Desenvolvimento do pensamento algebrico

Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 1
Didáctica da Matemática I

O desenvolvimento do pensamento algébrico - Onde estão os alunos? Reflectir para actuar

Carlos Leão, Colégio Rainha D. Leonor
Doroteia Pimparel, Escola Básica e Secundária de Maceira
Margarida Santos, Escola Básica e Secundária de Maceira

Resumo

No âmbito da didáctica, e seguindo as últimas tendências do paradigma do professor
investigador, decidimos debruçar-nos sobre o pensamento algébrico de alunos de três turmas
do ensino básico, uma do 5º, uma do 6º e uma do 7º ano. O nosso objectivo foi identificar as
estratégias utilizadas percebendo em que nível se encontravam estes alunos, tendo como
referência as investigações de autores como Ponte (2009) e Fiorentini (1993). Da análise
realizada às produções dos alunos pretendíamos estabelecer algumas linhas de orientação para
o trabalho a desenvolver no futuro.

Para o desenvolvimento deste estudo foi utilizada uma metodologia qualitativa de cariz
interpretativo, usando o modelo de estudo de três casos.

Foi conclusivo que a grande maioria dos alunos ultrapassou o nível pré-algébrico, encontrando-
se na transição do nível aritmético para o algébrico. Contudo, há evidências que os alunos do 7º
ano se encontram ao nível do pensamento algébrico mais desenvolvido.

Palavras – Chave: Pensamento algébrico, relações, representações, padrões, regularidades,
sequências


Introdução

As orientações para a implementação do Novo Programa do Ensino Básico enfatizam a
importância do desenvolvimento do pensamento algébrico nos alunos, desde os primeiros anos
de escolaridade. Dada a importância que o Currículo Nacional (DEB, 2001) e o Novo Programa
do Ensino Básico (DGIDC, 2007) dão a esta temática, e atendendo à pouca divulgação de
experiências efectuadas neste campo, é pertinente reflectir sobre os resultados obtidos na
aplicação de uma mesma proposta pedagógica com padrões de crescimento, aos alunos de três
turmas do 5º, 6º e 7º anos, com o objectivo de identificar a compreensão dos padrões, as
relações estabelecidas pelos alunos, a que representações recorrem e se seleccionam processos
de generalização.

Segundo Pacheco (1994), uma das dimensões que a função pedagógica da avaliação encerra é a
didáctica, pela sua contribuição na criação de ambientes de aprendizagem, através do
diagnóstico, que possibilita inventariar necessidades, fornecendo ao professor informações que
lhe permitem reformular o processo de ensino-aprendizagem, nomeadamente no que se refere
à selecção das tarefas que melhor ajudem a colmatar as carências diagnosticadas.

Concluiremos este trabalho identificando os níveis de desempenho dos alunos na tarefa
proposta, o tipo de estratégias utilizadas e reflectindo acerca de possíveis medidas a
implementar com vista a melhorar o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos.

O pensamento algébrico nas orientações curriculares para o Ensino Básico

As orientações do Currículo Nacional (ME-DEB,2001) são claras quando preconizam que no
desenvolvimento de competências nos alunos se devem incluir aspectos relacionados com a
procura de padrões e regularidades em situações diversas e em diferentes contextos. A
explicação das descobertas efectuadas e a necessidade de procurar representações para
transmitir raciocínios, concorrem para o desenvolvimento da comunicação matemática e,
consequentemente, para uma efectiva apropriação das relações que se estabelecem ajudando
os alunos a perceber e a dar sentido aos símbolos.

Pode ler-se no corpo do Novo Programa do Ensino Básico (DGIDC, 2007) que o trabalho com
regularidades generalizáveis, segundo regras que os alunos podem formular por si próprios,
ajuda a capacidade de abstracção e contribui para o desenvolvimento do pensamento algébrico
(p.14) salientando-se que o propósito principal de ensino da Álgebra no 2º ciclo é desenvolver
nos alunos o pensamento algébrico, bem como a sua capacidade de representar simbolicamente


situações matemáticas e não matemáticas e de resolver problemas em contextos diversos (p.40).
Para o 3º ciclo reservam-se questões relacionadas com o desenvolvimento da linguagem, da
interpretação e da exploração e modelação de situações em diferentes contextos.

Regularidades e Padrões

No nosso quotidiano enquanto professores falamos de álgebra, pensamento algébrico, padrões,
sequências e regularidades. Contudo, para uma melhor compreensão de cada um dos conceitos
e de como se relacionam devemos tentar clarificar cada um deles.

A álgebra, a par com a geometria e a análise infinitesimal, é um dos grandes ramos da
Matemática. Tendo origem nas primeiras formalizações e sistematizações na resolução de
problemas e estudo de métodos gerais de resolução de equações, foi-se desenvolvendo ao
longo da história (Costa, 2005; NCTM, 2007). Nos seus primórdios, que se crê nas antigas
civilizações egípcias, babilónias, chinesas e indianas, os enunciados e resoluções eram expressos
em linguagem natural, contudo, com o avanço nos estudos esses mesmos problemas passaram
a incluir abreviações (Ponte, Branco e Matos, 2009) conduzindo deste modo ao uso de uma
simbologia específica, a linguagem algébrica.

Para alguns autores, como Devlin (2002), a Matemática desapareceria com a inexistência dos
símbolos algébricos, defendendo que o uso da simbologia permite o distanciamento necessário
das dualidades semânticas que podem surgir dos objectos conceptuais. No entanto, quando
falamos de álgebra escolar, do pensamento algébrico dos alunos e das suas capacidades de
utilizar representações simbólicas, verificamos que a complexa rede de símbolos utilizados na
álgebra, ao perderem a sua ligação ao concreto e passando a uma abstracção inerente e própria,
pode tornar-se um ponto de ruptura levando um aluno a perder-se na compreensão das
relações que se pretendem desenvolver.

Foi precisamente o Movimento da Educação Matemática Realista, fundado por Freudenthal,
que começou por criticar o distanciamento dos símbolos abstractos de uma realidade mais
concreta. Na história antiga do pensamento algébrico, este era traduzido utilizando uma
linguagem mais próxima da natural. Actualmente, a linguagem corrente está bastante mais
distanciada da linguagem algébrica, gerando assim uma maior complexidade. Esta complexidade
levará a um natural surgimento de incorrecções nas interpretações dos problemas por parte dos
alunos, com consequências na aprendizagem deste ramo da Matemática. Schoen (1995),
clarifica, que o desenvolvimento histórico do pensamento algébrico começou com um período de
álgebra verbal ou retórica, que durou pelo menos três milénios. Ao período retórico surgiu-se um


outro, de mais de um milénio, em que o discurso algébrico caminhou gradualmente da fase
retórica para a simbologia. (p.138)

A natural discussão que foi surgindo acerca do tema, levou a que se tentasse perceber de que
forma deveria a álgebra ser integrada e trabalhada no currículo do ensino básico e secundário.
Surge então a necessidade de caracterizar o pensamento algébrico.

Apesar da definição de álgebra ter mudado ao longo da História, James Kaput (1999), citado por
Ponte, Branco e Matos (2009), também assenta as suas ideias no já exposto por Freudenthal
acabando por definir pensamento algébrico como algo que se manifesta quando, através de
conjecturas e argumentos, se estabelecem generalizações sobre dados e relações matemáticas,
expressas através de linguagens cada vez mais formais (p. 9).

Kaput (1999) define cinco facetas no pensamento algébrico e mais tarde (Kaput, 2008)
reorganiza essas facetas do seguinte modo: a) Aspectos nucleares do pensamento algébrico
(generalização e formalização de padrões e restrições; manipulação de formalismos guiada
sintacticamente); b) Ramos do pensamento na Matemática Escolar (estudo de estruturas
abstractas; estudo de funções, relações e de variação conjunta de duas variáveis; utilização de
múltiplas linguagens na modelação matemática e no controlo de fenómenos).

Também o Programa de Matemática do Ensino Básico, assim como as orientações do NCTM,
referem que o pensamento algébrico diz respeito ao estudo de estruturas, simbolismo,
modelação e estudo das variações, ou seja:

- compreender padrões, relações e funções,

- representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos,

- usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas,

- analisar as variações em diversos contextos.

Debrucemo-nos agora sobre o termo padrão. O termo, devido à vastidão de conceitos que lhe
podemos associar no dia-a-dia, é de difícil definição no âmbito da matemática. Contudo, ao
mesmo tempo, são precisamente as noções mais utilizadas no quotidiano que nos podem ajudar
a perceber do que se trata.

Segundo Orton (1999), padrão tanto pode referir-se à disposição ou arranjo de formas, cores,
sons, etc., sem nenhuma regularidade entre si, como também se pode referir aos mesmos
objectos quando nestes identificamos claramente regularidades entre si, sejam estas simetrias,
repetições ou outras. No entanto, o autor reforça que em geometria o conceito de padrão não


se encontra limitado a repetições, incluindo as noções de identificação de formas, congruência e
semelhanças.

Também Borralho et al. (2007), referem que em todos os aspectos à nossa volta e ao longo da
vida somos atraídos para as regularidades que vamos tentando compreender e interpretar,
procurando ou impondo-lhes padrões. Segundo os autores, a própria Matemática é a busca
constante de medição de padrões e regularidades, tentando encontrar a ordem na aparente
desordem.

Alguns autores como Ponte (2005;2009) utilizam o termo sequência em vez de padrão. Contudo,
a noção de regularidade é comum, sendo esta a base do conceito. Assim, padrão ou sequência
são estruturas onde podemos encontrar regularidades mais ou menos directas.

Como podemos perceber das ideias desenvolvidas pelos autores anteriores, quando falamos de
padrões podemos estar a referir-nos a vários tipos. Vale e Pimentel (2009), indicam pelo menos
dois tipos de padrão que surgem muito associados ao ensino, padrões de repetição e padrões de
crescimento, que podem ser numéricos ou visuais. Já Ponte (2009) utiliza os termos pictóricos,
quando se refere a padrões visuais.

Nos padrões de repetição, a ideia envolve a possibilidade de conseguirmos identificar uma
mudança ou repetição no objecto em estudo ou na possibilidade do mesmo se repetir. Podemos
pois identificar um elemento, ou motivo, que se repete indefinidamente de forma cíclica.

Segundo Vale e Pimentel (2007;2009), este tipo de padrões podem e devem ser desenvolvidos
nas crianças desde muito cedo. Contudo, a exploração destes padrões deve ser profunda e com
base em ideias matemáticas fortes procurando alcançar as generalizações, onde o pensamento
algébrico é potencialmente desenvolvido.

A descoberta de padrões desenvolve pois o pensamento algébrico e a capacidade de abstracção,
fundamentais para o bom desenvolvimento das capacidades matemáticas do aluno.

O outro tipo de padrões apresentado por Vale e Pimentel (2009), é o de crescimento. Tal como
nos padrões de repetição, estes também apresentam um motivo que se repete indefinidamente
e de forma previsível. Contudo, para além da repetição de um motivo, este vai sofrendo
alterações, sendo também estas previsíveis.

As relações matemáticas que se podem desenvolver com este tipo de padrões e a diversidade
de situações que potenciam, proporcionam explorações ricas e fundamentais, fazendo ainda
conexões com diversos conteúdos curriculares. Os autores anteriormente referidos indicam
ainda que estes padrões de crescimento podem ser lineares ou não lineares.


Apesar dos padrões de repetição serem importantes num trabalho inicial com os alunos, os
padrões de crescimento são os que reforçam de forma significativa a passagem da aritmética
para a álgebra. A possibilidade do aluno estabelecer relações entre as figuras que vê ou constrói,
com as anteriores e as posteriores, assim como, com a sua posição na própria sequência,
aumenta o número de relações a estabelecer, permitindo um trabalho de interligação de uma
grande diversidade de conteúdos transversais ao currículo. Potenciam pois as conexões dentro
da matemática, sendo a par com a geometria, um tema unificador da matemática.

Segundo, Lee e Freiman (2006), citados por Vale e Pimentel (2009), ver padrões, o que implica
trabalhar com padrões visuais, é fundamental para o início da exploração de padrões. Segundo
as autoras, e apesar de os alunos observarem os mesmos padrões visuais, estes irão decompor a
figura inicial de modos diferentes. Esta diferença prende-se com a necessidade de cada um
decompor a figura inicial em segmentos para si significativos.

Para Ponte (2009), na exploração de uma sequência pictórica, os alunos identificam e procuram
relacionar as características locais e globais das figuras que as compõem, assim como da
sequência numérica que lhe está directamente associada.

Serão precisamente estes aspectos que irão permitir ao aluno melhor desenvolver as relações
que pode estabelecer entre os elementos que compõem a figura e a sua posição na sequência,
adquirindo uma melhor compreensão das propriedades e relações numéricas subjacentes ao
padrão.

Tendo em conta os aspectos apresentados anteriormente e após reflexão acerca dos objectivos
que nos propusemos estudar, decidimos o tipo de tarefa a desenvolver na sala de aula para o
presente trabalho.

A importância da utilização de padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico

Todos os alunos deveriam aprender álgebra (NCTM, 2007, p.39). Esta afirmação, retirada dos
Princípios e Normas para a Matemática Escolar, é o ponto de partida na tentativa de perceber a
importância dos padrões nos actuais currículos do ensino da Matemática. Mas de onde surge
esta necessidade e quais os pressupostos que a fundamentam?

A Matemática não é, há já alguns milhares de anos, uma ciência estática e concluída, onde os
seus produtos se encontram acima de qualquer crítica. No entanto, não será difícil de perceber
que do senso comum a ideia de matemática é o estudo dos números ou a ciência que estuda os
números (Devlin, 2002). As investigações constantes nesta área têm vindo a demonstrar o


contrário. A Matemática não está acabada, e a sua definição enquanto ciência, já ultrapassou a
ideia redutora do estudo dos números. Estes estudos chegaram a uma ideia mais profunda e
consensual da Matemática como sendo a ciência dos padrões. Actualmente, o que o
matemático faz é analisar padrões, sejam numéricos ou geométricos, ou estabelece conexões
com todas as outras ciências em busca de padrões que auxiliem o Homem na compreensão do
mundo que o rodeia. Devlin (2002) sobre o assunto esclarece ainda que, esses padrões tanto
podem ser reais como imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou
quantitativos, puramente utilitários ou assumindo um interesse pouco mais que recreativo (p.9).

Também Davis e Hersh (1995) afirmam que o próprio objectivo da Matemática é, em certa
medida, descobrir a regularidade onde parece vingar o caos, extrair a estrutura e a invariância
da desordem e da confusão (p. 167).
Das ideias expostas depreendemos que os padrões vão muito mais longe do que a simples
exploração de repetições no âmbito da Geometria. O estudo dos padrões, dada a sua vastidão
de exemplos a explorar, concede-lhe uma transversalidade, tanto ao nível de conteúdos como
das próprias capacidades a desenvolver no aluno. Facilmente se conclui que existe uma forte
ligação com a resolução de problemas, actividades de investigação e exploração, permitindo
conexões ao nível de todos os conteúdos do currículo.

Também ao nível da motivação e ao nível do desenvolvimento de uma imagem positiva da
Matemática, bem presente nos novos programas do Ensino Básico, o estudo e exploração de
padrões fornecem ao professor uma ferramenta indispensável, pois apelam a que os alunos
desenvolvam a par com a abstracção, o seu sentido estético, reconhecendo também a relação
com as outras disciplinas e com o mundo que os rodeia.

São variadas as situações do mundo natural que se podem observar e explicar à luz dos padrões
matemáticos. No mundo animal, os revestimentos dos animais formam padrões com variados
objectivos ligados à continuidade da espécie. Também a disposição das folhas ou flores de
algumas plantas, como o girassol revelam-nos a sequência de Fibonacci. Nas asas das borboletas
encontramos variados padrões geométricos, o mesmo acontecendo nas célebres células de uma
colmeia. A couve-flor, ou o feto são exemplos reais de fractais, um tipo de padrão de beleza
ímpar. Existe pois um grande e belo manancial de situações onde se podem identificar padrões e
regularidades na natureza, onde um indivíduo mais motivado consegue observar a beleza da
matemática.

Se nos anteriores documentos curriculares do ensino básico a álgebra e o estudo dos padrões
era visto com alguma superficialidade nos primeiros níveis de ensino, neste novo programa,


basta uma análise muito breve para percebermos que de forma intencional, o estudo específico
dos mesmos surge desde os primeiros anos do 1º ciclo, sendo aprofundado de forma gradual e
funcional ao longo do 2º e 3º ciclos. Num olhar mais atento, podemos perceber que mesmo ao
nível do pré-escolar, todo o trabalho com padrões e regularidades deve ser feito tendo em conta
tanto o nível de desenvolvimento do aluno como as suas necessidades futuras.

Segundo as Normas (2007), a álgebra é considerada um fio condutor curricular desde os
primeiros anos de escolaridade, onde o professor deve seleccionar, implementar e apresentar
tarefas que maximizem o potencial de aprendizagem do aluno, ajudando-o a criar uma base
sólida na sua compreensão e nas suas experiências. Desta forma, estaremos a auxiliá-lo para o
trabalho algébrico do 3º ciclo e secundário.

Um último motivo que realça a importância do trabalho no âmbito da álgebra, agora reforçado
nos novos programas do ensino básico, refere-se aos relatórios PISA de 2003. Estes relatórios
referem que, no que à Álgebra (mudanças e relações) diz respeito, a percentagem de alunos
identificados com baixo nível de literacia é ainda superior à média da OCDE: 31% versus 23%; e a
percentagem de alunos com níveis elevados de literacia matemática é ainda inferior à média da
OCDE: 8% versus 16% (Duarte, 2005, p.44). O relatório português sobre o estudo referido vem
mesmo afirmar ser preocupante a situação média dos estudantes portugueses no que toca às
competências relacionadas com o pensamento algébrico.

Concluindo, mais que desejável é essencial que se desenvolvam trabalhos no âmbito da álgebra.
É através da resolução de problemas algébricos, a procura de padrões e toda a sua exploração,
que os alunos poderão compreender e experienciar toda a utilidade da matemática, a sua
beleza e profundidade, desenvolvendo a compreensão e conhecimento de novos e
diversificados conceitos.

Metodologia

Para um investigador em educação é fundamental a preocupação em analisar e fundamentar
muito bem os métodos a que recorre, pois tal como afirma Morse et al. (2002, p. 2) sem rigor, a
investigação não terá valor, tornando-se ficção e perdendo a sua utilidade.

O nosso trabalho envolve duas vertentes, a compreensão do nível de desempenho do
pensamento algébrico dos alunos e, com base nessa compreensão, inventariar necessidades,
reflectindo sobre elas, tendo em vista a futura tomada de decisões.


Tratando-se o estudo de caso de uma abordagem metodológica de investigação, especialmente
adequada quando procuramos compreender, explorar ou descrever acontecimentos e contextos
complexos e específicos (Bogdan e Biklen, 1994; Carmo e Ferreira, 1998; e Stake, 2007),
considerámo-la possivelmente a mais adequada ao ter em conta os objectivos que se
perseguem neste estudo. Também Ponte (2006) considera que o estudo de caso “É uma
investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça deliberadamente sobre
uma situação específica que se supõe ser única ou especial, pelo menos em certos aspectos,
procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuir
para a compreensão global de um certo fenómeno de interesse.” (Ponte, 2006, p.107). Vai mais
longe afirmando que na Educação Matemática, os estudos de caso têm sido usados para
investigar questões de aprendizagem dos alunos bem como do conhecimento e das práticas
profissionais de professores, programas de formação inicial e contínua de professores, projectos
de inovação curricular, novos currículos (…) (Ponte, 2006, p.108).
A garantia de que nos encontrávamos a avançar pelo caminho mais adequado, ao optarmos
pelo estudo de caso, foi-nos dado pelo facto de estarem simultaneamente envolvidos diversos
factores, ao debruçarmo-nos sobre uma situação específica, como é o caso do pensamento
algébrico. Uma vez que se trata de estudar alunos concretos, os nossos casos, em que
procuramos descobrir o que há de mais essencial e característico em cada um deles, irá
contribuir para uma melhor compreensão do assunto em estudo. Contudo, devido ao número
elevado de alunos que compõem os três casos, e em busca de conseguir criar uma identidade
específica dos casos que pretendíamos estudar, optámos por escolher uma amostra, tendo em
conta objectivos específicos:

1) evidência de alguma compreensão algébrica da tarefa. Para isso foram analisadas as
produções dos alunos nas questões 1, 2 e 3; O facto de optarmos por procurar produções que
revelavam que os alunos tinham compreendido os objectivos da tarefa, visava retirar da
amostra exemplos que devido a variáveis que não podemos controlar, não tenham desenvolvido
trabalhos que pudessem servir para análise e reflexão acerca dos propósitos deste estudo.

2) evidência de algum trabalho na generalização. Neste caso analisámos a questão 4.

Quanto ao propósito deste estudo, podemos enquadrá-lo ainda na investigação em avaliação.
Carmo e Ferreira (1998) referem que um estudo que pretenda compreender a situação actual
de um objecto de investigação, com o fim de facilitar tomadas de decisão, se enquadra nas
investigações em avaliação. Assim, apesar da nossa opção pelo estudo de caso, conscientes da
limitação dos resultados obtidos quando pretendemos generalizar, ou tão pouco compreender


outras turmas no futuro, também é nosso propósito imediato avaliar as opções de que
dispomos com vista a desenvolver uma sequência de tarefas no âmbito da álgebra.

Participantes do estudo

Como participantes no estudo foram escolhidas três turmas do Ensino Básico, mais
precisamente, uma do 5º ano, uma do 6º ano e finalmente uma do 7º ano.

Para a escolha dos alunos e suas produções tivemos em conta os seguintes aspectos: (i)
Facilidade de acesso; para a recolha dos dados neste estudo, optámos por trabalhar com os
nossos alunos. (ii) Das turmas disponíveis, optámos por aquelas onde ainda não tinha sido
desenvolvido um trabalho específico no âmbito da álgebra.

Como já foi referido, foi realizada uma análise prévia de todas as produções dos alunos das três
turmas, e com base nos objectivos propostos decidimos escolher uma amostra de 6 produções
em cada turma, ou seja, iniciámos o nosso estudo com 18 produções, 6 de cada ano de
escolaridade. Contudo, e uma vez que pretendemos perceber como pensam algebricamente os
nossos alunos nos três anos de escolaridade acima especificados e, com o objectivo claro de
reduzir os factores que poderiam interferir com o desempenho dos mesmos na realização da
tarefa, optámos por não dar quaisquer indicações ou orientações que pudessem condicionar as
suas estratégias de pensamento.

De forma consciente retirámos a influência do professor como orientador e condutor do
trabalho, visto que as nossas diferenças enquanto pessoas e profissionais poderiam interferir no
objectivo pretendido com a recolha dos dados.

Escolha da tarefa

Tendo em conta as ideias apresentadas anteriormente sobre os tipos de padrão e suas principais
características, optámos por desenvolver uma tarefa com padrões visuais de crescimento (ver
anexo).

Como afirmámos anteriormente, os padrões de repetição são realmente importantes num
trabalho inicial com os alunos, contudo os padrões de crescimento são os que reforçam de
forma significativa a passagem da aritmética para a álgebra, da contagem elemento a elemento,
para o estabelecimento de relações entre elementos. É precisamente nesta possibilidade do
aluno estabelecer relações entre as figuras e a sequência, diversificando a quantidade de


conteúdos transversais ao currículo passíveis de serem trabalhados, que nos permite
compreender que os padrões de crescimento potenciam as aprendizagens dos alunos,
permitindo variadas conexões na matemática.

Concluímos então que, se estes padrões permitem uma maior diversidade de estratégias de
pensamento por parte do aluno, também serão estes que nos irão permitir perceber melhor o
modo como estes realizam as decomposições das figuras e como relacionam as partes com o
todo, fazendo ou não generalizações e a que nível.

A tarefa (anexo 1) foi construída com base nas ideias anteriormente reflectidas e é composta
por quatro questões que visam a análise das competências inerentes ao pensamento algébrico,
nomeadamente:

- identificar regularidades num padrão visual;

- comunicar essas regularidades por palavras ou utilizando simbologia;

- prever situações que não são dadas ou visíveis.

Metodologia e categorias de análise

Segundo Stake (2007, p.20), a utilização de casos típicos ou representativos será útil na busca de
respostas sobre os assuntos que pretendemos compreender, apesar de em estudos de caso não
se trabalhar com técnicas de amostragem e existirem possibilidades de não serem totalmente
representativos de uma realidade. Stake vai mais longe e afirma que alguns casos “atípicos”
ajudam a ilustrar aspectos importantes que deixamos passar nos casos típicos.

Tendo em conta as ideias apresentadas por Stake (2007), fomos procurar descobrir os nossos
possíveis casos típicos. Contudo, para este trabalho, debruçámo-nos novamente sobre as ideias
apresentadas por Ponte (2009). O autor apresenta quatro possíveis estratégias dos alunos na
resolução das tarefas que envolvem padrões visuais crescentes: (i) Estratégia de representação e
contagem – neste caso o aluno representa ou desenha todos os termos da sequência até ao
termo solicitado e depois conta os elementos que o constituem.

Nesta estratégia não existe uma clara evidência de generalização, pelo que se torna importante
o professor questioná-lo acerca do seu processo de representação. Deste modo o professor
pode perceber como é que o aluno compreende a figura e as contagens que realiza.


(ii) Estratégia aditiva – aqui o aluno compara termos consecutivos identificando as alterações
que ocorrem de uns para os outros. Neste caso, muitos alunos já fazem algumas generalizações
acerca das descobertas por si efectuadas, utilizando contudo a linguagem natural.

Segundo o autor, esta estratégia também pode ser um entrave à descoberta da relação entre os
termos e as ordens, uma vez que se centra somente na relação entre termos, podendo deste
modo conduzir a generalizações erradas.

(iii) Estratégia do objecto inteiro – Neste caso, o aluno utiliza um termo de uma ordem para
descobrir o termo de uma ordem múltipla daquele de que partiu. Este procedimento também
pode levar a generalizações erradas, no caso de não haver proporcionalidade directa. Contudo,
nos padrões em que a razão entre os termos é constante esta estratégia é bastante funcional.

(iv) Estratégia da decomposição dos termos – Nesta estratégia o aluno relaciona o termo com a
sua ordem, representando depois uma expressão algébrica. Ao decompor o termo de uma
sequência visual, permitindo a compreensão do processo de construção, consegue mais
facilmente determinar um termo de ordem bastante maior.

Após análise das estratégias desenvolvidas pelos alunos e usando como base o estudo de
Fiorentini et al. (1993), decidimos categorizar as respostas dos alunos em três níveis: (a)
Evidências de pensamento pré-algébrico. Segundo Ponte (2009) estarão enquadrados nesta
categoria os alunos que desenham e contam todos os termos da sequência, isto é, aqueles que
desenvolvem uma Estratégia de representação e contagem; (b) Evidências da transição do
pensamento aritmético ao algébrico. Esta categoria, nas estratégias de Ponte (2009), refere-se
aos desempenhos dos alunos que utilizam Estratégia aditiva ou Estratégia do objecto inteiro; (c)
Evidência de pensamento algébrico mais desenvolvido. Aqui, enquadram-se os alunos que
utilizam a Estratégia da decomposição dos termos, referida por Ponte (2009). Assim, com base
nas ideias anteriormente expostas recolhemos 18 trabalhos dos alunos, sendo seis de cada nível
de ensino em causa.

Resultados e sua análise

Neste ponto iremos analisar as respostas desenvolvidas pelos alunos.

Com base na tarefa e nos objectivos das várias questões, optámos por iniciar a nossa análise
pela questão nº 1. Nesta, onde era pedido ao aluno que após analisar os três primeiros termos
da sequência desenhasse o 4º termo e explicasse a regra de formação, pretendíamos perceber
se o aluno identifica a situação que se repete.


No nível das Evidências de pensamento pré-algébrico, onde o aluno deve encontrar o padrão,
isto é, observar os termos dados e perceber o que se repete, verificámos que apenas um aluno,
do 6º ano, não representou correctamente o termo pedido, como podemos observar na figura 1
e conta somente o número de triângulos não estabelecendo quaisquer outras relações.

Fig. 1

Contudo, como se ilustra na figura 2, há evidências que alguns alunos tiveram dificuldades em
identificar os elementos que compõem a sequência pictórica. Apesar de terem identificado o
padrão de crescimento, não o relacionaram com o número de palitos.

Fig. 2

Um aluno do 6º ano, na análise que fez da composição dos termos da sequência, teve
necessidade de identificar triângulos, possivelmente devido ao triângulo que surge no final de
cada termo, decompondo para isso a sua construção em triângulos e quadriláteros, como a
seguir se ilustra (fig. 3).

Fig. 3

No que toca à explicação da regra de formação do 4º termo, um outro objectivo da 1ª questão,
que se prende com a descrição do padrão e que envolve a comunicação usando a linguagem
corrente, são mais evidentes as dificuldades encontradas. Descrever padrões para que a
informação dada seja clara, não foi tarefa simples para os alunos. Das 18 respostas analisadas,


somente dois alunos, um do quinto (Fig.4) e um do sétimo (Fig.5), estabelecem relações entre o
número da figura, o número de triângulos e o número de palitos. Estes alunos possivelmente
encontram-se ao nível das Evidências da transição do pensamento aritmético ao algébrico.

Fig. 4

No exemplo apresentado na figura 4, o aluno já relaciona o triângulo com o número de palitos
que o compõe, percebendo a sua relação na sequência quando afirma que tem de tirar dois
palitos. No caso seguinte, figura 5, o aluno já relaciona cada termo com a sua posição na
sequência e efectua a análise da composição do mesmo no que toca ao número de palitos
necessários à sua construção.

Fig. 5

Contudo, as evidências apresentadas anteriormente referem-se unicamente à análise e
descrição do 4º termo. As estratégias usadas pelos alunos não foram impeditivas da conclusão
da tarefa com maior ou menor êxito. Há evidências de alunos que não tendo aprofundado a
regra de formação do 4º termo, conseguiram resolver as questões seguintes com sucesso.

Analisemos agora a questão 2 e 3. Segundo Stacey (1989), citado por Vale e Pimentel (2009), a
generalização pode ser tratada segundo dois patamares: aquele em que se pretende descobrir
termos muito próximos dos apresentados, a que chamou generalização próxima, e os termos
que devido à sua posição distante do apresentado, dificilmente se poderão descobrir por
construção termo a termo. O autor chamou-lhe generalização distante. Mason (1996), também
citado por Vale e Pimentel (2009), utiliza as designações generalização local e generalização
global que também utilizaremos na nossa análise. Podemos então afirmar, com base nas ideias
dos autores anteriormente referidos, que a questão 2 permite uma generalização local, mas no
caso da questão 3 já podemos considerar que permite uma generalização global.

Verificámos que os alunos utilizaram estratégias diversificadas para resolver as questões
propostas.


Ao nível do quinto ano, dois alunos utilizaram estratégias aditivas, recorrendo ainda à
representação pictórica como suporte à identificação do número de palitos necessários,
cometendo contudo alguns erros de contagem (Fig.6).

Fig. 6

Neste ano de escolaridade, ainda conseguimos identificar três alunos que usaram a estratégia
do objecto inteiro, relacionando a ordem do termo com o número de triângulos e de palitos. Os
erros cometidos por dois desses alunos decorreram do facto não existir proporcionalidade
directa entre os termos, como podemos identificar no exemplo da figura 7, em que o aluno
multiplica a ordem do termo pelo número de palito do triângulo que surge completo.

Fig. 7

De realçar que um aluno (Fig. 8) conseguiu estabelecer as relações necessárias tendo já tentado
uma generalização usando alguma simbologia algébrica.

Fig. 8

No sexto ano, é surpreendente a diversidade de meios que os alunos utilizaram para
desenvolver as suas estratégias. Desde tabelas para organizar e ordenar os dados, esquemas e
representações pictóricas, assim como o uso de alguma simbologia algébrica como podemos
observar nas figuras 9 e 10.


Fig. 9

Fig. 10

A maioria destes alunos ainda desenvolve estratégias aditivas, mas relativamente aos alunos do
quinto ano cometem menos erros, não identificando a sequência como uma situação de
proporcionalidade directa.

Quanto aos alunos do sétimo ano é visível que de uma forma geral procuram descrever uma
regra para descobrir o padrão. Fazem-no utilizando essencialmente a linguagem corrente (Fig.
11 e Fig. 12). Identificamos nestes casos a possível dificuldade em traduzir da linguagem
corrente para a simbologia algébrica.

Fig. 11

Fig. 12

Se até este ano de escolaridade os alunos oscilavam entre um nível em que apresentavam
evidências da transição do pensamento aritmético ao algébrico, agora identificamos estes
alunos num nível que evidencia um pensamento algébrico mais desenvolvido.

Na questão 4, onde o objectivo era perceber se os alunos generalizam e como o fazem, fomos
surpreendidos por dois aspectos. Em primeiro lugar, o reduzido número de alunos que
efectivamente encontraram uma generalização. Somente 5 dos 18 alunos tiveram sucesso. A


maior parte dos alunos que resolveram a questão apresentaram apenas exemplos concretos
(Fig. 13 e 14) que poderiam conduzir à descoberta do termo geral. O facto de muitos destes
alunos terem conseguido realizar uma generalização local na questão 2 e voltarem a procurar
este tipo de estratégia onde é pedido uma generalização global, pode indicar a necessidade de
concretização com um termo conhecido ou próximo aos dados no início da tarefa.

Fig. 13

Fig. 14

Existem evidências que apesar destes alunos se encontrarem no nível de transição entre o
pensamento aritmético e o algébrico a capacidade de abstracção e de estabelecer relações na
sequência poderão condicionar a capacidade de generalização.

O outro aspecto que nos surpreendeu foi o facto de um dos cinco alunos que consegue
generalizar ser do 5º ano (figura 15), revelando apenas alguma dificuldade na simbologia
algébrica, assim como um dos alunos do 7º ano. A análise da produção do aluno do 5º ano
suscitou algumas reflexões. Se por um lado foi consensual que efectuou uma verdadeira
generalização, no que toca à comunicação formal que utilizou remeteu-nos para os “comboios”
utilizados no 1º ciclo, tornando-se claras as consequências da aceitação dessa prática.

Fig. 15


Também no caso de um aluno do 7º foi evidente a sua dificuldade em lidar com a simbologia
algébrica, utilizando três expressões e duas variáveis, como é patente na figura 16.

Fig. 16

No que concerne aos outros dois alunos do 7º ano, um apresenta a generalização utilizando
somente a linguagem corrente e o outro (Fig. 17) revela maior facilidade na simbologia algébrica
do que no uso da linguagem corrente.

Estes alunos utilizaram estratégias que os ajudaram a estabelecer relações entre os termos e a

sua ordem, segundo Ponte (2009), estratégia da decomposição dos termos.

Fig. 17


Podemos sintetizar a nossa análise na tabela que se segue, que ilustra algumas das estratégias
utilizadas pelos 18 alunos seleccionados para este estudo.

Tabela 2 - Níveis do pensamento algébrico - Fiorentini et al. (1993)

(a) Evidências de pensamento (b) Evidências da transição do (c) Evidência de pensamento
pré-algébrico
Nº de alunos pensamento aritmético ao algébrico algébrico mais desenvolvido

Nº de alunos

Nº de alunos
Ano de Exemplo de estratégias Exemplo de estratégias Exemplo de estratégias
escolaridade utilizadas utilizadas utilizadas

“A regra é colocar um triângulo
ao lado do outro e retirar
?–1=?x6=?+4
sempre dois palitos ao
5º ano 5
triângulo anterior” (questão 1)
1 (questão 4)
“tem 7 triângulos e 42 palitos”
(questão 2)
“Se alguém me disser o
número de triângulos, o
“Na posição sete terá “1 – 6; 2 – 12; 3 – 18; 4 – 24;…”
número de palitos é 4
6º ano 1 sete triângulos” 4 (questão 2) 1
vezes mais 2 do número
(questão 2)
de triângulos na figura”
(questão 4)
x4 2
(questão 4)
“É só fazer as seguintes
“14 + 8 + 8 = 30”
operações:
(questão 2)
1 (triângulo) x 6 (palitos)
= 6 (palitos)
7º ano 3 “(…)se precisarem de 7 3
Restantes triângulos x 4
triângulos, só temos de fazer 4
(palitos) = a
em 4 a partir do 6.”
a + 6 = x palitos
(questão 4)
necessários para um certo
número de triângulos”
(questão 4)

Conclusão
Encontrar, descrever e explicar padrões são competências que permitem compreender
situações complexas e as tarefas que possamos propor aos alunos precursoras do
desenvolvimento do pensamento algébrico irão por certo desencadear mecanismos que
valorizarão a melhoria dos seus desempenhos.
Encontrar padrões é uma actividade subjectiva. Diferentes pessoas percebem coisas diferentes,
de modo que o que uma pessoa vê não é muitas vezes diferente do que o outro percebe. É por
isso que é tão importante para descrever padrões que a linguagem usada seja a que todos
entendem - para que outros possam ver o que cada um vê. A simbologia algébrica é, por isso,
uma ferramenta privilegiada para descrever padrões.
A preocupação em analisar o nível de desempenho dos alunos permite tomar decisões
conscientes sobre que desafios lançar, no sentido de melhorar progressivamente os seus
desempenhos e consequentemente torná-los matematicamente mais competentes.


Das observações efectuadas decorre que a grande maioria dos alunos ultrapassou o nível pré-
algébrico, encontrando-se na transição do nível aritmético para o algébrico. Contudo, há
evidências que os alunos do 7º ano se encontram ao nível do pensamento algébrico mais
desenvolvido.
Importa salientar que os alunos que se encontram no nível de transição utilizaram estratégias de
objecto inteiro, o que revela que já estabelecem relações, apesar de cometerem alguns erros
nomeadamente quando utilizam a proporcionalidade directa quando esta não existe.
Bastante revelador da disparidade do nível em que se situam os alunos foi o facto de nos
depararmos com cinco desempenhos (um do 5º, um do 6º e três do 7º ano) reveladores de
pensamento algébrico mais desenvolvido bem como do tipo de simbologia utilizada.
Perante a análise efectuada, e de acordo com as orientações preconizadas nos documentos
oficiais, importa delinear um conjunto de linhas de acção a desenvolver no sentido de conduzir
os alunos a ultrapassar dificuldades evidenciadas. Assim, estabelecemos que é prioritário
continuar o trabalho com os padrões visuais de crescimento orientando o aluno na descoberta
das relações entre os termos da sequência e as contagens que se podem identificar, apostar nas
tarefas que proporcionem a comunicação matemática dos padrões e suas relações.
Oportunidades para incitar os alunos a pensarem sobre como devem verbalizar e expressar uma
generalização.
Uma última reflexão conduziu-nos às limitações deste estudo no que se refere à interacção
entre o professor e o aluno, que, de forma intencional reduzimos de forma a não influenciar os
desempenhos, mas que, temos consciência é motor de grande parte da aprendizagem e do
crescimento dos alunos.


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