Modelo de crescimento de Solow

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Modelo de crescimento de Solow

  1. 1. Modelo de Solow, Res´ ıduo de Solow e Contabilidade do Crescimento Roberto Ellery Jr.‡ Victor Gomes‡‡ Universidade de Bras´ ılia Universidade Cat´lica o de Bras´ ılia 11 de mar¸o de 2003 c 1 Modelo de Crescimento de Solow Explicar os determinantes do crescimento de uma economia ´ um dos prine cipais desafios com que se depara a ciˆncia econˆmica. Associadas ao crese o cimento est˜o quest˜es que costumam prender a aten¸ao de todos que se a o c˜ dedicam ao tema, como por exemplo: 1. Quais os determinantes da riqueza de uma na¸ao? c˜ 2. Por que alguns pa´ s˜o mais ricos que outros? ıses a 3. Existe alguma tendˆncia natural para que a renda de todos os pa´ e ıses venham a se igualar? Para podermos tratar destas quest˜es precisamos de uma estrutura l´gica o o que nos ajude a conduzir a nossa an´lise, tal estrutura deve ser conter o que a acreditamos ser os principais fatores que podem explicar o crescimento de uma economia, deve ser de tal forma que todas as hip´teses que fizermos o fiquem bem claras, assim como devem estar claras todas as implica¸oes de c˜ nossas hip´teses. Uma maneira adequada e bastante popular de realizar esta o tarefa consiste no uso de modelos matem´ticos, estes modelos s˜o constru´ a a ıdos de forma que nos for¸am a explicitar as nossas hip´teses, nos obriga a manter c o a coerˆncia l´gica de nossos argumentos de forma a nos garantir que nossas e o ‡ ‡‡ ellery@unb.br victor@pos.ucb.br 1
  2. 2. conclus˜es decorrem, de forma l´gica, de nossos argumentos. Embora moo o delos matem´ticos n˜o sejam a unica forma de garantir a consistˆncia l´gica a a ´ e o entre nossas hip´teses e nossas conclus˜es, s˜o a maneira mais simples e o o a segura de atingir este objetivo. O problema do crescimento econˆmico sempre esteve presente nas diso cuss˜es sobre economia sendo este problema, de forma question´vel, a princio a pal motiva¸ao do primeiro tratado sobre economia, chamado “Um Inqu´rito c˜ e sobre a Natureza e as Causas da Riqueza das Na¸oes”, escrito por Adam c˜ Smith e publicado em 1776, apesar deste livro tratar de pr´ticamente todos a os temas relacionados a economia o t´ ıtulo j´ denuncia a preocupa¸ao central a c˜ com problemas relacionados ao crescimento econˆmico. o No decorrer do tempo v´rios modelos matem´ticos foram constru´ a a ıdos para estudar o crescimento econˆmico por´m, apenas em 1956, apareceu um o e modelo que capaz de explicar o crescimento a partir do comportamento de firmas e fam´ ılias, e n˜o a partir de hip´teses ad hoc sobre a rela¸ao entre a o c˜ agregados macroeoconˆmicos. Este modelo foi devido a Robert Solow que o o apresentou em um artigo chamado “A contribution to the theory of economic growth”. O comportamento das fam´ ılias era trivial,1 de acordo com a teoria keynesiana da ´poca assumiu-se que as fam´ e ılias poupavam uma fra¸ao fixa c˜ da renda, ou seja, St = σYt (1) onde St representa a poupan¸a, Yt a renda e σ ∈ (0 1) representa a fra¸ao da c c˜ renda que ser´ poupada no per´ a ıodo t. Isto equivale a assumir que o agente representativo nesta economia trabalha um n´mero fixo de horas ht = 1, u poupa ou investe it = σyt , e consome ct = (1 − σ)yt , em cada per´ ıodo. Tal que h representa o total de horas de cada trabalhador, i o investimento, c o consumo e y a renda de cada agente. Da contabilidade nacional sabemos que o investimento, definido como o total de m´quinas, equipamentos, constru¸oes mais as varia¸oes nos estoques a c˜ c˜ das firmas, deve ser igual a poupan¸a a cada per´ c ıodo, ou seja It = St = σYt (2) tamb´m sabemos que por defini¸ao, o investimento representa a varia¸ao no e c˜ c˜ estoque de capital, ou seja Kt+1 = (1 − δ)Kt + It (3) onde δ ∈ (0, 1) representa a taxa de deprecia¸ao do estoque de capital, ou c˜ seja, a cada per´ ıodo o correspondente a δKt ´ depreciado. Esta equa¸ao ´ e c˜ e conhecida na literatura como a lei de movimento do capital. 1 Este problema foi resolvido em 1965 por David Cass (1965) e tamb´m por Tjalling e Koopmans (1965). 2
  3. 3. Considere que a popula¸ao cresce a uma taxa η e a tecnologia cresce a c˜ uma taxa γ, de forma que Nt+1 = (1 + η)Nt e At+1 = (1 + γ)At , isto nos permite escrever a equa¸ao (3) da seguinte forma: c˜ Kt+1 (1 − δ)Kt It = + ⇒ At+1 Nt+1 At+1 Nt+1 At+1 Nt+1 (1 − δ)Kt It Kt+1 = + ⇒ ⇒ At+1 Nt+1 (1 + γ)At (1 + η)Nt (1 + γ)At (1 + η)Nt Kt It Kt+1 = (1 − δ) + ⇒ (1 + γ)(1 + η) At+1 Nt+1 A t Nt A t Nt definindo a vari´vel por unidade de eficiˆncia como a vari´vel dividida pela a e a t m˜o-de-obra vezes o n´ de tecnologia, ou seja, fazendo kt = AKNt e it = a ıvel t It , temos que: At N t (1 + γ)(1 + η)kt+1 = (1 − δ)kt + it . (4) Nesta economia existe um unico produto que as firmas produzem de ´ acordo com uma fun¸ao de produ¸ao agregada. Fa¸a esta fun¸ao de produ¸ao c˜ c˜ c c˜ c˜ ser Yt = f (Ht , Kt ). Assumimos por hip´tese que o trabalho empregado ´ o e idˆntico a popula¸ao, ou seja Ht = Nt . Aplicando o conceito de unidades e c˜ de eficiˆncia na fun¸ao de produ¸ao, temos que o produto por unidades de e c˜ c˜ eficˆncia ser´ dado por: e a yt = f (kt ) (5) considerando as equa¸oes (2), (5) temos que: c˜ (1 + γ)(1 + η)kt+1 = (1 − δ)kt + σf (kt ) = g(kt ) (6) esta equa¸ao a diferen¸as de primeira ordem, junto com o estoque de capital c˜ c inicial (k0 ), determina o comportamento do estoque de capital por unidades de eficiˆncia e, por consequˆncia, determina como o produto, o consumo, e e etc., se comportam no tempo. Defini¸˜o 1 Um estado estacion´rio do sistema ´ uma solu¸ao para k = ca a e c˜ g(k). Dizemos que uma economia encontra-se no estado estacion´rio quando a todas as suas vari´veis (estoque de capital, produto, consumo, investimento a e poupan¸a) assumirem um valor constante no tempo. c Nossas hip´teses implicam que, como mostrado na Figura 1, g(0) = 0, o g (0) > 1, e existe um unico k ∗ > 0 tal que k ∗ = g(k ∗ ). Assim, o modelo ´ tem dois estados estacion´rios, k = 0 e k = k ∗ . Al´m disso, para todo a e 3
  4. 4. Figura 1: Modelo de Crescimento de Solow           [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k                 ... ....   ............................... ............................... ..................... .....................  ..................................................................................................... ....... ......... ........ ..  ........ ....... ....... ...... ...... σF (kt ) ......   ...... ..... ..... .. .. ..... ..... .... ....   .... .... .... .... .... .... ... ...   ... ... ... ... ... ... ...   ... . ... ... .. .. ..   .. .. .. .. .. ..   .. . .. .. . .. ..   .. .. .. .. .   .. .. .. . ..   . .. . ..   . .. . .. . ..   . .. . . . . . .   . . . . .   . k0 kt k∗ 4
  5. 5. k0 > 0, kt → k ∗ (monotonicamente). Assim, quando t → ∞, yt → y ∗ , ct → c∗ , etc. A k ∗ temos que σF (k ∗ ) = [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k ∗ , que implica que a poupan¸a apenas rep˜e a deprecia¸ao e que a raz˜o capital-produto ´ k = σ , c o c˜ a e y δ e e tamb´m que c∗ = y ∗ − δk ∗ . Claramente, k ∗ ´ crescente em σ . Al´m disso, e e δ c∗ ´ primeiro crescente e ent˜o decrescente em σ. A taxa de poupan¸a que e a c maximiza o consumo do estado estacion´rio pode facilmente ser mostrada a que satisfaz F (k ∗ ) = δ; esta ´ a chamada “regra de ouro” da acumula¸ao de e c˜ capital de Phelps (veremos em detalhes na se¸ao ). c˜ Para entendermos o comportamento do modelo de Solow ser´ interesa sante considerar um exemplo num´rico. Suponha que a taxa de crescimento e da popula¸ao seja de aproximadamente 2% a.a. e que a tecnologia, ou a proc˜ dutividade, cres¸a a uma taxa de 2,6% a.a., ou seja, η = 0,02 e γ = 0,026,2 c assuma tamb´m que a = 0,353 e que a deprecia¸ao ´ de 10% ao ano, ou seja e c˜ e δ = 0, 1. Para diversos valores de s iremos calcular o comportamento do estoque de capital e do produto quando a economia parte de um estoque de capital igual a um.4 A Tabela 1 mostra o resultado das simula¸oes. c˜ Observando a Tabela 1 podemos chegar a duas conclus˜es importantes o sobre o modelo de Solow, uma de car´ter mais te´rico e outra capaz de sugerir a o pol´ ıticas macroeconˆmicas. A primeira conclus˜o ´ que a partir de um certo o a e per´ ıodo o estoque de capital e o produto por unidades de eficiˆncia chegam e a um valor constante. Note que se o produto por unidade de eficiˆncia ´ e e constante o consumo e o investimento tamb´m devem ser constantes, visto e que ambos s˜o fra¸oes do produto. Desta forma podemos dizer que em um a c˜ certo momento a economia chegar´ a uma situa¸ao onde todas as vari´veis a c˜ a medidas em unidades de eficiˆncia tornar-se-˜o constantes no tempo, quando e a uma economia encontra-se nesta situa¸ao dizemos que ela atingiu o estado c˜ estacion´rio. a A segunda conclus˜o diz respeito ao valor do produto no estado estaa cion´rio, note que quanto maior a taxa de poupan¸a maior ser´ o produto a c a por unidades de eficiˆncia no estado estacion´rio. Isto sugere que uma mae a neira de tornar um pa´ mais rico seria implementar pol´ ıs ıticas que aumentem a taxa de poupan¸a, este tipo de pol´ c ıtica foi perseguida em v´rios pa´ a ıses, inclusive no Brasil, como forma de estimular o crescimento da economia. A 2 Estes valores s˜o consistentes com os encontrados em Ellery Jr., Gomes e Sachsida a (2002) para a economia brasileira. 3 Mais adiante discutiremos o significado de a, por enquanto basta saber que este valor ´ consistente com algumas observa¸oes reportadas para a economia brasileira e c˜ 4 O valor do estoque de capital inicial n˜o ´ relevante para este exerc´ a e ıcio, a demonstra¸ao c˜ deste resultado necessita um conhecimento de equa¸oes em diferen¸as e foge ao objetivo c˜ c destas notas. 5
  6. 6. Tabela 1: Capital e Produto no Modelo de Solow s = 0,10 s = 0,15 s = 0,20 s = 0,25 ano capital produto capital produto capital produto capital produto 001 002 003 004 005 . . . 1 0,9555 0,9158 0,8802 0,8484 . . . 1 0,9842 0,9697 0,9563 0,9441 . . . 1 1,0033 1,0063 1,0091 1,0116 . . . 1 1,0012 1,0022 1,0031 1,0041 . . . 1 1,0511 1,0984 1,1421 1,1824 . . . 1 1,0176 1,0334 1,0476 1,0604 . . . 1 1,0989 1,1919 1,2791 1,3604 . . . 1 1,0335 1,0634 1,0900 1,1137 . . . 025 . . . 0,5960 . . . 0,8343 . . . 1,0330 . . . 1,0114 . . . 1,5467 . . . 1,1649 . . . 2,1281 . . . 1,3026 . . . 050 . . . 0,5593 . . . 0,8160 . . . 1,0364 . . . 1,0126 . . . 1,6077 . . . 1,1808 . . . 2,2614 . . . 1,3305 . . . 075 . . . 0,5560 . . . 0,8143 . . . 1,0367 . . . 1,0127 . . . 1,6134 . . . 1,1822 . . . 2,2739 . . . 1,3331 . . . 098 099 100 0,5557 0,5556 0,5556 0,8141 0,8141 0,8141 1,0367 1,0367 1,0367 1,0127 1,0127 1,0127 1,6139 1,6139 1,6139 1,1823 1,1823 1,1823 2,2749 2,2749 2,2749 1,3333 1,3333 1,3333 ado¸ao deste tipo de pol´ c˜ ıtica nem sempre ´ bem sucedida, existem dois fatoe res que muitas vezes n˜o s˜o levados em conta e que podem comprometer as a a pol´ ıticas de incentivo a poupan¸a. O primeiro ´ que, segundo o Modelo de c e Solow, aumentos na taxa de poupan¸a levam a um crescimento do produto c por unidades de eficiˆncia no estado estacion´rio, nada pode ser afirmado e a quanto a taxa de crescimento da economia, at´ porque, de acordo com a e defini¸ao de estado estacion´rio, a taxa de crescimento seria zero, trataremos c˜ a deste problema a seguir. O segundo fator importante ´ que o Modelo de e Solow assume que a taxa de poupan¸a ´ constante e determinada de forma c e ex´gena, ou seja, as pessoas n˜o decidem o quanto poupar, por hip´tese elas o a o apenas poupam uma determinada fra¸ao de sua renda, n˜o importa o que c˜ a aconte¸a, esta ´ uma das principais cr´ c e ıticas ao Modelo de Solow e consiste em um problema te´rico que foi resolvido por David Cass e Tjalling Koopmans o em 1965, adiante retornaremos a este t´pico. o 1.1 Poupan¸a e Crescimento no Modelo de Solow c Na se¸ao anterior vimos que a partir de um certo momento no tempo as c˜ vari´veis macroeconˆmicas, medidas em unidades de eficiˆncia, assumem um a o e 6
  7. 7. valor constante, definimos esta situa¸ao como estado estacion´rio. N˜o proc˜ a a vamos, mas o exemplo da Tabela 1 sugere que a economia alcan¸a o estado c estacion´rio independente do estoque de capital inicial estar acima ou abaixo a do valor do estado estacion´rio, de outra forma podemos afirmar que, no Moa delo de Solow, a economia sempre converge para seu estado estacion´rio.5 a Afirmar que a economia sempre converge para o estado estacion´rio equia vale a dizer que, no longo prazo, o produto de uma economia sempre vai parar de crescer. Este ´ um resultado estranho, mesmo ap´s muitos anos e o da Revolu¸ao Industrial as economias ocidentais continuam a crescer, como c˜ conciliar este fato com o Modelo de Solow ´ o objetivo desta se¸ao, em outras e c˜ palavras procuramos saber como o Modelo de Solow explica o crescimento de longo prazo. Uma sa´ tentadora seria argumentar que as economias ainda n˜o alıda a can¸aram seus estados estacion´rios, que o estado estacion´rio s´ ocorre dec a a o pois de milhares de anos. Apesar de tentadora esta alternativa n˜o resolve a nosso problema, de fato, argumentar que a realidade n˜o se comporta de a acordo com previsto em um modelo porque as condi¸oes do modelo nunca c˜ s˜o alcan¸adas, n˜o parece estar de acordo com a id´ia de falseabilidade que a c a e guia o m´todo cientifico. Se tivessemos que seguir por este caminho seria e mais apropriado abandonar o Modelo de Solow sob o argumento de que ele n˜o explica a realidade. De fato, o Modelo de Solow apresenta s´rios proa e blemas e foi amplamente revisado desde 1956, mas, por enquanto, n˜o nos a deparamos com estes problemas e o Modelo de Solow pode, e deve, continuar a ser explorado.6 Uma alternativa muito mais interessante e consistente de abordar a quest˜o a do crescimento no Modelo de Solow ´ considerar as unidades em que as e vari´veis est˜o sendo medidas. Em nossa an´lise estamos trabalhando com a a a vari´veis medidas em unidades de eficiˆncia, enquanto ao medir o desema e penho das economias costumamos usar vari´veis per-capita, ora o fato da a vari´vel estar estacion´ria quando medida em unidades de eficiˆncia n˜o ima a e a plica que ela deva estar estacion´ria quando medida de forma per-capita, a considere o produto medido por unidades de eficiˆnica: e yt = Yt A t Nt sabemos que o produto per-capita ´ igual ao produto dividido pela popula¸ao, e c˜ 5 Mais adiante discutiremos melhor a quest˜o da convergˆncia para o estado estaa e cion´rio. a 6 Apesar de amplamente revisado o Modelo de Solow constinua sendo a referencia fundamental para o estudo do crescimento econˆmico. o 7
  8. 8. ou seja: Yt Nt onde yt representa o produto per-capita. Consideramos as duas defini¸oes ˆ c˜ temos que o produto per-capita pode ser escrito como: yt = ˆ y t = A t yt ˆ ou seja, o produto per capita ´ igual ao produto por unidade de eficiˆncia e e multiplicado pela vari´vel que mede o progresso tecnol´gico, qual seja At . a o Para determinar a taxa de crescimento do produto per-capita quando o produto por unidades de eficiˆncia encontra-se no estado estacion´rio, basta usar e a o fato que, no estado estacion´rio, yt+1 = yt = y. Logo temos que, no estado a estacion´rio, o produto per-capita ser´ tal que: a a yt = A t y ˆ yt+1 = At+1 y = (1 + γ)At y ˆ portanto temos que: yt+1 =1+γ yt (7) De acordo com a equa¸ao (7) quando a economia encontra-se no estado c˜ estacion´rio, medida em unidades de eficiˆncia, o produto per-capita cresce a e a uma taxa γ, que ´ tamb´m a taxa de crescimento da tecnologia. Podemos e e mostrar que todas as outras vari´veis medidas em termos per-capita crescem a a mesma taxa que o produto per-capita, o que caracteriza uma situa¸ao c˜ conhecida como caminho de crescimento equilibrado. Defini¸˜o 2 Uma economia encontra-se em um caminho de crescimento ca equilibrado quando todas as vari´veis macroeconˆmicas crescem a mesma a o taxa. Desta forma podemos afirmar que quando uma economia se encontra no caminho de crescimento equilibrado o produto per-capita cresce a uma taxa igual a do progresso tecnol´gico, dito de outra forma, o Modelo de Solow o conclui que, no longo prazo, a taxa de crescimento da economia (determinada pela taxa de crescimento do produto per-capita ser´ igual a taxa de a crescimento da produtividade. A principal implica¸ao deste resultado ´ que c˜ e aumentar a taxa de poupan¸a n˜o aumenta a taxa de crescimento da econoc a mia no longo prazo. No curto prazo, por´m, o aumento da taxa de poupan¸a leva a um aue c mento da taxa de crescimento da economia. O motivo ´ simples, uma vez e 8
  9. 9. que a maior taxa de poupan¸a leva a um maior n´ de produto per-capita c ıvel a economia dever´ crecer a uma maior taxa at´ encontrar o novo estado esa e tacion´rio. Uma vez que a economia alcan¸a este novo estado estacion´rio, a c a ou este novo caminho de crescimento equilibrado, o produto per-capita volta a crescer a uma taxa igual a da produtividade. ` Podemos fazer um experimento num´rico para avaliar os efeitos de um e aumento na taxa de poupan¸a. Considere uma economia onde η = 0,02, c γ = 0,026, a = 0,35 e δ = 0,10, assuma tamb´m que a taxa de poupan¸a ´ e c e de 15%, ou seja s = 0,15. Suponha que o governo implementa uma pol´ ıtica que faz com que a taxa de poupan¸a suba para 25%, ou seja, s = 0,25. c Como vimos na Tabela 1 o produto por unidades de eficiˆncia saltar´ de e a aproximadamente 1,01 para 1,33. Por meio das equa¸oes (4) e (7) podemos c˜ determinar o comportamento do produto per-capita antes, durante e depois da transi¸ao para o novo caminho de crescimento equilibrado, que estar´ c˜ a associado ao novo estado estacion´rio. a Figura 2: Caminho de Crescimento Equilibrado com Mudan¸a em σ c 2.5 2 1.5 1 0.5 0 2000 2020 2040 2060 2080 2100 2120 Na Figura 2 assume-se que a mudan¸a na taxa de poupan¸a ocorreu em c c 2010, a area hachureada, que vai de 2010 a 2025, representa o per´ ´ ıodo de transi¸ao, a partir de 2025 a economia volta a seu caminho de crescimento c˜ equilibrado. Na figura o produto per-capita est´ representado em escala logaa ritmica, de forma que a taxa de crescimento da economia ´ igual a inclina¸ao e c˜ 9
  10. 10. da curva no gr´fico. Desta forma, fica f´cil perceber que a taxa de crescimento a a da economia, ou seja, a inclina¸ao da curva, s´ aumenta durante o per´ c˜ o ıodo de transi¸ao. A Figura 2 ilustra o que foi discutido acima, de maneira que c˜ podemos enunciar a seguinte proposi¸ao: c˜ Proposi¸˜o 1 A taxa de poupan¸a ´ importante na determina¸ao do n´vel ca c e c˜ ı de renda e da taxa de crescimento de curto prazo, por´m a taxa de poupan¸a e c n˜o influencia a taxa de crescimento no longo prazo. Quando consideramos a o longo prazo a taxa de crescimento da economia ser´ determinada apenas a pela taxa de crescimento tecnol´gico, ou seja, a economia s´ ir´ apresentar o o a um crescimento sustent´vel se for capaz de operar com tecnologias cada vez a mais produtivas. Em termos de pol´ ıtica econˆmica a proposi¸ao acima diz que a forma de o c˜ o governo aumentar a taxa de crescimento da economia ´ permitir que as e empresas adotem as melhores tecnologias. Pol´ ıticas de gerenciamento macroeconˆmico que busquem o aumento da taxa de poupan¸a apenas afetar˜o o c a o crescimento da economia no curto prazo. 1.2 A Regra de Ouro da Acumula¸˜o de Capital e a ca Ineficiˆncia Dinˆmica e a Para uma dada fun¸ao de produ¸ao e valores de δ, existe um unico valor de c˜ c˜ ´ estado estacion´rio k ∗ > 0 para cada valor da taxa de poupan¸a σ. Vamos a c ∗ ∗ representar esta rela¸ao por k (σ), tal que dk (σ)/dσ > 0. Do n´ c˜ ıvel do consumo per-capita de estado estacion´rio temos a c∗ (σ) = F (k ∗ (σ)) − [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k ∗ (σ) (8) A Figura 3 mostra a rela¸ao entre c∗ e σ que ´ determinada pela equa¸ao c˜ e c˜ ∗ (8). A quantidade de c ´ crescente em σ para n´ e ıveis baixos de σ e decrescente para altos valores de σ. A quantidade de consumo de estado estacion´rio c∗ a ser´ m´ximo quando a a ∂c∗ (σ) ∂F (k ∗ (σ)) dk ∗ dk ∗ = − [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)] =0 ∂σ ∂k ∗ dσ dσ Dado que c∗ = y ∗ −i∗ . Se chamarmos o valor de k ∗ por kouro , que corresponde ao estoque de capital que maximiza o consumo de estado estacion´rio c∗ , a ent˜o a condi¸ao que determina kouro ´ a c˜ e ∂F (kouro ) = (1 + γ)(1 + η) − (1 − δ) ∂kouro 10 (9)
  11. 11. Figura 3: Regra de Ouro da Acumula¸ao de Capital c˜ c∗ couro ............................ ............................. ........ ...... ........ ...... ..... ...... ..... ...... .... ..... ..... ..... .... .... .... .... .. .. .... .... .... .... . .... . .... .... .... ... . ... .. ... ... ... ... . ... .. ... ... ... ... . . ... ... ... ... ... . . ... .. ... ... . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . σouro σ Neste caso, a taxa de poupan¸a correspondente ´ denominada σouro , e o n´ c e ıvel associado do consumo por unidades de eficiˆncia no estado estacion´rio ´ e a e dado por couro = F (kouro ) − [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]kouro . A condi¸ao da equa¸ao (9) ´ chamada a regra de ouro da acumula¸ao de c˜ c˜ e c˜ capital, originalmente formulada por Phelps (1966).7 Na Figura 4 mostramos como funciona a regra de ouro. A figura considera trˆs taxas de poupan¸a e c poss´ ıveis, σ1 , σouro , σ2 , onde σ1 < σouro < σ2 . O consumo por unidade de eficiˆncia, c, ´ igual a distˆncia vertical entre a fun¸ao de produ¸ao, F (k), e e e a c˜ c˜ a curva de poupan¸a. Para cada σ, o valor do estoque de capital de estado c estacion´rio corresponde k ∗ a intersec¸ao entre a curva σF (k) e a reta [(1 + a c˜ γ)(1 + η) − (1 − δ)]k. O valor de c∗ ´ maximizado quando k ∗ = kouro , porque e a tangente da fun¸ao de produ¸ao neste ponto ´ paralela a [(1 + γ)(1 + η) − c˜ c˜ e (1 − δ)]k. A taxa de poupan¸a que resulta em k ∗ = kouro ´ uma que faz a c e curva σF (k) cortar a reta [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k no valor kouro . Quando uma taxa de poupan¸a ´ melhor do que outra? A resposta dic e reta para esta quest˜o seria endogeinizar esta escolha ao comportamento a das fam´ ılias, ou seja, seria a utiliza¸ao do modelo neocl´ssico de crescimento c˜ a Cass-Koopmans. Todavia, podemos fazer uma breve an´lise de est´tica coma a parativa para endere¸ar esta quest˜o. Podemos argumentar que no presente c a 7 A fonte deste nome ´ a b´ e ıblica conduta da regra de ouro. ... 11
  12. 12. Figura 4: A Regra de Ouro e a Ineficiˆncia Dinˆmica e a kt+1     [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k  ..............................  ................... ..... ..... ....... ....... ....... ....... ...... ......   F (k) ...... ...... ..... ..... ...... ......   ...... ...... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ..   .. ...... ...... ... ... ..... .....    ......................... .... .... ..... .....   ... ∂F (k) ........   .... . .... ... ∂k .........   .  c∗ .. 2 .. .. ..   .   .. .. . .. .. σ2 F (k)..........   ..   .. .. .. ............................ ............................ .   ..................................................................................................  .... .. . couro .. .. . . ..  .................................. .. ..... ..... .. .. ....... ....... .. .. ...... ...... .. ...... .. ......   . .. .............. ... ................ .. ..... ......................... ........................ .. ..... . .. . . ..... ..... ..   ∆c.................................................................................................................. .. ..... ..... .. .. .... .... . .. .. .... ........... .. ........... .... σouro F (k) . . .. .  .......................... .... .... .. ..... ..... .. .... .... ........ ........ .. ... .. ... ....... ....... .. .... ... .. ..... .....   .. .... ......... .... ......... .. . .. . ... .... .. ..... ....... ... . .. ............................ ...............................   .. .... ...... ....................................... ..................................... .. .... ..... ........................ ....................... .. ... .... .. ... .... .. ..... ......   .......................................................................................... .. ..... ...... .. .. ... ...... ...... . . σ1 F (k) . .. .. .... .... ...  ............................... .. .... ... ... .... ... ...... ...... .... ... .. ... ... ...... ...... . . ...... ...  ..... ...... . ... ... .. .. .. ..... ..... .. . .... ..... .... ..... .... ....   .... .... .. .... .... .... .... .... ...... .. .... . .. ..   . .... ..... ... .. ... .. ... ... .. .. . .. .. .. ..   .. . .. ... . ... .... .. .. .. .. .. .   . . .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . . . ....   .... . .. ... .... .. . ... ... ... ...   . ... .. ... .. .. .. . .   ∗ kouro k2 12 kt
  13. 13. contexto que uma taxa de poupan¸a que sempre exceda σouro ´ ineficiente c e porque maiores quantidades de consumo podem ser obtidas em todos os pontos do tempo atrav´s da redu¸ao da poupan¸a. e c˜ c Considere uma economia tal como descrita pela taxa de poupan¸a σ2 na c Figura 4. Neste caso σ2 > σouro , tal que kouro > k2 e c∗ < couro . Imagine que, 2 partindo do estado estacion´rio, a taxa de poupan¸a ´ reduzida permanentea c e mente para σouro . Neste caso, o consumo por unidade de eficiˆncia aumenta e inicialmente em ∆c, como descrito na Figura 4. Uma vez que c∗ < couro , 2 conclu´ ımos que durante a transi¸ao para o novo estado estacion´rio o valor c˜ a de c sempre ser´ maior do que c∗ . Portanto, quando s > souro , a econoa 2 mia est´ super-poupando, no sentido de que o consumo pode ser aumentado a em todos os pontos do tempo pela diminui¸ao da taxa de poupan¸a. Uma c˜ c economia que poupa em excesso ´ dita ser dinamicamente ineficiente, pore que a trajet´ria do consumo por unidades de eficiˆncia permanece abaixo de o e trajet´rias alternativas em todos os pontos do tempo. o Se σ1 < σouro , como na Figura 4 ent˜o o montante do consumo por a unidades de eficiˆncia de estado estacion´rio pode ser aumentado por meio e a de um aumento da taxa de poupan¸a. Todavia, deve se notar que o aumento c da poupan¸a pode diminuir c ao inv´s de aument´-lo durante o per´ c e a ıodo de transi¸ao. O resultado final depende por tanto do valor que os indiv´ c˜ ıduos d˜o a ao consumo ao longo do tempo, quest˜o esta que apenas pode ser endere¸ada a c com o modelo de crescimento Cass-Koopmans. 2 Res´ ıduo de Solow Anteriormente vimos que a taxa de crescimento de longo prazo de uma economia ´ determinada pela taxa de crescimento da produtividade. Este ree sultado ´ comum a outros modelos onde a decis˜o de poupar ´ tomada de e a e forma end´gena mas que preservam as outras hip´teses do Modelo de Solow, o o de fato podemos dizer que esta ´ uma conclus˜o comum a teoria neocl´ssica e a a do crescimento econˆmico, da qual o Modelo de Solow ´ o grande inspirador. o e Desta forma podemos afirmar que, para os te´ricos neocl´ssicos, a produtio a vidade ´ o determinante do desempenho de uma economia no longo prazo. e O problema desta conclus˜o, que tamb´m foi obtida por Adam Smith, ´ que a e e n˜o sabemos como medir a produtividade. a Este ´ um problema grave, se n˜o podemos medir a produtividade n˜o e a a podemos checar se a Proposi¸ao da se¸ao anterior ´ verdadeira e, portanto, c˜ c˜ e n˜o poder´ a ıamos mostrar que o Modelo de Solow est´ errado, como j´ foi a a discutido se n˜o ´ poss´ mostrar que um modelo est´ errado, n˜o devea e ıvel a a mos utilizar este modelo pois qualquer proposi¸ao cient´ c˜ ıfica deve poder ser 13
  14. 14. testada. Para resolver o problema da falta de uma medida de produtividade Solow (1957) sugeriu que esta fosse calculada como um res´ ıduo na fun¸ao de c˜ produ¸ao. c˜ Se conhecermos o estoque de capital, o que nem sempre ´ verdade, a m˜oe a de-obra ocupada e o produto de uma economia podemos usar a fun¸ao de c˜ produ¸ao para obter o n´ de tecnologia, que a partir de agora chamaremos c˜ ıvel de produtividade total dos fatores. Se considerarmos a fun¸ao de produ¸ao c˜ c˜ Cobb-Douglas descrita temos que: Yt = At Ktθ Nt1−θ A partir da equa¸ao podemos determinar a produtividade total dos fatores, c˜ At , de forma bem simples. Basta isolar At na parte esquerda da equa¸ao, ou c˜ seja: Yt At = θ 1−θ (10) Kt Nt uma forma mais elegante, e simples, de calcular a produtividade total dos fatores seria tomar o logaritmo da equa¸ao (10), ou seja, fazendo: c˜ ln At = ln Yt − θ ln Kt − (1 − θ) ln Nt (10 ) como em geral estamos interessados na taxa de crescimento de At o uso de (10 ) ´ mais recomendado que o de (10). e Note que o c´lculo da produtividade toral dos fatores foi feito de forma a a que a fun¸ao de produ¸ao fosse observada. Se pensarmos em um contador c˜ c˜ que deseje fechar o balan¸o de uma firma a produtividade total dos fatores c corresponderia a conta lan¸ada sobre a rubrica de outros, ou seja, o c´lculo da c a produtividade total dos fatores (PTF) ´ feito de forma residual. Por tratar-se e de um residuo e pelo fato do m´todo de c´lculo ser devido a Solow ´ comum e a e chamar a produtividade total dos fatores de Res´ ıduo de Solow. 2.1 Contabilidade do Crescimento Ap´s estudarmos o Res´ o ıduo de Solow podemos caracterizar os trˆs fatores e que s˜o respons´veis pelo n´ de produto de uma dada economia, s˜o eles: a a ıvel a produtividade, capital e trabalho. Tamb´m foi visto que, quando a economia e encontra-se em uma trajet´ria de crescimento equilibrado, a taxa de crescio mento da produtividade ´ quem determina o quanto todas as vari´veis mae a croeconˆmicas v˜o crescer. Entretanto a maioria das economias s˜o expostas o a a a choques que as retiram, mesmo que por pouco tempo, de sua trajet´ria de o crescimento equilibrado. 14
  15. 15. Neste caso seria interessante saber a contribui¸o de cada um dos fatores a acima para a taxa de crescimento de uma economia. Esta pergunta pode ser respondida por meio de um exerc´ chamado de Contabilidade do Cresciıcio mento. Defini¸˜o 3 A Contabilidade do Crescimento nos permite determinar ca o quanto a produtividade, o capital e o trabalho contribuem para a taxa de crescimento de uma determinada economia em um dado per´odo de tempo. ı Uma maneira simples de fazer a contabilidade do crescimento consiste em dividir todos os termos da fun¸ao de produ¸ao descrita na equa¸ao (??) pela c˜ c˜ c˜ popula¸ao, Lt , de forma a obter: c˜ 1−θ Yt θ Nt = A t Kt Lt Lt (11) a equa¸ao (11) pode ser escrita da forma: c˜ Yt = At Lt Kt Nt θ Nt Lt (11 ) onde o termo do lado esquerdo da equa¸ao representa o produto per-capita, o c˜ primeiro termo do lado direito representa a produtividade total dos fatores, o termo entre parˆnteses representa a rela¸ao entre capital e m˜o de obra, e c˜ a tamb´m chamado de intensividade do capital e o terceiro termo representa a e percentagem da popula¸ao empregada ou esfor¸o do trabalho. c˜ c A equa¸ao (11 ) nos mostra que o produto per-capita ´ determinado pela c˜ e produtividade, pela intensividade do uso do capital e pela propor¸ao de pesc˜ soas empregadas. A taxa de crescimento do produto per-capita ser´ determia nada pela soma da taxa de crescimento de cada um dos trˆs termos descritos e acima8 , da forma: ηq = γ + η k + η n (12) onde ηq representa a taxa de crescimento do produto per-capita, γ a taxa de crescimento da produtividade, ηk a taxa de crescimento da rela¸ao cac˜ pital/m˜o-de-obra e ηn a taxa de crescimento do emprego. Assim como no a caso do Res´ ıduo de Solow, conhecidos ηq , ηk e ηn , ´ poss´ determinar γ de e ıvel forma residual. Uma pol´ ıtica de crescimento muito usada na Am´rica Latina nas d´cadas e e de 50, 60 e 70 era promover a implanta¸ao de ind´strias intensivas em capic˜ u tal, esta pol´ ıtica era inspirada em uma tese da Comiss˜o Econˆmica para a a o 8 Para chegar a este resultado basta derivar a equa¸ao (11 ) em rela¸ao ao tempo e obter c˜ c˜ a taxa de crescimento do produto per-capita. 15
  16. 16. Am´rica Latina (CEPAL) que propunha que tais ind´strias agregavam mais e u valor que as ind´strias que n˜o s˜o intensivas em capital. O resultado deste u a a tipo de pol´ ıtica ´ que, via de regra, os pa´ latino-americanos tiveram seus e ıses crescimento explicado quase que todo por maior uso do capital. Como j´ foi a visto este tipo de crescimento s´ ´ sustent´vel no curto prazo9 , de forma que oe a a Am´rica Latina experimentou um grande crescimento neste per´ e ıodo que n˜o mostrou-se sustent´vel nas d´cadas de 80 e 90. A Tabela 2 mostra a a a e Contabilidade do Crescimento para alguns pa´ latino-americanos. ıses Tabela 2: Contabilidade do Crescimento na Am´rica Latina e Cresc. do Prod. Produtividade Pa´ is Argentina Bol´ ıvia Brasil Chile Colombia Paraguai Uruguai Venezuela M´dia da A.L. e 60s 3,5 6,7 5,9 4,2 5,5 4,2 1,7 6,1 5,1 70s 3,2 4,5 8,4 2,7 5,5 9,5 2,6 3,0 4,8 80s -1,7 0,7 1,5 3,1 3,2 1,5 -0,2 0,7 0,6 60s 0,7 3,6 1,5 1,6 2,3 0,8 1,1 3,2 1,9 70s 0,6 0,8 2,5 0,5 2,0 3,6 1,6 -2,4 0,7 80s -2,6 -0,6 -1,4 0,6 -0,2 -3,8 -0,9 - 2,0 -2,0 Contribui¸ao do(a): c˜ Capital 60s 2,0 2,0 2,5 1,7 1,6 2,0 0,1 1,0 2,0 70s 2,0 2,4 3,8 0,8 2,0 4,0 0,9 2,6 2,5 80s 0,3 -0,2 1,7 1,0 1,8 3,4 0,4 0,8 1,2 Trabalho 60s 0,8 1,1 1,8 0,9 1,7 1,4 0,4 1,9 1,3 70s 0,6 1,3 2,1 1,5 1,5 1,9 0,1 2,9 1,6 Fonte: De Greg´rio e Lee (1999) o Como pode ser observado na Tabela 2 a experiencia de crescimento na Am´rica Latina deveu-se, principalmente, a acumula¸ao de fatores, desta e c˜ forma, de acordo com o Modelo de Solow, este crescimento n˜o poderia ser a sustentado, ou seja, teria de acabar. As colunas referentes aos anos 80 mostram que, neste aspecto, o Modelo de Solow pode explicar o que ocorreu na Am´rica Latina e, em particular, no Brasil. Um t´pico que ser´ discutido e o a mais adiante diz respeito a raz˜o da queda de produtividade nos anos 80 e a 90. 2.2 Convergˆncia e Foi visto que a economia convergir´ para seu estado estacion´rio indepena a dentemente das suas condi¸oes iniciais, ou seja, o n´ c˜ ıvel de renda de uma 9 No longo prazo apenas ganhos de produtividade causam crescimento. 16 80s 0,6 1,5 1,3 1,5 1,5 1,9 0,3 1,9 1,4
  17. 17. determinada economia n˜o depende das riquezas que esta possuia no inicio a do pocesso de acumula¸ao. Este resultado decorre da hip´tese de rendimentos c˜ o decrescentes, a medida que uma economia acumula muito capital, o rendimento deste tende a diminuir e, portanto, a remunera¸ao do capital tende a c˜ cair, induzindo as pessoas a acumular menos capital, ou seja, investir menos. Por outro lado, em uma economia com pouco capital o efeito contr´rio deve a ocorrer, qual seja, o rendimento do capital deve ser alto de forma a induzir as pessoas a acumular muito capital, ou seja, investir muito. Desta forma, a medida que uma economia torna-se mais rica, sua taxa de crescimento, em unidades de eficiˆncia, torna-se menor. e Este resultado levou alguns economistas a estudar uma hip´tese conhecida o como convergˆncia entre a renda dos pa´ e ıses. Segundo esta hip´tese a taxa de o crescimento possui uma rela¸ao negativa com a riqueza de um determinado c˜ pa´ de forma que pa´ pobres tendem a apresentar taxas de crescimento ıs, ıses maiores que a de pa´ ricos. No extremo esta hip´tese corresponde a dizer ıses o que, no longo prazo, a renda de todos os pa´ dever´ se igualar. ıses a Defini¸˜o 4 A Hip´tese da Convergˆncia diz que a taxa de crescimento ca o e de uma economia relaciona-se de forma inversa com a renda, de forma que, no longo prazo, a renda de todos os pa´ses converge para o mesmo valor. ı Este resultado, que decorre do Modelo de Solow, provocou um grande debate entre os economistas, de fato, o desenvolvimento deste debate foi quem, de certa forma, guiou o desenvolvimento das novas teorias do crescimento econˆmico. O debate se origina em Baumol (1986), neste trabalho o autor o usa uma amostra com 16 pa´ para mostrar a existˆncia de convergˆncia. ıses e e Entretanto, De Long (1988) argumentou que o resultado obtido por Baumol deveu-se a escolha dos pa´ 10 , se fosse escolhida uma amostra maior o reıses sultado de convergˆncia n˜o mais seria observado. O resultado de que, para e a uma amostra grande de pa´ escolhidos ao acaso n˜o existe convergˆncia ıses a e tamb´m foi encontrado por outros economistas e pode ser considerado um e fato que deve ser explicado pela teoria do crescimento econˆmico. A Fio gura 5 mostra a rela¸ao entre a taxa de crescimento e o produto per-capita c˜ para um conjunto de 68 pa´ no per´ ıses ıodo entre 1955 e 1990, note que n˜o a 11 existe nenhuma rela¸ao significativa entre a taxa de crescimento e o produto c˜ per-capita. Uma maneira de conciliar o resultado obtido por De Long com o obtido por Baumol, foi a hip´tese de clubes de convergˆncia, ou ainda, convergˆncia o e e 10 11 Baumos apenas considerou pa´ que atualmente s˜o desenvolvidos. ıses a A linha de regress˜o ´ praticamente horizontal. a e 17
  18. 18. Figura 5: Rela¸ao entre Taxa de Crescimento e Riqueza, 1955 - 1990 c˜ 7 6 Taxa de crescimento 1955 − 1990 5 4 3 2 1 0 −1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 PIB per−capita em 1955 7000 8000 9000 10000 condicional. Segundo esta id´ia apenas pa´ que guardam determinadas cae ıses racter´ ısticas em comum tenderiam a convergir para o mesmo n´ de renda ıvel per-capita. Para entender esta id´ia pode ser interessante determinar o ese toque de capital do estado estacion´rio, para isto basta impor a condi¸ao de a c˜ estado estacion´rio na equa¸ao (6), assumindo a fun¸ao de produ¸ao Cobba c˜ c˜ c˜ Douglas, de forma a obter: (1 + γ)(1 + η)k = (1 − δ)k + sk θ o que implica: s k= (1 + γ)(1 + η) − (1 − δ) 1 1−α (13) de forma que o produto por unidades de eficiˆncia no estado estacion´rio ser´ e a a dado por: α 1−α s y= (14) (1 + γ)(1 + η) − (1 − δ) Como mostra a equa¸ao (14), no estado estacion´rio, o valor do produto c˜ a medido em unidades de eficiˆncia ´ determinado pelos parˆmetros do modelo. e e a O tipo de tecnologia utilizada determina os valores da taxa de deprecia¸ao, c˜ δ, e da participa¸ao do capital, α; as preferˆncias das fam´ c˜ e ılias determinam a 18
  19. 19. taxa de poupan¸a; os fatores institucionais determinam a taxa de crescimento c da produtividade, γ. A proposta dos clubes de convergˆncia assume que e pa´ semelhantes tenderiam a dotar tecnologias semelhnates, possuir taxas ıses de poupan¸as pr´ximas uma das outras e dispor de sistemas institucionais que c o permitam o mesmo ritmo de ado¸ao tecnol´gicas. Ao contr´rio da hip´tese c˜ o a o de convergˆnica, os clubes de convergˆncia n˜o s˜o refutados pelas evidˆncias e e a a e emp´ ıricas. Figura 6: Clubes de Convergˆncia e 2 4 3.5 1.5 Taxa de crescimento 1955 − 1990 Taxa de crescimento 1955 − 1990 3 1 0.5 2.5 2 1.5 1 0 0.5 −0.5 0 1000 2000 3000 4000 PIB per−capita em 1955 5000 6000 0 7000 (a) Am´rica do Sul e 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 PIB per−capita em 1955 7000 8000 9000 10000 (b) Europa Como pode ser observado nas figuras 6a e 6b existe um claro processo de convergˆncia tanto entre os pa´ da Europa quanto entre os pa´ da e ıses ıses Am´rica do Sul, de fato, ambas as figuras mostram retas de regress˜o com e a forte inclina¸ao negativa. A Figura 6 tamb´m mostra que a convergˆncia na c˜ e e Europa ocorre de forma mais velos que na Am´rica do Sul. e A proposta dos clubes de convergˆncia tenta resolver o problema emp´ e ırico da ausˆncia de convergˆncia a partir da id´ia de que pa´ diferentes devem e e e ıses ser descritos por parˆmetros diferentes, ou seja, as diferen¸as entre as tecnoloa c gias utilizadas e entre as preferˆncias dos agentes determinariam a riqueza de e longo prazo da economia, se os pa´ forem muitos diferentes n˜o h´ porque ıses a a esperar convergˆncia. Apesar do apelo emp´ e ırico dos clubes de convergˆncia e alguns autores buscaram ir mais al´m no problema de por que existem pa´ e ıses ricos pa´ pobres. ıses 19
  20. 20. Alguns autores argumentam que a hip´tese de rendimentos decrescentes o e sua implica¸— ao de as economias convergem para um estadoe stacion´rio, c a ou um caminho de crescimento equilibrado, deve ser alterada, nesta linha de pesuisa surge a nova teoria do crescimento econˆmico, nesta linha Roo mer (1986) sugere que externalidades associadas ao capital podem explicar a n˜o convergˆncia; Lucas (1988) aponta na dire¸ao das externalidades assoa e c˜ ciadas ao capital humano; e, finalmente, Romer (1990) sugere que a solu¸ao c˜ pode estar na existˆncia de Pesquisa & Desenvolvimento (P & D) e poder de e monop´lio. Em outra dire¸ao Parente e Prescott (2000) sugerem que difeo c˜ ren¸as na tecnologia adotada pode ser a explica¸ao para a existˆncia de pa´ c c˜ e ıses pobres e pa´ ricos, estes autores argumentam que estas diferen¸as nas tecıses c nologias adotadas decorrem de diferentes arranjos institucionais. Estas e outras teorias para explicar o crescimento de uma economia ser˜o estudadas a nas pr´ximos unidades. o Referˆncias e [1] Barro, Robert J. e Xavier Sala-i-Martin. Economic Growth. New York, McGraw-Hill, 1995. [2] Baumol, William. “Productivity growth, convergence, and welfare: what the long-run data show.” American Economic Review 76 (5), December, 1986, pp. 1072-1085. [3] Cass, David. “Optimum growth in a aggregative model of capital accumulation.” Review of Economic Studies, 32, 1965, pp. 233-240. [4] De Greg´rio, Jos´ e Jong-Wha Lee. Economic growth in Latin American: o e sources and prospects. N˜o-publicado, 1999. a [5] De Long, Bradford. “Productivity growth, convergence, and welfare: comment.” American Economic Review 78 (5), December, 1988, pp. 1138-1154. [6] Ellery Jr., Roberto, Victor Gomes e Adolfo Sachsida. “Business cycle fluctuations in Brazil.” Revista Brasileira de Economia, 56 (2), 2002, pp. 269–307. [7] Koopmans, Tjalling C. “On the concept of optimal economic growth.” In: The Econometric Approach to Development Planning. Amsterdam, North-Holland, 1965. 20
  21. 21. [8] Lucas, Jr., Robert E. “On the mechanics of economic development.” Journal of Monetary Economics, 1988. Reimpresso em Lectures on Economic Growth. Cambridge, Harvard University Press, 2002. [9] Parente, Stephen e Edward C. Prescott. Barriers to Riches. Cambridge, MIT Press, 2000. [10] Phelps, Edmund S. Golden Rules of Economic Growth. New York, Norton, 1966. [11] Romer, Paul M. “Endogenous technological change.” Journal of Political Economy, 98 (5), 1990, pp. S71-S102. [12] Solow, Robert M. “A contribution to the theory of economic growth.” Quarterly Journal of Economics, February, 1956, pp. 65-94. [13] Solow, Robert M. “Technical change and the aggregate production function.” Review of Economics and Statistics, 39, August, 1957, pp. 312320. 21

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