Este documento apresenta uma lista de livros sobre educação infantil e ensino fundamental. Inclui títulos sobre psicologia, didática, filosofia da educação, entre outros temas relevantes para a formação de professores.

1. Ernesto Rosa Nelo

2. Jossas obras na área de
Educação
Tõtica psicomotora na pré-escola
Vera Miranda Gomes
Movimentos
Denise Del Matto Dlncao
'ré-escola, tempo de educar
Ana Rosa Beal e
Maria Lúcia Thiessen
iontar histórias - uma arte sem idade
Maria Betty Coelho Silva
atividades lúdicas na educação da criança
Leonor Rizzi e
Regina Célia
t educação artística da criança
Marieta Lúcia Machado Nicolau
(coord.)
educação pré-escolar
Marieta Lúcia Machado Nicolau
Convivendo com a pré-escoia
Denise Branco de Araújo
Célia Regina Mineiro e
Nancy Trindade Kosely
Pontos de psicologia geral
Pontos de psicologia do desenvolvimento
Célia Silva Guimaráes Barros
Psicologia educacional
Estrutura e funcionamento
do ensino de 1 ? grau
Sociologia da educação
Nelson Piletti
Psicologia da aprendizagem
Gérson Marinho Falcão
Didãtica geral
Didática especial
Claudino Piletti
Didãtica da matemática
Ernesto Rosa Neto
Processo de alfabetização
Glâurea Basso dos Santos e
Sueli Parada Simão
Filosofia e historia da educação
Claudino Piletti e
Nelson Piletti
Biologia educacional
Maria Ângela dos Santos
Psicologia moderna
Introdução ao estudo da filosofia
Antônio Xavier Teles
Literatura infantil - teoria e prática
Maria Antonieta Antunes Cunha
Durso básico de estatística
Hèlenalda de Souza Nazareth
Manual de estágio para o magistério
Graziella Zóboli

3. Ernesto Rosa Neto
Professor de Prática de Ensino da Matemática, História da Ciência
e Matemática da Universidade Mackenzie
Coordenador do Departamento de Vídeo do Colégio Anglo-Latino
Ex-professor de Matemática, História da Matemática e Prática de
Ensino da Universidade de São Paulo
Dez anos de participação em programas educativos da Rádio
e Televisão Cultura (RTC) de São Paulo
DIDÁTICA
DA
MATEMÁTICA

4. Supervisão editorial: João G u i z z o
Coordenação da edição: W i l m a Silveira R o s a d e M o u r a
Redação: L e o n a r d o Chianca
Preparação de originais: R e m b e r t o Francisco K u h n e n
Ilustração: Carlos R o b e r t o de C a r v a l h o
E d u a r d o Seiji Seki
Capa: P a u l o César Pereira
A r y N o r m a n h a
Produção gráfica: G r a p h i c Design
I S B N 8 5 0 8 0 1 9 2 2 x
1 9 8 7
Todos os direitos reservados pela E d i t o r a Ática S . A .
R . Barão de Iguapé, 1 1 0 — T e l : P A B X 2 7 8 - 9 3 2 2
C. Postal 8 6 5 6 — E n d . Telegráfico " B o m l i v r o " — S. P a u l o

5. Apresentação
Q u a n d o e s t a m o s a p r e n d e n d o u m i n s t r u m e n t o m u s i c a l , é i n e v i -
tável q u e d e d i q u e m o s a m a i o r p a r t e d o t e m p o a exercícios mecânicos
e r e p e t i t i v o s . Há porém m o m e n t o s d e criação e interpretação, c o m o
q u a n d o estamos " t i r a n d o " u m a música n o v a o u e x e c u t a n d o u m a peça
q u e já a p r e n d e m o s b e m .
T o d a s as nossas a p r e n d i z a g e n s são m a i s o u m e n o s m a r c a d a s p o r
essas duas etapas: a d a p u r a repetição, d o t r e i n o , e a d a c r i a t i v i d a d e .
O q u e m u d a é a ênfase d a d a a c a d a u m a delas.
O e n s i n o t r a d i c i o n a l estava m a i s c e n t r a d o n a memória: era preciso
d e c o r a r t u d o , f i c a r r e p e t i n d o e x a u s t i v a m e n t e o s m e s m o s tipos d e exer-
cício. Já o e n s i n o r e n o v a d o p e n d e u p a r a o e x t r e m o o p o s t o . O q u e
p r o c u r a m o s , neste l i v r o , é a síntese d o s dois m o m e n t o s , d a n d o o p o r -
t u n i d a d e p a r a o professor dosar a d e q u a d a m e n t e memória, lógica e
c r i a t i v i d a d e .
A m a i o r i a d a s a t i v i d a d e s q u e p r o p o m o s são d e t r e i n a m e n t o , c o m
exercícios q u e vão d o s m a i s fáceis a o s m a i s c o m p l e x o s . M a s n o m o -
m e n t o d e a b o r d a r u m assunto n o v o , nossa p r o p o s t a é q u e isso seja
f e i t o p o r redescoberta, p a r t i n d o s e m p r e d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o .
É nessa l i n h a q u e a p r e s e n t a m o s a t i v i d a d e s diferenciadas e m Aritmética
e G e o m e t r i a .
O l i v r o t r a t a também d e t e m a s básicos, quase s e m p r e polémicos:
A n t r o p o l o g i a c o m história d a Matemática; P i a g e t c o m suas etapas
psicogenéticas; p a r a l e l i s m o e n t r e A n t r o p o l o g i a e teorias d e P i a g e t u t i -
l i z a n d o a l e i d e M u l l e r ; B l o o m c o m suas categorias d e o b j e t i v o s
e d u c a c i o n a i s ; D i e n e s c o m a Matemática d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o .
T o d o s esses assuntos f o r a m a b o r d a d o s p o r s u a u t i l i d a d e e f e c u n d i d a d e
p a r a o magistério. A polémica p e r m a n e c e , as teorias e v o l u e m . A s
mudanças se dão d e m a n e i r a c a d a v e z m a i s rápida. P o r isso, o

6. p r o f e s s o r precisa i n s t r u m e n t a l i z a r - s e c o m u m a base sólida d e c o n h e -
c i m e n t o s , técnicas e métodos d e e n s i n o q u e l h e p e r m i t a m crescer,
adaptar-se, s e r a t u a n t e .
N o s s a intenção é c o n t r i b u i r p a r a a formação desse t i p o d e p r o -
fessor. A s críticas a esta o b r a , n o s e n t i d o d e fazê-la a p r o x i m a r - s e c a d a
v e z m a i s desse o b j e t i v o , serão s e m p r e b e m - v i n d a s .
O A u t o r
E s t a o b r a é d e d i c a d a a m i n h a f i l h a I s a b e l a q u e a c a b a d e nascer e,
q u e m sabe, terá u m a m b i e n t e e u m a escola f e c u n d o s , q u e darão espaço
à n o v a geração p a r a d e s e n v o l v e r suas i m e n s a s p o t e n c i a l i d a d e s n a cons-
trução d e u m c a m i n h o feliz.

7. índice
Capítulo 1 — História da Matemática 7
Introdução 7
A Matemática: u m a história social 7
A Matemática é fácil - 1 6
Primeiras noções matemáticas 17
A criação d o número 18
Capítulo 2 — Etapas da aprendizagem 2 4
Introdução 2 4
Piaget 2 6
Matemática concreta 3 4
Dienes 35
A importância d a vivência 3 7
B l o o m 3 8
O p r o b l e m a d a avaliação 4 1
Capítulo 3 — Laboratório de Matemática 4 4
Introdução 4 4
Cartaz valor d o lugar ( c a v a l u ) 4 5
Flanelógrafo . 5 4
Q u a d r o de pinos 5 6
Cartazes 6 0
Álbum seriado 6 1
Ábaco 6 1
Q u a d r o de varetas 6 2
Q u a d r o Paed 6 2
Quebra-cabeça aritmético 6 3
M a t e r i a l Cuisenaire 6 4
M a t e r i a l dourado M o n t e s s o r i 6 9
Blocos lógicos ( D i e n e s ) 7 0
Relógio de sol 7 5

8. M a t e r i a l para cálculo de v o l u m e 7 7
Mimeógrafo 7 8
Balança 8 1
M a t e r i a l para determinação d o centro de figuras 8 3
Biblioteca e m u s e u 8 4
Capítulo 4 — Aritmética 8 8
Introdução 8 8
Sugestões de atividades para a l . a
série 8 9
Sugestões de atividades para a 2 . a
série 1 0 8
Sugestões de atividades para a 3 . a
série 1 1 5
Sugestões de atividades para a 4 . a
série 1 2 4
Capítulo 5 — Geometria concreta 1 3 1
Introdução 1 3 1
A t i v i d a d e s para a l . a
série 1 3 3
A t i v i d a d e s para a 2 . a
série 1 4 2
A t i v i d a d e s para a 3 . a
série 1 5 1
A t i v i d a d e s para a 4 . a
série 1 6 5
Capítulo 6 — Camelidades malbatahânicas 1 7 0
Introdução 1 7 0
Situações-problemas 1 7 0
Curiosidades matemáticas 1 8 3
Respostas das situações-problemas 1 9 2
Bibliografia 1 9 9

9. História da Matemática
INTRODUÇÃO
C o n t a r a história d a d i s c i p l i n a q u e está sendo estudada p o d e ser
u m a f o r m a d e i l u s t r a r as aulas e m o t i v a r o s a l u n o s . A s s i m , também o
professor d e Matemática p o d e e deve lançar mão desse recurso, apre-
s e n t a n d o à classe fatos interessantes sobre a v i d a d e matemáticos f a m o -
sos, b e m c o m o descobertas e curiosidades nessa área d o c o n h e c i m e n t o .
Esse t i p o d e história d a Matemática é e n c o n t r a d a a o l o n g o deste
l i v r o . E l e é i m p o r t a n t e e útil, desde q u e se t o m e o c u i d a d o d e não
v a l o r i z a r e m d e m a s i a tais estudiosos e seus feitos notáveis a p o n t o d e
a n u l a r o p a p e l d a sociedade. N e s t e capítulo, porém, será m o s t r a d a
u m a história q u e v a i b e m além desse e n f o q u e . T r a t a - s e d e u m a
história social d a Matemática, q u e c o l o c a essa ciência c o m o algo h u m a -
n o , u m f a t o social, r e s u l t a d o d a colaboração d e todos, e q u e é estrita-
m e n t e l i g a d a às necessidades sociais.
E s s a visão d a Matemática t e m m a i o r u t i l i d a d e n a formação d o
professor d o q u e d i r e t a m e n t e n a preparação d e suas aulas. Esse capítulo
deve s e r l i d o várias vezes. Seus dois o b j e t i v o s p r i n c i p a i s são: m o s t r a r
o l o n g o c a m i n h o p e r c o r r i d o p e l a h u m a n i d a d e e m três milhões d e a n o s
de existência, a j u d a n d o a perceber as transformações q u e o c o r r e r a m
e c o n t i n u a m a o c o r r e r , a l t e r a n d o a sociedade e a própria p e r s o n a l i d a d e
d o h o m e m , e depois fazer u m a comparação e n t r e essa história e a
evolução d a própria criança.
A MATEMÁTICA: UMA HISTÓRIA SOCIAL
A Matemática f o i i n v e n t a d a e v e m sendo d e s e n v o l v i d a p e l o h o m e m
e m função d e necessidades sociais.
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10. D u r a n t e t o d o o Paleolítico i n f e r i o r , q u e d u r o u cerca d e três m i -
lhões d e anos, o h o m e m v i v e u d a caça e d a coleta, c o m p e t i n d o c o m o s
o u t r o s a n i m a i s , só q u e u t i l i z a n d o paus, pedras e o f o g o . E l e necessi-
t a v a a p e n a s d a s noções d e mais-menos, maior-menor e a l g u m a s formas
n o l a s c a m e n t o d e p e d r a s e n a confecção d e porretes.
Homem —Pré-história História—
- 3 000 000 de anos - 35 000 10 000 - 4 000 0
Inferior
Paleolítico
(pedra lascada)
Superior
i i • — - i —
Neolítico
(pedra polida)
O Paleolítico s u p e r i o r é c a r a c t e r i z a d o p o r i n s t r u m e n t o s m a i s ela-
b o r a d o s p a r a caça e coleta: a r m a d i l h a s , redes, cestos, arcos e flechas,
r o u p a s d e peles, canoas. O s h o m e n s u t i l i z a m n o v o s m a t e r i a i s , além d e
p a u s e pedras: ossos, peles, cipós, f i -
bras. F a z e m p i n t u r a s e esculturas n a -
t u r a l i s t a s . Já n e c e s s i t a m d e m u i t o s
números e f i g u r a s . P a r a fazer u m cesto
é necessária a c o n t a g e m e noções i n -
t u i t i v a s d e p a r a l e l i s m o e p e r p e n d i c u l a -
r i s m o . S u r g e m o s desenhos geométri-
cos e a p i c t o g r a f i a .
Vénus de Willendorf (Áustria). Es-
cultura naturalista em pedra, feita
pelo homem do Paleolítico superior.
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11. O domínio d o h o m e m sobre a n a t u r e z a se estabelece c o m a d o m e s -
ticação d e p l a n t a s e a n i m a i s . É a revolução d o Neolítico, o início d a
a g r i c u l t u r a e d a pecuária, q u e irá l i b e r t a r o h o m e m d a necessidade d a
caça e c o l e t a e d a competição c o m o s o u t r o s a n i m a i s , além d e fixá-lo
a u m m e s m o l u g a r e n q u a n t o a t e r r a é c a p a z d e p r o d u z i r . O s c o n t i -
nentes t o m a m a f o r m a a t u a l .
O t e m p o passa e n o v o s c o n h e c i m e n t o s são i n c o r p o r a d o s p o r t e n t a -
t i v a e e r r o : c o n h e c i m e n t o s sobre terras e f e r t i l i d a d e , sementes, técnicas
de p l a n t i o e c o l h e i t a , datação d o p l a n t i o , seleção. O s r e b a n h o s p r e c i s a m
ser c o n t a d o s , são e l a b o r a d o s calendários agrícolas, o a r m a z e n a m e n t o
de grãos e o c o z i m e n t o c r i a m a necessidade d a cerâmica. A Matemática
se d e s e n v o l v e . A m a s s a d e c o n h e c i m e n t o s se e x p a n d e , n o sentido d e
u m saber prático, constituído d e receitas úteis, q u e f u n c i o n a m .
Vaso de cerâmica pré-histórico com desenhos geométricos, recolhido num sítio
arqueológico em Presidente Epitácio, São Paulo.
N o início d o Neolítico a produção e r a m u i t o p e q u e n a , e o s h o m e n s
c o n t i n u a v a m e x t r e m a m e n t e dependentes d a n a t u r e z a . A o s p o u c o s , c o m
n o v a s técnicas, f o r a m a u m e n t a n d o a produção até a t i n g i r e m o s u p r i -
m e n t o d e suas necessidades. O Neolítico é o período q u e v a i d o início
d a produção até o p o n t o d e o s h o m e n s g e r a r e m o necessário p a r a a
sobrevivência. A caça t r a n s f o r m o u - s e e m esporte. O Neolítico d u r o u
p e r t o d e seis m i l anos.
N o v a g r a n d e revolução é a p a s s a g e m p a r a o período histórico.
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12. A s t r i b o s se estabelecem e m c a m p o s p e r m a n e n t e s n a s m a r g e n s d e
g r a n d e s r i o s . C o m l u g a r f i x o , as c h o u p a n a s são t r a n s f o r m a d a s e m casas;
as aldeias, e m cidades, s u p o n d o p r o j e t o s e m e d i d a s .
S u r g e m as classes sociais, a p r o p r i e d a d e , o E s t a d o , a escrita foné-
t i c a . T o d a s essas mudanças f o r a m causadas p e l o a u m e n t o d a produção,
q u e c h e g o u a o p o n t o d e g e r a r m a i s q u e o necessário: produção d e
excedentes. S u r g e m as necessidades d e a r m a z e n a m e n t o d e p r o d u t o s e m
g r a n d e escala e d e s u a contabilização, d e s e n v o l v e n d o m u i t o m a i s a
Matemática.
A sociedade fica m u i t o m a i s c o m p l e x a , a c u l t u r a se a c u m u l a , m a s
s e m p r e c o m u m s e n t i d o prático, l i g a d a a o dia-a-dia.
A divisão d a sociedade e m classes e a p r o p r i e d a d e p r i v a d a l e v a m
à criação d e m e d i d a s p a r a r e g u l a r posses e à cobrança d e i m p o s t o s .
S e g u n d o o h i s t o r i a d o r grego Heródoto, as inundações d o N i l o d e s m a r -
c a v a m o s l i m i t e s d a s p r o p r i e d a d e s , g e r a n d o a necessidade d e r e m a r -
cá-las. I s s o e r a f e i t o c o m o auxílio d e m e d i d a s e p l a n t a s , pelos c h a m a d o s
"esticadores d e c o r d a " . Daí o d e s e n v o l v i m e n t o dos números fracionários.
É a Matemática se d e s e n v o l v e n d o n o E g i t o a n t i g o e n a Babilónia, d o
m e s m o m o d o q u e , p o s t e r i o r m e n t e , c o m o s m a i a s e astecas.
A contribuição egípcia
O início d a A n t i g u i d a d e , há cerca d e 6 0 0 0 anos, f o i m a r c a d o p o r
inúmeras n o v i d a d e s matemáticas. O comércio, as construções, a posse
e a demarcação d a s p r o p r i e d a d e s c o l o c a r a m n o v a s questões. A s m e d i d a s
n e m s e m p r e constituíam números i n t e i r o s . E s s a necessidade forçou o
a p a r e c i m e n t o g r a d a t i v o d o s números fracionários.
O s egípcios já c o n h e c i a m o ábaco, a notação d e c i m a l , a l g u m a s
frações e a l g u m a s contas. O u m e r a |, o d e z e r a f | ; desse m o d o ,
n n i i e r a 3 6 .
n m i
10

13. Mural egípcio feito há 3 600 anos, mostrando algumas atividades profissionais da
época (curtimento de peles, carpintaria, fundição de cobre).
E l e s não s a b i a m m u l t i p l i c a r c o m o nós; s a b i a m apenas d o b r a r .
A s s i m , p a r a c a l c u l a r 1 3 X 1 8 i a m d o b r a n d o o 1 8 :
1 2 4 8 1 6 . . .
18 3 6 7 2 1 4 4 2 8 8
T r e z e vezes 1 8 e r a c a l c u l a d o a d i c i o n a n d o 1 8 + 7 2 + 1 4 4 , d a
seguinte m a n e i r a : u m a v e z d e z o i t o ( 1 8 ) , m a i s q u a t r o vezes 1 8 ( 7 2 ) e
m a i s o i t o vezes 1 8 ( 1 4 4 ) , i s t o é: 1 3 = 1 + 4 + 8 ; então, 1 3 X 1 8 =
= 1 X 1 8 + 4 X 1 8 + 8 X 1 8 = 1 8 + 7 2 + 1 4 4 = 2 3 4 .
O s egípcios s o m e n t e o p e r a v a m c o m frações d e n u m e r a d o r i g u a l
a 1 , i s t o é, i n v e r s o s d e números i n t e i r o s q u e e r a m representados c o m
u m s i n a l o v a l a d o ( o ) p o r c i m a d o n u m e r a l . A s s i m :
Se 3 e r a ||| , — e r a
3
11

14. A Matemática e r a c o n h e c i d a pelos a n t i g o s egípcios c o m o receitas
práticas q u e , m u i t a s vezes, f u n c i o n a v a m p o r aproximação e e r a m r e s u l -
t a d o d e t e n t a t i v a s e e r r o s feitos d u r a n t e milénios. C o n h e c i a m o t e o r e m a
q u e , m a i s t a r d e , p a s s o u a c h a m a r - s e " T e o r e m a d e Pitágoras" e desen-
v o l v e r a m fórmulas p a r a o cálculo d e áreas e v o l u m e s .
C r i a r a m u m calendário d e 3 6 5 dias, i n v e n t a r a m o relógio d e s o l
e a balança, f u n d i r a m o c o b r e e o e s t a n h o ( c u j a m i s t u r a é o b r o n z e )
e o u t r o s m e t a i s . Construíram cidades e grandes m o n u m e n t o s . T o d o s
os i n s t r u m e n t o s q u e u s a v a m e r a m d e p a u o u pedra. O f e r r o a i n d a não
e r a c o n h e c i d o .
Os grandes monumentos egípcios, como as pirâmides da foto, eram feitos com
instrumentos de madeira, pedra e cobre.
A Matemática entre os gregos e os romanos
O u s o d o f e r r o é descoberto n a Ásia M e n o r . C o m isso, f e r r a m e n t a s
m a i s eficientes p o d e m ser criadas. C o m a utilização d a s n o v a s f e r r a m e n -
tas, a produção a u m e n t a m u i t o , e l e v a n d o a produção d e excedentes.
C o n s e q u e n t e m e n t e , o comércio se e x p a n d e , i n t e n s i f i c a n d o as n a v e g a -
ções, m e l h o r a n d o o s t r a n s p o r t e s . A civilização se i n t e r i o r i z a m a i s p e l a
E u r o p a . É a época d a h e g e m o n i a grega. A p a r e c e o a l f a b e t o , q u e d e m o -
c r a t i z a a c u l t u r a e f a c i l i t a s e u r e g i s t r o , g e r a m a i o r e s c o n h e c i m e n t o s e
intercâmbio c u l t u r a l . O g r a n d e acúmulo d e c o n h e c i m e n t o s n a Grécia
p r o v o c a a mudança q u a l i t a t i v a d a classificação e ordenação. Começa
u m t r a b a l h o metodológico sobre o g r a n d e c o n h e c i m e n t o a c u m u l a d o .
12

15. V a i s u r g i r a F i l o s o f i a . C o n t r i b u i também p a r a isso o f a t o d e , nessa
época, o t r a b a l h o s e r r e a l i z a d o p o r escravos, p o r ser c o n s i d e r a d o i n d i g -
n o p a r a h o m e n s livres. Estes t i n h a m apenas a função d e pensar.
T o d a s aquelas receitas empíricas u t i l i z a d a s pelos egípcios, b a b i -
lónios e habitantes d e o u t r a s regiões f o r a m o r g a n i z a d a s : são o s c o n h e -
c i m e n t o s q u e t r a t a m d e números, o s q u e t r a t a m d e figuras, o s q u e
t r a t a m d e doenças e t c . S u r g e m as ciências.
C o m o o s p e n s a d o r e s gregos d e s p r e z a v a m o t r a b a l h o , s e g u i r a m o
c a m i n h o das abstrações, a p r o f u n d a n d o - s e n a Matemática, a ciência q u e
m a i s avançara, e n f a t i z a n d o m a i s a q u a l i d a d e q u e a q u a n t i d a d e , m a i s a
G e o m e t r i a q u e a Aritmética. P o r isso, a G e o m e t r i a f o i a p r i m e i r a a
receber u m t r a t a m e n t o metodológico, c u l m i n a n d o c o m a admirável
síntese d e E u c l i d e s — Os Elementos — a p r i m e i r a o b r a lógica. É a
revolucionária criação d a argumentação, d a demonstração; é a capaci-
d a d e d e c o n c l u i r a p a r t i r d e premissas.
E m seguida, Aristóteles, c o m s e u
Organon, s i n t e t i z o u a Lógica c o m o
transposição, e m p a l a v r a s , d o método
de demonstração geométrico q u e se
i n i c i a r a c o m o s pré-socráticos ( T a l e s ,
Pitágoras, Anaxágoras e t c ) .
C o m o a d v e n t o d a Lógica, a p a -
l a v r a t o r n o u - s e u m i n s t r u m e n t o d e p o -
der, p a r a c o n t r o l e d a população. O
e s c r a v i s m o e n t r a v a e m s u a crise f i n a l .
Busto de Euclides
D e p o i s d a G e o m e t r i a e d a Lógica, a t e r c e i r a sistematização o c o r -
r e u n a Mecânica, c o m A r q u i m e d e s .
N o período e m q u e o s r o m a n o s d o m i n a r a m o m u n d o , a M a t e -
mática c o n t i n u o u a avançar, e s p e c i a l m e n t e c o m o s matemáticos ale-
x a n d r i n o s , c o m o , p o r e x e m p l o , Eratóstenes ( 2 8 4 - 1 9 2 a . C ) , q u e c a l c u l o u
o t a m a n h o d a T e r r a , P t o l o m e u ( ± 1 0 0 - 1 6 8 ) , q u e escreveu o Almagesto,
o b r a q u e defende a t e o r i a geocêntrica, e D i o f a n t o ( 3 2 5 - 4 0 9 d . C ) , q u e
f o r m u l o u as equações d i o f a n t i n a s , s i g n i f i c a n d o u m a r e t o m a d a d a
Aritmética.
13

16. Os árabes e a Álgebra
N o início d a I d a d e Média (séculos V e V I ) , n o período d e m a i o r
expansão árabe, a l g u n s matemáticos, c o m o A v i c e n a , A l - K h o w a r i z m i ,
O m a r K h a y y a m , N a s i r E d d i n , e n t r e o u t r o s , d e s e n v o l v e r a m o sistema
de numeração arábico ( q u e começou n a índia e n a Síria) e a Álgebra.
- = = ¥ f (e 1 S ?
Brahmi
1 2 4 * V C ? T •
Indiano (Gwalior)
l
Sânscrito-Devanagari (Indiano)
/ r r r ^
Árabe do Oeste (Gobar) Árabe do Leste
Século 11 (Ápices)
Século 15 Século 16 (Durer)
A figura acima mostra algumas fases da evolução dos algarismos.
O s i s t e m a d e c i m a l p o s i c i o n a i , u t i l i z a d o até h o j e c o m a l g u m a s
alterações n o s n u m e r a i s , r e p r e s e n t o u p a r a a Aritmética o q u e o a l f a b e t o
f o i p a r a a escrita: a democratização. A f i n a l , fazer c o n t a s c o m alga-
rismos r o m a n o s não e r a n a d a fácil!
Também d e v e m o s a o s árabes o d e s e n v o l v i m e n t o d e métodos q u e
t o r n a r a m m a i s s i m p l e s a resolução d e equações. O t r a b a l h o c o m equa-
ções começou a a d q u i r i r u m a u t o m a t i s m o p a r e c i d o c o m o d o ábaco.
P o r isso, a Álgebra s i g n i f i c o u u m a g r a n d e revolução matemática.
14

17. Do Renascimento aos nossos dias
N o s séculos X V e X V I , d u r a n t e o R e n a s c i m e n t o , o comércio e
as cidades r e a t i v a r a m - s e , r e f l o r e s c e r a m . Nesse período s u r g e m , n a Itália,
os números negativos, d e v i d o às necessidades c o m e r c i a i s n o cálculo d e
dívidas e d e créditos. O s números n e g a t i v o s p e r m i t e m " t i r a r o m a i o r d o
m e n o r " . O n o v o c o n j u n t o c h a m a - s e conjunto dos números inteiros e v e m
j u n t a r - s e a o c o n j u n t o d o s números n a t u r a i s , já existente desde a Pré-
-história.
Z = { . . . - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . }
A resolução d a r a i z q u a d r a d a d o s números n e g a t i v o s l e v a a o a p a -
r e c i m e n t o d o s números complexos. Nesse âmbito, p o d e m o s citar F i b o -
n a c c i , T a r t a g l i a , B o m b e l l i e m u i t o s o u t r o s .
N o período d a s grandes navegações, a A s t r o n o m i a teve g r a n d e
i m p u l s o , p a r a orientação e m a l t o - m a r . O m a p a d o m u n d o é q u a d r i -
c u l a d o e as c o o r d e n a d a s são usadas s i s t e m a t i c a m e n t e . A s r o t a s são
gráficos.
« * T Y P V S O R B I S A P T O L« D E S C R I P T V S
Map»-mún.l. dc Cláudio Ptolomeu (cerca de 200
Mapa-múndi elaborado por Ptolomeu em cerca de 15G d . C , já com coordenadas,
que passariam a ser intensamente usadas a partir das grandes navegações.
15

18. N o século X V I I , c o m Descartes, F e r m a t e o u t r o s , surge a G e o -
m e t r i a Analítica e desenvolve-se a T r i g o n o m e t r i a . A p a r e c e m o s l o g a -
r i t m o s p a r a a simplificação d o s cálculos astronómicos. A ciência
c o n t i n u a d e p e n d e n t e d a técnica, m a s começa a t e r u m n o v o caráter,
não c o m p l e t a m e n t e utilitário.
U m a n o v a revolução matemática se c o m p l e t a c o m V i e t e , q u e
p a s s o u a u t i l i z a r símbolos p a r a q u a l q u e r demonstração, u s a n d o letras
t a n t o p a r a q u a n t i d a d e s conhecidas c o m o p a r a desconhecidas. A r a p i d e z
d o cálculo f o i a u m e n t a d a e a notação se f o r m a l i z o u , f i c a n d o m a i s
r i g o r o s a c o m símbolos s e m conotações, m a s operáveis s e g u n d o regras.
E r a a Matemática s e m conteúdo, o u m e l h o r , c o m conteúdo n a própria
f o r m a . E s t a m o s n o t e m p o d e G a l i l e u e d a Inquisição.
P o u c o depois, c o m L e i b n i z e N e w t o n , c o m p l e t o u - s e a g r a n d e sín-
tese d o Cálculo I n t e g r a l e D i f e r e n c i a l . F i n a l m e n t e , n o f i m d o século
p a s s a d o , acontece a reordenação lógica d a Matemática c o m C a n t o r ,
F r e g e , R u s s e l l e o u t r o s , d a n d o a e l a o a c a b a m e n t o q u e c o n h e c e m o s h o j e .
A MATEMÁTICA É FÁCIL
A Matemática é a m a i s a n t i g a d a s ciências. P o r isso e l a é difícil.
P o r q u e já c a m i n h o u m u i t o , já s o f r e u m u i t a s r u p t u r a s e r e f o r m a s , pos-
s u i n d o u m a c a b a m e n t o r e f i n a d o e f o r m a l . M a s c a m i n h o u m u i t o j u s t a -
m e n t e p o r s e r fácil.
É isso q u e d e v e m o s c o n s i d e r a r q u a n d o e s t a m o s l e c i o n a n d o , p r o -
c u r a n d o c o l o c a r o assunto n o nível d o d e s e n v o l v i m e n t o d o a l u n o . C a d a
período t e m suas características, s e u g r a u d e abstração, d e elaboração,
de a c a b a m e n t o e, c o n s e q u e n t e m e n t e , s u a didática. Isso acontece n a
história d a Matemática e n o e n s i n o d a Matemática, s e g u i n d o a se-
quência:
• as receitas práticas o b t i d a s p o r t e n t a t i v a e e r r o , e m a t i v i d a d e s
concretas, características d a Pré-história até o E g i t o , são estudadas d a
l . a
à 4 . a
série d o p r i m e i r o g r a u ;
• a revolução grega d a demonstração é i n c o r p o r a d a d a 5 . a
à 8 . a
série d o p r i m e i r o g r a u ;
16

19. • a Álgebra — o m e c a n i s m o simbólico arábico — passa a ser
o p e r a d a a p a r t i r d a 7 . a
série;
• a formalização d e V i e t e — o s símbolos frios e operáveis d o R e -
n a s c i m e n t o — começa n o s e g u n d o g r a u ;
• o Cálculo D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l é e s t u d a d o n a s faculdades d e
ciências exatas;
• a reordenação lógica m o d e r n a — aritmetização d a Matemática
— é conteúdo d a s faculdades d e Matemática.
V i s t a dessa f o r m a , a Matemática p o d e ser — e é — gostosa e
fácil d e e n s i n a r o u d e aprender, p o i s c o r r e s p o n d e ao d e s e n v o l v i m e n t o
n o r m a l d o a l u n o . N a d a é e s t r a n h o , s e m c o n t i n u i d a d e , s e m s i g n i f i c a d o .
PRIMEIRAS NOÇÕES MATEMÁTICAS
U m u r u b u f e z s e u n i n h o n a t o r r e d e u m a i g r e j a n u m a p e q u e n a
v i l a . O sacristão responsável p e l a i g r e j a f e z várias t e n t a t i v a s p a r a
pegá-lo, m a s , t o d a v e z q u e e n t r a v a n o prédio, o u r u b u v o a v a e só
r e t o r n a v a q u a n d o o sacristão saía. Então, o h o m e m a r q u i t e t o u u m
p l a n o p a r a e n g a n a r o u r u b u . E n t r a r a m dois h o m e n s n a igreja, e o
u r u b u v o o u ; s a i u u m , f i c a n d o o o u t r o à espera. O u r u b u não v o l t o u e n -
q u a n t o não s a i u o s e g u n d o ! E n t r a r a m três e saíram dois, f i c a n d o o
t e r c e i r o à espera. Não a d i a n t o u ! C o m q u a t r o , repetiu-se a m e s m a coisa.
S o m e n t e c o m c i n c o pessoas é q u e o p l a n o d e u c e r t o : saíram q u a t r o ,
f i c o u u m ; o u r u b u " p e r d e u a c o n t a " , v o l t o u e f o i a p a n h a d o .
E s s a p e q u e n a história m o s t r a q u e até m e s m o o s a n i m a i s são capa-
zes d e apresentar, e m b o r a r u d i m e n t a r m e n t e , percepções ligadas à q u a n -
t i d a d e . Experiências s e m e l h a n t e s feitas c o m o u t r a s espécies d e a n i m a i s
m o s t r a m q u e eles não s a b e m c o n t a r , m a s p o s s u e m a l g u m a s noções
c o m o " a q u i há m a i s b a n a n a s q u e a l i " . Porém, q u a n d o d u a s q u a n t i d a -
des são elevadas e c o m diferença p e q u e n a e n t r e si, m e s m o u m h o m e m
c u l t o não perceberá a diferença, a m e n o s q u e possa fazer u m a c o r r e s p o n -
dência u m a u m . P o r e x e m p l o , s e m c o n t a r , p o d e m o s saber q u e e m
17

20. B, n a f i g u r a q u e segue, há m a i s e l e m e n t o s q u e e m A. D o m e s m o m o d o ,
o l h a n d o a p l a t e i a d e u m t e a t r o p o d e m o s saber, s e m c o n t a r , se há m a i s
pessoas o u p o l t r o n a s , desde q u e as pessoas e s t e j a m e m seus lugares.
E s t e é o m a i s p r i m i t i v o c o n c e i t o d e q u a n t i d a d e : o n d e há m a i s ,
o n d e há m e n o s ; o n d e há m a i s f r u t o s , o n d e há m a i s peixes e t c . E s s a
noção, q u e até o s a n i m a i s p o d e m ter, c o m o v i m o s p e l o c o n t o d o u r u b u ,
é m u i t o útil p a r a a sobrevivência.
A CRIAÇÃO DO NÚMERO
A necessidade d a exatidão n a c o n t a g e m começa já n o Paleolítico,
q u a n d o o h o m e m passa a f a b r i c a r m a c h a d i n h a s , tacapes e lanças. N e s s a
época são c r i a d o s o s p r i m e i r o s números.
A criação d e u m número é u m processo classificatório, d o m e s m o
m o d o q u e a divisão d o s a n i m a i s e m mamíferos, peixes, aves e t c .
Mamífero não existe c o m o u m a espécie. E x i s t e m c a r n e i r o s , l o b o s , m o r -
cegos, h o m e n s . Dois não existe c o n c r e t a m e n t e . E x i s t e m conjuntos d e
d o i s e l e m e n t o s . "Mamífero" e " d o i s " são conceitos ideais, criação
h u m a n a .
O s números ( i d e i a s ) , j u n t a m e n t e c o m o s n u m e r a i s c o r r e s p o n d e n -
tes ( p a l a v r a s , riscos, pedras, símbolos), f o r a m a p a r e c e n d o u m após
o u t r o . D e v i d o às necessidades sociais, o zero já t i n h a n o m e — nada
— m u i t o antes d e a p a r e c e r e m símbolos matemáticos q u e o represen-
tassem. O z e r o a p a r e c e c o m a i d e i a d e sucesso e insucesso: cacei o u
não cacei, p e s q u e i o u não pesquei.
O s e g u n d o número a s e r i n v e n t a d o f o i o w m , q u e s u r g i u d a neces-
sidade d e d i s t i n g u i r o s i n g u l a r d o p l u r a l : n a d a , u m , vários. D e p o i s
começa a necessidade d e i d e n t i f i c a r : leão — l e o a , b o i — v a c a , cão —
cadela etc.
18

21. A ideia de "casal" supõe uma quantidade, uma qualidade e uma relação.
A p a l a v r a casal v e m d e u m a abstração útil q u e e n v o l v e várias
ideias: u m a q u a l i d a d e ( a n i m a i s ) , u m a q u a n t i d a d e (dois) e u m a relação
( m a c h o e fêmea p r o c r i a n d o ) . O t e r m o casal não se a p l i c a a d u a s pedras,
n e m a três a n i m a i s . D o m e s m o m o d o , a p a l a v r a par v e m d e u m a
abstração q u e e n v o l v e u m a q u a l i d a d e (objetos), u m a q u a n t i d a d e (dois)
e u m a relação ( i g u a l d a d e o u s i m e t r i a ) .
C a s a l não é número; dois é. O dois " p u r o " é t o t a l m e n t e a b s t r a t o
e surge d e casal, p a r , d u p l a etc. O dois r e l a c i o n a t o d o s o s c o n j u n t o s
c o m dois e l e m e n t o s . É a expressão d e r e l a c i o n a m e n t o e n t r e c o n j u n t o s
de dois e l e m e n t o s . O m e s m o o c o r r e c o m o s o u t r o s números: três,
q u a t r o , c i n c o etc. A Matemática começou a s u r g i r c o m essas abstrações.
P a r a abstrair u m número, é necessário classificar o s c o n j u n t o s c o m
aquele número d e e l e m e n t o s . I s t o se f a z c o m u m a correspondência
u m a u m e n t r e o s c o n j u n t o s . A s s i m , a noção d e número surge d a
classificação d e c o n j u n t o s e q u i p o t e n t e s p e l a correspondência u m a u m .
19

22. A i n d a h o j e e x i s t e m t r i b o s ( n a Austrália e n a N o v a Guiné) q u e só
s a b e m c o n t a r até três. M a i s q u e isso são vários. É c l a r o que, se vêem
d o i s g r u p o s d e a n i m a i s , u m c o m q u a t r o e o u t r o c o m c i n c o e l e m e n t o s ,
s a b e m q u a l é o g r u p o m e n o r . M a s a i n d a não s u r g i u a necessidade d e
classificar o s c o n j u n t o s d e m a i s d e três e l e m e n t o s e d a r u m n o m e a o s
números q u e o s r e p r e s e n t e m . N o e n t a n t o , várias t r i b o s d e índios b r a s i -
l e i r o s , antes d a c h e g a d a d o b r a n c o , e s t a v a m e m fase m a i s a d i a n t a d a ,
e m p l e n o Neolítico.
P a r a r e p r e s e n t a r o s números, f o r a m e são usados vários processos.
U m a inscrição pré-histórica p a r e c i d a c o m a f i g u r a a b a i x o p o d e s i g n i -
f i c a r c i n c o peixes. Isso é o começo d a escrita.
E l a p o d e i n d i c a r q u e dois h o m e n s f i c a r a m três dias e três n o i t e s a o
pé d e u m a m o n t a n h a . N o t a r q u e o desenho d o h o m e m s i g n i f i c a h o m e m
m e s m o , já o s o l s i g n i f i c a d i a . O p r i m e i r o é pictografia e o s e g u n d o ,
ideografia. P a r a representar três dias, não f o i d e s e n h a d o 3 O , m a s s i m
O O O . Nesse s e n t i d o a f i g u r a d o s c i n c o peixes é m a i s m o d e r n a , é
m a i s abstrata.
E a s s i m f o r a m sendo criados o s números e o s n u m e r a i s .
O c o n j u n t o d o s números reais f o i sendo construído g r a d a t i v a -
m e n t e . P r i m e i r o s u r g e m o s números naturais c o n h e c i d o s , c o m o u t r a n o -
tação, desde a Pré-história.
I N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , . . . }
2 0

23. C o m números n a t u r a i s p o d e m o s efetuar adições e multiplicações
s e m m a i o r e s cuidados, porém n a subtração e divisão d e v e m o s e x a m i -
n a r se e x i s t e m o s resultados. P o r e x e m p l o : 5 — 7 não está e m [ N , 3 : 5
não está e m |]]. O s nossos índios não c o n h e c e m 5 — 7 , a não ser
a l g u n s a c u l t u r a d o s .
C o m a invenção d o s números n e g a t i v o s , f i c o u possível " t i r a r o
m a i o r d o m e n o r " , e 5 - 7 = — 2 . O n o v o c o n j u n t o chama-se Conjunto
dos Números Inteiros.
Z = { . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , . . . }
N e l e p o d e m o s e f e t u a r subtrações s e m m a i o r e s cuidados. N o e n -
t a n t o , 3 : 5 não está e m Z . C o m a invenção d a s frações — q u e o c o r -
r e u antes d a invenção d o s números n e g a t i v o s , p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s
de m e d i d a s — f i c o u possível t o d a divisão, e x c e t o divisão p o r z e r o .
P r i m e i r o m a n d a m e n t o d a Matemática: "Não dividirás p o r z e r o " .
O c o n j u n t o d o s números fracionários m a i s o s i n t e i r o s , c h a m a d o
Conjunto dos Números Racionais, é:
T o d o número r a c i o n a l p o d e s e r escrito e m f o r m a d e número deci-
m a l . P o r e x e m p l o :
2 2
- — 2 2
2 0 4 , 4 i o g o > - 4 > 4 = 4 , 4 0 0 0 0 .
0 5
4
L i - 4
1 0 1 , 3 3 j o g o , = 1 , 3 3 3 3 3 .
1 0 3
1
2 1 [ 7 2 1
0 3 l o g o , == ,3 =? 3 , 0 0 0 0 0 .
21

24. 2 2
A l g u n s números r a c i o n a i s são d e c i m a i s f i n i t o s c o m o , o u t r o s
5
são d e c i m a i s i n f i n i t o s , porém periódicos, c o m o 1 , 3 3 3 3 . . . S e c o l o c a r -
m o s zeros n o s f i n i t o s , t o d o número r a c i o n a l é dízima periódica:
4 , 4 0 0 0 . . ., 3 , 0 0 0 0 . . . e t c .
Porém há números q u e não são dízimas periódicas. C h a m a r e m o s
dízimas não periódicas. V e j a estes:
a) 0 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 . . .
b ) V 2 " = 1 , 4 1 4 2 1 3 5 6 2 . . .
c) TI = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 . . .
São números q u e não p o s s u e m geratrizes. Não p o d e m s e r c o l o c a -
p
dos n a f o r m a , razão e n t r e números i n t e i r o s . O c o n j u n t o I I d a s
q
dízimas não periódicas c h a m a - s e Conjunto dos Números Irracionais,
o u seja, números q u e não são razões.
C h a m a m o s Conjunto dos Números Reais a o c o n j u n t o d e t o d o s
esses números — r a c i o n a i s m a i s o s i r r a c i o n a i s — q u e f i c a m e m cor-
respondência c o m o s p o n t o s d e u m a r e t a .
IR = Q u n
— 3 — 2 — 1 0 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 ! -
Esses n o m e s não são m u i t o b o n s . P o r e x e m p l o , n e n h u m número
é r e a l , c o n c r e t o . T o d o número é i d e a l , abstrato, i n v e n t a d o p e l o h o m e m .
M a s , h i s t o r i c a m e n t e , f i c a r a m o s n o m e s : N a t u r a l , I n t e i r o , R a c i o n a l ,
R e a l e t c .
E m | R f i c a m possíveis operações c o m o ^ 5 F , q u e não está e m ( Q .
C o n t u d o , não se p o d e c a l c u l a r a i n d a V — 4 , q u e não está e m | R .
Números desse t i p o p e r t e n c e m a o Conjunto dos Números Complexos,
q u e é e s t u d a d o n o s e g u n d o g r a u .
2 2

25. D e v e m o s a i n d a classificar o s números i r r a c i o n a i s e m d u a s catego-
rias: as raízes c o m o y/2, y/T, . . ., c h a m a d o s números i r r a c i o n a i s algébri-
cos, q u e já f o r a m e s t u d a d o s n a Grécia clássica, e o s c h a m a d o s núme-
ros transcendentais (que não são raízes), c o m o TZ e o u t r o s . O b s e r v a r q u e
y/Ã é número n a t u r a l e q u e 0 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 . . . não é dízima periódica.
23

26. Etapas de aprendizagem
INTRODUÇÃO
Q u a n d o u m h o r t i c u l t o r f a z u m a plantação d e alface, t a l v e z saiba,
m a i s o u m e n o s , q u e essa p l a n t a p o s s u i d u a s histórias: a história d a
espécie ( q u e e v o l u i u desde o a p a r e c i m e n t o d a v i d a ) e a história d e
c a d a pé (desde a s e m e n t e até a fase a d u l t a ) q u e , a p r o x i m a d a m e n t e ,
repete a história d a espécie.
A alface, c o m o q u a l q u e r o u t r o s e r v i v o , p o s s u i u m código gené-
t i c o próprio, constituído d u r a n t e o s milhões d e anos d a história d a
s u a espécie, q u e d i r i g e a história d e c a d a indivíduo. É i m p o r t a n t e
ressaltar q u e a história d a espécie d i r i g e a história i n d i v i d u a l , m a s não
a d e t e r m i n a .
D o i s e r r o s e x t r e m o s o h o r t i c u l t o r não p o d e c o m e t e r : a passividade
de não i n t e r v i r n o d e s e n v o l v i m e n t o d a alface, já q u e e l a está genetica-
m e n t e p r o g r a m a d a , e a utopia d e i n t e r v i r a r b i t r a r i a m e n t e , p a r a i m p o r
s u a v o n t a d e . É preciso t r a b a l h a r u s a n d o o c o n h e c i m e n t o d a s próprias
leis d a n a t u r e z a , p r o m o v e n d o o d e s e n v o l v i m e n t o e até i n f l u i n d o n a s
d u a s histórias, d e n t r o d e certos l i m i t e s : capinar, a d u b a r , defender, p r o -
v o c a r mutações e t c .
É preciso c o n h e c e r as etapas d o d e s e n v o l v i m e n t o d a alface p a r a
d a r à p l a n t a o t r a t a m e n t o a d e q u a d o : saber q u a l o m o m e n t o d o p l a n t i o ,
d o t r a n s p l a n t e , d a c o l h e i t a etc. P o r t a n t o , não só a história d a espécie,
m a s também o a m b i e n t e v a i d e t e r m i n a r a história i n d i v i d u a l . O h o m e m
t r a b a l h a o a m b i e n t e . L o g o , q u a n t o m a i s c o n h e c i m e n t o e l e t e m , m a i s
a t u a n t e p o d e ser.
D e a c o r d o c o m M u l l e r ( 1 8 2 1 - 1 8 9 7 ) , célebre médico n a t u r a l i s t a ,
c a d a indivíduo p o s s u i u m a história q u e t r a n s c o r r e a c o m p a n h a n d o a p r o -
24

27. x i m a d a m e n t e a história d a espécie à q u a l pertence. E l e f o r m u l o u u m a
lei segundo a q u a l " o d e s e n v o l v i m e n t o d o indivíduo é u m a recapitulação
a b r e v i a d a d a história d e s u a espécie". E s s a l e i é m u i t o útil, desde q u e
não seja a p l i c a d a r i g i d a m e n t e . A espécie h u m a n a , p o r e x e m p l o , f o i
e v o l u i n d o até chegar a o q u e é h o j e , passando p o r p r o f u n d a s t r a n s f o r -
mações. E c a d a indivíduo e m p a r t i c u l a r também sofre u m a série d e
m e t a m o r f o s e s , q u e começam n o útero m a t e r n o e c o n t i n u a m depois d o
n a s c i m e n t o .
A s s i m , o f a t o d e t e r a p r e n d i d o a a n d a r e r e t a m e n t e n a Pré-história
não i m p l i c a q u e o h o m e m já nasça sabendo andar. C a d a criança deve,
s o z i n h a , passar pelas etapas d a espécie h u m a n a , a p r e n d e n d o a a n d a r
e m pé, a falar, a c o n t a r , a a d q u i r i r noção d e conservação e a s s i m
p o r d i a n t e . E c a d a criança f a z isso n u m r i t m o próprio.
A B i o l o g i a estuda a evolução d a espécie h u m a n a ; a Psicogenética
estuda a evolução i n d i v i d u a l .
PIAGET
J e a n P i a g e t ( 1 8 9 6 - 1 9 8 0 ) , psicólogo suíço m u n d i a l m e n t e f a m o s o
p o r seus estudos n a área d a Psicogenética, r e a l i z o u experiências q u e
e v i d e n c i a r a m q u a t r o estágios n o d e s e n v o l v i m e n t o lógico:
Estágio sensório-motor — V a i desde o n a s c i m e n t o até cerca d e
2 4 meses. Nesse período, a criança passa d e a t i v i d a d e s p u r a m e n t e refle-
xas à formação d o s p r i m e i r o s hábitos, depois à coordenação e n t r e
visão e preensão ( o l h o s e mãos), à p r o c u r a d e o b j e t o s escondidos, à
prática d e atos i n t e n c i o n a i s , à complexificação e diferenciação d e
e s q u e m a s d e ações e à resolução d e p r o b l e m a s p o r compreensão.
Estágio pré-operatório — V a i d o s 2 anos, a p r o x i m a d a m e n t e , até
cerca d e 7 anos. E s s a fase t e m início c o m o a p a r e c i m e n t o d a l i n g u a g e m ,
q u e é u m a função simbólica. Começa a c u r i o s i d a d e ( p o r quê? c o m o ?
q u e é isto?), aparece o p e n s a m e n t o i n t u i t i v o .
Estágio das operações concretas — V a i d o s 7 a o s 1 2 anos, a p r o -
x i m a d a m e n t e , e é o q u e m a i s interessa neste l i v r o . N e s t a e t a p a d o
d e s e n v o l v i m e n t o , a criança a i n d a está t o t a l m e n t e l i g a d a a objetos reais,
concretos, m a s já é c a p a z d e passar d a ação à operação, q u e é u m a
25

28. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS COGNITIVAS
Estágio Características Idade Noções matemáticas
1.SENSÓRIO-MOTOR
1. Atividades reflexas
2. Primeiros hábitos
3. Coordenação entre visão
e preensão
4. Permanência do objeto,
intencionalidade dos atos
5. Diferenciação dos esque-
mas de ação
6. Solução de problemas
meses
Maior/menor
Noção de espaço, formas
1.SENSÓRIO-MOTOR
1. Atividades reflexas
2. Primeiros hábitos
3. Coordenação entre visão
e preensão
4. Permanência do objeto,
intencionalidade dos atos
5. Diferenciação dos esque-
mas de ação
6. Solução de problemas
0 — 1
1 — 4
4 — 8
8 — 1 1
11 — 18
18 — 24
Maior/menor
Noção de espaço, formas
2.PRÉ-OPERATÓRIO
1. Função simbólica
(linguagem)
2. Organizações representa-
tivas, pensamento intui-
tivo
3. Regulação representativa
articulada
anos
Desenhos
Contagem, figuras geométricas
Correspondência termo a termo,
conservação do número, classi-
ficação simples
2.PRÉ-OPERATÓRIO
1. Função simbólica
(linguagem)
2. Organizações representa-
tivas, pensamento intui-
tivo
3. Regulação representativa
articulada
2 — 4
4 — 5
5 — 7
Desenhos
Contagem, figuras geométricas
Correspondência termo a termo,
conservação do número, classi-
ficação simples
3.OPERAÇÕES
CONCRETAS
1. Operações simples, re-
gras, pensamento estru-
turado fundamentado na
manipulação de objetos
2. Multiplicação lógica
7 — 9
Reversibilidade, classificação,
seriação, transitividade, conser-
vação de tamanho, distância,
área, conservação de quantida-
de descontínua, conservação da
massa (7 anos)
Classe-inclusão, cálculo, conser-
vação do peso, conservação do
volume, frações (9 anos)
4.OPERAÇÕES
FORMAIS
1. Lógica hipotético-deduti-
va, raciocínio abstrato
2. Estruturas formais
12 — 13
13 — 15
Proporção, combinações
(12 anos)
Demonstração, álgebra
(13 anos)
N o t a : As idades constantes do quadro são apenas um referencial. Elas variam muito
de criança para criança. Além disso, ela pode estar num estágio em relação
a um comportamento e em outro em relação a outro comportamento.
26

29. ação i n t e r i o r i z a d a . É também nesse estágio q u e começa a c a p a c i d a d e
de classificar e d e fazer transformações reversíveis, isto é, q u e p o d e m
ser i n v e r t i d a s , v o l t a n d o à o r i g e m , q u e p o d e m ser desmontadas. C o m e -
çam a se estabelecer a l g u m a s noções d e conservação.
Estágio das operações formais — V a i d o s 1 1 o u 1 2 anos até
m a i s o u m e n o s o s 1 5 . É a fase e m q u e aparece o raciocínio lógico: a
criança já é capaz d e p e n s a r u s a n d o abstrações.
C a d a estágio serve d e base p a r a o estágio seguinte; porém o d e -
s e n v o l v i m e n t o não é l i n e a r n e m apenas q u a n t i t a t i v o . Há r u p t u r a s n o
m o d o d e pensar, há mudanças d e q u a l i d a d e p r o v o c a d a s p e l o desen-
v o l v i m e n t o q u a n t i t a t i v o d e atividades. P o r isso, as m e n s a g e n s são i n t e r -
p r e t a d a s d e m o d o s diferentes e m c a d a e t a p a d e d e s e n v o l v i m e n t o d a
criança. Isso é f u n d a m e n t a l e m educação. É i m p r o d u t i v o , e até p r e j u -
d i c i a l , t e n t a r certas atividades c o m a l u n o s q u e a i n d a não estão n o
estágio d e assimilá-las. A s s i m , u m a l u n o p o d e não apresentar b o m
r e s u l t a d o n u m d e t e r m i n a d o assunto e d e n a d a adiantará fazer recupe-
ração. É necessária u m a correspondência e n t r e o d e s e n v o l v i m e n t o psico-
genético e as atividades propostas n a escola, l e m b r a n d o sempre q u e o
p e n s a m e n t o cresce a p a r t i r d e ações, o u seja, v a i d o c o n c r e t o p a r a o
abstrato, d a manipulação p a r a a representação, e desta p a r a a s i m -
bolização.
Como avaliar o desenvolvimento psicogenético
A l g u m a s experiências d e avaliação d o d e s e n v o l v i m e n t o psicogené-
t i c o são p a r t i c u l a r m e n t e i m p o r t a n t e s n a Matemática. V e j a m o s as
p r i n c i p a i s .
Classificação
C o r t a r e m c a r t o l i n a q u a d r a d o s e círculos d e dois t a m a n h o s , a m a -
relos e v e r m e l h o s .
P r i m e i r o , d e i x a r q u e a criança b r i n q u e l i v r e m e n t e c o m as peças.
D e p o i s , p e d i r q u e as descreva: isto é u m q u a d r a d o p e q u e n o , v e r m e l h o
etc. P e d i r q u e as classifique p o r cor, o u f o r m a , o u t a m a n h o . ( C l a s s i f i c a r
p o r c o r é separar as peças e m a m a r e l a s e v e r m e l h a s ; p o r f o r m a é s e p a r a r
q u a d r a d o s d e círculos.)
27

30. Crianças m u i t o n o v a s não f a z e m classificação. E s s a operação é
a t i n g i d a c o m 5 o u 6 anos. C o m m a i s idade, a criança p o d e c h e g a r a
u m a classificação m a i s c o m p l e x a .
E s s a experiência também p o d e ser feita c o m b l o c o s lógicos ( v e r
capítulo 3 , página 7 0 ) , c o m c a r r i n h o s d e várias m a r c a s , cores, t a m a n h o s
etc.
Conservação do número
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o oooooooo
C o l o c a r n a m e s a o i t o t a m p i n h a s d e g a r r a f a e p e d i r à criança q u e
também c o l o q u e a m e s m a q u a n t i d a d e . T e m o s então u m a situação c o m o
a m o s t r a d a n o p r i m e i r o q u a d r i n h o . D i z e r :
— E s t a s t a m p i n h a s são m i n h a s , as o u t r a s são suas; q u e m t e m
m a i s ?
A resposta será:
— I g u a l .
E m seguida, j u n t a r as dela e espaçar as suas, c o m o n o segundo
q u a d r i n h o , e p e r g u n t a r :
— Q u e m t e m m a i s , e u o u você?
28

31. Crianças d e 4 a 5 anos responderão q u e você t e m m a i s . D e 5 a
6 anos, ficarão n a dúvida. A s d e 6 anos já darão a resposta c o r r e t a ,
percebendo q u e o espaçamento não a l t e r a o número.
Seriação
Q u e b r a r d e z p a l i t o s d e sorvete e m t a m a n h o s diferentes, v a r i a n d o
de centímetro e m centímetro.
1
P e d i r à criança q u e o s c o l o q u e e m o r d e m . Até cerca d e 6 anos,
a criança não o fará. A p e n a s separará o s p a l i t o s e m grandes e peque-
nos, o u o s juntará e m p e q u e n o s c o n j u n t o s . Após o s 6 o u 7 anos, já
será capaz d e fazer as comparações c o r r e t a m e n t e e c o l o c a r o s p a l i t o s
e m o r d e m .
Conservação da quantidade descontínua
P a r a essa experiência são necessários dois copos d e f o r m a t o s b e m
diferentes u m d o o u t r o e u m a c a i x a c o m grãos o u cápsulas.
I r p a s s a n d o l e n t a m e n t e o s grãos d a c a i x a p a r a o s dois copos,
grão a grão, c o m a m b a s as mãos, a o m e s m o t e m p o . D e p o i s d e já t e r
p a s s a d o certa q u a n t i d a d e , p e r g u n t a r à criança e m q u e c o p o há m a i s
grãos.
29

32. R e s p o s t a s q u e c o s t u m a m ser dadas p o r crianças d e até 6 anos:
— E s t e c o p o é m a i s a l t o , t e m m a i s .
— N e s t e t e m m a i s p o r q u e é m a i s l a r g o .
D e p o i s d o s 6 anos as respostas são corretas:
— Têm a m e s m a q u a n t i d a d e .
Conservação do tamanho
M a t e r i a l necessário: d u a s tiras d e c a r t o l i n a iguais, c o m c e r c a d e
1 2 c m d e c o m p r i m e n t o , e q u a t r o "vês" iguais.
M o n t a r o e s q u e m a d a f i g u r a e p e r g u n t a r q u a l t i r a é m a i o r . V i r a r
os "vês" e r e p e t i r a p e r g u n t a .
A n t e s d o s 6 anos, a criança dirá q u e a t i r a c o m o s "vês" v i r a d o s
p a r a d e n t r o é m e n o r . Q u a n d o v i r a m o s o s "vês", o c o m p r i m e n t o m u d a .
Após o s 6 o u 7 anos, dará a resposta c o r r e t a . Terá a t i n g i d o a
noção d e permanência d o c o m p r i m e n t o .
3 0

33. Conservação da área
M o s t r a r à criança d u a s bolachas r e d o n d a s o u q u a d r a d a s , iguais.
D i z e r à criança q u e u m a b o l a c h a é s u a e o u t r a é dela. D e p o i s , q u e b r a r
a sua. P e r g u n t a r q u e m g a n h o u m a i s b o l a c h a . P o d e acontecer u m a res-
posta assim:
— A s u a q u e b r o u , f i c o u m e n o s .
D e p o i s d o s 6 o u 7 anos, a criança dará a resposta q u e o a d u l t o
espera. A experiência p o d e ser f e i t a c o m " b o l a c h a s " d e c a r t o l i n a o u
o u t r o m a t e r i a l .
Classe-inclusão
São necessárias d e z o i t o peças d e c a r t o l i n a , s e n d o seis q u a d r a d o s
v e r m e l h o s e q u a t r o a m a r e l o s e o i t o círculos v e r m e l h o s .
R e p a r e q u e t o d a peça a m a r e l a é q u a d r a d a , m a s n e m t o d o q u a -
d r a d o é a m a r e l o . Começar as p e r g u n t a s :
— T o d o s o s q u a d r a d o s são v e r m e l h o s ?
— T o d a peça a m a r e l a é q u a d r a d a ?
— T o d o s o s círculos são v e r m e l h o s ?
— Há m a i s q u a d r a d o s o u m a i s círculos?
— Há m a i s peças o u m a i s q u a d r a d o s ?
3 1

34. A última p e r g u n t a exige a comparação d e u m c o n j u n t o d e peças
c o m u m s e u s u b c o n j u n t o d e q u a d r a d o s . A i d a d e p a r a r e s p o n d e r c o r r e -
t a m e n t e a essa p e r g u n t a é m u i t o variável, f i c a n d o e n t r e 5 e 1 0 anos.
P a r a c o m p r e e n d e r o c o n c e i t o d e número, é f u n d a m e n t a l a percepção
d a inclusão d e classes.
Conservação de quantidades contínuas (massa)
P a r a f a z e r essa experiência c o m a criança, precisa-se d e d o i s c o p o s
e x a t a m e n t e iguais e u m t e r c e i r o , m a i s l a r g o , m a s c o m a m e s m a c a p a -
cidade d o s o u t r o s .
E n c h e r c o m água o s copos iguais e p e r g u n t a r à criança e m q u a l
dos d o i s há m a i s água. E l a dirá q u e a q u a n t i d a d e é i g u a l . D e s p e j a r o
conteúdo d e u m deles n o c o p o m a i s l a r g o e v o l t a r c o m a p e r g u n t a .
Até 6 o u 7 anos, as respostas m a i s c o m u n s são:
— A q u i t e m m a i s .
— P o r quê?
— P o r q u e é m a i s a l t o .
O u :
— E s s e t e m m a i s água.
— P o r quê?
— P o r q u e é m a i s g o r d o .
D e p o i s d o s 6 o u 7 anos, as respostas são corretas:
— São iguais.
— P o r quê?
— E s t e é m a i s b a i x o , m a s é m a i s l a r g o .
32

35. C a b e l e m b r a r a q u i q u e o s cientistas e n t r a m n u m a o u t r a etapa,
n a q u a l a m a s s a não é m a i s conservada, m a s m u d a c o m a v e l o c i d a d e ,
é r e l a t i v a . Isso, porém, não é d a intuição c o m u m .
Conservação do peso
C o m a r g i l a o u m a s s a plástica fazer d u a s bolas i g u a i z i n h a s e per-
g u n t a r à criança q u a l é a m a i s pesada. E l a responderá q u e são iguais.
P e g a r então u m a d a s bolas e pressioná-la até f i c a r esticada c o m o u m a
salsicha.
/L5 £ j
V o l t a r a p e r g u n t a r :
— E agora, q u a l a m a i s pesada?
A s respostas d e crianças até 8 o u 9 anos serão:
— E s t a é m a i s c o m p r i d a , é m a i s pesada.
— E s t a é m a i s l e v e p o r q u e é f i n a .
A p a r t i r dessa idade, começam a d a r respostas corretas.
Conservação de volume
M a t e r i a l necessário: dois c o p o s iguais, c o m água até a m e s m a
a l t u r a , e d u a s bolas d e m a s s a plástica, também iguais.
33

36. C o l o c a r c a d a b o l a n u m c o p o e d e i x a r q u e a criança p e r c e b a q u e
os níveis s u b i r a m i g u a l m e n t e . R e t i r a r as b o l a s e t r a n s f o r m a r u m a delas
e m "salsicha". Daí p e r g u n t a r :
— S e e u c o l o c a r estas massas d e n t r o d a água, e m q u e c o p o o
nível d a água subirá m a i s : o d a b o l a o u o d a "salsicha"?
A n t e s d o s 1 0 o u 1 1 anos, a criança não terá condições d e per-
ceber q u e o v o l u m e não se a l t e r a c o m a deformação.
* * *
Há m u i t a s o u t r a s experiências n a e x t e n s a e f e c u n d a o b r a d e P i a g e t .
Porém, p a r a nossos propósitos, estas b a s t a m .
A escola deve p l a n e j a r suas a t i v i d a d e s d e m o d o q u e o a l u n o possa
p a r t i r d e e l e m e n t o s c o g n i t i v o s q u e se e n c o n t r a m e m s e u repertório,
p a r a então c o n s t r u i r o n o v o . O professor precisa c o n h e c e r seus a l u n o s
p a r a f a v o r e c e r essa evolução c o m atividades o p o r t u n a s . É inútil forçar
u m a a t i v i d a d e impossível p a r a a e t a p a e m q u e a criança se e n c o n t r a ,
m a s também não se p o d e f i c a r e s p e r a n d o q u e o a l u n o e v o l u a s o z i n h o ,
c o m o se o c o n h e c i m e n t o estivesse n o s códigos genéticos. É necessária
u m a interação e n t r e as p o t e n c i a l i d a d e s d e c a d a etapa e o a m b i e n t e —
n o q u a l se i n c l u i a escola — q u e precisa ser r i c o e m o t i v a d o r .
MATEMÁTICA CONCRETA
A s relações recíprocas e n t r e o d e s e n v o l v i m e n t o d o indivíduo ( o n t o -
gênese) e o d e s u a espécie (filogênese) l e v a m à integração e n t r e as
t e o r i a s d e P i a g e t e a A n t r o p o l o g i a .
E s t u d o s teóricos p e r m i t e m c h e g a r a a l g u m a s constatações. P o r
e x e m p l o , a noção d e permanência d a m a s s a parece fazer p a r t e d a r e v o -
lução d o Neolítico, i s t o é, d o f i m d a Pré-história. C o m o v i m o s n o
capítulo a n t e r i o r , c o m o início d a a g r i c u l t u r a surge a necessidade d e
v a s i l h a s p e r m a n e n t e s p a r a a r m a z e n a m e n t o d o s grãos. E l a s já e x i s t i a m
a o n a t u r a l (cuias, cabaças e t c ) , m a s não r e s i s t i a m a o f o g o , além d e
s e r e m p e q u e n a s e d e u s o p o u c o sistemático. T e v e início a fabricação
de cestos trançados e, e m seguida, s e u r e c o b r i m e n t o c o m b a r r o p a r a
resistir a o f o g o . S u r g e a cerâmica. D u a s são as direções q u e forçam a
3 4

37. adaptação c e r e b r a l : o próprio t r a b a l h o c o m a " m a s s a " d a a r g i l a ( g r a n -
deza contínua) e a manipulação d o s conteúdos d a s v a s i l h a s p r o n t a s
(grãos: grandezas descontínuas; líquidos: grandezas contínuas). O s grãos
são a concretização d a permanência, p o i s a variação d e suas disposições,
de v a s i l h a p a r a v a s i l h a , não a l t e r a s u a q u a n t i d a d e . Isso exige o apare-
c i m e n t o d a c o n t a g e m e d a permanência d o número. A s noções d e
permanência p e r m i t e m a t r o c a , o comércio.
R e s u l t a d o s d e pesquisas n o s l e v a m a r e l a c i o n a r , não r i g i d a m e n t e ,
é c l a r o , o d e s e n v o l v i m e n t o psicogenético d e u m a criança c o m a e v o l u -
ção antropológica. A s s i m :
.sensório-motor pré-hominídeo
Estágio
pré-operatório
'(características 1 e 2
do quadro da página 26)
/ pré-operatório —
(característica 3)
^operações concretas .
(característica 1)
^operações concretas .
(característica 2)
^operações formais
Paleolítico inferior
Paleolítico superior } Pré-história
)
. Neolítico
Egito antigo
Grécia e Roma antigas
DIENES
A s h a b i l i d a d e s q u e u m indivíduo p o s s u i não a p a r e c e m d e r e p e n t e .
E l a s também r e s u l t a m d e u m processo q u e o c o r r e p o r etapas. É u m a
evolução q u e se dá d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . M u i t a s vezes, a expe-
riência c o n c r e t a se r e a l i z a n a escola, c o m m a t e r i a i s a p r o p r i a d o s . O u t r a s
vezes, é a própria vivência q u e o a l u n o t r a z , a p r e n d i d a n o dia-a-dia.
A experiência c o n c r e t a se i n i c i a c o m a manipulação c u r i o s a , c o m o
c o n t a t o físico, c o m o s sentidos.
35

38. À m e d i d a q u e as experiências vão se a c u m u l a n d o , começam a
s u r g i r semelhanças e classificações, q u e l e v a m à formação dos c o n c e i t o s .
S u r g e depois a c a p a c i d a d e d e descrever, c o m p a r a r , r e p r e s e n t a r g r a f i c a -
m e n t e e, p o r f i m , d e e q u a c i o n a r e d e m o n s t r a r .
A escola d e v e f a v o r e c e r e p r o m o v e r esse a m a d u r e c i m e n t o n o r m a l ,
a o invés d e f u n c i o n a r c o m o e m p e c i l h o , t o r n a n d o as a t i v i d a d e s forçadas
e s e m a t r a t i v o s . A s etapas d e v e m t r a n s c o r r e r n o r m a l m e n t e e t r a z e r
satisfação à criança.
S e g u n d o o e d u c a d o r Z o l t a n P a u l D i e n e s , essas etapas, n a M a t e -
mática, são as seguintes:
Jogo livre — É a etapa d a c u r i o s i d a d e , d o c o n t a t o c o m o m a t e r i a l ,
q u e p o d e o c o r r e r n a escola. P o r e x e m p l o : b r i n c a r l i v r e m e n t e c o m b l o -
cos lógicos ( v e r capítulo 3 , página 7 0 ) , s e m regras.
Regras do jogo — A s próprias crianças começam a se i m p o r
regras: f a z e r m o n t a g e n s , classificar, o r d e n a r (de a c o r d o c o m s u a i d a d e ) .
É o m o m e n t o d e o p r o f e s s o r fazer sugestões e d i r i g i r as a t i v i d a d e s p a r a
certos fins ( p o r e x e m p l o , separar b l o c o s lógicos p o r cores, f o r m a s ,
t a m a n h o s e t c ) .
Jogo do isomorfismo — A s crianças começam a perceber s e m e -
lhanças e n t r e o s diversos j o g o s p r a t i c a d o s e isso gera u m a classificação,
através d a abstração d a e s t r u t u r a c o m u m . E s s a abstração é u m a m u -
dança d e q u a l i d a d e p r o v o c a d a p e l o a u m e n t o q u a n t i t a t i v o d e e s t r u t u r a s
s e m e l h a n t e s .
Representação — P a r a t o m a r consciência d e u m a abstração, a
criança t e m necessidade d e u m processo d e representação d a situação
abstraída. T a l representação poderá s e r u m desenho, u m gráfico, u m
d i a g r a m a o u q u a l q u e r o u t r a representação v i s u a l o u a u d i t i v a .
Linguagem inventada — A criança t o m a p l e n a consciência d a
abstração. É c a p a z d e descrever, r e p r e s e n t a r e v e r b a l i z a r a e s t r u t u r a
abstraída. I n v e n t a l i n g u a g e n s e, c o m a a j u d a d o professor, seleciona
a m a i s v a n t a j o s a .
Teoremas — N e s t a última etapa, a criança já é c a p a z d e m a n i -
p u l a r sistemas f o r m a i s .
36

39. N a P e d a g o g i a t r a d i c i o n a l , a direção d a a p r e n d i z a g e m é i n v e r s a
a essa sequência. A criança passa d o sistema f o r m a l p a r a a e t a p a d a
representação, p o r m e i o d o s i m b o l i s m o , e torna-se necessário ensinar-
-lhe as aplicações d o s conceitos n a r e a l i d a d e .
D e p e n d e n d o d a idade, o a l u n o percorrerá as etapas descritas d a
seguinte m a n e i r a : n a l . a
e n a 2 . a
séries, poderá a t i n g i r até a fase d a
representação; n a 3 . a
e n a 4 . a
, poderá c h e g a r à l i n g u a g e m i n v e n t a d a ;
s o m e n t e e n t r e 1 4 e 1 5 anos, poderá a t i n g i r a última etapa, c o n s t r u i n d o
u m a e s t r u t u r a f o r m a l .
E s t a b e l e c e n d o u m a relação e n t r e as etapas descritas p o r D i e n e s e
a A n t r o p o l o g i a , c o m o f i z e m o s c o m a t e o r i a d e P i a g e t , t e m o s o seguinte
e s q u e m a :
Etapas
jogo livre
regras do jogo
jogo do isomorfismo
^representação
linguagem inventada
Heoremas
. Pré-hominídeo selvagem
Paleolítico inferior (utilização de paus, pedras,
couro, ossos, segundo certas regras, cada
instrumento com sua utilidade)
Paleolítico superior (classificação gerando no-
ção de par, números etc.)
Neolítico (calendário, desenhos geométricos,
cerâmica)
Egito antigo (receitas e fórmulas práticas)
Grécia e Roma antigas (teorias formalizadas)
A IMPORTÂNCIA DA VIVÊNCIA
A s s i m c o m o o s p o v o s não evoluíram c o m a m e s m a v e l o c i d a d e ,
também as crianças não a m a d u r e c e m d o m e s m o m o d o , e o s c o n c e i t o s
não são i n t e r i o r i z a d o s s i m u l t a n e a m e n t e . D e p e n d e m d e diversos fatores.
A experiência d e v i d a , n a i d a d e a p r o p r i a d a , é u m f a t o r decisivo; e m
casa, n o c l u b e , n a escola, n a r u a , e m t o d o l u g a r . E há s e m p r e u m a
i d a d e m a i s f e c u n d a p a r a c a d a experiência.
37

40. N a i d a d e c e r t a , é p r e c i s o r e g a r p l a n t a s c o m u m a m a n g u e i r a p a r a
t e r o v i s u a l d a parábola d e água e a sensação d a reação d a m a n g u e i r a
a o j a t o ; d a transformação d o e s g u i c h o contínuo e m gotas; d o arco-íris
n a b r u m a q u e o r l a o j a t o ; d a s variações d o c h u v e i r o p r o v o c a d a s p e l o
d e d o n a saída d a água e t c .
N a i d a d e certa, é p r e c i s o s e r r a r m a d e i r a s p a r a s e n t i r a t e x t u r a ,
as f i b r a s q u e não p o d e m s e r c o r t a d a s c o m faca, as variações d e d u r e z a
e resistência. É p r e c i s o c a v a r b u r a c o s n o s o l o , s e n t i r a t e r r a , o s grâ-
n u l o s , a variação d e u m i d a d e c o m a p r o f u n d i d a d e , o b s e r v a r raízes,
m i n h o c a s , f o r m i g a s .
N a i d a d e certa, é preciso c o z i n h a r , l i d a r c o m f o g o , s e n t i r o c a l o r
e a l u z . N o t a r a mudança q u e a c o z e d u r a p r o v o c a n o s a l i m e n t o s , a
evaporação, a condensação. E n c o s t a r a mão n o c a b o d e c o l h e r d e
m a d e i r a e d e m e t a l d e n t r o d a p a n e l a , p a r a a d q u i r i r noção d e c o n d u -
t i b i l i d a d e . É p r e c i s o c o s t u r a r , tecer, p r e g a r botões. D i s s o l v e r , m i s t u r a r ,
s a t u r a r . U s a r detergentes, solventes, óleos, cera. É p r e c i s o p r a t i c a r es-
p o r t e s , artes.
São m i l h a r e s d e experiências q u e d e s e n v o l v e m o s sentidos, p o s s i -
b i l i t a n d o , l o g o depois, o a p r e n d i z a d o d e artes, ciências e técnicas.
B r i n c a r e f a z e r experiências é c o n s t r u i r a base c o n c r e t a p a r a t o d a s as
d i s c i p l i n a s .
E s t a é a fase pré-histórica d o d e s e n v o l v i m e n t o d a inteligência sen-
sório-motora. É a fase necessária p a r a as p o s t e r i o r e s operações c o n -
cretas, a c u m u l a n d o c o n h e c i m e n t o s q u e serão o r g a n i z a d o s n a e t a p a d a s
operações f o r m a i s . O s b r i n q u e d o s pedagógicos p o d e m , e m p a r t e , subs-
t i t u i r a r i q u e z a dessas experiências. E m u i t o s b r i n q u e d o s pedagógicos
p o d e m s e r e l a b o r a d o s n a escola, c o m m a t e r i a i s disponíveis.
BLOOM
P l a n e j a r u m c u r s o consiste não apenas e m p r o g r a m a r o q u e e n s i -
n a r , m a s também e m s e l e c i o n a r as experiências q u e deverão ser v i v e n -
ciadas e as técnicas pedagógicas m a i s a p r o p r i a d a s p a r a o t r a b a l h o
e s c o l h i d o .
38

41. U m b o m p l a n e j a m e n t o supõe u m a definição c l a r a d e o b j e t i v o s a
s e r e m alcançados. O e s t a b e l e c i m e n t o d e o b j e t i v o s c o n s t i t u i u m a base
sólida p a r a a seleção d e conteúdos, métodos, técnicas, estratégias e
recursos.
Q u a n d o f a z e m o s u m p l a n e j a m e n t o , d e v e m o s classificar o s o b j e -
t i v o s p a r a então lhes d a r o t r a t a m e n t o a d e q u a d o .
Classificar o b j e t i v o s e d u c a c i o n a i s é, n o mínimo, u m a experiência
e n r i q u e c e d o r a p a r a o professor. E l e precisa saber, n a q u e l e m o m e n t o ,
e m q u e nível v a i t r a b a l h a r c o m o a l u n o : n o d a informação, n o d a
resolução d e p r o b l e m a s , n o d a demonstração e a s s i m p o r diante. C a d a
nível exige a b o r d a g e m , método e avaliação a p r o p r i a d o s . P o r t a n t o , é n e -
cessária u m a séria preocupação c o m a f o r m a , c o m o m e i o q u e v a i ser
u t i l i z a d o n o s t r a b a l h o s e m sala d e a u l a . P o r e x e m p l o : o s recursos a u d i o -
visuais são excelentes p a r a repassar informações ( e não apenas p a r a
isso), o vídeo está se i m p o n d o , t r a z e n d o recursos inesgotáveis. O c o m p u -
t a d o r é ótimo p a r a t r e i n a m e n t o n a resolução d e exercícios, além d e
o u t r a s possibilidades. O s t r a b a l h o s e m g r u p o , as pesquisas d e c a m p o , as
redações, o s seminários, e n f i m , c a d a t i p o d e t r a b a l h o p r o d u z resultados
diferentes.
Se u m professor " e f i c i e n t e " escreve n a l o u s a e e x p l i c a q u e a s o m a
das m e d i d a s d o s ângulos d e u m triângulo é 180°, o a l u n o n o r m a l
aprende. S e , a o contrário, o professor propõe atividades q u e l e v a m o
a l u n o a descobrir essa p r o p r i e d a d e , o a l u n o também aprende. E m ter-
m o s d e conteúdo, o s resultados f i n a i s são o s m e s m o s , m a s o s e g u n d o
processo p e r m i t e a t i n g i r m u i t o s o u t r o s o b j e t i v o s , i n c l u s i v e e m níveis
c o m p o r t a m e n t a i s . S e a escola está apenas a m e s t r a n d o u m a l u n o , o
p r i m e i r o método é m a i s d i r e t o .
D e v e - s e estudar b e m a t a x i o n o m i a d e B l o o m ( v e r q u a d r o ) p a r a
v e r i f i c a r q u e a p r i m e i r a c a t e g o r i a t r a t a apenas d a memória, a segunda
começa a e x i g i r certas h a b i l i d a d e s m o t o r a s e lógicas, a t e r c e i r a já e x i g e
raciocínio e a s s i m p o r d i a n t e . É preciso e s t i m u l a r a inteligência e a
c r i a t i v i d a d e , b e m c o m o a m o t r i c i d a d e e a a f e t i v i d a d e .
I n f e l i z m e n t e , e n t r e nós, o e n s i n o d a Matemática fica quase q u e
apenas n o s níveis d e c o n h e c i m e n t o e utilização d e métodos e p r o c e d i -
m e n t o s , isto é, o a l u n o a p r e n d e a t e r m i n o l o g i a e as fórmulas e t r e i n a
fazer substituições p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s d e r o t i n a . A Matemática
f i c a t r a n s f o r m a d a e m a l g o rígido, a c a b a d o , c h a t o , s e m f i n a l i d a d e . O
39

42. TAXIONOMIA POS OBJETIVOS EDUCACIONAIS — BLOOM
Terminologia
Fatos específicos
Convenções
Tendências e sequências
1. Conhecimento de -(Classificações e categorias
Critérios
Metodologia
Princípios e generalizações
iTeorias e estruturas
2. Utilização de procedimentos e processos (rotina)
f Translação
3. Compreensão i Interpretação
^Extrapolação
4. Aplicação (situações-problemas)
("Elementos
5. Análise de < Relações
lPrincípios organizacionais
fProdução de uma comunicação singular
6. Síntese 1 Produção de um plano ou conjunto de operações
^Derivação de um conjunto de relações abstratas
*T À li s f Julgamento em termos de evidências internas
va laçao Julgamento em termos de critérios externos
a l u n o u s a a p e n a s a memória; não d e s e n v o l v e as h a b i l i d a d e s d e e x t r a -
p o l a r , r e s o l v e r situações-problemas, r a c i o c i n a r , c r i a r . Não t e m o p r a z e r
d a d e s c o b e r t a . F i c a m f a l t a n d o e l e m e n t o s p a r a s e u d e s e n v o l v i m e n t o
i n t e g r a l .
A p r o p o s t a deste l i v r o é j u s t a m e n t e a d e p r o g r a m a r u m e n s i n o
de m o d o a d o s a r memória, raciocínio e c r i a t i v i d a d e , t e n t a n d o a síntese
d a Matemática t r a d i c i o n a l e d a m o d e r n a .
O u t r o p r o b l e m a sério e d e caráter m a i s g e r a l está e m q u e nossas
escolas d e f i n e m o b j e t i v o s apenas e m t e r m o s d e conteúdo, q u a n d o o
q u e d e v e r i a ser feito é d e f i n i r o b j e t i v o s n o nível c o m p o r t a m e n t a l . A o
professor caberia selecionar atividades e conteúdos p a r a a t i n g i r aqueles
o b j e t i v o s . I s t o s e m f a l a r e m o b j e t i v o s a f e t i v o s e p s i c o m o t o r e s , d o s
4 0

43. quais não t r a t a m o s neste l i v r o , m a s q u e estão testados n a s a t i v i d a d e s
propostas.
E s t u d a m o s P i a g e t e B l o o m . V e j a a g o r a o p r o d u t o cartesiano d e
suas teorias, f o r m a d o pelos estágios p i a g e t i a n o s n o e i x o h o r i z o n t a l e
os o b j e t i v o s classificados p o r B l o o m n o e i x o v e r t i c a l :
6
5
CO
o
•Si
O
2 -
Estágios
Desse m o d o , ( 3 , 4 ) s i g n i f i c a t r a b a l h a r n o estágio d a s operações
concretas (passagem p a r a operações f o r m a i s ) e n o nível d a aplicação. *
O PROBLEMA DA AVALIAÇÃO
Avaliação é u m a s s u n t o m u i t o sério. O processo d e avaliação
t e m u m a relação d i r e t a c o m o s o b j e t i v o s f o r m u l a d o s e neles e n c o n t r a
seu s i g n i f i c a d o . E m o u t r a s p a l a v r a s , só se p o d e fazer u m a avaliação
q u a n d o se t e m p o r referência o b j e t i v o s a alcançar.
A v a l i a r não s i g n i f i c a c o n s t a t a r o q u e o c o r r e u , m a s f a z e r u m
balanço e n t r e o q u e se p r e t e n d i a e o q u e f o i c o n s e g u i d o . É a l g o q u e
c o m p r o m e t e m u i t o o e d u c a d o r , m a s também é o único i n s t r u m e n t o
c a p a z d e a p o n t a r e m q u e direção e c o m q u e i n t e n s i d a d e c a m i n h a o
d e s e n v o l v i m e n t o d o a l u n o .
* O autor está trabalhando neste modelo, utilizando a Teoria das Catástrofes por causa
dos saltos qualitativos no eixo dos estágios. Estuda também a possibilidade de mais
um estágio: dialética.
4 1

44. Q u a n d o o s o b j e t i v o s são d e f i n i d o s apenas e m t e r m o s d e conteúdo,
a avaliação é quase mecânica, através d e p r o v a s o b j e t i v a s , até e m
f o r m a d e testes d e múltipla escolha. E s t e l i v r o contém orientações
p a r a aulas e x p o s i t i v a s , v i s a n d o a o conteúdo. Porém, se o p r o f e s s o r
passa a d e s e n v o l v e r atividades c o m o as a q u i sugeridas, t r a b a l h a n d o
c o m h a b i l i d a d e s e redescobertas, a avaliação m u d a d e f o r m a e d e
f i n a l i d a d e . E será m u i t o difícil h a v e r repetência, p r i n c i p a l m e n t e n a
l . a
série, a não s e r e m casos e x t r e m o s d e crianças limítrofes o u c o m
g r a v e s p r o b l e m a s , q u e n e c e s s i t a m d e escolas especiais.
P i a g e t já t e s t o u . A criança passa pelas etapas n o r m a l m e n t e , dife-
r e n c i a d a m e n t e , e m interação c o m o a m b i e n t e , i n c l u i n d o a escola. A s
a t i v i d a d e s p r o p o s t a s a q u i também já f o r a m testadas. T r a t a - s e d e u m a
Matemática c o n c r e t a , q u e c o r r e s p o n d e a o estágio d a s operações c o n -
cretas d e P i a g e t ( e a o c o n h e c i m e n t o egípcio). E n g a j a d a n o d e s e n v o l v i -
m e n t o psicogenético d o a l u n o , a c a b a p r o d u z i n d o efeitos d e h a b i l i d a d e s
e conteúdo m u i t o superiores a o q u e se c o s t u m a a v a l i a r o b j e t i v a m e n t e .
E s t e g r a n d e c o n h e c i m e n t o , s o b f o r m a d e operações concretas,
será s i s t e m a t i z a d o , c o m o n a Grécia clássica, q u a n d o o a l u n o e n t r a r
n o estágio d a s operações f o r m a i s , época e m q u e as avaliações f i c a m
m a i s o b j e t i v a s .
D a l . a
à 4 . a
série, a avaliação p a r a esse método é a c o m p a n h a r
p e r m a n e n t e m e n t e o a l u n o , v e r i f i c a n d o se e l e fez as a t i v i d a d e s , q u e t i p o
de mudança d e c o m p o r t a m e n t o o c o r r e u ( e q u e n e m s e m p r e é o m e s m o
de a l u n o p a r a a l u n o ) . P o r s e r e m a t i v i d a d e s interessantes, desafiadoras
e ligadas à própria evolução d o a l u n o , p r o v o c a m mudanças n o r m a i s ,
s e m t r a u m a s , r e s p e i t a n d o i n d i v i d u a l i d a d e s e, f e c u n d a m e n t e , a c e l e r a n d o
o próprio a m a d u r e c i m e n t o . Há a t i v i d a d e s i n d i v i d u a i s e e m g r u p o s .
O u t r a s , p a r a pesquisa o u t r e i n a m e n t o e m casa. P o d e h a v e r p r o v a s
i n d i v i d u a i s o u e m g r u p o s , m a s apenas c o m o mais uma a t i v i d a d e . Aliás,
o p r e p a r a r - s e p a r a u m a p r o v a é u m a d a s m a i o r e s distorções d o e n s i n o .
O a l u n o n o r m a l só p o d e r i a f i c a r r e t i d o se, n o m o m e n t o d e a
escola t r a b a l h a r c o m operações f o r m a i s , e l e a i n d a estivesse e m o u t r o
estágio. O p r o f e s s o r q u e d e s e n v o l v e r s u a a t i v i d a d e n o r m a l m e n t e terá,
c o m u m a l u n o n o r m a l , u m d e s e n v o l v i m e n t o n o r m a l . P o r isso, o m a i s
i m p o r t a n t e é o p r o f e s s o r se a u t o - a v a l i a r .
4 2

45. É e v i d e n t e q u e o a l u n o , até a 4 . a
série, precisa conhecer, e x p l i c i -
t a m e n t e , a l g u m a s informações c o m o as q u a t r o operações, frações e u m
p o u c o d e g e o m e t r i a . Porém, isso é pouquíssimo p e r t o d a r i q u e z a d e
estruturas q u e e l e constrói. S e o e n s i n o f o r lúdico e desafiador, a
a p r e n d i z a g e m p r o l o n g a - s e f o r a d a sala d e a u l a , f o r a d a escola, p e l o
c o t i d i a n o , até as férias, n u m crescendo m u i t o m a i s r i c o d o q u e a l g u m a s
informações q u e o a l u n o d e c o r a p o r q u e vão c a i r n a p r o v a . Aliás,
informação p o r informação, elas estão n o s l i v r o s , m u i t o b e m explicadas,
e a g o r a também n o s vídeos e c o m p u t a d o r e s , c a d a v e z m a i s eficientes.
V a l e a q u i u m a comparação. Q u a n d o f o i i n v e n t a d a a f o t o g r a f i a ,
os p i n t o r e s se l i b e r t a r a m d a cópia. E m t e r m o s d e informações super-
ficiais, a p i n t u r a não p o d e c o m p e t i r c o m a f o t o g r a f i a e o c k i e m a . O s
p i n t o r e s a g o r a t r a b a l h a m c o m composições d e f o r m a s e cores p a r a
p r o v o c a r s e n t i m e n t o s . T r a b a l h a m n o nível psicológico, c o m emoções
q u e a técnica d i f i c i l m e n t e atinge. Q u a l q u e r pessoa é capaz d e f o t o g r a f a r ;
existe u m g r a n d e número d e p i n t o r e s q u e c o p i a m rostos, fotos, paisa-
gens. Porém artistas, são p o u c o s . A g o r a a máquina i n v a d e a educação
n o c a m p o d a informação. O professor, l i b e r t o d a a u l a mecânica, p o d e
c u i d a r d e c o m p o r t a m e n t o s e afetos.
4 3

46. Laboratório de Matemática
INTRODUÇÃO
C o m o v i m o s no* capítulo a n t e r i o r , p a r a u m e n s i n o e f i c i e n t e d a
Matemática o p r o f e s s o r t e m necessidade d e p a r t i r d o c o n c r e t o p a r a
o a b s t r a t o . C o m isso, e l e d e s e n v o l v e métodos próprios, i n t e g r a d o s n a s
t e o r i a s q u e estuda, l e v a n d o e m c o n t a as p a r t i c u l a r i d a d e s d o a l u n o (re-
gião o n d e v i v e , classe social, f a i x a etária, nível d e e s c o l a r i d a d e e t c ) .
A o s p o u c o s , o p r o f e s s o r v a i f o r m a n d o u m " c a n t i n h o d a Matemática",
às vezes u m a s i m p l e s estante o n d e se e n c o n t r a m l i v r o s , cartazes e
d i v e r s o s m a t e r i a i s c o m o s q u a i s f a z experiências, d e s e n v o l v e n o v a s
técnicas e v a i a c u m u l a n d o resultados.
44

47. N e s t e capítulo, t r a t a r e m o s d e diversos recursos concretos, c o m
sugestões p a r a atividades, q u e contribuirão n a formação d o " c a n t i n h o
d a Matemática". Esse a c e r v o poderá crescer, a p o n t o d e a escola, o u
o próprio professor, p o s s u i r u m laboratório o u u m a sala ambiente,
c r i a d o s l e n t a m e n t e , s e m m u i t o s gastos e n a m e d i d a d e s u a utilização.
É m u i t o fácil! C o m u m p o u c o d e prática, o p r o f e s s o r formará o l a b o -
ratório c o m diversos utensílios e l a b o r a d o s pelos próprios a l u n o s , a p r o -
v e i t a n d o o m a t e r i a l disponível. A ação d e p r o d u z i r é m a i s i m p o r t a n t e
q u e o próprio m a t e r i a l p r o d u z i d o . O laboratório poderá i n c l u i r u m
museu e u m a biblioteca.
A a p r e n d i z a g e m deve processar-se d o c o n c r e t o p a r a o abstrato.
T o d a a t i v i d a d e feita c o m m a t e r i a l c o n c r e t o p o d e s e r repetida, d e d i -
versas f o r m a s , g r a f i c a m e n t e . É o p r i m e i r o processo d e abstração.
A s sugestões d e a t i v i d a d e s d e Aritmética e G e o m e t r i a serão vistas
p o s t e r i o r m e n t e . A n t e s , torna-se necessário estudar a l g u n s recursos p a r a
a p r e n d i z a g e m , b e m c o m o o m o d o d e confeccioná-los e d e utilizá-los
e m classe.
CARTAZ VALOR DO LUGAR (CAVALU)
O cartaz v a l o r d o l u g a r , q u e c h a m a m o s a b r e v i a d a m e n t e d e cavalu,
é decisivo n o t r a b a l h o c o m números e operações p a r a as duas p r i m e i r a s
séries, a s s i m c o m o o u t r o s m a t e r i a i s c o n c r e t o s ( t a m p i n h a s , p a l i t o s ,
pedras e t c ) .
O cartaz deve f i c a r p e r m a n e n t e m e n t e preso n a p a r e d e e e m l u g a r
b e m visível; poderá s e r c o n f e c c i o n a d o também e m t a m a n h o r e d u z i d o ,
p a r a t r a b a l h o s e m g r u p o o u i n d i v i d u a i s .
A confecção d o c a r t a z é m u i t o s i m p l e s . São necessárias u m a c a r t o -
l i n a e u m a f o l h a d e p a p e l . N o p a p e l , f a z e r três d o b r a s ( o u m a i s ) .
G r a m p e a r o u c o s t u r a r a o r e d o r p a r a f i x a r o p a p e l c o m d o b r a s n a
c a r t o l i n a e fazer m a i s d u a s costuras v e r t i c a i s d i v i d i n d o o c a v a l u e m
três c o l u n a s , f i c a n d o c o m n o v e bolsas. E s c r e v e r e m c i m a : u n i d a d e s ,
dezenas e centenas. O c a v a l u também p o d e s e r f e i t o c o m l o n a c o s t u -
r a d a e f i x a d a e m c o m p e n s a d o o u papelão.
45

48. Cavalu
centena dezena unidade
is
palitos de sorvetes
ou fichas
N o c a v a l u d e s e n h a d o a c i m a , t e m o s , n a p r i m e i r a l i n h a , o número
2 5 : d u a s dezenas e c i n c o unidades; n a s e g u n d a l i n h a , t e m o s o 1 0 1 ;
n a t e r c e i r a , o 1 2 . P a r a representar o s números, usar p a l i t o s d e sorvete,
fichas o u a l g o s e m e l h a n t e . T u d o b e m simples e q u e p o s s a ser v i s t o
c o m c l a r e z a d o f u n d o d a sala. T o d o s o s p a l i t o s d e v e m s e r i g u a i s . O
q u e d i f e r e n c i a as o r d e n s é o l u g a r . Aí está o f u n d a m e n t a l : o valor do
lugar.
Sugestões de atividades
1. O s números vão s e n d o representados n o q u a d r o à m e d i d a q u e
vão s e n d o estudados.
c d u c d u
2. Q u a n d o c h e g a r a o 5 :
a) escolher u m número d e 1 a 5 p a r a o a l u n o representar n o c a v a l u :
b ) representar u m número p a r a q u e o a l u n o o leia.
3. Adição:
3 + 2
C o n t a r o t o t a l .
4 6

49. 4. Subtração:
Passar dois p a l i t o s p a r a b a i x o e c o n t a r q u a n t o s f i c a r a m (os c i n c o
palitos p o d e m ser três d e u m a c o r e dois d e o u t r a ) .
5. C o n t i n u a r r e p r e s e n t a n d o o s números até passar d e dez, s e m p r e
n a c o l u n a d a s unidades. C o m b i n a r d e fazer a m a r r a d i n h o s d e d e z
(de u m a dezena), p o r q u e o s p a l i t o s não estão m a i s c a b e n d o n a
c o l u n a . D e p o i s d e t r a b a l h a r u m p o u c o c o m a m a r r a d i n h o s repre-
sentando 1 0 + 1 , 1 0 + 2 e t c , c o m b i n a r q u e o s a m a r r a d i n h o s fica-
rão d o l a d o esquerdo, n a c o l u n a d a s dezenas. T r a b a l h a r u m p o u c o
dessa f o r m a , s e p a r a n d o o s a m a r r a d i n h o s d a s unidades. P o r último,
u m a vez q u e n a s e g u n d a c o l u n a só f i c a m as dezenas, c o m b i n a r q u e
elas poderão ser representadas p o r u m a f i c h a apenas. C a d a f i c h a
d a e s q u e r d a v a l e u m a m a r r a d i n h o , u m a dezena. É o v a l o r d o lugar.
6. À m e d i d a q u e o s números vão s e n d o estudados, repetir sempre
esta a t i v i d a d e :
a) representar u m número e p e d i r a o a l u n o q u e o leia;
b) dizer u m número e p e d i r a o a l u n o q u e o represente n o c a v a l u .
12 15 23
D e s e n h a n d o o c a v a l u s i m p l i f i c a d o n o c a d e r n o , r e p e t i r as atividades
d o i t e m 6 . F a z e r variações c o m o : p e d r i n h a s e m buracos, ábaco,
dois m e n i n o s ( o d a s u n i d a d e s e o d a s dezenas, r e p r e s e n t a n d o c o m
os dedos; v e j a o 3 7 n a f i g u r a ) e t c
47

50. 8. T r a n s f o r m a r dezenas e m u n i d a d e s e v i c e - v e r s a :
9. Adição ( c o m r e s e r v a ) :
9 + 2
I I
D e z u n i d a d e s f o r a m t r a n s f o r m a d a s e m u m a dezena.
10. Adição e subtração d e dezenas inteiras:
2 0 + 5 0
1 Í B T
J _ L
(Ver item 4 . )60 — 4 0
11. Adição e subtração d e dezenas i n t e i r a s c o m dezenas e u n i d a d e s :
3 0 + 2 4
C o n t a r o t o t a l : 5 dezenas e 4 u n i d a d e s = 5 4 .
12. Adição e subtração d e dezenas e u n i d a d e s ( s e m r e s e r v a ) :
3 4 + 2 3
r i n i i i i
36 — 1 4
1 18
i h i
2 2
13. P a r o u ímpar? D a d o u m número, p e g a r as fichas e colocá-las u m a
d e b a i x o d a o u t r a , duas a duas, p a r a v e r se s o b r a a l g u m a s e m p a r .
7 é ímpar.
F a z e r s o m e n t e c o m as u n i d a d e s , p o i s t o d a d e z e n a é par. São c i n c o
pares. M o s t r a r isso n o c a v a l u , c o n c l u i n d o q u e o s números t e r m i -
n a d o s e m 0 , 2 , 4 , 6 o u 8 são pares.
4 8

51. 14. Multiplicação p o r 2 :
2 X 3
R e p e t i r o 3 duas vezes.
2 X 7 (Ver item 8.)
15. Multiplicação p o r 3 :
3 X 7
mm
MTITTTl
3 X 1 2
1 IIi 118
I
2 1
3 6
L e r a s s i m m e s m o , s e m m e x e r n o c a v a l u : t r i n t a e seis. D i z e r : três
vezes duas u n i d a d e s , três vezes u m a dezena, p r e p a r a n d o p a r a o
a l g o r i t m o .
16. Divisão p o r 2 :
R e p a r t i r as fichas e m duas d o b r a s ( d e u m a e m u m a , duas e m
duas, c o m o q u i s e r ) .
C o n t a r e m u m a d o b r a : t o d a s têm a m e s m a q u a n t i d a d e .
49

52. 17. Divisão p o r 3 :
R e p a r t i r as fichas e m três dobras, c o m o n o i t e m a n t e r i o r .
21 III HM
UBIIIB
C o n t a r e m u m a d o b r a .
18. R e p r e s e n t a r números m a i o r e s q u e c e m . P e d i r a o a l u n o q u e l e i a ;
d a r u m número e p e d i r p a r a representá-lo.
19. T r a n s f o r m a r c e n t e n a e m dezena e vice-versa (análogo a o i t e m 8 ) .
20. V a l o r a b s o l u t o versus v a l o r r e l a t i v o :
2 4 3
• o 2 não é 2 , é 2 0 0 , d u a s centenas;
• o 4 não é 4 , é 4 0 , q u a t r o dezenas;
• o 3 é 3 m e s m o , 3 u n i d a d e s .
O s a l g a r i s m o s são 2 , 3 e 4 , m a s a posição lhes dá o u t r o v a l o r .
M a i s tarde, d i z e r q u e o 2 é 2 e é 2 0 0 : v a l o r a b s o l u t o , 2 ; v a l o r
r e l a t i v o , 2 0 0 .
21. Multiplicação p o r 1 0 :
2 X 1 0 = 1 0 + 1 0 = 2 d e z e n a s .
O 2 v i r a 2 0 ; é só c o l o c a r u m z e r o n o 2 .
1 2 X 1 0 = 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 +
+ 1 0 + 1 0 + 1 0 = 1 2 dezenas. 1 2 X 1 0 = 1 2 0 .
J L
O 1 2 v i r a 1 2 0 ; é só c o l o c a r u m z e r o n o 1 2 .
5 0

53. 22. Adição ( c o m reserva):
a) p r i m e i r a série d e exercícios s o m e n t e n o c a v a l u :
5 3
+ . 2 8 .
m i s m
BB M S BB
m BB
III
8 1
b) S e g u n d a série d e exercícios, associando, passo a passo, o c a v a l u
c o m o abstrato:
4 7
+ 35
8 2
4 0 +
3 0 +
7 0 + 1 2 = 7 0 + 1 0 + 2 = 8 2
c) T e r c e i r a série d e exercícios, s o m e n t e e m abstrato:
5 8 = 5 0 + 8
+ 2 4 = 2 0 + 4
7 0 + 1 2 = 7 0 + 1 0 + 2 = 8 2
d) Q u a r t a série d e exercícios, f o r m a l i z a n d o aos p o u c o s o a l g o r i t m o :
6; 5 5 | 6 2 9 = 2 0 + 9
+ 2! 7 + 3Í7 3 8 = 3 0 + 8
8!12 ~9Í3 + 5 = 5^
9 | 2 5 0 + 2 2 = 7 0 + 2 = 7 2
23. Subtração ( c o m reserva):
a) Só n o c a v a l u :
BBS m gg§ BB BBB BB BIB BB
6 5 —>
l | 111
— 2 7 i B B
• 3 8
(parte
retirada)
51

54. b ) F a z e r a associação e n t r e números, passo a passo, n o c a v a l u :
> 1 843
25
S
4 0 + 3 3 0 + 13 30 + 13
2 0 — 5
D o 3 não se p o d e t i r a r 5 , p o r isso u m a d e z e n a f o i t r a n s f o r m a d a
e m u n i d a d e s , f i c a n d o 3 0 e 1 3 .
c) Até o f i m , só n o c a v a l u :
5 2
— 2 4
I H se ii BI 1MI1I
mm BI
I I III 1
28
E m seguida, só e m abstrato, r e p e t i n d o o q u e f o i f e i t o n o c a v a l u :
52 = 50 + 2 = 4 0 + 12
— 2 4 = — 2 0 — 4 = — 2 0 — 4
2 0 + 8 = 2 8
d) F i n a l m e n t e s e m c a v a l u , só e m abstrato:
2
— 1 7
24. Cálculo d o desconhecido:
• + 3 = 8
São o i t o fichas. C o l o c a r três n o c a v a l u , e as q u e s o b r a r e m , n o
q u a d r a d o a c i m a .
52

55. 25. Multiplicação ( c o m a l g o r i t m o ) :
2 X 31
2 X 17
118 i
na i
31 30 + 1 31
31 + X 2 X 2
62 60 + 2 62
17 1 0 + 7 17
17 + X 2 X 2
34 2 0 + 14 34
sa I B3B B 214 200+ 1 0 + 4 214
3 X 214 BI g HS fl 214 X 3 X 3
11 8 11! 214 + 600 + 30 + 12 642
6 4 2
26. Divisão:
14-^3
ne s
BB§ B
118 B
sobra II
C o l o c a r e m três pregas d o c a v a l u ( d e u m a e m u m a , duas e m duas,
c o m o se quiser e f o r possível).
27. Operações c o m números d e c i m a i s :
dez. unid.» déc. dez. unid.* déc.
7,4
+ 2,3
25,8
-12,5
34,2
-12,5
13,4
X 3
13,6
4-21,7
dez, unid.ydéc.
dez. unid. déc.
1 eia I l l
- * 13,3
| u u mdez. unid. ) déc. dez. unid. > déc.
• U.lll I I |
—•
m ->
1 se m n
21,7
s m m a
R m m i
1 m m a
D i s t r i b u i r n o c a v a l u , c o m o se não houvesse vírgula.
53

56. FLANELÓGRAFO
A confecção é simples. U m c o m p e n s a d o d e 1 m p o r 8 0 c m , a p r o -
x i m a d a m e n t e , c o b e r t o c o m f l a n e l a . P o d e ser feito n o v e r s o d o c a v a l u .
A s f i g u r a s também são feitas e m f l a n e l a ( o u c a r t o l i n a ) e, p a r a f a c i l i t a r
sua fixação n o q u a d r o , d e v e m t e r coladas n o v e r s o três t i r i n h a s d e
l i x a p a r a m a d e i r a . É só isso. T u d o m u i t o b o n i t o e c o l o r i d o .
A s f i g u r a s d e v e m ser feitas d e a c o r d o c o m as necessidades. I n v e n -
tar histórias: e r a m três p a t i n h o s n a d a n d o , c h e g a r a m m a i s dois e t c . É
preciso u t i l i z a r figuras q u e p o s s a m ser r e p r o d u z i d a s n o c a d e r n o o u
e m f o l h a s m i m e o g r a f a d a s .
A característica p r i n c i p a l d o flanelógrafo é q u e as f i g u r a s f i c a m
g r u d a d a s , m a s p o d e m ser retiradas e t r o c a d a s d e lugar.
Sugestões de atividades
1. C o l o c a r n o flanelógrafo várias figuras d e dois o u três tipos p a r a
o a l u n o agrupar, classificando e s e p a r a n d o e m c o n j u n t o s ( p o r
cores, f o r m a s , t a m a n h o s , u t i l i d a d e ) .
2. E n t r e várias figuras d e u m m e s m o t i p o e apenas u m a diferente,
p e d i r a o a l u n o q u e i d e n t i f i q u e e r e t i r e d o q u a d r o a q u e l a q u e f o r
diferente. A a t i v i d a d e p o d e ser i l u s t r a d a c o m u m a história, c o m o
a d o p a t i n h o feio.
54

57. 3. C e r c a r c o n j u n t o s e l i g a r e l e m e n t o s (as tiras e setas d e ligação
p o d e m ser d e c a r t o l i n a ) . F i x a r n o q u a d r o u m c o n j u n t o d e pires
e o u t r o d e xícaras. P e r g u n t a r e m q u e c o n j u n t o há m a i s e l e m e n t o s .
P a r a responder, o a l u n o deve l i g a r c a d a xícara a u m pires. R e p e t i r
a a t i v i d a d e c o m c o n j u n t o s d e bolas e crianças, peixes e aquários etc.
4. Seriação. Pôr e m o r d e m f i g u r a s d e t a m a n h o s diferentes.
5. Classificar e o r d e n a r f i g u r a s r e p r e s e n t a n d o números (folhas d e
u m a p o n t a , duas, três, . . .; árvores d e u m g a l h o , dois, três, . . .;
dados e m várias posições e t c ) .
6. J o g o d o u m a m a i s . I r c o l o c a n d o f i g u r a s d e u m a e m u m a n o
flanelógrafo p a r a q u e o s a l u n o s d i g a m o número; c a d a número é
s e m p r e u m a m a i s d o q u e o a n t e r i o r . F a z e r também o i n v e r s o :
t i r a r d e u m a e m u m a ( j o g o d o u m a m e n o s ) , d e duas e m d u a s
(dois a m e n o s ) e t c .
7. Adição. C o l o c a r três l a r a n j a s d e u m l a d o e dois abacates d e o u t r o .
M o n t a r o p r o b l e m a : P a p a i f o i à feira, q u a n t a s l a r a n j a s c o m p r o u ?
Q u a n t o s abacates? P e d i r a u m a l u n o q u e j u n t e t u d o . P e r g u n t a r
e m seguida:
— E n o t o t a l , q u a n t a s f r u t a s p a p a i c o m p r o u ?
A ação d e r e u n i r é necessária. É e l a q u e l e v a a o c o n c e i t o d e
adição. F a z e r várias vezes a a t i v i d a d e c o m o u t r o s números.
8. Subtração. C o l o c a r seis f e r r a m e n t a s n o flanelógrafo. P e r g u n t a r :
— Q u a n t a s são as f e r r a m e n t a s ?
M a n d a r r e t i r a r três.
— Q u a n t a s s o b r a r a m ?
E s s a ação d e r e t i r a r é q u e l e v a a o c o n c e i t o d e subtração. R e p e t i r .
9. I n v e r s i b i l i d a d e . R e t i r a r e c o l o c a r f i g u r a s n o q u a d r o , p a r a f o r m a r
a noção d e adição e subtração c o m o operações inversas.
10. O u t r o s m o d o s d e p e r c e b e r a adição e a subtração:
— Q u a n t o s d e v o c o l o c a r p a r a f i c a r e m sete?
— Q u a n t o s d e v o r e t i r a r p a r a f i c a r e m q u a t r o ?
— Q u a n t o s f a l t a m ? Q u a n t o s a m a i s ?
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58. — R e t i r e i três e f i q u e i c o m c i n c o , q u a n t o s e r a m ?
— C o l o q u e i dois e f i q u e i c o m sete, q u a n t o s e r a m ?
11. S e p a r a r e m dois c o n j u n t o s .
E x e m p l o : sete bolas.
Há várias soluções:
1 + 6 , 2 + 5 , 3 + 4 , 4 + 3 , 5 + 2 , 6 + 1 .
12. S e p a r a r e m três c o n j u n t o s , r e p e t i n d o o raciocínio a n t e r i o r .
13. A s s o c i a r . V e j a m o s u m e x e m p l o c o m três c o n j u n t o s : três vacas,
d o i s b u r r o s e q u a t r o c a b r i t o s .
a) J u n t a r vacas e b u r r o s , a c h a r o t o t a l e depois j u n t a r o s c a b r i t o s :
(3 + 2 ) + 4 .
b ) J u n t a r b u r r o s e c a b r i t o s , a c h a r o t o t a l e depois j u n t a r as vacas:
3 + ( 2 + 4 ) .
14. Multiplicação. U s a r c o n j u n t o s c o m o m e s m o número d e e l e m e n t o s .
E x e m p l o : três c u r r a i s c o m duas vacas e m c a d a u m . N o t o t a l :
2 + 2 + 2 = 3 X 2 .
15. Divisão. R e p a r t i r flores e m três vasos; r e p a r t i r vacas e m c u r r a i s etc.
QUADRO DE PINOS
É u m q u a d r o simples, c o m f u r o s , e cerca d e v i n t e p i n o s q u e p o d e m
ser c o l o c a d o s n o s furos. P o d e ser f e i t o d e c o m p e n s a d o o u c h a p a d e
papelão. D e v e - s e riscar duas retas p e r p e n d i c u l a r e s e fazer u m g a n c h o
p a r a p e n d u r a r n a parede.
O q u a d r o d e p i n o s é m u i t o útil p a r a j o g o s . A s a t i v i d a d e s se desen-
v o l v e m s e m p r e e m duas direções:
a) p e d i r a o a l u n o q u e c o l o q u e p i n o s s e g u n d o u m a r e g r a ;
b) c o l o c a r o s p i n o s n o q u a d r o e p e d i r a o a l u n o q u e d e s c u b r a a
regra.
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59. 0 0 o <
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O O O l
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0 o o o
) o o o ^
0 O 0 0
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> ? ? ? 0
) o o o o
oooo<
OOOOi
oooo<
>oooo
>oooo
)oooo
oooo
Sugestões de atividades
1. J o g o d e representar números c o m p i n o s . C a d a p i n o é u m a u n i d a d e ;
u m a l u n o d i z ( o u escreve) u m número, e o u t r o o representa.
2. J o g o d a o r d e m . F o r m a r escadinhas:
o
o o
o o o e t c .
3. P a r o u ímpar?
o o o
o o o o
4. Adição:
8 + 5 : c o l o c a r o i t o p i n o s m a i s c i n c o p i n o s e c o n t a r o t o t a l .
5. Subtração:
7 — 4 : c o l o c a r sete p i n o s , r e t i r a r q u a t r o p i n o s e c o n t a r o q u e r e s t o u .
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60. 6. Multiplicação:
3 X 5 : c o l o c a r c i n c o p i n o s três vezes (três filas h o r i z o n t a i s o u
v e r t i c a i s ) e c o n t a r o t o t a l .
7. J o g o d a decomposição. Números r e t a n g u l a r e s , números p r i m o s ,
números c o m p o s t o s , números pares, números q u a d r a d o s . E x e m p l o s :
o o o
• 6 : o o o f o r m a retângulo, l o g o é c o m p o s t o ; .
• 5 : o o o o o não f o r m a retângulo, é p r i m o ;
o o
• 4 : o o f o r m a q u a d r a d o , é número q u a d r a d o .
8. Divisão:
1 8 - ^ - 3 : t o m a r d e z o i t o p i n o s e d i s t r i b u i r e m três filas. M o s t r a r
q u e as três filas f i c a m iguais.
9. M e t a d e — d o b r o ; u m terço — t r i p l o e t c .
10. J o g o d o p a r o r d e n a d o :
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61. a) D a d o o p a r o r d e n a d o ( 4 , 3 ) , l o c a l i z a r n o q u a d r o : q u a t r o p a r a
a d i r e i t a e três p a r a c i m a ( c o m o n a f i g u r a a n t e r i o r ) .
b ) C o l o c a r u m p i n o n o q u a d r o e p e d i r q u e o a l u n o d i g a o s núme-
ros ( c o o r d e n a d a s ) ; usar apenas o p r i m e i r o q u a d r a n t e (números
positivos).
11. Gráficos. I m p o r condições:
a) T o d o s o s p i n o s c o m o p r i m e i r o número i g u a l a três: ( 3 , 2 ) ,
(3, 5 ) e t c .
b) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a c i n c o : ( 2 , 5 ) etc.
c) T o d o s o s p i n o s c o m o p r i m e i r o número i g u a l a o segundo: ( 2 , 2 )
etc.
d) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a o d o b r o d o p r i -
m e i r o : ( 3 , 6 ) , ( 1 , 2 ) e t c .
e) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a o p r i m e i r o m a i s
u m : ( 2 , 3 ) , ( 1 , 2 ) e t c .
C a d a caso destes r e s u l t a n u m a reta. O s p i n o s d e v e m ser ligados
c o m u m b a r b a n t e . M a i s tarde, dá-se u m c o m a n d o c o m o : o segundo
número i g u a l a o q u a d r a d o d o p r i m e i r o . Isso levará à formação d e
u m a parábola.
12. Operações vistas c o m o funções d e N 2
~» N :
a) C o m adição. C o l o c a r o p i n o e m ( 5 , 3 ) ; o a l u n o deve pensar
n o s dois números c o o r d e n a d o s e d i z e r oito.
C a d a p a r d e números p o s s u i u m a s o m a . O c o r r e o m e s m o c o m
as o u t r a s operações. A u m e n t a r a v e l o c i d a d e , c o m b i n a r j o g o s ,
p a g a m e n t o d e p r e n d a s e t c .
b ) C o m divisão. S e o p i n o f o r ( 6 , 2 ) , o a l u n o deve d i z e r três;
se o p i n o f o r ( 7 , 3 ) , o a l u n o d i z ser impossível. Porém, a p a r t i r
d a 3 . a
série, dirá sete terços.
13. Relações. O q u a d r o d e p i n o s p o d e também ser u s a d o p a r a gráficos
e relações ( v i s u a l i z a r as p r o p r i e d a d e s r e f l e x i v a , simétrica e assi-
métrica).
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