O documento explica os conceitos de correlação linear, coeficiente de correlação de Pearson e coeficiente de determinação. Estes conceitos são utilizados para analisar a relação entre duas variáveis através de uma reta de regressão linear e medir o grau em que uma variável pode ser explicada pela outra. O documento também apresenta um exemplo de cálculo destes coeficientes para dados reais.

1. Inferência – Parte 4
Inferência – Parte 4
Análise de
Análise de
Regressão Linear
Regressão Linear
Correlação Linear.
Correlação Linear.

2. Coeficiente de Correlação
• É a forma matemática criada pelo
qual possibilita descrever de forma
compacta através de um número se
existe alguma relação entre uma e a
outra variável em análise.

3. Coeficiente de Correlação
de Pearson.
• É o Modelo pelo qual avalia os dados para
comprovar se uma das variáveis é explicada
pela outra através de uma Reta.
• Notação



.
amostra
uma
de
forem
se
r
;
população
uma
de
forem
dados
os
se
ρ

4. Coeficiente de Correlação de
Pearson.
• Definição.
Se os dados se referirem a:
Uma População Uma Amostra
Y
X σ
.
σ
)
Y
,
X
(
cov
ρ =
Y
x s
.
s
)
Y
,
X
(
cov
r =

5. Co-Variância
* Conceito *
• Na definição do Coeficiente de
Correlação de Pearson apareceu o
número cov( X , Y ), e este número é
conhecido por Co-Variância entre X e
Y, cuja definição é:

6. Co-Variância
* Definição *
Uma População
N
)
μ
y
(
.
)
μ
x
(
)
Y
,
X
cov(
Y
i
X
i
∑ −
−
=
Uma Amostra
1
−
−
−
=
∑
n
)
y
y
(
.
)
x
x
(
)
Y
,
X
cov(
i
i

7. Coeficiente de Correlação de Pearson.
* 1a
Propriedade *
• O valor de r é um número compreendido
entre −1 e +1 (inclusive), sendo que:
c. quanto mais próximo de +1 ou de −1 for o
seu valor, indica que existe um grau maior
de relação entre as variáveis em estudo,
e. Próximo de zero não existe relação;

8. Coeficiente de Correlação de Pearson.
* 2a
Propriedade *
• Desenvolvendo a definição, tanto para
População, como para Amostra, chega a:
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
−
×
−
−
=
]
)
y
(
y
.
n
[
]
)
x
(
x
.
n
[
)
y
(
.
)
x
(
y
.
x
.
n
r
i
i
i
i
i
i
i
i
2
2
2
2

9. Coeficiente de Correlação de Pearson.
* Exemplo *
• Encontre o coeficiente de
correlação de Pearson aos dados
sobre capacidade de inspiração
máxima relacionando o pré-
operatório e o pós-operatório.

10. Coeficiente de Correlação de Pearson.
* Exemplo *
• Dados (Já citados)
Pré-operatório 150 150 120 150 80 200 120 120 120
Pós-operatório 56 88 50 150 28 128 100 120 75
Pré-operatório 140 140 120 92 120 40 120 120 180
Pós-operatório 130 40 116 68 100 52 80 80 120

11. Coeficiente de Correlação de Pearson.
* Solução do Exemplo *
• Sejam as variáveis:
 x a variável Capacidade de inspiração no
pré-operatório;
 y no pós-operatório,
• De posse dos dados e da equação vem:

12. Coeficiente de Correlação de Pearson.
* Solução do Exemplo *
• Efetuando os cálculos, vem:
Dados
Pré-operatório 150 150 120 150 80 200 120 120 120
Pós-operatório 56 88 50 150 28 128 100 120 75
Pré-operatório 140 140 120 92 120 40 120 120 180
Pós-operatório 130 40 116 68 100 52 80 80 120
Equação
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
−
×
−
−
=
]
)
y
(
y
.
n
[
]
)
x
(
x
.
n
[
)
y
(
.
)
x
(
y
.
x
.
n
r
i
i
i
i
i
i
i
i
2
2
2
2

13. * Solução do Exemplo *
Cálculos Intermediários
• n = 18;
∑ =
+
+
+
+
= 196
212
120
180
50
120
88
150
56
150 .
.
.
.
.
.
.
y
.
x i
i
∑ =
+
+
+
+
+
= 282
2
180
150
120
150
150 .
.
.
xi
Dados
Pré-operatório 150 150 120 150 80 200 120 120 120
Pós-operatório 56 88 50 150 28 128 100 120 75
Pré-operatório 140 140 120 92 120 40 120 120 180
Pós-operatório 130 40 116 68 100 52 80 80 120
Equação
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
−
×
−
−
=
]
)
y
(
y
.
n
[
]
)
x
(
x
.
n
[
)
y
(
.
)
x
(
y
.
x
.
n
r
i
i
i
i
i
i
i
i
2
2
2
2

14. * Solução do Exemplo *
Cálculos Intermediários
∑ =
+
+
+
+
+
= 764
310
180
150
120
150
150 2
2
2
2
2
2
.
.
.
x i
∑ =
+
+
+
+
+
= 557
159
120
150
50
88
56 2
2
2
2
2
2
.
.
.
y i
∑ =
+
+
+
+
+
= 1581
120
150
50
88
56 .
.
.
yi
Equação
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
−
×
−
−
=
]
)
y
(
y
.
n
[
]
)
x
(
x
.
n
[
)
y
(
.
)
x
(
y
.
x
.
n
r
i
i
i
i
i
i
i
i
2
2
2
2
Dados
Pré-operatório 150 150 120 150 80 200 120 120 120
Pós-operatório 56 88 50 150 28 128 100 120 75
Pré-operatório 140 140 120 92 120 40 120 120 180
Pós-operatório 130 40 116 68 100 52 80 80 120

15. * Solução do Exemplo *
Na fórmula
• De posse dos valores dos cálculos
intermediários:
• Vem:
n = 18; ∑ = 282
2
i
x ∑ = 764
310
2
i
x
∑ = 196
212
i
i y
.
x ∑ = 581
1
i
y ∑ = 557
159
2
i
y
)
(
)
(
r
2
2
581
1
557
159
18
282
2
764
310
18
581
1
282
2
196
212
18
−
×
×
−
×
×
−
×
=

16. * Solução do Exemplo *
Na fórmula
• Chega a:
• Como r não está nem próximo de Zero e
nem de +1 ou de -1 indica que existe uma
relação entre o pré-operatório e o pós-
operatório, porem o grau de relação entre
elas não é muito explicativo.
5881
0,
r=

17. Coeficiente de Determinação
• É elevar o coeficiente de correlação ao
quadrado.
• Notação: r2
;
• Exemplo:
Do exemplo anterior tem-se:
r2
= 0,5882
= 0,3459 ou 34,59%

18. Coeficiente de Determinação
* Interpretação *
• O valor acima indica que a capacidade
de inspiração no pós-operatório é
explicada pela pré-operatória em
34,59%.

19. Correlação Linear.
Coeficiente de Pearson
FIM
.
Prof Gercino Monteiro Filho