1) O documento apresenta informações sobre fluidos, incluindo suas propriedades como massa específica, densidade, pressão e princípios como o de Pascal e Arquimedes. 2) São apresentadas equações para cálculo de massa, densidade, pressão, empuxo e outras grandezas relacionadas a fluidos. 3) Exemplos numéricos ilustram o cálculo dessas propriedades para diferentes substâncias e situações.

1. Júlio César Mendes Lobato
Fluidos

2. Introdução
Fluido é uma substância que se
deforma continuamente sob a
aplicação de uma tensão de
cisalhamento - tangencial.
O termo fluido compreende as fases
líquida e gasosa (ou de vapor).

3. Massa Específica
Massa específica ρ de uma substância é a massa
por unidade de volume. Isto é, se uma substância
tiver a massa m e ocupar o volume V, a massa
específica será
ρ = m/V.
A unidade de massa específica no Sistema
Internacional (SI) é o kg/m3.
A densidade da água a 4ºC no SI é 1000 kg/m3
1litro (l) = 103 cm3 = 10-3 m3.

4. Valores de Massa Específica
A Tabela apresenta as Substância Massa Específica
densidades de algumas (kg/m3)
substâncias nas
Platina 21,4 x 103
Condições Normais de
Temperatura e Pressão Ouro 19,3 x 103
(CNTP), ou seja, 0ºC e Mercúrio 13,6 x 103
pressão atmosférica.
Água 1000
Gelo 917
Ar 1,29
Hidrogênio 0,089

5. Densidade (Densidade Relativa)
A densidade relativa de uma substância é definida
como a razão entre sua massa específica e a massa
específica da água a 4ºC, que é 1000 kg/m3.
Por definição, densidade relativa de uma substância
é uma grandeza adimensional.

6. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO
Conta-se a lenda que
Chico Rei guardava o
ouro em pó retirado de m
sua mina em potes de 5 ρ=
litros. Dois ladrões V
tentaram roubar um −3
pote cada um, mas não m = 19,3 x 10 .5, 0 x 10
3
previam o peso do pote.
Não conseguindo correr
m = 96,5 kg
com o pote, foram
apanhados pelos vigias.
Qual a massa de cada
pote de ouro?

7. Massa Específica
A definição de massa específica vista anteriormente,
somente pode ser aplicada aos corpos homogêneos, isto
é, corpos que possuem a mesma composição Química
em toda sua extensão.
Para corpos não-homogêneos, ela dá apenas a
densidade média. No caso de corpos heterogêneos, a
massa específica varia de ponto a ponto. Podemos
definir a massa específica num ponto do fluido, como
∆m dm
ρ = lim =
∆V → 0 ∆ V dV

8. Peso Específico
O peso específico de um fluido é definido como a
razão entre o peso de um corpo e o seu volume.
Assim, o peso específico está relacionado com a
massa específica por meio da seguinte equação:
mg
γ= =ρg
V
O peso específico da água é
ρágua g = 9,81 × 103 N/m3

9. Perguntas
Como um peixe faz para sair de uma profundidade e ir para outra?
Por que quando se nada na água do mar, bóia-se mais facilmente
do que em água doce?
Por que o petróleo forma uma poça sobre a água quando ocorre
um vazamento no mar?
O gordo e o magro foram à praia. Qual deles conseguiu boiar no
mar com facilidade, e qual deles afundou?
Por que a fumaça do cigarro sobe de uma das pontas e desce da
outra?
Por que mesmo quando a vela não está de pé a chama fica para
cima?

10. Lei dos Gases Perfeitos
Os experimentos mostram que todos os gases se aproximam
do estado ideal sob condições em que suas moléculas estão
suficientemente afastadas. Definimos um gás ideal como
aquele que obedece a relação
pV=nRT
onde p é a pressão absoluta, V o volume, n = m/M é o número
de moles, R = 8314,5 J/kg.K a constante do gás, T é a
temperatura absoluta (Kelvin), m é a massa do gás e M é o
peso molecular do gás perfeito ou da mistura de gases

11. Pressão
Quando um corpo está imerso num fluido, o
fluido exerce, em cada ponto da superfície do
corpo, uma força perpendicular á superfície. Esta
força F do fluido, por unidade de área A da
superfície, é a pressão p do fluido
p = F/A
A unidade de pressão no SI é o N/m 2, denominada
pascal (Pa).

12. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO
Considerando que a figura ilustra
um sistema em equilíbrio em que
os líquidos não-miscíveis I e II
estão depositados em um tubo na
forma de U, de seção reta
constante, com extremidades
abertas, assinale a opção correta.
(A) A pressão no ponto B1 é
menor do que a pressão
atmosfera.
(B) A densidade do líquido I é
menor que a do líquido II.
(C) A pressão no ponto A2 é maior
que a pressão no ponto B2.
(D) A pressão em A2 independe da
altura hA.

13. Pressão
A pressão num fluido não é a mesma em todos
os pontos. Se a força normal exercida pelo
fluido for sobre o elemento de área então a
pressão no ponto será dada por
∆F dF
p = lim = .
∆ A→ 0 ∆ A dA
A unidade de pressão no SI é o N/m 2,
denominada pascal (Pa).

15. Perguntas
Um carro pode ser retirado do atoleiro simplesmente
murchando um pouco os seus pneus. Por que isso ocorre?
Por que conseguimos tomar refrigerante com canudinho?

16. Variação da Pressão com a Profundidade
– Teorema de Stevin
A diferença de pressão entre dois
pontos da massa de um líquido
em equilíbrio é dada pelo produto
entre a densidade ρ, gravidade g
e a diferença de altura h entre
estes pontos,
p = pa + ρ g h
onde po = 1,013 x 105 N/m2 é a
pressão atmosférica, medida por
Evangelista Torricelli em 1643.

17. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO
Em um documentário de TV, João
tomou conhecimento que a pressão
atmosférica diminui com a altitude.
Por essa razão o interior das
aeronaves é mantido em certo nível
de pressurização para conforto dos
passageiros. O gráfico abaixo
mostra a variação da pressão do ar
externo com a altura acima do nível
do mar. Sabendo que, durante um
vôo, é mantida uma diferença de
0,4 atmosfera entre as pressões
interna e externa à aeronave, pela
análise do gráfico, conclui-se que a
pressão interna a 8.000 metros de
altitude, em atmosfera, é igual a
(A) 0,2
(B) 0,4
(C) 0,6
(D) 0,8
(E) 1,0

18. Princípio de Pascal
O filósofo francês Blaise
Pascal (1632-1662), formulou
o seguinte princípio: A
pressão aplicada a um fluido
contido em um recipiente é
transmitida integralmente a
todos os pontos do fluido e
às paredes do recipiente que
o contém.
Aplicação: Prensa Hidráulica
Δp1 = Δp2
F1 F
= 2
A1 A 2

19. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO
Na figura acima, que esquematiza um
elevador hidráulico com líquido
incompressível, os êmbolos menor e
maior deslizam dentro de tubos
cilíndricos de áreas transversais A1 e A2,
respectivamente, cujos diâmetros D1 e D2
satisfazem a relação D2 = 20 D1. Nessa
situação, considerando que seja
aplicada no êmbolo de área menor uma
força e desprezando-se as possíveis
forças de atrito existentes no sistema, é
correto afirmar que
∆ p1 = ∆ p2
F1 F2 F F
= ⇒ 12 = 22
(A) F1 > F2 A1 A2 π D1 π D2
(B) F1 = F2/4 4 4
F1 F2 F F2
(C) F2 = 40 F1 = 2 ⇒ 12 =
D12 D2 D1 ( 20 D1 ) 2
(D) F2 = 400 F1
F2 = 400 F1

20. Princípio de Arquimedes
O princípio de Arquimedes (287 –
212 a.C) afirma que: Todo corpo
total ou parcialmente imerso em
um fluido recebe deste um empuxo
vertical, dirigido para cima, de
módulo igual ao peso do fluido
deslocado pelo corpo.
E = ρf g Vfd
onde ρf é a massa específica do
fluido, g a gravidade e Vfd é o
volume do fluido deslocado.

21. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO
Seu Genésio sempre dizia que a madeira boa para fabricar barcos é aquela que
afunda na água. Essa afirmação deixava João Batista intrigado: - Se a madeira
afundasse, como o barco poderia flutuar? Buscando explicações, João encontrou
as seguintes afirmações, todas corretas:
I – A madeira flutuará se sua densidade for menor que a da água.
II – A densidade da madeira varia com a temperatura.
III – A diferença de pressão entre o topo e a base do barco provoca o empuxo que o
faz flutuar.
IV – A densidade da água aumenta, depois diminui, ao ser aquecida de 0 ºC a 20 ºC.
V – Na condição de flutuação, o peso do barco e o empuxo que ele recebe da água
têm a mesma intensidade.
Assinale a alternativa que contém apenas as afirmações que explicam a flutuação
do barco.
(a) I e II.
(b) II e III.
(c) I e III.
(d) II e IV.
(e) III e V.

22. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO
Dois tanques de água estão cheios até as bordas. Um contém 10 mil litros
e o outro 20 mil litros. Um homem de 60 kg entra lentamente no tanque
maior e uma mulher, também com 60 kg, entra lentamente no tanque
menor, e ficam ambos flutuando. Considerando que a água transbordada
dos tanques é apenas aquela devida ao volume submerso do corpo de
cada pessoa quando está flutuando, indique qual das afirmativas abaixo
está correta.
a) 60 litros de água serão derramados em cada tanque.
b) O volume de água derramado será maior no tanque em que
entrou o homem.
c) O homem e a mulher derramariam mais água se entrassem
juntos no tanque menor do que se entrassem juntos no tanque
maior.
d) O tanque menor sempre perderia um maior volume de água,
independentemente de qual das duas pessoas entrasse nele.
e) O volume de água derramado em cada tanque depende da
profundidade do tanque.

23. Peso Aparente e Corpos Imersos
Quando um corpo é imerso num fluido, o peso aparente Pap,
o peso real Pr e o empuxo E, estão relacionados através da
seguinte expressão:
Pap = Pr – E
Os problemas que tratam dos corpos imersos podem ser
divididos em três partes:
 ρ 
a = g 1 - f ÷. p > E ( ρ c > ρf ).
 ρc 
ρ 
a = g  f - 1÷. p < E ( ρ c < ρ f ).
 ρc 
a = 0. p = E (ρc = ρf ).

24. Experimento
Determinação do Empuxo
Determinação da massa
específica da água

25. Características Gerais do
Escoamento dos Fluidos
Escoamento estacionário (permanente ou laminar): Se
processa com velocidade constante.
Escoamento incompressível: Nesse caso a massa
específica é constante.
Escoamento não-viscoso: A viscosidade no movimento
dos fluidos é análoga ao atrito no movimento dos sólidos.
Ela introduz forças tangenciais entre camadas do fluido
que possuem movimento relativo, resultando em
dissipação de energia mecânica.

26. Equação da Continuidade
Vazão mássica ou fluxo de
massa
ρ1 A1 V1 = ρ2 A2 V2
Vazão volumétrica ou fluxo de
volume
A1 V1 = A2 V2

27. Exercício Contextualizado
Não era novidade para ninguém que a
velocidade de escoamento do rio mudava ao
longo de seu curso. Para projetar uma ponte
sobre determinado trecho do rio Tuandeua,
uma equipe de técnicos fez algumas medidas
e João ficou sabendo que a área transversal
A1 v 1 = A2 v 2
500 . 1 = 2 A2
ao rio, naquele trecho, media 500 m² e a
velocidade média da água na vazante era de 1
m/s. Como já sabia que em frente a sua casa
2
a velocidade média na vazante era 2 m/s,
fazendo aproximações para uma situação
A2 = 250 m
ideal, conclui-se que a área transversal do rio,
em frente à casa de João, é igual a
(A) 250 m².
(B) 300 m².
(C) 500 m².
(D) 750 m².
(E) 1000 m².

28. Equação de Bernoulli
É uma relação fundamental da
mecânica dos fluidos empregada no
estudo do escoamento estacionário,
incompressível e não-viscoso. Ela foi
apresentada, inicialmente, por Daniel
Bernoulli (1700 - 1782), em 1738.
1 2 1 2
p1 + ρ v1 + ρ gy1 = p2 + ρ v2 + ρ gy2
2 2
p1 = pressão
1 2
mv
1 2 2
ρ v1 = = Energia Cinética
2 V
mgh
ρ gy1 = = Energia Potencial
V

29. Exercício Contextualizado
Durante uma forte ventania, casas
1 2 1 2
podem ser destelhadas devido à p1 + ρv 1 + ρ gy 1 = p 2 + ρv 2 + ρ gy 2
diferença de pressão entre o interior e o
2 2
exterior. Considere que a densidade do v 1 = 0, y 1 = y 2
ar seja de 1,2 kg/m3, que a velocidade F 1 2
do vento seja de 72 km/h e que a p1 − p 2 = = ρv 2
A 2
aceleração da gravidade seja 10 m/s2.
1
Nestas condições, a força exercida em F = .10.1, 2.202 = 2400 N
um telhado de 10 m2 de área, do interior 2
para o exterior da casa, é igual ao peso
de quantas pessoas de massa igual a 60 1 pessoa → 600 N
kg?
N pessoas → 2400 N
(a) 2
(c) 4
(c) 6
N = 4 pessoas
(d) 8
(e) 10

30. EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO
A figura abaixo representa o corte
longitudinal de um pequeno trecho de uma
artéria ao longo da qual escoa sangue em 1 2 1 2
p1 + ρv 1 + ρ gy 1 = p 2 + ρv 2 + ρ gy 2
regime laminar. As velocidades das células 2 2
sangüíneas são representadas pelas setas
à esquerda, o que mostra que a velocidade
aumenta radialmente em direção ao centro
e se anula nas paredes da artéria.
Analisando a figura, pode-se afirmar que a
(A) diferença de pressão experimentada pelas
células sangüíneas produz uma força que as
empurra para as paredes da artéria.
(B) pressão sangüínea nas paredes da artéria é
mínima.
(C) pressão sangüínea em todos os pontos da artéria
é a mesma.
(D) pressão sangüínea aumenta, a partir das paredes
da artéria, em direção ao centro.
(E) pressão sangüínea diminui, a partir das paredes
da artéria, em direção ao centro.

31. Perguntas
Por que alguns ciclistas gostam de andar atrás de
grandes veículos, mesmo que haja o risco de um
choque entre ambos, caso o veículo maior seja
freado?
Por que um carro em alta velocidade fica mais leve?
O que poderia ocasionar uma perda de altitude de
um avião em vôo?

32. Aplicação da equação de Bernoulli
Vaporizadores
Uma bomba faz com que o ar
seja empurrado paralelamente ao
extremo de um tubo que está
imerso em um líquido.
A pressão nesse ponto diminui,
e a diferença de pressão com o
outro extremo do tubo empurra o
fluido para cima. O ar rápido
também divide o fluido em
pequenas gotas, que são
empurradas para frente.

33. Aplicação da equação de Bernoulli
Acidente Isquêmico Transitório - interrupção aguda
do fluxo sanguíneo de alguma parte do cérebro (AVC
temporário)
O que a equação de Bernoulli tem a ver?
Quando a velocidade de passagem do sangue é muito elevada,
as paredes das artérias se aproximam umas das outras,
interrompendo o fluxo sanguíneo.
O que ocorre é que com o aumento da velocidade dentro do
vaso, a pressão interna diminui e a externa comprime o vaso,
interrompendo transitoriamente o fluxo sanguíneo.

34. Aplicação da equação de Bernoulli
Na hidrodinâmica dos
esportes (natação)
O atrito com a água é o responsável
pela grande perda da velocidade
dos nadadores em seus
movimentos natatórios.
Podemos perceber isso, visto que
um dos interesses da hidro e
aerodinâmica hoje, em todas as
áreas, reside também em encontrar
formatos aéreo e hidrodinâmicos,
ou seja, formas que permitam o
menor atrito possível com o fluido.

35. Aplicação da equação de Bernoulli
Na Lareira/chaminé
p + ρgh+ ½ ρv²= constante
Se um fluido estiver escoando em um
estado de fluxo contínuo, então a pressão
depende da velocidade do fluido. Quanto
mais rápido o fluido estiver se
movimentando, tanto menor será a pressão à
mesma altura no fluido.
O movimento de ar do lado de fora de uma
casa ajuda a criar uma diferença de pressão
que expulsa o ar quente da lareira para cima,
através da chaminé.

36. Aplicação da equação de Bernoulli
Aerofólio: espécie de asa invertida

37. Para um Avião Para um Automóvel
Asa do Aerofólio
avião

38. Queda Livre com Resistência do Ar
Problema: Quando um corpo de massa m move-se
através de um fluido viscoso sob a ação de uma força
constante F, a segunda lei de Newton será
dv
m =F-kμv
dt
Onde k é um coeficiente que depende da forma do
corpo e μ é a viscosidade. Calcular a velocidade limite
de queda.

39. Obrigado pela atenção.