100
122= 0,013
1000
13= 0,3
10
3=
duas casas dois zeros
Comparando dois números decimais
dos dois, acrescentando zeros á direita do número que possuir menor quantidade de algarismos.
Exemplos:
(igual).
0, 0987 0, 1970
S S
4 casas acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro número
Elimina-se a vírgula dos dois números e os compara:
"
´

21
Operações com números decimais
Adição e subtração
zeros forem precisos para igualar o número de casas decimais de ambos:
2,7 3,0456+
2,7 3,0456 2,7 3,0 2,7 3,0456456 000
3 casas a mais 3 casas completadas com o 0
+ + +" "
S S
Mesma quantidade de casas decimais
2, 7000 3, 0456+
6 7 8444 444? ?
respectivas vírgulas uma embaixo da outra.
Vírgula debaixo
de vírgula
2,7000
3,0456+
.
com sua respectiva vírgula alinhada com as anteriores.
Vírgula debaixo
de vírgula
2,7000
3,0456
5,7456
+
.
Multiplicação
Para multiplicar dois números decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo a
vírgula do processo.
3,21
2,4
1284
642
7704
+
#
No resultado obtido coloca-se a vírgula na casa decimal correspondente ao resultado da soma
das casas decimais das parcelas da multiplicação.

22
3,21
2,4
1284
642
7 704
+
#
3,21
2,4
1284
642
7,704
+
#
Divisão
O procedimento inicial para dividir dois números decimais assemelha-se ao utilizado na adição
Assim, para dividir o número 4,7 pelo número 2,35 será necessário igualar a quantidade de
casas decimais do primeiro número com a quantidade de casas decimais do segundo.
Portanto,
4,7 2,35 4, 7 2, 35 4, 70 2, 35 4,70 2,35"" "
? ? ? ?
A etapa seguinte consiste em eliminar as vírgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) e
desenvolver o algoritmo da divisão.
4,70 2,35 470 235"
Atividades
01 Efetue as operações a seguir:
a) 2,47 + 0,0165 e) 32,51 + 0,4
b) 3 – 1,276 f) 13,31 – 2,3
c) 4 x 2,195 g) 5,2 x 2,3
d) 66 : 2,2 h) 4,50 : 1,5
a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f) 11,01; g) 11,96; h) 3.
Uma casa
decimal
Duas casas
decimais
Mesma quantidade
de casas decimais
"
"
Duas casas após a vírgula
Uma casa após a vírgula
Total de três casas decimais
Solução:
a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f) 11,01; g) 11,96; h) 3.

23
02 Dona Ângela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custam
R$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarrão que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo.
a) Quanto ela gastou no supermercado?
b) Com o total do troco dona Ângela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro
desse tecido?
a) R$ 25,15; b) R$ 7,10.
03 Uma fábrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litros
cada uma. Quantas garrafas serão utilizadas em uma hora?
22 garrafas
DESAFIO
(UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões
de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia
1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8 L.
Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de:
a) 1,28
b) 1,40
c) 1,75
d) 1,90
Letra a
AULA 05
Conjunto dos números racionais (Q):
Equivalência de frações
Objetivo geral
Relembrar o conceito de frações equivalentes.
Solução:
a) R$ 25,15; b) R$ 7,10.
Solução:
22 garrafas
Solução:
Letra A

24
Conceito básico
Pode-se falar que duas ou mais frações são equivalentes
se estas representam a mesma quantidade de uma grandeza.
Daí, conclui-se que as frações
4
2 e
2
1 representam a
mesma quantidade, logo, são frações equivalentes, e podem
ser indicadas como:
4
2
2
1= , ou,
4
2
2
1
+ .
mesma quantidade.
Exemplo:
Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partes
iguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeu
mais pizza?
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
radiciação.
resolução de problemas dos mais
variados contextos sociais e culturais.
u Criar e resolver situações problema
que envolvem números reais ampliando
e consolidando os significados das
radiciação.

25
4
2 e
8
4 representam a mesma quantidade, logo,
as frações são equivalentes. Podemos concluir, então, que ambas comeram a mesma quantidade
de pizza.
multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicar
o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Se os resultados obtidos
forem iguais conclui-se que as frações são equivalentes.
Exemplos:
a)
4
2
e
8
4 .
4
2
8
4
2 8 4 4 16 16= ="$ $
Logo,
4
2
8
4
+ .
b)
12
9
e
8
6 .
12
9
8
6
9 8 6 12 72 72= ="$ $
Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as frações são equivalentes.
Logo,
12
9
8
6
+ .
c)
2
1
e
6
4 .
2
1
6
4
1 6 2 8 6 8= ="$ $
Como os resultados foram diferentes (6 8! ) temos que as frações não são equivalentes.

26
Simpliﬁcação de frações
mesmo número diferente de zero. É importante perceber que haverá situações em que os termos
terão mais de um divisor comum. Por exemplo, a fração
24
18 onde tanto numerador como o
denominador são múltiplos de 2, 3 e 6.
tempo.
Exemplos:
a)
90 2
60 2
45 3
30 3
15 5
10 5
3
2= = =
'
'
'
'
'
'
b)
126 2
84 2
63 3
42 3
21 7
14 7
3
2= = =
'
'
'
'
'
'
Atividades
01 Simplifique cada uma das frações a seguir até torná-las irredutíveis.
a)
81
54 b)
180
150
c)
600
512 d)
175
125
a) a)
3
2
; b)
6
5
; c)
75
64
; d)
7
5
.
02 Verifique quais dos pares de frações são equivalentes:
a)
24
36
e
24
36 b)
60
36
e
70
50
c)
125
100
e
500
400 d)
5
7
e
60
84
a) não; b) não; c) sim; d) sim.
03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa.
a) ( ) A fração
35
30 encontra-se em sua forma irredutível.
Solução:
Solução:
a) sim; b) não; c) sim; d) sim.

MATEMÁTICA
30
MATEMÁTICA
27
b) ( ) As frações
93
86
e
63
56 são equivalentes.
c) ( ) Se simplificar a fração
108
84 por 2 e o resultado obtido por 3, a nova fração será igual a
18
14 .
d) ( ) A forma irredutível da fração
140
136 é igual a
35
34 .
a) F; b) F; c) V; d) V.
DESAFIO
Determine três frações equivalentes à forma irredutível
9
7
.
Sugestão de solução: 18
14
;
27
21
;
45
35
AULA 06
Conjunto dos números racionais (Q) –
Conversão
Objetivo geral
Compreender e transformar fração em números
decimais e vice-versa.
Conceito básico
Em nosso dia a dia nos deparamos com números
escritos na forma de fração e precisamos transformá-los
em números decimais para facilitar a resolução de diversas
dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou?
O que devo aprender
nesta aula
radiciação.
Solução:
a) F; b) F; c) V; d) V.
Solução:
──; ──; ──14 21 35
18 27 45
radiciação.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
28
100 20
100 0,5
0
Exemplo 2:
Efetue a divisão e escreva na forma decimal
a)
10
32
3,2= b)
100
125
1,25=
c)
1000
5
0,005= d)
1000
28
0,028=
e)
1000
5
0,005=
Atividades
01 Represente a fração decimal
100
121 na forma decimal.
1,21
02 Represente cada uma das frações na forma decimal.
a)
10
2 b)
10
35 c)
10
518
d)
10
3 148 e)
100
68 f)
100
448
g)
100
2 634 h)
1000
538 i)
1000
5 114
j)
1000
8 356 l)
10 000
4 761 m)
10 000
15 832
a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.
Solução:
Solução:
1,21
Solução:
a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.
Represente a fração ── na forma decimal.
121
100

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
29
03 Represente os números decimais em frações:
a) 0,3 = b) 5,3 = c) 6,99 =
d) 0,654 = e) 4,336 =
a)
10
3 b)
10
53 c)
100
699
d)
1000
654 e)
1000
4 336
DESAFIO
Observe as frações e suas respectivas representações decimais.
I.
1000
3
0,003=
II.
100
2 367
23,67=
III.
10 000
129
0,0129=
IV. 10
267
2,67=
Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas.
a) I e II
b) I e IV
c) I, II e III
d) I, II, III e IV
Letra c.
Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas.
a) I e IV
b) II e IV
c) I, II e III
d) I, II, III e IV
Solução: Letra c.

MATEMÁTICA
33
AulA 0
Objetivo Geral
Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números irracionais
bem como suas operações.
Conceito Básico
Os números irracionais são os números que não podem ser
representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são números reais,
mas não são racionais. O conjunto dos números irracionais é representado
por alguns autores pelo símbolo I .
Sendo assim, representando a ideia expressa anteriormente em forma
de diagrama temos:
Conjunto dos Números Irracionais
Expectativas de
Aprendizagem
u Reconhecer que a união dos
números racionais e irracionais
constitui o conjunto dos números
reais.
u Reconhecer um número irracional.
que envolve números irracionais.
MATEMÁTICA
30
O que devo aprender
nesta aula
Reconhecer que a união dos
números Racionais e Irracionais
constitui o conjunto dos
números Reais.
Reconhecer um número
irracional.
problema que envolve
números irracionais.
AULA 07
Conjunto dos Números Irracionais
Objetivo Geral
Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números
irracionais bem como suas operações.
Conceito Básico
Os números irracionais são os números que não podem
ser representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são
números reais, mas não são racionais. O conjunto dos
pelo símbolo I.
Sendo assim, representando a ideia expressa anterior-
mente em forma de diagrama temos:
Exemplos de números irracionais.
r, {, p , onde p
Atividades
01 Observe os números escritos no quadro a seguir
II→Conjunto dos números irracionais
IR→ Conjunto dos números reais

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
31
4 3600
3
36 17
Quais desses números são racionais e quais são irracionais?
Racionais: 4 2= ; 36 6= ; 3600 60= ;
Irracionais: 3 ; 17 , pois 3 e 17 são primos.
02 O número irracional r está compreendido entre os números:
a) 0 e 1 b) 1 e 2
c) 2 e 3 d) 3 e 4
d.
03 Considere a expressão: 3 2 4 2 2 3 3- + -
Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expressão?
a) 0
b) 4 4 4 2 3 3- -
c) 3 3-
d) não tem como simplificar esta expressão
Letra c.
DESAFIO
Escreva quatro números irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10
Existem infinitos números irracionais entre 1 e 10, como exemplo, podemos citar um número bem famoso:
3,14 ; 3 ; 5 ; 7 ; e 8 .,r
Solução:
Solução:
Solução
Solução:
:

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
32
O que devo aprender
nesta aula
constitui o conjunto dos números
Reais.
Identificar cada número real
com um ponto da reta e vice-
versa.
problema que envolvem números
reais ampliando e consolidando
os significados das operações
adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e radiciação.
AULA 08
Conjunto dos Números Reais (R)
Objetivo Geral
Conceito Básico
O conjunto dos números reais R
pela união do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais.
Como já estudamos nas aulas anteriores:
N " simboliza o conjunto dos Números Naturais
, , , , , ...0 1 2 3 4 5N = " ,
Z " simboliza o conjunto dos Números Inteiros
... , 3, 2, 1, 0,1, 2,3...Z = - - -" ,
Q " simboliza o conjunto dos Números Racionais
... , 3,
2
5
, 2, 1,0,
5
3
,1, 2,3...Q = - - - -' 1
Observação: usaremos o símbolo I para representar o
conjunto dos Números Irracionais
Assim, I
não podem ser representados na forma de uma fração, ou seja, não podem ser obtidos pela divisão
e não periódicos.
Exemplos:
2, 3, e .r
R " simboliza o conjunto dos Números Reais
R Q I,=
Representando os conjuntos na forma
de diagrama temos:
AulA 0
Conjunto dos números reais (IR)
simboliza o conjunto dos números naturais
simboliza o conjunto dos números inteiros
simboliza o conjunto dos números racionais
conjunto dos números irracionais
Expectativas de
Aprendizagem
u Reconhecer que a união dos números
Racionais e Irracionais constitui o conjunto
dos números Reais.
u Identificar cada número real com um
ponto da reta e viceversa.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
33
Quando trabalhamos com operações no campo dos números reais nos retratamos das operações
revisadas anteriormente no conjunto e, , ,N Z I Q R.
Veja o seguinte exemplo que retrata operações no campo dos números reais:
Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operações:
a) 3 3 2 3+ = b) 0 1+ =
c) 3 3 =$ d)
2
18 =
a) 5 3 9 3= d) 2
18
9 3= =
Atividades
01 Seja o conjunto B 3, 13, 16, 25, 30, 64 .= " ,
a) Quais desses números são naturais?
b) Quais desses números são racionais?
c) Quais desses números são irracionais?
d) Quais desses números são reais?
a) 16, 25, 64, pois são raízes quadradas exatas.
b) 16, 25, 64, pois todo número natural também é um número racional.
c) 3, 13, 30, são irracionais, pois se trata de raiz quadrada não exata.
d) 3, 13, 16, 25, 30, 64, todo número racional ou irracional faz parte do conjunto dos números
reais.
02 O valor numérico da expressão x2
– 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita.
Faça os cálculos e descubra quantos anos a professora Rita tem.
Substituindo os valores de x e y na expressão temos:
Solução:
Solução:
Solução:
Substituindo os valores de x e y na expressão temos:
x² – 3x + y + 9 = 62 – 3 · 6 + 5 + 9 = 36 – 18 + 5 + 9 = 32.
Portanto, a professora Rita tem 32 anos.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
34
x2
– 3x + y + 9 = 62
– 3.6 + 5 + 9 = 36 – 18 + 5 + 9 = 32.
Portanto, a professora Rita tem 32 anos.
03 Indique corretamente a localização dos números reais a seguir na reta númérica:
3 r -3,4
5
1-
2
3-
Distribuindo esses números na reta numérica temos:
04 O número 51 é um número pertencente ao conjunto dos números
a) naturais
b) inteiros
c) racionais
d) reais
Como já sabemos o número 51 não possui raiz quadrada exata, logo é um número irracional e todo número
irracional pertence ao conjunto dos números reais. Alternativa d.
DESAFIO
Determine o que se pede na tabela a seguir:
01 Escreva cinco números naturais (N)
02 Escreva cinco números inteiros positivos (Z+
)
03 Escreva cinco números inteiros negativos (Z-
)
04 Escreva cinco números Racionais (Q)
05 Escreva cinco números irracionais (I)
06 Escreva cinco números Reais (R)
Solução: professor, existem infinitos exemplos para esse desafio. Fique atento à resposta dos estudantes.
Solução:
Solução:

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
35
AULA 09
Os números racionais na reta numérica
Objetivo geral
Possibilitar ao estudante a ampliação sobre o conjunto dos números racionais, relacionando-
Conceito básico
forma fracionária
b
a , sendo a (numerador) e b (denominador)
números inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de
denominado número racional.
Portanto,
Todo número natural (N n
na forma
1
n .
Ex: 3
1
3
e 15
1
15
.= =
Todo número inteiro (Z n
na forma
1
n .
Ex: 7
1
7
1
7
e 26
1
26
1
26- =
-
=- - =
-
=- .
número decimal pode ser escrito na forma , com e , com .
b
a
a b b 0Z !!` j
Ex: 1,8
10
18
e 0, 6
3
2= = .
Q), por ser a letra inicial da
palavra quociente.
O que devo aprender
nesta aula
Identificar cada número real
com um ponto da reta e vice-
versa.
Expectativas de
Aprendizagem
u Identificar cada número real com um
ponto da reta e vice-versa.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
36
Atividades
01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns números no quadro, conforme mostra a figura a seguir.
Quais dos números escritos pela professora Raquel são racionais:
a) inteiros?
b) escritos na forma decimal?
c) escritos na forma fracionária?
a) 1, +4, +6 e 12 b) -2,1; 0,11 e +3,5 c) 5
1
e
5
3- +
02 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os números:
a)– 6 b) + 8 c)
5
3+ d) – 5,9 e) 32
a) Z e Q b) IN, Z e Q c) Q d) Q e) IN, Z e Q
03 Observe a reta numérica a seguir e indique:
a) O ponto que corresponde ao número
4
3+ .
b) O número racional que corresponde ao ponto N.
c) O número racional que corresponde ao ponto X.
d) O ponto que corresponde ao número 1
4
2- .
e) O ponto que corresponde ao número – 3.
a) Z b)
4
7
ou 1
4
3 c)
4
11
ou 2
4
3- - d) T e) X
Solução:
Solução:
Solução:
X
A professora Raquel escreveu os seguintes números no quadro, conforme mostra a figura a seguir.

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
37
DESAFIO
Se necessário, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com números racionais, substituindo o
símbolo por números que tornam as igualdades verdadeiras.
AULA 10
Potenciação: Definição
Objetivo geral
Recordar os conceitos de potenciação com expoente
inteiro não negativo e base real diferente de zero.
Conceito básico
e... ,a a a a a a n
n vezes
R Zn
-
$ $ $ $ ! !=
1 2 3444 444
produto de fatores iguais. Denominaremos por
an
) potência a ) base n )
expoente.
Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a
base será multiplicada.
O que devo aprender
nesta aula
Reconhecer a importância das
operações que envolvem números
reais, inclusive potenciação e
radiciação, para a resolução de
problemas dos mais variados
como facilitadoras da resolução de
reais ampliando e consolidando os
significados das operações adição,
subtração, multiplicação, divisão,
AulA 0
Objetivo geral
Recordar os conceitos de potenciação com expoente inteiro
não negativo e base real diferente de zero.
Potenciação: Definição
A potenciação é a operação matemática que envolve o
produto de fatores iguais. Denominaremos por
an
↔ potência a ↔ base n ↔ expoente.
Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a base
será multiplicada.
Solução:

38
Note que o expoente n
positivos para n.
Exemplo:
Calcular o valor de 54
.
5 5 5 5 5 6254
= =$ $ $
Expoente maior que 1.
Vejamos o exemplo:
a) Calcular 25
.
2 ) base 5 ) expoente 25
) potência 2 2 2 2 2 )$ $ $ $ fatores
2 2 2 2 2 2 325
= =$ $ $ $
Perceba que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada.
b) Calcular 5 3
-^ h
5- )^ h base 3 ) expoente 5 3
- )^ h potência 5 5 5- - - )$ $^ ^ ^h h h fatores
5 5 5 125$ $- - - =-^ ^ ^h h h
Observação: Professor, lembre-se nesse momento da importância de relembrar as
operações com sinais.
Expoente igual a 1.
Vejamos os exemplos:
7 71
=
7 ) base 1 ) expoente 71
) potência
12 121
- =-^ h
12- )^ h base 1 ) expoente 12 1
- )^ h potência
Expoente igual a 0
Deste modo, podemos afirmar que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número.
Expoente igual a 0
Todo número não nulo elevado a zero é igual a 1.

39
Exemplo: 2
Vejamos como isso acontece:
26
= 64 36
= 729 56
25
= 32 35
= 243 55
24
34
54
= 625
23
= 8 33
= 27 53
22
= 4 32
= 9 52
= 25
2 = 2 3 = 3 5 = 5
gera uma
indeterminação.
2 3 5
Atividades
01 Calcule as seguintes potências:
a) 24
b) (-3)2
c) (-5)1
d) 70
e) (-12)3
f)
4
3 2
` j
g)
5
2 4
-` j h)
10
3 5
-` j i) 1,24
j) -(-0,2)2
a) 16; b) 9; c) -5; d) 1; e) -1 728; f)
16
9 ; g)
625
16 ; h)
100 000
243- ; i) 1,44 j) -0,04
02 Uma das maneiras de obter a medida da área do quadrado é através da fórmula l2
, onde l indica a medida do
seu lado. Nessas condições, qual é a medida da área do quadrado, quando o lado mede
a) 3 cm. b) 2,5 m.
c) 3 km. d) 7 m.
e) 9,3 m.
2'
2'
2'
2'
i) 1,2²
Solução:

MATEMÁTICA
3
Solução:
a) A = 9 cm². b) A = 6,25 m². c) A = 9 km².
d) A = 49 m². e) A = 86,49 m².
MATEMÁTICA
40
a) A = 9 cm2
. b) A = 6,25 m2
. c) A = 9 km2
.
d) A = 49 m2
. e) A = 86,49 m2
.
03 Responda:
a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual será o sinal da potência?
b) Se a base tem sinal positivo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?
c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual será o sinal da potência?
d) Se a base tem sinal negativo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?
Base Expoente Potência
+ Par +
+ Ímpar +
– Par +
– Ímpar –
DESAFIO
Márcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro mês e iria dobrando esse
valor a cada mês, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por mês. Ao final de 9 meses, quem terá
recebido mais dinheiro? Quanto?
Pagamentos feitos a Gustavo por Márcio
1o
mês 2o
mês 3o
mês 4o
mês 5o
mês 6o
mês 7o
mês 8o
mês 9o
mês
R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 4,00 R$ 8,00 R$ 16,00 R$ 32,00 R$ 64,00 R$ 128,00 R$ 256,00
Portanto, Márcio pagou R$ 511,00 para Gustavo.
Pagamentos feitos a Márcio por Gustavo
1o
mês 2o
mês 3o
mês 4o
mês 5o
mês 6o
mês 7o
mês 8o
mês 9o
mês
R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00
Portanto, Gustavo pagou R$ 450,00 para Márcio.
Logo, Gustavo recebeu mais que Márcio R$ 61,00.
Solução:
Solução: a) -100 b) -150
Determine o valor de E, sabendo que:
a) E = (-5)² + (-5)³ b) E = -5² + -5³
AulA
Objetivo geral
Recordar as propriedades de potenciação com
expoente inteiro não negativo e base real
diferente de zero.
Conceito básico
Como podemos resolver 53
52
54
e apresentar o
resultado em forma de potência?
Potenciação: Propriedades
u Reconhecer a importância das operações que envolvem
números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução
de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais.
u Utilizar as propriedades das operações com números reais como
facilitadoras da resolução de situações problema.
u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais
ampliando e consolidando os significados das operações adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

MATEMÁTICA
Vamos lá.
5³ = 5 · 5 · 5
5² = 5 · 5
54
= 5 · 5 · 5 · 5
Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então
5³ · 5² · 54
= 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5
Portanto teremos o valor 5 se repetindo 9 vezes, assim 5³ · 5² · 54
= 59
.
1ª propriedade:
Em um produto de potências de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes.
Observe agora o seguinte quociente: 54
÷ 52
54
÷ 52
= ─────
Simplificando os fatores comuns,
54
÷ 52
= ─────
Assim,
54
÷ 52
= 54-2
= 52
5 · 5 · 5 · 5
5 · 5
5 · 5 · 5 · 5
5 · 5
MATEMÁTICA
2ª propriedade:
Em uma divisão de potência de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes.
Dado a R*
! e ,n m N! , então ou .a a a
a
a
an m n m
m
n
n m
= =' + -
Calcule (23
)4
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 2
= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ h
SSSS
Assim, 2 2 23 4 3 4 12$
^ h
3ª propriedade:
expoentes.
Dado a R*
! e ,n m N! , então n m
= -
^ h .
Exercícios
01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.
a) 35
$ b) 4 4 4$ $- - -^ ^ ^h h h
c) 0,5 0,5 0,5 d)
5
3
5
3
5
3
5
33 2
$ $ $
MATEMÁTICA
2ª propriedade:
Dado a R*
a
a
an m n m
m
n
'
Calcule (23
)4
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 2
= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ h
SSSS
Assim, 2 2 23 4 3 4 12$
^ h
3ª propriedade:
expoentes.
Dado a R*
= -
^ h .
MATEMÁTICA
2ª propriedade:
Dado a R*
a
a
an m n m
m
n
'
Calcule (23
)4
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 2
= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ h
SSSS
Assim, 2 2 23 4 3 4 12$
^ h
3ª propriedade:
expoentes.
Dado a R*
! e ,n m N! , então a an m n m
= -
^ h .
Exercícios
a) 35
$ b) 4 4 4$ $- - -^ ^ ^h h h
3 2
Desta propriedade decorre que “todo número elevado a zero será sempre igual a 1”. Observe:
16 24
── = 1 → ── = 1 → 24-4
= 1 → 20
= 1
16 24
Daí, concluímos que:
a
─ = 1 → a1
· a-1
→ a1-1
→ a0
= 1
a
(sendo, ZZ +)

MATEMÁTICA
42
Assim, 2 2 23 4 3 4 12$
^ h
3ª propriedade:
expoentes.
Dado a R*
= -
^ h .
Exercícios
a) 9 935
$ b) 4 4 4
2 3
$ $- - -^ ^ ^h h h
c) 0,5 0,5 0,52 3
$ $ d)
5
3
5
3
5
3
5
33 2 5 1
$ $ $- - - -` ` ` `j j j j
a) 98
b) 4
6
-^ h
c) 0,56
d)
5
3 11
-` j
a)
9
9
2
5
b)
3
3
2
3
-
-
^
^
h
h
c)
5
2
5
2
4
7
-
-
`
`
j
j
d)
10
10
5
6
a) 93
b) -3 c)
5
2 3
-` j d) 10
Atividades
Solução:
Solução:
MATEMÁTICA
03 Resolva as seguintes expressões:
a) 35 2
^ h b) 42 6
^ h c) 53 3
^ h d) 3
2 6 3
`` j j
a) 310
b) 412
c) 59
d) 3
2 18
` j
DESAFIO
Simplificando a expressão
100 0,1
0,0001 10 0,012
3 6
4 57
$
$ $
^
^ ^
h
h h
; E
Obtemos como resultado:
a) 10-6
b) 10-3
c) 10-2
d) 10 e) 103
Alternativa d.
AULA 12
Potência com expoente negativo
Solução:
obtemos como resultado:
Solução:

MATEMÁTICA
AulA
Objetivo geral
Recordar os conceitos de potenciação com
expoente inteiro e base real diferente de zero.
Conceito básico
A professora Marina pediu a seus alunos que
resolvessem o seguinte quociente: 53
÷ 54
.
Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou
a professora qual era a maneira correta.
Vejamos suas respostas.
1º maneira: 2ª maneira
53
÷ 54
= ─ = ───── = ─ 53
÷ 54
= ─ = 5-1
A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.
No estudo de potências, nos deparamos com situações que envolvem expoentes negativos. Vejamos
como proceder nesse caso:
Potência com expoente negativo
u Reconhecer a importância das operações que envolvem
números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução
de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais.
u Utilizar as propriedades das operações com números reais como
facilitadoras da resolução de situações problema.
u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais
ampliando e consolidando os significados das operações adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
53
54
53
54
1
5
5 · 5 · 5
5 · 5 · 5 · 5
MATEMÁTICA
A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.
No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder
nesse caso:
23
= 8 33
= 27 53
22
= 4 32
= 9 52
= 25
2 = 2 3 = 3 5 = 5
2 3 5
2
2
1
21 1
= =- -
3
3
11
= 5
5
11
=-
2
2
1
22
2
2
= =-
-
-
3
3
12
2=-
5
5
12
2
=-
2
2
1
23
3
3
= =-
-
-
3
3
13
3
=-
5
5
13
3
=-
1 1
a
a a
n
n
n
= =-
` j
Exemplo:
a) 3 3-
b) 3
2 4-
c) 4 2
- - -
d) 12
10 2
-
-
2'
2'
2'
2'
2'
2'

MATEMÁTICA
44
2
2
1
22
2
2-
-
-
3
3
12
2=-
5
5
12
2
=-
2
2
1
23
3
3-
-
-
3
3
13
3
=-
5
5
13
3
=-
a
a a
n
n
n
= =-
Exemplo:
a) 3 3-
b) 3
2 4-
c m
c) 4 2
- - -
^ h d) 12
10 2
-
-
` j
a) 3
3
1
27
13
3
= =-
; b) 3
2
2
3
16
814 4
= =
-
c `m j ; c) 4
4
1
16
12
2
- - = - =--
^ ch m ; d) 12
10
10
12
100
1442 2
- = - =
-
` `j j
Atividades
01 Calcule as potências a seguir:
a) 4 2
- -
b) 2
5 2
-
-
` j c) 7 3-
d) 10
1 5-
` j e) 0,3
5
- -
^ h
a)
16
1- b)
25
4 c)
343
1
2'
2'
MATEMÁTICA
d) 1000 000 e)
10
3
3
10
243
100 0005 5
- =- =-
-
` `j j
02 Determine o valor da expressão:
2
5
23 3
- - -- -
^ `h j
8
124
03 Calcule o valor de 5 31 2 2
+- - -
^ h
196
2 025
DESAFIO
Os círculos a seguir estão empilhados formando um triângulo. Utilizando as propriedades da potenciação,
calcule os valores de x, y e z, sabendo que o produto de cada lado é igual .
d) 100 000
= -
DESAFIO
Determine a solução da expressão a seguir
1600
-
149
Solução:

MATEMÁTICA
46
AULA 13
Potenciação: expressões numéricas
Objetivo geral
Trabalhar as propriedades da potenciação com expoente
Conceito básico
Em muitos casos as operações matemáticas se misturam.
Quando nos deparamos com tais situações devemos tomar
cuidado com a ordem de resolução dessas operações. Assim,
primeiramente levamos em conta a ordem de resolução de
parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo,
devemos respeitar a seguinte ordem:
o
resolvemos as potenciações e/ou radiciações;
2o
resolvemos as multiplicações e/ou divisões;
3o
resolvemos as adições e/ou subtrações.
5 3 3 10 42 5 4 3 2 2
+ - - + -'^ ^ ^h h h6 @" ,
25 3 10 165 4 3 2
+ - + --
^ ^h h6 @" ,
25 3 61 3 2
+ - + -^ ^h h6 @" ,
25 3 363
+ - +^ h" ,
25 27 36- +" ,
2 36- +" ,
34
Atividades
01 Resolva as expressões numéricas a seguir:
a) 3 2 22 5 3
'-
b) 2 2 5 38 3 3 2
$ $-
c) 10 10 53 5 2
'$-
^ h
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
radiciação.
Solução
Expectativas de
Aprendizagem
resolução de problemas dos mais variados
consolidando os significados das
operações adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e radiciação.

47
a) 5
b) 923
c) 4
02 Gustavo resolveu corretamente a expressão a seguir
2 3
5
2
2 1 2
-
- -
c m; E
Qual foi o resultado encontrado por ele?
a) 1
b) 25
c) 625
d)
25
1
e)
625
1
Alternativa C.
03 Simplifique a expressão x x x xa a a a2 3 1 2 5
$ $ $- - + + -
x a3 3-
DESAFIO
Qual é o resultado da expressão 2
3
5 5
E 2
3 4 3
'
=
+-
.
72
41
E = .
Solução:
Solução:
Solução:
Solução:

0
MATEMÁTICA
48
AULA 14
Decomposição
em fatores primos
Objetivo Geral
Relembrar como decompor um número natural em
fatores primos.
Conceito Básico
escrito como o produto 2 x 5 x 5.
Assim, para se determinar os fatores primos de um
seguinte forma:
primo que resulte em uma divisão exata. Escreva o valor
obtido da divisão imediatamente abaixo do número a ser
decomposto.
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
radiciação.
Expectativas de
Aprendizagem
inclusive potenciação e radiciação, para
a resolução de problemas dos mais
u Utilizar as propriedades das
operações com números reais como
facilitadoras da resolução de situações
problema.
radiciação.

49
III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita serão os fatores primos do número
. 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52
Atividades
01 Quais desses números abaixo são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 6?
a) 116 b) 30 c) 111
d) 60 e) 210 f) 405
116 (2 e 4); 30 (2, 3, 5 e 6); 111 (3); 60 (2, 3, 4, 5 e 6); 210 (2, 3, 5 e 6); 405 (3 e 5).
02 Determine os fatores primos dos números naturais a seguir:
a) 150 b) 93
c) 62 d) 768
a) 2 . 3 . 52
; b) 3 . 31; c) 2 . 31; d) 28 . 3
03 Qual é o número cuja fatoração é:
a) 2 . 33 . 5 . 7
b) 11 . 13
c) 23 . 5 . 7 . 31
d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11
a) 1 890; b) 143; c) 8 680; d) 2 310.
Solução:
Solução:
Solução:

50
DESAFIO
No 8º ano da escola BOA NOTA há 35 alunos, e no 9º ano há 42 alunos. Para realizar uma gincana, os es-
tudantes serão organizados em grupos, todos com o mesmo número de alunos e com a condição de que
não se misturem (estudantes de anos diferentes).
A) Qual é o número máximo de alunos que podem haver em cada grupo?
B) Nesse caso, quantos grupos serão formados em cada ano?
A) 7
B) 5 e 6 respectivamente
AULA 15
Radiciação: Definição / Extração de raiz
Objetivo Geral
Extrair a raiz de números reais apresentados na forma
de radical.
Conceito Básico
-
radix ( ).
Ele possui a seguinte estrutura:
É válido ressaltar que o radical que possui índice igual
a 2 omite tal índice de sua simbologia. Veja:
a) " lê-se: raiz quadrada (índice igual a 2);
b) 3
" lê-se: raiz cúbica (índice igual a 3);
c) 4
" lê-se: raiz quarta (índice igual a 4).
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
radiciação.
512 29 =
radical"
512 radicando"
9 " índice
2 raiz"
Solução:
Expectativas de
Aprendizagem
problema.
radiciação.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
51
Extração de raízes por meio da decomposição em fatores primos.
Para extrair uma raiz por meio da decomposição em fatores primos basta seguir os seguintes
passos:
1º passo
2º passo: Faça a decomposição em fatores primos do radicando da raiz solicitada:
3º passo: O índice de cada radical determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Portanto,
Em um radical de índice igual 2 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados
de dois em dois.
Em um radical de índice igual 3 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados
de três em três
E assim sucessivamente.

52
4º passo: Substitua o radicando pelo produto dos fatores agrupados de acordo com o índice do
do resultado obtido será a raiz procurada.
I) 144 2 2 3 2 2 3 2 2 3 122 2 2 2 2 2
= = = =$ $ $ $ $ $
II) 125 5 53 33= =
III) 81 3 34 44= =
IV) 1024 2 2 2 2 2 2 45 5 55 55 55= = = =$ $ $
V) 64 2 26 66= =
Observação: Os exemplos I e IV apresentam em seus desenvolvimentos o produto de
ao produto das raízes.
Veja a seguinte situação:
Adão e Adriana receberam de herança dois terrenos, ambos com a mesma medida de área.
terreno de Adão possuía dimensões iguais de largura e comprimento (terreno no formato de um
quadrado), determine as dimensões do terreno dele.
Inicialmente será necessário determinarmos a medida da área dos terrenos.
x 36 de comprimento) implica em uma
área de medida igual a 576 m2
.
Como o terreno de Adão tem o formato de um quadrado e possui 576 m2
, temos que:
576x x m2
=$ , onde x
576 576x x2
= ="
576 2 2 2 3 2 2 2 3 242 2 2 2
= = =$ $ $ $ $ $

53
Atividades
01 Determine a solução de cada uma das raízes a seguir utilizando método de extração de raízes por meio da
decomposição de fatores primos:
a) 723
b) 6254
c) 12587
d) 3433
a) 327 33 33
= =
b) 625 5 54 44= =
c) 128 2 27 77= =
d) 343 7 73 33
= =
02 Encontre o valor de cada uma das expressões numéricas:
a) 169 2163
- =
b) 2 3 10 54 2 2 23
+ - + =
c) 36 729 646 3+ - =
a) 169 216 13 6 73
- = - =
b) 2 3 10 5 16 9 100 25 25 125 5 5 04 2 2 23 3 3+ - + = + - + = - = - =
c) 36 729 64 6 3 4 56 3+ - = + - =
Solução:
Solução:

54
03 Qual o comprimento da aresta de uma caixa que possui todas as suas dimensões iguais e medida de volume
igual a 729 dm3
?
Temos que o volume (V) de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas três dimensões:
V = altura x comprimento x largura
Como o paralelepípedo em questão em um cubo, suas três dimensões serão todas iguais. Portanto,
V a a a a3
$ $= =
O enunciado do problema diz que o volume desta caixa corresponde a 729 dm3
, então,
729V a a a a dm3 3
$ $= = =
729a3
=
729a 3
=
9a dm3
=
DESAFIO
Obtenha os valores de A, B, C, D, E e F nos quadros a seguir percebendo as relações expressas pelas setas
direcionais.
A = 484; B = 31; C = 8; D = 4; E = 10; F = 4 096.
Solução:
Solução:

55
AULA 16
Radiciação (propriedades)
Objetivo geral
Compreender e aplicar as propriedades da radiciação.
Conceito básico
Nesta aula estudaremos as propriedades da radiciação
que são muito importantes não só para o estudo dos
Lembrando,
utilização de algumas propriedades. Vejamos algumas delas:
1ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r n
radicando.
r rnn = , onde r R! +
, n N! e 1n 2
Exemplo:
32 2 25 55= =
2ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente m pode ser escrita como
r
expoente inicial m e o denominador será o índice n do radical.
r rmn n
m
= , onde r R! + , ,n m N! e 1n 2
Exemplo:
2 2 2 16205 5
20
4
= = =
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
Expectativas de
Aprendizagem
problemas dos mais variados contextos
sociais e culturais.
problema.
Radiciação: (propriedades)

56
3ª propriedade: O radical de outro radical pode ser escrito como um radical único onde o índice
r r.mn n m= , onde r R! + , ,n m N! e 1 e 1n m2 2
Exemplo:
5 5 53 2.3 6= =
4ª propriedade: O radical de um produto de radicandos pode ser escrito como o produto dos
radicais de cada radicando.
r s r sn n n=$ $ , onde ,r s R! + , e 1n nN 2!
Exemplo:
4 25 4 25 2 5 10= = =$ $ $
5ª propriedade: O radical de um quociente de radicandos pode ser escrito como o quociente
dos radicais de cada radicando.
s
r
s
rn
n
n
= , onde e 1, ,r s n nR R N*
2! ! !+ +
Exemplo:
9
25
9
25
3
5= =
Importante:
0 0n =
1 1n =
r rn =
Atividades
01 Aplicando as propriedades de radiciação, determine o valor de cada radical:
a) 164
b) 83
c) 31255
d) 49

57
a) 16 2, sendo que 2 164 4
= =
b) 8 2, sendo que 823 3
= =
c) 3125 5, sendo que 312555 5
= =
d) 49 7=
02 Encontre o valor de cada uma das expressões:
a) 100 64 163 4+ -
b) 5 256 3 243 6258 5+ -
c) 4 125 8 64 4003
- +
a) 12; b) -6; c) -24
03 Aplique a propriedade adequada para cada questão a seguir:
a) 2 7$
b) a b5
$
c) 16
36
d) 4 y4
$
e) 378
a) 2 7 2 7$ $=
b) a b a b5 5 5
$ $=
c) 16
36
16
36
4
6= =
d) 4 4y y4 8
$ =
e) 38
7
DESAFIO
Os números a e b são números reais positivos. Nessas condições simplifique os radicais a36
e b612
,
calculando em seguida a expressão que representa o produto dos radicais obtidos.
ab
Solução:
Solução:
Solução:
Solução:

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
58
AULA 17
Radiciação inexata
Objetivo geral
Compreender e extrair a raiz de números reais.
Conceito básico
determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Quando
não for possível agrupar todos os termos iguais obtidos na
decomposição de acordo com o índice indicado no radical,
temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a 18 .
agrupamento, resultando em 3 2
1353
Sugestão de solução: 135 3 5 3 53 33 3= =$
2. Qual o resultado da expressão 48 27+ ?
Sugestão de solução: 48 27 2 3 3 3 4 3 3 3 12 34 2
+ = + = + =$ $
Atividades
01 Calcule o valor das raízes inexatas, usando a decomposição em fatores.
a) 12
b) 20
c) 45
d) 543
e) 288
O que devo aprender
nesta aula
radiciação.
Como já estudamos na aula 15, o índice de cada radical
determinará o agrupamento dos fatores obtidos na
decomposição do radicando para a extração da raiz. Quando
temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a
MATEMÁTICA
58
AULA 17
Radiciação inexata
Objetivo geral
Compreender e extrair a raiz de números reais.
Conceito básico
determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Quando
temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a 18 .
agrupamento, resultando em
1353
Sugestão de solução: 135 3 5 3 53 3
$
2. Qual o resultado da expressão 48 27+ ?
Sugestão de solução: 48 27 2 3 3 3 4 3 3 3 12 34 2
+ = + = + =$ $
Atividades
01 Calcule o valor das raízes inexatas, usando a decomposição em fatores.
a) 12
b) 20
c) 45
d) 543
e) 288
O que devo aprender
nesta aula
radiciação.
Perceba que na fatoração acima obtivemos o produto 2 · 3² ; assim, o numero 2 ficou fora do
agrupamento, resultando em . Portanto, o número 18 possui raiz inexata. Sendo assim, é
um número radical irracional já que a raiz quadrada de todo número primo é irracional.
Solução:
Solução:
Expectativas de
Aprendizagem
que envolvem números reais
ampliando e consolidando os
um radical irracional já que a raiz quadrada de todo número primo é irracional.

59
a) 12 2 2 3 2 3 2 32
$ $ $= = =
b) 20 2 5 2 52
$= =
c) 45 3 5 3 52
$= =
d) 54 2 3 3 23 33 3
$ ==
e) 288 2 2 3 2 4 3 2 12 22 2 2
$ $ $= = =
02 Determine o resultado das expressões numéricas a seguir.
a) 24 813 3+
b) 80 20+
a) 24 81 2 3 3 3 2 3 3 3 5 33 3 33 33 3 3 3
$ $+ = + = + =
b) 80 20 2 2 5 2 5 4 5 2 5 6 52 2 2
$$ $+ = + = =+
03 Identifique como racional ou irracional cada um dos números a seguir.
a) 30
b) 36
c) 273
a) 30 irracional
b) 36 racional
c) 273
racional
DESAFIO
Determine a solução da expressão
128
54 250
3
3 3+ .
4 2
3 2 5 2
4 2
8 2
2
+
= =
Solução:
Solução:
Solução:
Solução:
3 3 3
33

60
AULA 18
Relacionando potências e radicais.
Objetivo geral
inversa, a radiciação.
Conceito básico
são operações inversas. Assim:
Se 9 812
= , então, 81 9= ;
Se 3 273
= , então, 27 33 = .
Analisemos, agora, os casos que se seguem:
3 9 9 3 32 2
= = ="
5 25 25 5 52 2
= = ="
7 49 49 7 72 2
= = ="
10 1000 1000 10 103 3 33= = ="
6 216 216 2 3 2 3 63 3 3 33= = = =" $ $
2 1024 1024 2 210 10 1010= = ="
raiz sem o uso do radical?
Para isso, basta trocarmos o índice do radical e o expoente do radicando por um expoente
fracionário de modo que o expoente do radicando se transforme em numerador e o índice do
radical em denominador.
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
radiciação.
Expectativas de
Aprendizagem
problema.
radiciação.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
61
É importante ressaltar que no conjunto dos números reais não existem soluções para os radicais
4- não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-2) quanto o (+2) ao quadrado não
chegaremos ao valor do radicando (-4).
814
-
Exemplo:
Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes: 5, 3 , 2 e 73 34 53
a) 5 5 52
1
= .
b) 33
3 33
2
3
=
c) 234
2 234 4
3
=
d) 753
7 753 3
5
=
Atividades
01 Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes a seguir:
a) 335
b) 547
c) x710
a) 35
3
b) 57
4
c) x10
7
02 Escreva na forma de raiz as seguintes potências com expoente fracionário:
a) 27
1
b) 39
2
c) 54
7
a) 27
b) 329
c) 574
03 O valor da expressão 225
125 93
2
2
3
$
é
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Alternativa C
75
Solução:
Solução:
Solução:

62
DESAFIO
Determine o valor da expressão
9
4 8
729
27
2
5
6
3
3
2
2
3
12
4
$ '
432
AULA 19
Resolução de
situações problema
envolvendo
números R
Objetivo geral
Resolver situações problema diversas envolven-
do números reais, particularmente a potenciação e
a radiciação.
dos líderes. A proliferação de uma notícia nesse site
se alastra facilmente. Imagine que Mateus tenha
Atividades
01 Em uma brincadeira de amigo secreto, Marina resolveu surpreender seu amigo. Comprou 5 caixas e, dentro
de cada caixa colocou 5 pacotes. Em cada pacote colocou 5 cartões. Quantos cartões Marina precisou comprar para
surpreender seu amigo secreto?
53
= 125
O que devo aprender nesta aula
constitui o conjunto dos números Reais.
Reconhecer a importância das
problemas dos mais variados contextos
sociais e culturais.
problema.
reais ampliando e consolidando os
Solução:
216
u Reconhecer que a união dos números
Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos
números Reais.
Resolver situações problema diversas envolvendo
números reais, particularmente a potenciação e a
radiciação.
A maioria da população tem acesso à internet e
dentre os muitos sites visitados o facebook é um dos
líderes. A proliferação de uma notícia nesse site se
alastra facilmente. Imagine que Mateus tenha 100
amigos em sua lista. Agora se cada amigo tiver outros
100 amigos, uma notícia publicada por Mateus
poderá ser vista por 10 000 pessoas facilmente.
Solução:

63
02 Observe as figuras a seguir
Com base nessas figuras, podemos realizar a operação matemática (potenciação) para determinar a quantida-
de de triângulos em casa estágio, veja o quadro.
ESTÁGIO QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS
1 40
= 1
2 41
= 4
3 42
= 16
Continuando com esse processo, quantos triângulos teremos no estágio 5?
a) 32 b) 64 c) 128
d) 256 e) 512
Alternativa d.
03 Márcio comprou uma caixa em formato de cubo, conforme a ilustração a seguir
A medida do volume dessa caixa é igual 216 cm3
. Determine a medida da sua lado, sabendo que a fórmula da
área do cubo é A = a3
, onde a corresponde a medida da aresta do cubo.
a = 6 cm
Solução:
Solução:
Com base nessas figuras, podemos realizar a operação matemática (potenciação) para determinar a quantidade
de triângulos em cada estágio, veja o quadro.
A medida do volume dessa caixa é igual 216 cm3. Determine a medida de seu lado, sabendo que a fórmula do
volume do cubo é V = a3
, onde a corresponde a medida da aresta do cubo.

64
DESAFIO
O colégio MJ passará por reformas. Dentre elas, a quadra de esporte será modificada em 10 ambientes
em forma de quadrado de mesma medida de área.
Sabendo que A1
= 36 m2
, determine as dimensões da quadra.
AULA 20
Exercícios – números Reais
Objetivo geral
Atividades
01 Identifique a alternativa que corresponde à sequencia crescente dos números 2,83; 2,8; 2,75 e 2,6458.
a) 2,6458; 2,8; 2,75; 2,83. b) 2,8; 2,75; 2,83; 2,6458.
c) 2,6458; 2,83; 2,75; 2,6458. d) 2,6458; 2,75; 2,8; 2,83.
Sugestão de solução: Letra d.
02 Identifique na reta numérica, a seguir, os números: 10
3
; 32; 2,5;
2
3
; 3; 256 .5 4
Solução:
35─10
Exercícios - números reais

65
03 A solução da expressão
72
50 32 18+ -
é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Sugestão de solução: Letra a.
04 O número decimal correspondente a fração 5
7
é o:
a) 7,5 b) 1,4 c) 5,7 d) 0,75
Sugestão de solução: Letra b.
05 Carlos comprou os produtos relacionados na tabela a seguir:
Produto Valor
Arroz (5kg) R$ 8,90
Feijão (1kg) R$ 3,35
1 lata de óleo R$ 2,00
O valor total que Carlos pagou foi de:
a) 14,25 b) 14,35 c) 14,45 d) 14,55
Sugestão de solução: Letra a.
06 Identifique entre os números abaixo o único que não é irracional.
a) 8 b) 90
c) 121 d) 200
Sugestão de solução: Letra c.
07 O resultado correto da expressão
3
5
3
2
3+
é:
a) 9
55
b) 1
c) 11
5
d) 5
11
Solução:
Solução: Letra a
Solução: Letra b
Solução: Letra a
O valor total que Carlos pagou foi, em reais, de
Solução: Letra c
Solução: Letra d

66
AULA 21
Rotação de polígonos – Propriedades
Objetivo Geral
Reconhecer a simetria de rotação de um
polígono e perceber quais medidas e propriedades
são preservadas.
Conceito Básico
objeto ao redor de um ponto chamado centro de
ângulo de
rotação.
Exemplos:
Identificar as simetrias de rotação,
de reflexão e de translação e perceber
que em cada uma delas se preservam
medidas e propriedades.
u Identificar as simetrias de rotação, de reflexão
e de translação e perceber que em cada uma delas
se preservam medidas e propriedades.
Posição inicial Posição final
a

67
Atividades
01 A figura a seguir mostra duas semicircunferências.
a)Emtornodequepontodeve-se fazerarotaçãodeumadassemicircunferênciaparaobterumacircunferência?
b) A rotação deve ser no sentido horário ou anti-horário?
c) De quantos graus deve ser esta rotação?
a) B.
b) Em qualquer sentido.
c) 180º
02 Observe a figura a seguir e responda os itens
a) Em qual dos quadrados deve-se fazer uma rotação para se obter um triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades?
b) Em qual dos pontos deve-se fazer a rotação para obter o triângulo do item a?
c) Em qual sentido deve-se fazer a rotação (no sentido horário ou anti-horário)?
Solução:
a) B.
b) Em qualquer sentido
c) 180º
a) Em torno de que ponto deve-se fazer a rotação de uma das semicircunferência para obtermos uma circunferência?

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
68
a) No quadrado de lado 5.
b) No ponto C.
c) Anti-horário.
03 Observe a figura a seguir:
Qual dos itens abaixo se refere a rotação de 90º em torno do ponto E no sentido horário da figura?
Letra b.
Solução:
a) No quadrado de lado 5.
b) No ponto C.
c) Anti-horário.
Solução:
Letra b.

MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
69
DESAFIO
Deseja-se encaixar a peça vermelha na peça branca conforme a figura a seguir
Para que isto aconteça deve-se realizar uma única rotação na peça vermelha em que ponto? É
possível determinar o ângulo de rotação? Qual?
Deve-se realizar uma rotação no ponto A no sentido anti-horário. Quanto ao ângulo observe o
desenho a seguir
Este ângulo mede 45o
, pois se trata da diagonal de um quadrado.
Observe o quadrado:
DESAFIO
Solução:

70
AULA 22
Reflexão de polígonos – Propriedades
Objetivo Geral
quais medidas e propriedades são preservadas.
Conceito Básico
Como exemplo pode-se citar que qualquer
Exemplos:

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
71
Atividades
01 Assinale o item a seguir que representa uma reflexão:Assinale o item que representa uma reflexão:

72
Letra C
02 Quais das alternativas a seguir não representam uma reflexão? Por quê?
Solução:
Letra C

73
As alternativas que não representam uma reflexão são:
Letra b) Pois, não satisfaz as seguintes propriedades: A figura original e a sua reflexão são geometricamente
iguais; Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a partir de uma reta que os
une perpendicularmente ao eixo de reflexão.
Letra d) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: A figura original e a sua reflexão são geometricamente
iguais.
Letra e) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo
de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.
03 Observe as figuras a seguir na malha quadriculada:
Represente por meio de desenhos todas as reflexões dessas figuras segundo o eixo especificado.
Solução:
As alternativas que não representam uma reflexão são:
Letra b) Pois, não satisfaz as seguintes propriedades: A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais; Um ponto
e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo
de reflexão.
Letra d) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais.
Letra e) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a
partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.
Solução:

74
DESAFIO
Represente por meio de desenhos duas reflexões seguidas, sendo uma no sentido do eixo y e
outra, a partir da primeira solução, na direção do eixo x respectivamente.
Sugestão de solução:Solução:

75
AULA 23
Translação de polígonos –
Propriedades
Objetivo Geral
quais medidas e propriedades são preservadas.
Conceito Básico
a direção (que pode ser medida em graus) e o
deslocamento (que pode ser medida em alguma
unidade de comprimento: cm, m, km, ...).
Exemplos:
o
2o

76
3o
Atividades
01 Observe a figura a seguir.
Em quantos centímetros, na vertical, deve-se transladar o retângulo ABCD para que ele fique centralizado no
retângulo EFHG?
Deve-se transladar o retângulo ABCD em 7cm na vertical.
Solução:
Deve-se transladar o retângulo ABCD em 7cm na vertical.

77
02 Observe as translações 1, 2 e 3.
a) Existe translação na vertical? Qual?
b) Existe translação na horizontal? Qual?
c) Existe translação na diagonal? Qual?
Letra a) Sim, a 3
Letra b) Sim, a 1
Letra c) Sim, a 2
03 A figura a seguir representa um telhado, que na sua construção utilizou a propriedade da translação.
Solução:
Letra a) Sim, a 3
Letra b) Sim, a 1
Letra c) Sim, a 2

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
78
a) Qual é a medida da translação AA”?
b) Qual é a medida da translação CC’?
c) Quantas translações foram feitas? Quais?
d) As translações ocorreram em quais sentidos? (vertical, horizontal ou diagonal)
Letra a) 4 m + 3 m = 7 m
Letra b) 4 m
Letra c) duas: ABC para A’B’C’ para A”B”C”
Letra d) as duas translações ocorreram no sentido horizontal.
DESAFIO
Observe a figura a seguir
Realize apenas três translações indicando o deslocamento em cm e a direção de cada uma delas
para construir um retângulo. Indique também a largura e o comprimento do retângulo.
Solução:
Letra a) 4 m + 3 m = 7 m
Letra b) 4 m
Letra c) duas: ABC para A’B’C’ para A”B”C”
Letra d) as duas translações ocorreram no sentido horizontal.
Solução:

79
Ficando assim:
As dimensões são: Largura 12cm; Comprimento: 12cm.
AULA 24
Plano Cartesiano Ortogonal
Objetivo Geral
Conceito Básico
-
quema semelhante a uma rede quadriculada (reticu-
-
duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizon-
tal denominada de eixo x ou eixo das abscissas e outra
vertical chamada de eixo y ou eixo das ordenadas. Elas
do sistema.
O que devo aprender
nesta aula
Construir figuras no plano com
base em informações relevantes,
como: construir pontos dadas suas
coordenadas, construir polígonos
dadas as coordenadas de seus
vértices e circunferência dadas as
coordenadas do centro e a medida
de seu raio etc.
Expectativas de
Aprendizagem
u Construir figuras no plano com base
em informações relevantes, como:
construir pontos dadas suas
coordenadas, construir polígonos dadas
as coordenadas de seus vértices e
circunferência dadas as coordenadas do
centro e a medida de seu raio etc.
Plano cartesiano ortogonal

80
para o eixo y, respectivamente nesta ordem, que são denominados “par ordenado”. Esses valores
correspondem as coordenadas do ponto. Por exemplo, o ponto A apresentado no plano cartesiano
Atividades
01 Relacione algumas situações onde utilizamos a orientação de linhas e colunas.
Localizar uma peça no tabuleiro; localizar uma cidade ou estado em mapas; localizar um endereço na planta
baixa; entre outros.
02 No Teatro Palco Iluminado as poltronas são dispostas conforme a figura a seguir.
Sabendo que o primeiro número do par indica a coluna e o segundo indica a linha, escreva as coordenadas
que indicam a posição das poltronas A, B e C.
Solução:
Localizar uma peça no tabuleiro; localizar uma cidade ou estado em mapas; localizar um endereço na planta
baixa; entre outros.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
81
A(4,3); B(1,2) e C(3,5).
03 Observe os pontos A, R, G, M, H e P marcados no mapa de uma cidade.
Encontre as coordenadas em que eles se localizam.
Ponto A = (-1,1); Ponto R = (2,1); Ponto G = (4,1); Ponto M = (-2,-1); Ponto H = (-3,-3) e Ponto P = (2,-2).
04 Observe o plano cartesiano representado a seguir. Escreva os pares ordenados (x, y) que correspondem aos
pontos: A, B, C, D, E e F:
A = (1, -2); B = (-2, 1); C = (2, 2); D = (-3, -2); E = (0,0); F = (2, 3).
Solução:
A(4,3); B(1,2) e C(3,5).
Solução:
Ponto A = (-1,1); Ponto R = (2,1); Ponto G = (4,1); Ponto M = (-2,-1); Ponto H = (-3,-3) e Ponto P = (2,-2).
Solução:
A = (1, -2); B = (-2, 1); C = (2, 2); D = (-3, -2); E = (0,0); F = (2, 3).

82
DESAFIO
Marque no plano cartesiano os pontos a seguir:
A = (-1 , 2), B = (4 , -2), C = (-1 , -2), D = (1 , 2) e F = (-2 , 0).

83
AULA 25
Construção de polígonos no plano
cartesiano
Objetivo Geral
cartesiano polígono e circunferência.
Conceito Básico
(ou linhas poligonais) fechadas onde cada um de seus
retas seguidos.
O polígono divide o plano em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior
a ele.
À região interior ao polígono damos o nome de região poligonal.
a seguir:
Números de lados ou
ângulos
Nome do Polígono
Em função do número de ângulos Em função do número de lados
3 Triângulo Trilátero
4 Quadrângulo Quadrilátero
5 Pentágono Pentalátero
6 Hexágono hexalátero
7 Heptágono Heptalátero
8 Octógono Octolátero
9 Eneágono Enealátero
Decágono Decalátero
Undecágono Undecalátero
Dodecágono Dodecalátero
Pentadecágono Pentadecalátero
Icoságono Icosalátero
O que devo aprender
nesta aula
de seu raio etc.
Expectativas de
Aprendizagem
Inicialmente é necessário relembrarmos que um polígono
é uma superfície plana limitada por segmentos de reta (ou
linhas poligonais) fechadas onde cada um de seus vértices é
formado pela sucessão de dois segmentos de retas seguidos.
O polígono divide o plano em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior a ele.
A região interior ao polígono damos o nome de região poligonal.
Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados e ângulos, conforme a tabela a
seguir:

84
Atividades
01 Observe alguns polígonos presentes em sua sala de aula e represente-os na malha quadricula a seguir.
Classifique os polígonos construídos quanto ao número de lados e ângulos.
02 Observe o plano cartesiano representado a seguir e escreva as coordenadas dos vértices dos triângulos BCF e
ADE. Desenhe os triângulos.
Observe alguns polígonos presentes em sua sala de aula e represente-os na malha quadriculada a seguir.

85
Triângulo BCF = (-2 , 1); (2 , 2); (2 , 3)
Triângulo ADE = (1 , -2); (-3 . -2); (0 , 0)
03 Quais são as coordenadas do retângulo ABCD?
A = (1 , 4); B = (4 , 4); C = (4 , 0); D = (1 , 0).
Solução:
Triângulo BCF = (-2 , 1); (2 , 2); (2 , 3)
Triângulo ADE = (1 , -2); (-3 . -2); (0 , 0)
Solução:
A = (1 , 4); B = (4 , 4); C = (4 , 0); D = (1 , 0).

86
04 Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono.
A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , -1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).
Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono.
A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , 1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).
MATEMÁTICA
04 Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono.
A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , -1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).

87
DESAFIO
Represente no plano cartesiano:
a) uma circunferência de centro A = (1 , 2) e raio 2.
b) um triângulo cujos vértices são: A = (0 , 0), B = (-4 , 2) e C = (3 , 4).

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
88
AULA 26
Exercícios envolvendo polígonos
Objetivo geral
Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a polígonos.
Atividades
01 Para determinar a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono devemos utilizar
a fórmula d = n - 3, onde d representa a quantidade de diagonais que partem de um único vértice e n a quantidade
de lados deste polígono.
A quantidade de diagonais que partem do vértice A de um eneágono é igual a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
02 Para determinar a quantidade de diagonais de um polígono devemos utilizar a fórmula 2
3
D
n n$=
-^ h
, onde
D representa a quantidade de diagonais e n a quantidade de lados deste polígono.
A quantidade de diagonais de um icoságono corresponde a:
a) 340
b) 170
c) 34
d) 17
Sugestão de solução: Letra b.
03 Observe o polígono a seguir.
Para determinarmos a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono devemos utilizar
Para determinarmos a quantidade de diagonais de um polígono devemos utilizar a fórmula
Solução: Letra a
Solução: Letra b

MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
89
Quantas diagonais faltam para que sejam traçadas todas as diagonais deste octógono?
a) 5 b) 20
c) 36 d) 40
Sugestão de solução: c.
04 Observe o polígono:
A medida do perímetro 2P deste polígono é igual a:
a) 17,11 cm b) 17,9 cm
c) 18 cm d) 18,1 cm
Sugestão de solução: d.
05 Construa no plano cartesiano ortogonal a seguir um pentágono e determine as coordenadas de cada um de
seus vértices.
06 Determine a medida do lado de um hexágono regular cujo perímetro (2P) mede 17,4 cm.
Solução: Letra d
Solução: 2,9 cm
Quantas diagonais faltam para que sejam traçadas todas as diagonais deste octógono?
a) 5 b) 16 c) 20 d) 40
Solução: Letra b

90
AULA 27
Circunferência e círculo:
Definição e diferenças
Objetivo geral
Compreender os conceitos e os elementos de
circunferência e círculo.
Conceito básico
Uma das principais características que podemos
notar na circunferência sobrecai ao fato dela ser a
localizados a uma mesma distância r, denominado
O, denominado o centro da
circunferência.
O que devo aprender
nesta aula
de seu raio etc.
Expectativas de
Aprendizagem
circunferência
O
círculo
circunferência
região interna
O

MATEMÁTICA
3
Observe a circunferência a seguir
Vamos identificar seus elementos:
OBS: denominaremos por r o raio da circunferência e por d o seu diâmetro.
INFORMAÇÕES IMPORTANTES
1) o diâmetro é a maior corda de uma circunferência;
2) o diâmetro é igual a duas vezes a medida do o raio (d = 2r);
3) a medida do comprimento C de uma circunferência é obtida pela fórmula C = 2pr .
Exemplo:
Observe a circunferência a seguir, onde O é o seu centro:
a) Quais dos segmentos indicados são cordas?
R: O segmento AB e AC.
b) Quais dos segmentos indicados são raios?
R: O segmento A0, B0 e C0.
c) Quais dos segmentos indicados são diâmetros da circunferência?
R: O segmento AB.
A
H
O
G
F
ED
C
B
A
O
C
B
Centro Raios Cordas Diâmetro
O AO, BO, EO e GO AE, BG, CH e DF AE e BG
── ── ── ── ── ── ── ── ── ──
── ──
── ── ──
──

92
Atividades
01 Sabendo que a medida do raio de uma circunferência é 8 cm. Responda:
a) Qual a medida do seu diâmetro?
b) Qual a medida do seu comprimento?
a) 2 2 8 16d r cm$= = =
b) 2 2 8 16C r cm$ $= = =r r r
02 Observe a figura a seguir
Responda:
a) Qual a medida do seu diâmetro?
b) Qual a medida do seu comprimento?
a) d r cm2 2 4 8$= = = .
b) C r cm2 2 4 8$ $r r r= = = .
03 As circunferências a seguir tem a mesma medida do raio
Solução:
Solução:
Sabendo que a medida do raio de uma circunferência é 8 cm responda:
Observe a circunferência a seguir de centro no ponto O.

MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
93
Determine:
a) Perímetro do triângulo ABC.
b) Soma das medidas do comprimento das circunferências.
a) perímetro = 24 cm.
b) Soma dos comprimentos = 24 cmr .
DESAFIO
Sabendo que a medida do lado do quadrado é 10 cm, R é o raio da circunferência C2 e r o raio
de C1.
Determine a medida do comprimento da circunferência C1.
2 2 2,5 5C r $ $= = =r r r
Solução:
Solução:

94
AULA 28
Razão I
Objetivo geral
Compreender e aplicar as relações lógicas das
razões matemáticas em situações problema.
Conceito básico
Em matemática a comparação entre dois números
razão.
Assim, na razão temos uma divisão ou o quociente
entre dois números racionais a e b, representada por
a:b ou a/b ou , com 0
b
a
b ! .
Lê-se a para b, ou a está para b.
Exemplo:
3:5 3/5
5
3
ou ou , lê-se 3 para 5, ou 3 está para 5.
a antecedente e
o número b consequente.
Exemplo:
antecedente
consequente5
3 "
"
Razões inversas
e vice-versa.
Exemplo:
i) 5
3
e 3
5
são razões inversas, pois: 5
3
3
5
1=$
ii) 4
7
e 7
4
são razões inversas, pois: 4
7
7
4
1=$
O que devo aprender
nesta aula
Formular e resolver situações-
problema que envolva a ideia de
fração (parte-todo) e também de
razão e divisão.
Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o número representado por a é denominado
antecedente e o número representado por b é denominado consequente.
Dizemos que duas razões são inversas quando elas têm o produto produto de uma pela outra igual a 1.
u Formular e resolver situaçõesproblema
que envolvam a ideia de fração (parte-
todo) e também de razão e divisão.
u Compreender o conceito de razão e
proporção.

95
Razões equivalentes
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou
dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero).
Obs.: o símbolo +
Exemplos:
i) 6
5
12
10
+ são razões equivalentes, pois: 6
5
12
10
2
2 =
$
$
ou 6
5
12
10=
ii) 9
15
3
5
+ são razões equivalentes, pois:
9
15
3
5
3
3 =
'
'
ou 9
15
3
5=
Exercícios resolvidos
poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões
da avaliação?
a razão entre o número de acertos e o total de questões, basta escrevermos a seguinte razão,
180
15
90
7
45
39
15
136 8= = =
15
13
.
medidas:
x 2
x 2
:3
:3
:2
número de acertos
número de questões
=
:2 :2 :3
:2 :3
02) Isabelle recortou dois pedaços de cartolina, conforme as figuras, com as medidas:
01) Em uma avaliação do Enem com 180 questões, Michael acertou 156. Que razão representa a
comparação entre o número de acertos e o total de questões da avaliação?
20cm
20cm
30cm
30cm
1
2
Solução:

96
quadrado e a medida do lado do quadrado .
quadrado
Como queremos determinar a razão entre a medida do lado do quadrado e a medida do
lado do quadrado o máximo possível:
3
2 .
disputadas, primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:
23 + 9 + 6 = 38
Então, basta escrevermos a seguinte razão:
38
23=
38
23 .
Atividades
01 MarcosVinícius acertou 16 das 20 questões propostas pela professora em uma atividade na aula de matemática.
a) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de
questões da atividade?
b) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de erros e o total de ques-
tões da atividade?
lado do quadrado
lado do quadrado
=
:
30
20
3
2=
número de vitórias
número total de partidas disputadas
Do suporte temos as seguintes medidas:
03) O time de futebol do Gustavo obteve, durante o ano de 2012, 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas.
Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?
Do enunciado temos que o time de futebol do Gustavo obteve 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas no
ano de 2012.
Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas,
primeiro somaremos a quantidade de vitórias, empates e derrotas:
Marcos Vinícius acertou 16 das 20 questões propostas por sua professora em uma atividade na aula de matemática.
a) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões da atividade?
b) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de erros e o total de questões da atividade?
Solução:
Solução:

97
c)Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o número de
erros da atividade?
Do enunciado temos que Marcos Vinícius acertou 16 questões, como a avaliação tinha 20 questões, ele errou
4 questões.
a)
Portanto, a razão é
5
4 .
b)
5
1 .
c)
4
1 .
02 O time de futebol do Flamengo obteve, durante o ano de 2012, 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas. Qual é a
razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?
Do enunciado temos que o time de futebol do Flamengo obteve 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas no ano
de 2012.
Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas,
primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:
12 + 14 + 12 = 38
Então, basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:
38
12
19
6= =
19
6 .
:2
:2
:4
:4
número de acertos
número total de questões 20
16
5
4= =
:4
:4
número de erros
número total de questões 20
4
5
1= =
:4
:4
número de erros
número de acertos 16
4
4
1= =
número de vitórias
número total de partidas disputadas
Solução:
Solução:
O time de futebol do Pedrinho obteve, durante o ano de 2012, 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas.
Do enunciado temos que o time de futebol de Pedrinho obteve 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas no ano
de 2012.

MATEMÁTICA
00
MATEMÁTICA
98
03 Vanessa desenhou as seguintes figuras:
De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre:
a) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo .
b) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo .
Do enunciado temos que Vanessa desenhou dois triângulos onde a medida da hipotenusa do triângulo é
de 5cm e a medida da hipotenusa do triângulo é de 25cm.
a)Como queremos determinar a razão entre a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipote-
nusa do triângulo , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:
5
1 .
b) Como queremos determinar a razão entre a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipote-
nusa do triângulo , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:
Portanto, a razão é 5.
:5
:5
hipotenusa do triângulo
hipotenusa do triângulo 25
5
5
1= =
:5
:5
hipotenusa do triângulo
hipotenusa do triângulo 5
25
1
5
5= = =
Solução:

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
99
DESAFIO
(Olimpíada Brasileira de Matemática - OBMEP 2007)
Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é
3
2 e entre o número de mulhe-
res e crianças é
1
8 . A razão entre o número de adultos e crianças é:
(A)
1
5
(B)
1
16
(C)
1
12
(D)
3
40
(E)
1
13
Do enunciado temos:
A razão entre o número de homens e mulheres é 3
2
3
2
m
h
" = .
Ou seja, em cada 2 homens teremos 3 mulheres, 4 homens para 6 mulheres ou mesmo, 16 homens para
24 mulheres.
A razão entre o número de mulheres e crianças é 1
8
1
8
c
m
" = .
Ou seja, em cada 8 mulheres teremos 1 criança, 16 mulheres para 2 crianças ou mesmo, 24 mulheres para
cada 3 crianças .
Se para cada 16 homens temos 24 mulheres e para cada 24 mulheres temos 3 crianças, teremos 16 ho-
mens para cada 3 crianças, ou, como pede o desafio, 24 + 16 = 40 adultos para cada 3 crianças
Portanto, a razão entre o número de adultos e crianças é de
3
40 .
Solução:

MATEMÁTICA
0
104
Utilizando uma regra de três simples e lembrando que foram 112 jogadores pesquisados, temos:
112
68
100%
x
"
"
, onde x representa o percentual de jogadores que concluíram o ensino médio.
18
112 100
112 68 100
112
6800
60,71%.
x
x x" " "$ $=
Portanto, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente 60%.
AULA 30
Proporção
Objetivo geral
Relembrar os conceitos de proporção.
Conceito básico
sentença que expressa uma igualdade entre duas
razões.
Assim, dizemos que quatro números racionais a,
b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa ordem,
expressam uma proporção quando:
ou: :a b c d
b
a
d
c= =
Lê-se a está para b, assim como c está para d.
Exemplo:
6 : 9 12:18 ou
18
12
,=
O que devo aprender
nesta aula
Resolver, analisar e formular
situações problema envolvendo
porcentagem e proporcionalidade.
Construir estratégias para
resolver situações que envolvem
proporcionalidade.
Conceito básico
Matematicamente, uma proporção é uma sentença
que expressa uma igualdade entre duas razões.
AulA
u Resolver, analisar e formular situações
problema envolvendo porcentagem e
proporcionalidade.
u Construir estratégias para resolver
situações que envolvem proporcionalidade.
u Compreender o conceito de razão e
proporção.
6 12
=
9 18
MATEMÁTICA
Os números a, b, c e d são denominados termos da proporção, onde a e d são denominados
extremos e b e c são denominados meios.
Exemplo:
6 : 9 12:18 ou
19
6
18
12= =
Propriedade fundamental das proporções
meios e vice-versa.
b
a
d
c
a d b c= =) $ $
Exemplo:
Use a propriedade fundamental da proporção.
Do enunciado temos que os números estão em ordem, assim:
3 7 12 8,a b= =
extremos
meios
extremo
meio extremo
meio
produto dos meios
produto dos extremos

MATEMÁTICA
03
105
Propriedade fundamental das proporções
meios e vice-versa.
b
a
d
c
a d)
Exemplo:
Use a propriedade fundamental da proporção.
3 7 12 e 28,a b c d= = = =
Então podemos escrever a seguinte proporção, aplicando a propriedade fundamental:
7
3
28
12
3 28 7 12
b
a
d
c
a d b c= = = =+ " + "$ $ $ $
produto dos extremos 3 28 84
produto dos meios 7 12 84
:
:
=
=
$
$
)
Exemplos
podem ser feitos com 25 kg de farinha?
Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:
600 100
25x
-
-
produto dos meios
produto dos extremos
Solução:
Solução:
MATEMÁTICA
Daí, temos a seguinte proporção:
600
25
100
x
=
Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:
600 25 100x=$ $
100 15 000x =
100
15 000
x =
150x =
litros de suco aproximadamente ainda poderão serão feitos?
40
25
26
x
-
-
, onde x

MATEMÁTICA
0
106
600 2 00x=
15 000x =
100
15 000
x =
150x =
litros de suco aproximadamente ainda poderão serão feitos?
40
25
26
x
-
-
, onde x
25
40 26
x
=
40 26 25x =$ $
40 650x =
40
650
x =
16,25x =
4
5 580
x-
-
Solução:
Solução:
6 12
9 18
MATEMÁTICA
5
4
580
x=
4 580 5 x=$ $
5 2320x =
5
2320
x =
464x =
de moças e o de rapazes. Assim, temos:
464 580 1044+ =
4 5
=
x 580
03) Em um colégio, para cada 4 moças há 5 rapazes estudando. Como no colégio há 580 rapazes
matriculados, quantos estudantes existem no colégio?

MATEMÁTICA
0
107
5 580
4 580 5 x=
5 2320x
5
2320
x =
464x =
de moças e o de rapazes. Assim, temos:
464 580 1044+ =
Atividades
01 Sabendo que os números 6, 24, 5e o x formam, nessa ordem, uma proporção, aplicando a propriedade funda-
mental determine o valor de x.
,6 24 5 ea b c d x= = = =
Então podemos escrever a seguinte proporção, onde aplicando a propriedade fundamental, temos:
24
6 5
6 24 5 6 120
6
120
20
b
a
d
c
a d b c
x
x x x x+ " " " " "$ $ $ $= = = = = = =
Portanto, o valor de x é igual a 20.
02 Em uma determinada empresa uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela cons-
truiu no fim do mês 42 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?
200 16
42x
-
-
, onde x é o valor em dinheiro que a secretária recebeu.
Solução:
Sabendo que os números 6, 24, 5 e o x formam, nessa ordem, uma proporção, aplicando a propriedade funda-
Solução:
MATEMÁTICA
200
42
16
x
=
200 42 16x$ $=
16 8400x =
16
8400
x =
525x =
Portanto, a secretária recebeu R$ 525,00.
03 Em uma receita de bolo, são necessários 2 ovos para cada 0,5 kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão
necessários para 2 kg de farinha?

MATEMÁTICA
0
108
200 42 16x=
16 8400x =
16
8400
x =
525x =
Portanto, a secretária recebeu R$ 525,00.
03 Em uma receita de bolo, são necessários 2 ovos para cada 0,5 kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão
necessários para 2 kg de farinha?
2 0,5
2x
-
-
, onde x é a quantidade de ovos a serem gastos.
2
2
0,5
x
=
2 2 0,5x$ $= (Transformando 0,5 em fração temos 2
1
)
2
1
4x =
4 2x $=
8x =
Portanto, serão necessários 8 ovos.
Solução:
MATEMÁTICA
DESAFIO
(Enem 2011)
Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro
sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,
(A) 0,23 e 0,16.
(B) 2,3 e 1,6.
(C) 23 e 16.
(D) 230 e 160.
(E) 2 300 e 1 600.
Do enunciado, temos a gravura onde a distância a entre os eixos dianteiro e traseiro é de 2300 mm e
que altura b entre o solo e o encosto do piloto é de 160 cm.
(A) 0,23 e 0,16. (B) 2,3 e 1,6. (C) 23 e 16.
(D) 230 e 160. (E) 2 300 e 1 600.

MATEMÁTICA
0
109
(A) 0,23 e 0,16.
(B) 2,3 e 1,6.
(C) 23 e 16.
(D) 230 e 160.
(E) 2 300 e 1 600.
Do enunciado, temos a gravura onde a distância a entre os eixos dianteiro e traseiro é de 2300 mm e
que altura b entre o solo e o encosto do piloto é de 160 cm.
Como queremos o valor das medidas a e b em metros, respectivamente, primeiro vamos transformar
mm e cm em m. Assim, usando a tabela básica das unidades de medidas, temos que:
1 0 0 0
m dcm cm m
Logo, temos que 1 m corresponde a 100 cm e a 1000 mm.
Agora, vamos calcular os valores de a e b em metros.
Então, podemos escrever as seguintes relações:
)
1000
2300
1mm
mm
m
a
i
-
-
2300
1000 1
a
=
MATEMÁTICA
1000 2300 1a$ $=
1000 2300a =
1000
2300
a =
2,3a =
Logo, distância a entre os eixos dianteiro e traseiro é de 2,3 m.
)
100
160
1cm
cm
m
b
ii
-
-
160
100
b
1=
100 160 1b$ $=
100 160b =
100
160
b =
1,6b =
Logo, a altura b, entre o solo e o encosto do piloto, é de 1,6 m.
Portanto, as medidas a e b são, respectivamente, 2,3 m e 1,6 m.
Solução:

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
111
AULA 31
Proporção – Propriedade
Objetivo geral
Aplicar as propriedades das proporções matemáti-
cas na resolução de situações problema.
Conceito básico
Na aula anterior estudamos a propriedade
fundamental das proporções. É uma propriedade
extremamente importante no estudo de proporções,
de outros propriedades das proporções. A seguir
vamos analisar duas delas:
1ª propriedade:
Dizemos que em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou
para o segundo), assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto).
Matematicamente, temos:
Soma
e
b
a
d
c
a
a b
c
c d
b
a b
d
c d= = ="
+ + + +
Demonstração
Prove que:
e
b
a
d
c
a
a b
c
c d
b
a b
d
c d= = ="
+ + + +
Considere as proporções:
e
b
a
d
c
a
b
c
d= =
1 1 e 1 1
b
a
d
c
a
b
c
d+ = + + = +
b
a
b
b
d
c
d
d
a
b
a
a
c
d
c
c+ = + + = +
O que devo aprender
nesta aula
Resolver, analisar e formular
situações problema envolvendo
porcentagem e proporcionalidade.
Construir estratégias para
resolver situações que envolvem
proporcionalidade.
Conceito básico
Na aula anterior estudamos a propriedade
fundamental das proporções. É uma propriedade
extremamente importante no estudo de proporções,
porém, não é a única. Existem, na matemática, uma
série de situações as quais são necessárias a aplicação
de outras propriedades das proporções. A seguir
analisaremos duas delas:
AulA 30
u Resolver, analisar e formular situações
problema envolvendo porcentagem e
proporcionalidade.
u Construir estratégias para resolver
situações que envolvem proporcionalidade.

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
112
b
a b
d
c d
a
b a
c
d c
a
a b
c
c d+
=
+ +
=
+ +
=
+
"
c.q.d
2ª propriedade:
Dizemos que em toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro
(ou para o segundo), assim como a diferença dos dois últimos está para o terceiro (ou para o
quarto).
Matematicamente, temos:
Subtração
e
b
a
d
c
a
a b
c
c d
b
a b
d
c d=
-
=
- -
=
-
"
Demonstração
Prove que:
e
b
a
d
c
a
a b
c
c d
b
a b
d
c d=
-
=
- -
=
-
"
Considere as proporções:
e
b
a
d
c
a
b
c
d= =
1 1 e 1 1
b
a
d
c
a
b
c
d- = - - = -
b
a
b
b
d
c
d
d
a
b
a
a
c
d
c
c- = - - = -
b
a b
d
c d
a
b a
c
d c-
=
- -
=
-
a
a b
c
c d-
=
-
c.q.d
Exemplos
Do enunciado temos:
Solução:

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
113
Assim, fazendo x = o número de moças e y = o número de rapazes, temos o sistema:
20x y
y
x
5
7
- =
=* 4
Como temos uma subtração x - y, então aplicando a 2ª propriedade das proporções, na segunda
equação temos:
5
7
7
7 5
(como 20)
20
7
2
2 140 70
y
x
x
x y
x y
x
x x=
-
=
-
- = = = =" " " "
Logo, substituindo o valor de x na primeira equação temos:
20 70 20 20 70 50 ( 1) 50x y y y y y- = - = - =- - - =- - =" " " "
tinta azul, na razão de 5 para 3. Sabendo que ele vai utilizar 24 l dessa mistura, quantos litros de
cada cor de tinta serão necessários?
Do enunciado temos:
ii) vai ser utilizado 24 l da mistura das tintas 24tinta azul tinta branca l=+"
Assim, fazendo x = tinta branca e y = tinta azul, temos o sistema:
3
5
24
y
x
x y
=
+ =
* 4
Como temos uma soma x + y
equação temos:
3
5
5
5 3
(como 24)
24
5
8
8 120 15
y
x
x
x y
x y
x
x x=
+
=
+
+ = = = =" " " "
Logo, substituindo o valor de x na segunda equação temos:
24 15 24 24 15 9x y y y y+ = + = = - =" " "
l de tinta branca e 9 l de tinta azul.
Solução:
02) Para pintar uma parede da sala de cor diferente, Ricardo deve misturar tinta branca com tinta azul,
na razão de 5 para 3. Sabendo que ele irá utilizar 24 l dessa mistura, quantos litros de cada cor de tinta
serão necessários?
ii) serão utilizados 24 l da mistura das tintas → tinta azul + tinta branca = 24 l

114
Do enunciado temos:
Assim, fazendo x = idade do pai e y
45
2
7
x y
y
x
+ =
=* 4
Como temos uma subtração x + y
equação temos:
2
7
7
7 2
(como 45)
45
7
9
9 315 35
y
x
x
x y
x y
x
x x=
+
=
+
+ = = = =" " " "
45 35 45 45 35 10x y y y y+ = + = = - =" " "
Atividades
01 Jéssica foi fazer uma laranjada e para isso misturou caldo de laranja com água, na proporção de 2 para 9.
Quantos litros de caldo de laranja e de água serão necessários para fazer 5,5 l de laranjada?
Do enunciado temos:
i) mistura de caldo de laranja com água, na proporção de 2 para 9
ii)a laranjada vai ter 5,5 l
Assim, fazendo x = caldo de laranja e y = água, temos o sistema:
9
2
5,5
y
x
x y
=
+ =
* 4
Como temos uma subtração x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na segunda equação
temos:
9
2
2
2 9
(como 5,5)
5,5
2
11
11 11 1
y
x
x
x y
x y
x
x x" " " "=
+
=
+
+ = = = =
Solução:
Solução:
03) A soma das idades de Rogério e de seu filho é 45. Sabendo que a idade do pai está para a idade do
filho, assim como 7 está para 2, qual será a idade do pai e a do filho?
Jéssica fez uma laranjada e para isso misturou caldo de laranja com água, na proporção de 2 para 9.

115
5,5 1 5,5 5,5 1 4,5x y y y y" " "+ = + = = - =
Portanto, serão necessários 1 l de caldo de laranja e 4,5 l de água.
02 A diferença entre a idade de dois irmãos é de 12 anos. Sabendo que a idade do mais velho está para a idade
do mais novo, assim como 5 está para 3. Qual é a idade dos dois irmãos?
Do enunciado temos:
i) a diferença entre a idade de dois irmãos é de 12 anos
ii)a razão entre a idade do mais velho e a idade do mais novo é de 5 para 3
Assim, fazendo x = idade do irmão mais velho e y = idade do irmão mais novo, temos o sistema:
12
3
5
x y
y
x
- =
=* 4
Como temos uma subtração x - y, então aplicando a 2ª propriedade das proporções, na segunda equação
temos:
3
5
5
5 3
(como 12)
12
5
2
2 60 30
y
x
x
x y
x y
x
x x" " " "=
-
=
-
- = = = =
12 30 12 30 12 18 ( 1) 18x y y y y y" " " "- = - = - = - - - - ==
Portanto, o irmão mais velho tem 30 anos e o mais novo tem 18 anos.
03 Em um grupo de 300 pessoas. Sabe-se que a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para 2,
quantos homens e quantas mulheres fazem parte desse grupo?
Do enunciado temos:
iii) um grupo de 300 pessoas (homens + mulheres = 300)
iv) a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para 2
Assim, fazendo x = homens e , temos o sistema:
300
2
3
x y
y
x
+ =
=* 4
Como temos uma subtração x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na segunda equação
temos:
2
3
3
3 2
(como 300)
300
3
5
5 900 180
y
x
x
x y
x y
x
x x" " " "=
+
=
+
+ = = = =
Solução:
Solução:
A diferença entre as idades de dois irmãos é igual a 12. Sabendo que a idade do mais velho está para a idade
do mais novo, assim como 5 está para 3, qual será a idade dos dois irmãos?
Em um grupo de 300 pessoas, sabe-se que a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para 2.
Quantos homens e quantas mulheres fazem parte desse grupo?
i) a diferença entre as idades de dois irmãos é de 12 anos

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
116
300 180 300 300 180 120x y y y y" "+ = + = = - =
Portanto, fazem parte desse grupo 180 homens e 120 mulheres.
DESAFIO
Em um determinado colégio o professor de Matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades
de seus dois filhos, em anos. Para isso, ele deu as seguintes informações:
i) O mais velho tinha x anos e o mais novo tinha y anos.
ii) A razão entre a idade do mais velho e do mais novo é de 5 para 3.
iii) A soma das idades era 16 anos.
Qual a idade de cada filho do professor?
Do enunciado temos:
i) O mais velho tinha x anos e o mais novo tinha y anos.
ii) A razão entre a idade do filho mais velho e do filho mais novo é de 5 para 3.
iii) a soma das idades é 16 anos.
Assim, x = idade do filho mais velho e y = idade do filho mais novo.
Logo, podemos escrever o sistema:
3
5
16
y
x
x y
=
+ =
* 4
Como temos uma subtração x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na segunda equa-
ção temos:
3
5
3
5 3
(como 16)
16
5
8
8 80 10
y
x
x
x y
x y
x
x x" " " "=
+
=
+
+ = = = =
16 10 16 16 10 6x y y y y" " "+ = + = = - =
Portanto, o filho mais velho do professor tem 10 anos e o mais novo tem 6 anos.
Solução:

117
AULA 32
Exercícios envolvendo razão
e proporção
Objetivo geral
Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a razão e proporção.
Itens e questões
01 Determine dentre as frações a seguir a única que é uma proporção da fração
342
156 .
a)
57
78
b)
171
156
c)
156
171
d)
57
26
Sugestão de solução: d.
02 A forma irredutível da fração 864
576
é:
a)
7
2
b)
4
3
c)
3
2
d)
7
3
03 Identifique o par de frações que encontra-se em proporção.
a)
10
16
e
20
60
b)
18
9
e
80
60
AulA 3
Solução: d.
Solução: c.

118
c)
120
72
e
20
12
d)
20
18
e
70
54
04 Determine a forma irredutível da fração
120
96 .
05 Encontre uma fração que esteja em proporção com
5
3 e que seja uma fração composta por múltiplos de 6.
06 Determine o valor de x de forma que as frações
28
12 e 36
x
estejam em proporção.
AULA 33
Perímetro de polígonos diversos
Objetivo geral
Calcular perímetro de polígonos diversos, desper-
tando no aluno o interesse por geometria.
Conceitos Básicos
segmentos de retas e caracterizam-se pelos seguintes
O que devo aprender
nesta aula
Determinar o perímetro de
polígonos diversos, como quadrado,
retângulo, losango, paralelogramo,
trapézio e hexágono.
Solução: c.
4
Solução: ─
5
18
Solução: ─
30
Solução: x = 84
AulA 3
u Determinar o perímetro de
polígonos diversos, como quadrado,
retângulo, losango, paralelogramo,
trapézio e hexágono.

119
Seguem alguns polígonos
Quadrado Retângulo Losango
Paralelogramo Trapézio Hexágono
Existem diversos outros polígonos que não serão citados no momento mas que são bastante utilizados na
a pesquisa sobre eles.
Perímetro (2P): É a soma das medidas de todos os lados de um polígono.
Observando os dados responda:
Existem outros polígonos que não serão citados no momento mas que são bastante utilizados na
matemática, em outras áreas do conhecimento, no dia-a-dia e na natureza. Portanto, fica como atividade
extra a pesquisa sobre eles.
Quando estudamos os polígono é extremamente importante entendermos como se obter o perímetro
dos mesmos.
Perímetro (2P): É a soma das medidas de todos os lados de um polígono.
Veja o exemplo: A figura a seguir apresenta um retângulo (dimensões 30m e 40 m) e um
quadrado (lado 20 m).

MATEMÁTICA
a) Qual perímetro de retângulo e do quadrado?
b) Qual perímetro total da figura?
Solução:
a) Retângulo: 2P = 40 + 40 + 30 + 30 = 140 m e Quadrado: 2P = 20 + 20 + 20 + 20 = 80 m
b) 2P total = 2P (retângulo) + 2P (quadrado) = 140 + 80 = 220 m.
Solução: Letra b.
Atividades
0
I II III IV
O lado de cada quadradinho da malha abaixo mede 1 cm.
De acordo com a figura analise as afirmações:
I – O perímetro da figura I é 12 cm.
II – O perímetro da figura II é 12 cm.
III – O perímetro da figura III é 16 cm.
IV – O perímetro da figura IV é 14 cm.
Quais das afirmações acima são verdadeiras?
a) I, II e III.
b) I, III e IV
c) II, III e IV
d) Todas estão corretas.

121
02 Observe a figura a seguir:
Determine:
a)O perímetro do retângulo maior considerando os pontilhados.
b) O perímetro da região em destaque, formada pela união dos pontos.
a)Basta calcular o perímetro do retângulo de dimensões 9 cm e 5cm.
P = 9 + 9 + 5 + 5 = 28 cm
b) Perímetro da região em destaque.
P = 22 cm
03 Apresentamos a seguir dois polígonos:
Figura 01 Figura 02
De acordo com as figuras é correto afirmar que
a) O perímetro da figura 01 é 12,2cm e o perímetro da figura 02 é 17,3cm.
b) O perímetro da figura 02 em relação à figura 01 teve um acréscimo de 60%.
c) A diferença do perímetro da figura 02 para figura 01 é de 6,1cm.
Alternativa correta = c
Solução:
a) Basta calcular o perímetro do retângulo de dimensões 9 cm e 5cm.
P = 9 + 9 + 5 + 5 = 28 cm
b) Perímetro da região em destaque.
P = 22 cm
Solução: Letra C

MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
122
Justificando as demais alternativas
a) Perímetro da figura 01 = 12,2cm Perímetro da figura 02 = 18,3cm
b) Figura 02 teve acréscimo de 50%.
DESAFIO
Um milionário construiu sua casa em um condomínio de luxo. Ele deseja cercar o lote em que construiu
sua mansão.
Fonte: Disponível em: <http://www.escolakids.com/perimetro-de-um-poligono.htm/>. Acesso em: 12 de dez. 2012.
Observando a vista panorâmica do lote calcule:
a) Quantos metros de cerca ele deverá fazer considerando as dimensões da figura?
b) Quantos metros de cerca ele deverá fazer se aumentar em cada dimensão da casa 2 metros?
a) P = 13 + 10 + 97 + 50 + 100 + 30 + 10 + 10 = 320m
b) P = (13 + 2) + (10 + 2) + (97 + 2) + (50 + 2) + (100 + 2) + (30 + 2) + (10 +2) + (10 +2) = 336m
Solução
a) P = 13 + 10 + 97 + 50 + 100 + 30 + 10 + 10 = 320m
b) P = (13 + 2) + (10 + 2) + (97 + 2) + (50 + 2) + (100 + 2) + (30 + 2) + (10 +2) + (10 +2) = 336m
b) Quantos metros de cerca ele deverá fazer se aumentar em cada dimensão do lote 2 metros?

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
123
AULA 34
Área de polígonos: quadrados
e retângulos
Objetivo geral
Reconhecer e calcular áreas de quadrados e
retângulos.
Conceitos básicos
Retângulos são quadriláteros que possuem
somente ângulos retos. Desta forma, o quadrado
possui todos os seus ângulos retos. A diferença entre
o quadrado e retângulo, portanto, se dá por conta do
quadrado possuir todos os seus lados iguais.
Para calcular a área de um retângulo basta multiplicar a sua base (b) por sua altura:
A = b . h
a base e a altura tem o mesmo tamanho, podemos usar lado x lado, ou ainda, lado ao quadrado.
A = l2
Exemplo:
O que devo aprender
nesta aula
Compreender e utilizar as fórmulas
de área de figuras planas como
triângulo, losango, paralelogramo,
trapézio, retângulo, hexágono etc. e
de área de superfície de figuras não
planas como o cubo, o cilindro, e o
paralelepípedo.
Objetivo geral
Reconhecer e calcular áreas de quadrados e retângulos.
Conceitos básicos
Retângulos são quadriláteros que possuem somente ângulos
retos. Desta forma, o quadrado também é considerado um
retângulo pois, possui todos os seus ângulos retos. A diferença
entre o quadrado e retângulo, portanto, se dá por conta do
quadrado possuir todos os seus lados iguais.
Daí podemos afirmar que todo quadrado é um retângulo mas
nem todo retângulo é um quadrado.
AulA 33
u Compreender e utilizar as fórmulas
trapézio, retângulo, hexágono etc. e de
área de superfície de figuras não
paralelepípedo.

124
a área de ambos separadamente e, em seguida, somá-las.
Área do quadrado: A = l2
A = 52 = 25 cm2
Área do retângulo: A = b . h cm2
Então ATotal = AQuadrado +ARetângulo cm2
Atividades
01 Determine a área da região azul na figura a seguir.
O lado do quadrado vermelho mede 4cm.
A área do quadrado maior é 2 8 2 8 4 8 32A cm2
$ $= = =
A área do quadrado menor (vermelho) é 4 4 16A cm2
$= =
Logo, a área azul será 32 16 16 cm2
- =
A = 5² = 25 cm²

125
02 Observe a figura a seguir
Sabendo que os retângulos B e C possuem as mesmas dimensões, qual a área da região A?
Aregião_A = 15 . 7 – 2 . 5 . 5 = 105 - 50 = 55 m2
03 O lado de um quadrado mede 10 cm. Se aumentarmos em 50% a medida dos seus lados, qual a medida da
área do novo quadrado?
A = 15 . 15 = 225 cm2
DESAFIO
As flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas delas possuem a forma mostrada na
figura abaixo na qual há seis quadrados e doze triângulos equiláteros.
Uma abelha pousou no ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário até voltar ao
ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem 24 cm² de área, qual é a distância percorrida pela abelha?
A área destacada corresponde à soma das áreas de seis quadrados. Portanto, cada quadrado possui 4 cm²
de área e lado 2 cm.
Os lados dos quadrados e dos triângulos equiláteros são todos iguais. Uma volta completa da abelha em
torno da flor corresponde a 24 vezes o lado do quadrado, ou seja, 48 cm.
Solução:
65 m²
Solução:
15 · 15 = 225 cm²
Solução:

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
126
AULA 35
Área de polígonos – Triângulos
Objetivo geral
Compreender a ideia e calcular a área de triângulos.
Conceito básico
O foco desta aula será o cálculo da área de um
sociedade por conta de suas diversas aplicabilidades
do dia-a-dia. Discuta com o professor sobre as
aplicabilidades do triângulo.
A ideia do cálculo da área de uma região triangular
surge do retângulo, uma vez que, a diagonal de um
retângulo sempre divide o mesmo em dois triângulos.
Observe:
retângulo
O que devo aprender
nesta aula
paralelepípedo.
Note que em qualquer uma das figuras a área do triângulo ABC é igual a metade da área do retângulo.
Área do retângulo = b x h
AulA 3
paralelepípedo.

127
Assim, de modo geral, temos que:
2
b h$
Onde: b = medida da base do segmento AB;
h = medida da altura relativa ao lado do segmento AB.
Por exemplo: Observe os triângulos a seguir:
Para determinarmos a área do triângulo ( I ) devemos fazer:
2 2
13 9
58,5A
b h
cmI
2
= = =$ $
Já a área do triângulo ( II) será calculada da seguinte maneira:
2 2
12 9
54A
b h
cmII
2
= = =$ $
Uma outra maneira de se calcular a área de um triângulo qualquer desde que sejam conhecidas
as medidas de seus lados a, b e c
A p p a p b p c= - - -$ $ $^ ^ ^h h h
sendo 3
p
a b c=
+ +
o semiperímetro do triângulo
a, b, c " as medidas dos lados do triângulo
2

128
Assim sendo, observe o triângulo abaixo:
Temos que a medida do perímetro (2P) deste triângulo será:
Portanto, o semiperímetro (P) terá a medida igual a
2
2
2
44
22 22P
P
cm P cm= = = ="
Pela fórmula de Heron A p p a p b p c= - - -$ $ $^ ^ ^h h h , então
22 22 13 22 14 22 15 22 9 8 7 11088A p p a p b p c cm2
= - - - = - - - =$ $ $ $ $ $ $ $ $ =^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h
Atividades
01 Observe os triângulos a seguir e descubra o valor de suas respectivas áreas.
a) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:
2 2
6 6
2
36
18A
b h
A"
$ $= = = = .
Logo, a área do triângulo é 18 cm2
.
b) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:
2 2
12 10,5
2
126
63A
b h
A cm2
"
$ $
= = = =
Observe os triângulos a seguir e descubra o valor de suas respectivas áreas.
Solução:

129
c) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:
2 2
8,8 6,6
2
58,08
29,04A
b h
A cm2
"
$ $
= = = =
Logo, a área do pedaço de madeira é 38,5 cm2
.
02 Um pequeno pedaço de madeira tem a forma e as medidas indicadas na figura. Qual é a área desse pedaço de madeira?
Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:
2 2
14 5,5
2
77
38,5A
b h
A cm2
"
$ $
= = = =
Logo, a área do pedaço de madeira é 38,5 cm2
.
03 Aplicando a fórmula de Heron descubra o valor da área do triângulo cujos lados medem: 30 cm, 20 cm e 14 cm.
Aplicando a fórmula de Heron temos:
2 2
30 20 14
2
64
32p
a b c
cm2
=
+ +
=
+ +
= =
A p p a p b p c$ $ $= - - -^ ^ ^h h h
30 32 30 32 20 32 14A $ $ $= - - -^ ^ ^h h h
30 2 12 18A $ $ $= ^ ^ ^h h h
12 960A =
113,84A cm2
, de área
Solução:
Um pequeno pedaço de madeira tem a forma e as medidas indicadas na figura. Qual é a área da superfície indicada
na margem desse pedaço de madeira?
Aplicando a fórmula de Heron descubra o valor da área do triângulo cujos lados medem: 30 cm, 20 cm e 14 cm.
Solução:

130
DESAFIO
Um quadrilátero de papel foi recortado de acordo com a figura e as medidas nela indicadas. Sabendo que
as medidas estão em centímetros, determine a área da região A1+ A2.
Aplicando a fórmula da área de triângulo,vamos calcular o valor da área da metade da figura que exata-
mente igual a A1 + A2:
2 2
100 60
2
6000
3 000A
b h
cm2$ $= = = =
2
14 5,5
2
77
38,5 cm2$
= =
Logo, A1 + A2 = 3 000 cm2
de área.
Logo, A1 + A2 = 3 000 cm2 de área.
Solução
Aplicando a fórmula da área de triângulo,vamos calcular o valor da área da metade da figura que é exatamente
igual a A1 + A2:

131
AULA 36
Área de polígonos: paralelogramo
Objetivo geral
Reconhecer e calcular a área do paralelogramo.
Conceitos básicos
opostos são iguais e paralelos.
O paralelogramo possui as seguintes propriedades:
Ângulos opostos iguais.
Possui simetria rotacional.
A diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes.
Os lados opostos e seus ângulos opostos são iguais.
Os ângulos de mesmo lado são suplementares.
As diagonais são suas próprias bissetrizes.
O que devo aprender
nesta aula
paralelepípedo.
AulA 3
paralelepípedo.

132
Área de um paralelogramo
A área de um paralelogramo será determinada pelo produto da medida de sua base pela medida
de sua altura.
Exemplo:
A = b . h
Atividades
01 Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por 15 cm e 5 cm.
Se construirmos outro paralelogramo que tenha o dobro das medidas da base e altura do outro paralelogramo, qual
será a diferença entre as áreas dos mesmos?
O primeiro paralelogramo
A = 15.5 = 75 cm²
O novo paralelogramo terá 30 cm de base e 10 de altura.
Então A = 30. 10 = 300cm²
A diferença será 300 – 75 = 225 cm²
02 Na figura abaixo PS mede 33 cm, PQ mede 5 cm, a área do triângulo 1 mede 25 cm² e a área do triângulo 3
mede 7,5 cm². Calcule a área do paralelogramo 4.
O triângulo 1 temos A = 25c m² e altura = 5cm
Solução:
Solução:
No triângulo 1 temos A = 25 cm² e altura = 5 cm

MATEMÁTICA
30
MATEMÁTICA
133
Como área do triângulo é
2
base altura#
Temos:
2
5
25
5 50
10
b
b
b cm
$
$
=
=
=
No triângulo 3 temos A = 7,5 cm2 e altura = 5 cm
Então,
2
5
7,5
5 15
3
b
b
b cm
$
$
=
=
=
Como PS = 33 cm, a base do paralelogramo 4 será:
33 – 3 – 10 =2 0 cm
Área do paralelogramo
A = b . a = 20 . 5 = 100 cm2
03 No plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos A = (-3, -2), B = (6, -2), C = (10, 3) e D =
(1, 3). Determinar a área do paralelogramo ABCD.
Seja AB a base do paralelogramo e h sua altura, então, AB = 6 - (-3) = 9
h = 3 - (-2) = 5
A Área do Paralelogramo é a base vezes a altura, então,
A = 9 . 5 = 45 unidades de área.
No triângulo 3 temos A = 7,5 cm² e altura = 5 cm
33 – 3 – 10 = 20 cm

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
134
DESAFIO
(UERJ- 2010) Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos PA e CQ em
três partes, como mostra a figura.
Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno
e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S.
Determine o maior valor, em m2
, que S pode assumir.
y será a base e x a altura do paralelogramo.
Através da figura vamos montar um sistema para encontra o valor de x e y.
4 2 800
2 400
400 2
400 2 400 2
x y
x y
y x
S xy x x x xPAQC
2
+ =
+ =
= -
= = - = -^ h
Logo, S máxima é o ponto máximo da parábola, que é o y do vértice
4 4
4
8
160000
20.000
a a
b ac
m
2
2
--
=
-
=
-
-
=D ^ h
Solução:

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
135
AULA 37
Área de polígonos: trapézio
Objetivo geral
Conceitos básicos
paralelos, chamados de base maior e base menor.
Para calcular sua área temos que somar as duas bases,
dividir por dois e multiplicar o resultado pela altura.
Exemplos:
2
A
Base menor Base maior Altura=
+ $^ h
2
A
B b h=
+ $^ h
2
50 20 30
2
70 30
1050
A
A
A m2
=
+
=
=
$
$
^ h
O que devo aprender
nesta aula
paralelepípedo.
AulA 3
paralelepípedo.

MATEMÁTICA
33
MATEMÁTICA
136
Atividades
01 No banheiro do colégio BOA NOTA será colocado um espelho com a forma e dimensões da figura abaixo. Precisa
calcular a área do espelho para saber quanto ele custará. Então, qual é a área deste espelho?
Base menor = 2,8 dm
Base maior = 1,4 + 1,4 + 2,8 = 5,6 dm
Altura = 2,8 dm
2
2,8 5,6 2,8
2
8,4 2,8
11,76
A
A
A dm2
$
$
=
+
=
=
^ h
02 A piscina de um clube em caldas novas tem um formato de um trapézio. A professora Ana levou seus alunos
para um passeio neste clube e chegando lá pediu a eles que calculassem a área desta piscina. A administração do clube
informou a eles as medidas necessárias. Observe o desenho a seguir e calcule sua área.
ne a área deste espelho.
Solução:
No banheiro do colégio BOA NOTA será colocado um espelho com a forma e dimensões da figura abaixo. Determi-
clube e chegando lá pediu a eles que calculassem a área desta piscina. A administração do clube informou a eles as
dimensões da piscina. Observe o desenho a seguir e calcule sua área.
A piscina de um clube tem o formato de um trapézio. A professora Ana levou seus alunos para um passeio neste

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
137
2
16 6 8
88A m2$
=
+
=
^ h
03 Com o excesso de chuvas na estrada entre Goiânia e Nerópolis surgiu um buraco que precisa ser pavimentado.
A área deste buraco é igual a 384 cm2
. Para chegar a este cálculo foi necessário saber as dimensões do buraco. Observe
o desenho abaixo e calcule a base maior, a base menor e a altura.
2
2 2
2
3 2
3A
x x x
A
x x
x2
"
$ $=
+
= =
^ h
Então:
3 384
128
8 2
x
x
x cm
2
2
=
=
=
8 2
2 8 2 16 2
16 2
Base menor cm
Base maior cm cm
Altura cm
$
=
= =
=
DESAFIO
A área cinza do gráfico a seguir, representa a distância percorrida por uma pessoa em uma pista de corrida.
Qual foi a distância que essa pessoa percorreu, no intervalo entre 0 e 10 segundos?
Base menor = 2; Base maior = 4; Altura = 10.
2
4 2 10
2
60
30A m
$
=
+
= =
^ h
Solução:
384 cm².
Determine a área especificada na região cinza delimitada no gráfico a seguir.
Observe o trapézio a seguir e determine as dimensões de suas bases (menor e maior) sabendo que sua área é de

MATEMÁTICA
3
AulA 3
Áreas das superfícies do cubo, cilindro e
paralelepípedo
MATEMÁTICA
142
AULA 39
Área de superfície de figuras não
planas: cubo, cilindro e paralelepípedo
Objetivo geral
Reconhecer o cubo, o cilindro e o paralelepípedo
respectivas áreas, podendo essas encontrarem-se em
situações contextualizadas.
Conceitos básicos
não planas ou espaciais chamadas de poliedros e
corpos redondos (cilindros). Estes possuem três
dimensões: altura, largura e comprimento.
O Cubo
Para calcularmos sua área, basta calcular a área de um dos quadrados que compõem sua
Acubo = 6 . Áquadrado = 6.a²
Por exemplo, se um cubo tem aresta a = 3cm, logo A = 6. 3² = 54 cm²
O que devo aprender
nesta aula
paralelepípedo.
Objetivo geral
Reconhecer o cubo, o cilindro e o paralelepípedo entre as
figuras geométricas não planas e calcular suas respectivas
áreas, podendo essas encontrarem-se em situações
contextualizadas.
Conceitos básicos
Neste aula veremos como obter a área da superfície do
cubo, do paralelepípedo e do cilindro.
Para calcular a área da superfície do cubo vamos planificá-
lo:
À esquerda temos a imagem do cubo. Ele é formado por seis quadrados iguais. À direita temo sua
planificação.
Para calcularmos sua área, basta calcular a área de um dos quadrados que compõem sua planificação e
depois multiplicá-la por seis. Assim,
Acubo = 6 · Aquadrado = 6 · a²
Por exemplo, se um cubo tem aresta a = 3cm teremos que sua área será, A = 6 · 3² = 54 cm²
a
a
a
a
a
paralelepípedo.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
143
O Paralelepípedo
todos os retângulos são iguais. Isto faz com que encontremos formas diferentes de paralelepípedos.
A = b . h. Para calcular a área da superfície de um paralelepípedo, temos
que calcular as áreas de todos os seis retângulos que o compõem e depois adicionar os resultados.
Exemplo:
Dois retângulos de A
E dois retângulos de A = 7.5 = 35 cm²
Sendo assim, a área do paralelepípedo será 2 .
O cilindro
Para calcular a área da superfície do cilindro temos que calcular a área dos dois círculos e da
O Paralelepípedo
Para entedermos o procedimento para se calcular a área da superfície de um paralelepípedo, primeiramente,
iremos planificá-lo:
À esquerda temos a imagem de um paralelepípedo, e a direita temos sua planificação que deixa claro a
composição de 6 retângulos. Observe que nem todos os retângulos são iguais. Isto faz com que
encontremos formas diferentes de paralelepípedos.
A área do retângulo é A = b · h. Para calcular a área da superfície de um paralelepípedo, temos que
calcular as áreas de todos os seis retângulos que o compõem e depois adicionar os resultados.
Exemplo:
O cilindro
Se planificarmos o cilindro verificaremos que sua superfície é composta por, dois círculos iguais e um
retângulo. Observe:
Para calcular a área da superfície do cilindro devemos obter a área dos dois círculos e a área da superfície
lateral (que é um retângulo), como mostra a figura anterior.

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
144
Assim teremos:
Acilindro = 2 . Ácírculo + Álateral 2 2 2r r h r h r2
= + =$ $ $ $ $ $ $r r r +^ h
h r = 5.
2 5 10 5
10 15
150
A
A
A m2
= +
=
=
$ $
$
r
r
r
^ h
Atividades
01 A área total da superfície de um cubo é igual a 54 cm². Calcule a medida da aresta deste cubo.
A = 6.a²
54 = 6.a²
a² = 9
a = 3 cm
02 Maria tem uma caixinha de sapatos e quer decorá-la cobrindo-a com papel de presente. Esta é a caixinha de
Maria:
Quantos cm² ela vai gastar de papel para cobrir a caixinha?
Área dos retângulos = 27 . 18 = 486 cm²
27 . 9 = 243 cm²
9 . 18 = 162 cm²
A = 2 . (486 + 243 + 162) = 2 . 891 = 1 782 cm²
Maria vai gastar 1 782 cm² de papel.
03 Uma indústria fabrica latas para embalagem em formato cilíndrico cujo raio da base mede 20 cm de compri-
mento e sua altura mede 80 cm. Para fabricação dessas latas, a indústria utiliza chapas metálicas. Quantos centíme-
tros quadrados de chapa são necessários para fabricar uma lata? (use r = 3,14).
r = 20 cm
h = 80 cm
A = 2 . π . r(h + r)
Solução:
Por exemplo, se neste cilindro a altura for 10 m e o raio da base 5 m, então: h = 10 e r = 5.
Solução:
Quantos cm² de papel serão utilizados para cobrir a caixinha?
Serão utlizados 1 782 cm² de papel.
Uma indústria fabrica latas para embalagem em formato cilíndrico cujo raio da base mede 20 cm de comprimento
e sua altura mede 80 cm. Para a fabricação dessas latas, a indústria utiliza chapas metálicas. Quantos centíme-
Solução:

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
145
A = 2 . 3,14 . 20 ( 80 + 20)
A = 125,6 . 100
A = 12 560 cm²
Serão necessários 12 560 cm² de chapa metálica.
DESAFIO
Em uma caixa de vidro com tampa, foi colocado um cilindro de cartolina como mostra a figura:
A caixa tem forma de um cubo de aresta 14 cm. Encontre cada uma das suas áreas e descubra qual das
duas figuras tem a maior superfície.
A área do cubo será:
A = 6 . a² = 6 . 14² = 1 176 cm²
Como a aresta do cubo mede 14 cm o raio do cilindro será a metade, isto é, 7 cm, e a altura será 14 cm.
2
2 7 14 7
14 21 294
A r h r
A
A cm2
$ $
$ $
$
= +
= +
= =
r
r
r r
^
^
h
h
A área da superfície do cilindro é igual a 294 . 3,14 cm², que é, aproximadamente, 923,16 cm²
Logo, o cubo terá a maior superfície
Solução:
A caixa tem a forma de um cubo de aresta 14 cm. Determine a diferença entre as áreas do cubo e do cilindro.
A = 14p · 21 = 294p cm² = 294 · 3,14 = 923,16 cm²
Acubo - Acilindro = 1 176 - 923,16 = 252,84 cm²
~ ~

MATEMÁTICA
3
AulA 3
Exercícios: área de superfície de
figuras não plana (cubo, cilindro e
paralelepípedo)
Objetivo geral
Compreender e calcular a medida da área de superfície de
figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados
em avaliações externas.
MATEMÁTICA
146
AULA 40
Exercícios envolvendo a área de
superfície de figuras não planas: cubo,
cilindro e paralelepípedo, aplicados em
avaliações externas
Objetivo geral
Compreender e calcular a medida da área de
paralelepípedo, aplicados em avaliações externas.
Itens e questões
01 Observe o cubo a seguir.
A área dessa figura planificada é
(A) 8 cm2
.
(B) 24 cm2
.
(C) 64 cm2
.
(D) 512 cm2
.
Sabemos que o cubo tem 6 faces iguais, para obter a medida da área total dessa figura planificada devemos
calcular o valor da área de uma face e em seguida multiplicar esse resultado por seis. Assim temos:
Área de uma face = 8 x 8 = 64 cm2
.
Área total da figura planificada 64 x 6 = 512 cm2
.
Portanto, a área da figura planifica será 512 cm2
.
O que devo aprender
nesta aula
paralelepípedo.
(D) 384 cm².
Área total da figura planificada 64 x 6 = 384 cm².
Portanto, a área da figura planifica será 384 cm².
paralelepípedo.

0
MATEMÁTICA
147
02 A superfície total de um cilindro planificado como mostra a figura abaixo, é a reunião da superfície lateral com
os círculos das bases.
A área total da superfície desse cilindro é
(A) 28 cm2
r
(B) 24 cm2
r
(C) 20 cm2
r
(D) 8 cm2
r
Primeiramente, vamos calcular a área de um dos círculos e multiplicar o resultado por 2:
2 4A r cm2 2 2
$ $= = =r r r
Assim, a área dos dois círculos é igual a 2 4 8 cm2
$ =r r .
Em seguida, vamos calcular a área da superfície lateral (retângulo):
2 4 5 20A r h cm2
$ $ $= = =r r r
Logo, a área total da superfície desse cilindro será a soma da área dos dois círculos e do retângulo é:
8 20 28cm cm cm2 2 2
+ +r r r
Portanto, a área total da superfície desse cilindro é 28 cm2
r
03 Dado um paralelepípedo de dimensões como mostra a figura a seguir
Solução:
Observe o paralelepípedo com as dimensões a seguir
2 cm

MATEMÁTICA
A medida da área total da superfície desse paralelepípedo é
(A) 8 cm².
(B) 24 cm².
(C) 48 cm².
(D) 56 cm².
148
Primeiramente, vamos calcular a medida da área de um dos quadrados e multiplicar o resultado por 2. Como
no quadrado temos l = 2 cm, basta fazer o seguinte calculo.
A = l x l = 2 x 2 = 4 cm2
Assim, a medida da área dos dois quadrados é A = 2 x 4 = 8 cm2
.
Em seguida, vamos calcular a medida da área de um dos retângulos e multiplicar o resultado por 4. Como no
retângulo temos b = 2 cm e h = 6 cm, basta fazer o seguinte calculo.
A = b x h = 2 x 6 = 12 cm2
Assim, a medida da área dos quatro retângulos é A = 2 x 12 = 48 cm2
.
Logo, a área total da superfície desse paralelepípedo será a soma da área dos dois quadrados e dos quatro
retângulos é:
8 cm2
+ 48 cm2
= 56 cm2
Portanto, a medida da área total da superfície desse paralelepípedo é 56 cm2
.
04 Em cada sólido representado a seguir, calcule a medida de sua área total
a)
Cilindro circular reto com 6 cm de raio da base e 12 cm de altura
b)
Medidas das arestas:
2 cm, 4 cm e 6 cm MATEMÁTICA
c)
Medida da aresta:
12 cm
Sugestão de ssolução:
a) 216 cm2
r
b) 88 cm2
r
c) 864 cm2
05 A aresta de um cubo cuja a medida da área de sua superfície corresponde à 294 cm2
é igual a:
a) 6 cm
Solução: a) 216p cm² b) 88p cm² c) 864p cm²
Solução: Letra D

MATEMÁTICA
A aresta de um cubo cuja a medida da área de sua superfície corresponde à 294 cm2 é igual a:
a) 6 cm
b) 7 cm
c) 8 cm
d) 9 cm
0
Determine a área da superfície total de um paralelepípedo cujas dimensões são: 8 cm x 10 cm x 12 cm.0
Solução: Letra b
Solução: 592 cm²
AulA 3
Leitura de gráficos e tabelas
Objetivo geral
Apresentar conceitos básicos de estatística. Organizar
os dados coletados em uma pesquisa, através de tabela, para
facilitar a análise.
Conceitos básicos
Estatística: É uma ciência que atua na coleta de dados
(planejamento e obtenção dos dados), na sua organização,
descrição (resumo e apresentação dos dados) e análise dos
dados (extrair conclusões para tomada de decisões).
População: Conjunto de todas as pessoas (objetos) que
têm em comum a característica que está sendo analisada.
Exemplo: Alunos da turma A
Amostra: É uma parte (parcela ou subconjunto) da população. Exemplo: alunos do sexo masculino da
turma A
Variável (Estatística): É o item a ser avaliado na pesquisa.
A variável pode ser definida como qualitativa ou quantitativa.
Variável quantitativa: quando seus resultados forem numéricos, tais como: peso, altura, idade, salário,
etc.
Variável qualitativa: quando forem resultados de classificações em categorias que não são números,
tais como, cor, sexo, estado civil, religião, times de futebol, etc.
u Construir tabelas e gráficos de
frequências de dados estatísticos;
u Elaborar, oralmente ou por escrito,
conclusões com base em leitura,
interpretação e análise de informações
apresentadas em tabelas e gráficos.
u Traduzir informações contidas em
tabelas e gráficos diversos.

MATEMÁTICA
3
Tabela
É a forma de apresentar através de colunas e linhas, um conjunto de dados.
A tabela deve ser construída de forma simples e conter informações claras e suficientes para o entendimento
do leitor. As informações são disponibilizadas no título (o quê,onde e quando se deu a pesquisa), na fonte (indica
onde foram coletados os dados) e nas colunas (variáveis e frequências).
Construção de tabela: A primeira coluna da tabela apresenta a variável e a segunda coluna consiste nas
frequências absolutas, ou seja, o número absoluto de ocorrências encontradas. Outras colunas serão inseridas
posteriormente, com a inclusão de novos conteúdos.
Elementos essenciais em uma tabela:
1. Título (aparece no topo da tabela) – É o local da tabela onde aparece o assunto (variável) que está
sendo apresentado, quando e onde ocorreu a pesquisa.
2. Corpo – São as colunas e as linhas da tabela onde aparecem informações sobre o assunto (variável) em
estudo.
3. Fonte – Aparece no rodapé da tabela, é o local onde aparece o órgão ou instituição responsável pela
informação.
Exemplo: Colégio Estadual “Coronel Adamastor”, pesquisa realizada para obter a estatura
aproximada, em cm, dos alunos do turno noturno do ensino médio, no ano de 2011.
Para cada estatura contamos o número de ocorrências. Esse número obtido é chamado de frequência absoluta
(fa) que será representado na tabela abaixo:
153 (4) 155 (2) 156 (4) 159 (3) 161 (7) 163 (10) 164 (4) 165 (3) 166 (3)
172 (4) 175 (9) 177 (2) 178 (3) 179 (1) 180 (1)
MATEMÁTICA
3.Fonte–
pela informação.
frequência absoluta (fa) que será representado na tabela abaixo:
Tabela 1
Estatura dos alunos do Ensino Médio/Noturno do Colégio Estadual
Coronel Adamastor – 2011
Estatura (cm) Frequência absoluta (fa)
153 4
155 2
156 4
159 3
161 7
163 10
Título
Cabeçalho e colunas
indicadoras

MATEMÁTICA
151
frequência absoluta (fa) que será representado na tabela abaixo:
Tabela 1
Estatura dos alunos do Ensino Médio/Noturno do Colégio Estadual
Coronel Adamastor – 2011
Estatura (cm) Frequência absoluta (fa)
153 4
155 2
156 4
159 3
161 7
163 10
164 4
165 3
166 3
172 4
175 9
177 2
178 3
179 1
180 1
Total 60
Fonte: Secretaria do Colégio Estadual Coronel Adamastor
Título
Cabeçalho e colunas
indicadoras
Corpo da tabela
FonteMATEMÁTICA
Atividades
01 As salas de cinema de um shopping realizou em fevereiro de 2012, uma pesquisa com 30 pessoas, para saber
as preferências de seus frequentadores e obteve os seguintes resultados:
Modalidade de Pipoca durante Pipoca e refrigerante
dublado legendado
Não Não
Ação Não Não
Não Não
Suspense Não Não
Não Não
Não Não
Terror Não Não
Não Não
Suspense Não Não
Ação Não Não
Suspense Não Não
Não Não
Ação Não Não
Não Não
Suspense Não Não
O cinema Filme Bom realizou uma pesquisa com 30 pessoas, para saber suas preferências e obteve os seguintes
resultados:

MATEMÁTICA
152
dublado legendado
Não Não
Ação Não Não
Não Não
Suspense Não Não
Não Não
Não Não
Terror Não Não
Não Não
Suspense Não Não
Ação Não Não
Suspense Não Não
Não Não
Ação Não Não
Não Não
Suspense Não Não
Não Não
Não Não
Não Não
Ação Não Não
Não Não
Não Não
Ação Não Não
Não Não
Terror Não Não
Não Não
Suspense Não Não
Ação Não Não
Não Não
Suspense Não Não
Terror Não Não
A. Construa uma tabela de distribuição de frequência que representa a preferência das pessoas pesquisadas
queassistemalgumamodalidadedefilme, esse deve ser legendado e a pessoapodeestarcomendopipoca.
B. Construa uma tabela de distribuição de frequência que representa o gosto das pessoas por modalidade de
filme e assistem filme comendo pipoca e tomando refrigerante.
A. Construa uma tabela de distribuição de frequência que represente a preferência das pessoas pesquisadas que assistem
alguma modalidade de filme, legendado onde a pessoa deve estar comendo pipoca sem refrigerante.
B. Construa uma tabela de distribuição de frequência que represente o gosto das pessoas que assistem a filmes comendo
pipoca e tomando refrigerante.
MATEMÁTICA
A. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (três), levan-
do em consideração a modalidade do filme, assistir filme legendado e comendo pipoca.
Tabela II – Salas de cinema de um shopping, tipos de filme legendados que as pessoas prefe-
rem, com a possibilidade de comer pipocas durante a seção – fevereiro de 2012.
fa
3
2
Ação 2
1
Terror 1
Suspense 1
Total 10
Fonte: Gerência de markting das salas do cinema
B. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (duas), levan-
do em consideração a modalidade do filme, assistir filme comendo pipoca e tomando refrigerante.
Tabela III – Anápolis, salas de cinema de um shopping, tipos de filme que as pessoas preferem,
com a possibilidade de comer pipocas e tomar refrigerante durante a seção – fevereiro de 2012.
Solução:
A. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (três), levando em
consideração a modalidade do filme, assistir filme legendado e comendo pipoca.
Tabela II – Tipos de filme legendados que as pessoas preferem, com a possibilidade de comer pipocas sem refrigerante
durante a seção.
Fonte: Gerência Filme Bom (fictício)

MATEMÁTICA
153
2
Ação 2
1
Terror 1
Suspense 1
Total 10
B. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (duas), levan-
do em consideração a modalidade do filme, assistir filme comendo pipoca e tomando refrigerante.
Tabela III – Anápolis, salas de cinema de um shopping, tipos de filme que as pessoas preferem,
com a possibilidade de comer pipocas e tomar refrigerante durante a seção – fevereiro de 2012.
fa
Ação 2
Suspense 4
1
3
2
Terror 2
Total 14
02 Após a aplicação do teste de matemática (valor de zero a cem pontos) os alunos da turma do professor Aroldo
quiseram saber as notas de todos os colegas da sala, o professor sem falar o nome dos alunos foi ditando as notas
conforme apresentadas abaixo:
10 20 30 10 50 60 70 30 80 90 10 30
80 60 70 20 10 80 90 100 20 30 10 50
80 90 100 00 80 90 50 50 30 10 100 50
30 60 70 20 20 30 10 50 90 30 10 20
Organize as notas em ordem crescente ou decrescente (rol):
B. Para resolver a questão o aluno deverá fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (duas), levando
em consideração a opção por assistir a filmes comendo pipoca e tomando refrigerante.
Tabela III –Tipos de filmes que as pessoas preferem, com a possibilidade de comer pipoca e tomar refrigerante
durante a seção.
Fonte: Gerência Filme Bom (fictício)
Após a aplicação do teste de matemática (valor de zero a cem pontos) os alunos da turma do professor Aroldo
quiseram saber suas notas. O professor sem falar o nome dos alunos ditou-as conforme apresentado abaixo:
MATEMÁTICA
Paraasoluçãodesseexercícioosalunosfazemaopçãodecolocarasnotasemordemcrescenteoudecrescente.
00 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20 20
20 20 20 30 30 30 30 30 30 30 30 50
50 50 50 50 50 60 60 60 70 70 70 80
80 80 80 80 90 90 90 90 90 100 100 100
03 Aproveitando os dados do exercício anterior, represente as notas obtidas em uma tabela e em seguida responda:
O número de alunos que obtiveram notas inferiores a 50 pontos;
O número de alunos que foram oprovadas no teste sabendo que a nota mínima é 60 pontos.
Tabela III – Colégio Estadual Anísio Teixeira, notas dos alunos
de matemática da 3ª série do ensino médio, dezembro de 2011.
Notas fa
00 1
10 8
20 6
30 8
50 6
Solução:
Aproveitando os dados do exercício anterior, represente as notas obtidas em uma tabela e em seguida responda:
• O número de alunos que obtiveram notas inferiores a 50 pontos;
• O número de alunos que foram aprovados no teste sabendo que a nota mínima deve ser de 60 pontos.

MATEMÁTICA
154
50 50 50 50 50 60 60 60 70 70 70 80
80 80 80 80 90 90 90 90 90 100 100 100
03 Aproveitando os dados do exercício anterior, represente as notas obtidas em uma tabela e em seguida responda:
O número de alunos que obtiveram notas inferiores a 50 pontos;
O número de alunos que foram oprovadas no teste sabendo que a nota mínima é 60 pontos.
Tabela III – Colégio Estadual Anísio Teixeira, notas dos alunos
de matemática da 3ª série do ensino médio, dezembro de 2011.
Notas fa
00 1
10 8
20 6
30 8
50 6
60 3
70 3
80 5
90 5
100 3
Total 48
23 alunos obtiveram notas inferiores a 50 pontos.
19 alunos foram aprovados no teste.
DESAFIO
No inicio do ano de 2012, a bibliotecária da Escola Municipal“José Antônio da Fonseca” precisava identificar
os 200 (duzentos) livros de matemática, os 150 (cento e cinquenta) livros de física, os 280 (duzentos e
oitenta) livros de língua portuguesa, que estavam nas estantes da biblioteca. Deve organizar os livros de
forma a ficarem juntos em cada estante, os livros separados por disciplina e por editora. A bibliotecária
precisa saber também o número de livros de cada editora. A professora de Matemática ficou encarregada de
organizar oslivros, para isso ela contou com a participação de seus alunos que foram dividos em trêsgrupos.
Os dados foram organizados em uma tabela de distribuição de frequência.
Solução:
Tabela III – Notas dos alunos de matemática
DESAFIO
Em umapesquisarealizadacom osestudantesdo9ºano,procurou-sesaberqualotipodepizza
preferida por eles.
Vejamos como Rui registrou os dados desta pesquisa:
Tipos de pizza:
C: calabresa
B: bacon
Q: quatro queijos
F: frango
D: outros tipos de pizza
I) Construa uma tabela e represente a frequência absoluta da pesquisa.
II) Qual o total de estudantes pesquisados.
III) Qual o tipo pizza preferida pelos estudantes.
IV) Qual o percentual, aproximado, de pesquisados que preferem a pizza de bacon?
Solução:
I) II) 42 estudantes
III) bacon
IV) 28,57%
Calabresa 9
Bacon 12
Quatro queijo 5
Frango 9
Outros tipos 7
Q D B C C B
F F Q C D B
B Q B C B B
C D D F C B
F F F F F B
D B C B C D
B Q Q D F C

MATEMÁTICA
AulA 0
Construir gráficos de frequência de
dados estatísticos – coluna
Objetivo geral
Apresentar dados de uma pesquisa de forma simples,
através do gráfico em colunas, despertando no aluno o
interesse pela leitura e interpretação de dados.
Conceito básico
Gráfico – Representação dos dados da tabela de forma
simples e clara.
Os gráficos de colunas, barras, linhas, dentre outros são
construídos utilizando o sistema de coordenadas
cartesianas.
Todo gráfico deve apresentar o título, a fonte e demais
informações que sejam necessárias ao entendimento dos
dados.
MATEMÁTICA
Gráﬁco em colunas
para ilustrar comparações entre itens.
Observação:
Largura:
devem ser colocados entre cada coluna, devem possuir dimensões padronizadas.
2. Altura:
(fa).
Exemplo:
Vamos considerar a tabela construída nas atividades da aula anterior
Tabela I
fa
3
2
Ação 2
1
Terror 1
Suspense 1
Total 10
Gráfico em colunas
Gráficos de colunas são úteis para mostrar as alterações de dados em um período de tempo ou para
ilustrar comparações entre itens.
Observação:
1. Largura: definida no eixo horizontal (eixo x). As bases das colunas, bem como os espaços que devem
ser colocados entre cada coluna, devem possuir dimensões padronizadas.
2. Altura: definida no eixo vertical (eixo y), a altura deve corresponder à frequência absoluta (fa).
Exemplo:
Vamos considerar a tabela construída nas atividades da aula anterior
Tabela I - Salas de cinema de um shopping, tipos de filme legendado que as pessoas preferem, com a
possibilidade de comer pipocas durante a seção.

MATEMÁTICA
162
3
2
Ação 2
1
Terror 1
Suspense 1
Total 10
MATEMÁTICA
Atividades
01 Às pessoas presentes a um evento automobilismo foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro
preferida? Na tabela a seguir está representada a preferência dos entrevistados.
TabelaII – Preferência por marcas de carro das pessoas presentes em even-
to automobilístico.
Marcas fa
Ford 8
Fiat 6
GM 12
Nissan 2
Peugeot 3
Volks 10
Total 48
Fonte: Organizadores do evento.
Os organizadores do evento, com o objetivo de divulgar o resultado nas mídias, solicitou que esses dados
fossem representados em gráfico de colunas. Então, essa é a sua tarefa, represente os dados da tabela em um
gráfico de colunas.
MATEMÁTICA
Atividades
Marcas fa
Ford 8
Fiat 6
GM 12
Nissan 2
Peugeot 3
Volks 10
Total 48
Em uma pesquisa foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro preferida? Na tabela a seguir estão
representadas a preferências dos entrevistados.
TABELA II - Preferência por marcas de carro
Represente os dados desta pesquisa em um gráfico de colunas.
Solução:
MATEMÁTICA
Atividades
Marcas fa
Ford 8
Fiat 6
GM 12
Nissan 2
Peugeot 3
Volks 10
Total 48
Gráfico 01 - Sala de cinema do shopping, preferência em assistir filme legendado
comendo pipoca.

0
O professor de matemática solicitou uma pesquisa sobre estudantes de outros estados braisleiros que estudam na
escola. Que estudam na escola. Veja o resultado:
Maranhão
Mato Grosso
Minas Gerais
Pará
São Paulo
Tocantins
Meninas
2
3
6
1
-
3
Meninos
-
3
8
4
2
2
0
Construa o gráfico de colunas, com dupla entrada, que represente o resultado da pesquisa.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
MA MT MG PA SP GO
Solução:
MATEMÁTICA
DESAFIO
Os professores de Educação Física, Biologia, Química e Matemática organizaram um momento de estudo/
integração entre os alunos do 9° ano do ensino fundamental de um colégio. Um dos aspectos observados
foi o lanche oferecido pela escola.
TabelaIII – Preferência pelos lanches oferecidos aos alunos do
9° ano do ensino fundamental de um colégio
Cardápio fa
Galinhada 68
Bolacha com suco 22
Farrofa 35
Arroz doce 12
Feijão tropeiro 58
Pão com carne moída 45
Cachorro quente 50
Total 290
Após pesquisa de opinião, os professores observaram que a preferência dos alunos foi pela galinhada. Aos
professores de Educação Fisica, Biologia e Quimica cabe a tarefa de juntamente com os alunos, realizarem
um estudo sobre os benefícios de cada alimento e os cuidados que devem ser adotados para uma ali-
mentação balanceada. Ao professor de matématica em parceria com os alunos fica a responsabilidade de
representar o gráfico em colunas que retrate a tabela acima. Ajude o professor de matemática construindo
o gráfico.

165
Bolacha com suco 22
Farrofa 35
Arroz doce 12
Feijão tropeiro 58
Pão com carne moída 45
Cachorro quente 50
Total 290
Após pesquisa de opinião, os professores observaram que a preferência dos alunos foi pela galinhada. Aos
professores de Educação Fisica, Biologia e Quimica cabe a tarefa de juntamente com os alunos, realizarem
um estudo sobre os benefícios de cada alimento e os cuidados que devem ser adotados para uma ali-
mentação balanceada. Ao professor de matématica em parceria com os alunos fica a responsabilidade de
representar o gráfico em colunas que retrate a tabela acima. Ajude o professor de matemática construindo
o gráfico.
AulA
Construir gráficos de frequência de
dados estatísticos – barra
Objetivo geral
Construir e interpretar tabelas e gráficos em barras.
Conceito básico
A representação gráfica xonstitui uma ferramenta
importante na síntese de dados numéricos. A disposição
destas informações em gráficos facilita a visualização e auxilia
a leitura, interpretação, compreensão e a análise do que
desejamos comunicar. Existem vários tipos de gráficos, neste
momento estudaremos o gráfico em barras.

MATEMÁTICA
Gráfico em barras
O gráfico em barras é muito usado para comparar quantidades. Anteriormente estudamos o gráfico
em colunas apresentado na vertica, agora as barras serão apresentadas na horizontal.
Dicas para interpretar o gráfico em barras:
• O eixo horizontal apresenta quais valores ou grandezas (porcentagem, valores numéricos,
temperaturas, peso etc.) serão expressas.
• O eixo vertical apresenta qual categoria (tempo, países, produção, sexo, períodos etc.) deverá ser
apresentada.
Exemplo
A tabela e o gráfico a seguir foram construídos a partir de uma pesquisa na escola BOA NOTA, sobre
as frutas preferidas dos estudantes.
166
Conceito básico
ter uma visualização fácil ele auxilia a compreensão
das informações que desejamos comunicar. Existem
Gráﬁco em barras
quantidades. As barras podem aparecer na vertical ou
temperaturas, peso etc.) serão expressas.
O eixo horizontal apresenta qual categoria (tempo, países, produção, sexo, períodos etc.)
deverá ser apresentada.
Exemplo
sobre as frutas preferidas dos estudantes.
Frutas Preferidas Quantidade de Alunos
Banana
Pera
Uvas 25
Maçãs
O que devo aprender
nesta aula
Construir tabelas e gráficos de
Elaborar, oralmente ou por
escrito, conclusões com base em
leitura, interpretação e análise
de informações apresentadas em
tabelas e gráficos.
Traduzir informações contidas em
Bananas
Peras
Uvas
Maçãs
5 10 15 20 25
Frutas preferidas

MATEMÁTICA
3
167
Atividades
01 O Brasil é formado por 5 (cinco) regiões, 26 (vinte e seis) Estados, o Distrito Federal e por 5564 (cinco mil, qui-
nhentos e sessenta e quatro) municípios.
Na tabela abaixo apresentamos os 10 (dez) Estados com maior número de municípios.
Tabela 02 - Estados brasileiros com maior número de municípios - 2012
Estados Municípios
Bahia 417
Goiás 246
Maranhão 217
Minas Gerais 853
Paraíba 223
Paraná 399
Piauí 224
Rio Grande do Sul 496
Santa Catarina 293
São Paulo 645
Fonte: Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 06 de dez. 2012.
Dados atualizados até 29.11.2012
Com os dados apresentados na tabela acima, construa o gráfico em barras:MATEMÁTICA
ou
Solução:

169
Analise o gráfico e responda:
a) Os Estados brasileiros citados no gráfico, representam mais de 60% (sessenta por cento) da população brasi-
leira? Por que?
b) Coloque os Estados representados no gráfico em ordem crescente de acordo com a população em cada
Estado.
c) O Estado de São Paulo representa mais que1/4 da população brasileira?
d) Sendo a população brasileira composta de 190.732.694 habitantes, então Goiás possui mais de 7.000.000 de
habitantes?
a) Sim, pois: 21,6 + 3,3 + 5,6 + 1,6 + 5,5 + 2,0 + 10,3 + 3,4 + 3,1 + 7,3 = 63,7
Justificando as demais alternativas:
b) A sequência correta dos Estados em ordem crescente segundo a população é Piauí, Paraíba, Goiás, Santa
Catarina, Maranhão, Paraná, Rio Grande do Sul, Bahia, Minas Gerais e São Paulo.
c) São Paulo representa menos que 1/4 ou 25% da população brasileira;
d) Goiás possui aproximadamente 6.000.000 de habitantes = 190.732.694 x 3,1%.
03 Densidade demográfica ou densidade populacional é o quociente entre a população total de uma região e a
sua superfície. Geralmente é expressa em quilômetros quadrados. O Brasil tem uma densidade populacional de 22,4
hab./km2
.
Solução:
Gráfico II - População dos Estados brasileiros com maior número de municípios - 2010

170
Observe o gráfico:
Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 08 de dez. 2012.
Com os dados apresentados acima, podemos afirmar que:
a) A densidade populacional na Bahia indica que o Estado possui o maior número de habitantes por quilometro
quadrado;
b) São Paulo é o Estado que possui o menor número de habitantes por quilometro quadrado;
c) Piauí é dos Estados apresentados no gráfico, o 9° em maior número de habitantes por quilometro quadrado;
d) Goiás possui maior número de habitantes por quilometro quadrado em relação ao Estado de Rio Grande do
Sul.
Alternativa correta = item“c”
Justificando as demais alternativas:
a) Bahia possui menor número de habitantes por quilometro quadrado;
b) São Paulo possui maior número de habitantes por quilometro quadrado;
d) Goiás possui menor número de habitantes por quilometro quadrado em relação ao Estado de Rio Grande
do Sul.
Solução:

171
DESAFIO
Observe os gráficos III (atividade 02) e IV (atividade 03)
Analise criticamente os dois itens a seguir:
a)São Paulo representa um Estado brasileiro com maior número de habitantes e com maior
densidade demográfica.
b) Goiás possui uma população que representa 3,1% (três vírgula um por cento) da população
brasileira e uma densidade demográfica menor que 10 (dez) habitantes por quilometro quadrado.
a)Alternativa correta. São Paulo representa o Estado brasileiro com maior número de habitantes
(21,6%, da população brasileira) e possui uma densidade demográfica de 166,24 habitantes por
quilometro quadrado, que é a maior dos Estados brasileiros.
b) Alternativa correta no item população, onde Goiás representa 3,1% (três vírgula um por cen-
to) da população brasileira. E errada no item densidade demográfica, pois Goiás possui densi-
dade demográfica de 17,65, maior que 10 (dez) habitantes por quilometro quadrado.
Solução:

MATEMÁTICA
AulA
MATEMÁTICA
172
AULA 45
Construção de gráficos de frequência
de dados estatísticos – setores
Objetivo geral
Conceito básico
circulares. Por exemplo:
valores
e a coluna dos graus.
Exemplo
Tabela 01
Idade fa %
38
Total 45 100 360
O que devo aprender
nesta aula
Idade dos alunos do 3° ano do ensino médio de uma Escola.
Idade fa % Grau
15 15 25 90°
16 30 50 180°
17 15 25 90°
Total 60 100 360°

MATEMÁTICA
Solução
Etapas:
• Para calcular os graus de cada setor, devemos primeiramente calcular a porcentagem de cada ocorrência (calculada dividindo
cada fa pelo total de ocorrências). Em seguida devemos calcular a nova coluna (graus), calculada por regra de três, conforme
abaixo:
360º ─ 100%
x ─ 25º
x = 90°
• Desenhe um círculo de tamanho adequado e represente o gráfico.
(interessante o aluno ter compasso e transferidor)
Gráfico 01 - Idade de alunos do 3° ano
do ensino médio de uma escola
25% 25%
15 anos 17 anos
50%
16 anos
MATEMÁTICA
173
Etapas:
Para calcular os graus de cada setor, devemos primeiro calcular a porcentagem de cada
ocorrência (calculada dividindo cada fa pelo total de ocorrências). Em seguida devemos
calcular a nova coluna (graus), calculada por regra de três, conforme abaixo:
(interessante o aluno ter compasso e transferidor)
Atividades
01 Represente os dados abaixo em gráfico de setores:
Tabela 04 - Estados brasileiros, habitantes por km2
(dados arredondados) – 2012.
Estados fa
Bahia 3
Goiás 18
Maranhão 20
Minas Gerais 33
Paraíba 67
Paraná 52
Piauí 12
Rio Grande do Sul 40
Santa Catarina 65
São Paulo 166
Dados atualizados até 29.11.2012
Tabela 02 - Estados brasileiros, habitantes por km² (dados arredondados) - 2012

MATEMÁTICA
Construa o gráfico de setores, referente a tabela a seguir que representa o resultado da pesquisa feita com os
moradores de certa cidade sobre sua preferências em relação à lazer:
Assistir a filmes 25
Assistir a novelas 38
Ir ao clube 40
Ir a praça 12
Jogar damas 11
Jogar futebol 40
Ler livros 18
Outros 16
0
0,63% 3,78%
4,20%
6,93%
14,07%
10,92%
2,52%
8,40%
13,65%
34,87%
Bahia
Goiás
Maranhão
Minas Gerais
Paraíba
Paraná
Piauí
Rio Grande do Sul
Santa Catarina
São Paulo
Construa o gráfico de setores, referente ao saldo de gols referente ao campeonato de futebol da escola de Edson:
TIME Quantidade de Gols
9º ano A 9
9º ano B 15
1ª série A 12
1ª série B 16
2ª série A 14
2ª série B 8
3ª série A 13
3ª série B 15
03
Solução: Gráfico 02 - Estados brasileiros habitantes por km² (dados arredondados) - 2012

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
176
DESAFIO
Ainda sobre o campeonato brasileiro série“A”, o gráfico e a tabela a seguir apresentam os números de Gols
feitos com o pé direito, pé esquerdo e cabeça.
Considerando os primeiros colocados em cada item: - São Paulo, com 39 (trinta e nove) gols de pé direito;
- Atlético-MG, com 18 (dezoito) gols de cabeça e Grêmio, 19(dezenove) gols com pé esquerdo, complete
a tabela abaixo.
Time Porcentagem na categoria
São Paulo
Atlético-MG
Grêmio
Basta calcular as porcentagens a que pertence cada time conforme abaixo:
São Paulo – categoria gols com pé direito
492 gols – 100% x = 7,9%
39 gols – x
Atlético – MG – categoria gols de cabeça
210 gols – 100% x = 8,6%
18 gols – x
Grêmio – categoria gols com pé esquerdo
229 gols – 100% x = 8,3%
19 gols – x
Time Porcentagem na categoria
São Paulo 7,9%
Atlético-MG 8,6%
Grêmio 8,3%
Forma fa
Cabeça 210
Pé direito 492
Pé esquerdo 229
Total 931
Sobre o campeonato brasileiro série“A”, o gráfico e a tabela a seguir apresentam os números de Gols feitos
com o pé direito, pé esquerdo e cabeça.
Solução:
Basta calcular as porcentagens referente cada time conforme abaixo:

177
AULA 46
Conclusões com base na leitura
de gráficos
Objetivo geral
Conceito básico – Uma conversa.
A matemática deve proporcionar e estimular
o estudante a entrar em contato com o mundo das
As atividades envolvendo tabulação de dados e
-
das pelo professor.
Atividades
01 A maioria dos brasileiros ainda não tem acesso à rede de esgoto. A maior parte dos domicílios brasileiros não
tinha, em 2008, acesso à rede geral de esgoto e, nesse quesito, havia uma enorme discrepância entre as regiões bra-
sileiras. Essas conclusões foram apontadas na última Pesquisa Nacional de Saneamento Básico, divulgada pelo IBGE.
O gráfico mostra o percentual de municípios por Estado que fazem tratamento do esgoto.
Fonte: Disponível em: <http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ultimas-noticias/2010/08/20/maioria-dos-brasileiros-ainda-nao-tem-
acesso-a-rede-de-esgoto-diz-ibge.htm>. Acesso em: 09 de dez. 2012.
O que devo aprender
nesta aula
AulA 3
A maioria dos brasileiros ainda não tem acesso à rede de esgoto. A maior parte dos domicílios brasileiros não
tinham, em 2008, acesso à rede geral de esgoto e, nesse quesito, havia uma enorme discrepância entre as regiões brasileiras.
Essas conclusões foram apontadas na última Pesquisa Nacional de Saneamento Básico, divulgada pelo IBGE.
O gráfico mostra o percentual de municípios por Estado que fazem o tratamento do esgoto.
0

MATEMÁTICA
178
De acordo com o gráfico analise as informações:
a) Os Estados de Goiás, Acre e Amapá, juntos totalizam o mesmo número percentual no tratamento de esgoto
em relação ao Estado de Ceará.
b) O Estado de Pernambuco oferece tratamento de esgoto 3(três) vezes a mais que o Estado de Sergipe.
c) De São Paulo para a direita, as cidades aparecem em ordem decrescente dos Estados que oferecem trata-
mento de esgoto.
d) Da direita para esquerda os Estados apresentam uma queda na oferta do tratamento de esgoto.
Alternativa correta = item“c”
a) Goiás, Acre e Amapá = 55,1 e Ceará = 48,9
b) Pernambuco = 27,6 Sergipe = 9,3. Portanto. Três vezes = 27,9.
d) Da direita para esquerda há um crescimento na oferta de tratamento de esgoto.
02 Votos obtidos na eleição 2010 (1° turno), para Presidente da República no município de Goiânia.
Fonte: Disponível em: <http://www.tse.jus.br/eleicoes/eleicoes-anteriores/eleicoes-2010/estatisticas>. Acesso em: 10 de dez. 2012.
Sobre o resultado da eleição, de acordo com os dados oferecidos no gráfico, é correto afirmar que
a) A candidata Dilma Rousseff obteve o maior número de votos.
b) Considerando que 703.159 (setecentos e três mil, cento e cinquenta e nove) eleitores votaram em um dos
candidatos, Marina da Silva obteve mais de um quarto dos votos.
c) Os votos de Marina da Silva, José Serra e Dilma Rousseff totalizam mais de setecentos mil votos.
d) José Serra ficou classificado em primeiro lugar no resultado das eleições.
De acordo com o gráfico analise cada uma das informações e identifique a alternativa correta.
a) Os Estados de Goiás, Acre e Amapá, juntos totalizam o mesmo número percentual no tratamento de esgoto em
relação ao Estado de Ceará.
b) O Estado de Pernambuco oferece tratamento de esgoto 3(três) vezes a mais que o Estado de Sergipe.
c) De São Paulo para a direita, os Estados que oferecem tratamento de esgoto estão em ordem crescente.
d) Da direita para esquerda os Estados apresentam uma queda na oferta do tratamento de esgoto.
Solução
Alternativa correta = item “c”
Solução
Alternativa correta = item “d”
b) Considerando que 703159 (setecentos e três mil, cento e cinquenta e nove) eleitores votaram em um dos
candidatos, Marina da Silva obteve mais de um quarto dos votos.
173 398
287 891
230 309
9 428

MATEMÁTICA
3
179
Alternativa correta = item“d”
a) Dilma ficou em segundo lugar no resultado final.
b) .
,
4
703 159
17= Marina da Silva = 173.398.
c) Totalizam 691.598 votos.
03 Eleições 2010 (2° turno), para Presidente da República no município no Goiânia.
Fonte: Disponível em: <http://www.tse.jus.br/eleicoes/eleicoes-anteriores/eleicoes-2010/estatisticas>. Acesso em: 10 de dez. 2012.
Com base nestas informações, analise criticamente as afirmativas:
a) Considerando os votos em um dos dois candidatos, pode-se dizer que José Serra obteve mais de 60% (ses-
senta por cento) dos votos.
b) Dilma Rousseff obteve aproximadamente 42% (quarenta e dois por cento) dos votos.
Alternativa correta = item“b”
Justificando a outra alternativa
a) José Serra obteve aproximadamente 57,57% (cinquenta e sete vírgula cinquenta e sete por cento) dos votos.
Com base nestas informações, analise criticamente as afirmativas e identifique a alternativa correta.
a) Considerando os votos obtidos pelos dois candidatos, pode-se dizer que José Serra obteve mais de 60% (sessenta
por cento) dos votos.
b) Dilma Rousseff obteve aproximadamente 42% (quarenta e dois por cento) dos votos.
MATEMÁTICA
DESAFIO
A dengue é uma doença infecciosa febril aguda causada por um vírus da família Flaviridae e é transmitida,
no Brasil, através do mosquito Aedes Aegypti, também infectado pelo vírus.
Atualmente, a dengue é considerada um dos principais problemas de saúde pública de todo o mundo.
Fonte: Disponível em:<Leia mais: http://www.combateadengue.com.br/o-que-e-dengue/#ixzz2EhlLmQQZ>.
De acordo com o gráfico, responda:
a) Em quais períodos acontece crescimento dos casos de dengue no Brasil?
b) Considerando que no ano de 2002 ocorreram 800.000(oitocentos mil) casos de notificações de dengue
e que, no ano de 2003 ocorreram 350.000 (trezentos e cinquenta mil) casos, qual o percentual de queda
Solução
Alternativa correta = item “b”
279 578
379 262

MATEMÁTICA
180
Fonte: Disponível em:<Leia mais: http://www.combateadengue.com.br/o-que-e-dengue/#ixzz2EhlLmQQZ>.
b) Considerando que no ano de 2002 ocorreram 800.000(oitocentos mil) casos de notificações de dengue
e que, no ano de 2003 ocorreram 350.000 (trezentos e cinquenta mil) casos, qual o percentual de queda
nos índices de notificações?
a) Teve crescimento nos períodos de = 1990 a 1991; 1993 a 1998; 1999 a 2002 e 2004 a 2007.
b) Percentual aproximado de 43,75%.
AulA
MATEMÁTICA
AULA 47
Relacionar gráficos com tabelas
Objetivo geral:
Conceito básico
Gráﬁcos
confrontados instantaneamente.
Tabela
É a organização dos dados de uma determinada
em linhas e colunas, o que possibilita uma visão geral
dos resultados.
Orientação para análise dos gráﬁcos e tabelas
Exemplo de atividade:
O que devo aprender
nesta aula
b) Considerando que no ano de 2002 ocorreram 800 000 (oitocentos mil) casos de notificações de dengue
e que, no ano de 2003 ocorreram 350 000 (trezentos e cinquenta mil) casos, qual o percentual de queda
nos índices de notificações?
Solução:
a) Teve crescimento nos períodos de = 1990 a 1991; 1993 a 1998; 1999 a 2002 e 2004 a 2007.
b) Percentual aproximado de 56,25%.

MATEMÁTICA
181
em linhas e colunas, o que possibilita uma visão geral
dos resultados.
Exemplo de atividade:
MATEMÁTICA
a)
Pesquisa de Preço
Lojas Valor em R$
Beto’s
Lima
Masad
Pains
b)
Pesquisa de Preço
Lojas Valor em R$
Beto’s
Lima
Masad
Pains
c)
Pesquisa de Preço
Lojas Valor em R$
Beto’s
Lima
Masad
Pains
d)

MATEMÁTICA
182
b)
Pesquisa de Preço
Lojas Valor em R$
Beto’s
Lima
Masad
Pains
c)
Pesquisa de Preço
Lojas Valor em R$
Beto’s
Lima
Masad
Pains
d)
Pesquisa de Preço
Lojas Valor em R$
Beto’s
Lima
Masad
Pains
Sugestão solução:
Conforme a orientação dada, o aluno poderá relacionar os dados apresentados no gráfico e relacioná-los à
tabela.
Solução: Conforme a orientação dada, o aluno poderá relacionar os dados apresentados no gráfico e relacioná-los à tabela.
MATEMÁTICA
Solução:
Alternativa“b”
Atividades
01 O gráfico a seguir apresenta o desempenho dos alunos em uma avaliação de matemática.
Pesquisa de Preço
lojas Valor em R$
Beto’s
Pains
Masad
Lima

MATEMÁTICA
183
Solução:
Alternativa“b”
Atividades
01 O gráfico a seguir apresenta o desempenho dos alunos em uma avaliação de matemática.
Das alternativas a seguir, qual representa a leitura dos dados do gráfico do desempenho na disciplina de ma-
temática?
Lima
O gráfico a seguir apresenta o desempenho dos alunos da 3ª série em uma avaliação de matemática.
MATEMÁTICA
a)
Desempenho fa
Ótimo 35%
Bom 35%
Regular 25%
Ruim 15%
b)
Desempenho fa
Ótimo 25%
Bom 15%
Regular 25%
Ruim 15%
b)
Desempenho fa
Ótimo 25%
Bom 35%
Regular 55%
Ruim 15%
c)
Desempenho fa
Ótimo 25%
Bom 35%
Regular 25%
Ruim 15%
Resposta
Alternativa“d”
02 O gráfico a seguir representa a preferência por modalidades esportivas.
Solução:
c) d)

MATEMÁTICA
184
Ótimo 25%
Bom 35%
Regular 55%
Ruim 15%
Ótimo 25%
Bom 35%
Regular 25%
Ruim 15%
Resposta
Alternativa“d”
02 O gráfico a seguir representa a preferência por modalidades esportivas.
A forma correta de representar esses dados em tabela é:
a)
Modalidade fa (%)
Futebol 40
Vôlei 30
Basquete 5
Natação 10
Outros 15
b)
Modalidade fa (%)
Futebol 40
Vôlei 30
Basquete 15
Natação 10
Outros 5
O gráfico a seguir representa o resultado de uma perquisa sobre a preferência por modalidades esportivas dos
estudantes da sala de Pedro.
A forma correta de representar esses dados em uma tabela é:
MATEMÁTICA
c)
Modalidade fa (%)
Futebol 40
Vôlei 20
Basquete 15
Natação 10
Outros 5
d)
Modalidade fa (%)
Futebol 40
Vôlei 30
Basquete 15
Natação 20
Outros 5
Resposta
Alternativa“b”
03 Observe o gráfico a seguir resultante de uma pesquisa sobre os meios de transporte mais utilizado pela
população.
Solução:

MATEMÁTICA
185
Vôlei 20
Basquete 15
Natação 10
Outros 5
Vôlei 30
Basquete 15
Natação 20
Outros 5
Resposta
Alternativa“b”
03 Observe o gráfico a seguir resultante de uma pesquisa sobre os meios de transporte mais utilizado pela
população.
Construa uma tabela que represente este gráfico.
Meio de transporte mais utilizado
Meio de transporte Número de pessoas
Automóvel 750
Metrô 1200
Ônibus 1500
Moto 580
Solução:
Construa uma tabela que represente os dados apresentados neste gráfico.

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
186
DESAFIO
O gráfico a seguir representa a evolução de uma população ao longo dos anos, segundo os dados
estatísticos.
a) Qual o valor aproximado da população no ano de 1992?
b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população foi igual a 100 milhões?
c) A partir de que ano a população passa a ser mais de 10 milhões?
d) Qual parece ser a evolução nos próximos anos?
e) Construa uma tabela que se relacione com os dados apresentados no gráfico.
Respostas
a) 99 milhões.
b) 1983, 1984,1985, 1986 e 1987.
c) 1994.
d) De crescimento
OBS: Sugerimos ao professor que, após os alunos realizarem as atividades, realize juntamente com eles
as interpretações do gráfico e tabelas, discutindo cada item.
a) Qual o valor aproximado da população no ano de 1992?
b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população é igual a 100 mil?
c) A partir de que ano a população passa ter mais de 100 000 habitantes?
d) Construa uma tabela que relacione os dados apresentados no gráfico.
Solução:
a) 100 000.
b) 1983, 1984 e 1985.
c) 1992.
OBS: Sugerimos ao professor que, após os alunos realizarem as atividades, realize juntamente com eles
as interpretações do gráfico e tabela, discutindo-os.
Aumento da população
População(milhares)
O gráfico a seguir representa o aumento de uma população ao longo dos anos, segundo os dados
estatísticos.

187
AULA 48
Relacionar tabelas com gráficos
Objetivo geral
Fazer a relação e a interpretação entre os dados da
problema, confronte os questionamentos com os
Atividades
01 O Ranking Mundial de Clubes é um ranking divulgado mensalmente pela Federação Internacional de His-
tória e Estatísticas do Futebol - IFFHS. Não tem qualquer vínculo com a FIFA. Esse ranking, criado em 1991, leva em
consideração os resultados de todos os clubes nos últimos 365 dias.
A tabela a seguir apresenta a pontuação dos 10 (dez) primeiros Clubes brasileiros no ranking.
Posição Clube Pontos
8 Corinthians 240,0
15 Santos 211,0
16 Fluminense 210,0
36 São Paulo 184,0
47 Grêmio 172,0
52 Vasco da Gama 166,0
56 Internacional 162,0
95 Flamengo 125,0
99 Palmeiras 124,0
125 Curitiba 112,0
Fonte: Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Ranking_Mundial_de_Clubes_da_
IFFHS#Os_30_primeiros_no_ranking>. Acesso em: 09 de dez. 2012. Última atualização:
6 de dezembro de 2012
O que devo aprender
nesta aula
frequências de dados estatísticos.
AulA
A tabela a seguir apresenta a pontuação dos 10 (dez) primeiros Clubes brasileiros no ranking em 2012.
Relacionar e interpretar os dados da tabela com os dados
dos gráficos.

188
Qual é o gráfico que representa o ranking dos clubes brasileiros nessa data?
a)
b)
c)

MATEMÁTICA
3
MATEMÁTICA
189
d)
Resposta
Alternativa“d”
02 Ainda sobre o RankingMundialdeClubes,comdadosretiradosnomesmoemdereçoeletrônico, a tabela a seguir
apresenta os 10 maiores times de todos os tempos.
Posição Clube
1 Barcelona
2 Manchester United
3
Real Madrid
Juventus
5 Milan
6 Internazionale
7 Bayern de Munique
8 Arsenal
9 River Plate
10 Chelsea
A alternativa que representa os dados conforme colocados na tabela é:
a)
endereço
Posição

190
b)
c)
d)
Resposta
Alternativa “b”
03 Jogos Olímpicos - A cada quatro anos, atletas de centenas de países se reúnem num país sede para disputa-
rem um conjunto de modalidades esportivas. A própria bandeira olímpica representa essa união de povos e raças, pois
Posição
Posição
Posição
Solução:

193
DESAFIO
Paraolimpíadas - As pessoas com deficiências tradicionalmente discriminadas pela sociedade, e desmo-
tivados pela sua própria condição existencial, têm nas paraolimpíadas uma oportunidade para elevar sua
autoestima, direta ou indiretamente, além de provar para todos o seu valor como atleta e cidadão. Desde
a XVI Olimpíada, realizada em Roma, em 1960 , imediatamente após as Olimpíadas, e nas mesmas ins-
talações são realizados as Paraolimpíadas ou os Jogos Paraolímpicos. (http://www.coladaweb.com/educacao-fisica/
paraolimpiadas)
Veja aqui o quadro de medalhas das Paraolimpíadas 2012. O Brasil terminou em sétimo lugar!
País Total
China 231
Rússia 102
Grã Bretanha 120
Ucrânia 84
Austrália 85
E.U.A 98
Brasil 43
Alemanha 66
Polônia 36
Holanda 39
Fonte: Disponível em: <http://www.esportesemanal.
com.br/quadro-de-medalhas-paraolimpiadas.aspx>.
Acesso em: 09 de dez. 2012.
O gráfico que representa os dados da tabela é:
a)

194
b)
c)
d)
Alternativa“d”
Solução:

MATEMÁTICA
AulA
MATEMÁTICA
195
AULA 49
Conclusões com base na leitura
de tabelas
Objetivo geral
Ler, interpretar e realizar conclusões a partir
da observação dos dados encontrados em tabelas.
Atividades
01 A tabela a seguir apresenta os 10 (dez) cursos mais
concorridos oferecidos pela Universidade Estadual de Goiás -
UEG, no Processo Seletivo 2013/1.
Cursos Cidade Concorrência*
Agronomia Ipameri 12,71
Arquitetura e Urbanismo Anápolis 30,29
Educação Física Goiânia 21,88
Enfermagem Ceres 11,96
Engenharia Agrícola Anápolis 12,17
Engenharia Civil Anápolis 85,79
Farmácia Anápolis 21,67
Fisioterapia Goiânia 39,92
Química Industrial Anápolis 18,50
Zootecnia São Luís de Montes Belos 11,17
* número de candidatos por vaga
Fonte: Disponível em: <http://www.vestibular.ueg.br/>. Acesso em: 10 de dez. 2012.
Considerando os dados é correto afirmar:
a) O curso de Engenharia civil foi o mais procurado pelos alunos.
b) Enfermagem, oferecido na cidade de Ceres foi o segundo curso mais procurado.
c) Os cursos oferecidos na cidade de Goiânia estão colocados na segunda e na quinta posição dos mais procu-
rados nesse processo seletivo.
d) Dos cursos oferecidos na cidade de Anápolis, Química Industrial foi o menos concorrido.
Alternativa“a”.
Elaborar, oralmente ou por escrito,
Considerando os dados é correto afirmar que:
Solução:

MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
196
b) Enfermagem foi o nono curso mais procurado.
c) Educação Física = quarta posição; Fisioterapia = segunda posição.
d) Engenharia Agrícola o menos concorrido na cidade de Anápolis.
02 A tabela a seguir apresenta os 10 (dez) cursos mais concorridos oferecidos pela Universidade Federal de Goiás
- UFG, no Vestibular 2013/1, para a cidade de Goiânia.
Cursos Concorrência
Arquitetura e Urbanismo 24,60
Direito* 29,25
Direito** 24,33
Engenharia Civil 41,81
Engenharia Mecânica 16,53
Engenharia Química 16,75
Medicina 64,48
Psicologia 22,75
Odontologia 22,56
Relações Internacionais 13,59
* Conforme documento.
Fonte: Disponível em: < http://www.vestibular.ufg.br/2013/ps2013_1/site/sistema/resul-
tado/candidato_vaga_PS2013_1.pdf/>. Acesso em: 10 de dez. 2012.
Observando a tabela responda:
a) Qual o Curso, dentre os apresentados, mais procurado e o menos procurado pelos candidatos nesse vestibu-
lar da UFG?
b) Os cursos que ocupam a quarta e quinta posição dos mais procurados são:
a) Mais procurado = Medicina
Menos procurado = Relações internacionais.
b) Quarto = Arquitetura e Urbanismo
Quinto = Direito**
Solução:

197
03 Observeatabela a seguir. Ela apresenta os 10 (dez) primeiros Clubes brasileiros noRankingMundialdeClubes.
Posição Clube Pontos
8 Corinthians 240,0
15 Santos 211,0
16 Fluminense 210,0
36 São Paulo 184,0
47 Grêmio 172,0
52 Vasco da Gama 166,0
56 Internacional 162,0
95 Flamengo 125,0
99 Palmeiras 124,0
125 Curitiba 112,0
Última atualização: 6 de dezembro de 2012
Fonte: Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Ranking_Mundial_de_Clubes_da_
IFFHS#Os_30_primeiros_no_ranking>. Acesso em: 09 de dez. 2012.
De acordo com os dados é correto afirmar que
a) São Paulo ocupa a quinta posição no Ranking Mundial de Clubes.
b) Considerando que o Brasil só classifica para próxima fase os dois clubes mais bem pontuados, esses clubes
são o do Corinthians e o do Santos.
c) Curitiba esta na décima posição com 112 (cento e doze) pontos.
Alternativa correta = item“b”
a) São Paulo ocupa a trigésima sexta posição.
c) Curitiba = 125ª posição com com 112 (cento e doze) pontos.
Solução:

MATEMÁTICA
0
MATEMÁTICA
198
DESAFIO
Considere as tabelas das atividades 01 e 02.
Cursos mais concorridos oferecidos pela UEG,
no Processo Seletivo 2013/1.
Cursos Cidade Concorrência
Agronomia Ipameri 12,71
Arquitetura e
Urbanismo
Anápolis 30,29
Educação Física Goiânia 21,88
Enfermagem Ceres 11,96
Engenharia Agrícola Anápolis 12,17
Engenharia Civil Anápolis 85,79
Farmácia Anápolis 21,67
Fisioterapia Goiânia 39,92
Química Industrial Anápolis 18,50
Zootecnia
São Luís de
Montes Belos
11,17
Cursos mais concorridos oferecidos pela
UFG, no Vestibular 2013/1, para a cidade de
Goiânia.
Cursos Concorrência
Arquitetura e Urbanismo 24,60
Direito* 29,25
Direito* 24,33
Engenharia Civil 41,81
Engenharia Mecânica 16,53
Engenharia Química 16,75
Medicina 64,48
Psicologia 22,75
Odontologia 22,56
Relações Internacionais 13,59
Com base nos dados das duas tabelas, responda:
a) Qual o curso mais concorrido nas duas Universidades.
b) A concorrência do curso de Arquitetura e Urbanismo das duas Universidades.
c) Cursos, dentre os apresentados oferecidos nas duas Universidades.
d) O curso mais concorrido na UEG e o menos concorrido na UFG.
a) UEG – Engenharia Civil e UFG – Medicina
b) Arquitetura e Urbanismo na UEG – 30,29
Arquitetura e Urbanismo na UFG – 24,60
c) Arquitetura e Urbanismo e Engenharia Civil
d) Mais concorrido UEG - Engenharia Civil
Menos concorrido UFG - Relações internacionais.

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