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         CARACTERÍSTICAS DO PENSAMENTO ALGÉBRICO DE
             ESTUDANTES DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

            GT 02 – Educação Matemática no Ensino Médio e Ensino Superior

                      Ednei L. Becher – E. E. Prudente de Morais – edneilb@terra.com.br
                   Dra. Cláudia Lisete Oliveira Groenwald – ULBRA – claudiag@ulbra.br


Resumo: Neste artigo estão apresentados os resultados parciais da investigação sobre a aprendizagem da
álgebra, de 12 estudantes do 1º ano do Ensino Médio, visando identificar as competências e habilidades
algébricas desenvolvidas durante o Ensino Fundamental e que são utilizadas pelos mesmos. Adotou-se um viés
qualitativo, seguindo a abordagem de um estudo de caso. Em particular, apresenta-se uma análise das
características do pensamento algébrico de dois alunos participantes do experimento.

Palavras-chave: Álgebra, Educação Matemática, Pensamento Algébrico.


Introdução
        A Matemática tem na álgebra uma de suas linguagens de expressão, portanto, parece
evidente que dar significado a álgebra como linguagem formal é importante para que o
estudante possa compreender melhor a Matemática escolar, todavia é preciso que se priorize
o desenvolvimento de um pensar algébrico que não passe, obstinadamente, pela escrita
formal, e que esta deva ser aprendida e compreendida em um contexto de aplicação e
resolução de problemas (Arcavi, 1994, 2005). Da mesma forma, o uso cada vez mais comum
dos computadores, exige maior capacidade das pessoas para elaborar fórmulas, gráficos e
modelos que representem e automatizem procedimentos (House, 1995).
        Nesse contexto é essencial que um estudante desenvolva, durante os anos de
escolarização, competências e habilidades algébricas, para que possa fazer melhor uso da
Matemática, diante de um mundo que vive avanços tecnológicos e rápidas mudanças sociais,
no qual, se torna impossível determinar exatamente o que um estudante precisa aprender para
estar preparado para o futuro. O avanço na tecnologia e as rápidas mudanças impedem
segundo Groenwald e Timm (2000), que se faça uma previsão exata de quais conhecimentos e
habilidades o estudante de hoje irá precisar no futuro. Assim, a escola precisa capacitar os
estudantes para a compreensão desse novo mundo, para o uso das ferramentas matemáticas
de forma a se inserir de modo efetivo na sociedade, sabendo aproveitar ao máximo seus
conhecimentos na resolução de problemas.
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         Conhecer as características do pensamento algébrico de alunos que concluíram o
Ensino Fundamental pode auxiliar o professor na sua tarefa docente, pois o professor é o
agente que orienta o processo de ensino e aprendizagem da álgebra.
         Entendendo que o pensamento algébrico necessita ser desenvolvido no ambiente
escolar, pois a álgebra é um assunto eminentemente escolar, o professor tem a
responsabilidade de planejar, aplicar e avaliar as abordagens de estudo desenvolvidas, de
modo a maximizar a aprendizagem, a escolha do conteúdo e das atividades didáticas através
das quais as competências e habilidades algébricas associadas serão desenvolvidas.


Referencial Teórico
         Segundo Davis (1989), existe grande preocupação dos professores, que também é
identificada nos livros didáticos, com relação à fluência no uso da linguagem formal
algébrica, como parte fundamental da aprendizagem da álgebra. Para o autor essa
preocupação muitas vezes exagerada dos professores, faz com que muitos alunos, saibam
encontrar a solução de equações quadráticas, por exemplo, sem saberem quando utilizar essa
mesma equação para resolver problemas. Kieran (1992) relata que os estudantes, em muitos
casos, memorizam as regras e procedimentos acreditando que isso representa a essência da
Matemática.
         A visão tradicional da álgebra, segundo Kaput (2005), está vinculada com            a
aprendizagem de regras para a manipulação de símbolos, simplificação de expressões
algébricas e resolução de equações. O que leva os estudantes a formarem uma opinião de que
a álgebra estudada na escola, não tem relação com outros conhecimentos matemáticos e nem
com o mundo cotidiano.
         As pesquisas sobre o ensino da álgebra apontam que a manipulação de símbolos pode
ser um aspecto importante da aprendizagem, desde que os professores estimulem os
estudantes a perceberem o valor da mesma como um instrumento para a compreensão,
expressão e comunicação de conexões, argumentos, deduções e provas (Arcavi, 1994, Arcavi,
2005).
         Além disso, Kieran (2004) destaca que é importante dedicar muito tempo às atividades
em que a álgebra é usada como ferramenta, mas que não são atividades exclusivamente
algébricas.
         A partir dos trabalhos de Krieger (2007) é possível constatar que existe um “pensar”
algébrico e uma “escrita” algébrica, o que leva a dividir o aprendizado da álgebra em dois
momentos distintos. O primeiro seria o pensamento ou raciocínio algébrico que compreende
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os conceitos e estratégias aprendidas e utilizadas na escola e fora dela, mas que não
necessariamente possuem uma formalização algébrica, propriamente dita. O segundo seria o
aprendizado a álgebra formal, a linguagem utilizada na Matemática e que se caracteriza pela
representação simbólica dos valores desconhecidos, das variáveis, etc.
           Logo, o pensamento algébrico consiste em um conjunto de habilidades cognitivas que
contemplam a representação, a resolução de problemas, as operações e análises matemáticas
de situações, tendo as idéias e conceitos algébricos como seu referencial (Becher e
Groenwald, 2009).


Metodologia
           Essa investigação, utilizando o software SCOMAX (Student Concept Map Explore),
buscou mapear e caracterizar o pensamento algébrico, a partir dos conceitos algébricos
desenvolvidos no Ensino Fundamental, durante o estudo dos conteúdos algébricos previstos
no currículo escolar, com 12 alunos de uma turma do 1º ano do Ensino Médio, de uma escola
pública, do município de Osório, Rio Grande do Sul, Brasil.
           O SCOMAX é um sistema de inteligência artificial, implementado em Java, que
mostra os resultados, de um teste adaptativo individualizado de um mapa conceitual geral.
Esse sistema faz a ligação do mapa conceitual ao teste adaptativo1, gerando o mapa
individualizado dos conhecimentos dos alunos investigados (Moreno et all, 2007).
           A investigação foi realizada em duas etapas. A primeira buscou caracterizar o
pensamento algébrico desenvolvido nos oito primeiros anos de escolarização, e na segunda
etapa, foi implementada2 uma experiência visando identificar as características do pensamento
algébrico de alunos do 1º ano do Ensino Médio.
           Para a caracterização de como o pensamento algébrico é desenvolvido na escola
através dos conteúdos, foi necessária uma ampla investigação de atividades didáticas
(exercícios, problemas ou modelagens) que pudessem indicar como os estudantes lidam com
situações que exijam algum tipo de representação algébrica. As atividades utilizadas foram
classificadas em níveis (fáceis, médias e difíceis), pois dentro de um mesmo estágio de
desenvolvimento os estudantes podem estar em momentos diferenciados da compreensão dos
conceitos. O desempenho dos alunos foi identificado como satisfatório se o resultado do teste
no nodo for superior a 0,5.



1
    O teste adaptativo está fundamentado nas Redes Bayesianas (....).
2
    Implementado está utilizado, nesse trabalho, no sentido de desenvolver, aplicar e avaliar.
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       Adotou-se uma abordagem qualitativa, na análise dos dados de pesquisa, pois segundo
Bodgan e Biklen (1994), em uma investigação de natureza qualitativa as questões a investigar
são determinadas com o objetivo de estudar o fenômeno em toda a sua complexidade e no
contexto natural, sem que se deseje descobrir leis ou regras. Assim, não são formuladas
hipóteses que se pretenda testar, mas questões que orientam o estudo. Além disso, utilizou-se
um enfoque de estudo de caso, já que os estudos de caso são um modo de estruturar uma
investigação que visa a compreensão de fenômenos que não se podem isolar do contexto.
       Os dados analisados foram coletados a partir do banco de dados do SCOMAX, dos
registros escritos dos estudantes durante a realização dos testes e dos registros da observação
do professor/pesquisador.


Resultados
       Nesse artigo apresenta-se a análise dos resultados de dois estudantes, com 16 anos de
idade no momento da aplicação da experiência, que de acordo com os perfis obtidos através
da aplicação de um questionário, alegam gostar de Matemática, no entanto, um dos estudantes
nunca reprovou e outro teve uma reprovação na disciplina de Matemática. O aluno que nunca
reprovou afirmou não ter grandes dificuldades em Matemática, diferentemente do que tinha
uma reprovação. Nenhum dos estudantes soube precisar o que a álgebra representa ou onde é
aplicada.
       Na experiência foram utilizados 4 testes, sendo um para cada uma das quatro séries
finais do Ensino Fundamental (5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries), pois se concebe o aprendizado da álgebra
como um processo, e assim buscou-se identificar que habilidades e competências algébricas
haviam sido desenvolvidas com o conteúdo estudado em cada série. Para realizar cada um dos
testes, os estudantes demoram em média 1 hora e 10 minutos, fazendo a resolução a partir de
um computador, utilizando o software SCOMAX, e com o uso de lápis e papel.
       Cada teste buscou identificar e mapear quatro competências próprias do pensamento
algébrico: compreender representações algébricas (ler representações algébricas, representar
relações algebricamente, compreender/representar algebricamente, compreender/expressar
algebricamente, compreender gráficos), operar algebricamente (usar fórmulas, valor
numérico, propriedades/operações com números naturais, calcular/compreender razão e
proporção, operar algebricamente, resolver equações de 1º grau, propriedades/operações
algébricas, resolver sistemas de equações e inequações, compreender/usar propriedades dos
números reais, compreender/usar propriedades algébricas, resolver equações de 2º grau) ,
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reconhecer/representar padrões (reconhecer padrões, generalizar e deduzir fórmulas, criar
representações) e resolver problemas algebricamente (problemas algébricos).
       A partir da tabela 01 observa-se que o desempenho dos estudantes nas habilidades
ligadas a competência de compreender representações algébricas, foi melhor nos itens
considerados equivalentes a 6ª e 7ª séries, enquanto as habilidades que foram avaliadas tendo
a 5ª série como referência ofereceram maior dificuldade a esses estudantes. É possível que
isso se deva ao tipo de questão proposta, pois as questões relacionadas no teste da 5ª série
baseavam-se em contexto extra-escolar, utilizando uma linguagem informal, como no
exemplo da figura 1.




                            Figura 1: Questão do teste 1 do experimento.

       Já as questões utilizadas nos testes da 6ª e 7ª séria buscavam identificar o domínio do
vocabulário matemático, tradicionalmente utilizado pelos professores nas aulas de
Matemática, como pode ser visto na figura 2.




                            Figura 2: Questão do teste 2 do experimento.

       O uso de fórmulas muitas vezes é visto pelos professores como uma atividade
mecânica e repetitiva, no entanto, nesse mapeamento, em que os estudantes resolveram os
testes sem estudos anteriores do conteúdo, foi possível verificar que o uso de fórmulas não foi
um procedimento simples, pois se verificou que os estudantes investigados sabem utilizar
fórmulas quando são capazes de compreenderem a situação em que está inserido o problema.
Por exemplo, quando os estudantes necessitaram calcular a área ou o perímetro de figuras
geométricas, apenas o aluno 01, conforme a tabela 01, conseguiu resolver as questões mais
fáceis, enquanto que o aluno 02 não conseguiu utilizar as fórmulas sugeridas nos problemas,
exemplificados na figura 3, quando as questões exigiam especificamente conhecimento
matemático. Na resolução da questão apresentada na figura 3, o aluno 2 perguntou ao
professor/pesquisador durante a resolução o que era um hexágono.
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                                 Figura 3: Questão do teste 01 do experimento.


       Analisando a tabela 01 identifica-se que o estudante 01 realiza operações algébricas
corretamente, atingindo um bom desempenho nessa habilidade, no entanto, o estudante 02
obteve bom desempenho nas habilidades relacionadas mais diretamente com a manipulação
algébrica ou procedimental, como a resolução de equações, enquanto e no uso de fórmulas,
que exigia a compreensão de problemas, o seu desempenho foi inferior a 0,5.
                                                  Tabela 01
                          Resultados obtidos pelos estudantes 01 e 02 no experimento

                                      Resultado dos estudantes
                                  Habilidades                  Aluno 01 Aluno 02
                         Compreender representações algébricas           0,30          0,30
                          Representar relações algébricamente            0,18          0,10
             Teste 01




                                      Usar fórmulas                      0,86          0,30
                                     Valor numérico                      0,64          0,44
                          Propriedades/operações com naturais            0,86          0,94
                                   Reconhecer padrões                    0,61          0,96
                        Compreender/representar algébricamente           0,78          0,96
                                      Usar fórmulas                      0,22          0,22
             Teste 02




                         Calcular/compreender razão e proporção          0,86          0,86
                                   Reconhecer padrões                    0,94          0,10
                                  Operar algébricamente                  0,61          0,10
                              Resolver equações de 1º grau               0,99          0,86
                            Propriedades/operações algébricas            0,97          0,92
             Teste 03




                          Resolver sist. Equações e inequações           0,98          0,18
                        Compreender/representar algébricamente           0,99          0,64
                             Generalizar e deduzir fórmulas              0,98          0,94
                                  Problemas algébricos                   0,22          0,22
                          Compreender/usar propriedades Reais            0,30          0,89
                        Compreender/usar propriedades algébricas         0,70          0,55
             Teste 04




                                   Criar representações                  0,18          0,30
                              Resolver equações do 2º grau               0,86          0,61
                                  Compreender gráficos                   0,61          0,22
                             Generalizar e deduzir fórmulas              0,44          0,61
                                  Problemas algébricos                   0,23          0,44


       Reconhecer padrões e saber representá-los matematicamente é uma competência
importante para o desenvolvimento do pensamento algébrico, pois facilita ao estudante a
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posterior utilização na resolução de situações problema. Com relação a essa competência os
dois estudantes têm as mesmas condições, já que os desempenhos são equivalentes.
       A última competência analisada foi a resolução de problemas algébricos, ou seja,
problemas que têm ou podem ter sua resolução através do uso de conhecimentos algébricos.
Com relação a esta competência o desempenho dos alunos foi muito baixo (0,23 e 0,44), os
estudantes investigados não solucionaram os problemas utilizando conhecimentos ou
procedimentos algébricos.


Considerações Finais
       O fato dos estudantes investigados apresentarem facilidade na resolução de situações
típicas de sala de aula, usualmente utilizadas nos livros didáticos, sugere que os mesmos
aprenderam o conteúdo trabalhado na escola, porém, isso também evidencia que a prática sob
a qual cursaram o Ensino Fundamental não privilegiou o uso da álgebra em contextos extra-
matemáticos, pois ao se depararem com situações novas, não obtiveram o desempenho
desejado.
       Outra constatação que corrobora nessa conclusão é o fato do aluno 02 ter apresentado
um bom desempenho na manipulação algébrica e na resolução de equações, no entanto,
quando foi necessária a compreensão das situações e portanto a vinculação dos conceitos com
as representações, no uso das fórmulas, o desempenho do aluno foi inferior a 0,5.
       Os estudantes investigados apresentam maturidade suficiente para perceberem
variações e até mesmo para procederem a sua representação através do uso da álgebra, no
entanto, não conseguem fazer isso quando se deparam com situações problemas. Para Kieran
(1992) isso se deve a um ensino fundamentado na manipulação que leva o aluno a decorar
procedimentos, sem que entenda o que está fazendo e nem como utilizar isso em situações
novas intra ou extramatemáticas.
       De um modo geral, considera-se que o aluno 01 desenvolveu durante seu Ensino
Fundamental    as   competências    de:   compreender    representações   algébricas,   operar
algebricamente e reconhecer/representar padrões, no entanto precisa desenvolver mais a
competência de resolver problemas. Já o aluno 02, desenvolveu parcialmente todas as
competências, tendo respondido corretamente, em sua maioria, questões que se referiam a
conteúdos escolares, sem, no entanto ter o mesmo desempenho com questões que abordavam
temas extramatemáticos, o que evidencia um processo ensino/aprendizagem centrado na
repetição.
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Referências
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Mathematics 14(3), 24–35, 1994.

Arcavi, A. Developing and using symbol sense in mathematics. For the Learning of
Mathematics 25(2), 42-47, 2005.

Becher, Ednei L. & Groenwald, Claudia Lisete O. Etapas de desenvolvimento do Pensamento
Algébrico. In: Anais do VI CIBEM – Congresso Iberoamericano de Educação Matemática,
Puertto Montt, 2009.

Bogdan, R., & Biklen, S. Investigação qualitativa em educação. Porto: Porto Editora, 1994.

Davis, R. B. Research Studies in How Humans Think about Algebra. In.: Wagner, Sigrid &
Kieran, Carolyn (Editores) Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra. Vol. 4,
p.266 –174, 1989.

Groenwald, Claudia Lisete O.; Timm, Úrsula. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos
em sala de aula. Educação Matemática em Revista/RS, Vol. 2, Nº 2, p. 21-26, nov. 2000.

House, P. A. Álgebra: idéias e questões. In:Coxford Arthur F. & Shulte Albert P. (Org.)As
idéias da álgebra (Chap. 1, pp. 1-8). São Paulo, Brasil: Atual, 1995.

Kaput, John. Teaching and learning a new algebra with understanding. Documento retirado
de http://www.simcalc.umassd.edu/downloads /KaputAlgUnd.pdf em 21de Outubro de 2005.

Kieran, Carolyn. The core of algebra: reflections on its main activities. In Stecey, K. and al.,
The future of the teaching and learning of algebra. The 12th ICMI study (pp. 21-34). Kluwer
(The Netherlands), 2004.

Kieran, Carolyn. The learning and teaching of school algebra. In Grows, D. A. (Ed.),
Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 390-419). New York, NY:
MacMillan, 1992.

Krieger, Shelley. Just what is algebraic thinking?. Disponível                   em:    <http://
www.math.ucla.edu/~kriegler/index.html> Acesso em: 27 ago. 2007.

Moreno, Lorenzo R. et all. Hacia un Sistema Inteligente basado en Mapas Conceptuales
Evolucionados para la Automatización de un Aprendizaje Signifiativo. Aplicación a la
Enseñanza Universitaria de la Jerarquía de Memoria. XII Jornada de Enseñanza Universitaria
de la Informática. Tenerife, 2007.

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  • 1. Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS CARACTERÍSTICAS DO PENSAMENTO ALGÉBRICO DE ESTUDANTES DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO GT 02 – Educação Matemática no Ensino Médio e Ensino Superior Ednei L. Becher – E. E. Prudente de Morais – edneilb@terra.com.br Dra. Cláudia Lisete Oliveira Groenwald – ULBRA – claudiag@ulbra.br Resumo: Neste artigo estão apresentados os resultados parciais da investigação sobre a aprendizagem da álgebra, de 12 estudantes do 1º ano do Ensino Médio, visando identificar as competências e habilidades algébricas desenvolvidas durante o Ensino Fundamental e que são utilizadas pelos mesmos. Adotou-se um viés qualitativo, seguindo a abordagem de um estudo de caso. Em particular, apresenta-se uma análise das características do pensamento algébrico de dois alunos participantes do experimento. Palavras-chave: Álgebra, Educação Matemática, Pensamento Algébrico. Introdução A Matemática tem na álgebra uma de suas linguagens de expressão, portanto, parece evidente que dar significado a álgebra como linguagem formal é importante para que o estudante possa compreender melhor a Matemática escolar, todavia é preciso que se priorize o desenvolvimento de um pensar algébrico que não passe, obstinadamente, pela escrita formal, e que esta deva ser aprendida e compreendida em um contexto de aplicação e resolução de problemas (Arcavi, 1994, 2005). Da mesma forma, o uso cada vez mais comum dos computadores, exige maior capacidade das pessoas para elaborar fórmulas, gráficos e modelos que representem e automatizem procedimentos (House, 1995). Nesse contexto é essencial que um estudante desenvolva, durante os anos de escolarização, competências e habilidades algébricas, para que possa fazer melhor uso da Matemática, diante de um mundo que vive avanços tecnológicos e rápidas mudanças sociais, no qual, se torna impossível determinar exatamente o que um estudante precisa aprender para estar preparado para o futuro. O avanço na tecnologia e as rápidas mudanças impedem segundo Groenwald e Timm (2000), que se faça uma previsão exata de quais conhecimentos e habilidades o estudante de hoje irá precisar no futuro. Assim, a escola precisa capacitar os estudantes para a compreensão desse novo mundo, para o uso das ferramentas matemáticas de forma a se inserir de modo efetivo na sociedade, sabendo aproveitar ao máximo seus conhecimentos na resolução de problemas.
  • 2. Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS Conhecer as características do pensamento algébrico de alunos que concluíram o Ensino Fundamental pode auxiliar o professor na sua tarefa docente, pois o professor é o agente que orienta o processo de ensino e aprendizagem da álgebra. Entendendo que o pensamento algébrico necessita ser desenvolvido no ambiente escolar, pois a álgebra é um assunto eminentemente escolar, o professor tem a responsabilidade de planejar, aplicar e avaliar as abordagens de estudo desenvolvidas, de modo a maximizar a aprendizagem, a escolha do conteúdo e das atividades didáticas através das quais as competências e habilidades algébricas associadas serão desenvolvidas. Referencial Teórico Segundo Davis (1989), existe grande preocupação dos professores, que também é identificada nos livros didáticos, com relação à fluência no uso da linguagem formal algébrica, como parte fundamental da aprendizagem da álgebra. Para o autor essa preocupação muitas vezes exagerada dos professores, faz com que muitos alunos, saibam encontrar a solução de equações quadráticas, por exemplo, sem saberem quando utilizar essa mesma equação para resolver problemas. Kieran (1992) relata que os estudantes, em muitos casos, memorizam as regras e procedimentos acreditando que isso representa a essência da Matemática. A visão tradicional da álgebra, segundo Kaput (2005), está vinculada com a aprendizagem de regras para a manipulação de símbolos, simplificação de expressões algébricas e resolução de equações. O que leva os estudantes a formarem uma opinião de que a álgebra estudada na escola, não tem relação com outros conhecimentos matemáticos e nem com o mundo cotidiano. As pesquisas sobre o ensino da álgebra apontam que a manipulação de símbolos pode ser um aspecto importante da aprendizagem, desde que os professores estimulem os estudantes a perceberem o valor da mesma como um instrumento para a compreensão, expressão e comunicação de conexões, argumentos, deduções e provas (Arcavi, 1994, Arcavi, 2005). Além disso, Kieran (2004) destaca que é importante dedicar muito tempo às atividades em que a álgebra é usada como ferramenta, mas que não são atividades exclusivamente algébricas. A partir dos trabalhos de Krieger (2007) é possível constatar que existe um “pensar” algébrico e uma “escrita” algébrica, o que leva a dividir o aprendizado da álgebra em dois momentos distintos. O primeiro seria o pensamento ou raciocínio algébrico que compreende
  • 3. Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS os conceitos e estratégias aprendidas e utilizadas na escola e fora dela, mas que não necessariamente possuem uma formalização algébrica, propriamente dita. O segundo seria o aprendizado a álgebra formal, a linguagem utilizada na Matemática e que se caracteriza pela representação simbólica dos valores desconhecidos, das variáveis, etc. Logo, o pensamento algébrico consiste em um conjunto de habilidades cognitivas que contemplam a representação, a resolução de problemas, as operações e análises matemáticas de situações, tendo as idéias e conceitos algébricos como seu referencial (Becher e Groenwald, 2009). Metodologia Essa investigação, utilizando o software SCOMAX (Student Concept Map Explore), buscou mapear e caracterizar o pensamento algébrico, a partir dos conceitos algébricos desenvolvidos no Ensino Fundamental, durante o estudo dos conteúdos algébricos previstos no currículo escolar, com 12 alunos de uma turma do 1º ano do Ensino Médio, de uma escola pública, do município de Osório, Rio Grande do Sul, Brasil. O SCOMAX é um sistema de inteligência artificial, implementado em Java, que mostra os resultados, de um teste adaptativo individualizado de um mapa conceitual geral. Esse sistema faz a ligação do mapa conceitual ao teste adaptativo1, gerando o mapa individualizado dos conhecimentos dos alunos investigados (Moreno et all, 2007). A investigação foi realizada em duas etapas. A primeira buscou caracterizar o pensamento algébrico desenvolvido nos oito primeiros anos de escolarização, e na segunda etapa, foi implementada2 uma experiência visando identificar as características do pensamento algébrico de alunos do 1º ano do Ensino Médio. Para a caracterização de como o pensamento algébrico é desenvolvido na escola através dos conteúdos, foi necessária uma ampla investigação de atividades didáticas (exercícios, problemas ou modelagens) que pudessem indicar como os estudantes lidam com situações que exijam algum tipo de representação algébrica. As atividades utilizadas foram classificadas em níveis (fáceis, médias e difíceis), pois dentro de um mesmo estágio de desenvolvimento os estudantes podem estar em momentos diferenciados da compreensão dos conceitos. O desempenho dos alunos foi identificado como satisfatório se o resultado do teste no nodo for superior a 0,5. 1 O teste adaptativo está fundamentado nas Redes Bayesianas (....). 2 Implementado está utilizado, nesse trabalho, no sentido de desenvolver, aplicar e avaliar.
  • 4. Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS Adotou-se uma abordagem qualitativa, na análise dos dados de pesquisa, pois segundo Bodgan e Biklen (1994), em uma investigação de natureza qualitativa as questões a investigar são determinadas com o objetivo de estudar o fenômeno em toda a sua complexidade e no contexto natural, sem que se deseje descobrir leis ou regras. Assim, não são formuladas hipóteses que se pretenda testar, mas questões que orientam o estudo. Além disso, utilizou-se um enfoque de estudo de caso, já que os estudos de caso são um modo de estruturar uma investigação que visa a compreensão de fenômenos que não se podem isolar do contexto. Os dados analisados foram coletados a partir do banco de dados do SCOMAX, dos registros escritos dos estudantes durante a realização dos testes e dos registros da observação do professor/pesquisador. Resultados Nesse artigo apresenta-se a análise dos resultados de dois estudantes, com 16 anos de idade no momento da aplicação da experiência, que de acordo com os perfis obtidos através da aplicação de um questionário, alegam gostar de Matemática, no entanto, um dos estudantes nunca reprovou e outro teve uma reprovação na disciplina de Matemática. O aluno que nunca reprovou afirmou não ter grandes dificuldades em Matemática, diferentemente do que tinha uma reprovação. Nenhum dos estudantes soube precisar o que a álgebra representa ou onde é aplicada. Na experiência foram utilizados 4 testes, sendo um para cada uma das quatro séries finais do Ensino Fundamental (5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries), pois se concebe o aprendizado da álgebra como um processo, e assim buscou-se identificar que habilidades e competências algébricas haviam sido desenvolvidas com o conteúdo estudado em cada série. Para realizar cada um dos testes, os estudantes demoram em média 1 hora e 10 minutos, fazendo a resolução a partir de um computador, utilizando o software SCOMAX, e com o uso de lápis e papel. Cada teste buscou identificar e mapear quatro competências próprias do pensamento algébrico: compreender representações algébricas (ler representações algébricas, representar relações algebricamente, compreender/representar algebricamente, compreender/expressar algebricamente, compreender gráficos), operar algebricamente (usar fórmulas, valor numérico, propriedades/operações com números naturais, calcular/compreender razão e proporção, operar algebricamente, resolver equações de 1º grau, propriedades/operações algébricas, resolver sistemas de equações e inequações, compreender/usar propriedades dos números reais, compreender/usar propriedades algébricas, resolver equações de 2º grau) ,
  • 5. Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS reconhecer/representar padrões (reconhecer padrões, generalizar e deduzir fórmulas, criar representações) e resolver problemas algebricamente (problemas algébricos). A partir da tabela 01 observa-se que o desempenho dos estudantes nas habilidades ligadas a competência de compreender representações algébricas, foi melhor nos itens considerados equivalentes a 6ª e 7ª séries, enquanto as habilidades que foram avaliadas tendo a 5ª série como referência ofereceram maior dificuldade a esses estudantes. É possível que isso se deva ao tipo de questão proposta, pois as questões relacionadas no teste da 5ª série baseavam-se em contexto extra-escolar, utilizando uma linguagem informal, como no exemplo da figura 1. Figura 1: Questão do teste 1 do experimento. Já as questões utilizadas nos testes da 6ª e 7ª séria buscavam identificar o domínio do vocabulário matemático, tradicionalmente utilizado pelos professores nas aulas de Matemática, como pode ser visto na figura 2. Figura 2: Questão do teste 2 do experimento. O uso de fórmulas muitas vezes é visto pelos professores como uma atividade mecânica e repetitiva, no entanto, nesse mapeamento, em que os estudantes resolveram os testes sem estudos anteriores do conteúdo, foi possível verificar que o uso de fórmulas não foi um procedimento simples, pois se verificou que os estudantes investigados sabem utilizar fórmulas quando são capazes de compreenderem a situação em que está inserido o problema. Por exemplo, quando os estudantes necessitaram calcular a área ou o perímetro de figuras geométricas, apenas o aluno 01, conforme a tabela 01, conseguiu resolver as questões mais fáceis, enquanto que o aluno 02 não conseguiu utilizar as fórmulas sugeridas nos problemas, exemplificados na figura 3, quando as questões exigiam especificamente conhecimento matemático. Na resolução da questão apresentada na figura 3, o aluno 2 perguntou ao professor/pesquisador durante a resolução o que era um hexágono.
  • 6. Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS Figura 3: Questão do teste 01 do experimento. Analisando a tabela 01 identifica-se que o estudante 01 realiza operações algébricas corretamente, atingindo um bom desempenho nessa habilidade, no entanto, o estudante 02 obteve bom desempenho nas habilidades relacionadas mais diretamente com a manipulação algébrica ou procedimental, como a resolução de equações, enquanto e no uso de fórmulas, que exigia a compreensão de problemas, o seu desempenho foi inferior a 0,5. Tabela 01 Resultados obtidos pelos estudantes 01 e 02 no experimento Resultado dos estudantes Habilidades Aluno 01 Aluno 02 Compreender representações algébricas 0,30 0,30 Representar relações algébricamente 0,18 0,10 Teste 01 Usar fórmulas 0,86 0,30 Valor numérico 0,64 0,44 Propriedades/operações com naturais 0,86 0,94 Reconhecer padrões 0,61 0,96 Compreender/representar algébricamente 0,78 0,96 Usar fórmulas 0,22 0,22 Teste 02 Calcular/compreender razão e proporção 0,86 0,86 Reconhecer padrões 0,94 0,10 Operar algébricamente 0,61 0,10 Resolver equações de 1º grau 0,99 0,86 Propriedades/operações algébricas 0,97 0,92 Teste 03 Resolver sist. Equações e inequações 0,98 0,18 Compreender/representar algébricamente 0,99 0,64 Generalizar e deduzir fórmulas 0,98 0,94 Problemas algébricos 0,22 0,22 Compreender/usar propriedades Reais 0,30 0,89 Compreender/usar propriedades algébricas 0,70 0,55 Teste 04 Criar representações 0,18 0,30 Resolver equações do 2º grau 0,86 0,61 Compreender gráficos 0,61 0,22 Generalizar e deduzir fórmulas 0,44 0,61 Problemas algébricos 0,23 0,44 Reconhecer padrões e saber representá-los matematicamente é uma competência importante para o desenvolvimento do pensamento algébrico, pois facilita ao estudante a
  • 7. Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS posterior utilização na resolução de situações problema. Com relação a essa competência os dois estudantes têm as mesmas condições, já que os desempenhos são equivalentes. A última competência analisada foi a resolução de problemas algébricos, ou seja, problemas que têm ou podem ter sua resolução através do uso de conhecimentos algébricos. Com relação a esta competência o desempenho dos alunos foi muito baixo (0,23 e 0,44), os estudantes investigados não solucionaram os problemas utilizando conhecimentos ou procedimentos algébricos. Considerações Finais O fato dos estudantes investigados apresentarem facilidade na resolução de situações típicas de sala de aula, usualmente utilizadas nos livros didáticos, sugere que os mesmos aprenderam o conteúdo trabalhado na escola, porém, isso também evidencia que a prática sob a qual cursaram o Ensino Fundamental não privilegiou o uso da álgebra em contextos extra- matemáticos, pois ao se depararem com situações novas, não obtiveram o desempenho desejado. Outra constatação que corrobora nessa conclusão é o fato do aluno 02 ter apresentado um bom desempenho na manipulação algébrica e na resolução de equações, no entanto, quando foi necessária a compreensão das situações e portanto a vinculação dos conceitos com as representações, no uso das fórmulas, o desempenho do aluno foi inferior a 0,5. Os estudantes investigados apresentam maturidade suficiente para perceberem variações e até mesmo para procederem a sua representação através do uso da álgebra, no entanto, não conseguem fazer isso quando se deparam com situações problemas. Para Kieran (1992) isso se deve a um ensino fundamentado na manipulação que leva o aluno a decorar procedimentos, sem que entenda o que está fazendo e nem como utilizar isso em situações novas intra ou extramatemáticas. De um modo geral, considera-se que o aluno 01 desenvolveu durante seu Ensino Fundamental as competências de: compreender representações algébricas, operar algebricamente e reconhecer/representar padrões, no entanto precisa desenvolver mais a competência de resolver problemas. Já o aluno 02, desenvolveu parcialmente todas as competências, tendo respondido corretamente, em sua maioria, questões que se referiam a conteúdos escolares, sem, no entanto ter o mesmo desempenho com questões que abordavam temas extramatemáticos, o que evidencia um processo ensino/aprendizagem centrado na repetição.
  • 8. Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS Referências Arcavi, A. Symbol sense: informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics 14(3), 24–35, 1994. Arcavi, A. Developing and using symbol sense in mathematics. For the Learning of Mathematics 25(2), 42-47, 2005. Becher, Ednei L. & Groenwald, Claudia Lisete O. Etapas de desenvolvimento do Pensamento Algébrico. In: Anais do VI CIBEM – Congresso Iberoamericano de Educação Matemática, Puertto Montt, 2009. Bogdan, R., & Biklen, S. Investigação qualitativa em educação. Porto: Porto Editora, 1994. Davis, R. B. Research Studies in How Humans Think about Algebra. In.: Wagner, Sigrid & Kieran, Carolyn (Editores) Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra. Vol. 4, p.266 –174, 1989. Groenwald, Claudia Lisete O.; Timm, Úrsula. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala de aula. Educação Matemática em Revista/RS, Vol. 2, Nº 2, p. 21-26, nov. 2000. House, P. A. Álgebra: idéias e questões. In:Coxford Arthur F. & Shulte Albert P. (Org.)As idéias da álgebra (Chap. 1, pp. 1-8). São Paulo, Brasil: Atual, 1995. Kaput, John. Teaching and learning a new algebra with understanding. Documento retirado de http://www.simcalc.umassd.edu/downloads /KaputAlgUnd.pdf em 21de Outubro de 2005. Kieran, Carolyn. The core of algebra: reflections on its main activities. In Stecey, K. and al., The future of the teaching and learning of algebra. The 12th ICMI study (pp. 21-34). Kluwer (The Netherlands), 2004. Kieran, Carolyn. The learning and teaching of school algebra. In Grows, D. A. (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 390-419). New York, NY: MacMillan, 1992. Krieger, Shelley. Just what is algebraic thinking?. Disponível em: <http:// www.math.ucla.edu/~kriegler/index.html> Acesso em: 27 ago. 2007. Moreno, Lorenzo R. et all. Hacia un Sistema Inteligente basado en Mapas Conceptuales Evolucionados para la Automatización de un Aprendizaje Signifiativo. Aplicación a la Enseñanza Universitaria de la Jerarquía de Memoria. XII Jornada de Enseñanza Universitaria de la Informática. Tenerife, 2007.