O documento descreve o modelo de crescimento econômico de Solow, discutindo como a poupança, o investimento e a depreciação afetam o estoque de capital e o crescimento de longo prazo da economia. Apresenta a função de produção de Solow e explica que há um nível único de capital que equilibra investimento e depreciação, chamado de "estado estacionário", no qual a economia permanece sem crescimento adicional.

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“A arte de ensinar Economia de uma maneira simples, sem mistérios”.
De Maria Eulália, uma ex-aluna.
AULA 6: ECONOMIA INTERTEMPORAL
Parte 4: Teoria do crescimento:
O modelo de Solow
Observação: Embora se enquadre em Economia
Intertemporal, a rigor, a rigor, teoria do crescimento não
consta do programa de Economia do concurso do AFRFB. No
entanto, em quase todas as provas anteriores deste concurso
aparece pelo menos uma questão relativa ao modelo de
crescimento de Solow. Esta é a razão pela qual decidimos
incluir este tópico em nossa Economia 2.
Mas, vale um alerta: trata-se de um tópico relativamente
avançado da teoria econômica, apresentado através de
equações e funções matemáticas que podem complicar para o
aluno não iniciado em Economia e em matemática. Por isso,
vale o conselho: se o texto parecer confuso, procure guardar
pelo menos as premissas do modelo e suas conclusões. Isso
pode ajudá-lo a resolver uma eventual questão deste tipo na
prova. Feita essa ressalva, vamos lá:
1. Introdução
A teoria econômica vista por nós até agora – tal como mostrada
nos modelos keynesianos de determinação do nível da renda/produto
de equilíbrio, no sistema iS-LM, na geração e análise das curvas de
oferta e demanda agregadas e, também, na análise do processo
inflacionário - enfocava a economia no curto prazo. Como se
costuma dizer, a análise de curto prazo da economia é uma análise
estática, como se fosse uma fotografia num determinado instante da
economia.
No entanto, se quisermos uma explicação por que o produto
interno do país cresce, e por que algumas economias crescem mais
depressa que outras, temos de ampliar nossa análise para ver o que
acontece no longo prazo. Ao fazer isso, transformamos nossa análise
de estática em dinâmica, tal como num filme, ao invés de uma
fotografia.

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Para tanto, vamos tomar como exemplo o chamado modelo de
crescimento de Solow – não por julgarmos que é o modelo mais
representativo e completo da teoria do crescimento, mas sim por
que, como dissemos, este modelo tem sido objeto de questões das
provas de Economia dos concursos públicos, particularmente do
AFRFB.
O modelo de crescimento de Solow mostra como a poupança, o
crescimento populacional e o progresso tecnológico afetam o nível do
produto da economia e sua expansão no longo prazo. Neste texto,
nós vamos expor o modelo de forma resumida, porém por partes,
primeiro analisando o papel da poupança e do crescimento
populacional e, depois, o do progresso tecnológico. Em fazendo assim
acredito que esta análise se tornará mais “palatável” aos nossos
alunos.
2. A função de produção de longo prazo
Como foi dito acima, o modelo de crescimento de Solow procura
mostrar como o crescimento do estoque de capital, o crescimento do
emprego da mão-de-obra e o progresso tecnológico interagem em
uma economia e como afetam a produção total de bens e serviços de
um país. Vamos apresentar este modelo por etapas, primeiro
partindo da hipótese de que tanto a força de trabalho como a
tecnologia são fixos, e, depois, relaxamos esta hipótese.
Tal como aconteceu na nossa análise estática de curto prazo,
também no modelo de Solow a oferta e a demanda agregadas de
bens e serviços desempenham um papel fundamental. Uma primeira
questão que, então, se levanta é: o que determina a quantidade do
produto disponível num dado momento e quais os destinos ou como
se distribui esse produto?
A oferta de bens e serviços, no modelo Solow, baseia-se na função
de produção – já nossa conhecida, - que diz que o nível de produção
de depende do estoque de capital (K) e da quantidade de mão-de-
obra empregada (L). Ou,
Y = f(K,L) (1)
Uma observação importante é que a função de produção de Solow
apresenta rendimentos ou retornos constantes de escala. Isso quer
dizer, simplesmente, que, se se aumentar a quantidade dos dois
fatores em 10%, o produto (Y) crescerá também 10%; se a
quantidade de fatores crescer 5%, o produto crescerá os mesmos
5%! Pode-se dizer, então, que o produto tem elasticidade unitária em
relação à variação daqueles dois fatores de produção.

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Agora, se dividirmos todos os termos da equação (1) por L, nós
teremos:
Y/L = f(K/L, 1) (2)
Ou seja, pela equação (2), o produto por trabalhador (Y/L)
depende, ou é uma função do estoque de capital por trabalhador
(K/L) – lembrando que o nº 1 é uma constante e, como tal, pode ser
ignorado. Agora, substituindo o produto por trabalhador – Y/L – por y
e o capital por trabalhador (K/L) por k, a nossa função de produção
pode ser expressa por:
Y = f(k) (3)
Esta função de produção está ilustrada na Figura 1, onde a
inclinação desta função nos permite ver qual será o produto extra de
um trabalhador quando é acrescentada uma unidade a mais de
capital. Essa produção extra corresponde ao produto marginal do
capital – PMgK – que, matematicamente, pode ser assim expresso:
PMgK = f(k + 1) – f(k) (4)
Observe que, à medida que o capital aumenta, o produto
marginal do capital se mostra decrescente. Isso decorre do fato de
que, quando k é baixo, o trabalhador dispõe de pouco capital com
que trabalhar e, assim, uma unidade adicional de capital é muito útil
e gera um produto adicional relativamente grande; se, no entanto, k
é alto, o trabalhador tem muito capital com que trabalhar, e assim
uma unidade extra de capital pouco acrescenta em termos de
produção.
Visto como atua a oferta de produtos, vejamos agora a demanda
agregada por bens e serviços. No modelo de Solow, a demanda
agregada (y) se compõe do consumo por trabalhador (c) e do
investimento por trabalhador (i), ou seja:
y=c+i (5)
A equação (5) omite, por conveniência, os gastos do governo e,
por pressupor uma economia fechada, também omite as exportações
líquidas (X - M).
Também o modelo de Solow pressupõe que as pessoas poupam
uma fração s de sua renda e consomem uma fração (1-s). Ou seja, a
função consumo do modelo pode se assim definida:
c = (1 –s)y (6)
onde s é a taxa de poupança da economia, com um valor
variando entre zero e 1.

4. 4
Para verificar o que essa função consumo (6) acarreta para o
investimento, vamos substituir c na equação (5) por essa função,
encontrando:
y = (1 – s)y + i (7)
E, rearrumando os temos da equação (7), obtemos:
i = sy (8)
A equação (8) diz simplesmente o que nós já sabemos de aulas
anteriores – ou seja, que o investimento é igual à poupança. Deste
modo, a poupança s é também a fração do produto ou renda
destinada ao investimento.
Com as informações acima, podemos concluir que, para qualquer
estoque de k dado, a função de produção y = f(k) determina quanto
de produto a economia gera, enquanto a taxa de poupança s
determina a distribuição desse produto entre consumo e
investimento.
3. O estoque de capital e o estado estacionário
O estoque de capital – que é crucial para determinar o nível de
produto da economia – pode variar ao longo do tempo, provocando
com isso, crescimento econômico.
O nível do estoque de capital é afetado por dois fatores: o
investimento e a depreciação. O primeiro corresponde aos gastos
com uma nova filial, ou a aquisição de novos equipamentos – o que
aumenta aquele estoque; o segundo, isto é, a depreciação, refere-se
ao desgaste das máquinas e equipamentos já existentes – o que
reduz o estoque de capital. Vejamos um de cada vez.
Como se viu acima, o investimento por trabalhador i é igual a sy.
Pela substituição que fizemos por y, podemos expressar o
investimento por trabalhador como uma função do estoque de
capital por trabalhador, assim:
I = sf(k) (9)
A equação (9) relaciona o capital existente k à acumulação de
novo capital i.
Observe-se que, para qualquer valor de k, o produto é
determinado pela função de produção f(k), e a repartição desse
produto entre consumo e poupança é determinada pela taxa de
poupança s.
Para incorporar a depreciação no modelo, pressupomos que uma
certa fração δ do estoque de capital se desgasta a cada ano. Aqui, a

5. 5
letra grega δ é chamada de taxa de depreciação. Assim, por
exemplo, se o capital tem uma vida média de 20 anos, a taxa de
depreciação é de 5% ao ano (δ = 0,05).
Podemos expressar o impacto do investimento e da depreciação
sobre o estoque de capital pela seguinte equação:
Variação do estoque de capital = investimento – depreciação
Ou, ∆k = i - δk (10)
Como o investimento i é igual a sf(k), podemos substituir este
valor na equação (10), obtendo:
∆k = sf(k) – δk (11)
Pode-se afirmar que quanto maior o nível do estoque de capital,
maior é o nível do produto, mas também maior será a depreciação,
como está ilustrado na Figura 4. Como se pode ver na Figura 4, há
um único estoque de capital k* em que o investimento iguala a
depreciação. Se a economia atingir este nível de estoque de capital, o
estoque de capital não variará, porque os dois fatores atuando sobre
ele – o investimento e a depreciação – se equilibram, isto é, são
iguais. Ou seja, em k*, k = 0; logo, o estoque de capital, k, e o
produto f(k) são constantes ao longo do tempo (em vez de crescerem
ou diminuírem). Chamamos k* de nível de capital de estado
estacionário.
E o que há de diferente neste estado estacionário? Há duas coisas
importantes neste estado: primeiro, uma economia no estado
estacionário, nele permanecerá; segundo, se uma economia não se
encontra neste estado, para ele caminhará.
Para entender por que uma economia sempre caminha para e
acaba no estado estacionário, vamos raciocinar do seguinte modo:
suponha que a economia esteja com menos estoque de capital do que
o nível de capital do estado estacionário, ao nível, digamos, de k1.
Nesse ponto, o nível de investimento supera a depreciação. Ao longo
do tempo, o estoque de capital aumentará e continuará aumentando
– junto com o produto f(k) – até se aproximar do estado estacionário
k*.
Do mesmo modo, suponha que a economia esteja com mais capial
do que o do estado estacionário, como ocorreria, digamos, no nível
k2. Neste ponto, o investimento é menor que a depreciação – ou seja,
o capital se desgasta mais que o investimento novo. Então, o capital
cairá, até se aproximar do nível do capital estacionário.
Quando o estoque de capital alcança o estado estacionário, o
investimento igual a depreciação e não há pressão para o estoque de
capital aumentar nem para diminuir. Nesse sentido, o estado
estacionário representa o equilíbrio da economia no longo prazo.

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Um exemplo numérico:
Vamos suor que a função de produção seja dada por:
Y = K1/2L1/21 (12)
Para obtermos a função de produção por trabalhador f(k),
dividimos os dois lados da função de produção pela trabalho, L.
Y/L = K1/2L1/2/L
Rearrumando os termos, temos:
Y/L = (K/L)1/2 (13)
E, como já vimos que y = Y/L e k = K/L, a equação (13) se torna:
Y =k1/2 (14)
Esta equação (14) também pode ser escrita como:
Y = √k (15)
O que a equação (15) está dizendo é que a produção por tralhador
é igual à raiz quadrada do capital por trabalhador.
Usando um exemplo com números, suponha que 30% do produto
são poupados (s = 0,3), que 10% do estoque de capital realizado
depreciam todo ano (δ = 0,1) e que a economia esteja com 4
unidades por trabalhador (k = 4). Dados esses números, podemos
agora examinar o que deve acontecer com essa economia no longo
prazo.
Vamos começar pelo estudo do produto e sua distribuição no 1º
ano. Pela função de produção, as 4 unidades de capital por
trabalhador geram 2 unidades de produto por trabalhador. Como
30% do produto são poupados e investidos, e 70% são consumidos, i
= 0,6 e c = 1,4. Como também 10% do estoque de capital se
depreciam, δk = 0,4.
Assim, com investimento = 0,6, e depreciação = 0,4, a variação
do estoque de capital é ∆= 0,2. Deste modo, o 2º ano já começa com
4,2 unidades de capital por trabalhador. Fazendo novos cálculos como
este por muitos anos, a cada ano um capital novo é acrescentado e o
produto cresce, aproximando-se do estado estacionário, até atingir 9
unidades de capital por trabalhador. Nesse ponto, o investimento de
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Esta é a conhecida função de produção Cobb-Douglas, onde o expoente ½ corresponde `a elasticidade do
produto (Y) a uma variação percentual de K e de L,

7. 7
0,9 compensa a depreciação de 0,9. Aí, o estoque de capital e o
produto não estão mais crescendo.
4. Efeito da poupança sobre o crescimento
Vamos ver o que acontece com uma economia quando sua taxa de
poupança aumenta. Supõe-se que a economia esteja em um estado
estacionário, com a taxa de poupança s1, e o estoque de capital k*1.
Quando a taxa de poupança aumenta de s1 para s2, a curva sf(k) se
desloca para cima. À taxa de poupança inicial s1 e ao estoque de
capital inicial k*1, o investimento apenas compensa a depreciação.
Logo após o aumento da taxa de poupança, o investimento torna-se
maior, mas o estoque de capital e a depreciação permanecem
inalterados. Portanto, o investimento excede a depreciação. O
estoque de capital aumentará gradativamente, até que a economia
alcance o novo estado estacionário k*2, que tem um estoque de
capital maior e um nível de produto superior ao estado estacionário
anterior.
O modelo de Solow mostra que a taxa de poupança é um
determinante fundamental do estoque de capital do estado
estacionário, podendo ser concluído que:
-Se a taxa de poupança é alta, a economia terá um grande
estoque de capital e um nível de produto elevado; se a taxa de
poupança é baixa, a economia terá um pequeno estoque de
capital e um nível de produto reduzido.
E o que diz o modelo Solow sobre a relação entre poupança e
crescimento econômico? A resposta é: a poupança maior leva a um
crescimento mais rápido, mas apenas temporariamente, só até que a
economia atinja o novo estado estacionário. Se a economia mantém
uma alta taxa de poupança, manterá um grande estoque de capital e
um alto nível de produção, mas não será capaz de manter uma
elevada taxa de crescimento para sempre.
5. Os efeitos do crescimento populacional
O modelo de Solow básico mostra que a acumulação de capital,
por si só, não pode explicar o crescimento econômico sustentado:
taxas elevadas de poupança levam a um grande crescimento
temporário, mas a economia acaba se aproximando de um estado
estacionário, em que capital e produto são constantes.
Para explicar o crescimento econômico sustentado, devemos
introduzir em nosso modelo o crescimento populacional e o progresso

8. 8
tecnológico. Nessa seção, vamos analisar o crescimento populacional.
Para tanto, vamos imaginar que a população e a força de trabalho
crescem a uma taxa constante η. Assim, se a população do Brasil
crescer a uma taxa de 2% ao ano, η = 0,02.
Mas, então, qual é o efeito do crescimento populacional sobre o
estado estacionário?
Como já foi dito, o investimento aumenta o estoque de capital por
trabalhador, enquanto a depreciação o reduz. Mas, agora, o
crescimento do número de trabalhadores faz, também, com que o
capital por trabalhador diminua.
Vamos continuar utilizando letras em caixa baixa para representar
as quantidades por trabalhador. Assim k = K/L é o capital por
trabalhador e y = Y/L é o produto por trabalhador. Como, agora, o
número de trabalhadores está crescendo ao longo do tempo, a
variação do estoque de capital por trabalhador é:
∆k = i – (δ+ η)k (16)
A equação (16) mostra como o investimento, a depreciação e o
crescimento populacional influem no estoque de capital por
trabalhador. O investimento aumenta k, enquanto a depreciação e o
crescimento populacional diminuem k.
Pode-se imaginar o termo (δ+ η)k como definindo o investimento
de equilíbrio, que é a quantidade necessária de investimento para se
manter constante o capital por trabalhador, incluindo nesse
investimento não só a depreciação do capital existente – que é igual
a δk – como também o investimento necessário para proporcionar
capital aos novos trabalhadores. O investimento necessário para esse
propósito é nk, porque há η novos trabalhadores para cada
trabalhador existente, porque k é o capital por trabalhador.
A equação (16) mostra que o crescimento populacional reduz a
acumulação de capital por trabalhador, como também o faz a
depreciação.
Nossa análise com o crescimento populacional prossegue agora
como antes. Primeiro, substituímos sf(k) por i. A equação (16) pode
então ser escrita como:
∆k = sf(k) – (δ+ η)k (17)
Note-se que uma economia está no estado estacionário se o
capital por trabalhador permanece inalterado. Como antes,
designamos o valor no estado estacionário de k como k*. Se k é
menor k*, o investimento é maior do que o investimento de
equilíbrio; portanto, k aumenta. Se k é maior que k*, o investimento
é inferior ao investimento de equilíbrio e, então, k diminui.

9. 9
Ou seja, no estado estacionário, o efeito positivo do investimento
sobre o estoque de capital por trabalhador equilibra exatamente os
efeitos negativos da depreciação e do crescimento populacional.
Depois que a economia está em estado estacionário, o investimento
tem dois propósitos. Uma parte (δk*) substitui o capital depreciado, e
o restante (ηk*) proporciona aos novos trabalhadores o capital de
estado estacionário.
6. Os efeitos do progresso tecnológico
Vamos, agora, introduzir no modelo de crescimento de Solow o
progresso tecnológico. Para tanto, devemos retornar à função de
produção, que relaciona o capital total – K – e o trabalho total – L –
com o nível do produto total – Y. Com isso, a função de produção que
era expressa por Y=F(K,L), passa a ser expressa por:
Y=F(K,L x E) (18)
onde E é uma variável chamada eficiência do trabalho – que
reflete o nível de conhecimento da sociedade sobre técnicas e
métodos de produção. Assim, novas tecnologias melhoram a
eficiência do trabalho. A rigor, esta eficiência do trabalho também
melhora quando melhora a saúde e a educação.
O termo LxE, da equação (18), é a força de trabalho medida em
unidades de eficiência e que leva em conta o número de
trabalhadores L e a eficiência de cada trabalhador. No caso da função
de produção, os aumentos da eficiência do trabalho E funcionam
como se houvesse aumentos da força de trabalho L.
Trocando em miúdos, o progresso tecnológico faz com que a
eficiência do trabalho E cresça a uma taxa constante g. Assim, se g =
0,02, cada unidade de trabalho torna-se 2% mais eficiente a cada
ano e o produto aumenta como se tivesse sido aumentada a
quantidade de trabalho naquele montante.
Essa forma de progresso tecnológico é chamada de incorporadora
de trabalho, e g é a taxa de progresso tecnológico incorporador
de trabalho. Como a força de trabalho L está crescendo à taxa η e a
eficiência de cada unidade de trabalho E cresce à taxa g, o número de
unidades de eficiência LxE cresce à taxa η + g.
Vale registrar que nossa análise da economia continua da mesma
maneira que ocorria quando examinamos o crescimento populacional.
O que altera é a equação que mostra a evolução de k ao longo do
tempo que, agora, muda para:
∆k = sf(k) – (δ+ η +g)k (19)

10. 10
Como antes, a mudança do estoque de capital ∆ké igual ao
investimento sf(k) menos o investimento de equilíbrio (δ+ η +g)k.
Uma observação importante é que, com inclusão do progresso
tecnológico, o modelo de Solow pode explicar os aumentos
sustentados dos padrões de vida que se observam nos países
desenvolvidos. Enquanto a poupança só leva a uma alta taxa de
crescimento até que se alcança o estado estacionário, o progresso
tecnológico pode levar a crescimento sustentado do produto por
trabalhador. No estado estacionário, a taxa de crescimento do
produto por trabalhador depende apenas do progresso tecnológico.
7. Um resumo do modelo de Solow (guarde isso!)
Podemos resumir os principais pontos e características do modelo
de Solow do seguinte modo:
i) O modelo de crescimento de Solow mostra que, no longo
prazo, a taxa de poupança de uma economia determina o
tamanho do seu estoque de capital, e com isso seu produto.
Em outras palavras, quanto maior a poupança, maior o
capital realizado, e mais alto o produto.
ii) No modelo de Solow, um aumento da taxa de poupança
proporciona um período de rápido crescimento, mas
eventualmente esse crescimento diminui à medida que se
alcança o novo estado estacionário. Ou seja, embora uma
alta taxa de poupança proporcione um produto elevado em
estado estacionário, a poupança por si só não pode gerar o
crescimento sustentado.
iii) O nível de capital que maximiza o consumo no estado
estacionário é chamado de nível da Regra de Ouro.
iv) Ademais, o modelo de Solow mostra que a taxa de
crescimento populacional de uma economia é outro
determinante do padrão de vida no longo prazo. Quanto
maior a taxa de crescimento populacional, menor o produto
por trabalhador.
v) Incluindo no modelo o progresso tecnológico, a taxa de
crescimento da renda per capita, no estado estacionário, é
determinada exclusivamente pela taxa exógena do
progresso tecnológico.
vi) E, por fim, como conclusão, o modelo de Solow mostra que
a poupança, o crescimento populacional e o progresso
tecnológico se constituem nos motores propulsores do
crescimento do padrão de vida de uma nação.

11. 11
* * *
Com esse resumo-conclusão, encerramos esta nossa Aula de n° 7 -
que, certamente, se constitui na parte teórica mais complexa e mais difícil
entendimento.
Como dissemos no início, a rigor este tópico não consta do programa
de Economia do Edital do concurso do AFRFB, mas fizemos questão de
transformá-lo num dos temas de nossas Aulas de Economia 2 porque em
praticamente todas as provas de Economia dos concursos mais recentes de
Auditor Fiscal aparece uma ou mais questão sobre este modelo de Solow.
Por que isso acontece, eu não sei. Talvez algum dos elaboradores da prova
gosta desse modelo. Afinal, existe gosto pra tudo, não é mesmo?
Na nossa próxima (e última) Aula versará sobre Contas do Sistema
Financeiro – a rigor, o único tópico do programa de Economia que ainda não
foi abordado em nossas Aulas. Até lá, então!
__________________
Bibliografia consultada:
Este texto foi extraído, com algumas alterações na redação, do Cap.
7 do livro de N.G.Mankiw, Macroeconomia, 5ª edição, Editora LTC, R.
Janeiro, 2004. As alterações que introduzimos na redação objetivaram,
precipuamente, tornar o texto mais palatável ao aluno não-economista.
Este mesmo tópico está exposto também em R.Vasconcelos –
Macroeconomia – porém de uma forma mais matemática e menos descritiva
– o que torna o modelo praticamente ininteligível para os não iniciados em
economia e para aqueles que não têm muita base matemática.