1. A teoria dos jogos é um conjunto de ferramentas matemáticas para estudar problemas envolvendo conflito de interesses entre agentes que tomam decisões. 2. O documento discute conceitos como equilíbrio de Nash, jogos de soma zero, estratégias mistas e dominantes. 3. As seções abordam jogos de soma zero e não soma zero.

1. Sum´rio
a
Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Um Minicurso sobre Teoria dos Jogos
Pedro Aladar Tonelli
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
Instituto de Matem´tica e Estat´
a ıstica USP
Semana de Matem´tica Aplicada FFCLRP-USP setembro de
a
2006
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

2. Sum´rio
a
Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Sum´rio
a
1 Jogos de Soma Zero
Introdu¸˜o
ca
O Conceito de equil´ıbrio de Nash
Os jogos de soma zero e dois jogadores
Elementos de Sela e Valor do Jogo
e e ´
Estrat´gias Mistas e Estrat´gias Otimas
Estrat´gias dominantes
e
2 Jogos n˜o soma zero
a
Defini¸˜es
co
Exemplos com matrizes de dimens˜o 2a
Equil´
ıbrios evolucionariamente est´veis
a
Bibliografia
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

3. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

4. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

5. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

6. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

7. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

8. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

9. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

10. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

11. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

12. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

13. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Divis˜es Comuns
o
Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos
e o
Jogos Cooperativos
Jogos n˜o Cooperativos
a
Forma Extensiva
Forma Estrat´gica (Normal)
e
Jogos de Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores.
Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

14. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Divis˜es Comuns
o
Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos
e o
Jogos Cooperativos
Jogos n˜o Cooperativos
a
Forma Extensiva
Forma Estrat´gica (Normal)
e
Jogos de Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores.
Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

15. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Divis˜es Comuns
o
Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos
e o
Jogos Cooperativos
Jogos n˜o Cooperativos
a
Forma Extensiva
Forma Estrat´gica (Normal)
e
Jogos de Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores.
Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

16. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Divis˜es Comuns
o
Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos
e o
Jogos Cooperativos
Jogos n˜o Cooperativos
a
Forma Extensiva
Forma Estrat´gica (Normal)
e
Jogos de Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores.
Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

17. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Primeiras defini¸˜es
co
Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos
a e
seguintes elementos:
Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito).
Estrat´gias: Σi (quase sempre finito).
e
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento)
Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma
e e
vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias.
e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

18. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Primeiras defini¸˜es
co
Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos
a e
seguintes elementos:
Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito).
Estrat´gias: Σi (quase sempre finito).
e
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento)
Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma
e e
vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias.
e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

19. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Primeiras defini¸˜es
co
Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos
a e
seguintes elementos:
Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito).
Estrat´gias: Σi (quase sempre finito).
e
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento)
Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma
e e
vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias.
e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

20. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Primeiras defini¸˜es
co
Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos
a e
seguintes elementos:
Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito).
Estrat´gias: Σi (quase sempre finito).
e
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento)
Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma
e e
vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias.
e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

21. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dilema dos Prisioneiros
O Jogo: Dois prisioneiros s˜o mantidos em escrit´rios separados e
a o
o promotor do caso oferece a cada um o seguinte: caso ele
testemunhe contra o comparsa e este n˜o testemunhar contra ele,
a
sua pena ser´ de 1 ano de pris˜o cabendo a seu colega cumprir 10
a a
anos. Caso o comparsa tamb´m testemunhe contra ele sua pena
e
ser´ de 5 anos. Se, todavia, ambos se recusarem a testemunhar
a
um contra o outro, ambos passar˜o dois anos na cadeia.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

22. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Tabela de pagamentos do dilema dos prisioneiros
N T
N (−2, −2) (−10, −1)
T (−1, −10) (−5, −5)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

23. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Melhor Resposta
Temos um jogo na forma normal:
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn
Um ponto u = (u1 , . . . , un )) ∈ Σ1 × · · · × Σn vamos chamar de um
perfil de estrat´gias.
e
Fixado o perfil u e o jogador i definimos o conjunto melhor
resposta de i Mi (u) ∈ Σi como
Mi (u) = {vi ∈ Σi : Πi (u1 , . . . , ui−1 , vi , ui+1 , . . . , un ) =
max Πi (u1 , . . . , ui−1 , v , ui+1 , . . . , un )} (1)
v ∈Σi
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

24. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O equil´
ıbrio como ponto fixo
Note que na defini¸˜o acima n˜o ´ necess´rio que ui ∈ Mi (u).
ca a e a
Definimos
M(u) = M1 (u) × · · · Mn (u) ⊂ Σ1 × · · · × Σn (2)
e diremos que um perfil u ´ um Equil´
e ıbrio de Nash quando:
u ∈ M(u)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

25. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Interpreta¸˜o do equil´
ca ıbrio
Se u ∈ M(u), para o jogador pi :
ui ∈ Mi (u) ⊂ Σi , ou seja, ui ´ a melhor resposta do jogador para o
e
perfil u.
Assim para um perfil de equil´ ıbrio, se um jogador mudar sozinho de
estrat´gia ele n˜o pode aumentar, e corre o risco de rebaixar o
e a
ganho individual Πi .
Obs: Pode existir um perfil em que todos os jogadores ganham
mais que num perfil de equil´ ıbrio, mas a´ cada jogador precisaria do
ı
aux´ dos outros.
ılio
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

26. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Equil´
ıbrio do dilema dos prisioneiros
N T
N (−2, −2) (−10, −1)
T (−1, −10) (−5, −5)
O perfil u = (T , T ) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

27. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
M´todo dos perf´ racionais
e ıs
Diremos que um perfil u ∈ Σ satisfaz a propriedade da
racionalidade individual para o jogador i quando
Πi (u) = max Πi (u1 , . . . , v , . . . , un ) (3)
v ∈Σi
Definimos o conjunto de perfis racionais de i como sendo:
Ri = {u ∈ Σ : u tem a prop. de racionalidade individual } ⊂ Σ
(4)
N = ∩n Ri ´ o conjunto de todos os perf´ de equil´
i=1 e ıs ıbrio do jogo.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

28. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
defini¸˜o dos jogos de soma zero
ca
Num jogo com dois Jogadores (Luiza e Carlos) com as estrat´gias
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm }
O jogo tem soma zero se Π1 (ei , fj ) + Π2 (ei , fj ) = 0.
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), −Π1 (ei , fj )) = (aij , bij ) (5)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

29. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: Pedra, papel, tesoura
Luiza e Carlos est˜o jogando Pedra, Papel e Tesoura, eles tem o
a
mesmo conjunto de estrat´gias Σ = {R, P, T }
e
 
0 −1 1
A= 1 0 −1 (6)
−1 1 0
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

30. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Elementos de sela
Se (ei , fj ) for um par de equil´
ıbrio ent˜o:
a
aij ≥ akj ∀k ∈ {1, . . . , n} (7)
− aij ≥ −ail ∀l ∈ {1, . . . , m} (8)
Dada uma matriz A ∈ Mn×m um elemento aij ´ chamado elemento
e
de sela da matriz A quando satisfaz as duas rela¸˜es
co
simultaneamente:
aij = max akj para k ∈ {1, . . . , n} (9)
k
aij = min ail para l ∈ {1, . . . , m} (10)
l
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

31. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
exemplo
Vejamos um exemplo, a matriz
 
4 0 −1
A= 2 1 3  (11)
−2 0 4
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

32. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Propriedades dos elementos de sela
Proposi¸˜o
ca
Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A,
ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq
a e a
No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o
a
iguais.
Pode n˜o haver elementos de sela.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

33. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Propriedades dos elementos de sela
Proposi¸˜o
ca
Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A,
ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq
a e a
No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o
a
iguais.
Pode n˜o haver elementos de sela.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

34. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Propriedades dos elementos de sela
Proposi¸˜o
ca
Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A,
ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq
a e a
No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o
a
iguais.
Pode n˜o haver elementos de sela.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

35. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

36. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

37. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

38. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

39. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

40. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

41. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

42. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

43. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

44. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

45. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

46. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

47. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Extens˜o Mista do Jogo
a
Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn )
Carlos: q = (q1 , . . . , qm )
Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
(M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

48. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Extens˜o Mista do Jogo
a
Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn )
Carlos: q = (q1 , . . . , qm )
Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
(M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

49. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Extens˜o Mista do Jogo
a
Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn )
Carlos: q = (q1 , . . . , qm )
Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
(M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

50. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Extens˜o Mista do Jogo
a
Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn )
Carlos: q = (q1 , . . . , qm )
Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
(M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

51. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

52. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

53. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

54. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

55. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

56. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

57. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

58. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

59. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

60. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

61. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

62. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

63. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

64. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

65. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

66. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

67. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Teorema Minmax
Teorema
Dada uma matriz A temos que existem estrat´gias mistas ´timas
e o
para o jogador das linhas e das colunas e vC (A) = vL (A).
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

68. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

69. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

70. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

71. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

72. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

73. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

74. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

75. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Um resultado para o C´lculo das estrat´gias ´timas
a e o
Proposi¸˜o
ca
m n
Definindo: E (i, q) = j=1 aij qj e E (p, j) = i=1 aij pi ent˜o:
a
vC (A) = min max E (i, q) (12)
q i
vL (A) = max min E (p, j) (13)
p j
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

76. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Caso de matrizes 2 × 2
Quando cada jogador tem s´ duas estrat´gias puras temos:
o e
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]}
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]
Neste caso podemos calcular facilmente os equil´
ıbrios.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

77. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Caso de matrizes 2 × 2
Quando cada jogador tem s´ duas estrat´gias puras temos:
o e
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]}
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]
Neste caso podemos calcular facilmente os equil´
ıbrios.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

78. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Caso de matrizes 2 × 2
Quando cada jogador tem s´ duas estrat´gias puras temos:
o e
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]}
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]
Neste caso podemos calcular facilmente os equil´
ıbrios.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

79. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Caso de matrizes 2 × 2
Quando cada jogador tem s´ duas estrat´gias puras temos:
o e
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]}
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]
Neste caso podemos calcular facilmente os equil´
ıbrios.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

80. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo
1 2
A= (14)
3 0
Para Luiza temos
minj E (p, j) = min{E (x, 1), E (x, 2)}
E (x, 1) = 1.x + 3.(1 − x) = −2x + 3 e E (x, 2) = 2x
O Valor de Linha ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (x, i)
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

81. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo
1 2
A= (14)
3 0
Para Luiza temos
minj E (p, j) = min{E (x, 1), E (x, 2)}
E (x, 1) = 1.x + 3.(1 − x) = −2x + 3 e E (x, 2) = 2x
O Valor de Linha ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (x, i)
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

82. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo
1 2
A= (14)
3 0
Para Luiza temos
minj E (p, j) = min{E (x, 1), E (x, 2)}
E (x, 1) = 1.x + 3.(1 − x) = −2x + 3 e E (x, 2) = 2x
O Valor de Linha ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (x, i)
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

83. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo
1 2
A= (14)
3 0
Para Luiza temos
minj E (p, j) = min{E (x, 1), E (x, 2)}
E (x, 1) = 1.x + 3.(1 − x) = −2x + 3 e E (x, 2) = 2x
O Valor de Linha ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (x, i)
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

84. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo
1 2
A= (14)
3 0
Para Luiza temos
minj E (p, j) = min{E (x, 1), E (x, 2)}
E (x, 1) = 1.x + 3.(1 − x) = −2x + 3 e E (x, 2) = 2x
O Valor de Linha ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (x, i)
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

85. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Gr´fico para o problema maxmin de Luiza
a
3
2
1
0
x
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

86. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor do jogo para Luiza
Neste caso temos:
vL (A) = 3/2
estrat´gia ´tima de Luiza ´ (3/4, 1/4).
e o e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

87. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor do jogo para Luiza
Neste caso temos:
vL (A) = 3/2
estrat´gia ´tima de Luiza ´ (3/4, 1/4).
e o e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

88. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor do jogo para Luiza
Neste caso temos:
vL (A) = 3/2
estrat´gia ´tima de Luiza ´ (3/4, 1/4).
e o e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

89. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Para Carlos
1 2
A= (15)
3 0
Para Carlos temos que achar
max{E (1, y ), E (2, y )}
E (1, y ) = 1.y + 2.(1 − y ) = −y + 2 e E (2, y ) = 3y
O Valor de Coluna ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (i, y )
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

90. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Para Carlos
1 2
A= (15)
3 0
Para Carlos temos que achar
max{E (1, y ), E (2, y )}
E (1, y ) = 1.y + 2.(1 − y ) = −y + 2 e E (2, y ) = 3y
O Valor de Coluna ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (i, y )
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

91. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Para Carlos
1 2
A= (15)
3 0
Para Carlos temos que achar
max{E (1, y ), E (2, y )}
E (1, y ) = 1.y + 2.(1 − y ) = −y + 2 e E (2, y ) = 3y
O Valor de Coluna ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (i, y )
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

92. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Para Carlos
1 2
A= (15)
3 0
Para Carlos temos que achar
max{E (1, y ), E (2, y )}
E (1, y ) = 1.y + 2.(1 − y ) = −y + 2 e E (2, y ) = 3y
O Valor de Coluna ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (i, y )
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

93. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Para Carlos
1 2
A= (15)
3 0
Para Carlos temos que achar
max{E (1, y ), E (2, y )}
E (1, y ) = 1.y + 2.(1 − y ) = −y + 2 e E (2, y ) = 3y
O Valor de Coluna ser´ o valor da intersec¸˜o das retasE (i, y )
a ca
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

94. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Problema minmax para Carlos
3
2
1
0
y
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

95. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor do jogo para Carlos
Neste caso temos:
vC (A) = 3/2
estrat´gia ´tima de Carlos ´ (1/2, 1/2).
e o e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

96. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor do jogo para Carlos
Neste caso temos:
vC (A) = 3/2
estrat´gia ´tima de Carlos ´ (1/2, 1/2).
e o e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

97. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor do jogo para Carlos
Neste caso temos:
vC (A) = 3/2
estrat´gia ´tima de Carlos ´ (1/2, 1/2).
e o e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

98. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dominˆncia para Luiza
a
Luiza possui estrat´gias puras ei , ek ∈ Σ1 tais que
e
Π1 (ei , fj ) ≥ Π1 (ek , fj )
para toda estrat´gia fj de Carlos.
e
Dizemos que ei domina ek .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

99. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dominˆncia para Luiza
a
Luiza possui estrat´gias puras ei , ek ∈ Σ1 tais que
e
Π1 (ei , fj ) ≥ Π1 (ek , fj )
para toda estrat´gia fj de Carlos.
e
Dizemos que ei domina ek .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

100. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dominˆncia para Luiza
a
Luiza possui estrat´gias puras ei , ek ∈ Σ1 tais que
e
Π1 (ei , fj ) ≥ Π1 (ek , fj )
para toda estrat´gia fj de Carlos.
e
Dizemos que ei domina ek .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

101. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dominˆncia para Carlos
a
Carlos possui estrat´gias puras fj , fl ∈ Σ2 tais que
e
Π1 (ei , fj ) ≤ Π1 (ei , fl )
para toda estrat´gia ei de Luiza.
e
Dizemos que fj domina fl .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

102. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dominˆncia para Carlos
a
Carlos possui estrat´gias puras fj , fl ∈ Σ2 tais que
e
Π1 (ei , fj ) ≤ Π1 (ei , fl )
para toda estrat´gia ei de Luiza.
e
Dizemos que fj domina fl .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

103. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dominˆncia para Carlos
a
Carlos possui estrat´gias puras fj , fl ∈ Σ2 tais que
e
Π1 (ei , fj ) ≤ Π1 (ei , fl )
para toda estrat´gia ei de Luiza.
e
Dizemos que fj domina fl .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

104. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: Dominˆncia para Luiza
a
 
1 2 3
A = 3 0 1
0 1 1
 
1 2 3
A = 3 0 1
0 1 1
1 2 3
A=
3 0 1
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

105. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: Dominˆncia para Luiza
a
 
1 2 3
A = 3 0 1
0 1 1
 
1 2 3
A = 3 0 1
0 1 1
1 2 3
A=
3 0 1
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

106. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: Dominˆncia para Luiza
a
 
1 2 3
A = 3 0 1
0 1 1
 
1 2 3
A = 3 0 1
0 1 1
1 2 3
A=
3 0 1
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

107. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dominˆncia para Carlos
a
1 2 3
A=
3 0 1
1 2
A=
3 0
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

108. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dominˆncia para Carlos
a
1 2 3
A=
3 0 1
1 2
A=
3 0
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

109. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo de redu¸˜o
ca
O jogo entre Luiza e Carlos tem a seguinte matriz de pagamento
 
−1 1 2
A= 2 1 −2
1 0 −3
Note que a linha 2 domina a linha 3
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

110. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo de redu¸˜o
ca
O jogo entre Luiza e Carlos tem a seguinte matriz de pagamento
 
−1 1 2
A= 2 1 −2
1 0 −3
Note que a linha 2 domina a linha 3
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

111. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
A matriz reduzida
Luiza n˜o jogar´ nada na linha 3
a a
A matriz reduzida do jogo ser´
a
−1 1 2
Ar =
2 1 −2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

112. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
A matriz reduzida
Luiza n˜o jogar´ nada na linha 3
a a
A matriz reduzida do jogo ser´
a
−1 1 2
Ar =
2 1 −2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

113. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
A matriz reduzida
Luiza n˜o jogar´ nada na linha 3
a a
A matriz reduzida do jogo ser´
a
−1 1 2
Ar =
2 1 −2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

114. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
C´lculo da estrat´gia ´tima de Luiza
a e o
Luiza acha a estrat´gia maxmin entre
e
E (x, 1) = 2 − 3x
E (x, 2) = 1
E (x, 3) = 4x − 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

115. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
C´lculo da estrat´gia ´tima de Luiza
a e o
Luiza acha a estrat´gia maxmin entre
e
E (x, 1) = 2 − 3x
E (x, 2) = 1
E (x, 3) = 4x − 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

116. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
C´lculo da estrat´gia ´tima de Luiza
a e o
Luiza acha a estrat´gia maxmin entre
e
E (x, 1) = 2 − 3x
E (x, 2) = 1
E (x, 3) = 4x − 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

117. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
C´lculo da estrat´gia ´tima de Luiza
a e o
Luiza acha a estrat´gia maxmin entre
e
E (x, 1) = 2 − 3x
E (x, 2) = 1
E (x, 3) = 4x − 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

118. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Gr´fico
a
E (x, 3)
E (x, 2)
E (x, 1)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

119. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor do Jogo para Luiza ´ 2/7 = 0.285
e
Estrat´gia ´tima de Luiza ´ (4/7, 3/7, 0)
e o e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

120. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor do Jogo para Luiza ´ 2/7 = 0.285
e
Estrat´gia ´tima de Luiza ´ (4/7, 3/7, 0)
e o e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

121. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gia para Carlos
e
Estrat´gia ´tima para Carlos ter´ a forma (y , 0, 1 − y )
e o a
Pois qualquer peso na coluna 2 ativa E (x, 2) e aumenta o
ganho de Luiza.
Fazemos os c´lculos usandoE (1, y ) = −3y + 2 e
a
E (2, y ) = 4y − 2.
Obtemos a estrat´gia ´tima (4/7, 0, 3/7).
e o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

122. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gia para Carlos
e
Estrat´gia ´tima para Carlos ter´ a forma (y , 0, 1 − y )
e o a
Pois qualquer peso na coluna 2 ativa E (x, 2) e aumenta o
ganho de Luiza.
Fazemos os c´lculos usandoE (1, y ) = −3y + 2 e
a
E (2, y ) = 4y − 2.
Obtemos a estrat´gia ´tima (4/7, 0, 3/7).
e o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

123. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gia para Carlos
e
Estrat´gia ´tima para Carlos ter´ a forma (y , 0, 1 − y )
e o a
Pois qualquer peso na coluna 2 ativa E (x, 2) e aumenta o
ganho de Luiza.
Fazemos os c´lculos usandoE (1, y ) = −3y + 2 e
a
E (2, y ) = 4y − 2.
Obtemos a estrat´gia ´tima (4/7, 0, 3/7).
e o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

124. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gia para Carlos
e
Estrat´gia ´tima para Carlos ter´ a forma (y , 0, 1 − y )
e o a
Pois qualquer peso na coluna 2 ativa E (x, 2) e aumenta o
ganho de Luiza.
Fazemos os c´lculos usandoE (1, y ) = −3y + 2 e
a
E (2, y ) = 4y − 2.
Obtemos a estrat´gia ´tima (4/7, 0, 3/7).
e o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

125. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogos sem soma zero, e dois jogadores
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } estrat´gias puras.
e
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), Π2 (ei , fj )) = (aij , bij )
A = (aij ) matriz de Luiza e B = (bij ) matriz de Carlos.
Se Luiza escolhe a estrat´gia mista p e Carlos escolhe q ent˜o
e a
o pagamento de Luiza ser´:a
E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
E de Carlos:
F (p, q) = i,j bij pi qj = pt Bq
Note que agora n˜o h´ o interesse racional de Carlos
a a
minimizar o pagamento de Luiza uma vez que isto n˜o a
significa mais que ele estar´ aumentando seu pagamento.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

126. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogos sem soma zero, e dois jogadores
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } estrat´gias puras.
e
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), Π2 (ei , fj )) = (aij , bij )
A = (aij ) matriz de Luiza e B = (bij ) matriz de Carlos.
Se Luiza escolhe a estrat´gia mista p e Carlos escolhe q ent˜o
e a
o pagamento de Luiza ser´:a
E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
E de Carlos:
F (p, q) = i,j bij pi qj = pt Bq
Note que agora n˜o h´ o interesse racional de Carlos
a a
minimizar o pagamento de Luiza uma vez que isto n˜o a
significa mais que ele estar´ aumentando seu pagamento.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

127. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogos sem soma zero, e dois jogadores
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } estrat´gias puras.
e
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), Π2 (ei , fj )) = (aij , bij )
A = (aij ) matriz de Luiza e B = (bij ) matriz de Carlos.
Se Luiza escolhe a estrat´gia mista p e Carlos escolhe q ent˜o
e a
o pagamento de Luiza ser´:a
E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
E de Carlos:
F (p, q) = i,j bij pi qj = pt Bq
Note que agora n˜o h´ o interesse racional de Carlos
a a
minimizar o pagamento de Luiza uma vez que isto n˜o a
significa mais que ele estar´ aumentando seu pagamento.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

128. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogos sem soma zero, e dois jogadores
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } estrat´gias puras.
e
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), Π2 (ei , fj )) = (aij , bij )
A = (aij ) matriz de Luiza e B = (bij ) matriz de Carlos.
Se Luiza escolhe a estrat´gia mista p e Carlos escolhe q ent˜o
e a
o pagamento de Luiza ser´:a
E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
E de Carlos:
F (p, q) = i,j bij pi qj = pt Bq
Note que agora n˜o h´ o interesse racional de Carlos
a a
minimizar o pagamento de Luiza uma vez que isto n˜o a
significa mais que ele estar´ aumentando seu pagamento.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

129. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogos sem soma zero, e dois jogadores
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } estrat´gias puras.
e
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), Π2 (ei , fj )) = (aij , bij )
A = (aij ) matriz de Luiza e B = (bij ) matriz de Carlos.
Se Luiza escolhe a estrat´gia mista p e Carlos escolhe q ent˜o
e a
o pagamento de Luiza ser´:a
E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
E de Carlos:
F (p, q) = i,j bij pi qj = pt Bq
Note que agora n˜o h´ o interesse racional de Carlos
a a
minimizar o pagamento de Luiza uma vez que isto n˜o a
significa mais que ele estar´ aumentando seu pagamento.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

130. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogos sem soma zero, e dois jogadores
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } estrat´gias puras.
e
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), Π2 (ei , fj )) = (aij , bij )
A = (aij ) matriz de Luiza e B = (bij ) matriz de Carlos.
Se Luiza escolhe a estrat´gia mista p e Carlos escolhe q ent˜o
e a
o pagamento de Luiza ser´:a
E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
E de Carlos:
F (p, q) = i,j bij pi qj = pt Bq
Note que agora n˜o h´ o interesse racional de Carlos
a a
minimizar o pagamento de Luiza uma vez que isto n˜o a
significa mais que ele estar´ aumentando seu pagamento.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

131. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogos sem soma zero, e dois jogadores
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } estrat´gias puras.
e
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), Π2 (ei , fj )) = (aij , bij )
A = (aij ) matriz de Luiza e B = (bij ) matriz de Carlos.
Se Luiza escolhe a estrat´gia mista p e Carlos escolhe q ent˜o
e a
o pagamento de Luiza ser´:a
E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
E de Carlos:
F (p, q) = i,j bij pi qj = pt Bq
Note que agora n˜o h´ o interesse racional de Carlos
a a
minimizar o pagamento de Luiza uma vez que isto n˜o a
significa mais que ele estar´ aumentando seu pagamento.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

132. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrios de Nash
Para que um par de estrat´gias puras (ek , fl ) seja um perfil de
e
equil´
ıbrio de Nash devemos ter
akl ≥ ail ∀i e bkl ≥ bkj ∀j
Ent˜o para descobrirmos se existe equ´
a ıbrios de estrat´gias
e
puras, marcamos os maiores elementos em cada coluna de A e
os maiores elementos em cada linha de B, se existir uma
posi¸˜o kl em que akl e bkl estiverem marcados ent˜o (ek , fl )
ca a
ser´ um equil´
a ıbrio. Claro que pode n˜o existir.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

133. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrios de Nash
Para que um par de estrat´gias puras (ek , fl ) seja um perfil de
e
equil´
ıbrio de Nash devemos ter
akl ≥ ail ∀i e bkl ≥ bkj ∀j
Ent˜o para descobrirmos se existe equ´
a ıbrios de estrat´gias
e
puras, marcamos os maiores elementos em cada coluna de A e
os maiores elementos em cada linha de B, se existir uma
posi¸˜o kl em que akl e bkl estiverem marcados ent˜o (ek , fl )
ca a
ser´ um equil´
a ıbrio. Claro que pode n˜o existir.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

134. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrios de Nash
Para que um par de estrat´gias puras (ek , fl ) seja um perfil de
e
equil´
ıbrio de Nash devemos ter
akl ≥ ail ∀i e bkl ≥ bkj ∀j
Ent˜o para descobrirmos se existe equ´
a ıbrios de estrat´gias
e
puras, marcamos os maiores elementos em cada coluna de A e
os maiores elementos em cada linha de B, se existir uma
posi¸˜o kl em que akl e bkl estiverem marcados ent˜o (ek , fl )
ca a
ser´ um equil´
a ıbrio. Claro que pode n˜o existir.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

135. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Um Exemplo
   
5 3 8 2 2 0 1 3
A = 6 5 7 1 B = 3 4 4 1 (16)
7 4 6 0 5 6 8 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

136. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Um Exemplo
(5, 2) (3, 0) (8, 1) (2, 3)
(6, 3) (5, 4) (7, 4) (1, 1) (17)
(7, 5) (4, 6) (6, 8) (0, 2)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

137. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Um Exemplo
(5, 2) (3, 0) (8, 1) (2, 3)
(6, 3) (5, 4) (7, 4) (1, 1) (18)
(7, 5) (4, 6) (6, 8) (0, 2)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

138. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Um Exemplo
(5, 2) (3, 0) (8, 1) (2, 3)
(6, 3) (5, 4) (7, 4) (1, 1) (19)
(7, 5) (4, 6) (6, 8) (0, 2)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

139. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrios na extens˜o mista
a
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]} e
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]}: Estrat´gias mistas.
e
E (x, y ) =
(a11 + a22 − a12 − a21 )xy + (a12 − a22 )x + (a21 − a22 )y + a22
´ o pagamento de Luiza. O pagamento de Carlos ´:
e e
F (x, y ) =
(b11 + b22 − b12 − b21 )xy + (b12 − b22 )x + (b21 − b22 )y + b22
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

140. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrios na extens˜o mista
a
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]} e
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]}: Estrat´gias mistas.
e
E (x, y ) =
(a11 + a22 − a12 − a21 )xy + (a12 − a22 )x + (a21 − a22 )y + a22
´ o pagamento de Luiza. O pagamento de Carlos ´:
e e
F (x, y ) =
(b11 + b22 − b12 − b21 )xy + (b12 − b22 )x + (b21 − b22 )y + b22
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

141. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrios na extens˜o mista
a
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]} e
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]}: Estrat´gias mistas.
e
E (x, y ) =
(a11 + a22 − a12 − a21 )xy + (a12 − a22 )x + (a21 − a22 )y + a22
´ o pagamento de Luiza. O pagamento de Carlos ´:
e e
F (x, y ) =
(b11 + b22 − b12 − b21 )xy + (b12 − b22 )x + (b21 − b22 )y + b22
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

142. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrios na extens˜o mista
a
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]} e
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]}: Estrat´gias mistas.
e
E (x, y ) =
(a11 + a22 − a12 − a21 )xy + (a12 − a22 )x + (a21 − a22 )y + a22
´ o pagamento de Luiza. O pagamento de Carlos ´:
e e
F (x, y ) =
(b11 + b22 − b12 − b21 )xy + (b12 − b22 )x + (b21 − b22 )y + b22
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

143. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Conjuntos dos Perf´ racionais
ıs
Para achar os equil´
ıbrios de Nash achamos os perf´ racionais.
ıs
Para Luiza:
R1 = {(x, y ) : E (x, y ) = supx ∈[0,1] E (¯, y )}
¯ x
E para Carlos:
R2 = {(x, y ) : F (x, y ) = supy ∈[0,1] F (x, y )}
¯ ¯
Encontramos R1 ∩ R2 .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

144. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Conjuntos dos Perf´ racionais
ıs
Para achar os equil´
ıbrios de Nash achamos os perf´ racionais.
ıs
Para Luiza:
R1 = {(x, y ) : E (x, y ) = supx ∈[0,1] E (¯, y )}
¯ x
E para Carlos:
R2 = {(x, y ) : F (x, y ) = supy ∈[0,1] F (x, y )}
¯ ¯
Encontramos R1 ∩ R2 .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

145. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Conjuntos dos Perf´ racionais
ıs
Para achar os equil´
ıbrios de Nash achamos os perf´ racionais.
ıs
Para Luiza:
R1 = {(x, y ) : E (x, y ) = supx ∈[0,1] E (¯, y )}
¯ x
E para Carlos:
R2 = {(x, y ) : F (x, y ) = supy ∈[0,1] F (x, y )}
¯ ¯
Encontramos R1 ∩ R2 .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

146. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Conjuntos dos Perf´ racionais
ıs
Para achar os equil´
ıbrios de Nash achamos os perf´ racionais.
ıs
Para Luiza:
R1 = {(x, y ) : E (x, y ) = supx ∈[0,1] E (¯, y )}
¯ x
E para Carlos:
R2 = {(x, y ) : F (x, y ) = supy ∈[0,1] F (x, y )}
¯ ¯
Encontramos R1 ∩ R2 .
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

147. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Um exemplo da estrat´gia descrita acima
e
O jogo ´ descrito pela seguinte bimatrix de pagamento
e
(3, 2) (2, 4)
(2, 3) (4, −3)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

148. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Pagamento de Luiza e Carlos
O pagamento de Luiza ser´
a
E (x, y ) = (3y − 2)x − 2y + 4
Pagamento de Carlos:
F (x, y ) = (−8x + 6)y + 7x − 3
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

149. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Pagamento de Luiza e Carlos
O pagamento de Luiza ser´
a
E (x, y ) = (3y − 2)x − 2y + 4
Pagamento de Carlos:
F (x, y ) = (−8x + 6)y + 7x − 3
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

150. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Pagamento de Luiza e Carlos
O pagamento de Luiza ser´
a
E (x, y ) = (3y − 2)x − 2y + 4
Pagamento de Carlos:
F (x, y ) = (−8x + 6)y + 7x − 3
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

151. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Pagamento de Luiza e Carlos
O pagamento de Luiza ser´
a
E (x, y ) = (3y − 2)x − 2y + 4
Pagamento de Carlos:
F (x, y ) = (−8x + 6)y + 7x − 3
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

152. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Conjuntos R1 e R2
1 R2
y
R1
2/3
x
3/4 1
(3/4, 1/4) e (2/3, 1/3) ´ equil´
e ıbrios de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

153. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogo do Cruzamento
Neste Jogo Carlos e Luiza encontram-se num cruzamento.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

154. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
As Matrizes de Pagamentos
−t2 /2 − −t2 −t1 /2 − 0
A= eB=
0 −t2 /2 − δ −t1 −t1 /2 − δ
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

155. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
As Estrat´gias
e
Cada um pode esperar (E) e prosseguir (P).
t1 ´ o tempo para Luiza completar a convers˜o.
e a
t2 ´ o tempo pa Carlos completar a convers˜o.
e a
atraso devido a m´tua espera.
u
δ atraso devido ao m´tuo avan¸o.
u c
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

156. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
As Estrat´gias
e
Cada um pode esperar (E) e prosseguir (P).
t1 ´ o tempo para Luiza completar a convers˜o.
e a
t2 ´ o tempo pa Carlos completar a convers˜o.
e a
atraso devido a m´tua espera.
u
δ atraso devido ao m´tuo avan¸o.
u c
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

157. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
As Estrat´gias
e
Cada um pode esperar (E) e prosseguir (P).
t1 ´ o tempo para Luiza completar a convers˜o.
e a
t2 ´ o tempo pa Carlos completar a convers˜o.
e a
atraso devido a m´tua espera.
u
δ atraso devido ao m´tuo avan¸o.
u c
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

158. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
As Estrat´gias
e
Cada um pode esperar (E) e prosseguir (P).
t1 ´ o tempo para Luiza completar a convers˜o.
e a
t2 ´ o tempo pa Carlos completar a convers˜o.
e a
atraso devido a m´tua espera.
u
δ atraso devido ao m´tuo avan¸o.
u c
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

159. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
As Estrat´gias
e
Cada um pode esperar (E) e prosseguir (P).
t1 ´ o tempo para Luiza completar a convers˜o.
e a
t2 ´ o tempo pa Carlos completar a convers˜o.
e a
atraso devido a m´tua espera.
u
δ atraso devido ao m´tuo avan¸o.
u c
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

160. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
F´rmula dos pagamentos dos jogadores
o
E (x, y ) = (−( + δ)y + (δ − t2 /2))x + (t2 /2 + δ)y − t2 /2 − δ
F (x, y ) = (−( + δ)x + (δ − t1 /2))y + (t1 /2 + δ)x − t1 /2 − δ
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

161. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
F´rmula dos pagamentos dos jogadores
o
E (x, y ) = (−( + δ)y + (δ − t2 /2))x + (t2 /2 + δ)y − t2 /2 − δ
F (x, y ) = (−( + δ)x + (δ − t1 /2))y + (t1 /2 + δ)x − t1 /2 − δ
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

162. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Representa¸˜o Gr´fica de R1 e R2
ca a
1 R2
y
θ2
R1
x
θ1 1
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

163. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
O Jogo Hawk-Dove
Dois le˜es competem pela posse de territ´rio. Se dois le˜es se
o o o
encontram numa disputa cada um deles pode agir de duas
maneiras: comportamento agressivo (Hawk), ou ele apenas ruge
amea¸adoramente mas foge se vier um ataque (Dove). Digamos
c
que o le˜o Jubinha encontra-se com o Sans˜o e iniciam a
a a
competi¸˜o. Se Jubinha agir como Hawk e Sans˜o como Dove,
ca a
Jubinha ficar´ com o territ´rio e ganhar´ ρ pontos. Se Sans˜o
a o a a
reagir, ou seja, agir com Hawk tamb´m, a´ haver´ luta com
e ı a
chances iguais de ganho para cada um dos lados. O lado ganhador
receber´ ρ e o perdedor perder´ C . O valor esperado de ganho de
a a
Jubinha ´ ρ/2 − C /2. Quando Jubinha agir como dove, n˜o ganha
e a
nada se Sans˜o for Hawk (ele foge) e ganhar´ metade das disputas
a a
por rugidos se Sans˜o for Dove.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

164. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
As matrizes deste Jogo
1/2(ρ − C ) ρ 1/2(ρ − C ) 0
A= eB= (20)
0 1/2ρ ρ 1/2ρ
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

165. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Fun¸˜es de pagamentos
co
C ρ ρ ρ
E (x, y ) = (− y + )x − y + (21)
2 2 2 2
C ρ ρ ρ
F (x, y ) = (− x + )y − x + (22)
2 2 2 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

166. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Identifica¸˜o dos pontos de equil´
ca ıbrio
y R2
1
ρ
C
R1
0 x
ρ
0 C 1
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

167. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogo Populacional
Um jogo em que A = B t como o jogo Hawk-Dove ´ chamado
e
de Jogo Populacional.
Neste caso, o jogo ´ sim´trico e n˜o ´ importante quem tem
e e a e
as linhas ou colunas.
A id´ia ´ que este jogo ocorra entre os elementos de uma
e e
popula¸˜o, constantemente e de forma aleat´ria.
ca o
A id´ia do jogo populacional foi introduzida por
e
Maynard-Smith.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

168. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogo Populacional
Um jogo em que A = B t como o jogo Hawk-Dove ´ chamado
e
de Jogo Populacional.
Neste caso, o jogo ´ sim´trico e n˜o ´ importante quem tem
e e a e
as linhas ou colunas.
A id´ia ´ que este jogo ocorra entre os elementos de uma
e e
popula¸˜o, constantemente e de forma aleat´ria.
ca o
A id´ia do jogo populacional foi introduzida por
e
Maynard-Smith.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

169. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogo Populacional
Um jogo em que A = B t como o jogo Hawk-Dove ´ chamado
e
de Jogo Populacional.
Neste caso, o jogo ´ sim´trico e n˜o ´ importante quem tem
e e a e
as linhas ou colunas.
A id´ia ´ que este jogo ocorra entre os elementos de uma
e e
popula¸˜o, constantemente e de forma aleat´ria.
ca o
A id´ia do jogo populacional foi introduzida por
e
Maynard-Smith.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

170. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Jogo Populacional
Um jogo em que A = B t como o jogo Hawk-Dove ´ chamado
e
de Jogo Populacional.
Neste caso, o jogo ´ sim´trico e n˜o ´ importante quem tem
e e a e
as linhas ou colunas.
A id´ia ´ que este jogo ocorra entre os elementos de uma
e e
popula¸˜o, constantemente e de forma aleat´ria.
ca o
A id´ia do jogo populacional foi introduzida por
e
Maynard-Smith.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

171. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Escolha dos equil´
ıbrios de Nash
Em alguns jogos podem ter muitos equil´
ıbrios de Nash.
Se estes equilibrios d˜o o mesmo pagamento para os jogadores
a
e podem ser alternados, s˜o solu¸˜es de Nash do Jogo.
a co
Se isto n˜o acontecer s˜o necess´rios outros crit´rios para
a a a e
escolha de um equil´
ıbrio.
No caso de jogos populacionais, s˜o os equilibrios
a
evolucion´riamente est´veis.
a a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

172. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Escolha dos equil´
ıbrios de Nash
Em alguns jogos podem ter muitos equil´
ıbrios de Nash.
Se estes equilibrios d˜o o mesmo pagamento para os jogadores
a
e podem ser alternados, s˜o solu¸˜es de Nash do Jogo.
a co
Se isto n˜o acontecer s˜o necess´rios outros crit´rios para
a a a e
escolha de um equil´
ıbrio.
No caso de jogos populacionais, s˜o os equilibrios
a
evolucion´riamente est´veis.
a a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

173. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Escolha dos equil´
ıbrios de Nash
Em alguns jogos podem ter muitos equil´
ıbrios de Nash.
Se estes equilibrios d˜o o mesmo pagamento para os jogadores
a
e podem ser alternados, s˜o solu¸˜es de Nash do Jogo.
a co
Se isto n˜o acontecer s˜o necess´rios outros crit´rios para
a a a e
escolha de um equil´
ıbrio.
No caso de jogos populacionais, s˜o os equilibrios
a
evolucion´riamente est´veis.
a a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

174. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Escolha dos equil´
ıbrios de Nash
Em alguns jogos podem ter muitos equil´
ıbrios de Nash.
Se estes equilibrios d˜o o mesmo pagamento para os jogadores
a
e podem ser alternados, s˜o solu¸˜es de Nash do Jogo.
a co
Se isto n˜o acontecer s˜o necess´rios outros crit´rios para
a a a e
escolha de um equil´
ıbrio.
No caso de jogos populacionais, s˜o os equilibrios
a
evolucion´riamente est´veis.
a a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

175. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Estrat´gias n˜o invad´
e a ıveis
Por causa da simetria de um jogo populacional s´
o
consideramos uma fun¸˜o de pagamento.
ca
No caso H-D: E (x, y ) = (− C y + ρ )x − ρ y + ρ .
2 2 2 2
Uma estrat´gia x ∗ ´ n˜o invad´
e e a ıvel se:
E (x ∗ , x ∗ ) ≥ E (y , x ∗ ) para todo y ∈ [0, 1]
E (x ∗ , x ∗ ) = E (y , x ∗ ) ent˜o E (x ∗ , y ) > E (y , y )
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

176. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Estrat´gias n˜o invad´
e a ıveis
Por causa da simetria de um jogo populacional s´
o
consideramos uma fun¸˜o de pagamento.
ca
No caso H-D: E (x, y ) = (− C y + ρ )x − ρ y + ρ .
2 2 2 2
Uma estrat´gia x ∗ ´ n˜o invad´
e e a ıvel se:
E (x ∗ , x ∗ ) ≥ E (y , x ∗ ) para todo y ∈ [0, 1]
E (x ∗ , x ∗ ) = E (y , x ∗ ) ent˜o E (x ∗ , y ) > E (y , y )
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

177. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Estrat´gias n˜o invad´
e a ıveis
Por causa da simetria de um jogo populacional s´
o
consideramos uma fun¸˜o de pagamento.
ca
No caso H-D: E (x, y ) = (− C y + ρ )x − ρ y + ρ .
2 2 2 2
Uma estrat´gia x ∗ ´ n˜o invad´
e e a ıvel se:
E (x ∗ , x ∗ ) ≥ E (y , x ∗ ) para todo y ∈ [0, 1]
E (x ∗ , x ∗ ) = E (y , x ∗ ) ent˜o E (x ∗ , y ) > E (y , y )
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

178. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Estrat´gias n˜o invad´
e a ıveis
Por causa da simetria de um jogo populacional s´
o
consideramos uma fun¸˜o de pagamento.
ca
No caso H-D: E (x, y ) = (− C y + ρ )x − ρ y + ρ .
2 2 2 2
Uma estrat´gia x ∗ ´ n˜o invad´
e e a ıvel se:
E (x ∗ , x ∗ ) ≥ E (y , x ∗ ) para todo y ∈ [0, 1]
E (x ∗ , x ∗ ) = E (y , x ∗ ) ent˜o E (x ∗ , y ) > E (y , y )
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

179. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Estrat´gias n˜o invad´
e a ıveis
Por causa da simetria de um jogo populacional s´
o
consideramos uma fun¸˜o de pagamento.
ca
No caso H-D: E (x, y ) = (− C y + ρ )x − ρ y + ρ .
2 2 2 2
Uma estrat´gia x ∗ ´ n˜o invad´
e e a ıvel se:
E (x ∗ , x ∗ ) ≥ E (y , x ∗ ) para todo y ∈ [0, 1]
E (x ∗ , x ∗ ) = E (y , x ∗ ) ent˜o E (x ∗ , y ) > E (y , y )
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

180. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Interpreta¸˜o da estrat´gia n˜o invad´
ca e a ıvel
Se a maioria da popula¸˜o usa a estrat´gia x ∗ e um invasor da
ca e
esp´cie usa a estrat´gia y ent˜o o ganho do invasor contra um
e e a
elemento que usa a estrat´gia da maioria x ∗ n˜o ser´ maior que o
e a a
ganho de algu´m com a estrat´gia comum x
e e ∗ . Ainda que o invasor
logre igualar o ganho contra x ∗ , contra outro invasor ele sairia
perdendo.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

181. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrio evolucionariamente est´vel no Hawk-Dove
a
(x ∗ , x ∗ ) ´ um equil´
e ıbrio de Nash. Chamaremos este equil´
ıbrio
de evolucionariamente est´veis.
a
No jogo Hawk-Dove o par (ρ/C , ρ/C ) ´ um equil´
e ıbrio
evolucionariamente est´vel.
a
Este equil´
ıbrio tem uma caracteriza¸˜o dinˆmica.
ca a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

182. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrio evolucionariamente est´vel no Hawk-Dove
a
(x ∗ , x ∗ ) ´ um equil´
e ıbrio de Nash. Chamaremos este equil´
ıbrio
de evolucionariamente est´veis.
a
No jogo Hawk-Dove o par (ρ/C , ρ/C ) ´ um equil´
e ıbrio
evolucionariamente est´vel.
a
Este equil´
ıbrio tem uma caracteriza¸˜o dinˆmica.
ca a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

183. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equil´
ıbrio evolucionariamente est´vel no Hawk-Dove
a
(x ∗ , x ∗ ) ´ um equil´
e ıbrio de Nash. Chamaremos este equil´
ıbrio
de evolucionariamente est´veis.
a
No jogo Hawk-Dove o par (ρ/C , ρ/C ) ´ um equil´
e ıbrio
evolucionariamente est´vel.
a
Este equil´
ıbrio tem uma caracteriza¸˜o dinˆmica.
ca a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

184. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equa¸˜o do replicador
ca
Equa¸˜o geral do replicador para jogo populacional n × n.
ca
xi (t) = xi (t)(E (i, x) − E (x, x))
˙
xi (t) = ei Ax − xAx
˙
Equil´
ıbrios assint´ticamente est´veis d˜o equil´
o a a ıbrios
evolucionariamente est´veis.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

185. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equa¸˜o do replicador
ca
Equa¸˜o geral do replicador para jogo populacional n × n.
ca
xi (t) = xi (t)(E (i, x) − E (x, x))
˙
xi (t) = ei Ax − xAx
˙
Equil´
ıbrios assint´ticamente est´veis d˜o equil´
o a a ıbrios
evolucionariamente est´veis.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

186. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equa¸˜o do replicador
ca
Equa¸˜o geral do replicador para jogo populacional n × n.
ca
xi (t) = xi (t)(E (i, x) − E (x, x))
˙
xi (t) = ei Ax − xAx
˙
Equil´
ıbrios assint´ticamente est´veis d˜o equil´
o a a ıbrios
evolucionariamente est´veis.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

187. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Equa¸˜o do replicador
ca
Equa¸˜o geral do replicador para jogo populacional n × n.
ca
xi (t) = xi (t)(E (i, x) − E (x, x))
˙
xi (t) = ei Ax − xAx
˙
Equil´
ıbrios assint´ticamente est´veis d˜o equil´
o a a ıbrios
evolucionariamente est´veis.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

188. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Exemplo do Hawk-Dove
Neste caso s´ temos duas estrat´gias e a equa¸˜o do
o e ca
Replicador se reduz a
x = x(E (1, x) − E (x, x)) ou
˙
x = x (Cx 2 − (ρ + C )x + ρ) = F (x)
˙ 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

189. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Exemplo do Hawk-Dove
Neste caso s´ temos duas estrat´gias e a equa¸˜o do
o e ca
Replicador se reduz a
x = x(E (1, x) − E (x, x)) ou
˙
x = x (Cx 2 − (ρ + C )x + ρ) = F (x)
˙ 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

190. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Exemplo do Hawk-Dove
Neste caso s´ temos duas estrat´gias e a equa¸˜o do
o e ca
Replicador se reduz a
x = x(E (1, x) − E (x, x)) ou
˙
x = x (Cx 2 − (ρ + C )x + ρ) = F (x)
˙ 2
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

191. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Determinando os pontos de equil´
ıbrios est´veis
a
+
0 ρ/C 1
−
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

192. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Bibliografia
Peter Morris Introduction to Game Theory - Springer
Verlag, 1994.
Martin J. Osborne e Ariel Rubinstein A Course in Game
Theory - MIT Press, 1994.
Michael Mesterton-Gibbons An Introduction to
Game-Theoretic Modelling second ed. AMS, 2001.
Saul Stahl A Gentle Introduction to Game Theory AMS,
1999.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

193. Defini¸˜es Gerais
co
Sum´rio
a
Caso duas estrat´gias
e
Soma Zero
Equil´
ıbrios Evolucionariamente Est´veis
a
Jogos sem Soma Zero
Bibliografia
Mais referˆncias
e
J Maynard Smith Evolution and the Theory of Games
CUP, 1974.
J.von Neumann e O. Morgenstern Theory of Games and
Economic Behavior J. Willey Sons, 1944.
J. Harsanyi e R. Selten A General Theory of Equilibrium
Selection in Games MIT Press, 1988.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos