Microeconomia parte2

1
Microeconomia
Teoria do Consumidor

3
Introdução
• O núcleo conceptual da Teoria do
Consumidor é o princípio de que a
decisão dos agentes económicos resulta
de uma comparação entre o benefício da
sua acção (i.e., o ganho de bem-estar que
origina) com o custo de a implementar
(i.e., o dispêndio de recursos escassos
disponíveis)

4
Introdução
• Bentham (1748-1832) desenvolve o
utilitarismo como o fundo ético do Homem
que responde a todas as questões acerca
do que fazer, do que admirar e de como
viver.
– Jeremy Bentham (1789), Uma Introdução aos
Princípios da Moral e da Legislação.

5
Introdução
• Insere-se no movimento filosófico de
libertação do Homem da esfera do
sagrado.
• O princípio da optimização resulta
directamente da teoria da Selecção
Natural, Charles Darwin (1809-82):
– os indivíduos mais optimizadores têm maior
probabilidade de sobreviver, de ter filhos e de
transmitir essa ética aos seus filhos (e
concidadãos).

6
Introdução
• Na teoria do consumidor assumimos que
• O indivíduo escolhe um cabaz formado
com uma certa quantidade de dois bens
ou serviços estando sujeito ao rendimento
que tem disponível.
• Os indivíduos possuem informação e
raciocínio perfeitos (o que é público).

8
Preferências e gostos
• Princípio da Utilidade
• Cada indivíduo tem necessidades que,
quando satisfeitas, lhe permitem viver
numa situação de maior conforto, de
maior bem-estar.

9
• Em termos económicos, as necessidades
humanas são satisfeitas com a
apropriação e fruição de bens e serviços.
– A utilidade (i.e., o valor económico) dos bens
e serviços resulta da sua capacidade em
satisfazer as necessidades humanas.

10
– Se um objecto não satisfaz nenhuma
necessidade humana, então não tem utilidade
– De entre as coisas com utilidade, a afectação
das que estão disponíveis em quantidades
ilimitadas não são um problema porque o
indivíduo consegue sempre apropriar a
quantidade suficiente para satisfazer as suas
necessidades.

11
• A utilidades das coisas (i.e., o seu valor
económico) é subjectiva pois depende
dos gostos e preferências da pessoa que
as vai consumir/fruir.
– A aceitação deste principio moral inviabiliza a
existência de uma economia centralizada
eficiente.

12
• Princípio da Comparabilidade
• Sendo o cabaz A = (a1, a2) que contém as
quantidades a1 e a2 de dois b&s
• o ser humano é capaz de o comparar com
qualquer outro cabaz B = (b1, b2) formado
por quantidade diferentes dos mesmos
b&s.

13
• O indivíduo considera que o cabaz B é
pior,
análogo ou
melhor,
• que o cabaz A.

14
• Se A for pior que B, o indivíduo pretere o
A a B
• Se A for análogo a B, o indivíduo está
indiferente entre A e B
• Se A for melhor que B, o indivíduo prefere
o cabaz A ao B

15
• Princípio da Transitividade da
Comparação
• traduz que as escolhas do consumidor
são consistentes.
– e.g, se A é melhor que B e B é melhor que C,
então A é melhor que C.
• Vamos codificar “melhor que” por >;
“análogo a” por =; e “pior que” por <;

16
Exercício
• Exercício 2.1. Considere os cabazes A,
B, C e D. Como se compara A com C e
D?
i) Se A = B, B > C e C = D
ii) Se A = B e B = C
iii) Se A ≤ B, B ≤ C e C = D
iii) Se A ≤ B, B = C e C ≥ D

17
Exercício
• R:
i) A > C e A>D
ii) A = C
iii) A ≤ C e A ≤ D
iv) Não se sabe.

18
• Princípio da Insaciabilidade
• O ser humano prefere sempre apropriar
uma maior quantidade (ou qualidade) de
bens ou serviços.
– Em termos de quantidade, não será um
princípio sempre aceitável

19
• e.g., a quantidade de comida que
queremos consumir tem um limite.
– Ficamos empanturrado
– Não queremos engordar
• No entanto, preferíamos sempre comida
mais saborosa (i.e., de maior qualidade).

21
Curva de indiferença
• Delimitação dos melhores/piores
• Pensando em termos de dois bens ou
serviços, a insaciabilidade vai-nos permitir
começar a comparar os cabazes
• Sendo o cabaz A = (a1, a2) e o cabaz
genérico B = (b1, b2), posso delimitar os
subdomínios em que B é melhor que A e
em que é pior que A

22
• No local dos “melhores”, tenho mais de
ambos os bens
– Na fronteira tenho igual quantidade de um
bem e maior quantidade de outro bem
• A > B se
(a1 = b1 e a2 > b2) ou (a1 > b1 e a2 = b2) ou
(a1 > b1 e a2 > b2)

23
• No local dos “piores”, tenho menos de
ambos os bens
– Na fronteira tenho igual quantidade de um
bem e menor quantidade de outro bem
• A < B se
(a1 = b1 e a2 < b2) ou (a1 < b1 e a2 = b2) ou
(a1 < b1 e a2 < b2)

25
• Ainda me falta classificar metade do
domínio dos cabazes

26
• Taxa marginal de substituição
• Sendo o cabaz A = (a1, a2), existe k que
faz o cabaz B = (a1 + δ; a2 + δ.k) análogo
ao cabaz A
δ é uma quantidade infinitesimal e k uma
constante de valor negativo
– k é negativo porque aumento a quantidade de
um b&s e diminuo a do outro b&s. Caso
contrário, não observava a insaciabilidade

28
• Curva de indiferença Se eu continuar a
aplicar a “substituição” de um pouco do
bem 1 por um pouco do bem 2 (e vice-
versa), vou traçando uma linha que
contêm todos os cabazes análogos ao
cabaz A.

29
• Como para o indivíduo os cabazes que
formam essa linha são equivalentes, esta
denomina-se por curva de indiferença e
separa a zona dos capazes melhores que
A da zona dos cabazes piores que A.

30
• A taxa marginal de substituição, k, entre o
bem 1 e o bem 2 indica a inclinação da
curva de indiferença em cada ponto, i.e.,
a derivada da curva de indiferença
• A curva de indiferenças é a quantidade de
um bem em função da quantidade de
outro bem que mantém o mesmo nível de
bem-estar: y = f(x, u*)

32
• Evolução da taxa marginal de
substituição com a quantidade
• Para termos uma “teoria bem
comportada” é necessário que qualquer
linha que una dois cabazes da curva de
indiferença passe apenas pela zona dos
cabazes melhores que A.
– em termos matemáticos, a CI será convexa

33
• A convexidade obriga a que a taxa
marginal de substituição (a inclinação da
CI) diminua da esquerda para a direita.

34
• A convexidade é aceitável em termos
económicos já que traduz que
– se tiver pouco do bem 1, apenas trocarei uma
unidade desse bem por uma quantidade
grande do bem 2 (k será grande em
grandeza).
– se tiver muito do bem 1, estarei disponível
para trocar uma unidade desse bem por uma
quantidade mais pequena do bem 2 (k será
menor em grandeza).

36
• Mas, a um nível de teoria mais avançada,
poderemos ter CI “mal” comportadas:

37
Exercício
• Exercício 2.2. Um indivíduo tem como
curva de indiferença y = 100/x. Qual é, em
A = (x, y) = (5, 20), a taxa marginal de
substituição do bem X pelo bem Y?
• E no cabaz B = (20, 5)?

38
Exercício
• TMSxy = y’ = –100/x2 ⇒ TMSA = –4
– quando tenho 5 unidades do bem X, para
compensar a perda de uma unidade do bem
X, necessito de adquirir 4 unidades do bem Y
• TMSB = – 0.25
– quando tenho 20 unidades do bem X, para
compensar a perda de uma unidade do bem
X, apenas necessito de adquirir 0.25
unidades do bem Y.

40
Função de utilidade
• Posso caracterizar as preferências do
indivíduo por um conjunto de curvas
de indiferença.
• Comparando duas curvas de
indiferença, as que estão à direita e
acima contêm cabazes que são
preferíveis aos que se encontram nas
curvas de indiferenças à esquerda e
abaixo

42
• As curvas de indiferença nunca se
intersectam.

43
Exercício
• Exercício 2.3. Conhecem-se duas curvas de
indiferença de um individuo, CI1: a2 = 100/a1
2
e
CI2: a2 = 10/a1
2
.
• i) Verifique que estas duas curvas não se
intersectam.
• ii) Qual das duas curvas contêm cabazes
preferíveis?
• iii) Calcule e interprete a taxa marginal de
substituição em A = (5, 4) e em B = (2.5, 1.6) e
verifique se estão de acordo com a teoria.

44
Exercício
• i) Teria que haver um ponto em que as
duas curvas coincidissem:
a2 = 100/a1
2
e a2 = 10/a1
2
⇔ 100/a1
2
= 10/a1
2
⇔ 100 a1
2
= 10 a1
2
⇔ a1 = 0 e a2 = +∞,
• mas este ponto não faz parte de IR2
.

45
Exercício
• ii) Pegando num cabaz de CI1, A = (10, 1),
existe em CI2 o cabaz B = (10, 0.1) que é
pior que A
– pelo princípio da insaciabilidade
• Então qualquer cabaz da CI1 é preferíveis
a qualquer outro cabazes da CI2.

46
Exercício
• iii) A pertence à CI1: TMSA = –200/a1
3
= – 1.6
– preciso de 1.6 unidades do bem 2 para compensar a
perda de uma unidade do bem 1.
• B pertence à CI2: TMSA = –20/a1
3
= –1.28
– preciso de 1.28 unidades do bem 2 para compensar
a perda de uma unidade do bem 1.
• Apesar de eu ter menor quantidade do bem 1,
como estou em curvas de indiferença diferentes,
não se aplica o princípio de que a TMS diminui
quando a quantidade do bem 1 aumenta.
– No exemplo, também varia a quantidade do bem 2.

47
• Poderíamos avançar com uma análise
das escolhas do consumidor usando
apenas a as curvas de indiferença.
• No entanto, a modelização matemática
obriga a atribuir um número a cada curva
de indiferença
– Uma curva de indiferença com cabazes
melhores terá associado um número maior.

48
• A esse número chama-se nível de utilidade e
com ele constrói-se uma Função de Utilidade
que dá as curvas de indiferença de forma
implícita.
qaaUqaaqIC =≡ ),(:),(.. 2112

49
• Podemos obter a taxa marginal de
substituição num determinado cabaz sem
explicitar a forma funcional da curva de
indiferença que lá passa.
• Usamos o teorema da derivação da
função implícita (a teoria é apresentada
em Matemática I).

50
• Sendo y(x) dada implicitamente por
• Teremos
qyxU =),(
y
yxU
x
yxU
dx
dy
TMSxy
∂
∂
∂
∂
−==
),(
),(

51
• Leio taxa de substituição de x por y
• Substituo uma unidade de x por
K = TMSxy unidades de y.
• Ex2.4. As preferências de um consumidor
condensam-se na função de utilidade
U(x,y) = x.y. Calcule a TMSxy de U(x,y)
em A = (10, 5).

52
Exercício
• Ex2.4. As preferências de um consumidor
U(x,y) = x.y.
• Calcule a TMSxy de U(x,y) em A = (10, 5).

53
Exercício
• No cabaz A, é necessário aumentar o
consumo de y em 0.5 unidades para
compensar a diminuição do consumo de x
em 1 unidade
5.0
10
5
'
'
−=−=−=−=
x
y
U
U
TMSxy
y
x

54
Exercício
• Considere a função de utilidade
U(a1,a2) = a1.a2.
• i) Determine a curva de indiferença que passa
pelo cabaz A = (5,10).
• ii) Verifique que as funções
V(a1,a2) = ln(a1) + ln(a2) e
Z(a1,a2) = a1
4
. a2
4
• condensam as mesmas preferências que
U(a1,a2).

55
Exercício
• U(5, 10) = 50 ⇒ a2 = 50/a1.
• V(5, 10) = ln(5) + ln(10) = 3.912
⇒ ln(a2) = 3.912 – ln(a1)
⇔ a2 = 50/a1
• Z(5, 10) = 6.25E6 ⇒ a2
4
= 6.25E6/a1
4
⇔ a2 = 50/a1
Como as curvas de indiferença são iguais, então
U, V e Z codificam as mesmas preferências.

57
Restrição orçamental
• É sabido que, o estudo da Economia está
dependente da circunstância de a quantidade
disponível de bens e serviços ser limitada e
inferior às necessidades.
• O consumidor tem um rendimento nominal
(i.e., em euros) que aplica na aquisição de
bens ou serviços cujos preços de mercado
são dados (o agente é price taker).

58
• O rendimento disponível das famílias tem
origem principalmente nos salários, sendo
também importantes os rendimentos do
capital (e.g., dividendos e juros) e as
transferências do estado (e.g., rendimento de
inserção social).

59
Sector de actividade principal Portugal Norte Centro Lisboa Alentejo Algarve
Todos os sectores 736 684 648 899 685 687
Agricultura, silvicultura e
pesca 507 446 502 646 567 456
Indústria, construção,
energia e água 662 619 591 883 676 656
Serviços 787 749 696 905 710 708
Salário médio mensal líquido 2007, ine

60
Exercício
• Ex2.5: Um aluno tem 600 € /mês de
rendimento que pode gastar em alimentação
cujo preço é 5€/u., vestuário cujo preço é
10€/u. e habitação cujo preço é 100€/u. Qual
será o cabaz que o aluno pode consumir em
cada mês?
O cabaz terá a forma X = (a, v, h)

61
Exercício
• Qualquer cabaz X = (a, v, h) que custe menos
que o rendimento disponível,
(a, v, h) : 5a + 10v + 100h ≤ 600

62
• Tal como consideramos para as curvas de
indiferença, tomemos o exemplo de um cabaz
genérico com dois bens ou serviços,
A = (a1, a2).
• A restrição orçamental virá dada por
p1.a1 + p2.a2 ≤ r

64
• Recta orçamental, RO
• A linha fronteira entre a zona dos cabazes que
o indivíduo pode adquirir e a zona dos
cabazes que o indivíduo não pode adquirir
p1.a1 + p2.a2 = r.
• Motivado pela insaciabilidade, o indivíduo
esgota o rendimento, adquirindo apenas os
cabazes sobre a RO

65
• Podemos explicitar a RO,
• a2 = r/p2 – a1.p1/p2
• a intersecção com o eixo vertical é r/p2,
– Traduz o máximo que eu posso comprar do bem 2
• a intersecção com o eixo horizontal é r/p1,
– Traduz o máximo que eu posso comprar do bem 1

66
• A inclinação da RO vale – p1/p2.
– traduz que para comprar mais uma unidade do
bem 1 eu tenho que abdicar de comprar – p1/p2
unidades do bem 2:
– é idêntico à TMSxy mas aqui pretendo manter a
despesa constante, enquanto na TMS pretendo
manter o nível de utilidade constante.

67
Exercício
• Ex2.6: Um indivíduo tem de rendimento disponível
1000€/mês que gasta em alimentação e habitação, (a,
h), cujos preços unitários são 2.5€/u. e 5€/u.,
respectivamente.
• i) Qual a quantidade máxima de alimentação e de
habitação que o individuo pode adquirir?
• ii) Sobre a RO, quantas unidade de alimentação tem
que abdicar para adquirir mais uma unidade de
habitação?
• iii) o indivíduo poderá adquirir (a, h) = (200, 150)?

68
Exercício
• i) amax = 1000/2.5 = 400u.
hmax = 1000/5 = 200u.
• ii) Para manter a despesa sobre a RO, tem
que abdicar de 2 unidades de a por cada
unidade a mais de h: –ph/pa = –5/2.5 = –2.
• iii) Não pode adquirir pois a despesa,
200*2.5+150*5 = 1250€, seria maior que os
1000€ de rendimento disponível.

69
• Efeito na RO da alteração do rendimento
• Quando o rendimento aumenta (e os preços
se mantêm), o indivíduo pode consumir
cabazes mais recheados.
• Em termos gráficos, este acontecimento
traduz-se por um deslocamento da RO para a
direita e para cima.
• O declive (dado por –p1/p2), não se altera.

71
• Quando o rendimento diminui, passa-se
exactamente o contrário: a RO deslocando-se
para a esquerda e para baixo, mantendo-se o
declive.

72
Exercício
• Ex2.6: Sendo que um indivíduo tem de
rendimento disponível 500€/mês que gasta
em dois bens, (x, y), cujos preços unitários
são 2€/u. e 5€/u., respectivamente.
• i) Represente graficamente a RO
• ii) Represente graficamente um aumento no
rendimento de 100€/mês.

73
Exercício
• R: i) 2x + 5y = 500 ⇔ y = 100 – 0.4x
⇒ posso localizar os pontos extremos (0;100)
e (250;0) e uni-los por uma recta (linha azul) ;
• ii) 2x + 5y = 600 ⇔ y = 120 – 0.4x
⇒ posso localizar os pontos extremos (0;120)
e (300,0) e uni-los por uma recta (linha rosa).

74
Exercício
0
20
40
60
80
100
120
0 50 100 150 200 250 300x
y

75
• Efeito na RO da alteração dos preços
• Quando um preço se altera, a intersecção
com o eixo que representa o bem ou serviço
respectivo também se altera mas em sentido
contrário.
• Esse facto resulta de o ponto de intersecção
ser a quantidade que eu posso comprar e por
isso inversamente proporcional ao preço, r/p

76
• Efeito na RO da alteração dos preços
• Quanto mais barato for o bem ou serviço,
maior quantidade posso comprar.
• Vejamos uma alteração da RO quando o
preço do bem representado no eixo dos yy
diminui (mantendo-se o rendimento e o preço
do bem representado no eixo dos xx).

78
• Se o preço do bem y aumentasse,
observava-se o contrário
• O ponto de intersecção ficaria mais
próximo da origem

79
• A RO altera-se de forma análoga, mutatis
mutandis, quando acontece uma
diminuição do preço do bem representado
no eixo dos xx.
• Vezualizemos esta situação (mantendo-se
o rendimento e o preço do bem
representado no eixo dos yy).

81
• mutatis mutandis
• Expressão latina que traduz “mudando o
que tem que ser mudado”. É aplicado na
comparação de situações que são
diferentes mas entre as quais existe
alguma analogia.
• e.g., o ser humano é, mutatis mutandis,
anatomicamente igual ao rato.

82
Exercício
rendimento disponível 500€/mês que gasta
em dois bens, (x, y), cujos preços unitários
são 2€/u. e 5€/u., respectivamente.
• i) Represente graficamente a RO e
• ii) o efeito na RO de o preço do bem y
passar a ser 10€.

83
Exercício
• R: i) 2x + 5y = 500 ⇔ y = 100 – 0.4x
⇒ pontos extremos (0; 100) e (250; 0)
• ii) 2x + 10y = 500 ⇔ y = 50 – 0.2x
⇒ pontos extremos (0; 50) e (250, 0).

84
Exercício
0
20
40
60
80
100
120
0 50 100 150 200 250 300X
Y
py = 10€/u.
py = 5€/u.

85
• Pela comparação das situações, vemos
que uma alteração do rendimento é
equivalente a uma alteração proporcional e
de sinal contrário de todos os preços.
• e.g., o aumento do rendimento em 1% é
equivalente à descida de ambos os preços
em 1%.

86
Decisão do consumidor
Escolha do cabaz.

87
• Sob o princípio da insaciabilidade, o
consumidor será optimizador
• Irá escolher o cabaz que lhe permita atingir
o maior nível de utilidade.

88
• Em termos gráficos, considerado um
determinado nível de rendimento, vamos
considerar um exemplo de uma curva de
indiferença de nível de utilidade U1.

90
• No caso representado, qualquer cabaz à
direita da CI e abaixo da RO é ainda
possível de adquirir
– não esgotam o rendimento disponível
• Existem nessa área cabaz melhores que os
que se localizam em U1, (os contidos na
zona azul).
– Princípio da insaciabilidade

91
• Então, o cabaz óptimo obriga a considerar
outra CI mais à direita e acima desta, por
exemplo a CI de nível de utilidade U2 > U1.
• No entanto, ainda é possível a aquisição de
cabazes melhores que os da curva U2 (a
zona vermelha da Fig.2.10).

93
• No entanto, ainda é possível a aquisição de
cabazes melhores que os da curva U2 (a
zona vermelha da figura anterior).
• Na melhor das hipóteses, o consumidor pode
escolher um cabaz sobre a CI cujo nível de
utilidade é U3 > U2 > U1.
• No caso limite, a CI é tangente à RO e o
cabaz óptimo encontra-se exactamente no
ponto de tangencia.

95
• Em termos matemáticos, no cabaz óptimo
teremos que a taxa marginal de substituição é
igual inclinação da Recta Orçamental:
• TMSxy = –px/py.

96
Exercício
• Ex2.8: Um indivíduo tem de rendimento
disponível 500€/mês que gasta em dois bens,
(x, y), cujos preços unitários são 2€/u. e 5€/u.
respectivamente, e os seus gostos traduzem-
se em U(x,y) = x.y.
• i) Determine o cabaz óptimo.
• ii) Verifique que o cabaz óptimo não se altera
se a utilidade for V(x,y) = x4
.y4
.

97
Exercício
• R: Quanto maior o px, maior a inclinação da
RO, então a sua inclinação é
-px/py = –2/5 = –0.4.
• i) A TMSxy genérica é – U’x / U’y = –y/x.
Então no cabaz óptimo



=
=
⇔



=+
=
⇔




=+
−=−
125
50
50022
4.0
50052
4.0
x
y
xx
xy
yx
x
y

98
Exercício
• ii) A TMSxy mantém-se -0.4,
TMSxy = – U’x / U’y = – (3x2.y3)/(3x3.y3) =
–y3/x3 = –y/x, pelo que o cabaz óptimo
também se mantém.

99
• Generalização a cabazes em IRn:
• Há ainda necessidade de que se verifique a
restrição orçamental.
– Esta forma é muito mais simples de memorizar.
k
p
U
iIREm
p
U
p
U
p
p
U
U
IREm
i
in
=∀⇒⇒
=⇔−=−
'
,
''
'
'
,
2
2
1
1
1
2
1
22

100
• Esta condição também garante que, apesar
de a função de utilidade ser diferente de
consumidor para consumidor,
• É possível para todos os consumidores
igualar o preço de mercado à sua utilidade
marginal.
• Apesar da função de utilidade ser diferente,
utilidade marginal será igual para todos
– A menos de um factor de escala.

101
Exercício
• Ex2.9: Um determinado aluno tem 600 €
/mês de rendimento que pode gastar em
alimentação (5€/u.), vestuário (10€/u) e
habitação (100€/u.).
• Sendo que as seus gostos se podem
condensar na função de utilidade
U(a, v, h) = a.v.h,
• determine o cabaz óptimo do aluno.

102
Exercício









=++
=
=
600...
''
''
hva
h
h
v
v
v
v
a
a
phpvpa
p
U
p
U
p
U
p
U

103
Exercício





=
=
=
⇔





=++
−
−
⇔





−
=
=
⇔





−
=
=
⇔









−
=
=
20
2
40
600101010
1.0
2
10100
510
100
.
10
.
10
.
5
.
v
h
a
vvv
vh
va
vh
av
vaha
hahv

104
• Formalização matemática do problema de
optimização:
• A escolha do cabaz óptimo obriga a utilizar
a (primeira) condição de optimização que
foi obtida de forma gráfica. No entanto,
podemos formalizar o problema de
optimização do consumidor em termos
matemáticos e resolvê-lo

105
• Este modelo de extremos com uma
equação de ligação pode ser tratado
genericamente utilizando a equação
Lagrangeana (tratado na Matemática I).
{ }rpypxsayxMaxUVyx yx =+= ..),,(:),(

106





=+
=
⇒





=+
=+
=+
⇒





=
=
=
⇒−++=
rpypx
p
U
p
U
rpypx
pU
pU
L
L
L
rpypxyxUL
yx
y
y
x
x
yx
yy
xx
y
x
yx
....
0.
0.
0
0
0
)...(),(
λ
λ
λ
λ

107
• Também podemos resolver este problema de
optimização por incorporação da equação de
ligação na função a optimizar. Desta forma
determina-se a quantidade de um dos bens,
e.g., x:
{ })/./,(: yxy ppxprxMaxUVx −=

108
Exercício
• Ex2.10: Um indivíduo tem 1000 €/mês de
rendimento que pode gastar em alimentação
(5€/u.) ou habitação (10€/u.) e os seus gostos
condensam-se na função
U(a, h) = a + 2h + a.h
• i) Determine o seu cabaz óptimo; e
• ii) a elasticidade preço da procura de
alimentos e a elasticidade preço-cruzado da
procura de habitação.

109
Exercício
[ ]{ }1000105,.2:),( =+++= hasahahaMaxVha

110
Exercício
[ ]
[ ] 042002200200
).2200(2)2200(
2
=−⇒−+=⇒
−++−=⇒
hhhMaxV
hhhhMaxV
10050 ==⇒ aeh

111
Exercício
• Vou aumentar o preço da alimentação em 1%
[ ]{ }10001005.5,.2:),( =+++= hasahahaMaxVha
[ ]
[ ]
99005.5096.304.198
98.104.19802.198
).98.102.198(2)98.102.198(
2
==⇔−⇒
−+=⇔
−++−=⇒
aehh
hhMaxV
hhhhMaxV

112
Exercício
• Posso calcular a elasticidade preço da procura
de alimentos
• E a elasticidade preço-cruzado da procura de
habitação
;005.1%1/
5.99
10099
−=




 −
=paea
010.0%1/
0025.50
50005.50
=




 −
=paeh

113
Exercício
• Também se poderia calcular a elasticidade
com a resolução para um preço genérico e o
cálculo analítica da elasticidade
[ ]{ }





+=
−=
⇔



=+−+
−
⇔



=+
−+=
⇔





=+
+
=
+
=+++=
a
a
a
a
aa
a
a
a
ph
p
a
hph
hap
phap
hap
a
p
h
hapsahahaMaxVyx
1.05.49
1
505
10001021010
100010.
21010.
100010.
10
21
100010.,.2:),(

114
Exercício
01.0
1.09.9
1.0
1.0/5.49
1.0
.
1
/505
505
. 2
=
+
=
+
==
−=−==
a
a
a
pa
a
a
a
a
a
pa
ph
p
dp
dh
eh
p
p
pa
p
dp
da
ea

115
Carnepreç
o
P. Vaca P.
Porco
P.
Frango
C. Vaca –0.65 0.01 0.20
C. Porco 0.25 –0.45 0.16
C. Frango 0.12 0.20 –0.65
Estimativa da elasticidade preço-cruzado da
procurada (Fonte: Besanko, 2ªed, Table 2.5)

116
Alteração do preço e do
rendimento

117
Alteração do preço
• Efeito de uma alteração do preço
• resulta uma alteração em sentido contrário na
quantidade consumida do bem ou serviço
respectivo mas também poderá ocorrer uma
alteração na quantidade consumida dos
outros bens (para mais ou para menos).
• Do aumento do preço resulta sempre numa
diminuição da quantidade consumida do bem
correspondente.

119
• Na figura, quando o preço do bem 1 é px1, o cabaz
óptimo a adquirir é o representado pelo ponto A.
• Quando ocorre uma diminuição do preço do bem 1, a
recta orçamental roda para a esquerda pelo que o
indivíduo pode passar para uma curva de indiferença
mais à direita (melhor) da inicial.
• Passa a adquirir o cabaz representado pelo ponto B
que tem maior quantidade do bem 1 (e do bem 2).
• Podemos ver o que acontece com o aumento do
preço revertendo a análise (passar de px2 para px1).

120
• Bens substitutos: Quando o aumento do
preço do bem X induz um aumento da
quantidade procurada do bem Y
• Bens complementares: induz uma
diminuição da quantidade procurada do bem Y
• Bens independentes: Se a quantidade
procurada do bem Y se mantém.

121
• Esta definição tem subjacente que existe um
preço concreto para o outro bem e que
estamos na condição de ceteris paribus.
• Imaginando um preço genérico para os outros
bens, podemos verbalizar esta definição em
termos de reforço ou enfraquecimento da
curva (ou função) de procura dos outros bens
quando ocorre uma alteração do preço de
mercado de um bem.
– Até aqui ainda não tratamos das curvas de procura

122
Alteração do rendimento
• Efeito de uma alteração do rendimento:
Quando o rendimento disponível aumenta,
acontece um deslocamento da recta
orçamental para a direita (e para cima)
– o indivíduo melhora.
• O aumento do rendimento induz um aumento
das quantidades adquiridas dos bens ou
serviços considerados no cabaz
– também pode acontecer que diminuam a
quantidade procurada de um (ou de alguns) dos
bens ou serviços (mas nunca de todos).

124
• Bens ou serviços normais: A quantidade
consumida aumenta com o rendimento.
• Bem de primeira necessidade: Se a
quantidade adquirida aumentar pouco (se a
elasticidade da quantidade relativamente ao
rendimento for menor que 1)
• Bem de luxo: Se a quantidade adquirida
aumentar muito (se a elasticidade da
quantidade relativamente ao rendimento for
maior que 1)

125
• Bens ou serviços inferiores: A quantidade
consumida diminui com o rendimento.
• e.g.1, a quantidade de passageiros nos
transportes públicos aumenta nos períodos de
crise.
• e.g.2, na década de 1980 os parques de
campismo tinham muito mais clientes que
actualmente.

126
• Para um gestor de um produto interessa saber
que tipo de bem coloca no mercado pois, por
exemplo, se o seu produto for de primeira
necessidade, as suas vendas vão evoluir de
forma menos positiva que a economia no
geral, passando-se o contrário em períodos de
crise.
– A tendência histórica é de aumento do rendimento

127
Efeito substituição e rendimento
de uma alteração do preço

128
• Quando se verifica uma alteração de um
preço, por um lado, a recta orçamental roda e,
por outro lado, desloca-se
• O efeito substituição traduz a alteração do
cabaz que resulta apenas da rotação da RO
• O efeito rendimento traduz a alteração do
cabaz que resulta apenas do deslocamento da
RO.

129
• Na determinação do efeito substituição
compensa-se o rendimento de forma que o
indivíduo fique sobre a mesma curva de
indiferença.
• Na determinação do efeito rendimento parte-
se da situação compensada e caminha-se
para a nova curva de indiferença

130
Efeito do aumento do preço do bem 1

131

132
Exercício
• EX2.11. Um indivíduo tem de rendimento
disponível 500€/mês que gasta na aquisição
de dois bens, (x, y), cujos preços unitários são
5€/u. e 10€/u., respectivamente,
• Os seus gostos condensa-se na função de
utilidade U(x,y) = x + 2y + x.y.
• i) Quantifique o efeito substituição e o efeito
rendimento nos bens x e y de um aumento do
preço de x para 10€.
• ii) Determine a taxa de inflação.

133
Exercício
1350;25;50
5001010
2)2(5)1(10
500105
10
2
5
1
..
''
===⇔



=+
=
⇔



−
+=+
⇔




=+
+
=
+
⇔





=+
=
Uyx
yy
xyxy
yx
xy
RyPxP
P
U
P
U
yx
y
y
x
x
Determino o “cabaz inicial”:

134
Exercício
1.25;5.24
5001020
1)2(10)1(10
5001010
10
2
10
1
..
''
==⇔



=+
+=
⇔



−
+=+
⇔




=+
+
=
+
⇔





=+
=
yx
y
xyxy
yx
xy
RyPxP
P
U
P
U
yx
y
y
x
x
Determino o “cabaz final”:

135
Exercício
Efeito substituição: a alteração do cabaz
induzida pelos novos preços mas
mantendo o nível de utilidade (não sei o
rendimento necessário)




=++
+
=
+
1350.2
10
2
10
1
yxyx
xy

136
Exercício



=
=
⇒



−
=−+
⇔



=++++
+=
⇔



−
+=+
⇔




=++
+
=
+
76,35
76,34013484
135022
1
)2(10)1(10
1350.2
10
2
10
1
2
2
y
xxx
xxxx
xy
xy
yxyx
xy

137
Exercício
• O efeito substituição é
em x: 34.76u. – 50u. = –15.24u.
em y: 35.76u. – 25u. = +10.76u.

138
Exercício
• Efeito rendimento: é a diferença para o
“cabaz final”:



=
=
⇔



=+
+=
⇔



−
+=+
⇔




=+
+
=
+
5.25
5.24
4901010
1
)2(10)1(10
5001010
10
2
10
1
y
x
yy
xy
xy
yx
xy

139
Exercício
• Efeito rendimento: é a diferença para o
“cabaz final”.
em x: 24.5u. – 34.76u. = – 10.26u.
em y: 25.5u. – 35.76u. = – 9.74u.

140
Exercício
• ii) Para manter o nível de utilidade seria
necessário, para adquirir x =34.76u. e y =
35.76u., aumentar o rendimento para
705.2€:
A inflação resolve 500*(1+ i) = 705.2
⇒ i = 41.04%.

141
Exercício
• 1) o cabaz com os preços iniciais
• 2) o cabaz com os preços finais que
permite o nível de utilidade inicial
• 3) o cabaz com os preços finais

142
• Dificuldade empírica da
determinação do rendimento
compensado
• Como a f.u. não é observável, é
empiricamente impossível determinar
a compensação do rendimento
necessária para que o individuo volte
ao nível de utilidade inicial.

143
• Então, não é possível determinar a
“verdadeira” taxa de inflação.
• Em termos empíricos, apenas é
conhecido o perfil de consumo do
indivíduo (i.e., o cabaz A e o cabaz B) e
os preços de mercado
• Teremos que os usar para obter uma
estimativa da taxa de inflação.

144
• Existem duas alternativas.
• Índice de Laspeyres, compara-se a despesa
inicial, com a despesa que seria necessária
para voltar a adquirir, aos novos preços (px,1;
py,1), o cabaz de bens adquirido inicialmente,
i.e., o cabaz A = (x0; y0)
( ) ( )00,00,01,01, / ypxpypxpI yxyxL ++=

145

146
• Se o rendimento for actualizado com a medida
da taxa de inflação de Laspeyres, quando a
inflação é positiva, o consumidor fica numa
situação melhor que a do início do período
(pois, com a RO cor de laranja, pode atingir
uma curva de indiferença superior à inicial).
– É um estimador por excesso

147
• Índice de Paasche, compara-se a despesa
final, com a despesa inicial que seria
necessária para adquirir, aos preços antigos
(px,0; py,0), o cabaz de bens adquirido
actualmente, i.e., o cabaz B = (x1; y1):
( ) ( )10,10,11,11, / ypxpypxpI yxyxL ++=

148

149
• Com inflação positiva, como a situação no fim
do período (cabaz B), é pior que a prevista
pela RO cor de laranja (pois esta permitiria
adquirir um cabaz melhor que B), se o
rendimento for actualizado com a medida da
taxa de inflação de Paasche, o consumidor
fica numa situação pior
– com a RO cor de laranja poderia atingir uma curva
de indiferença superior à actual: representa-se a
verde a perda de rendimento.

150
• As diferenças entre os índices dão uma
medida do erro da estimativa da inflação. Para
alterações pequenas dos preços relativos, as
diferenças entre os índices são pouco
expressivas.

151
Exercício
• Voltando ao EX2.11: iv) Determine a taxa de
inflação segundo Laspeyres e Passche.

152
Exercício
• R: iv) Inicialmente o rendimento era 500€/mês
e cabaz era x = 50 e y = 25.
• Laspeyres: torna-se necessário o rendimento
de 750€/mês (50x10 + 25x10) para comprar o
cabaz inicial (que custava 500€/mês = 50x5 +
25x10) pelo que a estimativa para a taxa de
inflação é 50% (superior à “verdadeira”, i.e.,
41.04%).

153
Exercício
• Paasche: seria suficiente o rendimento de
377,5€/mês (24.5x5+25.5x10) para comprar o
cabaz actual comparando com o rendimento
anterior (500€/mês) pelo que a estimativa para
a taxa de inflação é 32.5% (inferior à
“verdadeira”, i.e., 41.04%).

154
• Apenas consideramos uma alteração dos
preços (entre dois períodos). Se
considerarmos mais, o índice de Paasche vai
ser calculado com um “cabaz variável” (o de
cada período), enquanto que o índice de
Laspeyres vai ser calculado com um “cabaz
fixo” (o do período base)

155
F2: =B2*C2+D2*E2 G2: =B2*$C$2+D2*$E$2
H2: =F2/G2 I2: =$B$2*C2+$D$2*E2
J2: =I2/$I$2

156
• Por ser mais fácil de construir e favorecer os
consumidores, o índice de preços ao
consumidor usa o método de Laspeyres,
actualizado o cabaz a intervalos de tempo
espaçados.
• Em Portugal, o Índice de preços no
Consumidor é um índice de Laspeyres
calculado com base em 2002

157
Classe Pond.
Alimentação e bebidas não alcoólicas 20,081%
Bebidas alcoólicas e tabaco 3,017%
Vestuário e calçado 6,965%
Habitação, água, gás e outros combustíveis 10,029%
Acessórios para o lar, equipamento doméstico e
manutenção corrente da habitação
8,055%
Saúde 5,642%
Transportes 19,130%
Comunicações 3,439%
Lazer, recreação e cultura 5,009%
Educação 1,502%
Restaurantes e hotéis 10,790%
Bens e serviços diversos 6,341%

158
Determinação da curva de
procura individual

159
procura individual
• Quando falamos do modelo empírico do
mercado, referi que a curva de procura de
mercado (que não é directamente observável)
resulta da soma das curvas de procura
individuais dos agentes económicos.
• Se da teoria resultarem curvas de procura
individuais com propriedades adequadas
(decrescentes com o preço), fica justificada a
existência da curva de procura de mercado
(decrescente com o preço).

160
procura individual
• Vamos obter a curva da procura resolvendo o
problema de maximização da utilidade
considerando o preço do bem x como variável
e o preço do bem y e o rendimento disponível
como parâmetros (variáveis exógenas).





=+
=
rpypx
p
U
p
U
pX
yx
y
y
x
x
..
:)(

161
procura individual
• A obtenção de uma curva de procura
particular vai estar dependente dos gostos e
preferências do indivíduo e do seu rendimento
disponível. A este nível de formalização não
vamos provar propriedades genéricas mas
apenas no concreto de uma função de
utilidade.

162
Exercício
rendimento disponível 500€ que gasta em dois
bens, A = (x, y), cujos preços unitários são px
e 2€/u., respectivamente, e os seus gostos
U(x,y) = x.y,
• Determine a curva de procura individual x(px).

163
Exercício
• A curva de procura é decrescente com px
xxx
x
x
xy
y
x
x
p
x
pxpx
pxy
ypx
x
p
y
RO
p
U
p
U
250
500..
.2
5002.
2
''
=⇔



=+
=
⇔





=+
=
⇔





=

164
Exercício
• Ex2.13: Um indivíduo tem de rendimento R
que gasta em dois bens, A = (x, y), cujos
preços unitários são px e py, respectivamente,
e os seus gostos se condensam na função de
utilidade
U(x,y) = x2
.y,
• Classifique os bens.

165
Exercício







=
=
⇔







=+
=
⇔




=+
=
⇔





=+
=
⇔





=
x
y
y
y
x
x
y
x
yx
xy
yx
yxy
y
x
x
p
R
x
p
R
y
Rp
p
p
xpx
p
p
xy
Rpypx
pxpyx
Rpypx
p
x
p
yx
RO
p
U
p
U
3
2
3
.
2
..
2
.
..
..2
..
.2'' 2
2

166
Exercício
• São bens normais com elasticidade unitária.
• X e y são bens independentes entre si
0
0
1
2
3
..
3
2
.'
1
3
..
3
1
.'
,
,
,
,
=
=
===
===
ypx
xpy
x
x
Rxr
y
y
Ryr
e
e
R
p
R
px
R
xe
R
p
R
py
R
yer

167
Função de utilidade indirecta

168
• O cabaz que o indivíduo vai adquirir está
dependente do seu rendimento (e dos
preços).
• Eu posso determinar a função de utilidade
indirecta como o nível de utilidade que o
indivíduo atinge para cada rendimento (sob a
suposição de que escolhe o cabaz óptimo).
}...),,({)( 221121 rxpxpasxxUMaxrV =+=

169
• A função de utilidade indirecta é crescente
com o rendimento (que resulta do principio da
insaciabilidade).
• Esta função é útil como passo intermédio, por
exemplo, no estudo do comportamento sob
risco e na Teoria do Produtor.
0)(' >rV

171
Curva de Engel
• A função que relaciona a quantidade adquirida
com o rendimento.
• Na Macroeconomia esta curva é denominada
por Curva de Consumo e é assumido que é
positiva e crescente com o rendimento.
C = C0 + k.R,
C0 é o consumo autónomo e
k a propensão marginal ao consumo (0 < k < 1).

172
Exercício
• Ex2.14: Seja o rendimento r gasto no cabaz A
= (x, y), cujos preços são px e py.
• Sejam os gostos U(x,y) = x.(1 + y).
• i) Determine a curva de procura individual
x(px) e y(py).

173
Exercício
x
y
x
y
y
y
yy
xy
yx
yxy
y
x
x
p
pr
px
p
pr
py
rpypy
pxpy
rpypx
p
x
p
y
RO
p
U
p
U
2
1)(;
2
)(
.).1(
.).1(
..
1''
−
+=
−
=
⇔




=++
=+
⇔





=+
=
+
⇒





=

174
Exercício
• ii) determine a elasticidade preço da procura,
a elasticidade preços cruzado da procura e a
elasticidade rendimento da procura do bem x
quando r = 1000€/mês, px = 10€/u. e py =
10€/u.;

175
Exercício
0
1010
990
2
2
2
2
)(')( 2
<−=
−+
−
−=
−+
−
−==
yx
y
yx
x
x
x
yx
xx
prp
pr
prp
p
p
p
pr
x
p
pxpex
arescomplement
prP
p
prP
p
p
px
p
pxpex
yx
y
yx
x
y
x
y
yy
⇒<−=
−+
−=
−+
−==
0
1010
10
2
2
2
2
1
)(')(

176
Exercício
1010
1000
22
2
2
1
)(')(
=
−+
=
−+
==
yy
x
x prpx
r
prpx
p
r
px
r
rxrex
que é >0 e <1 (primeira necessidade)

177
Exercício
• iii) determine a função de utilidade indirecta.

178
Exercício
yx
yyx
y
y
x
y
pp
prprP
p
pr
p
pr
yx.rV
.4
))(2(
2
1
2
1)1()(
+−+
=







 −
+




 −
+=+=

180
Excedente do consumidor
• Como a função procura resulta do
problema de maximização da utilidade do
indivíduo, então existe uma relação entre
essa função e a função de utilidade (que é
uma escala do bem-estar do indivíduo)
que não é observável
xx
y
y
x
y
y
x
x
pk
x
U
p
p
U
U
p
U
p
U
.
'
'
''
=
∂
∂
⇔=⇔=

181
• Sendo que U é uma função, então px
deixa de ser um valor para ser a função
de procura explicitada em ordem ao preço
(função de procura inversa).
– e.g., se a função de procura fosse dada por
x(p) = A + B.p, a função inversa viria dada em
por p(x) = (x – A)/B.

182
• A partir da observação do mercado, não
conseguimos estimar U(0) nem k.
• No entanto,, podemos construir uma função
utilidade equivalente à que desconhecemos
partindo apenas da função de procura:
– Porque a função de utilidade é ordinal
• Esta função que traduz o ganho de utilidade
denomina-se por Excedente do Consumidor

183
• O excedente do consumidor quantifica em
termos monetários (i.e., €) quando o
indivíduo aumenta o seu bem-estar por
poder ir ao mercado e comprar a
quantidade x do bem ou serviço.

184
• Ainda não sabem qual é a operação
inversa da derivação
• a derivada é a inclinação na função no
ponto considerado
• O integral (que é o inverso da derivada)
traduz o integral (área) no intervalo
considerado

185
∫ ∂+=⇒
∂=∂⇔=
∂
∂
x
x
xx
xpkUxU
xpkUpk
x
U
0
..)0()(
...

187
• Se, por exemplo, a curva de procura é
q = 100 – 5.p,
se o preço de mercado for
P = 10€/u. (e Q = 50u.),
o excedente do consumidor será (comparar
com a área do triangulo):

188
€250250500)50(.
.
2
2.0
20).2.020()(.
2.0205100
2
0
=−=⇒
−=∂−=⇒
−=⇒−=
∫
cE
QQxqqcE
qppq
Q

189
• Se o preço de transacção aumentar,
então o excedente do consumidor diminui
(ver, figura).
• Será que se, relativamente ao equilíbrio, o
preço diminuir, aumenta necessariamente
o excedente do consumidor?

191
Aplicações
• Vamos aplicamos a teoria do consumidor
a alguns exemplos de políticas do
governo.
• Estas políticas, por actuarem ao nível dos
preços e das quantidades
transaccionadas, denominam-se por
microeconómicas.
• Apresenta-se ainda a taxa de juro e como
esta actua na estabilização da economia.

192
Combate à exclusão
Subsídio em dinheiro ou em
espécie e desconto no preço.

193
• Uma economia para progredir tem que criar
incentivos para que os agentes económicos
revelem as suas capacidades, arrisquem novas
soluções e criem novos bens ou serviços de
maior valor.
• Estes incentivos têm como efeito acessório o
surgir de assimetrias no rendimento: o motor do
progresso tem a exclusão como dano colateral.

194
• Não se pode por em causa o benefício
que resulta da existência de liberdade
económica (i.e., o modelo capitalista)
porque tem esta falha.
• Até porque o modelo económico
alternativo (a economia planificada) não
funciona.
– e.g., o planificador não conhece os gostos
dos indivíduos

195
• Por exemplo, vamos supor que existem dois
polícias em que um deles corre muito mais
rápido que o outro (mas o “chefe” não sabe
qual).
• Numa economia onde ambos ganham o mesmo
salário, o que corre mais rápido vai esconder
essa capacidade (para não se cansar tanto).
• Numa economia de mercado, como será dado
um salário maior ao polícia mais rápido, então o
que corre mais vai revelar a sua capacidade
(correndo a toda a velocidade atrás deles).

196
• Como a falta de recursos é a principal causa de
exclusão, as políticas dos governos de combate
à exclusão passam pela atribuição de subsídios
(em dinheiro ou em espécie).
• Em Portugal no ano de 2008, a principal política
de combate à exclusão social é o Rendimento
de Reinserção Social que se traduz num
subsídio em dinheiro de 177.05€/mês para os
adultos e 88.50€ para as crianças.

197
• A atribuição de subsídios em espécie
traduzem-se na oferta de bens ou
serviços
• Normalmente, são bens e serviços de
primeira necessidade: alimentação,
habitação, , cabeleireiro, assistência
médica, assistência jurídica, etc.

199
Subsídio em dinheiro
• A atribuição de um subsídio em dinheiro induz
um aumento do rendimento.
• Sendo que o indivíduo acrescenta o subsídio s
ao rendimento r e gasta ambos na aquisição
dos bens x e y, então passará a ter como recta
orçamental x.px + y.py = r + s.
• Esta nova recta orçamental ficará localizada à
direita da RO inicial pelo que o nível de
consumo (e bem-estar) do indivíduo aumenta.

201
Exercício
• Ex2.15: Uma família tem um rendimento
líquido de 400€/mês que gasta em
vestuário e alimentação cujos preços são
5€/u. e 2.5€/u., respectivamente. Os
gostos e preferências da família
condensam-se em U(v,a) = a2
.v0.5
.
• Se for atribuído um subsídio de 300€/mês,
calcule em quanto aumentará o consumo
da família.

202
Exercício
• Vamos introduzir no sistema de equações
o subsídio em dinheiro como s:



+=
+=
⇔



+=+
=
⇔





+=+
=
⇔





=
−
sv
sa
svv
av
sva
vava
RO
p
U
p
U
v
v
a
a
04.016
32.0128
400520
8
40055.2
5
..5.0
5.2
..2'' 5.025.0

203
Exercício
• Sendo s = 300, vão adquirir mais 96
unidades de alimentação e mais 12
unidades de roupa.

205
Subsídio em espécie
• Também vai existir um deslocamento da
recta orçamental para a direita mas não
se desloca a totalidade da recta (supondo
que o indivíduo não vende os bens que
recebe).
• O deslocamento da recta orçamental
induzido pela oferta da quantidade s do
bem 1 causa uma quebra na RO.

207
• No exemplo apresentado na figura, a
atribuição do subsídio em espécie é
equivalente à atribuição de um subsídio
em dinheiro
• pois a CI atingida é a mesma.

208
• Haverá casos em que a atribuição do subsídio
em espécie é menos favorável (para o
indivíduo) que o correspondente subsídio em
dinheiro (pois a CI atingida é inferior). Se fosse
atribuído um subsídio em dinheiro, o indivíduo
podia adquirir o cabaz representado no ponto C
e atingir a CI de nível U3. O subsídio em
espécie (a quantidade s do bem 1) permite
adquirir o cabaz B e atingir a CI de nível U2 que
é menor que U3.

210
• Se fosse atribuído um subsídio em
dinheiro, o indivíduo podia adquirir o
cabaz representado no ponto C e atingir a
CI de nível U3. O subsídio em espécie (a
quantidade s do bem 1) permite adquirir o
cabaz B e atingir a CI de nível U2 que é
menor que U3.

211
• Em termos algébricos, resolve-se o
modelo de optimização acrescentando o
subsídio em espécie como se fosse em
dinheiro.
• Se a solução cair fora da zona possível, a
solução será exactamente a quantidade
do subsídio e a totalidade do rendimento
em dinheiro é gasto no outro bem.

212
Exercício
• Ex2.16: Uma família tem 400€/mês de
rendimento que gastam em vinho e
alimentação cujos preços são 5€/u. e
2.5€/u., respectivamente. Os gostos da
família são U(v, a) = a0.5
.v10
.
• Se lhes for atribuído um subsídio de 120u.
de alimentação, calcule em quanto
aumentará o consumo da família.

213
Exercício
• Vamos introduzir no sistema de equações
o subsídio em dinheiro como o parâmetro
s:



=
=
⇔



+=
+=
⇔



+=+
=
⇔





=+−
=
⇔





=
−
33.133
33.13
14.5719.76
71.562.7
5.2400525.0
1.0
4005)(5.2
5
..10
5.2
..5.0'' 95.0105.0
v
a
v
a
svv
va
vsa
vava
RO
p
U
p
U
v
v
a
a

214
Exercício
• Como a solução algébrica não verifica a
condição a ≥ s, o cabaz consumido será
a = 120u. (aumenta 102.38u.) e
v = 400/5 = 80u. (aumenta 3.81u.).
• Se o subsídio fosse em dinheiro, a maior
parte iria para vinho (aumentava 57.14u.).

216
Desconto no preço
• Será uma situação intermédia entre a
atribuição de um subsídio em dinheiro e
um subsídio em espécie
• Em termos gráficos, vai induzir uma
rotação da recta orçamental no sentido da
expansão das possibilidades de consumo.

218
Exercício
• Ex2.17: r = 400€/mês; pv = 5€/u.; pa =
2.5€/u.; U(v, a) = a0.5
.v10
.
• Se lhes for atribuído um desconto no
preço da alimentação de 2.35€ calcule em
quanto aumentará o consumo da família e
qual será o valor do subsídio.

219
Exercício
mêsvaeqnd
v
a
aa
av
va
vava
RO
p
U
sp
U
v
v
a
a
/€41.69855.2:..Re
19.76
98.126
400315.0
6.0
4005)35.25.2(
5
..10
35.25.2
..5.0'' 95.0105.0
=+



=
=
⇔



=+
=
⇔





=+−
=
−⇔





=
−
−

220
Exercício
• Notar que, como se pretendia, a
quantidade adquirida de alimentação
aumentou sem aumentar a quantidade
adquirida de vinho.
• Assim, a atribuição de um desconto no
preço também é eficaz na condução do
consumo na direcção pretendida
– Não aplicável, e.g., aos dementes e crianças

221
Desconto no preço
• O desconto no preço tem a vantagem de
poder ser auxiliado pela imposição de um
imposto no preço (do bem que se quer ver
o consumo diminuído) e assim tornar nula
a despesa pública da política de alteração
do padrão de consumo.
• e.g., a tributação dos combustíveis e a
atribuição de subsídios aos transportes
públicos colectivos.

222
Comparação
• A atribuição de um subsídio em dinheiro
permite que o subsidiado atinja um nível
de bem-estar (dado pela sua função de
utilidade) superior a um desconto no
preço ou a um subsídio em espécie.
• Nos ex2.15 a 2.17,
Udinh = 4.35E21 > Udesc = 1.07E21 >
Uesp = 0.84E21.

223
Comparação
• No entanto, quando os gostos e
preferências do indivíduo estão de tal
maneira danificados (e.g.,
toxicodependentes) que socialmente as
suas opções são contrários ao “seu” bem-
estar, a atribuição de desconto no preço
ou de um subsídio em espécie são
políticas mais eficazes

224
Comparação
• Apesar de a teoria favorecer os subsídios
em dinheiro
• Restarão sempre algumas situações em
que apenas os subsídios em espécie são
eficazes.
– Cuidados de saúde?
– Ensino?
– Justiça?
– Segurança?

225
Função de oferta de trabalho

226
• Podemos imaginar a economia como dois
agentes económicos,
uma empresa e uma família,
• A família procura (e consome) bens e
serviços e oferece (produz) trabalho e
• A empresa procura (e consome) trabalho
e oferece (produz) bens e serviços.

227

228
• Para a família (ou famílias), o aumento do
consumo tem um efeito positivo no seu
nível de bem-estar enquanto que o
aumento das horas de trabalho tem um
efeito negativo no bem-estar.
• Podemos construir um modelo da família

229
• Pressupondo que
• i) Agregam-se todos os b&s numa
mercadoria compósita, X, cujo preço
unitário é 1 (é o numerário),
• ii) A família nasce com a quantidade L0
de tempo disponível, que pode usar como
lazer, L, ou vender como trabalho, T = L0
– L, cujo preço unitário é w (o salário real
unitário).

230
• A função de oferta de trabalho (e de
procura de b&s) resolverá
• A este nível de formalização, precisamos
de propor uma f.f. para U
{ }wLLXsaLXMaxUVLX ).(),,(:),( 0 −==

231
• A recta orçamental vem dada por
• é gasto todo o salário na aquisição do
bem X ao preço unitário.
• Explicita-se como L = L0 – X/w
– intersecta o eixo do lazer em L0 e o eixo dos
bens e serviços em L0.w
wLLX ).( 0 −=

232

233
• Uma alteração do salário unitário não
altera o ponto de intersecção da RO com
o eixo do lazer porque esse ponto vale
sempre L0.
• é equivalente a uma diminuição do preço
dos bens e serviços e vice-versa pelo que
não tem como efeito, obrigatoriamente,
um aumento da quantidade oferecida de
trabalho.

234

235
0
1
2
3
4
5
6
7
8
30 35 40 45 50 55 60
w
T
1870
2000
Curva de oferta de trabalho, USA, 1870-2000
Fonte: Burda and Wyplosz (2005)

236
Exercício
• Ex2.18: Supondo L0 = 100 horas/semana
e que os gostos e preferências da família
podem ser condensados na função de
utilidade U(X, L) = 2L + X.L. Determine a
função oferta de trabalho da família.

237
Exercício
wwT
wX
wL
wLLw
LwX
wLX
w
XL
RO
p
U
p
U
L
L
X
X
/150)(
150
/150
)100(2
2
)100(
2
1
''
−=⇒



−=
+=
⇔



−=−
−=
⇔




−=
+
=
⇔





=

238
Taxa de juro, consumo e
poupança.

239
poupança.
• O princípio da insaciabilidade parece
excluir que a Teoria do Consumidor possa
explicar a existência de poupança.
• Esse resultado depende de termos
considerado que a decisão do agente não
tem em atenção o futuro
– o modelo também é válido sob o pressuposto
de que o indivíduo tem vida infinita e que os
valores assumidos pelas variáveis se mantêm
constantes para sempre.

240
poupança.
• Para estudar a influência da taxa de juro
no consumo e na poupança, precisamos
considerar vários períodos.
• Vamos considerar 2 períodos

241
poupança.
• A análise começa no último período de
vida e depois andamos para traz no
tempo.
• Está metodologia denomina-se por
Backward Induction.

242
poupança.
• Assumindo que o indivíduo
• i) vive o seu último período,
• ii) no início do qual recebe o activo S,
• iii) e durante o qual obtém o rendimento r0.

243
poupança.
• O princípio da insaciabilidade garante que
o indivíduo gastará S + r0 na aquisição do
bem ou serviço compósito X0 ao preço p0.
– O índice zero traduz que já não lhe resta mais
nenhum período de vida.
000 ).( prSX +=

244
poupança.
• Este é o modelo que temos andado a
considerar (mas com apenas um b&s)
• É o modelo estático, onde não há lugar à
poupança nem taxa de juro

245
poupança.
• Assumindo agora que o indivíduo
• i) vive o seu penúltimo período,
• ii) no início do qual recebe o activo h1,
• iii) e durante o qual obtém o rendimento r1.

246
poupança.
• Agora, o indivíduo tem como rendimento
h1 + r1 podendo gastar parte na aquisição
de bens ou serviços (X1 ao preço p1) e
poupar a parte S que transitará para o
período futuro (mais o juro).

247
poupança.
• Sendo
U(x1, x2) = u(x1) +u(x0)
R é a taxa de juro por período
• então a recta orçamental será
x1.p1 + x0.p0 = h1 + r1 + S.R + r0 onde
S = (h1 + r1 – x1.p1) é a poupança

248
poupança.
• Apesar de o modelo incorporar o que se
vai passar no período futuro (o período de
índice zero), a decisão quanto ao
consumo e à poupança é tomada no
período presente (o período de índice
um).

249
poupança.
• Explicitemos a RO na forma “descontada”
e no presente sem inflação, p = p1 = p0

250
poupança.
01101 )1()1(.)1(. rRrRhpxRpx ++++=++
R
r
rh
R
p
xpx
+
++=
+
+
11
.. 0
1101
R
xp
R
r
rhx
+
−





+
++=
1
1
./
1
. 0
0
111
01111101 ).(.. rRpxrhrhpxpx +−+++=+

251
poupança.
• Quando há um aumento da taxa de juro
(de Ra para Rb), A RO roda em torno do
ponto (r0/p0, r1/p1) no sentido do bem futuro
(porque o seu preço “diminui”, p0/(1 + R), e
desloca-se para baixo porque o
“rendimento” futuro, r0/(1 + R), também
diminui)

252
poupança.

253
poupança.
• Quando há um aumento da taxa de juro
(de Ra para Rb)
• A RO roda em torno do ponto (r0/p0, r1/p1)
no sentido do bem futuro (porque o seu
preço, p0/(1 + R), “diminui”), e desloca-se
para baixo porque o “rendimento” futuro,
r0/(1 + R), também diminui.

254
poupança.
• Apesar de na realidade não haver
alterações dos preços ou dos
rendimentos, a taxa de juro faz diminuir o
consumo (no período presente) e,
consequentemente, aumentar a poupança
e o consumo planeado para o período
futuro

255
poupança.

256
poupança.
• Notar estar neste modelo a
fundamentação teórica para as
intervenções dos Bancos Centrais:
• Sendo que se pretende manter um nível
de preços estáveis e, no presente, há um
excesso de consumo que pressiona uma
subida de preços (i.e., inflação)

257
poupança.
• A forma de diminuir o consumo (e
controlar a inflação) é através de uma
subida da taxa de juro (neste caso,
inicialmente o indivíduo pretendia
endividar-se mas o aumento da taxa de
juro faz com que equilibrasse o
orçamento: o cabaz caminha no sentido
do ponto de rotação)

258
poupança.
• Ex2.19: Supondo indivíduo cujo um
rendimento é de r = 100€/mês, que vive
este e mais outro mês, que consome um
bem ou serviço compósito X cujo preço é
5€/u., que os gostos e preferências
podem ser condensados na função de
utilidade U(x1, x0) = √x1+√x0.
• Determine a função de poupança.

259
poupança.
R
R
Rs
R
x
Rx
R
R
Rx
xRx
RR
xx
R
xx
+
=⇒




+
=
+=
⇔





+
+
=+
+=
⇔







+
+=
+
+
+
=
1
100
)(
1
20
)1(20
1
2
20)2(
)1(
1
100
100
1
5
.5
)1/(5
/5.0
5
/5.0
1
0
1
1
2
0
01
01

261
Risco
• O risco surge de o indivíduo não ter
conhecimento perfeito do que vai
acontecer no período futuro. Assim, os
modelos que o incorporam traduzem a
relaxação de que existe conhecimento
público e perfeito.
– Existe quem distinga risco de incerteza mas
não tem relevância

262
Risco
• Vamos considerar um modelo de uma
lotaria simples. No entanto, este modelo é
de aplicação mais genérica (o que
faremos no capítulo da teoria do
produtor).
• Na matemática Financeira tratam modelos
mais complicados (com uma f.d.)

263
Risco
• A teoria do consumidor com risco obriga a
que a função de utilidade seja semi-
cardinal.
• Não basta que a f.u. atribua um número
maior aos cabazes melhores mas tem que
dar uma medida da proporção relativa do
valor dos cabazes.
– e.g., terá que dizer que o cabaz A é 3 vezes
melhor que o cabaz B.

264
Risco
• Lotaria: O indivíduo pretende escolher
entre a quantia r certa (sem risco) e uma
lotaria da qual pode ganhar o valor P0 com
a probabilidade q ou P1 com a
probabilidade (1 – q). A decisão vai ser
em termos de valor esperado.

265
Risco
• Sendo V(r) a função de utilidade indirecta
• O indivíduo vai comparar V(r) com a
utilidade esperada da lotaria e escolher a
opção a que corresponder maior valor:
rpyypxxsayxUMaxrV =+= ..),,()(






⇒⇒
−+<
rsenãoLotaria
qPVqPVrVse
;
)1).(().()( 10

266
Exercício
• Ex2.20: Um indivíduo ganha 600€/mês que
gasta em vestuário e alimentação cujos preços
são 5€/u. e 2.5€/u., respectivamente e os seus
gostos e preferências podem-se condensar na
função de utilidade U(a, v) = a0.5
.v0.5
.
• Se se despedir, tem 40% de probabilidade se
arranjar um novo emprego cujo salário é
1000€/mês mas pode não o arranjar e ficar
reduzido a ganhar apenas 400€/mês. Será de
se despedir?

267
Exercício
• Determinamos a função de utilidade
indirecta
rrV
rv
ra
rvv
va
rva
vava
5.0
5.05.05.05.0
02.0)(
1.0
2.0
55
2
55.2
5
..5.0
5.2
..5.0
=⇒



=
=
⇔



=+
=
⇔





=+
=
−−

268
Exercício
• Comparamos o certo com o valor
esperado
• Deve-se despedir e tentar a sua sorte.
{ })400(6.0)1000(4.0??)600( VVV +
{ }
{ }51.9085.84
40002.060.0100002.04.0??60002.0 5.05.05.0
<⇒
××+×××⇔

269
Risco
• Vamos supor a situação em que o
rendimento fixo (sem risco) é igual ao
rendimento esperado (médio) da lotaria
(com risco).
• Se o indivíduo preferir o rendimento fixo, é
avesso ao risco (risk averse); se estiver
indiferentes, é neutro ao risco (risk
neutral), se preferir a lotaria, é atraído
pelo risco (risk lover).

270
Exercício
• No Ex2.20, o indivíduo é neutro ao risco:
se a lotaria fosse ganhar 900€/mês com
40% de probabilidade ou 600€/mês com
60% de probabilidade, o valor esperado
(médio) seria exactamente o que ganha
agora, i.e., 600€/mês e teríamos uma
igualdade nas utilidades:
{ }
{ }85.8485.84
40002.060.090002.04.0??60002.0 5.05.05.0
=⇒
××+×××

271
Capital humano e crescimento
económico endógeno

272
• A evidência empírica mostra que o
aumento da escolaridade é o principal
factor que justifica a tendência secular do
crescimento económico per capita.
• Em termos estáticos, a capacidade de um
indivíduo criar riqueza é crescente com a
sua escolaridade e, em termos dinâmicos,
os pais transmitem aos filhos um nível de
escolaridade superior ao seu.

273
• Como a escolarização dos filhos implica
que os pais diminuam o rendimento
disponível para o seu consumo, para
racionalizarmos este comportamento
teremos que assumir que os pais
incorporam na sua função de utilidade o
bem-estar futuro dos filhos, i.e., os pais
são altruístas.

274
• Vamos assumir que
• i) o rendimento é linearmente crescente
com a escolaridade, R = k.E, e que
• ii)quem não tem filhos maximiza o bem-
estar consumindo os bens x e y cujos
preços são unitários.
• iii)a função de utilidade é U(x, y) = x.y.
Resulta a função utilidade indirecta:

275
• Resulta a função utilidade indirecta:
22
25.0).(
5.0
5.0
11 EkEkV
kEy
kEx
kEyx
yx
=⇒



=
=
⇔




=+
=

276
• Vamos ainda supor que
• iv) quem tem filhos, gasta parte do
rendimento na sua escolarização e
• v) inclui na sua utilidade, a utilidade dos
filhos
• vi) escolarizar os filhos tem um preço
unitário p

277
• O problema a resolver será
• Os pais altruístas vão determinar o nível
de escolaridade dos filhos que maximiza
esta nova medida de bem-estar
n
P EkVEpnEkVEkV ).()....().( 00 −=

278
nnn
P
n
P
EkpEnEkEkV
EkVpEnEkVEkV
222
00
00
.25.0.)...(25.0).(
).()....().(
−=
−=
0=
dE
dVP

279
0
1222
0
22
0
).1(
02.25.0.)..(25.0
.25.0)..)(.(5.0
E
pn
k
E
nEkpEnkE
EkpnpEkE
dE
dV
nnn
nnnP
+
=
=−+
+−−=
−

280
• Análise de estática comparada: Apenas
haverá progresso se os pais tiverem
poucos filhos (n pequeno), se o aumento
do rendimento com a escolaridade for
elevada (k elevado) e se o preço da
escolarização for baixo (p pequeno):
n
k
p
pn
k
sseEE
+
<⇔>
+
>
1
1
).1(
0

281
Contabilidade do bem-estar

282
• Como os gostos e preferências dos
indivíduos são codificados em funções de
utilidade ordinais,
• não podemos comparar os indivíduos pelo
nível de utilidade.

283
• Não podemos calcular o efeito social de
uma política somando as utilidades dos
indivíduos afectados.
• O caminho certo é determinar o saldo (em
termos monetários) das compensações
dos rendimentos (mais os impostos
cobrados) que permitem retornar à
situação de bem-estar inicial de todos os
indivíduos

284
Exercício
• Ex2.21: Existem dois indivíduos, I1 e I2,
que gastam o seu rendimento em
alimentação, a, e em vinho, v, cujos
preços são 2€/kg e 5€/l, respectivamente.
• Um tem 500€/mês e U1(a, v) = 10.a0.3
.v0.7
• Dois tem 1000€/mês e U2(a, v) = a0.7
.v0.3
.
• A diminuição do consumo de vinho em
1% aumenta o rendimento em 0.1%

285
Exercício
• Deverá o governo cobrar um imposto de
1€/l de vinho?

286
Exercício
• R: Primeiro, determinamos o nível de
bem-estar inicial do um:
640.714
75
70
500667.42
933.0
50052
5
..7
2
..3
1
7.03.07.03.0
=⇒



=
=
⇔



=+
=
⇔





=+
=
U
a
v
aa
av
va
v
va
a
va

287
Exercício
• Do dois:
202.206
350
60
1000857.02
171.0
100052
5
..3.0
2
..7.0
2
3.07.03.07.0
=⇒



=
=
⇔



=+
=
⇔





=+
=
U
a
v
aa
av
va
v
va
a
va

288
Exercício
• Depois, determinamos a nova situação
para um rendimento genérico do um:
rrV
ra
rv
raa
av
rva
v
va
a
va
258.1)(
150.0
117.0
667.42
777.0
62
6
..7
2
..3
1
7.03.07.03.0
=⇒



=
=
⇔



=+
=
⇔





=+
=

289
Exercício
• Depois, determinamos a nova situação
para um rendimento genérico do dois:
rrV
ra
rv
raa
av
rva
v
va
a
va
195.0)(
35.0
05.0
857.02
143.0
62
6
..3.0
2
..7.0
2
3.07.03.07.0
=⇒



=
=
⇔



=+
=
⇔





=+
=

290
Exercício
• Compensamos o rendimento para
voltarem a uma situação idêntica à
inicial:
%)3.5(274.66
€06.568258.1/640.714640.714)(:
1
111
menosv
rrVr
=⇒
==⇒=
%)0.12(811.52
€22.1056195.0/202.206202.206)(:
2
222
menosv
rrVr
=⇒
==⇒=

291
Exercício
• E determinamos o saldo da política
somando os efeitos sobre os dois
indivíduos:
∀∆i = (Rnecessário – salário + imposto)
( )
( ) €44,981.52012.1100022.1056
27.660053.150006.56821
=+×−+
+×−=∆+∆=∆

292
Exercício
• Como o saldo é positivo, o governo
deverá implementar esta política.

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