111699427 estaticaresolvidosparasegunda

Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos
Jorge A. Villar Alé C-1
A
AP
PO
OS
ST
TI
IL
LA
A D
DE
E M
ME
EC
CÂ
ÂN
NI
IC
CA
A D
DO
OS
S F
FL
LU
UI
ID
DO
OS
S
P
PR
RO
OB
BL
LE
EM
MA
AS
S R
RE
ES
SO
OL
LV
VI
ID
DO
OS
S E
E P
PR
RO
OP
PO
OS
ST
TO
OS
S
(
(2
20
01
11
1)
)

Mecânica dos Fluidos
PUCRS
C-2
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2)................................................. 4
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3).................... 10
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2)............................................. 20
1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4)...................................................... 32
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5).............................................. 50
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60
1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7)......................... 63
1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79
1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82
1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84
1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS............................................................................................................ 87

E
EX
XE
EM
MP
PL
LO
OS
S
P
PR
RO
OP
PR
RI
IE
ED
DA
AD
DE
ES
S D
DO
OS
S F
FL
LU
UI
ID
DO
OS
S
C
CA
AP
P 2
2

PUCRS
C-4
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2)
[ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.
[ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico
e densidade do óleo.
[ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido.
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K)
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a
sua viscosidade cinemática.
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2
K N m−
em termos da altura de coluna de água de
massa específica ρ = −
1000 3
kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica
ρ = × −
13 6 103 3
. kg m . Utilizando p gh
= ρ .
[ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade
máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54.
[ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa.
[ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de
101,0 kPa.
[ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão
atmosférica local é igual a 100 kPa.
[ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do
mercúrio igual a 13,6.
[ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando
num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o
valor do número de Reynolds.
[ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina;
b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina.
[ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR =
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou
incompressível? c) subsônico ou supersônico?
[ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.

Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos
[1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.
kN
N
s
m
kgx
w
mg
w
093
,
8
ou
25
,
8093
81
,
9
825 2
=
=
=
[2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso
específico e densidade do óleo.
Massa específica
3
3
900
67
,
899
917
,
0
825
m
kg
m
kg
V
m
≅
=
=
=
ρ
Peso específico
3
2
3
8
,
8825
81
,
9
67
,
899
m
N
s
m
x
m
kg
g =
=
= ρ
γ
Também poderia ser determinada como
3
3
8
,
8825
917
,
0
25
,
8093
m
N
m
N
V
w
=
=
=
γ
densidade
)
4
(
)
4
( 2
2 c
a
O
H
fluido
c
a
O
H
fluido
d
o
o γ
γ
ρ
ρ
=
=
90
,
0
89967
,
0
1000
67
,
899
)
4
(
2
≅
=
=
=
c
a
O
H
fluido
d
o
ρ
ρ
[3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido.
Peso específico 3
34
,
7833
6
1000
47
m
N
x
V
W
=
=
=
γ
Massa específica 3
51
,
798
81
,
9
34
,
7833
m
kg
g
=
=
=
γ
ρ
m
m
xs
s
m
kg
m
m
Ns
s
m
m
N
g 3
2
2
3
2
2
3
.
.
=
=
=
=
γ
ρ
Densidade 80
,
0
1000
51
,
798
0
2 4
0
=
=
=
C
a
H
óleo
d
ρ
ρ

PUCRS
C-6
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K)
A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa.
A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K
A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos
3
23
,
5
294
287
1000
3
,
441
m
kg
x
x
RT
P
=
=
=
ρ
As unidades são:
( )
3
2
2
.
.
.
.
m
kg
xK
m
m
N
K
kg
N
K
x
kgK
Nm
m
N
RT
P
=
=














=
=
ρ
O peso de ar contido no tanque é igual a
N
x
x
x
g
W 22
,
1
10
38
,
2
81
,
9
23
,
5 2
=
=
∀
= −
ρ
Conferindo as unidades:
( ) N
s
m
kg
m
s
m
m
kg
g
W =
=












=
∀
= 2
3
2
3
.
ρ
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a
sua viscosidade cinemática.
s
m
x
kg
m
s
s
kgm
x
kg
m
s
N
x
m
kg
m
Ns
x 2
6
2
6
6
3
2
3
10
88
,
5
.
.
10
88
,
5
.
.
10
88
,
5
850
10
5
−
−
−
−
=






=
=
=
=
ρ
µ
ν
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2
K N m−
em termos da altura de coluna de água de
massa específica ρ = −
1000 3
kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica
ρ = × −
13 6 103 3
. kg m . Utilizando p gh
= ρ .
Solução
Em termos de coluna de água: água
de
95
.
50
81
.
9
1000
10
500 3
m
g
p
h =
×
×
=
=
ρ
Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × −
13 6 103 3
. kg m .
mercúrio
de
75
.
3
81
.
9
10
6
.
13
10
500
3
3
m
h =
×
×
×
=

[7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do
lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do
lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54.
A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação:
gh
p
p ρ
+
= 0
Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm).
Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos
kPa
m
kg
x
gh
patm 43
,
79
m
N
79430,79
x0,598m
s
m
x9,81
1000
54
,
13 2
2
3
=
=
=
= ρ
Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos
determinar a pressão absoluta como.
kPa
kPa
kPa
x
x
kPa
gh
p
p 472
4
,
392
43
,
79
40
81
,
9
1000
43
,
79
atm ≈
+
=
+
=
+
= ρ
[8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa.
kPa
kPa
kPa
p
P
p man 253
0
,
98
155
atm
abs =
+
=
+
=
[9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa.
kPa
kPa
kPa
p
p
Pman 0
,
124
0
,
101
0
,
225
atm
abs =
−
=
−
=
[10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é
igual a 100 kPa.
kPa
kPa
kPa
p
p
p vac 30
70
100
atm
abs =
−
=
−
=
[11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em
kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6.
atm
abs p
P
p man +
=
em kgf/cm2
2
abs 3
2
1
cm
kgf
p =
+
=
Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma.
• Pressão em Pascal.
kPa
x
x
m
kgf
N
x
cm
kgf
p 3
,
294
100
81
,
9
0
,
3
100
1
81
,
9
0
,
3 2
2
2
2
abs =
=
=
• Coluna de água
água
de
coluna
de
30
81
.
9
1000
10
3
,
294 3
0
2
m
g
p
h
H
=
×
×
=
=
ρ
• Coluna de mercúrio considerando d=13,6.
mercúrio
coluna
de
2
,
2
81
,
9
1000
6
,
13
10
3
,
294 3
m
x
g
p
h
Hg
=
×
×
=
=
ρ

PUCRS
C-8
[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91
escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6
m/s, determine o valor do número de Reynolds.
O número de Reynolds é definido como
µ
ρ
ν
VD
VD
=
= ou
Re
a massa específica do fluido é determina em função da densidade
3
3
0 910
1000
91
,
0
2
m
kg
m
kg
x
d H =
=
= ρ
ρ
156
38
,
0
910
025
,
0
6
,
2
Re ≅
=
=
x
x
VD
µ
ρ
Conferindo as unidades
( ) al
adimension
-
1
.
.
.
Re
2
2
3
2
3
2
3
=




























=
=
=
=
s
m
m
kg
s
m
kg
m
s
m
s
N
m
x
m
kg
xmx
s
m
m
Ns
m
kg
xmx
s
m
VD
µ
ρ
• O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as
variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente.
[13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da
glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina.
a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2
≅ 11,77 kN
b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³
c) γ = ρ g 3
2
3
/
37
,
12
81
,
9
1261 m
kN
s
m
x
m
kg
≅
=
γ
d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 26
,
1
1000
1261
3
3
=
=
m
kg
m
kg
d

[14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR =
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine:
a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico?
(a) T
x
R
x
K
c = ( ) [ ]
K
x
K
x
kg
J
x
c 273
55
287
4
,
1 +
−






= c ≅ 296 m/s
b) M = V / c
s
m
s
m
s
m
s
h
x
km
m
x
h
km
M
296
236
296
3600
1
1
1000
850
≅
=
M ≅ 0,8 [admensional]
M > 0,3 Fluido Compressível
c) M ≅ 0,8 M 1 Subsônico
[15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um
manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.
)
.
( Perfeito
Gás
Eq
T
x
R
p
=
ρ
abs
AR
man
atm
abs
T
x
R
p
p
T
x
R
p +
=
=
ρ
( )
( )
3
2
2
2
5,08
323
.
287
.
471330
273
50
287
370000
101330
m
kg
K
x
K
x
kg
s
m
kg
s
m
kg
K
x
K
x
kg
J
Pa
Pa
=
⇒
=
+
+
= ρ
ρ

PUCRS
C-10
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3)
1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a
densidade deste líquido.
2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10-4
Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3.
3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C.
Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água
nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica
da água quando a temperatura é igual a 42,10C.
ρ (kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1
T (0C) 20 25 30 35 40 45 50
4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por:
S
T
CT
+
=
2
/
3
µ
As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K.
Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos
de mecânica dos fluidos
5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por:






=
T
B
D exp
µ
Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a
viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma:
D
T
B ln
1
ln +
=
µ
Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de
intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a
partir da Eq. original.
6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num
reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. (d=0,96)
7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume
do tanque. (V=1,52m3)
8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2.
Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Qual a
densidade do mercúrio. (d=13,6)
9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água
salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca)
10. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos específico
igual a 850kgf/m3.
11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando
se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m)
12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa
especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2.

13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão
atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque.
14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se
mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal
(101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio.
(h=760mmHg)
15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a
pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório.
16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a
760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg.
17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a
40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa.
18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que
contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor
destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos.
19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que
apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U
conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6.
Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no
manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta:
Pmam=21,1kPa)
20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa
água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine
a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros.
21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão
igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m3)
22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido
no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de
210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N).

PUCRS
C-12
E
EX
XE
EM
MP
PL
LO
OS
S
L
LE
EI
I D
DA
A V
VI
IS
SC
CO
OS
SI
ID
DA
AD
DE
E
(
(C
CA
AP
P 2
2)
)

1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)
[1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido.
• Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?.
• Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com
a tensão de cisalhamento no centro das placas ?
• Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ?
• Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?.
[2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de
cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms.
[3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica
de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área move-se a uma velocidade
de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de
velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa.
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A
separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A
densidade relativa é igual a 0,88 Determinar:
• ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido
• ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa)
• ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.
(1) (2) (3)
dy
du
µ
τ =
y
x
y
V=2,5m/s
h=100mm
0
U=0,3m/s

PUCRS
C-14
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é
dada pela equação














−
=
2
1
2
3
h
y
V
u
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e
h=5mm determinar:
a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal
b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .
2 2
y
y
U =
Onde ( )
y
U é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o
diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com
viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade
(dv/dy=u/y).
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente
de velocidades é dado por:












=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2
max
π
π
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do
resultado.

Solução – Problema 1
[1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido.
(a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?.
(b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com
a tensão de cisalhamento no centro das placas ?
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ?
(d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?.
(a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0.
(b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0).
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 =
constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte).
(d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo:
u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y ,
Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente.
Para y=0 (centro do canal) τ=0.
Para y=ymax (paredes) τ=τmax.
Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky)

PUCRS
C-16
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em
y= -100mm.
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms.
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s
como 2
by
a
V +
= achamos que a=2,5m/s
Para y=-100 mm V=0 com 2
by
a
V +
= achamos
( )
2
2
2
250
5
,
2
250
1
,
0
5
,
2
0
y
V
y
a
V
b
−
=
−
=
−
=
−
=
O gradiente de velocidade é dada por: y
dy
du
500
−
=
Tensão de cisalhamento em y=0 :
0
x500x0
8,0x10 3
-
=
=
=
dy
du
µ
τ
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m
2
3
-
4
,
0
0)
x500x(-0,1
8,0x10
m
N
dy
du
−
=
=
= µ
τ
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de
850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de
0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de
velocidade (dv/dy=u/y).
2
1 F
F
F +
=
2
2
5
3
N.s/m
06473
,
0
10
615
,
7
850 =
=
= −
s
m
x
m
kg
ρν
µ
1
1
y
u
A
dy
du
A
A
F µ
µ
τ ≡
=
=
2
2
y
u
A
F µ
≡ como y1=y2 temos que F1=F2.
N
m
s
m
x
m
s
N
x
m
x
y
u
A
F 62
,
0
0125
,
0
15
,
0
.
06473
,
0
4
,
0
2
2 2
2
=
=








= µ

[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre
elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena
largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no
líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa
é igual a 0,88 Determinar:
(a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms)
(b) A viscosidade cinemática do líquido
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa)
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa)
(e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.
Hipóteses:
• Distribuição linear da velocidade
• Escoamento em regime permanente
• Viscosidade constante
(a) 1 cP = Pa s /1000
s
10
5
,
6
1000
)
65
,
0
( 4
Pa
x
cP
s
Pa
cP −
=
=
µ
1 cP = Pa s /1000
)
/(
10
5
,
6
1000
)
/(
)
65
,
0
( 4
ms
kg
x
cP
ms
kg
cP −
=
=
µ
(b) A viscosidade dinâmica
s
m
x
m
kg
x
ms
kg
x 2
3
3
4
10
39
,
7
1000
88
,
0
10
5
,
6
−
−
=
=
=
ρ
µ
ν
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta:
b
my
y
u +
=
)
(
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.)
Para y=d u=U e por tanto m= U/d
Desta forma o perfil de velocidade é dado como:
y
d
U
y
u 





=
)
(
O gradiente é dado por:
cte
s
x
d
U
dy
du
=
=
=
= −1
1000
3
,
0
1000
3
,
0
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa)
Pa
m
N
s
ms
kg
x
d
U
dy
du
y
yx 65
,
0
65
,
0
1
1000
10
5
,
6 2
4
0
=
=






=
=




= −
=
µ
µ
τ
• A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no
sentido negativo (-) dos x
• A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no
sentido positivo dos x

PUCRS
C-18
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é
dada pela equação














−
=
2
1
2
3
h
y
V
u
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e
h=5mm determinar:
c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal
d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.
Utilizando a lei universal
τ µ
=
du
dy
A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento
devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos,
y
h
V
h
y
V
dy
du
2
2
3
2
0
2
3
−
=












−
=
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h,
Pa
ou
m
N
m
x
s
m
x
x
m
Ns
h
V
h
h
V
h
y 691
691
005
,
0
1
6
,
0
3
92
,
1
3
)
(
3
2
2
2
=


















=
=
−
−
=
−
= µ
µ
τ
esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior
apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior.
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy.
Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0.
O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia
de 0 no plano central a 691Pa nas paredes.

[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .
2 2
y
y
U =
Onde ( )
y
U é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.
Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .
2 2
y
y
U = Desta forma
( ) .
4y
dy
y
dU
=
A tensão de cisalhamento é dada por:
y
u
∂
∂
= µ
τ 2
3
0016
,
0
)
2
,
0
(
4
10
2
)
(
m
N
x
x
x
dy
y
dU
=
=
= −
µ
τ
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é
de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e
o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na
descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y).
y
u
DL
dy
du
A
A
F µ
π
µ
τ =
=
=
( )
s
cm
s
m
x
x
x
x
x
DL
Fy
u 87
,
2
0287
,
0
5
,
8
32
,
0
2
,
0
00005
,
0
98
,
9
100
=
=
=
=
π
µ
π
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente
de velocidades é dado por:












=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2
max
π
π
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do
resultado.
Pa
sx
Pa
x
x
x
x
x
x
x
b
U
dy
du
dy
du
mm
y
mm
y
0257
,
0
068
,
1428
.
10
8
,
1
707106
,
0
1000
0
,
7
2
0
,
9
0
,
7
2
5
,
3
cos
2
5
max
5
,
3
5
,
3
=
=












=


















=
=
=
−
=
=
π
µ
π
π
µ
µ
τ
µ
τ

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C-20
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)
[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a
inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e massa específica 830
kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com
o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida
para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 (b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N
[2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm
tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s.
Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com
uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa
superior considerando esta com superfície igual a 1,0m2.
R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N
[3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de
óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem
densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tensão de
cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a
velocidade da placa móvel?
R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s
[4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um
comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no
óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por FV
W =

onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo
SAE 30 





=
s
m
kg
.
29
,
0
µ R: 72,5 W.
[ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por:
















−
=
2
max
2
1
)
(
h
y
u
y
u onde umax representa a velocidade
máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente
de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento.
Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa
superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A
tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força
de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m2. (d) 0,138 N
Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade
dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s.

[6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado
por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade
média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que
V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b)
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuição da
velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m2)














−
=
2
1
2
3
)
(
h
y
V
y
u
[ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A
velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm.
R: (a) 0,01 Pa.s
[8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma
altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149,5mm. Este
corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s
dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. Entre o tubo e o
cilindro existe uma película de óleo. Determine (a) tensão de
cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade
dinâmica do óleo. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s
[9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo
lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo
apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro do
eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a
Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2 Pa.s
R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm
[10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com
0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23,9
Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra.
[11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é
arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de uma luva de 60,2mm. No
espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e
viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s.
(a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida
para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) Determinar a força
requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N
[12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de
uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe
óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a
0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e
(b) potência originado nesta condições de operação.
R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW

PUCRS
C-22
E
EX
XE
EM
MP
PL
LO
OS
S
M
MA
AN
NO
OM
ME
ET
TR
RI
IA
A
(
( C
CA
AP
P 3
3 )
)

1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.3)
[1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a
densidade do fluido igual a 8,5.
B
de
acima
líquido
de
coluna
da
Pressão
=
P(B)
)
(
/
5
,
12
)
(
/
12508
5
,
1
81
,
9
1000
6
,
8
2
2
2
2
kPa
ou
m
kN
Pa
ou
m
N
x
x
x
h
g
d
gh
p
água
mercurio
B
=
=
=
=
=
ρ
ρ
Manômetro piezométrico simples
[2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão
de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. O
manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6.
Determinar:
a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m.
b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m.
p gh gh
A = −
ρ ρ
man 2 1
a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4
= 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar)
b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4
= -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar)
A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica.

PUCRS
C-24
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U. Determinar
a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6.
pC = pD
pC = pA + ρg hA
pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ)
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20
= 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000
= -7284 + 61852
= 54 568 N/m2
ou Pa ( 0,55 bar)
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do
manômetro.
• Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão
atmosférica.
• Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a
atmosférica.
• Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa
é uma pressão relativa a atmosfera.
Desta forma utilizando pressões relativas:
( ) ( ) y
g
d
m
gx
E
E
g
E
E
g
d
P agua
Hg
agua
agua
agua
oleo
ar 0
,
1
0
2
2
5 ρ
ρ
ρ
ρ =
+
−
+
−
+
( ) ( ) y
x
x
x
x
x
x
x 81
,
9
1000
6
,
13
0
,
1
81
,
9
1000
0
2
81
,
9
1000
2
5
81
,
9
1000
82
,
0
30 =
+
−
+
−
+
Resolvendo:
( ) ( )
626mm
0,626m
y
133416y
83562,6
y
133416
9810
19620
6
,
24132
30000
81
,
9
1000
6
,
13
0
,
1
81
,
9
1000
0
2
81
,
9
1000
2
5
81
,
9
1000
82
,
0
30000
=
=
=
=
+
+
+
=
+
−
+
−
+ y
x
x
x
x
x
x
x

[ 5 ] Com base na figura ao lado, determine:
A pressão absoluta no ponto A;
PA (Rel) = ρH2O . g . hH2O
PA (Rel) = 1000 kg/m3
x 9,81 m/s2
x 5 m ≅ 49 kPa
PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel)
PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa
PA (Abs) ≅ 270 kPa
[ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine:
a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água;
b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório.
a)
PA (Abs) = PAtm + PA (Rel)
PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa ≅ 134,68 kPa
PA (Rel) = ρGas. g . hgas = 680 kg/m3
x 9,81 m/s2
x 5 m = 33,354 kPa
ρGas = d x ρágua à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m3
= 680 kg/m3
b)
PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g . hágua
PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m3
x 9,81 m/s2
x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa ≅ 144,5 kPa

PUCRS
C-26
[ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine:
a) a massa específica do azeite de oliva;
b) a densidade do azeite de oliva.
Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa.
a)
PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg
PA (Abs)=PAtm +ρóleo.g.hóleo +ρH2O.g.hH2O +ρaz.oliva.g.haz.oliva +ρHg.g.hHg
oliva
az
Hg
Hg
O
H
O
H
óleo
óleo
ATM
F
oliva
az
h
g
h
g
h
g
h
g
P
P
.
.
.
.
.
.
.
.
. 2
2
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
−
−
=
( ) ( ) ( )
[ ]
{ }
m
s
m
Pa
o
a
9
,
2
.
81
,
9
4
,
0
.
13600
5
,
2
.
1000
5
,
1
.
890
.
81
,
9
101330
231300
2
.
+
+
−
−
=
ρ
3
2
2
. /
1370
9
,
2
.
81
,
9
.
38982
m
kg
m
s
m
s
m
kg
oliva
az ≅
≅
ρ
3
3
4
4
/
890
000
1
89
,
0 m
kg
m
kg
x
x
d
d C
à
água
óleo
óleo
C
à
água
óleo
óleo =
=
=
⇒
= °
°
ρ
ρ
ρ
ρ
b)
37
,
1
/
1000
/
1370
.
3
3
4
.
. =
⇒
=
=
°
oliva
az
C
à
água
oliva
az
oliva
az d
m
kg
m
kg
d
ρ
ρ

[8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e
B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior.
kPa
P
P
P
gh
gh
gh
P
B
A
B
tetra
Hg
óleo
A
28
,
37
3
2
1
−
=
−
=
−
+
+ ρ
ρ
ρ
Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A
[ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi
conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A
deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a
velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de
pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6.
( ) kPa
x
P
P
P
g
g
x
g
x
x
g
P
B
A
B
a
a
a
a
A
52
1000
81
,
9
)
750
369
6
,
13
360
(
1000
750
1000
360
6
,
13
1000
360
1000
≈
+
−
=
−
=
−





 −
−






−






+ ρ
ρ
ρ
ρ

PUCRS
C-28
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap3)
[ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a
pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo
do tanque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a
água e o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89.
Densidade do mercúrio 13,6.
[ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque
subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68
determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina-
água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque.
R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa
(b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa
[3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro
em U conectado como mostrado na figura. O manômetro utiliza
benzeno com massa específica igual 879 kg/m3. Determinar:
(a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão.
(b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação.
R: PA - PB = 463 Pa (de A para B )
[4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de
294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do
mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m.
Massa específica da água: 1000 kg/m3;
Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3
[5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig.
considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa.
Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A
densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig.
R: 22cm

[ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na
Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3. Massa especifica do
mercúrio 13550 kg/m3. Determine a pressão manométrica no
ponto A. R: 20,92 kPa.
[ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado
contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão
(relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual
será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro.
R: y=626mm
[8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da
pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo
do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa
específica do mercúrio = 13600kg/m³.
(a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B
(b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros
de coluna de água ?
R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20
[9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre
as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB PA)

PUCRS
C-30
[10] Determine a pressão na tubulação com água (A)
considerando que o manômetro em U esta aberto para a
atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso especifico
igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e h2=10cm.
R: 8,0 kPa
[ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo,
quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. Considere as
densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm
[ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13,6).
R: (a) 2,75 kPa
[ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém água,
tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual
13,6. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma
pressão absoluta igual a 180 kPa. A pressão absoluta em A é
igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da
coluna de água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B.
Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3.
R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa
[14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre
o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N.

E
EX
XE
EM
MP
PL
LO
OS
S
C
CI
IN
NE
EM
MÁ
ÁT
TI
IC
CA
A D
DO
OS
S F
FL
LU
UI
ID
DO
OS
S
(
(C
Ca
ap
p.
. 4
4 )
)

PUCRS
C-32
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemática dos Fluidos (Cap4)
[ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) j
y
i
x
V ˆ
)
8
,
0
5
,
1
(
ˆ
8
,
0
5
,
0 −
+
+
=
r
Onde x e y em metros
1. Escoamento é uni bi ou tridimensional ?
2. Regime permanente ou não permanente ?
3. Determinar o ponto de estagnação
4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m
5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m
[ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.
( ) j
xy
i
y
x
V ˆ
)
2
(
ˆ
4 4
3
2
−
=
r
[ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.
( ) j
y
i
x
V ˆ
)
8
,
0
5
,
1
(
ˆ
8
,
0
5
,
0 −
+
+
=
r
[ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) j
y
i
x
V ˆ
)
8
,
0
5
,
1
(
ˆ
8
,
0
5
,
0 −
+
+
=
r
(1) Determinar o vetor da aceleração total.
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0)
(3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0)
[ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )k
j
x
i
y
x
V ˆ
10
ˆ
)
3
(
ˆ
12 4
3
+
+
=
r
[ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )k
z
j
z
x
i
y
x
V ˆ
12
ˆ
)
4
4
(
ˆ
6 2
2
+
−
−
=
r
[ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades
dada pela equação:
( ) 





+
=
→
L
x
u
t
z
y
x
V
2
1
,
,
, 0 .
Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e
na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na
saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída.
[ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )k
z
y
j
z
y
V ˆ
3
ˆ
4 2
3
+
−
−
=
r
(a) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional.
(b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente.
(c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva.
(d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível.
(e) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.
[ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por:
j
y
x
i
y
x
V ˆ
)
8
,
2
1
,
2
98
,
0
(
ˆ
)
65
,
0
8
,
2
1
( −
−
−
+
+
+
=
r
(a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
(b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido.
(c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)

Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) j
y
i
x
V ˆ
)
8
,
0
5
,
1
(
ˆ
8
,
0
5
,
0 −
+
+
=
r
Onde x e y em metros
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ?
7. Regime permanente ou não permanente ?
8. Determinar o ponto de estagnação
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ?
0
8
,
0
5
,
1
8
,
0
5
,
0
=
−
=
+
=
w
y
v
x
u
Desta forma j
v
i
u
y
x
V ˆ
ˆ
)
,
( +
=
r
Resposta: Escoamento bidimensional
(2) Regime permanente ou não permanente ?
Consideramos o vetor velocidades: j
v
i
u
y
x
V ˆ
ˆ
)
,
( +
=
r
Tomando a derivada parcial no tempo: 0
)
,
(
=
∂
∂
t
y
x
V
r
Resposta: Regime permanente
(3) Determinar o ponto de estagnação:
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0
625
,
0
8
,
0
5
,
0
0
8
,
0
5
,
0
−
=
−
=
=
+
=
x
x
u
875
,
1
8
,
0
5
,
1
0
8
,
0
5
,
1
=
=
=
−
=
y
y
v
Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m
( )
j
i
V
j
i
V
j
x
i
x
V
ˆ
)
9
,
0
(
ˆ
)
1
,
2
(
ˆ
)
4
,
2
5
,
1
(
ˆ
)
6
,
1
5
,
0
(
ˆ
)
3
8
,
0
5
,
1
(
ˆ
2
8
,
0
5
,
0
−
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
r
r
r
Resposta: Vetor velocidade: j
i
V ˆ
)
9
,
0
(
ˆ
)
1
,
2
( −
+
=
r
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m
s
m
v
u
V /
28
,
2
9
,
0
1
,
2 2
2
2
2
=
+
=
+
=
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s

PUCRS
C-34
Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.
( ) j
xy
i
y
x
V ˆ
)
2
(
ˆ
4 4
3
2
−
=
r
Solução:
Será fluido incompressível se:
0
=
•
∇ V
r
ou 0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
Será fluido compressível
0
≠
•
∇ V
r
ou 0
≠
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
0
2
4
4
3
2
=
−
=
=
w
xy
v
y
x
u
Derivando
0
8
8
3
3
=
∂
∂
−
=
∂
∂
=
∂
∂
z
w
xy
y
v
xy
x
u
e somando obtemos 0
8
8 3
3
=
−
=
∂
∂
+
∂
∂
xy
xy
y
v
x
u
Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível
Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.
( ) j
y
i
x
V ˆ
)
8
,
0
5
,
1
(
ˆ
8
,
0
5
,
0 −
+
+
=
r
0
8
,
0
5
,
1
8
,
0
5
,
0
=
−
=
+
=
w
y
v
x
u
0
8
,
0
8
,
0
=
∂
∂
−
=
∂
∂
=
∂
∂
z
w
y
v
x
u
0
0
8
,
0
8
,
0 =
+
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
Resposta: fluido incompressível
Atividade: Dado o vetor velocidade
( ) ( ) ( )k
z
x
j
xyz
i
z
y
V ˆ
3
ˆ
2
ˆ 3
2
2
2
+
+
=
r
(a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente
(b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1).
(c) Determine a aceleração local da partícula.
(d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível
(e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.

Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) j
y
i
x
V ˆ
)
8
,
0
5
,
1
(
ˆ
8
,
0
5
,
0 −
+
+
=
r
(3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0)
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
V
D
ap
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
r
r
r
r
r
r
observamos que é regime permanente: 0
=
∂
∂
t
V
r
0
8
,
0
5
,
1
8
,
0
5
,
0
=
−
=
+
=
w
y
v
x
u
0
ˆ
8
,
0
ˆ
8
,
0
=
∂
∂
−
=
∂
∂
=
∂
∂
z
V
j
y
V
i
x
V
r
r
r
( )
0
ˆ
)
64
,
0
2
,
1
(
)
ˆ
8
,
0
)(
8
,
0
5
,
1
(
ˆ
)
64
,
0
4
,
0
(
)
ˆ
8
,
0
(
8
,
0
5
,
0
=
∂
∂
+
−
=
−
−
=
∂
∂
+
=
+
=
∂
∂
z
V
w
j
y
j
y
y
V
v
i
x
i
x
x
V
u
r
r
r
j
y
i
x
Dt
V
D ˆ
)
64
,
0
2
,
1
(
ˆ
)
64
,
0
4
,
0
( +
−
+
+
=
r
Resposta: j
y
i
x
ap
ˆ
)
64
,
0
2
,
1
(
ˆ
)
64
,
0
4
,
0
( +
−
+
+
=
r
j
i
Dt
V
D
j
i
Dt
V
D
j
x
i
x
Dt
V
D
ˆ
)
72
,
0
(
ˆ
)
68
,
1
(
ˆ
)
92
,
1
2
,
1
(
ˆ
)
28
,
1
4
,
0
(
ˆ
)
3
64
,
0
2
,
1
(
ˆ
)
2
64
,
0
4
,
0
(
+
=
+
−
+
+
=
+
−
+
+
=
r
r
r
Resposta: j
i
ap
ˆ
)
72
,
0
(
ˆ
)
68
,
1
(
)
0
,
3
,
2
( +
=
r
(3) Determinar o módulo da aceleração em (2,3,0)
2
2
2
2
2
/
83
,
1
72
,
0
68
,
1
)
0
,
3
,
2
( s
m
a
a
a
a y
x
p
p =
+
=
+
=
=
r
Resposta:
2
/
83
,
1
)
0
,
3
,
2
( s
m
ap =

PUCRS
C-36
Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional
( ) ( )k
j
x
i
y
x
V ˆ
10
ˆ
)
3
(
ˆ
12 4
3
+
+
=
r
Rotacional 0
2
1
≠
∇
= V
x
r
r
ω Irrotacional
k
y
u
x
v
j
x
w
z
u
i
z
v
y
w ˆ
2
1
ˆ
2
1
ˆ
2
1








∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
+








∂
∂
−
∂
∂
=
ω
v
( )
( )k
w
j
x
v
y
x
u
ˆ
10
ˆ
)
3
(
12
4
3
=
=
=
( )
( )
( ) 0
12
12
2
1
2
1
0
0
0
2
1
2
1
0
0
2
1
3
3
=
−
=








∂
∂
−
∂
∂
=
=
−
=






∂
∂
−
∂
∂
=
−
=
x
x
y
u
x
v
x
w
z
u
z
z
y
y
x
ω
ω
ω
ω
ω
Resposta: Irrotacional
Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional
( ) ( )k
z
j
z
x
i
y
x
V ˆ
12
ˆ
)
4
4
(
ˆ
6 2
2
+
−
−
=
r
( )
( )
2
2
12
)
4
4
(
6
z
w
z
x
v
y
x
u
=
−
−
=
=
( ) 2
4
0
2
1
2
1
−
=
−
=








∂
∂
−
∂
∂
=
x
x
z
v
y
w
ω
ω
( ) 0
0
0
2
1
2
1
=
−
=






∂
∂
−
∂
∂
=
y
y
x
w
z
u
ω
ω
( ) ( )
2
2
3
2
6
4
2
1
2
1
x
x
y
u
x
v
z
z
+
−
=
−
−
=








∂
∂
−
∂
∂
=
ω
ω
Resposta: Rotacional
0
=
x
ω
0
=
y
ω
0
=
z
ω
0
=
ω
r
0
≠
x
ω 0
=
y
ω 0
≠
z
ω
0
≠
ω
r

Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de
velocidades dada pela equação:
( ) 





+
=
→
L
x
u
t
z
y
x
V
2
1
,
,
, 0 .
Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada
e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na
saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída.
a) Unidimensional ( ) i
L
x
u
u
t
z
y
x
V ˆ
2
1
,
,
, 0 





+
=
=
→
t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
V
D
ap
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
→
→
→
→
→
→
.
.
.
Como 0
t
V
=
∂
∂
→
, então, o escoamento é em Regime Permanente;






+






=


















+
=
∂
∂
=
=
→
→
→
L
x
L
u
L
u
L
x
u
x
V
u
Dt
V
D
ap
2
1
.
.
2
.
2
.
2
1
.
2
0
0
0 (aceleração da partícula do fluido)
b)
( ) ( )






+








=






+






=
=
→
→
m
m
s
m
L
x
L
u
Dt
V
D
ap
3
,
0
0
.
2
1
.
3
,
0
/
3
.
2
2
1
.
.
2
2
2
0
2
/
60 s
m
ap =
→
(aceleração na entrada do bocal)
( ) ( )






+








=






+






=
=
→
→
m
m
m
s
m
L
x
L
u
Dt
V
D
ap
3
,
0
3
,
0
.
2
1
.
3
,
0
/
3
.
2
2
1
.
.
2
2
2
0
2
p s
/
m
180
a =
→
(aceleração na saída do bocal)
c)
( )
s
m
m
m
s
m
L
x
u
u
V 9
3
,
0
3
,
0
.
2
1
.
3
2
1
0 =






+
=






+
=
=
→
(velocidade na saída do bocal)
c) Neste exercício, a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo.
( ) i
L
x
u
u
t
z
y
x
V ˆ
2
1
,
,
, 0 





+
=
=
→
( ) 





+






=
∂
∂
=
⇒
=
→
→
→
→
L
x
L
u
x
V
u
a
Dt
V
D
t
z
y
x
a p
p
2
1
.
.
2
.
,
,
,
2
0
0
=
∂
∂
→
t
V

PUCRS
C-38
Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por:
( ) ( ) ( )k
z
x
j
xyz
i
z
y
V ˆ
3
ˆ
2
ˆ 3
2
2
2
+
+
=
r
(a) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1).
(b) Determine a aceleração local da partícula.
(c) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível
(d) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.
Solução
(1) Velocidade na partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1).
(a)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
s
m
V
k
j
i
V
k
j
i
V
k
z
x
j
xyz
i
z
y
V
/
3
,
28
ˆ
24
ˆ
12
ˆ
9
ˆ
1
.
2
.
3
ˆ
1
.
3
.
2
.
2
ˆ
1
.
3
ˆ
3
ˆ
2
ˆ
3
2
2
2
3
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
r
r
r
(2) Aceleração local da partícula.
(b)
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
V
D
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r
r
r
r
Resposta : Aceleração local da partícula: 0
=
∂
∂
t
V
r
(a aceleração local da partícula é nula)
(c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível
z
w
y
v
x
u
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
r
0
3
2
0 3
2
≠
+
+
=
∇ x
xz
V
r
Por tanto se trata de fluido compressível.
(d) Escoamento é rotacional ou irrotacional. ?
0
)
2
2
(
2
1
2
1
)
9
2
(
2
1
2
1
)
4
0
(
2
1
2
1
2
2
2
2
=
−
=








∂
∂
−
∂
∂
≠
−
=






∂
∂
−
∂
∂
≠
−
=








∂
∂
−
∂
∂
yz
z
yz
y
u
x
v
z
x
z
y
x
w
z
u
xyz
z
v
y
w
Resposta: Escoamento rotacional

Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )k
z
y
j
z
y
V ˆ
3
ˆ
4 2
3
+
−
−
=
r
(f) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional.
(g) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente.
(h) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva.
(i) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível.
(j) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.
SOLUCAO
(A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional.
Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z
(v,w).
k
w
j
v
V ˆ
ˆ +
=
r
(B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente.
Para ser escoamento em 3D em regime permanente. )
,
,
,
( t
z
y
x
V
V =
r
Neste caso: k
z
y
w
j
z
y
u
V ˆ
)
,
(
ˆ
)
,
( +
=
r
Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente)
( C) Determinar a aceleração da partícula
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
V
D
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r
r
r
r
)
(
)
( Convectiva
p
Local
p
p a
a
a
r
r
r
+
=
Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local é nula: 0
=
∂
∂
t
V
r
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
V
D
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r
r
r
0
=
∂
∂
x
V
u
r
(escoamento bidimensional com u=0)
k
yz
z
y
j
y
z
y
y
V
v ˆ
)
6
)(
4
(
ˆ
)
3
)(
4
( 3
2
3
−
−
+
−
−
−
=
∂
∂
r
k
y
z
y
z
V
w ˆ
)
3
)(
3
( 2
2
=
∂
∂
r
( ) ( ) k
z
y
k
y
z
z
y
j
zy
y
Dt
V
D ˆ
)
9
(
ˆ
24
6
ˆ
12
3 4
2
4
2
5
+
+
−
+
=
r
( ) ( )k
y
z
z
y
j
zy
y
Dt
V
D ˆ
24
3
ˆ
12
3 2
4
2
5
+
+
+
=
r

PUCRS
C-40
( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível.
Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação:
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
z
w
y
v
x
u
V
r
0
=
∂
∂
x
u 2
3y
y
v
−
=
∂
∂ 2
3y
z
w
=
∂
∂
Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível.
0
3
3 2
2
=
+
−
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∇ y
y
z
w
y
v
V
r
(E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.
Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )k
z
y
j
z
y
V ˆ
3
ˆ
4 2
3
+
−
−
=
r
Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w).
k
z
y
w
j
z
y
v
V ˆ
)
,
(
ˆ
)
,
( +
=
r
P
Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado:
k
y
u
x
v
j
x
w
z
u
i
z
v
y
w ˆ
2
1
ˆ
2
1
ˆ
2
1








∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
+








∂
∂
−
∂
∂
=
ω
v
i
z
v
y
w ˆ
2
1








∂
∂
−
∂
∂
=
ω
v
yz
y
w
6
=
∂
∂
4
−
=
∂
∂
z
v
Desta forma o escoamento é rotacional já que 0
≠
ω
v
i
xz ˆ
)
4
6
(
2
1
−
=
ω
v

Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por:
j
y
x
i
y
x
V ˆ
)
8
,
2
1
,
2
98
,
0
(
ˆ
)
65
,
0
8
,
2
1
( −
−
−
+
+
+
=
r
(d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
(e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido.
(f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)

PUCRS
C-42
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4)
[1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: k
j
i
xz
yt
xt
t
z
y
x
V ˆ
ˆ
2
ˆ 3
2
)
,
,
,
( +
−
=
r
. Determinar:
(a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional.
(b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente.
( c ) Aceleração total da partícula
(d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0)
(e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0).
[2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k
j
i
ty
xz
t
V ˆ
2
ˆ
ˆ
3 +
+
=
r
Determinar a equação que representa a aceleração da partícula.
j
i z
x
xyz
z
y
V ˆ
3
ˆ
2
ˆ
2
2
3
2 +
+
=
r
(a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional
(b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional.
z
j
i
e
t
ay
t
ax
V ˆ
2
ˆ
2
3
ˆ
2 2
+
−
=
r
Determinar a equação que representa a aceleração da partícula.
y
z
x
j
y
z
x
i
y
z
x
V ˆ
3
ˆ
2
ˆ
2
2
2
3
2
3
−
−
=
r
Verifique se o fluido é compressível ou incompressível.
[6] Dado o campo de velocidades k
j
i
z
z
x
y
x
V ˆ
2
ˆ
ˆ
2
12
)
4
4
(
6 +
−
−
=
r
Determine o campo de velocidades angular
ou rotacional.
[7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade.
(a) x
u −
= y
v = (b) y
u 3
= x
v 3
= (c) x
u 4
= y
v 4
−
=
(d) xy
u 3
= yt
v 3
= (e) t
y
xy
u 2
+
= t
x
xy
v 4
+
= (c) 3
2
4 y
x
u = 4
2xy
v −
=

E
EX
XE
EM
MP
PL
LO
OS
S
C
CO
ON
NS
SE
ER
RV
VA
AÇ
ÇÃ
ÃO
O D
DA
A M
MA
AS
SS
SA
A
(
( C
Ca
ap
p.
. 5
5 )
)

PUCRS
C-44
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5)
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0.
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é
dada pela equação:
i
R
r
U
V ˆ
1
2
max














−
=
r
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o
fluxo de massa da tubulação.
[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para
escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2
A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60
kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é
igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s.
Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as
entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção
(2).
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório.
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão
que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório.

Solução Exemplo 1
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de
uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa
especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa
instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0.
Equação Básica
0
=
∫
+
∫ ∀ sc
vc
A
d
V
d
t
r
r
ρ
ρ
∂
∂
Hipóteses:
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem
dependentes do tempo.
(2) Escoamento uniforme na seção (1).
Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo.
( ) 0
=
∫
+
∫ ∀





sc
A
d
V
vcd
t
r
r
ρ
ρ
∂
∂
• Como ∀
=
∀
∫
vc
d
0
=
∫
+
∀





sc
A
d
V
t
r
r
ρ
ρ
∂
∂
• O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1).
∫
=
∫ 1
A
sc
A
d
V
A
d
V
r
r
r
r
ρ
ρ
• Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+).
• Se as propriedades são uniformes na superfície (1)
1
1
1
1
A
V
A
d
V
A
ρ
ρ =
∫
r
r
( ) 0
1
1
1 =
+
∀
∂
∂
A
V
t
ρ
ρ
• Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo:
( ) 1
1
1 A
V
t
ρ
ρ −
=
∂
∂
∀
( )
∀
−
=
∂
∂ 1
1
1 A
V
t
ρ
ρ
( )
( )
( ) s
m
kg
m
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/
48
,
2
05
,
0
1000
1000
65
1000
311
13
,
6
3
3
2
3






−
=












−
=
∂
∂
ρ
• Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0).

PUCRS
C-46
Solução Exemplo 2
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação:
i
R
r
U
V ˆ
1
2
max














−
=
r
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo.
Determine o fluxo de massa da tubulação.
Solução:
A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como:
0
=
∫
+
∫ ∀ sc
vc
A
d
V
d
t
r
r
ρ
ρ
∂
∂
Hipóteses:
• Escoamento permanente
• Escoamento incompressível
• Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras.
∫
∫
∫ =
=
= A
d
V
A
d
V
A
d
V
m
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
ρ 2
2
2
1
1
1
A
u
R
u
R
u
m
R
R
R
R
R
R
R
r
r
rdr
R
r
rdr
R
r
u
m
dr
r
R
r
u
m
πrdr
dA
R
R
R
R
2
2
4
2
4
4
2
1
4
2
1
4
2
1
:
integral
a
Resolvendo
1
2
)
2
(
1
2
:
tubo
do
seção
da
área
de
elemento
o
do
Consideran
max
2
max
2
max
2
2
2
2
4
2
0
2
4
2
0
2
0
2
max
0
2
max
ρ
π
ρ
π
ρ
π
ρ
π
ρ
=
=








=
=






−
=














−
=














−
=














−














−
=














−
=
=
∫
∫
∫

Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é
2
max
u
u =

Solução Exemplo 3
[3] Dados
Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2
Fluxo de massa em (3):
s
kg
m 60
3 =
(+)
Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s
Velocidade em (1)
s
m
i
V ˆ
0
,
3
1 =
r
Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3
A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como:
0
=
∫
+
∫ ∀ sc
vc
A
d
V
d
t
r
r
ρ
ρ
∂
∂
Hipóteses:
(1) Escoamento permanente
(2) Escoamento incompressível
(3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras.
Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras:
0
4
3
3
1
=
+
+
+
= ∫
∫
∫
∫
∫ A
A
A
A
sc
A
d
V
A
d
V
A
d
V
A
d
V
A
d
V
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c.
1
1
1
1
1
1
1
m
A
V
A
V
A
d
V
A
A

r
r
=
−
=
= ∫
∫ ρ
ρ
ρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que
o fluido esta entrando na seção 1 no v.c.
2
2
2
2
2
2
2
m
A
V
A
V
A
d
V
A
A

r
r
=
±
=
= ∫
∫ ρ
ρ
ρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção
∫
∫ =
=
=
3
3
3
3
3
3
3 A
A
m
A
V
A
V
A
d
V
r
r
ρ
ρ
ρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por
tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido.
4
4
4
4
4
4
4
m
A
V
A
V
A
d
V
A
A

r
r
=
−
=
= ∫
∫ ρ
ρ
ρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que
o fluido esta entrando na seção 4 no v.c.
0
4
3
2
1 =
+
+
+
=
∫ m
m
m
m
A
d
V
sc

r
r
ρ
s
kg
m
x
s
m
x
m
kg
A
V
m /
60
02
,
0
0
,
3
1000 2
3
1
1
1 −
=
=
−
= ρ
(-) entrando no v.c.
s
kg
m /
60
3 =
(+) saindo do v.c.
s
kg
s
m
x
m
kg
Q
A
V
m /
30
03
,
0
1000
3
3
4
4
4
4 −
=
=
=
−
= ρ
ρ
(-) entrando no v.c.
0
30
60
60 2
4
3
2
1 =
−
+
+
−
=
+
+
+ m
m
m
m
m

s
kg
m 30
2 =
Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c.
Para determinar a velocidade em (2):
2
2
2 A
V
m ρ
=

s
m
x
A
m
V /
6
,
0
05
,
0
1000
30
2
2
2 =
=
=
ρ

na forma vetorial:
s
m
j
V ˆ
6
,
0
2 −
=
r
(aponta em sentido negativo do eixo y)
Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa.

PUCRS
C-48
Solução Exemplo 4
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório.
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s.
Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt)
devido ao enchimento do reservatório dada por:
Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2.
res
res A
V
A
V
A
A
Q
Q
t
dh
m
m
d
t
2
2
1
1
2
1
2
1 0
+
=
+
=
∂
=
−
−
∀
∂
∂

ρ
( ) ( ) s
m
x
x
A
V
D
V
D
t
dh
res
/
0172
,
0
18
,
0
6
,
0
075
,
0
9
,
0
025
,
0
4
4
2
2
2
2
2
1
2
1
=
+
=
+
=
∂
π
π
0
2
1 =
−
− m
m
dt
dh
Ares

ρ

Q
QU
UA
AN
NT
TI
ID
DA
AD
DE
E D
DE
E M
MO
OV
VI
IM
ME
EN
NT
TO
O
(
( C
Ca
ap
p.
.5
5 )
)

PUCRS
C-50
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5)
[1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do
bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte.
[2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na
figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a
água.
[3] Considere o escoamento de água através de um
cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a
pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 .
Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é
descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com
velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária
para manter o cotovelo no lugar.
[4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ
definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo
em que atua.

[ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600
Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa
especifica da água 1000 kg/m3).
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa.
Obs. O fluido escoa de (1) para (2).
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado.

PUCRS
C-52
Solução Exemplo 1
Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é
de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte.
Dados:
Velocidade do jato: s
m
i
V /
ˆ
15
=
r
Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3
Pressão atmosférica Patm=101 kPa.
Determinar: Força resultante.
Solução:
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura.
Equações Básicas
∫
+
∫ ∀
=
+ sc A
d
V
V
vc d
V
t
F
F B
s
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
∂
∂
Hipóteses:
Escoamento permanente
Escoamento incompressível
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C.
Forças de campo desprezíveis.
∫
=
sc
s A
d
V
V
F
r
r
r
r
ρ
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x.
A
p
R
A
p
F atm
x
atm
x −
+
= Por tanto x
x R
F =
A quantidade de movimento na direção - x:

{ } 1
1
1
1
1
A
V
u
A
d
V
u
A
d
V
u
A
d
V
u
A
d
V
V
A
A
A
x
sc
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−
=
−
=
=








∫
∫
∫
∫
r
r
r
r
r
r
r
r
r
O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s.
N
m
x
s
m
x
m
kg
x
s
m
A
V
u 2250
01
,
0
15
1000
15 2
3
1
1 −
=
−
=
− ρ
N
A
d
V
u
R
A
x 2250
1
−
=
= ∫
r
r
ρ Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x.
Na forma vetorial N
i
Fs
ˆ
2250
−
=
r
Método simplificado
No método simplificado :
( )
1
2 u
u
Q
Fx −
= ρ
( )
1
2 u
u
m
Fx −
=
A massa especifica é determinada com as condições da seção 1.
s
kg
m
x
s
m
x
m
kg
A
u
m /
150
01
,
0
15
1000 2
3
1
1 =
=
= ρ
(+) saindo do v.c.
A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0)
N
s
m
x
s
kg
u
m
Fx 2250
15
150
1 −
=
=
−
= Aponta no sentido contrário ao eixo x.
Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se.

PUCRS
C-54
Solução: Exemplo 2
Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato
escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água.
Dados:
Velocidade do jato: s
m
i
V /
ˆ
15
=
r
Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água ρ=1000 kg/m3
Pressão atmosférica Patm=101 kPa.
Solução:
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura.
Equações Básicas
∫
+
∫ ∀
=
+ sc A
d
V
V
vc d
V
t
F
F B
s
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
∂
∂
Hipóteses:
Escoamento permanente
Forças de campo desprezíveis.
∫
=
sc
s A
d
V
V
F
r
r
r
r
ρ
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x)
∫
=
sc
sx A
d
V
u
F
r
r
ρ
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x.
A
p
R
A
p
F atm
x
atm
sx −
−
= Por tanto x
sx R
F −
=
A quantidade de movimento na direção - x:
{ } 1
1
1
1
1
1
1
1
A
V
u
A
d
V
u
A
d
V
u
A
A
ρ
ρ
ρ −
=
−
=∫
∫
r
r
r
r
(fluxo entrando no v.c.)
Igualando os termos:

1
1
1 A
V
u
Rx ρ
−
=
− e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido
Vetor velocidade:
Ponto (1) s
m
i
V /
ˆ
1
,
6
=
r
e desta forma u1=6,1m/s.
Consideramos que o jato é uniforme
Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2
N
m
x
s
m
x
m
kg
x
s
m
A
V
u
Rx 98
,
18
00051
,
0
1
,
6
1000
1
,
6 2
3
1
1
1 =
=
= ρ
Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y)
∫
=
2
2
2
2
A
sy A
d
V
v
F
r
r
ρ
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).
H
atm
y
H
atm
sy A
p
R
A
p
F −
+
= Por tanto y
sy R
F =
Pela conservação da massa em (2) s
m
j
V /
ˆ
1
,
6
=
r
e desta forma: v2=6,1m/s.
{ } 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 A
V
v
A
d
V
v
A
d
V
v
A
A
ρ
ρ
ρ ∫
∫ =
+
=
r
r
r
r
(fluido saindo da s.c.)
N
m
x
s
m
x
m
kg
x
s
m
A
V
v 98
,
18
000511
,
0
1
,
6
1000
1
,
6 2
3
2
2
2 =
=
ρ
N
A
V
v
Ry 98
,
19
2
2
2 =
= ρ (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+)
Método simplificado
O fluxo de massa é dada por:
s
kg
m
x
s
m
x
m
kg
A
u
m 11
,
3
00051
,
0
1
,
6
1000 2
3
1
1 =
=
= ρ

( )
1
2 u
u
m
Fx −
= u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: N
x
u
m
Fx 98
,
18
1
,
6
11
,
3
1 −
=
=
−
=
( )
1
2 v
v
m
Fy −
= v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: N
x
v
m
Fy 98
,
18
1
,
6
11
,
3
2 =
=
=

PUCRS
C-56
[ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em
regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, a
velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na seção (2)
da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão
atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A força resultante Rx e
Ry. Obs. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as
simplificações (hipótese) do escoamento.
∫
+
∫ ∀
=
+ sc A
d
V
V
vc d
V
t
F
F B
s
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
∂
∂
Hipotese e escoamento: Escoamento permanente
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x)
∫
=
sc
sx A
d
V
u
F
r
r
ρ
( considerando força de campo FBx=0)
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa
x
r
sx R
A
p
F −
= 1
1
A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x:
{ } 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 A
V
u
A
d
V
u
A
d
V
u
A
A
ρ
ρ
ρ −
=
−
=∫
∫
r
r
r
r
(fluxo entrando no v.c.)
N
m
x
s
m
x
m
kg
x
s
m
A
V
u 160
0113
,
0
0
,
4
1000
0
,
4 2
3
1
1
1 =
=
ρ
1
1
1
1
1 A
V
u
A
p
R r
x ρ
+
=
( )
( ) N
N
x
R
A
V
u
A
p
R
x
r
x
1516
160
0113
,
0
1000
120
1
1
1
1
1
=
+
=
+
= ρ
s
kg
m
x
s
m
x
m
kg
A
V
m 28
,
45
00283
,
0
16
1000 2
3
2
2 =
=
= ρ

Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y)
∫
=
+
2
2
2
2
A
By
sy A
d
V
v
F
F
r
r
ρ
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada
já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo
FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície:
=
+
= y
r
sy R
A
p
F 2
2
como pr2=0, y
sy R
F =
{ } 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 A
V
v
A
d
V
v
A
d
V
v
A
A
ρ
ρ
ρ ∫
∫ =
+
=
r
r
r
r
(fluido saindo da s.c.) (+)
N
m
x
s
m
x
m
kg
x
s
m
A
V
v 724
00283
,
0
16
1000
16 2
3
2
2
2 −
=
−
=
ρ
N
A
V
v
Ry 724
2
2
2 −
=
= ρ (Contrario ao sentido admitido originalmente)

Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é
igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua.
No método simplificado:
Equações utilizadas:
( )
1
2 u
u
m
Fx −
=
∑
( )
1
2 v
v
m
Fy −
=
∑
O fluxo de massa pode ser determinado como:
s
kg
s
m
x
m
kg
Q
A
V
m 50
05
,
0
1000
3
3
1
1 =
=
=
= ρ
ρ

Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c.
j
v
i
u
V ˆ
ˆ 1
1
1 +
=
r
j
v
i
u
V ˆ
ˆ 2
2
2 +
=
r
Componentes da velocidade em x:
O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750
s
m
V
u 07
,
2
75
cos
8
)
75
cos( 0
0
2
2 =
=
=
s
m
V
u 66
,
5
45
cos
8
45
cos 0
0
1
1 =
=
=
Componentes da velocidade em y:
s
m
V
v 73
,
7
75
sin
8
75
sin 0
0
2
2 =
=
=
s
m
sin
sin
V
v 66
,
5
45
8
45 0
0
1
1 =
=
=
Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s
Força Resultante em x:
( ) N
s
kg
R
F x
x 5
,
179
66
,
5
07
,
2
50 −
=
−
=
=
∑ (Aponta em sentido contrário ao eixo - x)
Força Resultante em x:
( ) N
s
kg
R
F y
y 5
,
669
66
,
5
73
,
7
50 =
+
=
=
∑ (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y)
Força Resultante:
( ) N
R
R
R y
x 693
5
,
669
)
5
,
179
(
2
2
2
2
≈
+
−
=
+
=
Ângulo formado pela resultante:
0
75
≈
=
x
y
R
R
Tanφ

PUCRS
C-58
[ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s.
Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória.
∫
+
∫ ∀
=
+ sc A
d
V
V
vc d
V
t
F
F B
s
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
∂
∂
Hipóteses:
• Escoamento em regime permanente. Não que existe
variação das propriedades no tempo no V.C.
• Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2).
• Escoamento com velocidades unidimensionais.
• Escoamento com considerando fluido incompressível.
Fazendo analise em x:
( )
∑ −
= 1
2 x
x v
v
Q
Fx ρ onde:
s
m
v
s
m
v
x
x
/
5
,
7
60
cos
15
/
15
2
1
=
=
=
s
m
m
x
x
s
m
A
V
Q
3
2
2
1
1 118
,
0
4
1
,
0
15 =








=
=
π
( )
N
Rx
x
x
Rx
4
,
883
15
5
,
7
118
,
0
1000
=
−
=
−
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual
permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3).
4
0
)
(
)
(
)
(
2
2
1
2
1
D
v
W
vAv
W
v
m
F
v
m
v
m
F
y
y
π
ρ
ρ
=
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
∑
∑

s
m
x
D
W
v /
88
,
18
05
,
0
1000
700
4
4
2
2
=
=
=
π
ρπ

[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa.
Obs. O fluido escoa de (1) para (2).
P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: s
m
D
V /
33
,
1
3600
150
4
2
=
=
π
( )
x
x u
u
Q
Fx 1
2 −
=
Σ ρ
( )
x
x
x u
u
Q
A
P
A
P
R 1
2
2
2
1
1 −
=
+
+
− ρ
( ) ( )
x
x
x u
u
Q
A
P
P
R 1
2
1
2
1 )
( −
=
+
+
− ρ
conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s
( ) ( )
( ) N
x
x
x
R
A
P
P
u
u
Q
R
x
x
x
x
5552
5652
8
,
99
0314
,
0
80
100
)
33
,
1
33
,
1
(
3600
150
900
)
( 1
2
1
1
2
=
+
−
=
+
+
−
−
=
+
+
−
−
= ρ
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado.
( )
1
2 v
v
Q
Fy −
=
∑ ρ
N
W
Fy 825
−
=
−
=
∑
( )
s
m
x
x
x
x
x
D
x
v
A
v
v
A
v
/
08
,
17
60
1000
1000
1000
825
4
4
1000
825
825
0
825
2
2
1
2
1
1
1
=
=








=
=
−
=
−
π
π
ρ
ρ

PUCRS
C-60
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO
[ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600
R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N
[ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na
figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Os diâmetro da
tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm.
Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual
a p1=232 kPa.
Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange.
R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N
[ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um
orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e parte é
defletida.
Determine a força horizontal necessária para conter a placa.
R: 981,75N
[ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a
tubulação apresenta uma redução de seção.
Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s.
Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a
p2=patm=101,32kPa.
Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna
de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. (a)
Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine
a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ;
ρHg=13600 kg/m3
(a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N.
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patm
água D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patm
água D2=5cm
h=58cm
mercúrio
[5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa
linha de uma tubulação industrial. Os manômetros
instalados antes e após o bocal apresentam as pressões
indicadas na figura. Determine a forca Rx que deve ser
exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal
convergente. Considere que o fluido e gasolina com
massa especifica igual a 680 kg/m3.

[ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m3). Determinar a força resultante no eixo-y
(Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. O ângulo da placa
inclinada é igual a 450.
[ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m3 ) numa tubulação de
400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana
com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido.
[ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundaria
de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m2. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma
corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. Determine a
velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3
‘
[ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Considere d1 =
2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de carga. Calcular o fluxo de massa
no sistema. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3.

PUCRS
C-62
E
EX
XE
EM
MP
PL
LO
OS
S
E
ES
SC
CO
OA
AM
ME
EN
NT
TO
O V
VI
IS
SC
CO
OS
SO
O I
IN
NT
TE
ER
RN
NO
O

1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7)
[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de
cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2.
[2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com
uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da tubulação. (b) o gradiente de pressão da
tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A eq. para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da
velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) τW = 204 N/m2. (d) V=6,0m/s
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia
(1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão
máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é
50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,179x10-6 m2/s. Para
tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%,
determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: 27,4MW
[4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando
uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da
bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a
30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão
que pode ser empregado. Obs. Considere água a 200C.
[5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benceno a
500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com
uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta instalada uma bomba. Com
relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A
esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro
interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba
considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110
litros/min.
Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m.
R: 760kPa.

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[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm
e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do
escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2)
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem.
ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patm
água D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patm
água D2=5cm
h=58cm
mercúrio
[7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual
apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a)
Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido
do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s.
[8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B.
Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa)
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o
fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do
sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m).
A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do
fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm.
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com
750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai
para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do
reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da
tubulação e acessórios e igual a 27,29m.
• Determine a potencia da maquina considerando um
rendimento global de 88%..
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s.
Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a
9,6x10-1 Pa.s.
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com
diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão
abertos á atmosfera.
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a
1,7x10-3 Pa.s.

[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a
10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na
tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento.
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s.
[13] Uma experiência de laboratório foi realizada na
disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos
A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro.
Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em
função da leitura manométrica do sistema apresentado na
figura abaixo.
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água
1000 kg/m3).
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de
carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de
diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s.
O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4
mm diâmetro.
[ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e
Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da
bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba).
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2.
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ]
Z1=6,1m
Z2=36,6m
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia
de acionamento da bomba.

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[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999
kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.
1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s.
2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia:
B
B
B
L
A
A
A
z
g
u
g
p
h
z
g
u
g
p
+
+
=
−
+
+
2
2
2
2
ρ
ρ
como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2)
L
B
A
h
g
p
g
p
=
−
ρ
ρ
onde a perda de carga é dada por:
( ) mca
x
x
x
g
v
D
L
f
hL 62
,
1
81
,
9
2
66
,
5
15
,
0
10
0149
,
0
2
2
2
=
=
=
kPa
x
x
gh
p
p L
B
A 88
,
15
81
,
9
999
62
,
1 ≡
=
=
− ρ
Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como:
2
60
06
,
0
10
88
,
15
4
15
,
0
4 m
N
kPa
x
L
p
D
w =
=
=
∆
=
τ

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