O documento resume a história da geometria espacial desde os povos da Mesopotâmia até os dias atuais. Começa com os egípcios e babilônicos e seus estudos empíricos, passando pelos gregos como Pitágoras e Platão que deram fundamentos dedutivos. A geometria chegou ao ápice com Arquimedes e Euclides. Após um período de estagnação, renasceu no Renascimento e evoluiu com Descartes, Newton e não-Euclidiana. Fractais surgiram no século

1. ANEXO (A) - HISTÓRIA DA GEOMETRIA ESPACIAL
INTRODUÇÃO
Sabemos que a Matemática é a mais antiga das ciências e que a sua origem esconde-se nas
areias das antigas civilizações egípcias. O estudo da geometria espacial pelos povos da
mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e Eufrates) é datada desde,
aproximadamente, dois mil anos antes de Cristo e todo o conhecimento que temos hoje se baseiam
em documentos de denominamos papiros. Dentre os principais podemos citar o “papiro de Rhind” e
o “papiro de Moscou”.“PAPIRO DE MOSCOU”
“PAPIRO DE RHIND”
Estes papiros são compostos por exposições de problemas e suas resoluções. Na verdade o
que distingue a Matemática babilônica da grega (posterior) é o fato de não serem conhecidos seus
criadores. O que se encontra são exemplos comprobatórios da existência e a preocupação do estudo
geométrico.
A GEOMETRIA GREGA

2. Os gregos perceberam que os egípcios eram capazes de executarem cálculos e medidas de
dimensionamento da terra e através destes conhecimentos assimilaram seus princípios empíricos,
procurando encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço. A este
conhecimento os gregos deram o nome de GEOMETRIA (medida da terra).
Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, associavam o estudo da Geometria
espacial ao estudo da metafísica e da religião, devido as formas abstratas que os sólidos apresentam.
Pitágoras de Samos
Discípulo de Thales de Mileto, Pitágoras foi responsável
pelo estudo da Geometria (forma) com a Aritmética (número).
Criou a escola Pitagórica, onde associava tudo existente na
natureza com números(religião, música, etc.). Seu erro foi não
acreditar na existência dos números irracionais, que ao serem
descobertos levaram a decadência da sua doutrina. Na Geometria
Espacial trabalhou um especial com o tetraedro, o cubo, o
dodecaedro e a esfera. A “harmonia das esferas” era para os
pitagóricos a origem de tudo.
Platão
Para ele, a explicação de tudo, como tudo existia estava nos
cinco sólidos perfeitos: o cubo(terra), o tetraedro(fogo), o
octaedro(ar), o icosaedro(água) e o dodecaedro(elemento que
permearia todo o Universo).
Geometria chega ao ápice na antiguidade com os denominados Geômetras Alexandrinos.
Arquimedes com seus estudos sobre as esferas e o cilindro e Euclides com seu livro denominado de
ELEMENTOS, onde sistematizava todos os conhecimentos acumulados até então pelo seu povo,
fornecendo desta forma ordenação através de uma linguagem científica. Os interesses pelos

3. Poliedros e o estudo da Geometria Espacial, que era o assunto privilegiado entre matemáticos e
filósofos gregos, parece ter ficado adormecido por mais de mil anos (Idade das Trevas), até
despertar novamente o interesse dos pensadores durante os séculos que se seguiram o
“Renascimento Italiano”.
A GEOMETRIA ESPACIAL NA IDADE MÉDIA
Depois de um longo tempo onde os estudos sobre Geometria Espacial ficaram estancados nas
teorias da Geometria grega, foi durante o período denominado historicamente de “Renascimento”
que ocorreu o resgate ao estudo de toda ciência adormecida até aquele momento. Diversos
matemáticas como Leonardo Fibonacci (1170-1240) retomam os estudos sobre Geometria Espacial
e em 1220 escreve a “Practica Geometriae”, uma coleção sobre Trigonometria e Geometria
(abordagem nas teorias de Euclides e um análogo tridimensional do teorema de Pitágoras).
Em 1615 Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria”(stereo-volume/metria-medida) o
cálculo de volume. A palavra volume vem de volumen que é a propriedade de um barril (vinho,
azeite,etc.) de rolar com facilidade.
No ano de 1637 surge a Geometria Analítica desenvolvida pelo filósofo e matemático francês René
Descartes (1596-1650), misturando Álgebra e Geometria ensina a transformar pontos, retas e
circunferências em números, demonstrando como fazer contas com as figuras geométricas. Em
1669 o físico Inglês Isaac Newton (1642-1727) desenvolve o cálculo diferencial e integral. Desta
forma torna-se possível calcular a área e o volume de qualquer figura geométrica,independente de
sua forma. Antes disso os cálculos se limitavam a descoberta de fórmulas diferentes para cada tipo
de figura.
A GEOMETRIA ESPACIAL MODERNA E CONTEPORÂNEA

4. Com o desenvolvimento da geometria projetiva e os novos meios de cálculos, abre-se
caminho para novos campos de estudos para a geometria moderna. Este novo percurso nos estudos
das formas geométricas analisa os sólidos de vários ângulos diferentes. Seu criador, o francês Jean
Victor Poncelet ( 177- 1867 ) em 1822 demonstra seus raciocínios.Visto de ângulos diferentes, por
exemplo, uma pirâmide pode aparecer como um triangulo ( vista de frente ) ou um quadrado (vista
de cima ).
É no século XIX que a geometria passa pela maior reestruturação desde os seus estudos iniciais na
Grécia Antiga. Até então todos os raciocínios estabelecidos eram alicerçados no postulados do
grego Euclides e dos seus “ELEMENTOS”. É a chamada Geometria Euclidiana.
Foram necessários passar mais de 20 séculos para que Carl F.Gauss (1777-1855) verificar a
não demonstrabilidade do quinto postulado e a possibilidade da construção de uma geometria não
euclidiana. Na mesma época, o russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) e o húngaro
Janos Boulay (1802-1860), trabalhando independentemente, constroem uma geometria na qual o
postulado da paralela não vale mais. Em 1826 Lobachevsky cria a geometria não euclidiana, onde
para os teoremas de Euclides serem válidos é desnecessário supor que só podemos construir uma
paralela a uma outra reta passando por ponto fora desta reta. Em 1838 escreve “Novos Fundamentos
da Geometria”, em 1840 “Investigações Geométricas Sobre a Teoria da Paralelas”e em 1855
“Pangeometria”.
No ano de 1854, Geog Friedrich Bernharo Riemann (1826-1866) escreve “Uber Die
Hypothesen Welche der Goemetrie Zu Grunde Liegen” (Nas Hipóteses que Mentem a Fundação da
Geometria), onde anos mais tarde seus resultados foram utilizados na teoria da relatividade de
Albert Einstein.
Em 1899 a geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação. O alemão David
Hilbert (1862-1943) faz uma análise geral de todas as novidades incorporadas à matemática dos
séculos anteriores e a geometria é reescrita.
Após toda esta evolução geométrica, da geometria euclidiana, a geometria não euclidiana, novos
conceitos de tempo, espaço foram alicerçados, como a teoria da relatividade do físico Albert
Einstein.Em meados de 1970 a Teoria do Caos torna-se uma disciplina bem estruturada, onde
diversos pesquisadores trabalham em aprimorá-la. Dentre eles o norte-americano Robert Stetson
Shaw (1945). Desta teoria surge o estudo de certas figuras geométricas espaciais. Para exemplificar,
podemos analisar uma árvore que de seu tronco geram dois ramos, que por sua vez em cada um
deles, reparte-se em dois ramos menores e assim por diante, contendo cópias de si mesmo dentro
dela recebem o nome de fractais.
O termo fractal provem da palavra latina “fractus”que significa descontínuo, irregular. Esta
palavra foi escolhida pelo polonês Benoit Mandelbrot, em 1975, na sua pesquisa que levou a

5. publicar o livro “Les Objects Fractales: Forme, Hasard et Dimension” (Os Objetos Fractais: Forma,
Acaso e Dimensão). A principal novidade é a possibilidade de existirem dimensões espaciais
fracionárias, com isso a teoria dos fractais descreve as formas da natureza que anteriormente não
eram tratadas matematicamente como o formato de uma nuvem por exemplo. As geometrias
tradicionais limitam-se a descrever apenas a superfície e curvas lisas, entretanto diversos elementos
da natureza como as montanhas, as árvores entre outros possuem irregularidades, isto é, são
fragmentadas.
Mandelbrot trabalha para as indústrias de software e hardware no centro de pesquisa Thomas J
Watson. Participou do 17º Congresso Internacional de Física e Estatística no Rio de Janeiro e
lançou o livro “The Fractal Geometry Of Nature” –A.